A U S
Análisis Matemático II
Derivada y algunas aplicaciones
Mgter. Viviana Paula D’Agostini
Instituto Politécnico Superior General San Martín
Introducción Durante el transcurso del cuatrimestre se utilizarán diferentes apuntes de apoyo para el
desarrollo de las clases. Este material muestra sólo un compendio de los contenidos a
desarrollar, se presentan conceptos, propiedades, teoremas, ejemplos, ejercicios y
algunas demostraciones. El mismo se completará paulatinamente en el transcurso de las
clases.
Al final de cada apunte se encuentra la bibliografía sugerida para que el estudiante
recurra a ella para contribuir a una mejor comprensión de los temas.
Se sugiere al estudiante concurrir y participar activamente de las clases, plantear sus
dudas, interactuar con sus compañeros, asistir a los horarios de consulta, realizar las
actividades que se proponen y otras, que podrá encontrar en la bibliografía sugerida o en
otros medios.
Su estudio no debe limitarse a los apuntes de clase, ni a recordar una fórmula para el
cálculo inmediato. Es importante comprender las definiciones, conocer las diferentes
representaciones simbólicas, poder enunciar e interpretar propiedades y teoremas,
estableciendo relaciones entre los mismos.
El alumno debe asumirse como estudiante terciario, comprometiéndose
responsablemente con el estudio.
Seguramente encontrará dificultades, que no deben desalentarlo. Por el contrario,
superar las mismas tiene que ser un desafío.
TEMARIO
Recta tangente. Derivada de ua función en un punto. Función derivada. Derivadas de
orden superior. Álgebra de las derivadas. Regla de la cadena. Aplicaciones de la
derivada. Valores máximos y mínimos. Teorema del valor extremo. Teorema de Fermat.
Punto crítico. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange. Funciones
monótonas. Criterio de la derivada primera. Criterio de la derivada segunda. Regla de
L’Hopital.
Ejercicios.
Bibliografía.
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1
Derivada
Si f es una función definida en un intervalo abierto I, y queremos hallar la recta
tangente a la curva en el punto P( 0x , )( 0xf ) donde Ix 0 , entonces consideremos otro
punto de I, Q ( hx 0 , )( 0 hxf ), donde hxx 00 , podemos calcular la pendiente
de la recta secante PQ: h
xfhxfm pq
)()( 00 (cociente incremental).
Considerando puntos iQ más cercanos a P a lo largo de la curva y haciendo que hx 0
tienda a 0x , definimos la recta tangente a P como la recta que contiene a P y tiene
pendiente )(')()(
000
0lim xf
h
xfhxfm
h
, siempre que exista este límite.
Una ecuación correspondiente a la recta tangente resulta: )())((' 000 xfxxxfy
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2
Dada la función 1)( 2 xxf busquemos una ecuación de la recta tangente en el punto
de abscisa 20 x .
h
hh
h
h
h
fhf
hhh
14142)12(1)2()2()2( 22
0
22
00limlimlim
)2('4)4()4(4
limlimlim00
0
0
2
0
fhh
hh
h
hh
hhh
hmxy
hxy 4
recta)5,2(
185 hh
34 xy
Propuesta 1. Resolver los ejercicios 1 y 2.
Dada una función f si en algún valor de su dominio no existe el límite del cociente
incremental, se dice que la función no es derivable en ese valor.
Ejemplo 1: 3)( xxf
3 20
32
0
3
0
33
00
100)0()0(limlimlimlimlim
hh
h
h
h
h
h
fhf
hhhhh
f
t
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3
h
fhf
h
fhf
hh
)0()0()0()0(limlim
00
La recta de ecuación 0x es tangente vertical a la curva.
Ejemplo 2: 3
2
)( xxf
31
0
31
0
3
2
0
3
2
3
2
00
10)0()0(limlimlimlimlim
h
hh
h
h
h
h
fhf
hhhhh
31
0
31
0
3
2
0
3
2
3
2
00
10)0()0(limlimlimlimlim
hh
h
h
h
h
h
fhf
hhhhh
El punto (0,0) es llamado punto cuspidal del gráfico.
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4
Función derivada
h
xfhxfxf
h
)()()(' lim
0
es la función derivada de )(xf si dicho límite existe. El
dominio de 'f está formado por los x del dominio de f para los cuales )(' xf ,
DfDf ' .
Como 'f es una función, llamada función derivada de f , o función derivada primera
de f , si se aplica el mismo razonamiento anterior, puede buscarse su función derivada,
que se llamará función derivada segunda de f y se notará ''f . En general, si existe
1nf , se llama derivada enésima nf de la función f a la función derivada de 1nf .
Ejemplo 1: Sea 98)( 2 xxxf encuentre 'f , ''f y '''f .
h
xxhxhx
h
xfhxf
hh
)98(9)(8)()()( 22
00limlim
h
hhx
h
hhxh
h
xxhxhxhx
hhh
)82(82989882limlimlim
0
0
0
2
0
222
0
)('82)82(lim0
xfxhxh
h
xhx
h
xhx
h
xfhxf
hhh
82822)82(8)(2)(')('limlimlim
000
)(''222
limlim00
xfh
h
hh
)('''022)('')(''
limlim00
xfhh
xfhxf
hh
Sobre este ejemplo podemos concluir que: 0...)()( xfxf VIV
Ejemplo 2: Sea xxg )( encuentre 'f .
xhx
xhx
h
xhx
h
xhx
h
xghxg
hhhlimlimlim
0
0
000
)()(
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5
)('2
1
)(
1
)()(limlimlim
000
xgxxhxxhxh
h
xhxh
xhx
hhh
Nota: de forma similar puede obtenerse
Si )()( xsenxf su función derivada es )cos()(' xxf
Si )cos()( xxh su función derivada es )()(' xsenxg
Propuesta 2. Resolver el ejercicio 3.
Teorema: Si f es una función constante cxf )( entonces f es derivable en todo su
dominio y su función derivada es 0)(' xf
00)()(
limlimlim000
hh
cc
h
xfhxf
hhh
Teorema: Si f es la función identidad xxf )( entonces f es derivable en todo su
dominio y su función derivada es 1)(' xf
11)()(
limlimlimlim0000
hhhh h
h
h
xhx
h
xfhxf
Teorema: Si una función es derivable en 0xx entonces es continua en 0xx .
Nota: Si una función es continua en 0xx no implica que sea derivable en 0xx .
xxf )(
11limlimlim000
hhh h
h
h
h
11limlimlim000
hhh h
h
h
h
No existe el límite del cociente incremental en
0x , por lo tanto xxf )( no es una
función derivable en ese valor, a pesar de ser
una función continua en 0x . El punto (0,0)
es anguloso. No existe recta tangente en (0,0).
h
h
h
h
h
fhf
hhhlimlimlim
000
00)0()0(
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6
Álgebra de las derivadas Teorema Si f y g son funciones derivables entonces vale que:
)(')(')()'( xgxfxgxf
)(')(')()'( xgxfxgxf
)(').()().(')()'.( xgxfxgxfxgf
kxfkxfk )('))'(( constante
2
'
)(
)(').()().(')(
xg
xgxfxgxfx
g
f
siendo 0)( xg
Teorema. Si nxxf )( con Rn entonces f es derivable y 1)(' nnxxf
Ejemplo 1: 5)( xxf entonces 45)(' xxf
Ejemplo 2: 2
1
)( xxg entonces x
xxg2
1
2
1)(' 2
1
Ejemplo 3: 6)( xxh entonces 76)(' xxh
Teorema Si el recorrido de la función g está contenido en el dominio de la función f ,
puede considerarse la función compuesta ))(())(( xgfxgf . Si la función g es
derivable en 0xx del dominio de g y la función f es derivable en )( 0xg del
recorrido de g entonces la función gf es derivable y )(')).((')()'( 000 xgxgfxgf
(Regla de la cadena).
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7
Ejemplo 1: )()( 2xsenxf entonces xxxxxf 2).cos()').(cos()(' 2
Ejemplo 2: 43)( xxg entonces 3
4
4
412.
32
1)'3(
32
1)(' x
xx
xxg
Tabla de derivadas:
)(xf )(' xf
k cte 0 nx 1nnx
)()( xhxg )(')(' xhxg
)()( xhxg )(')(' xhxg
)().( xhxg )(').()().(' xhxgxhxg
)(
)(
xh
xg
2)(
)(').()().('
xh
xhxgxhxg
fk 'fk
x
x2
1
xe xe xln
x
1
senx xcos xcos senx
tgx x2sec
Propuesta 3. Utilizando la tabla de derivadas, resuelva los ejercicios 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Aplicaciones de la derivada
Valores Máximos y Mínimos - Una función f tiene un máximo absoluto (o global) en c si Dfxxfcf )()( .
El número )(cf es llamado valor máximo de f en su dominio.
f tiene un mínimo absoluto en c si Dfxxfcf )()( . )(cf es llamado el valor
mínimo de f en su dominio.
- Una función f tiene un máximo local (o relativo) en c si )()( xfcf para todo x en
algún intervalo abierto que contiene a c.
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8
f tiene un mínimo local en c si )()( xfcf para todo x en algún intervalo abierto que
contiene a c.
- Se llaman valores extremos de una función a los valores máximos y mínimos locales
o absolutos de la misma.
Ejemplo 1: Sea f definida en [a,b]:
)(],[)( localmínimoesnobaenfdeabsolutomínimoesaf
baenfdelocalmáximoyabsolutomáximoescf ,)( 1
baen
fdelocalmínimounescflocalmáximounescflocalmínimounescf
,
)(,)(,)( 432
Ejemplo 2:
RDfxxf 1)3()( 2
f no tiene máximo absoluto, ni relativo.
fdeabsolutoylocalmínimounesf 1)3(
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9
Ejemplo 3: 42
1)(
xxf
2)42(
2)(',,,
x
xxfRenderivableycontinuaparesfRDf
f no tiene intersección con el eje x, 4
1)0( f , 0:,0lim
yAHf
x
4
1)(00,
4
1
4
1440
222
xfx
xxx
4
1)0( f es máximo absoluto y relativo. f no tiene mínimo absoluto, ni relativo.
Teorema del valor extremo Si f es continua en [a,b] entonces f alcanza un valor máximo absoluto )(cf y un
valor mínimo absoluto )(df con c y d en [a,b].
Ejemplos: Las siguientes gráficas corresponden a funciones definidas en [a,b]
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10
En los ejemplos 2 y 3 haciendo un breve estudio de la función y graficándola pudimos
encontrar los valores extremos, pero para algunas funciones no resulta tan sencillo
hallarlos.
Teorema (de Fermat) Si f es derivable en c y alcanza un máximo o mínimo local en c (interior al dominio
de f ) entonces 0)(' cf .
Nota: este teorema sugiere que se puede empezar a buscar los valores extremos de f en
los valores de c , donde 0)(' cf o donde )(' cf no existe.
En el ejemplo 3:
0,,)4(
2)(
22'
xenmáximountienefRenderivablef
x
xxf
0)0(' f , se verifica el teorema.
Nota: El recíproco del teorema de Fermat no es cierto para cualquier función. Es decir
que 0)(' cf no implica necesariamente que f tiene un máximo o mínimo en c .
Ejemplo 4:
RDfxxf 1)( 3 0)0(,3)( '2' fxxf .
En el punto (0,1) la gráfica tiene tangente
horizontal y no hay extremo.
Por lo tanto la condición de tener derivada nula
en un punto no asegura la existencia de extremo
para una función.
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11
Veamos más ejemplos de funciones y sus valores extremos:
Ejemplo 5: RDfxxf 1)(
0)1( f es mínimo local y absoluto de f ,
pero no existe )1('f .
Ejemplo 6: RDfxxf 1)3()( 3
2
33
1'
3
1
3
2)3(
3
2)(
xxxf
1)3( f es un mínimo local y absoluto de f .
La función alcanza un extremo en un punto del dominio donde no es derivable.
Ejemplo 7:
1,2,)( 2 Dxxf
4 es el valor máximo absoluto y 0 el
mínimo absoluto y relativo de f .
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12
Nota: Hemos visto ejemplos de funciones con valores extremos en:
- un punto interior al dominio de f donde la derivada se anula, (ejemplos 2 y 3)
- un punto interior al dominio de f donde 'f no está definida, (ejemplos 5 y 6)
- un extremo de un intervalo del dominio de f , (ejemplo 7)
Puntos críticos. Un valor crítico de una función f es un número c en el dominio de f
si 0)(' cf o )(' cf no existe. ))(,( cfc es llamado punto crítico.
Método del Intervalo cerrado
Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f en un
intervalo cerrado ba, :
- Encuentre los valores de f en los valores críticos de f en ba, .
- Halle los valores de f en los extremos del intervalo.
- El mayor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto de f .
Ejemplo 8: Encontrar los extremos absolutos de xxxxf 1232)( 23 en 2,3 .
2,3encontinuaesf
01266)( 2' xxxf 21 xyx
9)3(,42,20)2(,7)1( ffff
mínimof 7)1(
máximof 9)3(
Ejemplo 9: Encontrar los extremos absolutos de
23 )1(4)( xxxf en
2,
2
1.
0163
)187(4)(,2,
2
1
3 2
2'
x
x
xxxfencontinuaesf
'f no existe en cero y se anula en 7
11 xyx .
Por lo tanto los valores críticos son:
7
1,1,0 321 xxx .
,7
4
49
36
7
1,0)1(,0)0( 3
fff 2)2( f
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13
.2
4
9
2
1 3
f . Luego: 2 es máximo absoluto y 3 2
4
9 es mínimo absoluto.
Ejemplo 10: .3,2,)( 3/2 DencontinuafDxxf
.,0,3
2
3
2)(' ''
3
3/1 anulasenuncafxenfexistenox
xxf
33 9)3(,4)2(,0)0( fff .
Luego 0 es el mínimo absoluto y 3 9 es el máximo absoluto de f .
Propuesta 4. Resolver el ejercicio 10.
Teorema de Rolle. Si f es continua en ba, , derivable en ba, y )()( bfaf
entonces existe c en ba, / 0)(' cf .
Al dibujar la curva correspondiente de una función que cumpla con las hipótesis del
teorema: si se traza la recta que pasa por los extremos de la curva, es posible hallar un
punto interior al intervalo donde la tangente a la gráfica es paralela a dicha recta.
Ejemplo 11: 3,03)( 23 enxxxf
f es continua en 3,0 , derivable en 3,0 ,
0)3()0( ff entonces
0)(/3,0 ' cfc
200)2(363)( 2' xxxxxxxf
0)2(3,00 ' fluegoxpero
0)(2 ' cfresultacendecires
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14
Teorema del valor medio de Lagrange
Si f es continua en ba, , derivable en ba, entonces existe c en ba, /
ab
afbfcf
)()()(' .
El teorema expresa que existe por lo menos un punto ))(,( cfc sobre la gráfica donde la
pendiente de la recta tangente es la misma que la de la recta secante que contiene los
puntos ))(,( afa y ))(,( bfb .
Ejemplo 12: 2,0432)( 2 enxxxf
f es continua en 2,0 , derivable en 2,0 entonces existe c en 2,0 /
02
)0()2()('
ffcf
34)(,4)0(,6)2( ' xxfff
12
4634
02
)0()2(34)('
cc
ffccf
Por lo tanto, la recta tangente en el punto
(1,3) es paralela a la recta que pasa por los
puntos (0,4) y (2,6).
Corolario 1: Si 0)(' cf bax , entonces f es constante en ba, .
Corolario 2: Si )()( '' xgxf bax , entonces gf es constante en ba, ; es decir
cxgxf )()( donde c es constante.
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15
Propuesta 5. Resolver los ejercicios 11 y 12. Funciones monótonas y criterio de la derivada primera Si una función derivable es creciente en un intervalo I, la derivada en cualquier punto
del mismo es positiva o nula. En cualquier punto del gráfico, la recta tangente al mismo
forma con el eje positivo de abscisas, un ángulo agudo o nulo. Por lo tanto, la pendiente
de la recta tangente, es un número positivo.
Si la función es decreciente, la recta tangente en cada punto del gráfico forma con el eje
positivo de abscisas un ángulo obtuso o llano. Por lo tanto la pendiente de la recta
tangente será negativa.
Teorema. Si f es continua en ba, y derivable en ba, entonces:
- si baencrecienteesfbaxxf ,,0)('
- si baenedecrecientesfbaxxf ,,0)('
Ejemplo 13: ,,)( 3 RDfxxf
Ren derivabley continua es f
2' 3)( xxf Rxxf 0)(' ,
luego f es creciente en todo su dominio.
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16
Ejemplo 14:
,13)( 23 xxxf
)2(363)(, 2' xxxxxfRDf
f es continua y derivable en R.
)0,2(0)(' enxf
Por lo tanto: f es decreciente en )0,2( y
creciente en ),0()2( y
Propuesta 6. Resolver el ejercicio 13.
Criterios para determinar extremos locales Criterio de la derivada primera
Si c es un valor crítico de una función continua f que es derivable en todo punto de
algún intervalo que contiene a c , excepto posiblemente en c :
- si 'f cambia de positiva a negativa en c entonces f tiene un máximo local en c ,
- si 'f cambia de negativa a positiva en c entonces f tiene un mínimo local en c ,
- si 'f no cambia de signo en c entonces f no tiene un extremo local en c .
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17
Retomando el ejemplo 14:
'f cambia de positiva a negativa en -2 entonces f tiene un máximo local en -2, 'f
cambia de negativa a positiva en 0 entonces f tiene un mínimo local en 0.
Criterio de la derivada segunda. Sea f una función tal ''f es continua en un intervalo
abierto que contiene a c interior a su dominio y 0)(' cf :
- si 0)('' cf entonces f tiene un máximo local en c ,
- si 0)('' cf entonces f tiene un mínimo local en c .
- si 0)('' cf , no se puede concluir nada, f puede tener un máximo local, un mínimo
local o ninguno de ellos.
Ejemplo 14: 223)( xxxxf
RenderivablefRDf ,
3
1101223)(' xxxxxf
043
1'',04)1('',26)(''
ffxxf
Por lo tanto 3)1( f es un máximo local de f y 27
49
3
1
f es un mínimo local.
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18
Propuesta 7. Resolver los ejercicios 14 y 15.
Regla de L’hopital
Sean f y g derivables y 0)(' xg en un intervalo abierto que contiene a a (excepto
quizás en a).
Si
0)(lim xf
ax y
0)(lim xg
ax o
)(lim xf
ax y
)(lim xg
ax y existe
)(
)(lim '
'
xg
xf
ax entonces
)(
)(lim
)(
)(lim '
'
xg
xf
xg
xf
axax .
En la primera gráfica se muestran dos funciones derivables, cada una de las cuales
tiende a cero cuando x tiende a a. Con una amplificación en el punto (a,0) la gráficas se
verían casi lineales. Pero si las funciones fueran en realidad lineales, como en la
segunda gráfica, entonces su razón sería: 2
1
2
1
)(
)(
m
m
axm
axm
, la razón entre sus derivadas.
Ejemplos:
i) 3
14
12
26lim
2
1623lim
2
0
02
2
2
x
x
xx
xx
xx
3
14
12
3
8)2(3
lim
0
0
2
xx
xx
x
En este caso aplicar la regla de L’Hopital hizo más breve la resolución del mismo.
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19
ii)
x
exee
x
exe
x
xex xxxxxx
xxx 6
)2(lim
3
1)2(lim
2)2(lim
0
00
0
00
0
00
23
6
1
6
)2(lim
0
xxxx
x
exeee
iii) 26
12lim
6
1012lim
33
106lim
53
752lim
2
2
3
23
xxxx x
x
x
xx
xx
xx
En este caso aplicar la regla de L’Hopital hizo extensa la resolución del mismo.
iv) 12 12
lim1
lim
0
0
0
0
0
x
e
xx
e xx
xx
Propuesta 8. Resolver el ejercicio 16.
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20
EJERCICIOS 1) Hallar
a) )1('f si 8)( xxf b) )2(' g si 13)( 2 xxxg c) )0('t si 1
)(
x
xxt
2) Hallar una ecuación de la recta tangente a cada función en el valor indicado. Graficar
dicha recta y la función.
a) 2)( xxf , 30 x b) x
xg1
)( , 20 x c) xxs )( , 90 x
3) Hallar:
a) 'f y ''f si xxxf 35)( 2 b) 'g si x
xg1
)( c) 'h si 1)( xxh
d) 'r si 2
1)( 3 xxr e) 'm si 3)( xxm f) 'n si
2)1(
2)(
xxn
4) Para las siguientes funciones hallar la función derivada:
a) senxxxxa 35 3)( 13
2)(
x
xxb )53)(12()( xxxc
)cos(
4)()(
x
xsenxd
53
1)( 2 xsenx
xxxe
2
3
5
42)(
x
xxxf
)1)(3()( 23 xxxxg x
xxh
1
1)(
b) 32)( 21 xxf 83)(2 xsenxf 2cos)(3 xxf
134 )( xexf xsenxf 1)(5
233ln)( 23
6 xxxxf
4237 )53()( xxxxf
38 )cos()( xxsenxxf
5) Para las siguientes funciones hallar la función derivada:
xxxxi )2ln()6cos()( )35()( 2 xxsenxj 22 3)( xxxk
)5ln3cos()( 4 xxl )()( xsenxm 5))3cos(()( xsenxxn
)(ln)ln()( xsensenxxp 342 )2()3()( xxxxq
3
)1ln(3)(
2
xexr
x
)5cos()4()( 3 xexxsenxs
3
2143cos2
)(xx
xxxt
6) Hallar la función derivada primera y segunda:
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21
a) 2
134)( 3 xxxf b)
2
1)(
xxh c) )3()( xsenxg
7) Hallar una ecuación de la recta tangente para cada una de las funciones dadas en el
punto de abscisa indicada:
a) 35)( 2 xxxf , 10 x b) 493)( 23 xxxxl , 30 x
8) Indicar para cada función, los puntos de la gráfica donde la tangente es horizontal:
a) 23)( 2 xxxf b) 56)( 3 xxxg
9) Indicar los puntos de la gráfica de la función xxxxf 369)( 23 donde la recta
tangente tiene pendiente 9.
10) Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos
indicados.
a) 8,1)( 3 xxf b) 1,24)( 2 xxf
c) 2,26233)( xxxf d) 3,253
2)( xxf
e) 1,34)( 2 xxf f) 4,14)( 34 xxxf
g)
4,
2
13)(
2
x
xxf
11) Hallar si es posible el valor c , correspondiente al teorema de Rolle, para:
a) 4,223)( 2 enxxxf b) 4,0104)( 34 enxxxh
c) 2,113)( 23 enxxxg
12) Hallar si es posible el valor de c , correspondiente al teorema del valor medio, para:
0,1)( 3 enxxxg
13) Indicar en qué subconjuntos del dominio las siguientes funciones son crecientes o
decrecientes, de acuerdo con el signo de su primera derivada:
523)( 2 xxxf 34)( xxxg xxxxh 2492)( 23
3)(
2
2
x
xxm
Análisis Matemático II Mgter. Viviana Paula D’Agostini
22
14) Hallar si existen extremos locales utilizando el criterio de la derivada primera para
las siguientes funciones: 41
5)(
xxf
103)( 2 xxxg
362)( 23 xxxh 33)( 2 ttxr
15) Hallar si existen extremos locales utilizando el criterio de la derivada segunda:
a) 63)( 23 xxxh b) xxxr 163)( 3 c) 312)( xxxs
16) Evaluar los siguientes límites:
a)
20
limx
senx
x b)
2lim
x
ex
x c)
2
0
cos1lim
x
x
x
d)
3
3
0
6lim
x
xxsenx
x e)
2
2
0
21cos
limx
xx
x f)
3
2
0
21
limx
xxex
x
17) Ejercicio complementario. Hallar la función derivada para cada una de las
siguientes funciones:
2
2
11
3cos)(
x
xxf
52
2342
)(2
3
2
x
xxxf
23ln13)( 2
3 xxxf
1)(
2
3
4
xx
exf
x
32ln)( 3
5 xxxsenxf 13cos2)( 3
6 xxxxf
86
2
12
3)(
2
2
7
xx
xsenxf
BIBLIOGRAFÍA
- Steward J. Cálculo. (2008). Sexta Edición. Cengage Learning.
- Thomas. Cálculo Una variable. (2005). Undécima edición. Pearson Addison Wesley.
- Rabuffetti Hebe T. (1995) Introducción al Análisis Matemático.
- Miguel de Guzmán. Análisis Matemático I. Editorial Anaya.
- Spivack Michael. (1988). Cálculo Infinitesimal. Editorial Reverté.