Munawar, PhD
Aljabar Linier & Matrik12. Transformasi Geometri Pencerminan
Transformasi pencerminan /refleksi
menghasilkan bayangan yang tergantung pada
acuannya.
Pencerminan/ Refleksi
Refleksi titik A (a, c) terhadap
sumbu x menghasilkan bayangan
yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk
titik B dan titik C.Diperoleh persamaan bahwa : a’
= a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah : 1 0
0 -1xT
Dengan notasi
matrik :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(a, -c) sumbu x
1 0
0 -1x
x x xT
y y y
Refleksi thd Sumbu X
Sama seperti refleksi terhadap
sumbu x menghasilkan
persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’
= c dan seterusnya. sehingga
persamaan matrik
transformasinya adalah :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a, c) sumbu y
Dengan notasi
matrik :
-1 0
0 1y
x x xT
y y y
-1 0
0 1yT
Refleksi thd Sumbu Y
Menghasilkan persamaan
:
a’= - a, dan c’ = -c,
b’= - b, dan c’ = -c,
d’= - d, dan c’ = -c,
sehingga persamaan
matrik transformasinya
adalah : (0,0)
-1 0
0 -1T
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)
(0,0)
-1 0
0 -1
x x xT
y y y
Dengan notasi
matrik :
Refleksi thd Titik Asal (0,0)
Menghasilkan persamaan :
a’= c, dan c’ = a,
b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan
seterusnya
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah : 0 1
1 0y xT
Refleksi ditulis dengan
notasI :
A(a,c) A’(c,a)
y = x
0 1
1 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi
matrik :
Refleksi thd Garis y = x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a,
b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan
seterusnya, sehingga
persamaan matrik
transformasinya adalah : 0 -1
-1 0y xT
Refleksi ditulis dengan
notasI :
A(a,c) A’(-c,-a)
y =- x
0 -1
-1 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi
matrik :
Refleksi thd Garis y = -x
Sumbu x digeser sejauh h,
menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c,
b’= b, dan c’ = 2h-c,
d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan
matrik transformasinya adalah :
1 0 0
0 -1 2
x x
y y h
Refleksi thd Garis y = h
Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h.
Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :
Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :
Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan
memakai translasi diperoleh:
0 x x x
y y h y h
1 0
0 -1
x x x
y y h y h
0
2
0 1 0 0
- 2 0 -1 2
x x x
y y h h y h
x x
y h y h
Sekarang yang digeser adalah
sumbu y sejauh k,
menghasilkan persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c,
b’= 2k-b, dan c’ = c,
d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya adalah :
A(a,c) A’(2k-
a,c)
x=k
-1 0 2
0 1 0
x x k
y y
Dengan notasi
matrik :
Refleksi thd Garis x = k
Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik
sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan
terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi
terhadap sumbu-y.
Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap
yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi
terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi
direfleksikan terhadap sumbu-y.
Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :
Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y
Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’
dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi
pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari
satu kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan
mengunakan satu tahap saja ?
Munawar, PhD