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UMA VISO GLOBAL DA ROTODINMICA DE TURBOMQUINAS: NFASE
NO MTODO DE ELEMENTOS FINITOS E NA PROPRIEDADE DOS
AUTOVETORES GIROSCPICOS DESACOPLAREM
AS EQUAES DE MOVIMENTO
Adhemar Castilho
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS
PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE DOUTOR EM CINCIAS
EM ENGENHARIA OCENICA
Aprovada por :
________________________________________
Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D
________________________________________
Prof. Tiago Alberto Piedras Lopes, D.Sc.
________________________________________
Prof. Paul Eugene Allaire, Ph.D
________________________________________
Prof. Moyss Zindeluk, D.Sc.
________________________________________
Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
SETEMBRO DE 2007
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CASTILHO, ADHEMAR
Uma Viso Global da Rotodinmica de
Turbomquinas: nfase no Mtodo de
Elementos Finitos e na Propriedade dos
Autovetores Giroscpicos Desacoplarem as
Equaes de Movimento [Rio de Janeiro]
Setembro, 2007
XXII. 366p. 29,7cm (COPPE/UFRJ,
DSc., Engenharia Naval, 2007)
Tese Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Rotodinmica I. COPPE/UFRJ
II. Titulo (srie)
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DEDICATRIA
Dedico esta Tese minha famlia que muito me apoiou em todos os momentos
difceis desta jornada.
Dedico tambm esta Tese a todos os meus Amigos, que de muitas formas
incentivaram, patrocinaram, fomentaram, viabilizaram e permitiram que este sonho tenha
se tornado uma realidade.
Embora os seus nomes no apaream aqui explicitados, estou bem certo que todos
eles conhecem perfeitamente o tamanho da minha dvida de gratido
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AGRADECIMENTO
Como agradecer a Quem tanto fez por mim ?
Para agradec-Lo farei uso da linguagem potica empregada pelo rei Davi no
Salmo oitavo da Bblia Sagrada.
Que o homem para que dele te lembres ?
e o filho do homem para que o visites ?
Fizeste-o no entanto por um pouco menores do que Deuse de glria e honra o coroaste.
Deste lhe domnio sobre as obras das tuas mos,
E sob seus ps tudo lhe pusestes :
Ovelhas e bois, todos
e tambm os animais do campo ;
as aves do cu e os peixes do mar,
e tudo o que percorre as sendas dos mares.
Senhor , Senhor nosso,quo magnfico em toda a terra o teu Nome !
DEUS deu ao homem delegao sobre todo o conhecimento, de tal forma que
nenhum conhecimento est oculto ao gnero humano. Todo novo conhecimento
representa um presente de DEUS, uma ddiva do DEUS ETERNO.
Todo novo conhecimento tem por finalidade promover o Amor e a Paz dentro do
Universo. Neste sentido espero que este trabalho possa contribuir de alguma forma para
o bem de todos que se proponham a usar, aperfeioar ou implementar estas idias aqui
elaboradas.
Esta Tese uma declarao de F.
Toda Honra e Toda Glria so devidas a DEUS Soli Deo Gloria .
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Resumo da Tese apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios para
a obteno do grau de Doutor em Cincias (D. Sc.)
UMA VISO GLOBAL DA ROTODINMICA DE TURBOMQUINAS: NFASE
NO MTODO DE ELEMENTOS FINITOS E NA PROPRIEDADE DOS
AUTOVETORES GIROSCPICOS DESACOPLAREM AS
EQUAES DE MOVIMENTO
Adhemar Castilho
Setembro de 2007
Orientador : Tiago Alberto Piedras Loppes, D. Sc.
Programa : Engenharia Ocenica
Esta Tese tem seu foco principal na discusso das tcnicas rotodinmicas associadas
ao equacionamento e soluo da equao de movimento de rotores flexveis. A
metodologia utilizada o sucessivo equacionamento e soluo de problemas de
complexidade crescente e que possibilitem a completa compreenso dos fenmenos
fsicos envolvidos.
O equacionamento inicialmente feito com a ajuda de modelao contnua. Na
medida em que o modelo fica mais complexo torna-se imperativo o uso de tcnicas
discretas, as quais apresentam um elevado nvel da abstrao e conseqentemente
comprometem o sentido fsico. Especial nfase dada ao mtodo dos Elementos Finitos.
O aspecto inovador desta Tese o desenvolvimento de um novo mtodo de soluo
das equaes de movimento de sistema giroscpicos conservativos.
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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D. Sc.)
AN OVERALL UNDERSTANDING ON TURBO MACHINERY FINITE ELEMENT
ROTOR DYNAMICS APPROACH, EMPHASIS ON GYROSCOPIC
EIGENVECTORS DECOUPLING PROPERTY AT GYROSCOPIC CONSERVATIVE
MOTION EQUATIONS
Adhemar Castilho
September, 2007
Advisor : Tiago Alberto Piedras Loppes, D. Sc.
Department : Ocean Engineering
This dissertation main focus is connected to rotor dynamic modelling techniques
and dynamic interaction between machinery and its support structure.
The Thesis introduces the problem in a sequence of different rotordynamic problems
in an increasing degree of complexity, in order to allow a complete understanding of all
physical phenomenon.
At beginning, equations are developed in continuous approach theory which allows
a good level of physical understanding, up to the point where finite element approach
need to be implemented due to limitations on representing real rotor model.
Finite element approach is too much abstract and does not permit easy physical
association to mathematical simulation. This thesis brings a big effort trying not to lose
contact with physical meaning in simulation process.
This thesis main discussion is associated with a new uncoupling method applied to
gyroscopic conservative systems based on gyroscopic eigenvectors.
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NDICE DO TEXTO
I INTRODUO Pagina1.1 Histrico (004)
1.1.1 Anlise e Reviso do Conhecimento Rotodinmico (004)1.1.2 Reviso do Conhecimento sobre Suportao de Mquinas (006)
1.1.3 Reviso Histrica dos Mtodos de Reduo de Matrizes (009)
1.1.4 Histria Rotodinmica dos ltimos Anos no BRASIL (010)
1.1.5 Rotodinmica nos ltimos 10 anos no Mundo (013)
1.2 Diretrizes Utilizadas para a Construo do Conhecimento (018)
1.2.1 Foco da Tese (018)
1.2.2 Apresentao dos Captulos: Corpo da Tese (022)
1.2.3 Impacto da Pesquisa (026)
1.2.4 Aspectos Inovadores da Pesquisa (027)
1.2.5 No constitui foco desta Tese os seguintes aspectos (028)
I I CINEMTICA DE UM ROTOR EM BALANO2.1 Precesso e Rotao (029)
2.2 Freqncia Natural e Velocidade Crtica (030)
2.3 Coordenadas Globais de um Volante (031)
2.4 Orientao Angular do Disco em Termos da Elstica (032)
2.5 Velocidades e Aceleraes Angulares do Disco (034)
2.6 Energia Cintica Total do Disco/Eixo (036)
2.7 Freqncias Naturais de um Rotor em Balano (037)
2.7.1 Equaes Bsicas de Equilbrio do Rotor (037)
2.7.2 Equao de Freqncia (039)
2.7.3 Analise das Curvas de Freqncia (040)
III FREQNCIAS E MODOS NATURAIS EMROTORES (CONTNUO)
3.1 Equao Diferencial do Movimento do Rotor em Balano (042)
3.1.1 Estabelecimento da Equao Diferencial (043)3.1.1.1 Relao Entre a Curvatura e o Momento Fletor (045)
3.1.1.2 Equao de Equilbrio do Elemento de Eixo (046)
3.1.1.3 Determinao da Relao Entre o Cortante e o Fletor (049)
3.1.2 Caracterizao das Condies de Contorno (049)
3.1.2.1 Condies de Contorno na Extremidade do Volante (050)
3.1.2.2 Condies de Contorno na Extremidade com Mola (051)
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3.1.3 Soluo da Equao Diferencial de Movimento (053)
3.1.3.1 Determinao das Freqncias Naturais (054)
3.1.3.2 Determinao dos Modos Normais de Vibrao (059)
3.1.4 Exemplos : Caso de Estudo (060)
3.1.4.1 Influncia da Variao Dimetro Suspenso Rgida (061)
3.1.4.2 Influncia da Variao do Comprimento do Eixo (062)
3.1.4.3 Modos Normais de Vibrao (063)
3.2 Equao de Movimento Rotor Bi-Apoado (064)
3.2.1 Determinao da Equao de Movimento (064)
3.2.2 Caracterizao das Condies de Contorno (066)
3.2.3 Soluo da Equao Diferencial de Movimento (067)
3.2.3.1 Determinao das Freqncias Naturais (071)
3.2.3.2 Determinao dos Modos Naturais de Vibrao (073)
IV FREQNCIAS/MODOS NATURAIS DE VIBRAO
4.1 Hipteses Simplificadoras do Modelo. (071)
4.2 Parcelas de Energia de Flexo (equilbrio Dinmico) (072)
4.2.1 Energia Cintica do Eixo (072)
4.2.2 E nergia Cintica do Impelidor (072)
4.2.3 Energia Potencial do Eixo (072)
4.2.4 E nergia Potencial das Molas (073)
4.3 Deduo da Equao Diferencial (073)
4.3.1. Energia Cintica de Translao/Rotao do Eixo (074)
4.3.2. Energia Cintica de Translao/Rotaao do Impelidor (076)
4.3.3 Energia Potencial do Eixo (078)
4.3.4 Energia Potencial das Molas (079)
4.4 Soluo da Equao Diferencial, (081)
4.4.1 Preparao das Equaes (081)
4.4.2 Condies de Contorno com Mola (082)
4.4.3 Soluo da Eq. Dif. de Movimento (083)
4.4.3.1 Clculo dos Coeficientes a Determinar (086)4.4.3.2 Soluo do Sistema Algbrico (089)
4.4.3.3 Definio da Elstica : Autovetor (093)
4.5 Resultados Obtidos dos Clculos de Computador (094)
4.6 Concluses Sobre a Pertinncia do Mtodo (104)
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V ELEMENTOS FINITOS NA ROTODINMICA 35.1 Elementos Finitos em Turbomquinas (109)
5.1.1 Diferentes Formas de Energia (111)
5.1.1.a Energia Cintica do Eixo (111)
5.1.1.b Energia Cintica do Impelidor (112)
5.1.1.c Energia Potencial do Eixo (112)
5.1.1.d Energia Potencial das Molas dos Mancais (113)
5.1.2 Aplicao da Teoria de Vigas para Eixos (113)
5.1.3 Discretizao do Eixo em Elementos Finitos (115)
5.2 Estabelecimento das Matrizes de Elementos Finitos (116)
5.2.1 Matriz de Rigidez do Rotor (116)
5.2.2 Matrizes de Massa/Inerciais/Giroscpica do Rotor em YZ (126)
5.3 Equao de Movimento do Rotor (Rotao Constante) (136)
5.3.1 Equao de Movimento do Eixo (136)5.3.2 Equao de Movimento do Eixo/Disco (136)
5.3.3 Equao de Movimento do Eixo/Disco/Mancais (139)
5.4 Discusso sobre a Rigidez dos Mancais (141)
5.5 Discusso sobre o Amortecimento dos Mancais (143)
5.6 Soluo da Equao de Movimento ( Autovalor) (146)
5.6.1 Transformaes em Sistemas Lineares : Propriedades (148)
5.6.2 Soluo da Equao de Movimento com Amortecimento Puro (150)
5.6.2.a Soluo Simplificada, Sistema com Amortecido Proporcional (151)
5.6.2.b Soluo Simplificada para o Problema de Resposta Dinmica (Truncamento) (153)
5.6.2.c Soluo Simplificada do Sistema com Amortecimento (154)
5.6.2.d Soluo Geral da Equao do Sistema com Amortecimento Puro (156)
5.6.3 Soluo da Equao do Sistema Giroscpico Puro : (Forma Padro) (158)
5.6.3.a Problema de Autovalor : Sistema Giroscpico (Forma Padro) (158)
5.6.3. a-1 Exerccio Giroscpico 1 (Roda de Bicicleta 1) (159)
5.6.3. a-2 Prova de Desacoplamento das Equaes do Sistema Giroscpico Puro : (165)
5.6.3. a-3 Exerccio Giroscpico 2 (Roda de Bicicleta 2) (175)
5.6.3. a-4 Prova de Desacoplamento das Equaes do Sistema Giroscpico Puro N GL: (185)
5.6.3. a-5 Exerccio Giroscpico 3 (8X8 - Rotor em Balano ) (189)
5.6.4 Autovalores do Sistema Giroscpico Puro (Equao de Estado) (197)5.6.4.a Problema de Resposta Dinmica em Sistema Giroscpico Puro (202)
5.6.5 Soluo Equao do Sistema Giroscpico Amortecido (208)
5.6.5.a Sistema Giroscpico Amortecido Simplificado (209)
5.6.5.b Sistema Giroscpico Amortecido (Problema de Autovalor) (209)
5.6.6 Resposta Dinmica do Sistema Giroscpico Amortecido (212)
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VI INSTABILIDADE EM ROTORES FLEXVEIS
6.1 Precesso ou Chicoteamento (218)
6.1.1 Diferentes do Formas Mecanismo de Precesso (219)
6.1.1.1 Instabilidade Histertica (220)
6.1.1.2 Instabilidade Hidrodinmica (Oil Whirl) (224)
6.1.1.3 Fora de Alford (Folga no topo de palhetas) (225)
6.1.1.4 Instabilidade por Atrito Seco (Rubbing dry friction/whip) (226)
6.1.1.5 Instabilidade por Fluido Aprisionado no Rotor (227)
6.1.1.6 Instabilidade de Compressores de Alta Presso (228)
6.1.2 Diagnstico de Vibraes Auto-excitadas (228)
6.1.2.1 Diferenas entre Chicoteamento e Outras Vibraes (228)
6.1.2.2 Identificao, Diagnose e Soluo (230)
6.1.3 Simulao dos Fenmenos de Instabilidade (231)
6.1.3.1 Simulao com Um Grau de Liberdade (231)
6.1.3.2 Simulao com Dois Graus de Liberdade (233)
6.1.3.2.1 Exerccio de Estabilidade 1 ( Instabilidade Histertica) (233)
6.1.3.2.2 Exerccio de Estabilidade 2 ( Instabilidade Hidrodinmica) (237)
6.1.4 Ampliao do Conceito de Instabilidade (244)
6.1.4.1 Exerccio de Estabilidade 3 (Routh Hurwttz) (245)
6.1.5 Generalizao do Conceito de Instabilidade em Sistemas Lineares (247)
6.2 Instabilidade Paramtrica (251)
6.3 Atrito Varivel Prende-Solta (253)
6.4 Comentrios Finais (254)
VII EXEMPLO ROTODINMICO-1 SUPORTE RGIDO7.1 Modelao do Rotor (257)
7.2 Resultados Obtidos com a Anlise das Velocidades Crticas (259)
7.3 Clculo da Rigidez e Amortecimento dos Mancais (261)
7.4 Resposta do Rotor ao Desbalanceamento (262)
7.5 Estudo de Estabilidade do Rotor (266)
7.6 Concluses Finais do Relatrio Rotodinmico (270)
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VIII EXEMPLO ROTODINMICO 2 (SUPORTE FLEXVEL):
8.1 Modelao da Estrutura por Elementos Finitos (ANSYS). (272)
8.1.1 Modelo Simplificado da Estrutura de Suportao (273)
8.1.2 Modelo Completo da Estrutura de Suportao (274)
8.1.3 Funo de Resposta em Freqncia (276)
8.2 Modelao Rotodinmica pelos Programas do ROMAC (276)
8.2.1 Modelao do Rotor (277)
8.2.2 Anlise dos Mancais Hidrodinmicos (278)
8.2.2.1 Anlise dos Mancais (Velhos) (278)
8.2.2.2 Anlise dos Mancais (Novos) (378)
8.3 Reduo Dinmica da Estrutura: (Coeficientes dos Mancais ) (279)
8.3.1 Reduo da Matriz Original para 155 Master GLs Principais (279)
8.3.2 Reduo da Matriz de 155 GLs para 14 GLs (280)
8.3.2.1 Problema de Autovalor: Soluo Usando Hankel Singular Value (280)8.3.2.2 Construo das FRFs dos Mancais para 14 GLs (281)
8.4 Anlise das Propostas de Modificao da Estrutura e dos Mancais : (282)
8.4.1 Modificao dos coeficientes dos Mancais eqK , eqC (282)
8.4.2 Soluo do Modelo: Freqncias Naturais Amortecidas e Modos Vibrar Acoplados (282)
8.5 Soluo de Compromisso: (283)
8.5.1 Modificaes da Estrutura (Filosofia) (283)
8.5.2 Primeira Proposta (Compromisso Resultado Simplicidade) (283)
8.5.3 Interao Rotor/Mancais/Estrutura (Anlise Assncrona) (284)
8.6 Comentrios finais (286)8.6.1 A Melhor Opo: Coluna de Concreto Conforme Modelo (286)
8.6.2 Resultado de Campo (286)
I X CONCLUSO (287)
BIBLIOGRAFIA
APNDICE A Relatrio Relativo a Estudo de Caso RealCOMPRESSOR 105-J da FAFEN/SE
APNDICE B MODOS DE VIBRAO DA ESTRUTURA
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INDICE DE FIGURAS
I INTRODUOFIG. 1.1 - ROTOR GIROSCPIO EM BALANO, 2 GL
FIG 1.2 - ROTOR CONTNUO EM BALANO.
FIG 1.3 - ROTOR ESQUEMTICO BI - SUPORTADO.
FIG 1.4 - ROTOR ESQUEMTICO SUPORTADO POR MOLA
FIG 1.5 - ROTOR REAL SUPORTADO ENTRE MANCAIS.
FIG 1.6 - ROTOR ESQUEMTICO EM SUPORTE FLEXVEL
I I CINEMTICA DE UM ROTOR EM BALANO
FIG 2.1 - SISTEMA DE COORDENADAS XYZ, xyz
FIG 2.2 - NGULOS DE EULER.
FIG 2.3 - NGULOS DE EULER. DECOMPOSTO
FIG 2.4 - COORDENADAS (X, ) DO MODELO DISCRETO
FIG 2.5 - FREQNCIAS NATURAIS DO MODELO
III FREQNCIAS/MODOS NATURAIS DE VIBRAO
EM ROTORES FLEXVEIS (CONTNUO)
FIG 3.1 - EQUILBRIO DINMICO
FIG 3.2 - COORDENADAS DO EIXO INERCIAL
FIG 3.3 - GEOMETRIA DA CURVATURA PLANA DO EIXO
FIG 3.4 - CONDIO DE CONTORNO DO VOLANTE
FIG 3.5 - CONDIO DE CONTORNO DA MOLA
FIG 3.6 - VARIAO DOS PARMETROS
FIG 3.7 - CONJUNTO DE ZEROS DE [DET M]
FIG 3.8 - TABELA ESQUEMTICA
FIG 3.9 - VARIAO DO DIMETRO
FIG 3.10 - VARIAO DO COMPRIMENTO
FIG 3.11 - MODOS NORMAIS DE VIBRAO DO ROTOR
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IV FREQNCIAS/MODOS DE VIBRAO (Hamilton):
FIG 4.1 - ROTOR ESQUEMTICO SUPORTADO P/ MOLA
FIG 4.2 - VALORES QUE ANULAM DET [M] P/ = cte
FIG 4.3 - TABELA ESQUEM. FREQNCIAS NATURAISFIG 4.4 - VAR. PRIM. FREQ. NAT. COM DIMT. DO DISCO
FIG 4.5 - VAR. SEG. FREQ. NAT. COM O DIM. DO DISCO
FIG 4.6 - VAR. PRIM. FREQ. NAT. COM A POSI. DO DISCO
FIG 4.7 - VAR. SEG. FREQ. NAT. COM A POSI. DO DISCO
FIG 4.8 - VAR. TERC. FREQ. NAT. COM A POSI. DO DISCO
FIG 4.9 - VAR. 1 e 2 FREQ. NAT. C/ A ROTAO P/910K
FIG 4.10 - VAR. 1 CRTICA COM A RIG. DO MANC. K
FIG 4.11 - VARIAO DAS CRTICAS/FREQNCIAS NATURAIS COM DOIS ROTORES
V ROTODINMICA COM ELEMENTOS FINITOS
FIG 5.1 - DESENHO ESQUEMTICO DE UM ROTOR
FIG 5.2 - EIXOS DO ROTOR :
FIG 5.3 - CONVENO DO FLETOR POSITIVO EM YZ
FIG 5.4 - PARTIO PLANA DO ROTOR
FIG 5.5 - MODELO DE PARTIO. DO ROTOR 3D
FIG 5.6 - MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL
FIG 5.7 - ROTOR REAL SUPORTADO ENTRE MANCAIS.
FIG 5.8 - RBITAS ELPTICAS DE UM ROTOR REAL
FIG 5.9 - EXERCCIO GIROSCPICO 1
FIG 5.10 - EXERCCIO GIROSCPICO 2
FIG 5.11 - EXERCCIO GIROSCPICO 3
FIG 5.12 - RESULTADO ESQUEMTICO (CAMPBEL)
VI INSTABILIDADE EM ROTORES FLEXVEIS
FIG 6.1 - FR PROPULSORA TF DA PRECESSO DO ROT.
FIG 6.2 - DEFLX ESTT.DEV.PESO PRPRIO
FIG 6.3 - FRS ELSTICAS DE DEFX. DO EIXO
FIG 6.4 - FRS DE AMORTEC. FIBRAS DO EIXO
FIG 6.5 - ATRASO ENTRE LNT E LND AMORTEC.
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FIG 6.6 - CROSS COUPLING HIDRO-DINMICO
FIG 6.7 - CROSS COUPLING CAUS. FR DE ALFORD
FIG 6.8 - CROSS COUPLING CAUS. P/ ATRITO SECO
FIG 6.9 - CROSS COUPLING CAUS. P/ LQ. ROTOR
FIG 6.10 - CRITRIO DE ESTABILIDADE DE COMP.
FIG 6.11 - DIAGR. CASCATA P/ DIAGNS. INSTABILIDADE.
FIG 6.12 - MOVM. VIBRATRIO ESTVEL/INSTVEL
FIG 6.13 - EFEITO DO ACOPLAMENTO CRUZADO.
FIG 6.14 - MODELO MATEMTICO PARA 2 .GL
FIG 6.15 - ROTOR EM MOVM. DE ROT. E PREC.
FIG 6.16 - EQUILBRIO DINMICO DO ROTOR :
FIG 6.17 - FRS EM UM MANCAL NORMAL
FIG 6.18 - AMORTECEDOR DE LEO PRENSADO
FIG 6.19 - FRS EM MANCAL COM LEO PRENSADO
VII EXEMPLO ROTODINMICO 1 (SUPORTE RGIDO):
FIG 7.1 - DESENHO ESQUEMTICO DO ROTOR DA TURBINA
FIG 7.2 - DESENHO ESQM. DO ROTOR DA TURBINA
FIG 7.3 - MAPA DAS CRTICAS DO ROTOR DA TURBINA
FIG 7.4 - RSPT. DINMICA NO MANC. EX, PESO NO CENTRO
FIG 7.5 - RSPT. DINMICA NO CENTRO, PESO NO CENTRO
FIG 7.6 - RSPT. DINMICA NO MANCAL INT., PESO CENTRO
FIG 7.7 - RSPT. DINMICA NO MANCAL EXT., PESO PONTAS
FIG 7.8 - RSPT. DINMICA NO CENTRO, PESO PONTAS
FIG 7.9 - RSPT. DINMICA MANCAL INT., PESO PONTAS
FIG 7.10 - PRIMEIRO MODO AMORTECIDO A 1000 rpm
FIG 7.11 - SEGUNDO MODO AMORTECIDO A 1000 rpm
FIG 7.12 - PRIMEIRO MODO AMORTECIDO 3000 rpm
FIG 7.13 - QUARTO MODO AMORTECIDO A 6550 rpm
FIG 7.14 - PRIMEIRO MODO AMORTECIDO A 9000 rpm
FIG 7.15 - SEGUNDO MODO AMORTECIDO A 9000 rpmFIG 7.16 - TERCEIRO MODO AMORTECIDO A 9000 rpm
FIG 7.17 - QUARTO MODO AMORTECIDO A 9000 rpm
FIG 7.18 - DIAGRAMA CASCATA PRODUZIDO PELO AD4
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VIII EXEMPLO ROTODINMICO 2 (SUPORTE FLEXVEL)
FIG 8.1 - CONJUNTO COMPRESSOR 105-J
FIG 8.2 - QUARTO MODO DE VIBRAO DA ESTRUTURA
FIG 8.3 - NONO E DCIMO MODOS
FIG 8.4 - FRF DO MANC. MOTOR LA VERTICAL
FIG 8.5 - DESENHO DO ROTOR DO MOTOR
FIG 8.5a - DESENHO ESQUEMTICO DO ROTOR
FIG 8.6 - FREQNCIAS NAT./ MODOS DO ROTOR
FIG 8.7 - ESQ. MANC LUBRIF. P/ ANEL - ARCO PARCIAL
FIG 8.8 - FRF DO MANC. LA HORIZONTAL (14 GL)
FIG 8.9 - FRF DO MANC LA VERTICAL (155 GL)
FIG. 8.10 - MODIFICAO IMPLEMENTADA
FIG. 8.11 - FRFs DA SOLUO APRESNT. SECO 8.5.1.1FIG. 8.12 - COMP. DAS FRF DO MANCAL LA ANTES/DEPOIS
FIG. 8.13 - RESP. NO ACOPLMT COM/SEM FUND
FIG. 8.14 - RESP. MANC. LA COM/SEM FUND.
FIG. 8.15 - RESP. MANC. LOA COM/SEM FUND.
FIG. 8.16 - RESP. NA EXCITATRIZ COM/SEM FUND.
FIG. 8.17 - ESPECTRO DE VIBRAO VERTICAL MOTOR LA
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LISTA DE SMBOLOS
"A" "B", "C" e "D", Coeficientes a Determinar do mtodo de Cramer
A, B, C, D, E, F, G, H Constantes de Integraoa Razo: Momentos de Inrcia, Polar e Diametral.
a Constante Auxiliar.
A,b,c,d,e,f,g Coeficientes Auxiliares.
ija Coeficiente Auxiliar de Integrao
*a Acelerao do centro de gravidade
a Acelerao em Coordenadas Cilndricas
A, Pontos da superfcie do eixoA Matriz representativa do Sistema aberto
b Constante Auxiliar
BBT Segunda Derivada deeN
B Carregamento de entrada (input);
Cij Elemento da Matriz de Amortecimento em i, j.
[ ] [ ]=
=s
rj
j
jaC Matriz de Amortecimento
[ ]eC Matriz de Amortecimento
C Centro do Disco
CG. Centro de Gravidade do Disco
dC Coeficiente de Amortecimento Externo,
iC Coeficiente de Amortecimento Interno,
KMCc 2= Amortecimento Crtico
C Amortecimento Cruzadob
C Folga do Mancal (Bearing Clearence)
pC Folga da sapata (Pad Clearence)
D Adimensional de Inrcia
D Dimetro da palheta
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xviii
D Matriz de sada (out-put)
E Adimensional Elstico
eerr= Vetor em Coordenadas Cilndricas
zrzr eeeeee ,.,.,.,. Vetores Unitrios do Referencial Cilndricozyxzyx
eeeeee ,.,.,.,. Vetores Unitrios do Referencial Mvel x,y,z
CEEC, Energia Cintica
PEEP, Energia Potencial
),(),,( tzECtzEP Energia Cintica e Potencial em funo de Z
E Modulo de Young ( 2/LF )
[ ]E = Matriz que enfatiza a deslocamento Vertical YE,F, Funes Transcendentais de da Elstica
F Adimensional de Precesso .
FFFFiv ,,, Derivadas da Elstica
)(ZFn Equao da Elstica
F Derivada Parc./Ordin. de F em relao a Z
F& Derivada Parcial da funo F em relao a t
TF
Fora TangencialRF Fora Radial
F Fora Radial
SF Fora Vapor
NF Fora Normal
G Centro de gravidade do disco
G Modulo de Cisalhamento ( 2/LF ),
G,H, Funes Transcendentais da Elstica[ ]eG Matriz Giroscpica
[ ])(sG Matriz da funo de transferncia
h Altura ou Raio do no Eixo
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xix
{ } { }
==q
qh
& Varivel auxiliar (autovalor)
xyzH Vetor Momento Cintico
xH&
Derivada em t do Momento Cintico (x)
xyzH&
Derivada Total do Momento Cintico.
[H] Matriz de Resposta em Freqncia
H Hamiltoniano
H Altura da Palheta da Turbina (Fora de Alford)
k.,.j.,.i i, j, k Vetores Unitrios do Referencial Inercial.
I,J, Funes Transcendentais da Elstica
2P .I mKg= Momento Polar de Inrcia do Disco. 2ML
PI Momento Polar de Inrcia do Eixo.2ML
I Momento de Inrcia Transversal do Disco. 2ML
I Momento de Inrcia Transversal.
I ; i ; j = 1 Numero Complexo.
)(ZIs Funo de distribuio de Inrcia
=XX
I I YYI= Momento de Inrcia Transversal de rea ( )4L
YXj(
= Operador de rotao, 90 graus
XYj = Operador de rotao, 90 graus
k Fator de Forma ao Cisalhamento
K, Rigidez de Mola Linear do Mancal.
,,kKF Rigidez de Mola Angular do Mancal.
jiK ,.. Elemento da Matriz de Rigidez em i,j.
[ ]eK Matriz de Rigidez
4321 ,,, xxxx KKKK Elementos da Matriz de Rigidez
K Rigidez cruzada
[ ] [ ] 1)()( = sGsKseq Rigidez dinmica Equivalente
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xx
LM Linha dos Mancais
LC Linha de Centro do Disco
GSGzGL == )()}({ Transformada de Laplace
l ,L Comprimento do Eixo/Elemento.M Momento Fletor no eixo (FL)
YX MM , Fletor nas Direes X e Y (FL)
( )zm Massa distribuda do Eixo como funo de Z
)(Zms Funo de distribuio de Inrcia
m Massa distribuda do Eixo
m = Massa por unidade de comprimento
dMM= Massa do disco[ ]eM Matriz de Inrcia
4321 ,,, xxxx MMMM Elementos da Matriz de Inrcia
Mancal Floaded Sem cavitao
Mancal Starved Com cavitao
M Preload (pr-carga do Mancal)
eee NNN ,, Funo de Interpolao do Elemento e Derivadas
Os, O Cenytro do Eixo
(P,T) Carregamento Dinmico do Disco (Fora e Torque)
)();( ZQZP Funes Peridicas
[ ]P Auto-vetor
P Carga Axial (F)
{Q} Vetor Posio
)(ZQ Elstica do Eixo
)(SQ Elstica do Eixo no Domnio de LaplaceeQ Coordenadas Generalizadas dos nos do elemento
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xxi
e
XJ
Yj
Xi
Yi
Qu
u
q
q
q
q
=
=
4
3
2
1
Coordenadas Generalizadas dos nos do elemento
r
rr
= Velocidade Modal Relativa
r ; s Autovalores
S,s Varivel No Domnio de Laplace
S Adimensional de Rotao
S = E. Tenso no Eixo
dis = Autovalor
s Freqncia Complexa( ) )( += jKKT Numero Complexo T
T( ( ) )= jKK Complexos conjugados T
),( tZuY Vetor dos Deslocamento Generalizados do rotor
U = Xu( ), Yu Coordenada Generalizadas em X e Y
UVZ Referencial Rotativo
U Auto-vetor
u Variveis de input
BuA += & Equao Diferencial (teoria de controle)
{ }qT= Varivel de Estado ;
ererv r+= & Vetor Velocidade Coordenadas Cilndricas
V Auto-vetor
X Eixo Principal do Triedro Inercial
XYZ Referencial Inercial , Fixo ou Global
xyz Referencial Mvel solidrio ao eixo, no giraxyz, xyz, xyz, xo yo zo Referenciais Mveis auxiliares
(X, ) - Deslocamento CG e ngulo de Rotao do Disco
Y Eixo Principal do Triedro Inercial
Dxy = (I / O) Teoria de Controle
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xxii
iz. Vetor Norma
.. iz Vetor Norma Infinita
Z Eixo Principal do Triedro Inercial
Parmetro Adimensional Rotativo Eixo Parmetro Adimensional Rotativo Disco
v
xyz Acelerao angular no Ref Mvel
)( - Matriz de Flexibilidade do Eixo
[ ]KM + Amortecimento Proporcional
ij - Coeficiente de Influncia da Matriz de Flexib. do Eixo
ij Determinante Caracterstico de sistemas Lineares
Coeficiente de ajuste da Fora de Alford ;
4 Parmetro Adimensional Translao Eixo
4 Parmetro Adimensional Translao Disco
Parmetro Transcendental Eixo
ij
Determinante Caracterstico de sistemas Lineares
( Z C ) Funo Delta de Dirac
)( CZ Derivada da Funo Delta de Dirac (Binrio Unitrio)
Z
YZ
uyu
= Deformao especifica na direo Z
rr
rr
2
1
.2
= Decremento Logartmico
iq
tzEP
),(.
Gradiente de ),( tzEP
Parmetro Transcendental Eixo
Deformao Especfica (strain)
Deformao Especfica (strain)
Z
ZZZ
uE
= Deformao especfica axial (strain)
(,,,) ngulos de Euler
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xxiii
Defasagem entre foras, Auto-vetor
& Velocidade angular na direo X
z
ux
y
=
Deslocamento Angular no plano xz
z
uyx
=
Deslocamento Angular no plano yz
[ ] { }121 ,..., += i Matriz Modal de Auto-vetor
{ }
=q
q& e{ } =&
q
q
&&
& Vetor auxiliar na soluo do autovalor
, Autovetores
EIkl=
Parmetros Adims de Rig. Tors. do mancal do Eixo
)(z =
q
q
&&
& Vetor Espacial de Posio de (X,Y,Z)
&&& ,,,, 44
2
2
ZZZ
So as derivadas do Vetor )(z
)(z
{ }),( tzQ Coordenadas Modais Generalizadas
)(z Autovetor
YXz +=)( Posio espacial do Elemento em (x,y,z)
Amortecimento Cruzado Relativo
{ }
=q
q& e{ } =&
q
q
&&
& Funo auxiliar na soluo do autovalor
[ ] Matriz de Autovalores
Espessura do Disco
2= Autovalor / Eigenvalue.
).(x Sada (output) do Sistema Global
xEx .).( = Prioriza pos. partclar do i/o em detrm.de outras
EI
Kl3=
Parmetros Adims de Rigidez do mancal do Eixo
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xxiv
MTF ,, Somatrio de Forces, Torques e Momentos
1 e 2 Coeficientes de atrito de Coulomb
,, Autovetores
)( cz "Funo" Degrau Unitrio
v Vetor Posio em coordenadas Cilndricas
Coeficiente de Poison
[ ] Matriz de Autovalores
Tensor de Inrcia do Disco
& Velocidade angular na direo Y
() ngulos de Euler
Raio de curvatura do Eixo
ZZZZ E = Tenso principal direo Z
Tenso
MAX Tenso Mxima
Freqncia de Precesso do Eixo
&&& ++= Velocidade Absoluta de Rotao do Eixo
dv = Velocidade Absoluta do Volante no Ref Mvel
rr Freqncia Natural de Vibrao
Freqncia de Precesso do Eixo Whirl
rr Fator de Amortecimento Modal
Amortecimento Externo Relativo
{}= Matriz de Autovalores
(, , ) ngulos de Euler
Z
tZY
Z
tZX
=
==
),(
.
),(
,
&&
&&&
Velocidades angulares elemento de disco
Freqncia de Rotao do Eixo spin
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1
I INTRODUO
A garantia da continuidade operacional um aspecto fundamental para o bom
resultado econmico das indstrias de processo. Nesse sentido, as turbomquinas
despontam com os maiores graus de criticidade dentre os equipamentos utilizados.
Especialmente com relao s mquinas, a observao e a anlise do
comportamento vibratrio dos rotores, mancais e de toda a sua estrutura de suportao
constituem recursos inestimveis para minimizar no s os riscos de interrupo da
produo mas tambm evitar acidentes e danos ambientais.
Essa prtica compreende a determinao de freqncias naturais, a definio da
resposta dinmica ao desbalanceamento, o estabelecimento da curva elstica do rotor, a
caracterizao da estabilidade dinmica do conjunto rotativo, alm de vrios outros
estudos relacionados s manifestaes vibratrias.
O mau desempenho no funcionamento rotodinmico de uma turbomquina
geralmente caracterizado por um elevado nvel de vibrao do eixo, o qual precisa ser
contido dentro de valores pr-estabelecidos, para garantir um funcionamento adequado
deste equipamento (confiabilidade).
Vibrao elevada sinnimo de:
1) Elevado rudo, inadmissvel em submarinos e navios de Guerra,
2) Baixa confiabilidade dos equipamentos (baixo tempo mdio entre falhas),3) Desgaste excessivo dos componentes das mquinas (mancais, acoplamentos),
4) Custos elevados de manuteno,
5) Perdas elevadas por lucro cessante
A anlise dinmica tem um importante papel na fase de projeto e objetiva
minimizar os riscos do investimento. A identificao tardia de um problema (na fase de
fabricao e montagem da mquina), mais custosa do que a sua identificao na fase
de projeto. Analogamente, podemos dizer que a identificao de um problema na fase
de partida da planta tambm mais cara do que a sua identificao na fase defabricao.
Se o problema for identificado na fase de produo, a perda por lucros cessantes
ainda maior. Em alguns casos a planta fica condenada, como veremos no Captulo
VIII, a conviver com os prejuzos decorrentes do mau funcionamento das
turbomquinas mal projetadas, mal montadas ou mantidas inadequadamente.
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2
Todo o esforo feito na fase de projeto para garantir o bom desempenho
rotodinmico de uma turbomquina, pode ser perdido caso os aspectos relacionados
montagem no sejam convenientemente tratados.
Especial ateno deve ser dedicada estrutura de suportao da mquina.
muito importante registrar que um bom projeto rotodinmico de uma turbomquina,
no garantia real de que este equipamento v funcionar bem no campo (baixos nveis
de vibrao), quando o mesmo for instalado em seu bero de trabalho. Este problema
ainda mais srio, na medida em que sabemos que as engenharias de construo civil,
aeronutica e naval no dominam a tecnologia de modelagem dos prottipos virtuais no
caso da instalao de turbomquinas.
Nos projetos de construo civil so aplicados mtodos estticos para projeto das
fundaes, que tm a sua eficcia comprovada, todavia existe um risco inerente ao
processo de simplificao, que faz com que em muitos casos os nveis de vibrao
observados no campo sejam bem superiores queles medidos na base inercial (teste
realizado no fabricante). Em alguns casos estes nveis so to elevados que
comprometem o funcionamento da turbomquina, como ser mostrado no caso de
estudo apresentado no Captulo VIII.
A utilizao de programas de elementos finitos para o projeto dos suportes,
empregada na engenharia aeronutica e naval, aumenta as chances de sucesso do
projeto, todavia no suficiente para representar o acoplamento dinmico entre asdiversas partes inter-relacionadas (abordagem simplificada), exigindo custosos esforos
experimentais aps a construo do primeiro prottipo, para garantir a inexistncia de
problemas.
Em termos mais especficos, podemos afirmar que as freqncias naturais do rotor
sero distintas para configuraes diferentes do suporte (variaes da ordem de 10%
so percebidas conforme as condies de contorno do suporte). Como se trata de um
problema acoplado, tambm as freqncias naturais do suporte so alteradas quando o
rotor acoplado estrutura (menores variaes so observadas).Desta forma, a simulao da interao rotor/estrutura/mancais necessria e
essencial para uma representao correta do modelo fsico, correspondendo a um
prottipo virtual verdadeiramente representativo.
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3
Em alguns sistemas, onde so instaladas mltiplas mquinas sobre uma nica
estrutura de suportao, a estrutura de suporte pode ser excitada por uma grande gama
de harmnicos e sub-harmnicos das mquinas, elevando bastante o risco do projeto
desta estrutura (o trem de compresso pode ser composto de diversas turbomquinas
trabalhando com diferentes rotaes).
Segundo o API-617 (Norma Internacional dedicada a compressores centrfugos
para uso na indstria do petrleo), a rigidez da base de uma mquina deve ser no
mnimo 3,5 vezes superior rigidez do mancal. Caso esta exigncia no seja cumprida,
as freqncias naturais calculadas pelo estudo rotodinmico estaro comprometidas e,
conseqentemente, as margens de separao (segurana) esperadas sero diferentes.
O nvel de rigidez exigido pelo API-617, pode, em alguns casos, ser muito
elevado e tornar-se inexeqvel na prtica. Mesmo assim, essa recomendao poderia
no ser suficiente para garantir o sucesso do projeto.
Sabemos tambm que o amortecimento proporcionado pelos mancais
seriamente prejudicado pela baixa rigidez da fundao. Caso a rigidez do suporte tenha
valor inferior a cerca de 10 vezes rigidez dos mancais, as conseqncias sero notadas
no fator de amplificao da resposta dinmica da mquina.
As estruturas de suportao acima discutidas podem ser, por exemplo:
1) Um mezanino em uma planta industrial,
2) O casco de um submarino ou de um navio de Guerra,3) Uma plataforma martima de petrleo off shore,
4) A asa de um avio responsvel pela suportao de suas turbinas a gs.
Um equipamento rotativo real tpico (tal como uma turbomquina), constitudo
de vrios subsistemas, tais como: rotor, mancais, carcaa, impelidores, selagem,
fundao, etc... Quando o rotor submetido a distrbios internos ou externos, tais
como desbalanceamento, desalinhamento, freqncia de passagem das palhetas,
freqncia de engrenamento, instabilidade rotodinmica, freqncias harmnicas da
rede eltrica,entre outros, estes componentes interagem entre si em um processo
dinmico de absoro e dissipao de energia.
Estes distrbios se configuram pelo estabelecimento de um regime complexo de
funcionamento do rotor, caracterizado por movimentos de deformao do eixo que gira
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4
com rotao . Este movimento caracterizado tambm por uma ou mais freqncias
de precesso , independentes da freqncia de rotao do rotor.
O eixo deforma-se em uma curva espacial, denominada curva elstica do rotor
(reversa no espao). Esta curva tem grande importncia no projeto das mquinas, na
medida em que define as tenses mximas de projeto do eixo, bem como as folgas
internas mnimas da mquina. A obteno da curva elstica tem sido facilitada pelo uso
de programas de computador.
A cincia da Rotodinmica pouco estudada nas universidades brasileiras,
notadamente pela completa inexistncia de fabricantes de turbomquinas no Brasil.
Os fabricantes de turbomquinas so os usurios que mais demandam este
conhecimento. A Petrobras, na qualidade de maior operadora de turbomquinas do
Brasil, tem se esforado para desenvolver esta particular rea da dinmica.
Antes do estabelecimento das diretrizes deste trabalho e de iniciarmos a
construo do nosso ferramental analtico para enquadramento das dificuldades tericas
que sero aqui discutidas, cabe uma reviso do estado atual da arte desta cincia, a
Rotodinmica.
1.1 Histrico
1.1.1 Anlise e Reviso do Conhecimento RotodinmicoO primeiro trabalho rotodinmico remonta a mais de um sculo, sendo
apresentado por RANKINE (1869). RAYLEIGH (1894) apresentou um mtodo
aproximado para clculo de freqncias naturais em vigas.
TIMOSHENKO (1945) introduziu o conceito de cisalhamento transversal nas
freqncias naturais.
JEFFCOTT (1919) o primeiro a apresentar o conceito de precesso do eixo
whirl , tal como conhecido hoje. No seu trabalho o equacionamento da elstica
(deformada), definido em termos de foras ortogonais que agem sobre o eixo, tais
como as foras de inrcia e de resistncia elstica a deformao.
SOUTHWELL e GOUGH (1921), verificaram a reduo da freqncia natural do
rotor com a aplicao do torque e do empuxo axial. SMITH (1933) discutiu a influncia
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5
do efeito giroscpio na freqncia natural de rotores com grande disco. Esta idia
posteriormente estendida por GREEN (1958).
HOLZER (1921) apresentou um mtodo manual para calcular freqncias
crticas em compressores alternativos. Este mtodo foi modificado e usado hoje na
forma de matrizes para anlise torcional. MYKLESTAD (1945) desenvolveu um
mtodo para clculo de freqncias naturais de asas de avio ao mesmo tempo em que
PROHL (1945) apresentou um mtodo para clculo de freqncias naturais em rotores
de turbomquinas.
Estes trs mtodos (HOLZER, MYKLESTAD, PROHL ) formam a base para os
atuais mtodos rotodinmicos e marcam uma nova era na anlise das vibraes,
caracterizada pela mudana do contnuo para os mtodos discretos. MILLER (1953)
introduziu a discusso sobre suportes flexveis e discutiu a resposta dinmica lateral de
vigas.
RAUL (1970) investigou a resposta dinmica ao desbalanceamento, utilizando
anlise matricial. Os livros texto de VANCE (1988) e CHILD (1993) mostram a
grande quantidade de trabalhos realizados nesta rea.
RUHL e BOOKER (1972) desenvolveram as matrizes de massa e rigidez do
elemento e LUND (1974) desenvolveu o mtodo de matriz de transferncia para
clculo de estabilidade e freqncias naturais amortecidas de sistemas rotor/mancais
hidro-dinmicos, levando em considerao o amortecimento interno (histertico) e asforas aerodinmicas de acoplamento cruzado, cross coupling.
NELSON e McVAUGH (1976) desenvolveram diferentes matrizes elementares
para diferentes elementos no rotor. Utilizaram o conceito de funo de interpolao e
aplicaram o princpio dos trabalhos virtuais.
MURPHY e VANCE (1983) apresentaram um mtodo para calcular o polinmio
caracterstico a partir do mtodo da matriz de transferncia. KIM e DAVID (1990)
apresentaram variao do mtodo de matriz de transferncia com matrizes diferentes
para massa, rigidez e inrcia rotatria, podendo calcular o polinmio caractersticodiretamente, o qual era convertido em problema de autovalor. WILKINSON e
REINSCH (1971) resolveram este problema.
MASLEN e BILK (1992) apresentaram modelo para incluso de mancais
magnticos na anlise rotodinamica. A anlise de estabilidade foi executada na forma
de espao-estado state space.
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6
1.1.2 Reviso do Conhecimento sobre Suportao de Mquinas
Desde os primeiros trabalhos rotodinmicos estava clara a importncia da
fundao nos clculos rotodinmicos. Algumas das pesquisas feitas em suportes
flexveis so apresentadas abaixo.
BOHM (1964) discutiu a necessidade de incluir caractersticas do suporte e da
carcaa na anlise de turbomquinas. BANNISTER e THOMAN (1964) apresentaram
o mtodo da impedncia para caracterizar a flexibilidade das fundaes. Este trabalho
foi desenvolvido por EWINS (1984).
LUND (1965) props mtodo para clculo limite de estabilidade em rotores
flexveis em mancais com suporte flexvel e amortecido. Com este modelo simples
mostrou que as caractersticas do suporte afetam grandemente a estabilidade do rotor.
Em suportes sem amortecimento a estabilidade cai e, no caso em que hajaamortecimento, a estabilidade cresce.
GUNTER e TRUMPLER (1969) mostraram o efeito da anisotropia do suporte no
limite da estabilidade. Esta anlise foi feita usando modelo modificado de JEFFCOTT.
GUNTER (1970) estudou amortecedores de leo prensado squeeze film e
mostrou sua influncia na resposta dinmica. KIRK e GUNTER (1972) usando o
modelo modificado de JEFFCOTT (1919), mostraram o efeito do suporte na reposta
sncrona. Discutiram a sintonia do suporte flexvel e suas conseqncias na
rotodinmica do rotor.BASAL e KIRK (1975) apresentaram um mtodo para incluir a fundao flexvel
na matriz de transferncia (one mass-spring-damper).
KIRK e GUNTER (1976) estudaram um modelo de uma massa para
representao de mancais planos em suporte flexvel do tipo squeeze film.
BLACK (1976) estudou a estabilidade do rotor sujeito fora histertica e
externamente amortecido no suporte. Estudou ainda o efeito da rigidez e do
amortecimento na estabilidade rotodinmica.
CHOUDHURY,et all (1976) mostraram o efeito da rigidez e do amortecimento dosuporte na freqncia natural.
GASH (1976) usou dados experimentais para simular a fundao. As
caractersticas do modelo so funo da rotao. O autor usou dados experimentais
para modificar os coeficientes dos mancais inclusive os cross couplings. A matriz
global aumentada para incluir o efeito do suporte. Esta contribuio efetiva para a
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7
resposta dinmica, que ser funo da freqncia de vibrao, mas no adequada para
o estudo de estabilidade
BARRETT, GUNTER e ALLAIRE (1978) discutiram um mtodo rpido e
aproximado para calcular rigidez e amortecimentos timos para resposta e estabilidade
de mancais prximo da crtica, mostrando a influncia do suporte.
HASHISH e SANKAR (1984) incluram na anlise rotodinmica diversos efeitos
lineares e no lineares no amortecimento e na rigidez de mancais em suportes flexveis.
QUEITZSCH (1985) apresentou um mtodo para clculo da resposta dinmica
em suportes flexveis. As estruturas so analisadas independentemente e ento
juntadas. A funo impedncia da estrutura acoplada aos mancais e usa a funo de
transferncia como ferramenta de clculo.
BARRETT e NICHOLAS (1986) usaram resposta em freqncia da carcaa de
uma turbina para modificar os coeficientes dos mancais conseguindo melhor
compromisso entre resultados experimentais e analticos.
LUND e WANG (1986) usaram um mtodo onde resolvem o rotor e a estrutura
independentemente, acoplando os resultados posteriormente.
NICHOLAS e BARRETT (1986) apresentaram um mtodo para incluir o suporte
flexvel na anlise rotodinmica. Derivaram coeficientes equivalentes que incluem os
parmetros do suporte. O exemplo aplica a teoria a uma mquina real com mancais de
sapatas pivotadas tilting pad, sem incluir o efeito cross couplingNICHOLAS e WHAREN (1986) aplicaram esta mesma teoria para calcular a
resposta forada em uma turbina a vapor. Usou Funo de Resposta em Freqncia
(FRF) experimental para derivar os coeficientes. O autor considera o amortecimento
10% do crtico.
KAZAO e GNTER (1987) ampliaram o mtodo de matriz de transferncia para
incluir mltiplos rotores.
EARLES e PALAZZOLO (1988) apresentaram um mtodo para clculo
rotodinmico em suportes flexveis por elementos finitos. Este mtodo foi usado paraclculo de resposta dinmica de um modelo.
FAN e NOAH (1989) utilizaram um sistema de reduo (modal reduction) do
modelo para nlise de rotores flexveis independentemente e posterior acoplamento aos
mancais. Apresentam um exemplo onde rotor e suporte so analisados
independentemente e ento acoplados.
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WANG e TSAI (1989) apresentaram estudo sobre o efeito anisotrpico do suporte
sobre a instabilidade aerodinmica. O rotor Delaval foi usado para o estudo de um grau
de liberdade na fundao. O efeito anisotrpico da fundao ficou explicado mostrando
que em alguns casos este efeito pode melhorar a estabilidade
BRENO (1989) Estende a modelao a sistemas no lineares, como estruturas
off shore. Apresenta ainda uma abrangente reviso bibliogrfica, na qual
apresentado um trabalho completo que relaciona estruturas lineares e no lineares.
ROUCH e McMAINS (1989), usam a Funo de Resposta em Freqncia (FRF)
para representar a fundao, no estudo de resposta dinmica do rotor. Esta anlise
feita em elementos finitos e o autor investiga duas alternativas, o amortecimento
proporcional e a utilizao da informao de fase.
STEPHENSON e ROUCH (1992) apresentam um mtodo de determinao das
matrizes dinmicas usando dados experimentais. O autor usa Least Square Method-
LSM para calcular as matrizes do sistema, a partir de um conjunto completo de vetores
modais.
WYGANT (1993) incluiu a influncia do pedestal flexvel e da carcaa usando
informao modal. Este estudo inclui pedestal cross talk dentro de um procedimento
de matriz de transferncia. As informaes modais podem vir de um modelo analtico
ou de um resultado experimental.
REDMOND (1996) discutiu a impreciso dos testes de impedncia experimentalde suportes e implementa procedimento para subtrair o efeito dinmico do rotor dos
dados originais. O sistema de suportao considera um modelo de um grau de
liberdade e contempla o cross coupling e o cross talk entre mancais (aplica-se para o
clculo de resposta dinmica).
VAZQUEZ e BARRETT (1998) sistematizaram um mtodo para incluir a
flexibilidade dos suportes nos clculos rotodinmicos. Os suportes so representados
usando-se funes de transferncia polinomiais e aplicado para resposta dinmica e
estudo de estabilidade.LEES e FRISWEEL (1998) descreveram um mtodo para modelao dinmica
da fundao a partir da resposta dinmica. Isto obtido pela formulao inversa do
problema de resposta do rotor e a partir do modelo do rotor para identificao das
foras aplicadas nos mancais. Estas foras so combinadas com os deslocamentos
encontrados no pedestal e usado para calcular os parmetros da fundao.
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FENG e HAHN (1998) apresentaram um mtodo para calcular parmetros modais
da fundao a partir de informaes de desbalanceamento. Aplica-se a mquinas
montadas em suportes flexveis, rigidamente ligadas ao solo.
RIEGER e ZHOU (1998) usaram o mtodo da matriz de transferncia para rotor
suportado em pedestal flexvel, suportado em fundao flexvel. O autor deduz a
matriz de transferncia da fundao para propriedades diferentes em X e Y.
1.1.3 Reviso Histrica dos Mtodos de Reduo de Matrizes
Desde o incio tem sido reconhecido que o tamanho da matriz estrutural era muito
grande para ser resolvida com os recursos computacionais disponveis. Alguns
mtodos tm sido desenvolvidos para resolver o problema associado ao tamanho da
matriz sem descaracterizar o modelo.
As tcnicas de reduo de matriz podem ser grupadas em trs categorias: reduo
esttica, reduo modal e reduo dinmica ou reduo exata. Os dois primeiros
grupos de tcnicas de reduo levam a solues aproximadas que satisfazem a maioria
dos casos, enquanto o terceiro grupo conserva o exato comportamento dinmico do
sistema, porm exige mtodos especiais para resolver o sistema.
Reviso dos trabalhos realizados neste tpico:
IRONS, B. (1965) introduziu a reduo esttica, onde a massa dos graus escravos
(slaves) era negligenciada.GUYAN, (1965) apresentou um mtodo de reduo esttica com muitas
modificaes e seu mtodo tem sido largamente utilizado em anlise estrutural. Este
mtodo leva a uma soluo aproximada.
KIDDER, (1973) apresentou uma expanso do mtodo (Guyan reduction),
introduz aproximaes associadas expanso do inverso da reduo, em srie de
Taylor
HENKHELL e ONG, (1975) apresentaram um mtodo para seleo automtica
dos graus de liberdade (master degrees of freedon) atravs do conceito de autovalor(SVD-Single value decomposition). Este mtodo apresentado como uma melhoria do
mtodo de Guyan, sendo, porm, muito til em reduo dinmica.
JOHNSON e CRAIG et all (1980) apresentaram uma variao do mtodo de
Guyan. Configura o problema como sendo de autovalor de um sistema de equaes de
segunda ordem. Este sistema mais acurado para a mesma faixa de freqncia.
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10
PAZ, (1984) apresentou um mtodo iterativo para clculo do autovalor de um
grande sistema, usando reduo dinmica. O eigenvalue solver requer matrizes de
coeficientes constantes.
VANCE, MURPHY et all, (1987) usaram teste modal para verificar resultados
analticos em diversos rotores.
HASSENPFKUG, (1988) desenvolveu um mtodo para criar modelos
matemticos a partir dos resultados modais. Neste enfoque alguns graus de liberdade
so selecionados e uma transformao modal inversa aplicada para gerar um modelo
matemtico de ordem reduzida em coordenadas fsicas.
LUND, (1994) revisou algumas tcnicas modais usadas na anlise rotodinmica.
Especial nfase foi dada ao clculo de sistemas amortecidos, a reduo modal e ao
clculo da matriz de resposta em freqncia, erroneamente chamada de matriz da
funo de transferncia.
BARRETT e ALLAIRE, (1988) usaram reduo dinmica dos coeficientes de um
mancal tilting pad reduzindo para 8 o nmero de coeficientes. Este paper usa o
mtodo de montagem das sapatas, para calcular os 8 coeficientes.
VAZQUEZ e ARRETT, (1998a) apresentaram um mtodo de representao de
mancal tilting pad, usando funo de transferncia para explicitar a reduo dinmica
dos graus de liberdade, expressando-os como taxa de polinmios.
VAZQUEZ e BARRETT,. (1998c) usaram um teste modal para verificar omodelo de rotor utilizado em seu trabalho, mostrando bons resultados nas freqncias
naturais e nos modos de vibrao. Expandiu-se esta anlise para quantificar diferenas
do modelo do rotor, na estabilidade e na resposta dinmica.
1.1.4 Histria Rotodinmica dos ltimos nos no BRASIL
A primeira bancada experimental construda na COPPE/UFRJ foi utilizada na
tese de mestrado "Balanceamento de Rotores Flexveis pelo Mtodo dos Coeficientes
de lnfluncia", de Alfonso Garcia Castro, em abril de 1986. Esta bancada serviu ainmeros trabalhos e at hoje se encontra em uso na UFRJ.
O primeiro trabalho analtico em rotodinmica, elaborado na COPPE / UFRJ, foi
a Tese de Mestrado de Adhemar Castilho, em 1983.
Na tese de Mestrado de Renato de Oliveira Rocha (1992), apresentada na
COPPE/UFRJ, so propostas a modelagem e a simulao de rotores utilizando o
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11
Mtodo dos Elementos Finitos.
RENATO, (1996) desenvolveram prottipos de sistema rotodinmico flexvel em
laboratrio, com a construo de modelos matemticos para a estrutura e para o rotor
em elementos finitos. Discutem mtodos para identificao de modelos matemticos.
Modelam o rotor e a estrutura usando programas de elementos finitos (com
identificao dos modelos e funo de Resposta em Freqncia). Discutem tcnicas de
reduo de modelos esttica e modal, aplicando sntese modal e truncamento modal.
Em 2000, Marcelo de Souza Murta apresentou sua tese de mestrado, intitulada
"Projeto, Construo e Avaliao Dinmica de Um Rotor Vertical Suportado em
Mancais Hidrodinmicos", COPPE / UFRJ.
MOHAMME, (2000) analisaram o processo de contato entre o rotor e o estator
em mquinas rotativas, objetivando melhorar a capacidade das mesmas de evitar o
roamento, bem como poder resistir ao mesmo nas circunstncias em que se tornem
inevitveis
Mais recentemente, em 2003, talo Mrcio Madeira apresentou na COPPE /
UFRJ, uma tese de mestrado cujo objetivo a modelagem em elementos finitos de
mquinas rotativas com efeitos no-lineares, orientado por ZINDELUK.MARCIO, (2004) discutem a utilizao de um excitador eletromagntico capaz de
excitar o conjunto rotativo em seus modos normais diretos e retrgrados. Modelam o
rotor atravs de elementos finitos e discutem o problema da instabilidade paramtrica,
usando para isto a equao de Mathieu (que no possui soluo analtica) e excitaoexperimental, na investigao de reas de estabilidade e instabilidade.
Em ATAYDE, J. P. e WEBER, H. I., (2006) discutida a dinmica de mquinas
rotativas em mancais hidrodinmicos, com a substituio de coeficientes dos mancais
obtidos pelos programas de clculo de mancais nos programas de rotodinmica.
Alm dos trabalhos comentados nos pargrafos anteriores, podem tambm ser
citados os seguintes trabalhos desenvolvidos por grupos de pesquisa em Rotodinmica
da USP, Universidade Federal deCampinas e Universidade Federal de Uberlndia:
- ZACHARIADIS, DC, Critical Speeds and Unbalance Response of a Jeffcott Rotor on
Angular Misaligned Hydrodynamic Bearings, In: SAE Brasil International Mobility Congress
and Exhibition, 2001, So Paulo, Brasil
- ZACHARIADIS, DC, Stability versus unbalance response of statically indeterminate rotors
supported on hydrodynamic journal bearings, In: IFToMM Sixth International Conference on
Rotor Dynamics, 2002, Sydney, Australia
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- ZACHARIADIS, DC, Unbalance Response of Statically Indeterminate Rotors Supported on
Hydrodynamic Journal Bearings: Use of the 32 Dynamic Coefficients Bearing Model, In:
International Conference on Noise and Vibration Engineering ISMA 2006, Leuven, Blgica
- ZACHARIADIS, DC, Unbalance Response of Rotors Supported on Hydrodynamic Bearings
Placed Close to Nodal Points of Excited Vibration Modes, ASME Journal of Engineering forGas Turbines and Power, USA, v. 128, n. 3, p. 661-669, 2006.
- CAVALCA, KL e LINS, HQ, Dynamic analysis of horizontal rotating mahinery, In: Sae
Technical Papers, USA, v. 1, n. 1, p. 1-10, 1999
- CAVALCA, KL e CAVALCANTE, PF, Estudo da Interao entre rotores e estrutura de
suporte, In: 9o Congreso Chileno de Engenharia Mecnica, COCIM-CONAE, Valparaiso,
Chile, v. 1. p. 1-7, 2000
- CAVALCA, KL e SBRAVATI, A, Dynamic Analysis of Flexible Gear Coupling Efforts in
Rotating Machinery, SAE Technical Papers, USA, v. 1, n. 1, p. 1-12, 2002
- CAVALCA, KL e CAVALCANTE. An experimental analysis of rotors on flexible structure,
In: Sixth IFToMM 2002 - International Conference on Rotor Dynamics, Sydney, Autralia, v. 1.
p. 531-538, 2002
- CAVALCA, KL, CAVALCANTE, PF e OKABE, EP, An investigation on the influence of
the supporting structure on the dynamics of the rotor system, In: Mechanical Systems And
Signal Processing, UK, v. 19, n. 1, p. 157-174, 2006.
- CAVALCA, KL, CASTRO, HF e NORDMANN, R, Rotor-bearing system instabilities
considering a non-linear hydrodynamic model. In: IFToMM2006 - Proceedings 7th
International Conference on Rotordynamics, Vienna, v. 1. p. 1-10, 2006- CAVALCA, KL, OKABE, EP, Rotordynamic analysis of systems with a non-linear model of
tilting-pad bearings. In: IFToMM2006- Proceedings 7th International Conference on Rotor
Dynamics, Vienna, v. 1. p. 21-30, 2006
- SALDARRIAGA, MRV e STEFFEN JR, V, Modelagem de Rotores flexveis montados sobre
Suportes Viscoelsticos, In: III National Congress of Mechanical Engineering CONEM
Belm, Brasil, 2004
- Tese de doutorado: Eduardo Paiva Okabe - Interao Rotor-Estrutura: Modelo Terico-
Experimental. 2007, Universidade Estadual de Campinas - UniCamp, orientador: Katia
Lucchesi Cavalca Dedini
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1.1.5 Rotodinmica nos ltimos 10 Anos no Mundo
A disciplina Rotodinmica hoje considerada uma cincia madura, onde os
conhecimentos esto bem consolidados e em fase de otimizao. Mesmo dentro desta
realidade, constatamos que a comunidade cientfica mundial tem optado por trilhar
alguns caminhos particulares, esquecendo-se, em alguns casos, de investigar outras
opes de pesquisa. Neste contesto, esta Tese prope uma nova alternativa de soluo
de sistemas giroscpicos conservativos.
A conseqncia natural desta realidade, que o nmero de trabalhos em
rotodinmica vem declinando e dando lugar a outros enfoques, como o caso das
suspenses com mancais magnticos e das investigaes em suportes flexveis. Dentro
desta percepo, apresentaremos alguns trabalhos recentemente escritos sobre esta
disciplina, atravs da apresentao de alguns artigos mais recentesNICHOLAS et all, (2000) propem um mtodo para introduo da flexibilidade
do mancal nos clculos rotodinmicos, usando para isso anlise modal experimental,
levantando a funo compliance de resposta em freqncia (inverso da rigidez
dinmica) e corrigindo, desta forma, os valores calculados para a velocidade crtica em
base inercial.
SAWICKI e GENTA (2001), propem um enfoque diferente e particular para
desacoplar os sistemas de equaes de movimento (rotodinmicos), sem contudo fugir
da soluo do problema de autovalor, empregando matrizes 2n 2n.KASARDA e MENDONZA, 2003, apresentam um mecanismo para controlar
vibraes sub-sncronas atravs de amortecimento ativo de mancais magnticos.
Apresenta tambm resultados reduzindo as amplitudes de vibrao crticas.
HU, FENG, et all (2004), discutem a sensibilidade da resposta em posio do
centro das rbitas dos mancais de turbomquinas em funo da metodologia empregada
nos clculos hidrodinmicos.
HENNIN e INGOLSTAD, (2005), discutem a viabilidade das tcnicas de
otimizao de medidas de vibrao para caracterizar trincas em eixos deturbomquinas. Usa elementos finitos e o enfoque das foras modais no avano das
trincas. Usa algoritmo de otimizao global para identificao das trincas.
Como referncia adicional, podemos citar os seguintes trabalhos:
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Artigos: Rotordynamics
CONF Ano Ttulo Autores
ASMEBiennial
1999 Use of the Campbell Diagram inRotordynamics
Lalanne, M.; Ferraris, G.
ASMEBiennial
2001 Jorgen Lund: A Perspective on HisContributions to ModernRotordynamics (Invited Paper)
Anthony J. Smalley, SouthwestResearch Institute
ASMEBiennial
2001 Rotordynamics Involving AxialRubbing Against a Disk
Dara W. Childs and Nameer A.Siddiqui, Texas A & M University
IGTI 1996 Experience in Full Load TestingNatural Gas CentrifugalCompressors For RotordynamicsImprovements
Alain Gelin, Jean-Marc Pugnet,Daniel Bolusset, Patrick Friez,FRAMATOME DivisionTHERMODYN, Le Creusot,France
IGTI 1997 Rotordynamics Modeling for anActively Controlled MagneticBearing Gas Turbine Engine
B.M. Antkowiak, The Charles StarkDraper Laboratory, Inc.,Cambridge, MA, USA; F.C.Nelson, College of Engineering,Tufts University, Medford, MA,USA
IGTI 2000 A New CFD-Perturbation Model forthe Rotordynamics ofIncompressible Flow Seals
Namhyo Kim, David H. Rhode,Texas A&M University, CollegeStation, TX, USA
IGTI 2001 Finite Element and Transfer MatrixMethods for Rotordynamics - AComparison
Jorgen L. Nikolajsen, StaffordshireUniversity, Stafford, England
IGTI 2001 Predicted Effects of Shunt Injectionon the Rotordynamics of GasLabyrinth Seals
Namhyo Kim, WeatherfordInternational, Inc., Houston, TX,USA; Sung-Young Park, David L.Rhode, Texas A&M University,College Station, TX, USA
IGTI 2001 Experimental Evaluation of HybridDamper Seals with Brush Elements
- Effect of the Bristles on PowerDissipation and Rotordynamics
Steven E. Buchanan,Schlumberger, Rosharon, TX,
USA; John M. Vance, Texas A&MUniversity, College Station, TX,USA
IMechE 2000 Rotordynamics and leakage -measurements and calculations onlabyrinth gas seals and theirapplication to large turbomachinery
J Sobotzik, R Nordmann, F Hip,and K Kwanka
ISCORMA
2001 Rotordynamics and DDM DesignSensitivity Analysis of an APU GasTurbine Having a Spline ShaftConnection
A. S. Lee, J. W. Ha
ISCORMA
2001 Fact and Fallacy in LinearRotordynamics Analysis
A. Caldwell
ISMB 1996 Experimental Verification of
Magnetic Bearing SystemRotordynamics Code
Urednicek, M., Bear, C.
ISMB 2000 Noncolocation Effects on RigidBody Rotordynamics of Rotors onAMB
Giancarlo Genta, StefanoCarabelli, Politecnico di Torino,Italy
ISROMAC
1996 Studies in SpontaneousSidebanding in Rotordynamics
Fredric Ehrich
ISROMAC
1996 System Rotordynamics ModelBased on a Hybrid Composition ofthe Global Deformation
Jorg Wauer
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ISROMAC
1996 Rotordynamics on the pc: TransientAnalysis with ARDS
David P. Fleming
ISROMAC
1998 Rotordynamics on the PC: FurtherCapabilities of ARDS
D. P. Fleming
TAMUPump
Show
1998 Pump Rotordynamics Made Simple Mark A. Corbo, Stanley B.Malanoski
TAMUTurboShow
1997 Annular Gas Seals AndRotordynamics Of CompressorsAnd Turbines
Dara W. Childs, Leland T. Jordan,John M. Vance
TAMUTurboShow
2000 Designing High Performance SteamTurbines with Rotordynamics as aPrime Consideration
Stephen L. Edney, George M.Lucas
IFToMM 2002 Practical applications of singularvalue decomposition inrotordynamics
Cloud CH, Foiles WC, Li G,Maslen EH and Barrett LE
IFToMM 2002 Rotordynamics of turbomachinery... looking back ... looking forward
Childs DW
ISROMAC
2002 Determination of RotordynamicsParameters for the Jeffcott Rotor-
bearing Model
A Antonio-Garca, J Gmez-Mancilla, V V Kucherenko
ISROMAC
2002 Non-linear Rotordynamics:Computational Strategies
T J Chalko
ISROMAC
2002 Enhanced Rotordynamics for HighPower Cryogenic TurbineGenerators
J V Madison
IGTI 2003 CFD Determination of Pre-ChamberFlow Pertubation Inlet BoundaryConditions for Seal RotordynamicsModels
David L. Rhode, Texas A & MUniversity, United States; GaneshVenkatesan, Adapco, India
ASMEBiennial
2003 Rotordynamics Analysis:Experimental and NumericalInvestigations
Jean-Jacques Sinou, DavidDemally, Cristiano Villa, FabriceThouverez, Michel Massenzio,Franck Laurant
ISCORMA
2003 Numerical Modelling and Simulationin Rotordynamics
G. Genta
ISCORMA
2003 Non-Axisymmetrical 3D Element forFEM Rotordynamics
M. Silvagni, G. Genta, and A.Tonoli
IGTI 2004 Squeeze-Film Damper Predictionsfor Simulation of Aircraft EngineRotordynamics
Cyril Defaye,FranckLaurant;Philippe Carpentier;MihaiArghir,Olivier Bonneau;SamuelColboc
IMechE 2004 Rotordynamics of turbine labyrinthseals a comparison of CFDmodels to experiments
J Schettel and R Nordmann
IMechE 2004 Integrating experimental tests androtordynamics analysis for solvingvibration problems on geothermal
turbogenerator sets
L Gregori, G A Zanetta, D Lucci,and C Lupetti
IMechE 2004 Parametric characterization of rubinduced whirl instability using aninstrumented rotordynamics test rig
R J Williams
ISCORMA
2005 ROTORDYNAMICS SIGNATUREFOR EMBEDDED SYSTEM
Carabelli, S., Macchi, P., Silvagni,M., Tonoli, A., Visconti, M.
ISCORMA
2005 THE BEAUTY OFROTORDYNAMICS
Genta, G.
ISCORMA 2005 SOME CONSIDERATIONS ON Genta, G., Silvagni, M.
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CYCLIC SYMMETRY INROTORDYNAMICS
ASMEBiennial
2005 Structural Finite Element Modelingof Electromechanical Interaction inRotordynamics of ElectricalMachines
Antti Laiho, Helsinki University ofTechnology, Espoo, Espoo,Finland, Timo P. Holopainen, ABBElectrical Machines, Helsinki,
Finland, Paul Klinge, VTTIndustrial Systems, Helsinki,Finland, Antero Arkkio, Laboratoryof Electromechanics, Helsinki,Finland
IGTI 2005 Nonlinear Rotordynamics ofAutomotive Turbochargers:Predictions and Comparisons toTest Data
Luis San Andrs, Juan CarlosRivadeneira, Murali Chinta,Kostandin Gjika, and Gerry LaRue
IGTI 2005 Mechanism and Impact of DamperSeal Clearance Divergence on theRotordynamics of CentrifugalCompressors
Thom M. Eldridge and Thomas A.Soulas
Artigos: rotor instability
CONF Ano Ttulo Autores
ASMEBiennial
1997 Rotor Instability Due to CoupledEffect of Lateral and TorsionalModes and Improper BearingDesign
Yatao Zhang and Jari Nyqvist,ABB STAL
ASMEBiennial
2001 Some Unusual Cases of RotorInstability (Invited Paper)
Karl-Olof Olsson, LinkpingUniversity, Sweden
ASMEBiennial
2001 Theoretical Study on InstabilityBoundary of Rotor-HydrodynamicBearing Systems: Part I- JeffcottRotor with External Damping
Zenglin Guo and R. Gordon Kirk,Virginia Polytechnic Institute andState University
ASMEBiennial 2001 Theoretical Study on InstabilityBoundary of Rotor-HydrodynamicBearing Systems: Part II- Rotor withExternal Flexible Damped Support
Zenglin Guo and R. Gordon Kirk,Virginia Polytechnic Institute andState University
IGTI 1997 Rotordynamic Instability from anAnti-Swirl Device
John Vance, Texas A&MUniversity, College Station, TX,USA; Steven B. Handy, CastrolNorth America, Inc., Piscataway,NJ, USA
IGTI 1998 Identification of the IntermittentSynchronous Instability in a HighPerformance Steam Turbine RotorDue to Deteriorated LabyrinthSeals
Inam U. Haq, Rayed M. Al-Zaid,SABIC Research & Development,Jubail, Saudi Arabia; Chittineni V.Kumar, Al-Jubail FertilizerCompany, Jubail, Saudi Arabia
IGTI 2000 Instability of an Over-Hung RigidCentrifuge Rotor Partially Filled withFluid
Zhu Changsheng, ZhejiangUniversity, Zhejiang, China; H.Ulbrich, University of Essen,Essen, Germany
IMechE 1996 Simulations and experiments of thenon-linear hysteresis loop for rotor-bearing instability
Maurice L Adams, Michael LAdams, and J-S Guo
IMechE 2000 Thermal distortion synchronousrotor instability
R G Kirk and A C Balbahadur
ISCORMA 2001 Effect of Interference Fits on J. M. Vance, D. Ying
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Threshold Speeds of RotordynamicInstability
ISROMAC 1998 Transition to Fluid-Induced LimitCycle Self-Excited Vibrations of aRotor and Instability ThresholdHysteresis
A. Muszynska
TAMUTurboShow
1998 Application of a Heat Barrier Sleeveto Prevent Synchronous RotorInstability
Frits M. de Jongh, Pieter van derHoeven
TAMUTurboShow
1999 Unexpected RotordynamicInstability in a "Proven" FCC WetGas Compressor
Ed Wilcox
TAMUTurboShow
2001 Rotor Instability Problems in anIntegrally Geared CompressorSupported by Tilting Pad Bearings
Peter M. Gruntfest, Leo Andronis,William D. Marscher
IGTI 2002 Seal and Bearing Upgrade forEliminating Rotor InstabilityVibration in a High Pressure NaturalGas Compressor
Jiming Li, Pranabesh DeChoudhury, Elliott Company,Jeannette, PA, USA; RogerioTacques, Petrobras S/A, Rio deJaneiro, BRAZIL
IFToMM 2002 Electromagnetic circulatory forcesand rotordynamic instability inelectric machines
Holopainen TP, Tenhunen A andArkkio A
IFToMM 2002 Instability and control of a cantileverrotor supported on MR fluid damperand sliding bearing
Wang J and Meng G
IFToMM 2002 Part I Theoretical model for asynchronous thermal instabilityoperating in overhung rotors
Balbahadur AC and Kirk RG
IFToMM 2002 Part II Case studies for asynchronous thermal instabilityoperating in overhung rotors
Balbahadur AC and Kirk RG
ISROMAC 2002 Darmstadt Rotor No. 2-Part V:Experimental Investigation of the
Instability Behaviour of an Aft-sweptTransonic Compressor Rotor
S Wagner, S Kablitz, D KHennecke, U Schmidt-Elsenlohr
TAMUTurboShow
2003 Synchronous Thermal InstabilityPrediction for Overhung Rotors
R. Gordon Kirk, Zenglin Guo,Avinash C. Balbahadur
ISCORMA 2003 Instability Induced by Iron Losses inRotor-Active Magnetic BearingSystem
N. Takahashi, M. Hiroshima, H.Miura, and Y. Fukushima
IMechE 2004 Experiments and modelling of athree-bearing flexible rotor forunbalance response and instabilitythresholds
M L Adams and A H Falah
IMechE 2004 Parametric characterization of rubinduced whirl instability using an
instrumented rotordynamics test rig
R J Williams
ISCORMA 2005 APPLICATION OF ROTORDYNAMIC ANALYSIS FOREVALUATION OFSYNCHRONOUS SPEEDINSTABILITY AND AMPLITUDEHYSTERESIS AT 2ND MODE FORA GENERATOR ROTOR IN AHIGH-SPEED BALANCING
Lvov, M. M., Gunter, E. J.
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FACILITY
ISCORMA 2005 EXPERIMENTS AND ANALYSISFOR A COMMON CASE OFCRACKED ROTORS INSTABILITYAIDING ITS DETECTION
Gmez-Mancilla, J., Machorro-Lpez, J.
ISMB 2006 Thermally Induced Synchronous
Vibration Instability in a MagneticBearing Supported HighspeedRotor
Naohiko Takahashi, Haruo Miura
and Yasuo Fukushima, HitachiPlant Technologies, Ltd., Japan.
IFToMM 2006 Investigation of a RotordynamicInstability in a High PressureCentrifugal Compressor Due toDamper Seal ClearanceDivergence
J.J. Moore*, Southwest ResearchInstitute, USA; M. Camatti, GE Oil& Gas, Italy; A.J. Smalley, TonySmalley Consulting, LLC, USA; G.Vannini, GE Oil & Gas, Italy; L.L.Vermin, Shell PetroleumDevelopment Co. of Nigeria, Ltd.,Nigeria
IFToMM 2006 Swirl Breaking Devices and TheirEffectiveness in Reducing RotorInstability
R. Subbiah*, V. Choudhry,Siemens Power Generation Inc.,USA
Artigos: coupling gyroscopic
CONF Ano Ttulo Autores
IFToMM 1998 Coupling of elastic and gyroscopic modes of rotatingdisc structures
F. Reuter
1.2 Diretrizes Utilizadas na Construo do Conhecimento
1.2.1 Foco da tese
Esta Dissertao tem seu foco principal na discusso de problemas dinmicos,
associados compreenso e estabelecimento das equaes de movimento do rotor.
Embora este conhecimento esteja difundido (na literatura) de forma pulverizada,
de tal forma que os conceitos aqui apresentados sejam no evidentes, neste trabalho
feito um esforo indito de compilao deste conhecimento, no sentido da aderncia
dos modelos matemticos utilizados realidade fsica do rotor real.
O mtodo utilizado nesta tese para o esclarecimento das questes associadas a
Rotodinmica, a sucessiva apresentao, equacionamento e soluo destes modelos,
em ordem crescente de complexidade.
Inicialmente, o nvel de abstrao dos modelos matemticos apresentados
pequeno. Este nvel de abstrao vai sendo ampliado atravs de sucessivas abordagens,
sem a perda de seu significado fsico, importante aspecto deste trabalho, o qual
constantemente trazido para a discusso.
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Nos captulos II, III e IV so discutidas, at ao limite, as possibilidades de
representao da cincia Rotodinmica, dentro de uma modelao que utilize a teoria
do contnuo.
Nestes captulos podemos identificar que esta abordagem muita rica de
significado fsico, apesar de seu elevado nvel de abstrao, permitindo o crescimento
balanceado da capacidade de simulao, enquanto desenvolve-se uma importante
compreenso dos fenmenos fsicos associados a esta disciplina.
Entretanto esta abordagem experimenta restries crescentes em complexidade
matemtica, bem como uma crescente dificuldade de resoluo dos problemas
numricos associados soluo da equao diferencial de movimento. Os simuladores
at aqui desenvolvidos so excessivamente tericos e no so capazes de retratar um
rotor real (praticamente esgotando as possibilidades atualmente disponveis para a
representao destes rotores).
Neste contexto surge a possibilidade do tratamento destes modelos fsicos com o
uso de tcnicas discretas de modelao, as quais trabalham com nveis de abstrao
muito superiores e que, por isto mesmo, dificultam a compreeno fsica do problema.
Dificultam portanto, a capacidade de representao dos conceitos mecnicos, to
necessrios ao completo entendimento destas questes.
Dentre as tcnicas discretas de modelao matemtica dos rotores reais, a tcnica
de elementos finitos tem se mostrado, nos ltimos anos, a mais adequada para otratamento global das questes rotodinmicas, no s pela sua ilimitada capacidade de
retratar os rotores reais (como veremos no Captulo V), como tambm pelas
possibilidades que oferece na simplificao das solues.
Podemos ainda complementar esta idia dizendo que a experincia tem
comprovado que a melhor forma de resolver os complicados sistemas de equaes de
movimento axial, torcional e lateral, atravs do Mtodo de Elementos Finitos, o qual
permite fcil formulao de suas matrizes de massa, rigidez e amortecimento.
No Captulo V feito um trabalho cuidadoso de deduo das matrizes de rigidez,inrcia e giroscpica, dentro da teoria de elementos finitos, usando para isto a equao
de Lagrange. ainda apresentado grande conjunto de mtodos para soluo das
equaes de movimento, dos sistemas dinmicos, em diversos cenrios reais.
Ainda no Captulo V desenvolvido um mtodo novo para soluo de sistemas
giroscpicos conservativos (caractersticos de sistemas giroscpios de elevada rotao),
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mtodo este que viabiliza o desacoplamento das equaes diferenciais do movimento
destes sistemas, com o emprego dos autovetores da matriz giroscpica.
Este mtodo para soluo de sistemas de equaes de movimento fundamentado
em uma propriedade particular dos autovetores giroscpicos, segundo a qual estes
autovetores so capazes de desacoplar as equaes de movimento de um sistema
giroscpico conservativo.
A demonstrao desta propriedade feita inicialmente para um modelo contnuo,
atravs da demonstrao da propriedade dos autovetores adjuntos da matriz
giroscpica, de desacoplar as equaes de movimento do sistema giroscpico
conservativo. Posteriormente prova-se que estes autovetores desacoplam as matrizes de
massa e rigidez de um sistema n x n, em n/2 sistemas independentes de equaes
duplas.
Esta prova posteriormente complementada (por analogia), fazendo-se uso da
formulao da teoria do contnuo, como poder ser visto no Captulo V.
O carter inedito desta metodologia fortalecido atravs de pesquisa bibliogrfica
realizada pela Biblioteca Central da Petrobras.
No Capitulo VI discutido o problema conhecido como instabilidade
rotodinmca de uma forma precisa, abrangente e profunda.
No Captulo VII apresentado o primeiro exemplo rotodinmico, no qual
simulado um rotor real, de uma das refinarias da Petrobras, para efeito deexemplificao da tecnologia discutida, sendo apresentado sob a forma de um exerccio
completo.
No Captulo VIII desta tese discutido o segundo exemplo rotodinmico. Neste a
tecnologia de integrao de um rotor real sua estrutura de suporte real, que flexvel
(segundo exemplo rotodinmico). A estrutura simulada atravs de um modelo de
elementos finitos e representativa de sistemas existentes em plataforma off-shore, asa
de avio, submarino, etc. Este objetivo alcanado atravs da discusso de um caso
real de um problema ocorrido nas instalaes da Petrobras.A tecnologia discutida no Captulo VIII nova e de propriedade exclusiva do
ROMAC, no tendo sido possvel uma pesquisa mais profunda e a completa
explicitao da sua metodologia, que est parcialmente aqui apresentada.
Esta metodologia foi usada na soluo de um complexo problema de vibrao,
ligado ao projeto inadequado do sistema de suportao de um compressor de amnia,
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localizado em uma das plantas de fertilizantes da Petrobras. Este trabalho foi discutido
em artigo elaborado por ALLAIRE, ROCKWELL, CASTILHO ET ALL (2005).
Este mtodo de anlise foi desenvolvida pelo Consrcio Multi-Cliente ROMAC
(Rotating Machinery Research Industrial Program - Virginia University) sob superviso
do Professor Paul E. Allaire. A Petrobras faz parte deste consrcio desde 1986 e
participou deste projeto, sendo representada pelo autor desta tese.
Essa tecnologia capaz de superar as limitaes impostas pelos mtodos
atualmente utilizados, os quais so muito dependentes da percepo humana. Neste
caso particular, todas as tentativas de soluo do problema, realizadas ao longo de vinte
anos de funcionamento desta planta foram frustradas. A tecnologia do ROMAC
permitiu a obteno de resultados precisos atravs de um prottipo virtual, com a
utilizao dos programas de computador normalmente utilizados no ROMAC.
A correta simulao da interao rotor/estrutura e mancais necessria e essencial
para representao do rotor real, viabilizando a idia de um prottipo virtual. A
construo deste prottipo foi decisiva para a obteno dos bons resultados obtidos.
O pioneirismo desta tecnologia fica evidenciado a partir de reunio realizada em
17 de agosto de 2006, entre os Consultores da Universidade de Virginia com os
Consultores da Boeing, assessorados por Consultores do Nastran (consrcio
Boeing/Nastran). No aludido encontro, a Boeing apresentou seu desenvolvimento
conjunto Boeing/Nastran para simulao da interao rotodinmica de suas turbinas ags com a estrutura da asa de seus avies. Nesta reunio ficou evidente a dificuldade,
por parte do consrcio Boeing/Nastran, da representao precisa dos efeitos de rigidez
cruzada e do amortecimento real dos mancais. Esta reunio objetivou a implementao
da nova tecnologia, discutida no Captulo VIII, nos cdigos dos programas
desenvolvidos pelo consrcio Boeing/Nastran.
Essa dissertao tambm representa o fechamento de todo um esforo pessoal de
pesquisa (durante mais vinte anos), objetivando a compreenso global dos fenmenos
vibratrios em turbomquinas, notadamente aqueles comportamentos complexos quesurgem quando colocamos uma turbomquina em suportes flexveis.
Essa tese tambm caracteriza um esforo de transferncia de tecnologia, j que
este conhecimento no est ainda ao alcance de nossos tcnicos.
Tal tecnologia est alicerada em um trip tecnolgico, representado por uma boa
capacidade de simulao de mancais hidrodinmicos, associada a uma boa capacidade
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de simulao rotodinmica e complementada com a ajuda de programas como o
ANSYS, o Nastran e outros, para simulao da estrutura de suportao.
A partir deste trabalho, um completo roteiro de simulao dinmica da interao
rotorestrutura fica disponibilizado, bem como a tecnologia que viabiliza a construo
do prottipo virtual, conforme mostrado no Captulo VIII.
Este trip tecnolgico promove o consrcio ROMAC categoria de Centro de
Excelncia Mundial em simulao e estudos dos fenmenos dinmicos associados
interao de rotores com a sua estrutura de suportao.
Esta tese encontra sua motivao na vontade que a Petrobras tem de conhecer e
dominar todos os processos tecnolgicos dentro daquelas reas consideradas por ela
estratgicas. Turbomquinas so classificadas como equipamentos estratgicos.
Aps a soluo de um complexo problema de vibrao em um de seus
compressores, problema esse que exigiu grande esforo cientfico para sua soluo, a
Petrobras decidiu investir na direo da maior compreenso desta tecnologia.
O estudo de caso denominado rotodinmico 2, no Captulo VIII, pretende
registrar todo o conhecimento adquirido neste intercmbio, destacando as novas
experincias cientfico-tecnolgicas realizadas pelos pesquisadores da Universidade de
Virginia, no processo de identificao da causa bsica deste problema.
Objetivando a compreenso do conhecimento, esta tese discute diversos aspectos
importantes no universo das vibraes de turbomquinas. Entre estes aspectosdestacamos os temas:
1) identificao das Freqncias Naturais;
2) determinao da Resposta Dinmica;
3) compreenso do Fenmeno de Instabilidade Rotodinmica,
4) apresentao de exemplos reais de modelao matemtica, aplicado a simulao de
rotores de turbomquinas (Captulo VII) e da interao rotor-estrutura (Captulo VIII).
1.2.2 Apresentao dos Captulos: Corpo da Tese
No Captulo II discutido o movimento de um rotor/giroscpico em balano
atravs de um modelo de dois graus de liberdade e que tem a finalidade de introduzir
alguns conceitos fsicos inerentes a esta tecnologia, tal como os conceitos de rotao e
precesso do eixo rotativo.
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No Captulo III o mesmo problema equacionado e resolvido, agora j com uma
abordagem contnua, a qual j exige um nvel mais elevado de abstrao. O modelo da
FIG-1.1 j aparece com uma representao esquemtica diferente na FIG-1.2. A Lei de
Newton usada para equacionar o problema que resolvido com ajuda de uma
matemtica mais elaborada.
A soluo da equao diferencial que governa este movimento (sendo o disco e as
molas introduzidos como condio de contorno) traz uma importante compreenso da
participao do efeito giroscpico no clculo das freqncias naturais e dos modos
naturais de vibrao, bem como caracteriza, de forma inequvoca, a independncia
linear dos autovetores giroscpicos, em um sistema giroscpico conservativo.
Ainda no Captulo III, e com o mesmo enfoque usado no equacionamento do
problema anterior, deduzida a equao de movimento do rotor bi-apoiado mostrado
esquematicamente na figura FIG-1.3.
FIG. 1.1 - ROTOR GIROSCPIO EM BALANO, 2 GL
O disco giroscpico ento introduzido dentro da equao diferencial de
movimento com a ajuda da funo Delta de Dirac. A independncia linear dos
autovetores giroscpicos deste novo sistema fica assegurada mesmo com a introduo
do disco na equao diferencial de movimento.
No Captulo IV o rotor bi-apoiado equacionado com a ajuda do Princpio
Variacional (Hamilton), agora com a introduo de mais discos e com molas na posio
dos mancais, conforme mostrado esquematicamente na FIG-1.4.
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FIG 1.2 - ROTOR CONTNUO EM BALANO.
Esta abordagem discute o problema anterior de uma forma bem mais abstrata,
procurando eliminar dvidas que foram levantadas durante o equacionamento do
problema anterior, relativas ao sinal do efeito giroscpico dentro da equao de
movimento. PRODONOFF, V., CASTILHO, (1989 ). A independncia linear dos
autovetores giroscpicos, tambm aqui, fica assegurada.
FIG 1.3 - ROTOR ESQUEMTICO BI - SUPORTADO.
Neste ponto fica evidente a limitao da abordagem contnua na simulao dosrotores reais, na medida em que esta abordagem incapaz de atender a complexidade
geomtrica e a multiplicidade dos detalhes existentes em rotores da vida real e que
esto esquematicamente representados na FIG-1.5
FIG 1.4 - ROTOR ESQUEMTICO SUPORTADO POR MOLA
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No Captulo V introd uzido o equacionamento do movimento do rotor com o
auxilio da tcnica de Elementos Finitos. A utilizao do Princpio Variacionaes no
processo de equacionamento do movimento do rotor admite uma capacidade muito
superior de representao das particularidades geomtricas de um rotor da vida real.
interessante regist