7/25/2019 Anlise vetorial
1/26
Robenil dos Santos Almeida
Anlise vetorial
Amargosa
13 de dezembro de 2014
7/25/2019 Anlise vetorial
2/26
Sumrio
1 LGEBRA VETORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Operao com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 lgebra vetorial: na forma de componentes . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Produtos triplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Vetores posio, deslocamento e separao . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Transformao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 CLCULO DIFERENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Derivadas ordinrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 O operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 O divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 O rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Derivadas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 CLCULO INTEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1 Integrais de linha, superfcie e volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Teorema fundamental do clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Teorema fundamental para gradientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Teorema fundamental para divergentes (Teorema de Green) . . . . 12
3.5 Teorema fundamental para rotacionais (Teorema de Stokes) . . . . 12
4 COORDENADAS CURVILNEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1 Coordenadas polares esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 FUNO DELTA DE DIRAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.1 O divergente de r/r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 A funo delta de Dirac unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 A funo delta de Dirac tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 A TEORIA DOS CAMPOS VETORIAIS . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.1 O teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 Potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7/25/2019 Anlise vetorial
3/26
2
1 lgebra vetorial
1.1 Operao com vetores
1. Soma de vetores. Coloque a extremidade inicial de B na ponta de A; a soma deA+ B o vetor da extremidade inicial de A ponta de B. A soma comutativa:
A+ B= B+ A
Para subtrair um vetor, some seu oposto:A B= A+ (B).
2. Multiplicao por um escalar. A multiplicao de um vetor por um escalar
positivoamultiplica a magnitude, mas deixa a direo inalterada. A multiplicao
por um escalar distributiva:
a( A+ B) =a A+a B
3. Produto interno ou produto escalar de dois vetores. O produto interno de
dois vetores definido porA B=ABcos
onde o ngulo que eles formam quando so ligados por cada calda. O produtor
escalar comutativo,A B= B A
e distributivo,A ( B+ C) = A B+ A C (1.1)
4. Produto externo ou produto vetorial de dois vetores.O produto externo de
dois vetores definido porA B=ABsin n
onde n um vetor unitrio apontando perpendicularmente para o plano de Ae B.
H duas direes perpendiculares a qualquer plano: entrando no plano e saindo doplano. A ambiguidade se resolve com a regra da mo direita: aponte seus dedos
7/25/2019 Anlise vetorial
4/26
Captulo 1. lgebra vetorial 3
na direo do primeiro vetor e vire-os (pelo menor ngulo) em direo ao
segundo; seu polegar indicar a direo de n. O produto vetorial distributivo,
A
( B+ C) = ( A
B) + ( A
C) (1.2)
mas no comutativo:
( A B) = ( A B) (1.3)
1.2 lgebra vetorial: na forma de componentes
Um vetor arbitrrio Apode ser expandido em termos de vetores bases:
A= Axx+Ayy+Azz
Os nmetos Ax, Ay, Az so os componentes de A. Com essa nova definio, as
quatro operaes vetoriais podem ser reformuladas.
1. Regra: para somar vetores, some componentes semlhantes:
A+ B= (Axx+Ayy+Azz)+(Bxx+Byy+Bzz) = (Ax+Bx)x+(Ay +By)y+(Az +Bz)z
2. Regra: para multiplicar por um escalar, multiplique cada componente.
a A= (aAx)x+ (aAy)y+ (aAz)z
3. Regra: para calcular o produto escalar, multiplique componentes semelhantes e some.
Em particular,A
A= A
2
x+A
2
y+A
2
z
ento
A=
A2x+A2y+A
2z
4. Regra: para calcular o produto vetorial, forme o determinante cuja primeira linha
seja x,y,z, cuja segunda linha seja A (na forma de componentes) e cuja terceira
linha seja B.
A B =
x y zAx Ay Az
Bx By Bz
= (AyBz AzBy)x + (AzBxAxBz)y + (AxBy AyBx)z
7/25/2019 Anlise vetorial
5/26
Captulo 1. lgebra vetorial 4
1.3 Produtos triplos
Produto escalar triplo: A ( B C). Geometricamente,| A ( B C)| o volume
do paraleleppedo gerado pelos trs vetores, j que | B C| a rea da base e | A cos a altura. Evidentemente,
A ( B C) = B ( C A) = C ( A B) =
Ax Ay Az
Bx By Bz
Cx Cy Cz
Produto vetorial triplo: A ( B C). O produto vetorial triplo pode ser simpli-ficado pela regra BA C CA B:
A ( B C) = B( A C) C( A B)Observe que
( A B) C= C ( A B) = A( B C) + B( A C) um vetor completamente diferente. A propsito, todos os produtos vetoriais
superiores podem ser reduzidos, da mesma forma, com frequncia aplicando-se
repedidamente a regra BA C CA B. Por exemplo:( A
B)
( C
D) = ( A
C)( B
D)
( A
D)( B
C)
A ( B ( C D)) = B( A ( C D)) ( A B)( C D)
1.4 Vetores posio, deslocamento e separao
O vetor posio definido como
r= xx+yy+zz (1.4)
A magnitude de r
r=
x2 +y2 +z2 (1.5)
J o vetor unitrio que aponta radialmente para fora definido como:
r=r
r=
xx+yy+zzx2 +y2 +z2
(1.6)
O vetor deslocamento infinitesimal de (x,y,z) a (x+dx, y+dy, z+dz),
dl= dxx+dyy+dzz (1.7)
Em eletrodinmica, frequentemente encontramos problemas que envolvem dois
pontos tipicamente um ponto fonte, r, onde uma carga eltrica est localizada, e um
ponto de observao,r, no qual se est calculando o campo eltrico ou magntico.
7/25/2019 Anlise vetorial
6/26
Captulo 1. lgebra vetorial 5
Figura 1 Ponto fonte e ponto de observao
Vale a pena adotar, desde o incio, algum tipo de notao abreviada para o vetor
separaoentre o ponto fonte e o ponto de observao:
=r r (1.8)
Sua magnitude
= |r r| (1.9)e um vetor unitrio na direo de r ar
=
=
r r|r r| (1.10)
Em coordenadas cartesianas,
= (x x)x+ (y y)y+ (z z)z (1.11)
=
(x x)2 + (y y)2 + (z z)2 (1.12)
= (x x)x+ (y y)y+ (z z)z
(x x)2 + (y y)2 + (z z)2(1.13)
1.5 Transformao de vetores
Suponha que o sistema x,y,zda Figura 2 sofre uma rotao de um ngulo , em
relao a x, y,z, em torno dos eixos comuns x= x.
Figura 2 Rotao do sistema x,y,z
7/25/2019 Anlise vetorial
7/26
Captulo 1. lgebra vetorial 6
A partir da figura, temos que
Ay =A cos , Az =A sin
tambm que
Ay =A cos = A cos( ) =A(cos cos + sin sin ) =Aycos +Azsin
Az =A sin= A sin( ) =A(sin cos cos sin ) = Aysin +Azcos
Podemos expressar esse resultado em notao matricial:
Ay
Az
=
cos sin
sin cos
Ay
Az
(1.14)
Em sentido mais amplo, para uma rotao em torno de um eixo arbitrrio em trs
dimenses, a lei de transformao assume a forma
Ax
Ay
Az
=
Rxx Rxy Rxz
Ryx Ryy Ryz
Rzx Rzy Rzz
Ax
Ay
Az
(1.15)
ou, como forma compacta,
Ai=3
j=1
RijAj (1.16)
Dessa forma, formalmente, um vetor qualquer conjunto de trs componentes que
se transforma da mesma maneira que um deslocamento, quando se mudam as coordenadas.
7/25/2019 Anlise vetorial
8/26
7
2 Clculo diferencial
2.1 Derivadas ordinrias
Suponha que exista uma funo de uma varivel f(x). A derivada df /dx nos diz
com que rapidez a funo f(x)varia quando muda-se o argumentoxpor uma quantidade
minsculadx:
df=
df
dx
dx (2.1)
Ou seja, se alterarmos x por uma quantidade dx, ento f ser alterada pela
quantidadedf; a derivada o fator de proporcionalidade. Geometricamente, a derivada
df /dx a inclinao do grfico f versus x.
2.2 Gradiente
SendoTuma funo de trs variveis, um teorema de derivadas parciais diz que
dT =
T
x
dx+
T
y
dy+
T
z
dz (2.2)
Essa Eq.(1.18) decorrente de um produto escalar:
dT =
T
xx+
T
yy+
T
zz
(dxx+dyy+dzz) = (T) (dl) (2.3)
onde o gradiente de T definido como
T = Tx
x+ Ty
y+ Tz
z (2.4)
Como qualquer vetor, o gradiente tem magnitude, direo e sentido. Para determinar
seu significado geomtrico, devemos reecrever a Eq.(1.19) como
tiodT = T dl= |T||dl| cos (2.5)onde o ngulo entreT e dl. Agora, se fixarmos a magnitude|dl| e buscarmos emvrias direes (ou seja, variando ), a mudana mxima em T evidentemente ocorrerquando = 0 (j que cos = 1). Ou seja, para uma distncia fixa|dl|, dTser o maiorvalor possvel quando movermos na mesma direo queT. Portanto:
7/25/2019 Anlise vetorial
9/26
Captulo 2. Clculo diferencial 8
O gradienteTaponta na direo do aumento mximo da funo T.
A magnitude|T| fornece a inclinao (taxa de aumento) ao longo dessa direomaximizadora.
2.3 O operadorO gradiente tem a aparncia formal de um vetormultiplicando por um escalar
T:
T =
xx+
zz+
zz
T (2.6)
O termo entre parnteses chama-se operador del:
= x
x+
zz+
zz (2.7)
O operadorpode atuar de trs maneiras:
1. Em um funo f:T(o gradiente);
2. Em uma funo vetorialv, atraves do produto escalar: v(o divergente);
3. Em uma funo vetorialv, atravs do produto vetorial:
v(o rotacional).
2.4 O divergente
A definio do divergente a seguinte:
v=
xx+
zz+
zz
(vxx+vyy+vzz) = vx
x +
vyy
+vz
z (2.8)
Ou seja, o divergente de uma funo vetorial v, em si, um escalar v. Geome-
tricamente, v a medida de quanto o vetorvdiverge do ponto em questo.
2.5 O rotacional
A partir da definio de, construmos o rotacional:
v=
x y z
x
y
z
vx vy vz
=
vzy vy
z
x+
vxz vz
x
y+
vyxvx
y
z (2.9)
Observe que o rotacional de uma funo vetorial v, como qualquer produto vetorial,
um vetor. Geometricamente, v uma medida de quanto o vetor v gira em tornodo ponto em questo.
7/25/2019 Anlise vetorial
10/26
Captulo 2. Clculo diferencial 9
2.6 Regras
Sendof e g funes, as regras de derivadas so as seguintes:
1. Regra da soma:d
dx(f+g) =
df
dx+
dg
dx
2. Multiplicao por constante:d
dx(kf) =k
df
dx
3. Regra do produto:d
dx(f g) =f
dg
dx+ g
df
dx
4. Regra do quociente:d
dx
f
g
=
g dfdx fdg
dx
g2
Existem relaes semelhantes para as derivadas vetoriais:
(f+g) = f+g
( A+ B) = ( A) + ( B)
( A+ B) = ( A) + ( B)(kf) =kf
(kA) =k( A) (kA) =k( A)
Regra de produtos para gradientes:
(f g) =f
g+g
f
( A B) = A ( B) + B ( A) + ( A ) B+ ( B ) A
Regra de produtos para divergentes
(fA) =f( A) + A (f)
( A B) = B ( A) A ( B)
Regra de produtos para rotacionais:
(fA) =f( A) A (f)
( A B) = ( B ) A ( A ) B+ A( B) B( A)
7/25/2019 Anlise vetorial
11/26
Captulo 2. Clculo diferencial 10
Regras do quociente:
f
g
=
gf fgg2
Ag
= g( A) A (g)
g2
A
g
=
g( A) + A (g)g2
2.7 Derivadas de segunda ordem
Divergente do gradiente:
(T) =
x
x+ y
y+ z
z
Tx
x+ Ty
y+ Tz
z
= 2T
x2 +
2Ty2
+ 2T
z2
onde2T o operadorlaplacianode T. O laplaciano de um vetor2v
2v= (2vx)x+ (2vy)y+ (2vz)z
Rotacional do gradiente. O rotacional de um gradiente sempre zero:
(
T) = 0
Gradiente do divergente:( v) = 2v.
Divergente do rotacional: sempre nulo.
( v) = 0
Rotacional do rotacional:
( v) = ( v)2
v
7/25/2019 Anlise vetorial
12/26
11
3 Clculo integral
3.1 Integrais de linha, superfcie e volume
(i) Integrais de linha: ba C
v dl
ondev uma funo vetorial, dl o vetor deslocamento infinitesimal e a integrao
deve ser feita ao longo de um caminho definido C, entre o pontoae o ponto b. Se o
caminho em questo fechado (ou seja, se b= a): v dl
Existem funes vetoriais para as quais a integral de linha independente do caminho
e totalmente determinada pelos pontos extremos (um exemplo da fora chamada
de fora conservativa.
(ii) Integrais de superfcie:
S
v
da
ondev uma funo vetorial e da um trecho infinitesimal da rea, com direo
perpendicular superfcie. Se a superfcie fechada, ento a integral da forma
v da
3.2 Teorema fundamental do clculo
Suponha que f(x) seja uma funo de uma varivel. O teorema fundamental do
clculo diz que: ba
df
dxdx= f(b) f(a) (3.1)
ou de uma forma mais simples:
ba
F(x)dx= f(b) f(a) (3.2)
ondedf /dx= F(x). O teorema fundamental diz como integral F(x): voc cria uma funo
f(x)cuja derivada seja igual a F.
7/25/2019 Anlise vetorial
13/26
Captulo 3. Clculo integral 12
3.3 Teorema fundamental para gradientes
Suponha que temos uma funo escalar com trs variveis T(x,y,z). Comeando
no pontoa, nos movemos a uma pequena distnciadl1. A funoTser alterada por uma
quantidade
dT = (T) dl1Com um pequeno deslocamento adicional dl2, o incremento em T ser (T) dl2
A alterao total de Tnum trajeto de aa bao longo do caminho escolhido
ba C
(T) dl= T(b) T(a) (3.3)
Geometricamente: suponha que voc queira determinar a altura da Torre Eiffel.Voc pode subir as escadas, usar uma rgua para medir a altura de cada degrau e somar
tudo (esse o lado esquerdo da Eq.(1.28)), ou voc pode colocar altmetros no topo e
na base e fazer a diferena das duas leituras (esse o lado direito). A resposta, de uma
maneira ou de outra, deve ser a mesma.
3.4 Teorema fundamental para divergentes (Teorema de Green)
O teorema fundamental para divergentes diz o seguinte:
V( v)d=
S
v da (3.4)
ou seja, a integral de uma derivada (no caso o divergente) sobre uma regio (no caso
um volume) igual ao valor da funo no contorno (neste caso a superfcie que limita o
volume).
Geometricamente, sevrepresenta o fluxo de um fluido incompressvel, ento o fluxo
dev(o lado direito da equao) a quantidade total de lquido que passa pela superfcie
por unidade de tempo. Agora, o divergente mede a disperso dos vetores a partir de umponto. Fazendo uma analogia com esta situao, o teorema pode ser representado dessa
forma: (torneiras dentro do volume)=
(fluxo que sai pela superfcie).
3.5 Teorema fundamental para rotacionais (Teorema de Stokes)
A integral de uma derivada (no caso o rotacional) sobre uma regio (no caso um
trecho de superfcie) igual ao valor da funo no contorno (no caso o permetro do trechoconsiderado). Ou seja,
S( v) da=
P
v dl (3.5)
7/25/2019 Anlise vetorial
14/26
Captulo 3. Clculo integral 13
Geometricamente, a integral do rotacional sobre uma superfcie (fluxo do rotacional
atravs da superfcie) representa a quantidade total de giro.
7/25/2019 Anlise vetorial
15/26
14
4 Coordenadas curvilneas
4.1 Coordenadas polares esfricas
As coordenadas polares esfricas se relacionam com as coordenadas cartesianas da
seguinte maneira:
x= r sin cos , y=r sin sin , z=r cos (4.1)
A Figura 3 mostra os trs vetores unitrios r,,
que apontam na direo doaumento das coordenadas correspondentes.
Figura 3 Vetores unitrios
Ar, A, A so as componentes radial, polar e azimutal de A, que definido como
sendo:A= Arr+A+A (4.2)
J os vetores unitrios so definidos como:
r= sin cos x+ sin sin y+ cos z
= cos cos x+ cos sin y sin z= sin x+ cos y
Um deslocamento infinitesimal na direo r simplismente dr, da mesma forma
que um elemento infinitesimal de comprimento na direo x dx:
dlr =dr
7/25/2019 Anlise vetorial
16/26
Captulo 4. Coordenadas curvilneas 15
Por outro lado, um elemento infinitesimal de comprimento na direo , no
apenas d (isso um ngulo, no tem as unidades corretas para comprimento), mas sim
rd:
dl =rd
Da mesma forma, um elemento infinitesimal de comprimento na direo
r sin d:
dl=r sin d
Figura 4 Deslocamentos infinitesimais
Portanto, o deslocamento infinitesimal geraldl
dl= drr+rd+r sin d
Com isso, o elemento de volume infinitesimal d, nas coordenadas esfricas, o
produto dos trs deslocamentos infinitesimais:
d=dlrdldl = r2 sin drdd (4.3)
possvel adequar o que foi aprendido agora notao das derivadas vetoriais, em
pricpio, isso totalmente direto: no caso do gradiente,
T = Tx
x+ T
yy+
T
zz
por exemplo, usa-se primeiro a regra da cadeia para expressar novamente as derivadas
parciais:T
x
=T
r
r
x +
T
x +
T
x
Basta apenas calcular as derivadas parciais de cada componente para chegar aos
seguintes resultados:
7/25/2019 Anlise vetorial
17/26
Captulo 4. Coordenadas curvilneas 16
Gradiente:
T = Tr
r+1
r
T
+
1
r sin
T
(4.4)
Divergente:
v= 1r2
r(r2vr) +
1
r sin
(sin v) +
1
r sin
v
(4.5)
Rotacional:
v= 1r sin
(sin v)v
r+
1
r
1
sin
vr
r
(rv)
+
1
r
r(rv)vr
(4.6)
Laplaciano:
2T = 1r2
r
r2
T
r
+
1
r2 sin
sin
T
+
1
r2 sin2
2T
2 (4.7)
4.2 Coordenadas cilndricas
As coordenadas cilndricas possuem as seguintes relaes com as coordenadas
cartesianas:
x= s cos , y=s sin , z=z (4.8)
Os vetores unitrios associados a essas coordenadas so definidos da seguinte forma:
s= cos x+ sin y
= sin x+ cos yz= z
Os deslocamentos infinitesimais so
dls= ds, dl=sd, dlz =dz
portanto,
dl= dss+sd+dzz
e o elemento de volume
d=sdsddz (4.9)
As derivadas vetoriais em coordenadas cilndricas so:
Gradiente:
T = Ts
s+1
s
T
+
T
zz
7/25/2019 Anlise vetorial
18/26
Captulo 4. Coordenadas curvilneas 17
Divergente:
v= 1s
s(svs) +
1
s
v
+ vz
z
Rotacional:
v=
1
s
vz v
z
s+
vszvz
s
+
1
s
s(sv) vs
z
Laplaciano:
2T =1s
s
s
T
s
+
1
s22T
2 +
2T
z2
7/25/2019 Anlise vetorial
19/26
18
5 Funo delta de Dirac
5.1 O divergente de r/r2
Considere a funo vetorial
v= 1
r2r
Em cada localizao,v dirigido radialmente para fora; se existe uma funo que
deveria ter um grande divergente positivo, esta. No entanto, quando se calcula, de fato,
o divergente,chega-se, precisamente, a zero:
v= 1r2
r
r2
1
r2
=
1
r2
r(1) = 0 (5.1)
Suponha agora que queremos calcular a integral sobre uma esfera de raioR, centrada
na origem. A integral de superfcie
v da=
1
R2r
(R2 sin ddr) =
0
sin d
2
0
d
= 4 (5.2)
Pelo teorema de Green: V
( v)d=
Sv da
Com o que foi obtido, a integral do volume zero. No entanto, a origem do problema o
pontor = 0, ondevexplode. verdade que v= 0em qualquer lugar, exceto na origem,mas bem na origem a situao mais complicada. Observe que a Eq.(1.41) independe
de R. Como o teorema do divergente verdadeiro, devemos obter
( v)d= 4 paraqualquer esfera centrada na origem, no importa quo pequena seja. Evidentemente, toda
a contribuio deve estar vindo do ponto r = 0. Assim, vtem a propriedade de anular-seem qualquer lugar, exceto em um ponto; e, mesmo assim, sua integral (sobre qualquer
volume que contenha esse ponto) 4.
Com esse problema, necessrio a utilizao da funo delta de Dirac.
5.2 A funo delta de Dirac unidimensional
A funo delta de Dirac unidimensional, (x), pode ser ilustrada como um pico
infinitamente alto e infinitamente estreito, com rea 1. Ou seja:
(x) =
0, se x = 0, se x= 0
(5.3)
7/25/2019 Anlise vetorial
20/26
Captulo 5. Funo delta de Dirac 19
e
(x)dx= 1. (5.4)
Tecnicamente, (x) no , de forma alguma, uma funo, j que seu valor no finito emx= 0. Ela , se voc preferir, o limite de uma sequncia de funes, tais como
retngulosRn(x), de altura n e largura 1/n, ou tringulos isscelesTn(x), de alturan e
base 2/n.
Se f(x)for alguma funo ordinria(ou seja, que no outra funo delta), ento
o produto f(x)(x) zero em qualquer lugar, exceto em x= 0. Segue-se que
f(x)(x) =f(0)(x) (5.5)
Como o produto zero de qualquer forma, exceto em x= 0, podemos muito bemsubstituirf(x)pelo valor que assume na origem. Em particular
f(x)(x)dx= f(0)
(x)dx= f(0) (5.6)
Ento, sob uma integral, a funo delta escolhe o valor de f(x)em x= 0.
Figura 5 Funo delta
claro que podemos mudar o pico de x= 0para algum outro ponto , x= a:
7/25/2019 Anlise vetorial
21/26
Captulo 5. Funo delta de Dirac 20
Figura 6 Ponto x= a
(x a) = 0, se x =a, se x= a
(5.7)
com
(x a)dx= 1
A Eq.(1.44) torna-se:
f(x)(x a) =f(a)(x a), (5.8)
e a Eq.(1.45) generaliza-se para
f(x)(x a)dx= f(a) (5.9)
Embora em si no seja uma funo legtima, integrais de so perfeitamente
aceitveis. De fato, melhor pensar na funo delta como algo sempre destinado a ser
usado dentro de uma integral. Em particular, duas expresses que envolvem funes delta
(digamos D1(x)e D2(x)) so considerados iguais se
f(x)D1(x)dx=
f(x)D2(x)dx (5.10)
(Exemplo 1) Calcule a integral 30
x3
(x 2)dxA funo delta escolhe o valor de x3 no ponto x= 2, portanto a integral 23 = 8.
Observe, porm, que se o limite superior fosse 1 (em vez de 3), a resposta seria 0,
porque o pico, nesse caso, ficaria fora do domnio de integrao.
(Exemplo 2)Mostre que
(kx) = 1
|k|(x),
onde k qualquer constante (diferente de zero). (Em particular,(
x) =(x).)
Para uma funo de teste arbitrria f(x), considere a integral
f(x)(kx)dx
7/25/2019 Anlise vetorial
22/26
Captulo 5. Funo delta de Dirac 21
Mudando as variveis, deixemos que y = kx, de forma que x = y/k e dx= 1/k. Se
k for positivo, a integrao ainda ser de a, mas se k for negativo, entox = implica que y = e vice-versa, de forma que a ordem dos limites fica
invertida. A restaurao da ordem adequada custa um sinal de menos. Assim,
f(x)(kx)dx=
f(y/k)(y)dy
k = 1
kf(0) =
1
|k|f(0)
Dentro da integral, ento, (kx)serve ao mesmo propsito que
(1/|k|)(x)
ento
f(x)(kx)dx=
f(x) 1|k|(x)dxSegundo o critrio da eq.(1.47), portanto,(kx)e (1/|k|)(x)so iguais.
5.3 A funo delta de Dirac tridimensional
fcil generalizar a funo delta para trs dimenses:
3(r) =(x)(y)(z) (5.11)
Essa funo delta tridimensional zero em qualquer lugar, exceto em (0, 0, 0),
onde ela explode. Sua integral de volume 1:
todo o espao3(r)d=
(x)(y)(z)dxdydz= 1 (5.12)
E a generalizao
todo o espao
3(r
a)d=f(a) (5.13)
Como no caso unidimensional, a integrao com escolhe o valor da funo f no
local do pico.
Constatamos que o divergente de r/r2 zero em todo lugar, exceto na origem e,
mesmo assim, sua integral sobre qualquer volume contendo a origem uma constante
(a saber:4). Essas so, precisamente, as condies que definem a funo delta de Dirac;
evidentemente
r
r2
= 43(r) (5.14)
7/25/2019 Anlise vetorial
23/26
Captulo 5. Funo delta de Dirac 22
De forma mais geral,
2
= 43() (5.15)
onde, como sempre, o vetor separao: =r r. Observe que a diferenciao aqui com respeito a r, enquanto r permanece constante. propsito, como
1
=
2 (5.16)
, segue-se que
21
= 43() (5.17)
(Exemplo 1) Calcule a integral
J=
V(r2 + 2) r
r2d,
onde V uma esfera de raio Rcentrada na origem.
Use a Eq.(1.53) para reecrever o divergente, e a Eq.(1.52) para fazer a integral
J= V(r2 + 2)43(r)d= 4(0 + 2) = 8
7/25/2019 Anlise vetorial
24/26
23
6 A teoria dos campos vetoriais
6.1 O teorema de Helmholtz
A formulao de Maxwell levanta uma importante questo matemtica: at que
ponto uma funo vetorial determinada pelo seu divergente e pelo seu rotacional? Em
outras palavras, se lhe dissermos que o divergente de F (que significa Eou B, conforme o
caso) uma funo (escalar) definida D,
F =D
e que o rotacional de F uma funo (vetorial) definida C,
F= C,
(por coerncia, o divergente de Cdeve ser nulo,
C= 0
porque o divergente de um rotacional sempre zero), voc pode determinar a funo F?
Bem... no totalmente. Por exemplo, existem muitas funes cujo divergente e
rotacional so ambos zero em todo o espao. O caso mais trivial F = 0. Para resolver
uma equao diferencial, voc precisa ter, tambm, as condies de contorno adequadas.
Em eletrodinmica, normalmente pede-se que os campos anulem-se no infinito. Com
essa informao extra, o teorema de Helmholtz garante que o campo seja univocamente
determinado pelo divergente e pelo rotacional;
6.2 PotenciaisSe o rotacional de um campo vetorial ( F)se anula (em toda parte), ento F pode
ser escrito como o gradiente de um potencial escalar V:
F = 0 F = V (6.1)
(O sinal de menos puramente uma conveno.) Essa a sntese do seguinte
teorema:
Teorema 1: Campos de rotacional nulo (ou irrotacionais). As seguintes condies
so equivalentes (ou seja, Fsatisfar uma se e somente se satisfazer todas as outras):
7/25/2019 Anlise vetorial
25/26
Captulo 6. A teoria dos campos vetoriais 24
(a) F= 0em todo o espao.
(b)b
aF dl independe do caminho, para quaisquer pontos extremos.
(c)
F dl= 0para qualquer caminho fechado.(d) F o gradiente de uma funo escalar, F = V.
O potencial escalar no unvoco qualquer constante pode ser acrescentada a V
impunemente, j que isso no afetar seu gradiente.
Se o divergente de um campo vetorial ( F) se anula (em toda parte), ento Fpode
ser expresso como o rotacional de um potencial vetorial ( A):
F = 0 F = A
Essa a principal concluso do seguinte teorema:
Teorema 2: Campo sem divergente (ou solenoidais). As seguintes condies so
equivalentes :
(a) F= 0em toda parte.
(b) F da independe de superfcie, para qualquer linha limite dada.(c)
F da= 0para qualquer superfcie fechada.(d) F o rotacional de algum vetor, F = A.
O potencial vetorial no unvoco o gradiente de qualquer funo escalar pode
ser adicional a Asem afetar o rotacional, j que o rotacional de um gradiente zero. Um
campo vetorial Fpode ser escrito como o gradiente de um escalar somando ao rotacional
de um vetor:
F = V + A (sempre). (6.2)
7/25/2019 Anlise vetorial
26/26
25
Referncias
[1] G. B. Arfken e H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5a. Ed. (Harcourt,
San Diego, 2001).
[2] P. A. M. Dirac, The principles of quantum mechanics (Clarendon Press, Oxford, 1947)