FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL UNCP
ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUTURAS TIPO PARRILLA
Las estructuras tipo parrilla son estructuras reticulares sometidas a cargas que actúan perpendicularmente a su plano. Podemos encontrar muchas de ellas en las estructuras industriales, en losas de entrepiso con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fábricas sometidas a la acción del viento. Los nudos se suponen rígidos en consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsión, flexión y corte.
Para la determinación de la matriz de rigidez los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsión, flexión y corte.
Esquema de una típica parrilla
Para la deducción de la matriz de rigidez de sus miembros utilizaremos el principio de superposición; es decir, primero consideramos un elemento sometido a flexión y corte; y luego el mismo elemento sometido a torsión. La matriz resultará la suma de estas dos matrices halladas.
1. ELEMENTO SOMETIDO A FLEXION Y CORTE, ORIENTADO EN EL EJE X:
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
1ª columna: θi=1
Por Maney
M ij=2 EIL
(2θi+θ j−3φ ij) M ji=2EIL
(θi+2θ j−3φ ji)
M ij=2 EIL
(2+0−3∗0)
M ij=4 EIL
M ji=2EIL
(1+2∗0−3∗0)
M ij=2 EIL
V=
4 EIL
+ 2 EIL
L
V i=6 EI
L2V j=
6EI
L2
2ª Columna:
υi=1
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M ij=2 EIL
(2θi+θ j−3φ ij) M ji=2EIL
(θi+2θ j−3φ ji)
M ij=2 EIL
(0+0−3∗1L
)
M ij=−6 EIL2
M ji=2EIL
(0+2∗0−3∗1L
)
M ij=−6 EIL2
V=−−6 EI
L2+−6 EI
L2
L
V i=12EI
L3V j=
−12EIL3
3ª Columna:
θJ=1
Por Maney
M ij=2 EIL
(2θi+θ j−3φ ij) M ji=2EIL
(θi+2θ j−3φ ji)
M ij=2 EIL
(0+1−3∗0)
M ij=2 EIL
M ji=2EIL
(0+2∗1−3∗0)
M ij=4 EIL
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V=−4 EI
L+ 2 EIL
L
V i=−6 EIL2
V j=6EI
L2
4ª Columna:
υJ=1
POR MANEY:
M ij=2 EIL
(2θi+θ j−3φ ij) M ji=2EIL
(θi+2θ j−3φ ji)
M ij=2 EIL
(0+0−3∗−1L
)
M ij=6EI
L2
M ji=2EIL
(0+2∗0−3∗−1L
)
M ij=6EI
L2
V=−6 EIL2
+ 6 EIL2
L
V i=−12 EIL3
V j=12 EI
L3
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[M yi
Z iM yj
Z i]=
[4 EIL
−6 EIL2
4 EIL
6 EIL2
−6EIL2
12EI
L3−6 EIL2
−12EIL3
4 EIL
−6 EIL2
4 EIL
6 EIL2
6 EI
L2−12EI
L36 EI
L212EI
L3] *
[θyiωiθjωj
]
2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO SOMETIDO A TORSION
Cuando se tiene un elemento prismático sometido a torsión, se sabe que el giro producido por ella esta dado por:
θx=M x∗LJG
Donde:
θx = Giro relativo entre los extremos.
M x = momento torsor
L = longitud
J =constante torsional.
G =módulo de corte.
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REPRESENTACION ESQUEMATICA DE UN ELEMENTO PRISMATICO SOMETIDO A TORSION
Cuando tenemos secciones circulares macizas o huecas, la constante torsional es el momento polar de inercia.
Para secciones rectangulares, en cambio, podemos calcular con la siguiente formula:
J=Cb t 3
C=13−0.21( tb ) [1− 1
12 ( tb )4
]
Donde b y t son las dimensiones transversales del elemento.
De la ecuación.
θx=M x∗LJG
Hallando la matriz de rigidez del elemento, tenemos:θxi=1
Podemos despejar:
M x=θx∗JGL
M x=1∗JGL
M xi=JGL
M xj=−JGL
Por lo que la matriz de rigidez queda de la siguiente manera:
[K ] =[ GJL −GJ
L
−GJL
GJL
]Recordando la ecuación general:
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[k ]∗[u ]=[ f ]
[M xi
M xj]=[ GJL −GJ
L
−GJL
GJL
]*[θxiθxj ]
Una vez obtenidas las dos ecuaciones aplicando superposición obtenemos la ecuación general del elemento de una parrilla, referida a coordenadas locales y para elementos orientados en el eje x.
[M xi
M yi
Z iM xj
M yj
Z j]=
[M
Fxi
MFyi
ZFi
MFxj
MFyj
ZFj
]+
[GJL
0 0−GJL
0 0
04 EIL
−6 EIL2
02EIL
6 EIL2
0−6 EIL2
12 EI
L30
−6 EIL2
−12 EIL3
−GJL
0 0GJL
0 0
02 EIL
−6 EIL2
04 EIL
6 EI
L2
06 EIL2
−12EIL3
06 EIL2
12EIL3
].
[θxiθyiw iθxjθyjw j
]3. ELEMENTO SOMETIDO A FLEXION Y CORTE, ORIENTADO EN EL EJE Y:
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1ª COLUMNA:
Por Maney:
M ij=2 EIL
(2θi+θ j−3φ ij) M ji=2EIL
(θi+2θ j−3φ ji)
M ij=2 EIL
(2+0−3∗0)
M ij=4 EIL
M ji=2EIL
(1+2∗0−3∗0)
M ij=2 EIL
V=
4 EIL
+ 2 EIL
L
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V i=6 EI
L2V j=
−6 EIL2
2ª COLUMNA:
M ij=2 EIL
(2θi+θ j−3φ ij) M ji=2EIL
(θi+2θ j−3φ ji)
M ij=2 EIL
(0+0−3∗1L
)
M ij=6EI
L2
M ji=2EIL
(0+2∗0−3∗1L
)
M ij=6EI
L2
V=
6 EI
L2+6 EIL2
L
V i=12EI
L3
V j=−12EIL3
3ª COLUMNA:
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Por Maney
M ij=2 EIL
(2θi+θ j−3φ ij) M ji=2EIL
(θi+2θ j−3φ ji)
M ij=2 EIL
(0+1−3∗0)
M ij=2 EIL
M ji=2EIL
(0+2∗1−3∗0)
M ij=4 EIL
V=−4 EI
L+ 2 EIL
L
V i=−6 EIL2
V j=6EI
L2
4ª COLUMNA:
POR MANEY:
M ij=2 EIL
(2θi+θ j−3φ ij) M ji=2EIL
(θi+2θ j−3φ ji)
M ij=2 EIL
(0+0−3∗−1L
)
M ij=−6 EIL2
M ji=2EIL
(0+2∗0−3∗−1L
)
M ij=−6 EIL2
V=−6 EIL2
+ 6 EIL2
L
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V i=−12 EIL3
V j=12 EI
L3
Obtenemos la siguiente matriz:
[M xi
Z iM xj
Zi]=
[4 EIL
6 EIL2
2EIL
−6 EIL2
6 EI
L212EI
L36 EI
L2−12EI
L3
4 EIL
6 EIL2
4 EIL
−6 EIL2
−6EIL2
−12EI
L3−6 EIL2
12EI
L3] *
[θxiωiθxjω j
]
4. LA MATRIZ DE RIGIDEZ POR TORSIÓN ES:
[M yi
M yj]=[ GJL −GJ
L
−GJL
GJL
]*[θyiθ yj ]
Aplicando superposición tenemos la matriz de rigidez de un elemento de parrilla orientado en el eje Y:
[M xi
M yi
Z iM xj
M yj
Z j]=
[M
Fxi
MFyi
ZFi
MFxi
MFyj
ZFj
]+
[4 EIL
06 EI
L22 EIL
0−6 EIL2
0GJL
0 0−GJL
0
6 EI
L20
12 EI
L36 EI
L20
−12EIL3
2EIL
06 EIL2
4 EIL
0−6 EIL2
0−GJL
0 0GJL
0
−6EIL2
0−12EIL3
−6 EIL2
012 EIL3
].
[θxiθyiw iθxjθyjw j
]5. ELEMENTO DE PARRILLA ORIENTADO ARBITRARIAMENTE
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En la figura representamos la rotación un elemento que es análogo al caso que se estudió en el plano:
De donde tenemos que la matriz de transformación :
[T ]
=
[λ μ 0 0 0 0
−μ λ 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 λ μ 00 0 0 −μ λ 00 0 0 0 0 1
]Donde, como se vio:
λ=cos φx
μ=sen φx
[T ]=[T ] [F ]
[M xi
M yi
Z i⃛M xj
M yj
Z j]=
[λ μ 0 0 0 0
−μ λ 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 λ μ 00 0 0 −μ λ 00 0 0 0 0 1
]*
[M xi
M yi
Z iM xj
M yj
Z j]
Recordamos que la matriz de rigidez referida a coordenadas generales se puede obtener mediante el triple producto:
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[k ]= [T ]T [K ] [T ]
Forma general de la matriz de rigidez de un elemento de parrilla.
[M xi
M xj
Z iM yi
M yj
Z j]=
[M
Fxi
MFxj
ZFi
MFyi
MFyj
ZFj
]+
[4 EILμ2+GJ
Lλ2 [GJL −4 EI
L ] λμ 6 EIL2
μ2EILμ2−GJ
Lλ2 −[GJL + 2EI
L ] λμ −6 EIL2
μ
[GJL −4 EIL ] λμ 4 EI
Lλ2+GJLμ2 −
6 EI
L2λ −[GJL +
2 EIL ] λμ 2 EI
Lλ2−
GJLμ2
6 EI
L2λ
6 EI
L2μ −6 EI
L2λ
12 EI
L36EI
L2μ −6 EI
L2λ
−12 EIL3
2EILμ2−GJ
Lλ2 −[GJL + 2EI
L ] λμ 6 EIL2
μ4 EILμ2+GJ
Lλ2 [GJL −4 EI
L ] λμ −6 EIL2
μ
−[GJL + 2 EIL ] λμ 2 EI
Lλ2−GJ
Lμ2 −6 EI
L2λ [GJL −4 EI
L ] λμ 4 EILλ2+GJ
Lμ2
6 EIL2
λ
−6 EIL2
μ6 EIL2
λ−12EIL3
−6 EIL2
μ6 EIL2
λ12EIL3
].
[θxiθxjw iθyiθyjw j
]
6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. Resuelva matricialmente la estructura descrita a continuación.
Ambos elementos tienen una sección de 300 mm x 400 mm (b x h), el módulo de elasticidad vale 19 KN/mm2 y la relación de Poisson 0.20.
SOLUCIÓN:
1. Cálculos previos.
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La constante torsional vale:
J=C bt3
C=13−0.21∗t
b [1− 112 ( tb )
4 ]=¿
C=13−0.21∗300
400 [1− 112 ( 300400 )
4]=0.1800J=0.1800∗400∗(300)3=1.944∗109mm4=1.944∗10−3m4
G= E2¿¿
GJ=7.92∗106∗1.944∗10−3=15400KN .m2
EI=19∗106∗0.3∗0.43
12=30400KN .m2
2. Fuerzas de empotramiento de cada elemento.
Elemento 1-2:
M º Y 12=−M ºY 21−PL8
=−50∗2.48
=−15
Z º12=Z º21=P2
=502
=25
Mº X 12=Mº X 21=0
Elemento 1-3:
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Mº X 13=−M ºX 31=−W L2
12=−20∗9
12=−15
Z º13=Z º31=WL2
=20∗32
=30
Mº Y 13=M Y 31=0
Reemplazando en la ecuación orientado al eje X, para el elemento 1-2:
[M x 12
M y12
Z12M x 21
M y 21
Z21]=[
0−152501525
]+[6416.67 0 0 −6416.67 0 00 50666.67 −31666.67 0 25333.33 31666.670 −31666.67 26388.89 0 −31666.67 −26388.89
−6416.67 0 0 6416.67 0 00 25333.33 −31666.67 0 50666.67 31666.670 31666.67 −26388.89 0 31666.67 26388.89
] [❑x1
❑y 1
v1000
]Reemplazando en la ecuación orientado al eje Y, para el elemento 1-3:
[M x 13
M y13
Z13M x31
M y 31
Z31]=[
−1503015030
]+[40533.33 0 −20266.67 20266.67 0 20266.67
0 5133.33 0 0 −5133.33 0−20266.67 0 13511.11 −20266.67 0 −13511.1120266.67 0 −20266.67 40533.33 0 20266.67
0 −5133.33 0 0 5133.33 020266.67 0 −13511.11 20266.67 0 13511.11
][❑x1
❑y 1
v1000
]CANDIOTTI CUSI, CHRISTIAN
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Ensamblando las partes correspondientes al nudo libre (1) resulta:
Vector de fuerzas externas.
[ 00−40][ M X1=0M Y 1=0Z1=−40]=[−15−15
55 ]+[ 46950 0 −20266.670 55800 −31666.67
−20266.67 −31666.67 39900 ][❑x 1
❑y 1
v1 ][ 1515−95]=[ 46950 0 −20266.67
0 55800 −31666.67−20266.67 −31666.67 39900 ] [❑x1
❑y 1
v1]
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:
❑x 1=−2 .301x 10−3 rad
❑y 1=−3 .176x 10−3 rad
v1=−6 .070 x10−3m
Cálculo de las fuerzas internas:
Para el elemento 1-2:
[M x 12
M y12
Z12M x 21
M y 21
Z21]=[
0−152501525
]+[6416.67 0 0 −6416.67 0 00 50666.67 −31666.67 0 25333.33 31666.670 −31666.67 26388.89 0 −31666.67 −26388.89
−6416.67 0 0 6416.67 0 00 25333.33 −31666.67 0 50666.67 31666.670 31666.67 −26388.89 0 31666.67 26388.89
] [−2.301x 10−3
−3.176x 10−3
−6.070x 10−3
000
][M x 12
M y12
Z12M x 21
M y 21
Z21]=[
−14.7616.30
−34.6114.76126.7684.61
]KN−mKN−mKN
KN−mKN−mKN
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Para el elemento 1-3:
[M x 13
M y13
Z13M x31
M y 31
Z31]=[
−1503015030
]+[40533.33 0 −20266.67 20266.67 0 20266.67
0 5133.33 0 0 −5133.33 0−20266.67 0 13511.11 −20266.67 0 −13511.1120266.67 0 −20266.67 40533.33 0 20266.67
0 −5133.33 0 0 5133.33 020266.67 0 −13511.11 20266.67 0 13511.11
][−2.301x 10−3
−3.176 x10−3
−6.070 x10−3
000
][M x 13
M y13
Z13M x31
M y 31
Z31]=[
14.76−16.30−5.3891.3916.3065.38
]KN−mKN−mKN
KN−mKN−mKN
Diagramas:
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VERIFICACIÓN CON EL PROGRAMA SAP 2000
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DEFORMADA
DIAGRAMAS:
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FUERZA CORTANTE
MOMENTO FLECTOR
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MOMENTO TORSOR
2.- Resuelva completamente la parrilla mostrada, por el método matricial de los desplazamientos. Sección 300*350 mm, E=19 KN/mm2, G=7.5 KN/mm2.
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SOLUCION:
1. Cálculos previos:
J=C bt3
C=13−0.21∗300
350 [1− 112 ( 300350 )
4]=0.1614J=0.1614∗350∗(300)3=1.526∗109mm4=1.526∗10−3m4
GJ=7.50∗106∗1.526∗10−3=11445 KN .m2
EI=19∗106∗0.3∗0.353
12=20365.625KN .m2
2. Momentos de empotramiento perfecto:
Elemento 1-2:
Mº Y 12=−120∗1.72∗1.3
9=−50.09
M º Y 21=120∗1.32∗1.7
9=38.31
Zº 12=120∗1.7+50.09−38.31
3=71.93
Z º21=120∗1.3−50.09+38.31
3=48.07
Mº X 12=Mº X 21=0
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Elemento 4-1:
Mº Y 41=M ºY 14=0
Z º41=Z º14=0
Mº X 41=M ºX 14=0
Elemento 1-3:
Mº X 13=−M ºX 31=−32∗2512
=−66.67
Z º13=Z º31=32∗52
=80
Mº Y 13=M ºY 31=0
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Reemplazando en la ecuación (5) para el elemento 1-2 y 4-1:
[M x 12
M y12
Z12M x 21
M y 21
Z21]=[
0−50.0973.930
38.3148.07
]+[3815 0 0 −3815 0 00 27154.167 −13577.083 0 13577.083 13577.0830 −13577.083 9051.389 0 −13577.083 −9051.389
−3815 0 0 3815 0 00 13577.083 −13577.083 0 27154.167 13577.0830 13577.083 −9051.389 0 13577.083 9051.389
] [❑x1
❑y 1
v1000
][M x41
M y 41
Z 41M x 14
M y14
Z14]=[
3815 0 0 −3815 0 00 27154.167 −13577.083 0 13577.083 13577.0830 −13577.083 9051.389 0 −13577.083 −9051.389
−3815 0 0 3815 0 00 13577.083 −13577.083 0 27154.167 13577.0830 13577.083 −9051.389 0 13577.083 9051.389
] [000
❑x 1
❑y1
v1]
Reemplazando en la ecuación (6) para el elemento 1-3:
[M x 13
M y13
Z13M x31
M y 31
Z31]=[
−66.6708066.67080
]+[16292.5 0 −4887.75 8146.25 0 4887.750 2289 0 0 −2289 0
−4887.75 0 1955.1 −4887.75 0 −1955.18146.25 0 −4887.75 16292.5 0 4887.750 −2289 0 0 2289 0
4887.75 0 −1955.1 4887.75 0 1955.1][❑x 1
❑y 1
v1000
]Ensamblando las partes correspondientes al nudo libre resulta:
Vector de fuerzas externas.
[000][MX 1=0M Y 1=0Z1=0 ]=[−66.67−50.09
151.93 ]+[ 23922.5 0 −4887.750 15866.084 0
−4887.75 0 20057.878 ][❑x 1
❑y 1
v1 ][ 66.6750.09−151.93]=[ 23922.5 0 −4887.75
0 15866.084 0−4887.75 0 20057.878] [❑x 1
❑y1
v1]
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
❑x 1=1 .304 x10−3rad
❑y 1=8 .851x 10−4 rad
v1=−7 .257x 10−3m
Cálculo de las fuerzas internas:
Para el elemento 1-2:
[M x 12
M y12
Z12M x 21
M y 21
Z21]=[
0−50.0973.930
38.3148.07
]+[3815 0 0 −3815 0 00 27154.167 −13577.083 0 13577.083 13577.0830 −13577.083 9051.389 0 −13577.083 −9051.389
−3815 0 0 3815 0 00 13577.083 −13577.083 0 27154.167 13577.0830 13577.083 −9051.389 0 13577.083 9051.389
] [1.304 x10−3
8.851x 10−4
−7.257 x10−3
000
][M x 12
M y12
Z12M x 21
M y 21
Z21]=[
4.9772.47−5.77−4.97148.86125.77
]KN−mKN−mKN
KN−mKN−mKN
Para el elemento 4-1:
[M x41
M y 41
Z 41M x 14
M y14
Z14]=[
3815 0 0 −3815 0 00 27154.167 −13577.083 0 13577.083 13577.0830 −13577.083 9051.389 0 −13577.083 −9051.389
−3815 0 0 3815 0 00 13577.083 −13577.083 0 27154.167 13577.0830 13577.083 −9051.389 0 13577.083 9051.389
] [000
1.304 x 10−3
8.851 x10−4
−7.257 x 10−3]
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[M x41
M y 41
Z 41M x 14
M y14
Z14]=[
−4.97−86.5153.674.97
−74.49−53.67
]KN−mKN−mKN
KN−mKN−mKN
Para el elmento 1-3:
[M x 13
M y13
Z13M x31
M y 31
Z31]=[
−66.6708066.67080
]+[16292.5 0 −4887.75 8146.25 0 4887.750 2289 0 0 −2289 0
−4887.75 0 1955.1 −4887.75 0 −1955.18146.25 0 −4887.75 16292.5 0 4887.750 −2289 0 0 2289 0
4887.75 0 −1955.1 4887.75 0 1955.1][1.304 x10−3
8.851 x10−4
−7.257 x10−3
000
][M x 13
M y13
Z13M x31
M y 31
Z31]=[
−9.952.0359.44112.76−2.03100.56
]KN−mKN−mKN
KN−mKN−mKN
Diagramas:
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COMPROBACIÓN CON EL PROGRAMA SAP 2000
DEFORMADA
DIAGRAMAS
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FUERZA CORTANTE
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MOMENTO FLECTOR
MOMENTO TORSOR
CONCLUSIONES
El análisis que se hizo a la estructura tipo parrilla, se basa en el principio de superposición; de un elemento sometido a flexión y corte, y otro sometido a torsión, el cual por este principio
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físico, nos dará la matriz de rigidez de elemento total. Los nudos en el elemento parrilla se suponen rígidos, por ende las acciones principales sobre
sus elementos serán 3; flexión, corte y torsión. Los elementos tipo parrillas son utilizadas en estructuras como: puentes, losas armadas en dos
direcciones, cierto tipo de cimentaciones y estructuras sometidas a la acción del viento.
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