Apostila elaborada para Disciplina de Ajustamento Geodésico, tomando como
embasamento materiais diversos extraídos da apostila do Professor Dr. Nilton Ricetti Xavier de
Nazareno, adaptados por Dr. Sandro Luciano Barreto Fensterseifer.
CAPITULO 1:
1- INTRODUÇÃO:
O processo de tomada de informações está sujeito a imperfeições seja pelo fator
humano, técnico ou instrumental, a influência de fatores externos que em grande parte
são difíceis ou improváveis de serem controlados causam variações pseudoaleatórias
que determinam muitas vezes uma inconsistência de resultados, erros de observações.
Realizar a tomada de mais medidas que sejam representativas da população para
ter garantias sobre o valor encontrado é uma solução muitas vezes paliativas, mas que
na grande maioria das situações minimiza o erro, isto quando temos medidas de uma
única grandeza como, distâncias ou ângulos, a média é uma boa solução.
Quando temos grandezas diferentes e que se relacionam através de uma função
matemática, a solução não é tão imediata e deve-se inferir técnicas matemáticas mais
complexas como equações de regressão.
IMPORTANTE - Somente o valor da grandeza não é suficiente, necessitamos o grau
de confiança no valor obtido. Isto é proporcionado pela estimativa de precisão da
medida que é numericamente igual ao desvio-padrão.
Exemplo 1: - Transporte de coordenadas, onde determina-se as coordenadas de um
ponto P a partir de um ponto de controle E com coordenadas conhecidas, distância entre
a estação e o ponto, e o azimute da direção estação-ponto:
Para resolver são necessárias duas observações, a distância e o Azimute, a solução é
única. Introduzindo mais uma estação E2, a solução é dada por:
Temos uma equação paralela onde:
X2 = X1 + d1-2 * Sen Az
Y2 = Y1 + d1-2 * Cos Az
Se obtivéssemos medidas idênticas, qualquer soluções levaria ao mesmo
resultado, a solução adotada para minimizar é a média.
Ocorre muitas vezes na prática que cada uma das estações mediu-se com
equipamentos com precisões e operadores diferentes. Qual das soluções é a mais
correta? As técnicas de ajustamentos são importantes porque permitem que se
equacionem todas as nuances do problema.
Exemplo 1: Temos um ponto de coordenadas UTM conhecido como 265694 E e
6974659 S, apresentando um rumo de 340 43´ 56´´ SO, e apresenta uma distância de
14,56 cm em uma carta na escala 1:15.000, determine este novo ponto utilizando-se do
angulo interno e externo do azimute.
Quando tratamos com dados contemplamos três teorias básicas de inter-relação
causal temporal estabelecidas:
Determinista - Estamos certos de que vai ocorrer aquele erro porque a precisão do
equipamento só atinge um determinado parâmetro de precisão.
Casualista - Em função de fatores não controláveis, casualidade vamos ter um erro de
difícil detecção e controle por ser pseudo-aleatórios.
Caos. Semelhante a casualista porem com fatores de influência exógenos com relações
infinitamente relacionadas.
Redundância: número de medidas a mais do que as necessárias para se obter a solução.
“Ajustamento é o ramo da matemática aplicada que tem por objetivo a solução única para problemas onde:
a) o número de observações (ou medidas) é redundante.b) o sistema de equações inconsistente.c) a precisão da solução adotada é inconsistente ” Camargo (2000).
Inconsistência: diferentes soluções que se obtêm quando o número de observações
excede o de incógnitas.
Como exemplo de um problema de ajustamento temos uma rede de nivelamento onde
Lb1, Lb2 .. Lb12 são os desníveis medidos nas linhas de nivelamento independentes.
Para se determinar o desnível entre o ponto P e a RN existem n formas.
Temos n possibilidades de solução, a probabilidade de cada uma delas gerar uma
resposta diferente é muito grande.
O processo de ajustamento neste caso vai possibilitar que independentemente da
solução adotada a resposta será única, sendo possível:
a- detectar a presença de erros grosseiros em um conjunto de observações.
b- efetuar o planejamento da coleta de dados.
c- saber, a priori, se atenderão as prescrições estabelecidas.
2- OBSERVAÇÃO -
Conforme Camargo (2000), refere-se à operação e resultado da operação de
dados. O valor numérico é submetido ao instrumento de análise e manipulação.
Quando trabalhamos com medidas estas apresentam algumas considerações
fundamentais:
a- Medir significa realizar uma operação física, consiste de operações; tais como:
preparação, calibração, pontaria, leitura, etc.;
b- O resultado do processo representa a medida;
c- A não ser na contagem de certos eventos, a medida é sempre realizada com auxílio
de instrumentos; Medidas diretas e indiretas na topografia.
d- Esta referenciadas a um padrão estabelecidos por convenção, tendo dimensão e
unidade;
e- A medida é uma abstração geométrica não têm equivalente direto na natureza física.
permite descrever certos elementos da natureza, como localização, área e etc.
Para descrever certos elementos da natureza é necessário utilizar modelos, como
da forma da Terra, esfera ou o elipsóide de revolução.
No caso do ajustamento, o modelo que interessa é o matemático que relaciona as
medidas efetuadas com as grandezas procuradas, como equações que unem a distância e
o azimute com as coordenadas do ponto.
3- Modelo Matemático-
Sistema teórico ou abstrato que descreve uma situação física ou uma série de
eventos, não necessita explicar totalmente a situação física, mas relacionar somente os
aspectos, ou propriedades de interesse.
Costuma-se dividir o modelo matemático em funcional e estocástico.
- Funcional constitui a parte determinística da realidade física.
Exemplo determinação das coordenadas de um ponto a partir da distância e do
azimute. Esse modelo funcional é do tipo geométrico, como a maioria dos modelos
adotados na área de geomática.
-Estocástico descreve as propriedades estatísticas das observações, aborda a
variabilidade dos resultados oriundos de influências físicas que não podem ser
controladas, da falibilidade humana e das imperfeições dos instrumentos de medida, no
ajustamento ambos são abordados de forma conjunta.
4- Propriedade dos Erros
Observações são representações numéricas de quantidades físicas como
comprimento, ângulo, peso, entre outras, são obtidas através de medidas, e possuem
erros de observações, relacionados à falibilidade humana, à imperfeição dos
equipamentos e as condições ambientais.
4.1 - Classificação dos erros:
a) Erros grosseiros – quando o valor medido extrapola a três vezes o valor do desvio padrão
da medida, normalmente de fácil detecção, associado à desatenção do operador.
b) Erros sistemáticos – valor medido é acrescido ou diminuído de uma quantidade constante,
possuem causas conhecidas e podem ser evitados ou minimizados por técnicas de observação
ou por formulações matemáticas.
c) Erros aleatório – existe uma flutuação do valor medido ao redor de um valor dito médio,
conhecido como acidentais, estocástico ou randômico não tem causa conhecido e está
intimamente ligado as propriedades estatísticas das observações.
Para realizarmos o ajustamento é necessário que não existam erros grosseiros e
sistemáticos, os aleatórios são modelados pelo processo de ajustamento e distribuídos por
Gauss em 1795 e Legendre em 1805, denominado método dos mínimos quadrados
(M.M.Q.).
Segundo Gemael (1994), quando o número de observações cresce, os erros
aleatórios tendem a ter um comportamento regular, de modo que a distribuição de
freqüência dos erros se aproxima muito da distribuição normal (curva de Gauss).
Bradley através determinações da ascensão reta do Sol, verificou que ao retirar as
influências sistemáticas os desvios em relação à média aritmética demonstraram uma
simetria e o predomínio de valores ao redor da média.
Tabela 1 -Experiência de Bradley
Onde fi é a frequência real e Fi a teórica.
A partir da coluna das frequências observa-se que existem 230 desvios positivos e
232 desvios negativos, que foram determinados pela diferença entre o valor medido e a
média aritmética desses valores.
A simetria e o predomínio de valores ao redor da média dos desvios (zero)
sugerem distribuição normal. Ao se comparar a frequência real com a teórica (Fi) verifica-
se uma impressionante concordância de valores.
Comparando a média, a moda e a mediana, podemos concluir pela assimetria da
distribuição:
Dados negativamente assimétricos (assimetria para a esquerda) Média e mediana
à esquerda da moda.
Dados positivamente assimétricos (assimetria para a direita) Média e mediana à
direita da moda Em geral, média à direita da mediana
4.2 - Análise Histogramétrica :
Ferramenta estatística que permite resumir informações de um conjunto de
dados, visualizando a forma da distribuição desses dados, a localização do valor central
e a dispersão dos dados em torno do valor central.
SIMÉTRICO:
ASSIMÉTRICO:
DESPINHADEIRO :
PICO ISOLADO:
- Valor médio localizado fora do centro do histograma
- Freqüência diminui gradativamente em um dos lados e de modo abrupto do outro.
- Valor médio está localizado fora do centro do histograma.
- Freqüência diminui abruptamente de um dos lados e suavemente no outro.
- Processo não atende às especificações e uma inspeção 100% é realizada para eliminar medidas erradas.
- Valor médio no centro do histograma
- Freqüência mais alta no meio e diminui gradualmente nos extremos.
- Ocorre quando não existem restrições aos valores da variável.
- No processo somente causas comuns estão presentes.
- Usualmente está estável.
BIMODAL OU DOIS PICOS:
ACHATADO:
4.3 Coeficiente de Assimetria:
Um bom indicativo para demonstrar o comportamento dos dados.
- Coeficiente de Assimetria de Pearson (As): Representado pela seguinte equação:
- Parte do gráfico é relativamente simétrica com o acréscimo de algumas classes mais afastadas de menores freqüências.
- Dados de outra distribuição, diferente da distribuição da maior parte das medidas, são incluídos.
- Anormalias, ou erro de medição e/ou registro de dados, ou inclusão de dados de um processo diferente
- Freqüência mais baixa no centro existe um “pico” em cada lado.
- Dados de duas distribuições, com médias muito diferentes, são misturados.
- Todas as classes possuem mais ou menos a mesma freqüência, exceto aquelas das extremidades.
- Dados de duas distribuições, com médias semelhantes, são misturados.
Onde temos:
= Média ; = Moda e S = Desvio padrão
Permite comparar duas ou mais distribuições diferentes e avaliar qual é mais
assimétrica. Quanto maior o Coeficiente de Assimetria de Pearson, mais assimétrica é
curva.
• Assimétrica moderada: 0,15<|As|1.
• Assimétrica forte: |As|>1
5- Precisão e exatidão:
Acurácia na área de geomática, representa a qualidade de uma grandeza
observada ou de um parâmetro estimado, o termo precisão também é usado com o
mesmo emprego, essas palavras têm origem na língua inglesa, accuracy e precision,
acuracidade (exatidão) e precisão.
Mikhail e Ackermann (1976, p. 64): Acurácia é o grau de proximidade de uma
estimativa com seu parâmetro (ou valor verdadeiro).
Precisão expressa o grau de consistência da grandeza medida com sua
média. Analisando essa definição percebe-se que a precisão está ligada apenas aos
efeitos aleatórios da medida (erro aleatório) enquanto que acurácia envolve erros
sistemáticos (tendência) associados aos erros aleatórios.
Para se entender a idéia imagine dois atiradores a e b e um alvo onde os dois
atiraram. Observa-se que o atirador a tem os tiros mais concentrados enquanto o atirador
b tem os tiros mais dispersos. No entanto o centro da concentração dos tiros de b está
mais próximo do centro do alvo do que a do atirador a. Pode-se então afirmar que:
Monico (2009) apresentam uma medida de acurácia proposta por Gaus
denominada Erro Quadrático Médio (EQM) ou em inglês “mean square error” (MSE)
dada por:
Mikhail e Ackermann (1976) apud Monico (2009) fazem a análise do problema através
dos histogramas que representam três conjuntos de medidas (p1, p2 e p3) de uma mesma
grandeza.
a- p1 e p2 coincidem com o valor de referência p (“correto”).
b- A diferença reside na dispersão que é maior em p2, afirma-se que p1 e p2, não
apresentem erro sistemático (tendência), não são igualmente acurados uma vez que
possuem precisões distintas, ou seja, p1 é mais acurado que p2.
c- P3 apresenta um erro sistemático ou tendência, representado pelo valor “b”, o que
implica em se afirmar que p3 não possui acurácia.
Analisando só o aspecto da precisão, deixando de lado as questões de tendência,
pode-se afirmar pela ordem que p1 é a mais precisa que p3 que por sua vez é mais precisa
que p2.
Na mensurações a acurácia representa a qualidade da observação ou, a confiança
que se tem no resultado obtido a partir de um número de medidas. Se o valor de
referência da medida for conhecido, é possível se estimar a tendência e eliminar os
possíveis efeitos sistemáticos nas medidas. Porém, quando isso não acontece, utiliza-se a
própria precisão como um indicador da acurácia. A adoção da precisão como acurácia não
implica em dizer que a tendência não exista, mas que apenas não se conhece o seu valor.
Esse é o caso da maioria dos processos de medida e assim, para evitar a presença
dos erros sistemáticos, é necessário que se utilizem equipamentos aferidos e métodos
consagrados de observação. Este procedimento não garante a total ausência de tendência,
mas, com certeza, é um método seguro de minimizá-la.
Exemplo - Suponha que você quer testar a capacidade profissional de três topógrafos. Para
tanto você mediu uma distância com uma estação total que será, para efeito de cálculo,
considerada “correta”. Os três topógrafos fizeram a mesma medida com trena.
Baseado nos valores obtidos por eles, qual é o mais acurado?
Distância com estação = 100 m => valor de referência
Partindo-se da equação proposta por Gaus:
Considerando que 100 m é o valor de referência, podem-se obter os erros sistemáticos
para as três medidas, ou seja:
b1 = -0,10 m; b2 = 0,01 m; b3 = 0 m.
Aplicando a equação para o três casos:
m²1 = (0,02 m)² + (-0,10 m)² = 0, 0104 m²
m²2 = (0,03 m)² + (0,01 m)² = 0,0010 m²
m²3 = (0,05 m)² + ( 0,0 m)² = 0,0025 m²
Extraindo-se a raiz quadrada dos três valores obtidos, tem-se a acurácia de cada
topógrafo.
m 1 = 0,102 m;
m 2 = 0,032 m;
m 3 = 0,050 m;
Observa-se que se não fosse conhecido o valor de referência, o topógrafo 1 seria o mais
preciso, pois o desvio padrão de suas medidas é o menor, o topógrafo 2 apresenta a maior
acurácia e, na sequência, o topógrafo 3, que é o de pior precisão.
Como na maioria das vezes não se tem conhecimento de valores de referência, reforça-
se assim a afirmativa de que se devem utilizar equipamentos aferidos e seguir as normas de
levantamento indicadas.