ANALISIS PERAMALAN PENDAFTARAN SISWA BARU
MENGGUNAKAN METODE SEASONAL ARIMA DAN METODE
DEKOMPOSISI
(Studi kasus: Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bintaro)
Nizar Muhammad Al Kharis
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2014 M / 1435 H
i
ANALISIS PERAMALAN PENDAFTARAN SISWA BARU
MENGGUNAKAN METODE SEASONAL ARIMA DAN
METODE DEKOMPOSISI
(Studi kasus: Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bintaro)
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh
Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Oleh:
Nizar Muhammad Al Kharis
108094000020
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2014 M / 1435 H
ii
iii
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-
BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN
SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA
MANAPUN .
Jakarta, September 2014
Nizar Muhammad Al Kharis 108094000020
iv
PERSEMBAHAN
Sebuah hadiah kepada Ibunda tercinta sebagai permintaan
maaf Ananda yang tak sanggup berbakti dengan sebaik-
baiknya bakti
Untuk Adik-adikku tersayang, semoga kalian semangat selalu
dalam menggapai cita-cita kalian
Kepada Ayahanda, saksikanlah Aku mengarungi kehidupan..
v
ABSTRAK
Nizar Muhammad Al Kharis, Analisis Peramalan Jumlah Pendaftaran Siswa
Baru Menggunakan Metode Seasonal ARIMA dan Metode Dekomposisisi (Studi
Kasus Lembaga Bimbingan Belajar Sony Sugema College Cabang Bintaro). Di
bawah bimbingan Bambang Ruswandi, M.Stat dan Suma’inna, M.Si
Data mengenai jumlah pendaftaran siswa baru di lembaga bimbingan belajar SSC
cabang Bintaro dapat digunakan untuk memutuskan perencananaan sumber daya
dengan melakukan peramalan. Karena data bersifat musiman, Metode Box-
Jenkins Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi merupakan metode yang
cocok untuk melakukan analisis runtun waktu. Metode Seasonal ARIMA yang
mencari pengaruh data di masa lalu terhadap data masa kini menghasilkan model
ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 dengan nilai MAPE sebesar 41.853% sedangkan
metode Dekomposisi yang memecah data menjadi beberapa faktor menghasilkan
model dekomposisi aditif dengan nilai MAPE yang lebih baik yakni 18.153%.
Kata Kunci: Metode Box-Jenkins, ARIMA Musiman, Peramalan Dekomposisi,
Indeks Musiman.
vi
ABSTRACT
Nizar Muhammad Al Kharis, New Students Enrollment Forecasting Use
Seasonal ARIMA Method and Decompotition Method (Case of Study: Sony
Sugema College at Bintaro). Advisored by Bambang Ruswandi, M.Stat and
Suma’inna, M.Si
New students enrollment at Sony Sugema College can be used to make decision
about their resource by forecasting. Since the data is seasonal, using Box-Jenkins
Methods Seasonal ARIMA and Decompotition forecasting method is adequate.
Seasonal ARIMA method which is trying to find the correlation between past
enrollment and the new enrollment generate ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 with MAPE
41.853% while Decompotition method which trying to part the data generate
aditif model with MAPE 18.153% is more satisfied.
Key Words: Box-Jenkins Methods, Seasonal ARIMA, Decompotition
Forecasting, Seasonal Indices.
vii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
memberikan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar sarjana sains
dalam bidang Matematika di UIN Syarif Hidayatullah Jakarta. Shalawat beserta
salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, berikut
keluarga, sahabat, serta pengikutnya yang setia hingga akhir zaman.
Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan maupun lembaga.
Untuk itu dengan segala kerendahan hati ingin menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Dr. Agus Salim, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
2. Ibu Yanne Irene, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Bapak Bambang Ruswandi, M.Stat selaku dosen pembimbing I penulis yang
telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan
sehingga terselesaikannya skripsi ini.
4. Ibu Suma’inna, M.Si selaku dosen pembimbing II penulis yang telah
meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan
sehingga terselesaikannya skripsi ini.
5. Seluruh Dosen UIN Syarif Hidayatullah Jakarta khususnya Dosen Prodi
Matematika Fakultas Sains dan Teknologi khususnya yang tanpa lelah
memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
6. Lembaga Bimbingan Belajar SSC Mutiara Ilmu yang telah menjadi lading
bagi penulis untuk belajar dan membagi ilmu.
7. Ibunda tercinta yang selalu memberikan dukungan moril serta do’a kepada
penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.
viii
8. Untuk adik-adikku tercinta yang selalu memberikan semangat dan menghibur
penulis.
9. Teman-teman Matematika 2008, yang selama ini membantu penulis
menghadapi perkuliahan baik di saat suka maupun duka.
10. Agan Shiro Ngampus yang selalu memotivasi para mahasiswa akhir melalui
dunia maya dengan karikatur-karikaturnya.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak
kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat
membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang.
Dan akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi dunia
pendidikan khususnya bagi mahasiswa Program Studi Matematika. Amin.
Jakarta, September 2014
Penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………. i
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN …………………………………………… ii
LEMBAR PERNYATAAN …………………………………………………… iii
PERSEMBAHAN ……………………………………………………………... iv
ABSTRAK ..…………………………………...……………………...…………v
ABSTRACT ...…………………………..………………………………………vi
KATA PENGANTAR ………………………………………………………… vii
DAFTAR ISI ……………..………………….………………………………… ix
DAFTAR TABEL …………………………..…….…………………………...xii
DAFTAR GAMBAR …………………..……………………………………...xiv
DAFTAR LAMPIRAN ………………………………………..……………....xv
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ...……………………………………………………..…..1
1.2 Perumusan Masalah ….....………………………………………………..4
1.3 Pembatasan Masalah ...….……………………………………………..… 4
1.4 Tujuan Penelitian ..…………………………………………………….....5
1.5 ManfaatPenelitian …...…………………………………………………..5
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Deret Berkala dan Proses Stokastik ..……………………………………. 6
x
2.2 Pola Data Deret Berkala…………………………………...……………... 8
2.3 Stasioneritas …………………………………………………………..... 10
2.4 Fungsi Autokorelasi (ACF) …………...………………………...…….... 14
2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) ………..………………………..… 15
2.6 Metode Box-Jenkins ………………………………………………….... 16
2.6.1 Proses Autoregressif (AR) ……………………………………...16
2.6.2 Proses Moving Average (MA) ……………………………...….. 18
2.6.3 Proses Campuran Autoregressif dan Moving Average ..………...19
2.6.4 Operator Backshift ……………………………………………... 19
2.6.5 Model Autoregressif Integrated Moving Average ………….…..20
2.6.6 Konstanta pada Model ARIMA ………………………………... 21
2.7 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average
(SARIMA) ……………………………………………………………...22
2.8 Asumsi White Noise .……………………………………………………24
2.8.1 Residu Bersifat Acak ..………………………………………......24
2.8.2 Residu Bersifat Normal …………...……………………...……..25
2.9 Metode Dekomposisi ...……………………………………………….... 25
2.10 Evaluasi Model …...…………………………..………………………...28
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Sumber Data ……...……………………...……………………………...30
3.2 Metode Seasonal ARIMA …………...…………………………………. 30
3.3 Metode Dekomposisi ……...……………………………..…………….. 35
3.4 Alur Penelitian …...…………………………………………………......39
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengolahan Data Menggunakan Metode SARIMA ……………...……...41
4.1.1 Pemeriksaan Kestasioneran Data …...………………………….. 41
4.1.2 Identifikasi Model ………………………………………………45
4.1.3 Penaksiran Parameter dan Diagnosis Model ……...………...…..47
4.2 Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi ………………...61
xi
4.2.1 Menghitung Indeks Musiman …………..…………………........ 61
4.2.2 Pencocokan Trend ………………………………………...……. 66
4.2.3 Evaluasi Model …………………………………………………67
4.3 Perbandingan Hasil Metode SARIMA dan Metode Dekomposisi …….. 67
4.4 Peramalan …………………………………………………………...….. 69
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ……………………………………………………………..70
5.2 Saran …………………………………………………………………….72
REFERENSI ……………………………………………………………...…… 73
LAMPIRAN …………………………………………………………...………. 75
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Transformasi Pangkat ……………………………...………………....13
Tabel 4.1 Deskripsi data ...………………………………...…………………… 40
Tabel 4.2 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller Data Siswa ……………………. 42
Tabel 4.3 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller data hasil transformasi ……..… 44
Tabel 4.4 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 ………………….... 48
Tabel 4.5 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 ………..………….. 49
Tabel 4.6 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 …………..……….. 50
Tabel 4.7 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 ……………………51
Tabel 4.8 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 …………………….... 53
Tabel 4.9 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 ………………………54
Tabel 4.10 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 ……………………..56
Tabel 4.11 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 ……………………..58
Tabel 4.12 Nilai MSE Model ARIMA ……………………………………...…. 60
Tabel 4.13 Rangkuman Diagnosis Model ARIMA ……………………...…….. 60
Tabel 4.14 Tabel Data Hasil Transformasi …………………………………….. 62
Tabel 4.15 Tabel Hasil Perhitungan Rata – Rata Bergerak ………………...….. 62
Tabel 4.16 Hasil Pengurangan Data Dengan Rata – Rata Bergerak …………...63
xiii
Tabel 4.17 Hasil Pembagian Data Dengan Rata – Rata Bergerak ……………..64
Tabel 4.18 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Aditif ……….……...…65
Tabel 4.19 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Multiplikatif ………….. 65
Tabel 4.20 Perhitungan MAPE Model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 ……………..68
Tabel 4.21 Perhitungan MAPE Model Dekomposisi Aditif ………………...… 68
Tabel 4.22 Peramalan Pendaftaran Siswa Baru Tahun Ajaran 2014 – 2015 ...… 69
Tabel5.1 Indeks Musiman Model Aditif ..…………….……………………….71
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Pola Data Horizontal ………………………………………………. 8
Gambar 2.2 Pola Data Trend ……………………………………………………9
Gambar 2.3 Pola Data Musiman …………...………………………………..…. 9
Gambar 2.4 Pola Data Siklus ……………………………..…………………… 10
Gambar 3.3 Alur Penelitian ……...…………………………………...……….. 39
Gambar 4.1 Plot Data Siswa …………………………………………………... 41
Gambar 4.2 Plot ACF Data Siswa …………………………………………….. 42
Gambar 4.3 Plot Box-Cox data siswa …………………...……………………..43
Gambar 4.4 Plot data hasil transformasi ………………………………………. 44
Gambar 4.5 Plot ACF data input model ………………………………………. 45
Gambar 4.6 Plot PACF data input model ………………………...……………46
Gambar 4.7 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 ……………………...52
Gambar 4.8 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 …………...…. 53
Gambar 4.9 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 ……………………...54
Gambar 4.10 Plot ProbabilitasResidu ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 ……......…..... 55
Gambar 4.11 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 …………………….56
Gambar 4.12 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 …………….. 57
Gambar 4.13 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 …………...………..58
Gambar 4.14 Plot Probabilitas Residu ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 ...…………...59
xv
DAFTAR LAMPIRAN
LAMPIRAN 1 Data Jumlah Pendaftaran Siswa Baru LBB SSC Bintaro
(Periode Mei 2007 – April 2014) ……...………………………..75
LAMPIRAN 2 Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman
Aditif ………………………………………………..…………. 76
LAMPIRAN 3 Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman
Multiplikatif ……………………………………………….…... 77
LAMPIRAN 4 Perhitungan Nilai Parameter Trend ……………………………. 78
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seiring pesatnya kemajuan ilmu pengetahuan, kesadaran mengenai
peristiwa mendatang semakin bertambah dan akibatnya kebutuhan akan berbagai
peramalan semakin meningkat. Misalnya berbagai peramalan di bidang ekonomi,
perdagangan, industri, lingkungan, dan sosial telah menghadirkan berbagai
macam hasil yang dapat digunakan oleh beragam pihak untuk mengambil
keputusan. Contoh yang paling lazim tentunya adalah kecermatan dalam
peramalan cuaca yang dapat kita gunakan untuk mengambil beberapa keputusan
seperti mempersiapkan kebutuhan di musim hujan yang diramalkan akan datang.
Sering kali dijumpai berbagai masalah yang bersifat musiman di sekitar
kehidupan. Permasalahan tersebut bagi sebagian orang lantas hanya menjadi angin
lalu yang tidak diperhatikan. Padahal jika dicermati dan diteliti, pola musiman
yang memiliki pola berulang-ulang tersebut dapat memberikan gambaran akan
kondisi masa depan sehingga dapat dibuat suatu perencanaan dan pengambilan
keputusan yang baik berdasarkan peramalan yang dilakukan.
Dalam kegiatan organisasi, peramalan merupakan bagian integral dari
pengambilan keputusan yang dilakukan oleh pihak manajemen. Organisasi akan
2
menentukan sasaran dan tujuan, kemudian berusaha menduga berdasarkan faktor-
faktor lingkungan yang ada, lalu memilih tindakan yang diharapkan dapat
menghasilkan pencapaian sasaran dan tujuan tersebut. Hal ini menjadikan
kebutuhan akan peramalan meningkat seiring dengan keinginan manajemen untuk
mengurangi ketergantungan terhadap hal-hal yang belum pasti pada beberapa
bagian penting. Beberapa bagian tersebut di antaranya adalah penjadwalan sumber
daya yang tersedia, penyediaan sumber daya tambahan, dan penentuan sumber
daya yang diinginkan. Mungkin terdapat banyak bagian lain yang memerlukan
peramalan, namun ketiga bagian di atas merupakan bentuk khas dari keperluan
peramalan dalam suatu organisasi pada umumnya.
Bentuk-bentuk keperluan peramalan yang khas tersebut tentunya juga
terdapat pada lingkup organisasi lembaga bimbingan belajar. Peramalan jumlah
pendaftaran siswa pada suatu lembaga bimbingan belajar tentunya akan dapat
membantu menentukan penjadwalan kelas dan jam belajar (penjadwalan sumber
daya), menentukan kapan diperlukannya pengajar tambahan dan buku mater i
tambahan bagi siswa baru (penyediaan sumber daya tambahan), serta penentuan
peralatan yang dibutuhkan di masa mendatang (penentuan sumber daya yang
diinginkan). Oleh karena itu, meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru akan
sangat penting. Ini dilakukan agar kegiatan belajar mengajar tetap terjaga stabil
dan kebutuhan siswa dapat terpenuhi.
Untuk meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode yang akan
datang, dapat digunakan analisis deret berkala (time series). Metode peramalan ini
3
didasarkan atas konsep bahwa hasil observasi saat ini dipengaruhi oleh hasil
observasi masa lalu dan hasil observasi yang akan datang dipengaruhi hasil
observasi saat ini. Namun karena jumlah pendaftaran siswa baru pada lembaga
bimbingan belajar bersifat musiman, maka metode yang cocok untuk digunakan
adalah metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi.
Metode Seasonal ARIMA merupakan bentuk khusus untuk data musiman
dari model ARIMA. Metode Seasonal ARIMA memiliki beberapa asumsi yang
harus terpenuhi sehingga memiliki kekuatan dari pendekatan teori statistik.
Metode ini sendiri dapat diaplikasikan pada berbagai bidang diantaranya
penelitian mengenai peramalan debit air sungai [1], peramalan jumlah penderita
demam berdarah [2], dan peramalan produksi air bersih [3]. Berbeda dengan
metode Dekomposisi yang lebih sederhana, yakni dengan melakukan proses
pemisahan faktor musiman lalu menghitungnya secara terpisah untuk kemudian
digunakan kembali dalam peramalan. Metode ini sering diterapkan pada bidang
marketing karena kemudahan prosesnya, beberapa diantaranyanya yakni pada
peramalan daya beban listrik [4], analisis data runtun waktu Indeks Harga
Konsumen [5], dan analisis peramalan ekspor Indonesia [6].
Meskipun kebutuhan peramalan mengenai jumlah pendaftaran siswa baru
pada suatu lembaga bimbingan belajar termasuk dalam bidang marketing yang
lebih sering menggunakan metode Dekomposisi, namun penerapan metode
Seasonal ARIMA dirasa perlu dipertimbangkan mengingat keunggulannya secara
statistik dibandingkan metode Dekomposisi. Berdasarkan uraian di atas maka
4
penulis membuat skripsi dengan judul “Analisis Peramalan Jumlah
Pendaftaran Siswa Baru Menggunakan Metode Seasonal ARIMA dan
Metode Dekomposisisi (Studi Kasus Lembaga Bimbingan Belajar SSC
Bintaro)”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dapat dirumuskan
permasalahan sebagai berikut:
1. Bagaimanakah memodelkan data deret waktu jumlah pendaftaran siswa
baru dengan analisis metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi?
2. Bagaimana perbandingan keakuratan hasil peramalan dari metode
Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi?
3. Berapakah nilai peramalan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode
selanjutnya?
1.3 Batasan Masalah
Data yang digunakan pada penelitian ini terbatas pada:
1. Jumlah pendaftaran siswa baru di Lembaga Bimbingan Belajar SSC
Bintaro.
2. Jumlah pendaftaran siswa baru tiap bulan mulai tahun ajaran 2007/2008
hingga tahun ajaran 2013/2014.
5
1.4 Tujuan Penelitian
Selaras dengan latar belakang masalah dan perumusan masalah di atas,
tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Melakukan pemodelan data jumlah pendaftaran siswa baru dengan analisis
deret waktu menggunakan metode Seasonal ARIMA dan metode
Dekomposisi.
2. Menentukan model yang lebih baik untuk digunakan dalam meramalkan
jumlah pendaftaran siswa baru pada periode berikutnya.
3. Meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode berikutnya
menggunkan metode terpilih.
1.5 Manfaat Penelitian
Penulis berharap penelitian ini memberi manfaat sebagai berikut:
1. Menambah pengetahuan dan meningkatkan kemampuan penulis maupun
pembaca dalam melakukan analisis data deret waktu musiman.
2. Sebagai bahan pertimbangan di Lembaga Bimbingan Belajar SSC dalam
menentukan langkah- langkah manajemen selanjutnya.
6
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Deret Berkala dan Proses Stokastik
Deret berkala merupakan kumpulan data yang didapatkan melalui
observasi per satuan waktu yang terbagi merata, misalkan per jam, per hari atau
per bulan [7]. Misalkan data hasil obsevasi ini disebut sebagai 𝑍𝑡 , karena tujuan
dari analisis deret berkala adalah untuk memodelkan ketidakpastian pada hasil
observasi maka diasumsikan bahwa 𝑍𝑡 adalah variabel acak. Sehingga sifat-sifat
dari 𝑍𝑡 akan mengikuti distribusi peluang. Selain itu, asumsi paling penting pada
model deret berkala ialah bahwa hasil masing-masing observasi untuk setiap titik
waktu yang berbeda adalah bergantung satu sama lain. Lebih tepatnya,
kebergantungan inilah yang akan diperiksa dalam analisis runtun waktu.
Kumpulan dari variabel acak inilah yang disebut sebagai proses stokastik.
Beberapa konsep dasar yang perlu diketahui dalam proses stokastik
diantaranya, yakni rata-rata dan kovarians. dimana untuk suatu proses stokastik
𝑍𝑡 ∶= 0, ±1,±2, … fungsi rata - rata didefinisikan oleh:
𝜇𝑡 = 𝐸 𝑍𝑡 untuk 𝑡 = 0, ±1, ±2, … 2.1
Yakni nilai ekspektasi proses stokastik pada selang waktu t, artinya 𝜇 bisa berbeda
untuk setiap selang waktu.
7
Sedangkan fungsi Autokovarians didefinisikan sebagai berikut:
𝛾𝑡 ,𝑠 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 ,𝑍𝑠 = 𝐸 𝑍𝑡 − 𝜇𝑡 𝑍𝑠 − 𝜇𝑠 = 𝐸 𝑍𝑡𝑍𝑠 − 𝜇𝑡𝜇𝑠 2.2
untuk 𝑡, 𝑠 = 0,±1, ±2, …
Dan selanjutnya, fungsi Autokorelasi yang diberikan oleh:
𝜌𝑡 ,𝑠 = 𝐶𝑜𝑟𝑟 𝑍𝑡 ,𝑍𝑠 =𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 , 𝑍𝑠
𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑠 1 2 =
𝛾𝑡 ,𝑠
𝛾𝑡 ,𝑡 ∙ 𝛾𝑠 ,𝑠 1 2
2.3
untuk 𝑡, 𝑠 = 0,±1, ±2, …
Berdasarkan definisi-definisi di atas maka dihasilkan beberapa sifat umum
sebagai berikut:
1.𝛾𝑡 ,𝑡 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 , 𝜌𝑡 ,𝑡 = 1
2. 𝛾𝑡 ,𝑠 = 𝛾𝑠 ,𝑡 , 𝜌𝑡,𝑠 = 𝜌𝑠 ,𝑡 2.4
3. 𝛾𝑡 ,𝑠 = 𝛾𝑡 ,𝑡 ∙ 𝛾𝑠 ,𝑠 , 𝜌𝑡 ,𝑠 ≤ 1
Nilai 𝜌𝑡 ,𝑠 yang mendekati ±1 menunjukkan ketergantungan yang kuat,
sedangkan jika nilainya mendekati 0 menunjukkan ketergantungan yang lemah
atau tidak terdapat ketergantungan linier. Jika 𝜌𝑡 ,𝑠 = 0, maka dapat dikatakan
bahwa 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑠 tidak memiliki korelasi.
8
2.2 Pola Data Deret Berkala
Salah satu langkah penting dalam memilih metode peramalan adalah
mempertimbangkan pola data sehingga metode peramalan yang sesuai dengan
data tersebut dapat bermanfaat. Berikut ini adalah pola-pola deret berkala yang
telah dikenal [8]:
1. Pola Data Horizontal
Pola horizontal terjadi ketika nilai-nilai data berfluktuasi di sekitar
nilai rata-rata yang konstan. Penjualan produk yang tidak naik ataupun
turun secara signifikan dalam suatu rentang waktu tertentu. Pola data
ini dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2.1 Pola Data Horizontal
9
2. Pola Data Trend
Pola data trend didefinisikan sebagai kenaikan atau penurunan pada
suatu deret waktu dalam selang periode waktu tertentu. Pola data ini
dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2.2 Pola Data Trend
3. Pola Data Musiman
Pola data musiman terjadi ketika data dipengaruhi faktor musiman
yang signifikan sehingga data naik dan turun dengan pola yang
berulang dari satu periode ke periode berikutnya. Data penjualan buah-
buahan dan konsumsi listrik rumah tangga menunjukkan pola data tipe
ini. Pola data musiman dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2.3 Pola Data Musiman
10
4. Pola Data Siklus
Pola data siklus didefinisikan sebagai fluktuasi data berbentuk
gelombang sepanjang periode yang tidak menentu. Pola data musiman
dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2.4 Pola Data Siklus
2.3 Stasioneritas
Suatu data dapat dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada
kesetimbangan di sekitar nilai rata-rata yang konstan dan variansi disekitar rata-
rata tersebut konstan selama waktu tertentu [9]. Pada model stasioner, sifat-sifat
statistik di masa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data historis
yang telah terjadi di masa lalu. Berdasarkan definisi, suatu proses stokastik 𝑍𝑡
dikatakan stasioner jika distribusi bersama dari 𝑍 𝑡1 ,𝑍 𝑡2 ,… , 𝑍 𝑡𝑛 sama
dengan distribusi bersama dari 𝑍 𝑡1 − 𝑘 , 𝑍 𝑡2 − 𝑘 , … , 𝑍 𝑡𝑛 − 𝑘 untuk setiap
waktu 𝑡 dan 𝑠 dan untuk setiap selang waktu 𝑘.
Hal ini menyebabkan jika 𝑛 = 1, maka 𝐸 𝑍𝑡 = 𝐸 𝑍𝑡−𝑘 , untuk semua 𝑡
dan 𝑘, sehingga fungsi rata-rata 𝜇𝑡 konstan sepanjang waktu. Selain itu,
𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡−𝑘 juga konstan sepanjang waktu. Jika 𝑛 = 2, maka
11
𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 ,𝑍𝑠 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡−𝑘 , 𝑍𝑠−𝑘 . Apabila dipilih 𝑡 = 𝑠, kemudian 𝑘 = 𝑡, maka
didapatkan,
𝛾𝑡 ,𝑠 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 ,𝑍𝑠 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡−𝑠, 𝑍0
= 𝐶𝑜𝑣 𝑍0,𝑍𝑠−𝑡
= 𝐶𝑜𝑣 𝑍0, 𝑍 𝑡−𝑠
= 𝛾0, 𝑡−𝑠
Hal ini berarti kovarians antara 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑠 bergantung hanya pada selisih
waktu bukan pada waktu ke 𝑡 dan 𝑠. Oleh karena itu, pada sebuah proses stokastik
yang stasioner, notasi di atas dapat disederhanakan menjadi
𝛾𝑘 = 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑡 ,𝑍𝑡−𝑘 dan 𝜌𝑘 = 𝐶𝑜𝑟𝑟 𝑍𝑡 ,𝑍𝑡−𝑘
Dan berdasarkan persamaan [2.3] maka 𝜌𝑘 = 𝛾𝑘 𝛾0 ,
Sehingga sifat umum mengenai kovarians pada persamaan [2.4] akan
menjadi
𝛾0 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝑡 , 𝜌0 = 1
𝛾𝑘 = 𝛾−𝑘 , 𝜌𝑘 = 𝜌−𝑘 2.5
𝛾𝑘 ≤ 𝛾0 , 𝜌𝑘 ≤ 1
12
Jadi jika sebuah proses stokastik benar-benar stasioner dan memiliki
varians berhingga, maka fungsi kovariansnya hanya akan bergantung pada selang
waktu.
Pengujian stasioneritas dari suatu data deret waktu dapat dilakukan dengan
melakukan Uji Augmented Dicky Fuller [10]. Uji ini merupakan salah satu uji
yang paling sering digunakan dalam pengujian stasioneritas dari data, yakni
dengan melihat apakah terdapat akar satuan di dalam model.
Hipotesis: 𝐻0: 𝛿 = 0 (data deret waktu tidak stasioner)
𝐻1: 𝛿 < 0 (data deret waktu stasioner)
Statistik Uji:
𝜏 =𝛿
𝑠𝑒 𝛿
Kriteria Pengujian:
Tolak 𝐻0 jika 𝜏 𝛿 ≥ 𝜏 𝑛 ,∝ Dickey Fuller
dengan: 𝛿 = parameter yang ditaksir
𝑛 = jumlah data
𝑎 = taraf signifikansi (0.05)
𝜏 = konstanta
13
Sering kali data pada suatu penelitian tidak menunjukkan kestasioneran
Ketidakstasioneran ini bisa disebabkan karena data belum stasioner secara rata –
rata, varians atau keduanya.
Pada data yang belum stasioner secara varians maka dapat dilakukan
proses transformasi Box-Cox dengan rumus 𝑦 =𝑥λ−1
λ dimana 𝜆 ≠ 0. Selain itu
juga dapat menggunakan transformasi pangkat [11] dengan kriteria sebagai
berikut:
Tabel 2.1 Transformasi Pangkat
Nilai 𝜆 Transformasi
-1,0 1
𝑍𝑡
-0,5 1
𝑍𝑡
0,0 ln𝑍𝑡
0,5 𝑍𝑡
1,0 Tanpa Transformasi
Dimana 𝜆 adalah parameter transformasi yang dapat ditaksir dari data runtun
waktu dan t= 1, 2, …, n. Pada data yang belum stasioner secara rata-rata maka
dapat dilakukan proses differencing, yakni dengan mengurangi data dengan data
itu sendiri namun dengan lag yang berbeda sesuai dengan kebutuhan. Dan jika
14
data belum stasioner secara rata-rata maupun varians maka dilakukan transformasi
data dan dilanjutkan dengan proses differencing.
2.4 Fungsi Autokorelasi (ACF)
Fungsi autokorelasi berarti hubungan (korelasi) terhadap diri sendiri, yaitu
korelasi antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri namun
dengan time lag yang berbeda misal 𝑍𝑡 dengan 𝑍𝑡+𝑘 . Menurut [12] autokorelasi
pada lag ke-𝑘 untuk suatu observasi deret waktu dapat diduga dengan koefisien
autokorelasi sampel.
𝑟𝑘 = 𝑍𝑡 − 𝑍 𝑍𝑡+𝑘 − 𝑍 𝑛−𝑘
𝑡=1
𝑍𝑡 − 𝑍 2𝑛𝑡=1
, 𝑘 = 0,1,2, … 2.6
Dimana
𝑟𝑘 = koefisien korelasi untuk lag periode ke-𝑘
𝑍𝑡 = nilai observasi pada periode ke-𝑡
𝑍𝑡+𝑘 = nilai observasi pada periode ke- 𝑡 + 𝑘
𝑍 = rata-rata nilai observasi
Menurut [13], karena 𝑟𝑘 merupakan fungsi terhadap lag ke-𝑘 maka
hubungan antara autokorelasi dengan lagnya dapat disebut sebagai fungsi
autokorelasi.
15
Untuk memeriksa apakah suatu 𝑟𝑘 berbeda secara nyata dari nol, dapat
digunakan rumus kesalahan standar dari 𝑟𝑘 yakni 𝑠𝑒𝑟𝑘= 1/ 𝑛. Sehingga seluruh
nilai korelasi dari barisan data yang random (tidak berautokorelasi signifikan)
akan terletak di dalam daerah nilai tengah nol ditambah atau dikurangi nilai z-
𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒 pada taraf signifikansi 95 % yakni 1,96 kali kesalahan standard.
2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Fungsi autokorelasi parsial menyatakan hubungan antara suatu hasil
observasi dengan hasil observasi itu sendiri. Autokorelasi parsial pada lag ke-𝑘
dinyatakan sebagai korelasi antara 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑡−𝑘 setelah dihilangkannya efek dari
variabel-variabel 𝑍𝑡−1, 𝑍𝑡−2, … ,𝑍𝑡−𝑘+1. Levinson (1940) dan Durbin (1960)
memberikan metode yang efisien untuk mendapatkan penyelesaian dari
persamaan Yule-Walker untuk mendapatkan nilai autokorelasi parsial sebagai
berikut.
∅𝑘𝑘 =𝜌𝑘 − ∅𝑘−1,𝑗𝜌𝑘−𝑗
𝑘−1𝑗 =1
1 − ∅𝑘−1,𝑗𝜌𝑗𝑘−1𝑗 =1
2.7
Dimana
∅𝑘𝑘 = koefisien autokorelasi parsial untuk lag periode ke-𝑘.
∅𝑘𝑗 = ∅𝑘−1,𝑗 − ∅𝑘𝑘 ∅𝑘−1,𝑗−1, 𝑗 = 1,2, …𝑘 − 1
16
2.6 Metode Box Jenkins
Metode Box-Jenkins atau sering disebut sebagai ARIMA (Autoregressive
Intergrated Moving Average) merupakan integrasi dari beberapa model runtun
waktu yang terlebih dahulu ada. Model Autoregressif pertama kali diperkenalkan
oleh Yule (1926) dan dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model
Moving Average pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Kemudian dasar-
dasar teoritis untuk kombinasi dari kedua model ini (ARMA) dihasilkan oleh
Wold (1938). Keseluruhan metode ini kemudian dipelajari secara mendalam oleh
George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan nama mereka sering disinonimkan
dengan metode ARIMA itu sendiri.
2.6.1 Proses Autoregressif (AR)
Proses autoregressif memiliki arti regresi pada diri sendiri. Lebih spesifik,
proses autoregresif 𝑍𝑡 orde 𝑝 menyatakan persamaan[7]:
𝑍𝑡 = ∅1𝑍𝑡−1 + ∅2𝑍𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 2.8
Dimana diasumsikan bahwa 𝑍𝑡 stasioner dan 𝐸 𝑍𝑡 = 0
Jadi, nilai barisan 𝑍𝑡 adalah kombinasi linier dari sejumlah 𝑝 nilai 𝑍𝑡
terakhir di masa lampau ditambah sebuah 𝑎𝑡 yang menyatakan sesuatu yang tidak
dapat dijelaskan oleh nilai-nilai 𝑍𝑡 di masa lampau tersebut. Selain itu 𝑎𝑡
merupakan variabel acak yang independent dengan rata-rata nol.
17
Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk proses AR(𝑝)
secara umum dapat diperoleh sebagai berikut[7]:
𝜌𝑘 = ∅1𝜌𝑘−1 + ∅2𝜌𝑘−2 + ⋯ + ∅𝑝𝜌𝑘−𝑝 , untuk 𝑘 ≥ 1 2.9
dan varians dari proses AR (𝑝) adalah[7]:
𝛾0 =𝜎𝑎
2
1 − ∅1𝜌1 − ∅2𝜌2 − ⋯− ∅𝑝𝜌𝑝
Dengan mengganti 𝑘 = 1,2,… , 𝑝 dan 𝜌0 = 1 serta 𝜌−𝑘 = 𝜌𝑘 pada
persamaan di atas maka diperoleh Persamaan Yule-Walker sebagai berikut:
𝜌1 = ∅1 + ∅2𝜌1 + ⋯ + ∅𝑝𝜌𝑝−1
𝜌2 = ∅1𝜌1 + ∅2 + ⋯ + ∅𝑝𝜌𝑝−2 2.10
𝜌𝑝 = ∅1𝜌𝑝−1 + ∅𝑝−2 + ⋯ + ∅𝑝
Jika diberikan nilai ∅1,∅2 , … , ∅𝑝 , sistem persamaan linier ini dapat
diselesaikan untuk mendapatkan 𝜌1, 𝜌2 , … , 𝜌1 dan untuk 𝜌𝑘 pada orde yang lebih
tinggi.
Untuk keperluan identifikasi model, jika suatu deret waktu memiliki grafik
fungsi autokorelasi yang turun secara eksponensial dan fungsi autokorelasi parsial
terputus pada lag ke-p, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan kedalam
proses AR(𝑝).
18
2.6.2 Proses Moving Average (MA)
Bentuk umum untuk proses MA dengan orde 𝑞, ditulis MA (𝑞) diberikan
oleh
𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−1 − 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 2.11
Yakni, nilai barisan 𝑍𝑡 adalah kombinasi linier dari sejumlah 𝑎𝑡 terakhir di
masa lampau.
Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk proses MA(𝑞)
secara umum dapat diperoleh sebagai berikut [7]:
𝜌𝑘 =−𝜃𝑘 + 𝜃1𝜃𝑘 +1 + 𝜃2𝜃𝑘 +2 + ⋯ + 𝜃𝑞 −𝑘𝜃𝑞
1 + 𝜃12 + 𝜃2
2 + ⋯ + 𝜃𝑞2
,𝑘 = 1,2, … , 𝑞 2.12
= 0 untuk 𝑘 ≥ 𝑞 + 1
Sebagai pelengkap, varians dari proses MA(𝑞) adalah[7]:
𝛾0 = 1 + 𝜃12 + 𝜃2
2 + ⋯ + 𝜃𝑞2 𝜎2
Sekali lagi untuk keperluan identifikasi, jika suatu deret waktu memiliki
grafik fungsi autokorelasi yang terputus pada lag ke-q dan fungsi autokorelasi
parsial turun secara eksponensial, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan
kedalam proses MA(𝑞).
19
2.6.3 Proses Campuran Autoregressif dan Moving Average (ARMA)
Jika diasumsikan bahwa suatu deret berkala memiliki model yang
sebagian merupakan proses Autoregressif dan sebagian yang lain merupakan
proses Moving Average maka deret tersebut akan memiliki model yang secara
umum berbentuk[7]:
𝑍𝑡 = ∅1𝑍𝑡−1 + ∅2𝑍𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−1 − 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞
Yakni 𝑍𝑡 merupakan proses campuran Autoregressif Moving Average dengan
orde 𝑝 dan 𝑞 atau biasa disingkat dengan nama ARMA 𝑝, 𝑞 .
2.6.4 Operator Backshift
Operator backshift yang dinyatakan dengan B merupakan sebuah operator
dengan penggunaan sebagai berikut[12]:
𝐵𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1
Dengan kata lain, notasi 𝐵 yang dipasang pada 𝑋𝑡 mempunyai pengaruh
menggeser data satu periode ke belakang.
Operator backshift sering digunakan untuk menggambarkan proses
pembedaan (differencing) untuk membuat data yang rata-ratanya tidak stasioner
menjadi lebih dekat ke bentuk stasioner. Berikut ini gambaran pembedaan
menggunakan operator backshift.
Misalkan 𝑋𝑡′ merupakan pembedaan pertama dari 𝑋𝑡
20
𝑋𝑡′ = 𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1
𝑋𝑡′ = 𝑋𝑡 − 𝐵𝑋𝑡 = 1 − 𝐵 𝑋𝑡
Perhatikan bahwa pembedaan pertama dinyatakan dengan 1 − 𝐵 .
Untuk pembedaan orde kedua perhatikan penggambaran berikut:
𝑋"𝑡 = 𝑋′𝑡 − 𝑋′𝑡−1
= 𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−2
= 𝑋𝑡 − 2𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−2
= 1 − 2𝐵 + 𝐵2 𝑋𝑡
= 1 − 𝐵 2𝑋𝑡
Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua dinyatakan dengan 1 − 𝐵 2,
hal ini penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan orde kedua tidak sama
dengan pembedaan kedua.
2.6.5 Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Suatu deret berkala 𝑍𝑡 dikatakan mengikuti model Autoregressive
Integrated Moving Average (ARIMA) jika pembedaan orde ke-𝑑 dari
𝑍𝑡 merupakan proses ARMA yang stasioner yakni 𝑊𝑡 = 1 − 𝐵 𝑑𝑍𝑡 . Karena 𝑊𝑡
adalah proses ARMA 𝑝,𝑞 , maka 𝑍𝑡 dapat disebut sebagai proses ARIMA
𝑝, 𝑑, 𝑞 . Dalam bentuk operator backshift model ARIMA dapat ditulis sebagai
berikut,
21
∅ 𝐵 1− 𝐵 𝑑𝑍𝑡 = 𝜃 𝐵 𝑎𝑡
dimana
∅ 𝐵 = 1 − ∅1𝐵 − ∅2𝐵2 − ⋯− ∅𝑝𝐵𝑝 adalah operator backshift proses AR
𝜃 𝐵 = 1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 − ⋯− 𝜃𝑝𝐵𝑝 adalah operator backshift proses MA
1 − 𝐵 𝑑 = operator differencing ordo ke-𝑑.
2.6.6 Konstanta pada Model ARIMA
Asumsi dasar yang selalu dipakai oleh semua model, dimulai dari model
AR hingga model ARIMA, adalah bahwa model - model tersebut stasioner dan
memiliki rata – rata nol. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana jika model –
model tersebut memiliki nilai rata – rata konstan bukan nol.
Model stasioner ARMA 𝑊𝑡 yang memiliki rata – rata konstan 𝜇 bukan
nol dapat dibentuk sebagai berikut[7]:
𝑊𝑡 − 𝜇 = ∅1 𝑊𝑡−1 − 𝜇 + ∅2 𝑊𝑡−2 − 𝜇 + ⋯ + ∅𝑝 𝑊𝑡−𝑝 − 𝜇 + 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−1
− 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞
Atau
𝑊𝑡 = ∅1𝑊𝑡 −1 + ∅2𝑊𝑡−2 + ⋯ + ∅𝑝𝑊𝑡 −𝑝 + 𝛿 + 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−1 − 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯
− 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞
Dimana 𝛿 = 𝜇 − ∅1𝜇 + ∅2𝜇 + ⋯ + ∅𝑝𝜇
22
2.7 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA)
Model seasonal ARIMA merupakan bentuk khusus dari model ARIMA
jika terdapat unsur musiman yang jelas pada hasil observasi 𝑍𝑡 . Hal ini berarti
data memiliki pola berulang – ulang dalam selang waktu yang tetap. Selain
melalui grafik data, unsur musiman juga dapat dilihat melalui grafik ACF dan
PACF. Untuk menanggulangi ketidakstasioneran data akibat unsur musiman maka
dapat dilakukan proses differencing sebesar periode musimannya.
Differencing musiman dari 𝑍𝑡 ditulis dengan 𝑥𝑡 sehingga
𝑥𝑡 = 1 − 𝐵𝑠 𝑍𝑡
Dengan 𝑠 adalah panjang periode per musim.
Model Seasonal mengalihkan perhatiannya kepada data sebelumnya
dengan jarak (lag) sepanjang musiman yang terjadi. Berdasarkan ide tersebut,
maka model MA 𝑄 yang bersifat seasonal dengan musiman sepanjang 𝑠
dinyatakan oleh[7]:
𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 − 𝜃1𝑎𝑡−𝑠 − 𝜃2𝑎𝑡−2𝑠 − ⋯− 𝜃𝑄𝑎𝑡−𝑄𝑠
Atau dalam bentuk operator backshift,
𝑍𝑡 = 1 − 𝜃1𝐵𝑠 − 𝜃2𝐵2𝑠 − ⋯− 𝜃𝑄𝐵𝑄𝑠 𝑎𝑡
𝑍𝑡 = 𝜃𝑠 𝐵 𝑎𝑡
23
Sedangkan untuk model seasonal AR 𝑃 dengan musiman sepanjang 𝑠
dapat dinyatakan oleh[7]:
𝑍𝑡 = ∅1𝑍𝑡−𝑠 + ∅2𝑍𝑡−2𝑠 + ⋯ + ∅𝑃𝑍𝑡−𝑃 + 𝑎𝑡
Atau dalam bentuk operator backshift,
𝑍𝑡−∅1𝑍𝑡−𝑠 − ∅2𝑍𝑡−2𝑠 − ⋯− ∅𝑃𝑍𝑡−𝑃 = 𝑎𝑡
1 − ∅1𝐵𝑠 − ∅2𝐵
2𝑠 − ⋯− ∅𝑄𝐵𝑄𝑠 𝑍𝑡 = 𝑎𝑡
∅𝑠 𝐵 𝑍𝑡 = 𝑎𝑡
Sehingga jika suatu hasil observasi 𝑍𝑡 mengikuti proses yang dibentuk
oleh gabungan antara model ARIMA 𝑝, 𝑑, 𝑞 dan model SARIMA 𝑃, 𝐷, 𝑄 ,
maka modelnya dapat dimanipulasi menggunakan operator backshift sebagai
berikut:
∅ 𝐵 ∅𝑠 𝐵 ∇d∇sD𝑍𝑡 = 𝜃 𝐵 𝜃𝑠 𝐵 𝑎𝑡
dimana
∇d = operator differencing non musiman ordo ke-𝑑
∇sD = operator differencing musiman ordo ke-𝐷
24
2.8 Asumsi White Noise
Suatu model yang baik akan memiliki sifat white noise, yaitu memenuhi
asumsi residual yang bersifat acak dan berdistribusi normal.
2.8.1 Residu Bersifat Acak
Keacakan sekumpulan barisan residu dapat diperiksa dengan
memperhatikan fungsi autokorelasi dari barisan residu tersebut. Barisan residu
dikatakan acak apabila tidak terdapat autokorelasi yang signifikan untuk setiap
lag yang ditentukan. Untuk lebih formal, keacakan residu dari suatu model
dapat diuji menggunakan uji statistik Q Box-Pierce dengan hipotesis sebagai
berikut:
𝐻0: 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑘 = 0 (residu bersifat acak)
𝐻1:∃ 𝑟𝑖 ≠ 𝑟𝑗 = 0 (residu tidak bersifat acak)
Dengan 𝛼 = 0.05 dan statistik uji:
𝑄 = 𝑛 𝑛 + 2 𝑟𝑘
2
𝑛 − 𝑘
𝑚
𝑘=1
Serta kriteria uji:
Terima 𝐻0 jika nilai 𝑄 > 𝑋 𝛼,𝑑𝑏 atau 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼. Artinya secara
keseluruhan, autokorelasi dari barisan residu yang diuji tidak berbeda dari
nol, atau dengan kata lain residu bersifat acak.
25
2.8.2 Residu Bersifat Normal
Untuk memeriksa apakah residu bersifat normal atau tidak, dapat
dilakukan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis sebagai
berikut;
𝐻0: residu berdistribusi normal
𝐻1: residu tidak berdistribusi normal
Dengan 𝛼 = 0.05 dan statistik uji:
𝐷 = 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝐹0 𝑋 − 𝑆𝑁 𝑋
Serta kriteria uji:
Tolak 𝐻0 jika jika 𝐷ℎ𝑖𝑡 < 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼. Artinya residu
bersifat normal.
2.9 Metode Dekomposisi
Suatu pendekatan pada analisis data deret berkala meliputi usaha untuk
mengidentifikasi komponen-komponen yang mempengaruhi tiap-tiap nilai pada
sebuah data deret berkala. Prosedur pengidentifikasian ini disebut dekomposisi.
Tiap-tiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi tiap-tiap komponen
ini kemudian digabung untuk menghasilkan ramalan nilai-nilai masa mendatang
dari data deret berkala tersebut.
26
Metode dekomposisi biasanya mencoba memisahkan tiga komponen dari
pola dasar yang cenderung mencirikan pola deret data ekonomi dan bisnis.
Komponen-komponen tersebut adalah trend, siklus dan musiman. Faktor trend
menggambarkan perilaku data dalam jangka panjang dan dapat meningkat,
menurun atau tidak berubah sama sekali. Faktor siklus menggambarkan naik
turunnya ekonomi atau industri tertentu. Faktor musiman berkaitan dengan
fluktuasi periodik dengan panjang konstan. Perbedaan antara musiman dan siklus
adalah bahwa musiman berulang dengan sendirinya pada interval yang tetap,
sedangkan faktor siklus mempunyai jangka waktu yang lebih lama dan
panjangnya berbeda dari siklus yang satu ke siklus yang lain.
Metode dekomposisi berasumsi bahwa data tersusun sebagai berikut[12]:
𝑑𝑎𝑡𝑎 = 𝑝𝑜𝑙𝑎 + 𝑘𝑒𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛
= 𝑓 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑, 𝑠𝑖𝑘𝑙𝑢𝑠, 𝑚𝑢𝑠𝑖𝑚𝑎𝑛 + 𝑘𝑒𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛.
Jadi selain komponen pola, terdapat pula unsur kesalahan yang acak.
Keempat komponen dalam analisis deret berkala adalah sebagai
berikut[12]:
1. Komponen trend, adalah komponen jangka panjang yang mendasari
pertumbuhan atau penurunan dalam suatu data deret berkala.
2. Komponen musiman, menggambarkan pola perubahan yang berulang
secara terartur dari waktu ke waktu
27
3. Komponen siklis, fluktuasi gelombang yang mempengaruhi keadaan
selama lebih dari semusim.
4. Komponen kesalahan, komponen tak beraturan yang tebentuk dari
fluktuasi- fluktuasi yang disebabkan oleh peristiwa tak terduga.
Metode dekomposisi termasuk pendekatan peramalan tertua. Metode ini
digunakan oleh para ahli ekonomi untuk mengenali dan mengendalikan siklus
bisnis. Terdapat beberapa pendekatan alternatif untuk mendekomposisi suatu
deret berkala, yang semuanya bertujuan memisahkan dat deret berkala seteliti
mungkin. Konsep dasar dalam pemisahan tersebut bersifat empiris dan tetap yang
mula-mula adalah memisahkan musiman, lalu trend, dan akhirnya siklus.Residu
yang ada dianggap yang walaupun tidak dapat diprediksi, namun dapat
diidentifikasi.
Menurut [14] Penulisan matematis secara umum dari model dekomposisi
adalah:
𝑋𝑡 = 𝑓 𝐼𝑡 , 𝑇𝑡 , 𝐶𝑡 ,𝐸𝑡
di mana
𝑋𝑡 adalah data aktual pada periode ke-𝑡
𝐼𝑡 adalah indeks musiman pada periode ke-𝑡
𝐶𝑡 adalah unsur siklus pada periode ke-𝑡
𝐸𝑡 adalah unsur kesalahan pada periodeke-𝑡.
28
Bentuk fungsional yang pasti dari persamaan di atas bergantung pada
metode dekomposisi yang digunakan diantaranya yakni metode dekomposisi rata-
rata sederhana yang berasumsi pada model aditif:
𝑋𝑡 = 𝐼𝑡 + 𝑇𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝐸𝑡
Metode dekomposisi rasio-trend yang berasumsi pada model multiplikatif:
𝑋𝑡 = 𝑓 𝐼𝑡 ∗ 𝑇𝑡 ∗ 𝐶𝑡 ∗ 𝐸𝑡
Metode dekomposisi rata-rata sederhana dan rasio pada trend pada masa lampau
telah digunakan terutama karena perhitungannya yang mudah tetapi metode-
metode tersebut kehilangan daya tarik dengan dikenalnya komputer secara
meluas, dimana mengakibatkan aplikasi pendekatan dengan variasi metode rata-
rata bergerak lebih disukai.
2.10 Evaluasi Model
Model yang baik tentunya memiliki tingkat keakuratan yang baik. Untuk
mengukur tingkat keakuratan ini, ada beberapa alat ukur yang dapat digunakan
untuk mengevaluasi hasil peramalan model terhadap data observasi. Beberapa alat
ukur tersebut yakni,
1. Mean Square Error (MSE)
𝑀𝑆𝐸 =1
𝑛 𝐴𝑡 − 𝐹𝑡
2
𝑛
𝑡 =1
29
2. Mean Absolute Error (MAE)
𝑀𝐴𝐸 =1
𝑛 𝐴𝑡 − 𝐹𝑡
𝑛
𝑡 =1
3. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
𝑀𝐴𝑃𝐸 =100
𝑛
𝐴𝑡 − 𝐹𝑡
𝐴𝑡
𝑛
𝑡 =1
dimana:
𝐴𝑡 = nilai observasi pada periode ke-𝑡
𝐹𝑡 = peramalan untuk periode ke-t
𝑛 = banyaknya data observasi
30
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder berupa
jumlah pendaftaran siswa baru mulai tahun ajaran 2007 – 2008 hingga tahun
ajaran 2013 – 2014. Data tersebut berjumlah sebanyak 84 data runtun waktu yang
diperoleh dari lembaga bimbingan belajar Sony Sugema College cabang Bintaro.
Dalam pengujiannya, data dari tahun ajaran 2007-2008 hingga tahun ajaran 2012-
2013 digunakan untuk menentukan model yang sesuai sedangkan data dari tahun
ajaran 2013-2014 digunakan untuk mengevaluasi model yang tepat untuk
digunakan sebagai peramalan. Data pendaftaran siswa baru tersebut dapat dilihat
pada Lampiran 1.
3.2 Metode Seasonal ARIMA
1. Pemeriksaan Kestasioneran Data
Untuk menguji apakah data yang digunakan memiliki sifat stasioner atau
tidak, dapat dilihat grafik fungsi autokorelasinya. Data yang tidak stasioner akan
memiliki pola yang cenderung lambat menuju nol pada beberapa lag awal. Selain
itu karena data yang digunakan memiliki unsur musiman, maka akan terlihat
beberapa korelasi yang lebih signifikan dan berulang sepanjang musiman data.
31
Secara lebih formal, untuk menguji kestasioneran data maka akan
digunakan uji Augmented Dickey-Fuller dengan hipotesis dan kriteria uji sebagai
berikut:
Hipotesis:
𝐻0: 𝛿 = 0 (data deret waktu tidak stasioner)
𝐻1: 𝛿 < 0 (data deret waktu stasioner)
Kriteria Pengujian:
Tolak 𝐻0 jika 𝜏 𝛿 ≥ 𝜏 𝑛 ,∝ Dickey Fuller
Jika data menunjukkan ketidakstasioneran maka perlu diputuskan apakah
data tidak stasioner secara rata-rata atau varians atau keduanya, selanjutnya dapat
ditanggulangi dengan transformasi atau/dan differencing.
2. Identifikasi model
Setelah data dinyatakan bersifat stasioner baik secara rata-rata maupun
varians maka dapat dilakukan pemilihan model yang tepat berdasarkan kriteria yg
ada. Hal ini penting dilakukan agar hasil peramalan dari model yang dibentuk
tidak sia-sia. Model yang tepat tentu akan menghasilkan peramalan yang
memuaskan.
32
Menurut [15] model SARIMA dapat dipilh dengan kriteria sebagai
berikut:
a. Jika ACF terpotong (cut off) setelah lag 1 atau 2; lag musiman tidak
signifikan dan PACF perlahan- lahan menghilang (dies down), maka
diperoleh model non seasonal MA (q=1 atau 2).
b. Jika ACF terpotong (cut off) setelah lag musiman L; lag non musiman
tidak signifikan dan PACF perlahan- lahan menghilang (dies down), maka
diperoleh model seasonal MA (Q=1).
c. Jika ACF terpotong setelah lag musiman L; lag non musiman terpotong
(cut off) setelah lag 1 atau 2, maka diperoleh model non seasonal-seasonal
MA (q=1 atau 2; Q=1).
d. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong
(cut off) setelah lag 1 atau 2; lag musiman tidak signifikan, maka diperoleh
model non seasonal AR (p=1 atau 2).
e. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong
(cut off) setelah lag musiman L; lag non musiman tidak signifikan, maka
diperoleh model seasonal AR (P=1).
f. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong
(cut off) setelah lag musiman L; dan non musiman terpotong (cut off)
setelah lag 1atau 2, maka diperoleh model non seasonal dan seasonal AR
(p=1 atau 2 dan P=1).
g. Jika ACF dan PACF perlahan- lahan menghilang (dies down) maka
diperoleh campuran (ARMA) model.
33
3. Estimasi Parameter dari model
Setelah beberapa model telah terpilih, langkah selanjutnya adalah
mengestimasi parameter-parameter dari model itu sendiri. Pada penelitian ini
metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model ialah dengan
metode perbaikan secara iteratif. Taksiran awal dipilih kemudian diperhalus
secara iteratif hingga kesalahan menjadi sekecil mungkin. Proses ini akan
dikerjakan oleh suatu program komputer.
4. Pengujian Model
Setelah model-model terpilih telah diestimasi nilai parameternya, langkah
selanjutnya ialah menguji apakah model tersebut sesuai dengan data. Beberapa
pengujian yang harus dilalui adalah;
a. Keberartian koefisien
Hipotesis dan kriteria uji keberartian koefisien adalah sebagai berikut:
Hipotesis: 𝐻0: koefisisen tidak berarti
𝐻1: koefisien berarti
Dengan 𝛼 = 0.05
Kriteria uji:
Tolak 𝐻0 jika 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼, artinya koefisien telah berarti.
34
b. Memenuhi asumsi White Noise
Yakni suatu asumsi yang menyatakan bahwa residu bersifat acak dan
normal. Hipotesis dan kriteria uji keacakan residu adalah sebagai berikut:
Hipotesis: 𝐻0: 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑘 = 0 (residu bersifat acak)
𝐻1:∃ 𝑟𝑖 ≠ 𝑟𝑗 = 0 (residu tidak bersifat acak)
Kriteria uji:
Terima 𝐻0 jika nilai 𝑄 > 𝑋 𝛼,𝑑𝑏 atau 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼.
Sedangkan hipotesis dan kriteria uji kenormalan residu adalah sebagai
berikut:
Hipotesis:
𝐻0: residu berdistribusi normal
𝐻1: residu tidak berdistribusi normal
Kriteria uji:
Tolak 𝐻0 jika jika 𝐷ℎ𝑖𝑡 > 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼.
c. Pemilihan model terbaik
Dari beberapa model yang memenuhi asumsi keberartian koefisien dan
asumsi white noise akan dipilih satu model terbaik yang ditentukan
melalui nilai MSE dari masing – masing model.
35
5. Peramalan
Setelah model tebaik dari beberapa model dugaan sementara dipilih, maka
dapat dilakukan peramalan untuk periode selanjutnya menggunakan persamaan
dari model terpilih tersebut. Hasil peramalan metode SARIMA bisa digunakan
dalam peramalan jangka waktu menengah yaitu tiga bulan sampai dengan dua
tahun [16].
Hasil peramalan model SARIMA yang diperoleh kemudian akan
dibandingkan dengan hasil peramalan model dekomposisi menggunakan data
input 1 musim terakhir yakni data tahun ajaran 2013 – 2014. Model peramalan
dikatakan baik jika nilai MAPE kurang dari 20%. Model dengan nilai MAPE
yang lebih baik akan digunakan pada peramalan untuk periode tahun ajaran
berikutnya.
3.3 Metode Dekomposisi
Sebelum data masuk ke dalam metode dekomposisi maka terlebih dahulu
dilakukan penormalan terhadap data. Hal ini dilakukan karena sebagian besar
analisis statistik inferensia (parametrik) menggunakan asumsi normal pada data
untuk menghasilkan rumus perhitungannya. Jadi data yang akan digunakan adalah
data hasil transformasi.
Selanjutnya masuk pada proses pendekomposisian data. Berikut ini
tahapan-tahapan dalam menggunakan metode dekomposisi pada suatu barisan
data runtun waktu:
36
1. Menghitung Indeks Musiman
a. Dekomposisi Aditif
Langkah – langkahnya sebagai berikut:
i. Trend-Siklus 𝑇𝑡 dihitung menggunakan rata-rata bergerak
sepanjang 1 musiman (𝑛 data berurutan). Trend-Siklus terkadang
dipisahkan ke dalam komponen trend dan komponen siklus, tapi
pembedaan ini agaknya buatan dan sebagian besar prosedur-
prosedur dekomposisi menjadikan trend dan siklus sebagai
komponen tunggal.
ii. Mengurangi data dengan komponen trend-siklus yang akan
meninggalkan komponen musiman dan acak.
𝑋𝑡 − 𝑇𝑡 = 𝐼𝑡 + 𝐸𝑡
iii. Komponen musiman dan acak ini kemudian disusun sesuai dengan
periodenya masing-masing dan dihitung rata – rata medialnya
(rata-rata dari data yng telah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil)
untuk tiap periode yang bersesuaian.
iv. Rata-rata medial ini kemudian ditambah dengan faktor koreksi agar
jumlah rata-rata medial untuk semua periode menjadi nol. Hasil
penjumlahan akhir ini adalah indeks musimannya.
37
b. Dekomposisi Multiplikatif
Langkah- langkahnya sebagai berikut:
i. Mengitung rata-rata bergerak sepanjang 1 musiman (𝑛 data
berurutan).
ii. Membagi data dengan rata-rata bergerak yang bersesuaian
sehingga tersisa komponen acak dan siklus.
𝑋𝑡
𝑇𝑡
= 𝐼𝑡 ∗ 𝐸𝑡
iii. Komponen musiman dan acak ini kemudian disusun sesuai dengan
periodenya masing-masing dan dihitung rata-rata medialnya (rata-
rata dari data yang telah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil)
untuk tiap periode yang bersesuaian.
iv. Rata-rata medial ini kemudian dikali dengan faktor koreksi agar
jumlah rata-rata medial untuk semua periode menjadi 𝑛 (panjang
musiman). Hasil penjumlahan akhir ini adalah indeks musimannya.
2. Pencocokan trend
Sebelum dilakukan pencocokan trend, komponen musiman harus
dipusahkan terlebih dahulu dengan mengurangi/membagi data awal
dengan komponen musimannya yang bersesuaian.
Pada penelitian ini, trend yang digunakan adalah linier. Yakni,
𝑍𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑡
Dengan meminimumkan MSE didapatkan
38
𝑏 =𝑛 𝑡𝑍𝑡 − 𝑡 𝑍𝑡
𝑛 𝑡2 − 𝑡 2
𝑎 = 𝑍𝑡
𝑛− 𝑏
𝑡
𝑛
Dimana
𝑋𝑡 = data awal
𝑡 = periode
𝑛 = banyak data
3. Pemilihan Model Terbaik
Apabila model telah diperoleh, maka dapat dilakukan pemilihan model
terbaik dengan membandingkan hasil peramalan dengan data pengujian, dan
memperhatikan ukuran keakuratan dari model. Ukuran keakuratan yang
digunakan pada tahap ini adalah MSE.
4. Peramalan
Setelah model tebaik dipilih, maka dapat dilakukan peramalan untuk
periode selanjutnya menggunakan faktor – faktor yang telah diduga sebelumnya
yakni, faktor trend dan musiman.
Hasil peramalan model dekomposisi yang diperoleh kemudian akan
dibandingkan dengan hasil peramalan model SARIMA menggunakan data input 1
musim terakhir yakni data tahun ajaran 2013 – 2014. Model peramalan dikatakan
baik jika nilai MAPE kurang dari 20%. Model dengan nilai MAPE yang lebih
baik akan digunakan pada peramalan untuk periode tahun ajaran berikutnya.
39
3.4 Alur Penelitian
Metode Seasonal ARIMA Metode Dekomposisi
Tidak tidak
ya ya
tidak
ya
Gambar 3.3. Alur Penelitian
Input Data
Data
Normal ?
Transformasi
Pencocokan Trend
Data Stasioner ?
Transformasi Differencing
Identifikasi Model
Estimasi Parameter Model
Penentuan
Indeks
Musiman
Evaluasi model
Perbandingan
Mulai
-- Keberartian Koefisien ?
-- Asumsi White Noise ? -- Paling Akurat ?
Peramalan
Selesai
40
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Peramalan jumlah pendaftaran siswa baru pada lembaga bimbingan belajar
Sony Sugema College cabang Bintaro menggunakan data jumlah pendaftaran
siswa baru dari tahun ajaran 2007 – 2008 sampai tahun ajaran 2013 – 2014, total
berjumlah 84 data yang terdiri dari 7 musiman. Dari 7 musiman tersebut, 6
musiman pertama (tahun ajaran 2007 – 2008 sampai tahun ajaran 2012 – 2013)
digunakan untuk menentukan model Seasonal ARIMA dan model Dekomposisi
dan data 1 musiman terakhir (tahun ajaran 2013 – 2014) digunakan untuk
peramalan.
Berikut ini tabel deskripsi data 6 musiman pertama yang digunakan untuk
menentukan model Seasonal ARIMA dan model Dekomposisi:
Tabel 4.1 deskripsi data
Jumlah
data
Data
minimum
Data
maksimum
Rata-rata Nilai tengah
deviasi kuadrat
Deviasi
standar
72 1 139 18.86 2.808 23.828
Tabel 4.1 memperlihatkan bahwa range data adalah 138 dengan rata – rata
18.86, deviasi standar 23.828 dan nilai tengah deviasi kuadrat bernilai 2.808.
41
4.1 Pengolahan Data Menggunakan Metode SARIMA
Beberapa tahapan yang akan dilakukan pada bagian ini adalah dimulai
dengan pemeriksaan kestasioneran data, kemudian jika data telah stasioner maka
dilanjutkan dengan proses mengidentifikasi model-model yang cocok untuk data
input, dan terakhir, menentukan model terbaik dari beberapa model yang ada
untuk digunakan dalam peramalan.
4.1.1 Pemeriksaan Kestasioneran Data
Pemeriksaan kestasioneran data dapat dilakukan secara visual dengan
melihat plot data input sebagai berikut (menggunakan software):
Gambar 4.1 Plot Data Siswa
Index
sis
wa
70635649423528211471
140
120
100
80
60
40
20
0
Time Series Plot of siswa
42
Gambar 4.2 Plot ACF Data Siswa
Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat plot data telah stasioner pada rata-rata
namun tidak dengan variansnya. Sedangkan gambar 4.2 menunjukkan adanya
bentuk musiman pada data sehingga metode SARIMA memang tepat d igunakan
untuk menganalisis data. Untuk memastikan kestasioneran secara statistik maka
dilakukan uji Augmented Dickey Fuller. Dengan bantuan software, diperoleh
hasil uji Augmented Dickey Fuller sebagai berikut:
Tabel 4.2 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller Data Siswa
t-statistics Prob.*
Augmeted Dickey Fuller Test Statistics −1.767974 0.7337
Test Critical values 1% level −3.544063
5% level −2.910860
10% level −2.593090
Lag
Au
toco
rre
lati
on
7065605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for siswa(with 5% significance limits for the autocorrelations)
43
Tabel 4.2 memperlihatkan bahwa dengan taraf signifikansi sebesar 5%
diperoleh 𝜏𝛿 < 𝜏 𝑛 ,𝛼 atau 1.767974 < 2.910860, maka 𝐻0 tidak ditolak. Jadi
data input model belum stasioner.
Karena data belum stasioner secara varians maka akan dilakukan proses
transformasi. Untuk menentukan transformasi yang cocok dengan data input
model dengan melihat Plot Box-Cox, adapun outputnya adalah sebagai berikut:
Gambar 4.3 Plot Box-Cox data siswa
Berdasarkan Gambar 4.3 diperoleh 𝜆 = 0.0. Maka transformasi yang
digunakan adalah transformasi 𝑊𝑡 = 𝑙𝑛 𝑍𝑡 . Transformasi ini akan menyebabkan
data stasioner secara varians. Plot data hasil transformasi dapat dilihat pada
gambar di bawah ini:
Lambda
StD
ev
3210-1
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Lower CL Upper CL
Limit
Lambda
0.00
(using 95.0% confidence)
Estimate 0.02
Lower CL -0.18
Upper CL 0.25
Rounded Value
Box-Cox Plot of C1
44
Gambar 4.4 Plot data hasil transformasi
Berdasarkan Gambar 4.4 terlihat bahwa data telah stasioner baik secara
rata-rata maupun varians karena pola data bergerak secara fluktuatif di sekitar
nilai rata-rata. Untuk memastikan data tersebut sudah stasioner dilakukan kembali
Uji Augmented Dickey Fuller. Dengan menggunakan software, hasil uji
Augmented Dickey Fuller untuk data setelah ditransformasi adalah sebagai
berikut:
Tabel 4.3 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller data hasil transformasi
t-statistics Prob.*
Augmeted Dickey Fuller Test Statistics −6.860109 0.000
Test Critical values 1% level −3.525618
5% level −2.902953
10% level −2.588902
Index
Da
ta I
np
ut
Mo
de
l
70635649423528211471
5
4
3
2
1
0
Time Series Plot of Data Input Model
45
Tabel 4.3 memperlihatkan bahwa dengan taraf signifikansi sebesar 5%
diperoleh 𝜏𝛿 > 𝜏 𝑛 ,𝛼 atau 6.860109 > 2.902953, maka 𝐻0ditolak. Jadi data input
model sudah stasioner. Untuk selanjutnya data input yang telah ditransformasi ini
akan disebut sebagai data input model.
4.1.2 Identifikasi Model
Setelah diperoleh data stasioner, langkah selanjutnya adalah
mengidentifikasi model berdasarkan plot fungsi autokorelasi dan fungsi
autokorelasi parsial. Berikut ini adalah plot ACF dan plot PACF data input model:
Gambar 4.5 Plot ACF data input model
Lag
Au
toco
rre
lati
on
7065605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for Data Input Model(with 5% significance limits for the autocorrelations)
46
Gambar 4.6 Plot PACF data input model
Secara keseluruhan terlihat bahwa plot ACF berbentuk eksponensial
sedangkan plot PACF menunjukkan cut off pada lag musiman. Hal ini
mengindikasikan secara kuat adanya proses SAR (Seasonal Autoregressive).
Sebagai perbandingan maka terdapat beberapa model yang ikut
dimunculkan. Berdasarkan gambar 4.5 dan gambar 4.6, dapat dilihat bahwa
beberapa kriteria berikut ini terpenuhi, yakni:
a. Plot ACF lag musiman menunjukkan bentuk eksponensial sedangkan
plot PACF lag musiman menunjukkan cut off pada lag musiman
pertama. Hal ini mengindikasikan adanya proses SAR(1).
b. Plot ACF lag non musiman menunjukkan cut off pada lag ke 2
sedangkan plot PACF lag non musiman menunjukkan cut off pada lag
Lag
Pa
rtia
l A
uto
co
rre
lati
on
7065605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Partial Autocorrelation Function for Data Input Model(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
47
ke 2. Hal ini mengindikasikan adanya proses MA(2) atau proses AR(2)
atau gabungan keduanya yakni ARMA(2,2).
Berdasarkan dua kriteria yang dipenuhi di atas maka dapat diperoleh
beberapa model yang dinyatakan dalam notasi model ARIMA (𝑝,𝑑, 𝑞)(𝑃, 𝐷, 𝑄)𝐿
sebagai berikut: ()()12
1. ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
2. ARIMA 2,0,0 1,0,0 12
3. ARIMA 0,0,2 1,0,0 12
4. ARIMA 2,0,2 1,0,0 12
4.1.3 Penaksiran Parameter dan Diagnosis Model
Setelah beberapa model sementara diperoleh, maka langkah selanjutnya
adalah mencari penaksir terbaik untuk parameter model tersebut. Parameter hasil
penaksiran kemudian dilakukan uji diagnosis yang terdiri dari uji asumsi
keberartian koefisien, uji asumsi white noise, dan diakhiri dengan memilih model
dengan nilai MSE terkecil.
Hasil penaksiran parameter beserta nilai p-value untuk menguji
keberartian koefisien model adalah sebagai parameter berikut:
48
1. Model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
Tabel 4.4 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
Type Coef. SE Coef. T P
SAR 1 0.9258 0.0832 11.13 0.000
Constant 0.18450 0.08000 2.31 0.024
Berdasarkan Tabel 4.4 diperoleh hasil penaksiran model ARIMA
0,0,0 1,0,0 12 yakni, 𝜑1 = 0.9258 dan 𝛿 = 0.18450. Dengan
menggunakan operator backshift, model umum ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
dapat dinyatakan oleh:
1 −𝜑1𝐵9 𝑊𝑡 = 𝛿 + 휀𝑡
Dengan mensubtitusikan nilai-nilai parameter yang telah ditaksir pada
bentuk tersebut maka diperoleh:
1 − 0.9258𝐵12 𝑊𝑡 = 0.18450 + 휀𝑡
Berdasarkan Tabel 4.4 dapat dilihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 untuk
parameter SAR 1 lebih kecil dari 𝛼 sehingga 𝐻0 ditolak, artinya model
ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 telah memenuhi asumsi keberartian koefisien.
49
2. Model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12
Tabel 4.5 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,0 1,0,0 12
Type Coef. SE Coef. T P
AR 1 0.0323 0.1193 0.27 0.788
AR 2 0.1845 0.1196 1.54 0.128
SAR 1 0.9281 0.0848 10.94 0.000
Constant 0.14052 0.07988 1.76 0.083
Berdasarkan Tabel 4.5, diperoleh hasil penaksiran model ARIMA
2,0,0 1,0,0 12 yakni, ∅1 = 0.0323, ∅2 = 0.1845,𝜑1 = 0.9281 dan
𝛿 = 0.14052. Dengan menggunakan operator backshift, model umum
ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 dapat dinyatakan oleh:
1 −∅1𝐵 − ∅2𝐵2 1 − 𝜑1𝐵
12 𝑊𝑡 = 𝛿 + 휀𝑡
Dengan mensubtitusikan nilai-nilai parameter yang telah ditaksir pada
bentuk tersebut maka diperoleh:
1 − 0.0323𝐵 − 0.1845𝐵2 1− 0.9281𝐵12 𝑊𝑡 = 0.14052 + 휀𝑡
Berdasarkan Tabel 4.5 dapat dilihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 untuk
parameter AR 1 dan AR 2 lebih besar dari 𝛼 sehingga 𝐻0 diterima, artinya
model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 tidak memenuhi asumsi keberartian
koefisien.
50
3. ARIMA 0,0,2 1,0,0 12
Tabel 4.6 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,2 1,0,0 12
Type Coef. SE Coef. T P
SAR 1 0.9266 0.0855 10.84 0.000
MA 1 −0.0147 0.1198 −0.12 0.903
MA 2 −0.1541 0.1201 −1.28 0.204
Constant 0.18268 0.09363 1.95 0.055
Berdasarkan Tabel 4.6, diperoleh hasil penaksiran model ARIMA
0,0,2 1,0,0 12 yakni, 𝜑1 =0.9266, 𝜃1 = −0.0147, 𝜃2 = −0.1541, dan
𝛿 = 0.18268. Dengan menggunakan operator backshift, model umum
ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 dapat dinyatakan oleh:
1 − 𝜑1𝐵12 𝑊𝑡 = 𝛿 + 1 −𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵
2 휀𝑡
Dengan mensubtitusikan nilai-nilai parameter yang telah ditaksir pada
bentuk tersebut maka diperoleh:
1 − 0.9266𝐵12 𝑊𝑡 = 0.18268 + 1 + 0.0147𝐵 + 0.1541𝐵2 휀𝑡
Berdasarkan Tabel 4.6 dapat dilihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 untuk
parameter MA 1 dan MA 2 lebih besar dari 𝛼 sehingga 𝐻0 diterima, artinya
model ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 tidak memenuhi asumsi keberartian
koefisien.
51
4. ARIMA 2,0,2 1,0,0 12
Tabel 4.7 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,2 1,0,0 12
Type Coef. SE Coef. T P
AR 1 1.0293 0.2980 3.45 0.001
AR 2 −0.6972 0.2670 −2.61 0.011
SAR 1 0.9466 0.0731 12.95 0.000
MA 1 1.0284 0.2542 4.05 0.000
MA2 −0.8513 0.2093 −4.07 0.000
Constant 0.08912 0.06595 1.35 0.181
Berdasarkan Tabel 4.7, diperoleh hasil penaksiran model ARIMA
2,0,2 1,0,0 12 yakni, ∅1 = 1.0293, ∅2 = −0.6972, 𝜑1 = 0.9466, 𝜃1 =
1.0284, 𝜃2 = −0.8513, dan 𝛿 = 0.08912. Dengan menggunakan operator
backshift, model umum ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 dapat dinyatakan oleh:
1 − ∅1𝐵 − ∅2𝐵2 1 −𝜑1𝐵
12 𝑊𝑡 = 𝛿 + 1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 휀𝑡
Dengan mensubtitusikan nilai-nilai parameter yang telah ditaksir pada
bentuk tersebut maka diperoleh:
1 − 1.0293𝐵 + 0.6972𝐵2 1− 0.9466𝐵12 𝑊𝑡
= 0.08912 + 1 − 1.0284𝐵 + 0.8513𝐵2 휀𝑡
Berdasarkan Tabel 4.7 dapat dilihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 untuk semua
parameter lebih kecil dari 𝛼 sehingga 𝐻0 ditolak, artinya model ARIMA
2,0,2 1,0,0 12 telah memenuhi asumsi keberartian koefisien.
52
Pengujian asumsi 𝑤ℎ𝑖𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 terdiri dari 2 tahap yakni, uji keacakan
residu dan uji kenormalan residu. Berikut ini adalah disajikan plot ACF residu dan
nilai statistik Ljung-Box masing-masing model untuk menguji keacakan residu
serta plot probabilitas residu masing-masing model untuk menguji kenormalan
residu:
1. Model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
Gambar 4.7 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
Berdasarkan Gambar 4.7 terlihat bahwa tidak terdapat lag yang keluar
dari garis merah yang menunjukkan bahwa residu bersifat acak. Untuk
memastikan hal ini maka digunakan statistik Q Box-Pierce yang terdapat pada
tabel berikut:
Lag
Au
toco
rre
lati
on
7065605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for RESI1(with 5% significance limits for the autocorrelations)
53
Tabel 4.8 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 10.4 16.6 28.6 35.1
DF 10 22 34 46
P-Value 0.407 0.787 0.731 0.879
Berdasarkan tabel 4.8 terlihat bahwa nilai p-value untuk setiap lag
yang diuji lebih besar dari 𝛼 maka 𝐻0 diterima sehingga dapat dikatakan
bahwa residu model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 bersifat acak.
Gambar 4.8 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
RESI1
Pe
rce
nt
210-1-2
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
Mean
>0.150
0.01632
StDev 0.6733
N 72
KS 0.073
P-Value
Probability Plot of RESI1Normal
54
Berdasarkan Gambar 4.8 diketahui nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0.05, maka
𝐻0diterima artinya residu model ARIMA (2,1,0)(0,1,0)9 berdistribusi
normal.
2. Model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12
Gambar 4.9 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,0 1,0,0 12
Berdasarkan Gambar 4.9 terlihat bahwa tidak terdapat lag yang keluar
dari garis merah yang menunjukkan bahwa residu bersifat acak. Untuk
memastikan hal ini maka digunakan statistik Q Box-Pierce yang terdapat pada
tabel berikut:
Lag
Au
toco
rre
lati
on
7065605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for RESI2(with 5% significance limits for the autocorrelations)
55
Tabel 4.9 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,0 1,0,0 12
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 6.1 12.8 20.6 26.4
DF 8 20 32 44
P-Value 0.632 0.886 0.939 0.984
Berdasarkan tabel 4.9 terlihat bahwa nilai p-value untuk setiap lag
yang diuji lebih besar dari 𝛼 maka 𝐻0 diterima sehingga dapat dikatakan
bahwa residu model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 bersifat acak.
Gambar 4.10 Plot Probabilitas Residu ARIMA 2,0,0 1,0,0 12
Berdasarkan Gambar 4.10 terlihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0.05, maka
𝐻0 diterima artinya residu model ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 berdistribusi
normal
RESI2
Pe
rce
nt
210-1-2
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
Mean
0.057
0.01070
StDev 0.6627
N 72
KS 0.103
P-Value
Probability Plot of RESI2Normal
56
3. Model ARIMA 0,0,2 1,0,0 12
Gambar 4.11 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,2 1,0,0 12
Berdasarkan Gambar 4.11 terlihat bahwa tidak terdapat lag yang
keluar dari garis merah yang menunjukkan bahwa residu bersifat acak. Untuk
memastikan hal ini maka digunakan statistik Q Box-Pierce yang terdapat pada
tabel berikut:
Tabel 4.10Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,2 1,0,0 12
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 7.1 13.8 22.2 28.2
DF 8 20 32 44
P-Value 0.526 0.841 0.901 0.969
Lag
Au
toco
rre
lati
on
7065605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for RESI3(with 5% significance limits for the autocorrelations)
57
Berdasarkan tabel 4.10 tersebut terlihat bahwa nilai p-value untuk
setiap lag yang diuji lebih besar dari 𝛼 maka 𝐻0 diterima sehingga dapat
dikatakan bahwa residu model ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 bersifat acak.
Gambar 4.12 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,2 1,0,0 12
Berdasarkan Gambar 4.12 terlihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0.05, maka
𝐻0 diterima artinya residu model ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 berdistribusi
normal.
RESI3
Pe
rce
nt
210-1-2
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
Mean
0.127
0.01264
StDev 0.6646
N 72
KS 0.093
P-Value
Probability Plot of RESI3Normal
58
4. Model ARIMA 2,0,2 1,0,0 12
Gambar 4.13 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,2 1,0,0 12
Berdasarkan Gambar 4.13 terlihat bahwa tidak terdapat lag yang
keluar dari garis merah yang menunjukkan bahwa residu bersifat acak. Namun
untuk memastikan hal ini maka digunakan statistik Q Box-Pierce yang
terdapat pada tabel berikut:
Tabel 4.11Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,2 1,0,0 12
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 5.1 11.4 22.0 28.1
DF 6 18 30 42
P-Value 0.536 0.874 0.854 0.950
Lag
Au
toco
rre
lati
on
7065605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for RESI4(with 5% significance limits for the autocorrelations)
59
Berdasarkan tabel tersebut terlihat bahwa nilai p-value untuk setiap lag
yang diuji lebih besar dari 𝛼 maka 𝐻0 diterima sehingga dapat dikatakan
bahwa residu model ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 bersifat acak.
Gambar 4.14 Plot Probabilitas Residu ARIMA 2,0,2 1,0,0 12
Berdasarkan Gambar 4.14 terlihat bahwa nilai 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0.05, maka
𝐻0 diterima artinya residu model ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 berdistribusi
normal.
Langkah terakhir adalah membandingkan nilai MSE setiap model untuk
menentukan model terbaik untuk digunakan dalam peramalan.
Berikut ini adalah tabel nilai MSE dari setiap model yang teridentifikasi:
RESI4
Pe
rce
nt
210-1-2
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
Mean
0.092
0.008519
StDev 0.6542
N 72
KS 0.097
P-Value
Probability Plot of RESI4Normal
60
Tabel 4.12 Nilai MSE Model ARIMA
Model Nilai
DF SSE MSE
ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 70 32.2018 0.4600
ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 68 31.1921 0.4587
ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 68 31.3693 0.4613
ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 66 30.3884 0.4604
Berdasarkan Tabel 4.12, nilai MSE terkecil dimiliki oleh model ARIMA
2,0,0 1,0,0 12 yakni sebesar 0.4587.
Berikut ini adalah rangkuman diagnosis model SARIMA yang terindikasi:
Tabel 4.13 Rangkuman Diagnosis Model ARIMA
Model Keberartian
Koefisien
White Noise MSE
Acak Normal
ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 Ya Ya Ya 0.4600
ARIMA 2,0,0 1,0,0 12 Tidak Ya Ya 0.4587
ARIMA 0,0,2 1,0,0 12 Tidak Ya Ya 0.4613
ARIMA 2,0,2 1,0,0 12 Ya Ya Ya 0.4604
Berdasarkan Tabel 4.13, model yang memenuhi tahapan diagnosis model,
yakni memenuhi asumsi keberartian koefisien, bersifat white noise, serta memiliki
nilai MSE terkecil di antara semua model yang teridentifikasi adalah model
ARIMA 0,0,0 1,0,0 12. Oleh karena itu model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 dipilih
sebagai model yang akan digunakan pada tahapan evaluasi.
61
4.2 Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi
Pada bagian sebelumnya diketahui bahwa data pendaftaran siswa baru
tidak normal sehingga perlu dilakukan transformasi. Artinya tahapan normalisasi
data telah dilakukan sehingga pada bagian ini hanya akan dilakukan pemisahan
(dekomposisi) data dengan menghitung indeks musiman dan menentukan garis
trend yang tepat. Metode yang akan digunakan adalah metode dekomposisi rata-
rata bergerak secara aditif dan multiplikatif sehingga hanya ada dua model yang
akan dihasilkan pada tahap ini. Model terbaik kemudian siap digunakan dalam
peramalan.
4.2.1 Menghitung Indeks Musiman
Sebelum masuk ke proses perhitungan indeks musiman, maka terlebih
dahulu dihitung rata-rata bergerak sepanjang musiman data. Pada penelitian ini,
sebagaimana kita ketahui sebelumnya, data memiliki musiman sepanjang 12
periode. Jadi, rata-rata musiman dihitung dengan merata-ratakan 12 data
berurutan dan hasilnya diletakkan pada periode tengahnya, namun karena panjang
periode musiman adalah genap maka hasil perata-rataan ini dirata-ratakan kembali
menggunakan 2 data berurutan. Berikut ini data hasil transformasi dan hasil
perhitungan rata-rata bergerak:
62
Tabel 4.14 Tabel Data Hasil Transformasi
Bulan Tahun Ajaran
07 – 08 08 - 09 09 - 10 10 – 11 11 - 12 12 - 13
Mei 2.564949 1.94591 2.397895 2.302585 2.995732 3.610918
Juni 2.890372 2.397895 2.833213 3.258097 2.639057 3.401197
Juli 4.189655 3.713572 4.158883 4.934474 4.812184 4.290459
Agustus 2.302585 3.465736 3.465736 2.890372 2.70805 1.791759
September 3.135494 2.564949 2.197225 1.386294 3.178054 3.258097
Oktober 2.302585 2.890372 2.302585 1.94591 2.397895 2.302585
Nopember 2.079442 2.564949 2.302585 1.609438 2.079442 2.197225
Desember 2.833213 2.302585 1.94591 0 1.609438 1.098612
Januari 3.555348 3.332205 2.397895 2.197225 3.044522 2.397895
Februari 0.693147 1.609438 1.791759 1.609438 2.079442 2.397895
Maret 2.484907 1.386294 1.386294 1.791759 0.693147 0.693147
April 0 2.397895 3.135494 2.079442 2.890372 3.044522
Tabel 4.15 Tabel Hasil Perhitungan Rata-Rata Bergerak
Bulan Tahun Ajaran
07 – 08 08 - 09 09 - 10 10 - 11 11 – 12 12 - 13
Mei 2.405605 2.568144 2.444258 2.354439 2.592523
Juni 2.403725 2.542351 2.334297 2.441083 2.576146
Juli 2.372318 2.48856 2.244856 2.543447 2.527919
Agustus 2.401199 2.457228 2.228898 2.598334 2.514246
September 2.393602 2.464824 2.238195 2.572142 2.527515
Oktober 2.447738 2.495557 2.211088 2.560155 2.533938
Nopember 2.393515 2.566484 2.522319 2.195967 2.619577
Desember 2.347202 2.603455 2.536051 2.199054 2.676966
Januari 2.306846 2.640147 2.586071 2.168165 2.686983
Februari 2.335474 2.658702 2.594414 2.155473 2.627066
Maret 2.360166 2.64338 2.536651 2.222533 2.592223
April 2.360884 2.603567 2.488001 2.316023 2.591587
63
Data kemudian dikurangi (model aditif) atau dibagi (model multiplikatif)
dengan rata – rata bergerak yang bersesuaian. Berikut ini hasil pengurangan atau
pembagian tersebut:
Tabel 4.16 Hasil Pengurangan Data Dengan Rata-Rata Bergerak
Bulan Tahun Ajaran
07 – 08 08 - 09 09 – 10 10 – 11 11 – 12 12 - 13
Mei −0.45969 −0.17024 −0.14167 0.641291 1.018397
Juni −0.00583 0.290859 0.923803 0.197978 0.825054
Juli 1.341252 1.67032 2.689614 2.268733 1.762541
Agustus 1.064541 1.008513 0.661472 0.109716 −0.72249
September 0.171348 −0.2676 −0.85191 0.605908 0.730585
Oktober 0.442632 −0.19297 −0.26518 −0.16226 −0.23135
Nopember −0.31408 −0.00153 −0.21973 −0.58653 −0.54014
Desember 0.486008 −0.30086 −0.59014 −2.19905 −1.06753
Januari 1.248504 0.692053 −0.18817 0.029055 0.357537
Februari −1.64232 −1.04926 −0.80265 −0.54603 −0.54763
Maret 0.124744 −1.25709 −1.15036 −0.43077 −1.89907
April −2.36088 −0.20567 0.647489 −0.23658 0.298783
64
Tabel 4.17 Hasil Pembagian Data Dengan Rata-Rata Bergerak
Bulan Tahun Ajaran
07 – 08 08 - 09 09 – 10 10 – 11 11 - 12 12 - 13
Mei 0.808907 0.933709 0.942041 1.272375 1.392821
Juni 0.997577 1.114406 1.395752 1.081102 1.320267
Juli 1.565376 1.671199 2.198123 1.891992 1.69723
Agustus 1.443337 1.410427 1.296771 1.042225 0.712643
September 1.071586 0.891431 0.619378 1.235565 1.289053
Oktober 1.180833 0.922676 0.880069 0.936623 0.9087
Nopember 0.868781 0.999402 0.912886 0.732907 0.793808
Desember 1.207058 0.884436 0.767299 0 0.601218
Januari 1.541217 1.262127 0.927237 1.013401 1.133062
Februari 0.296792 0.605348 0.690622 0.746676 0.791545
Maret 1.052854 0.524438 0.546504 0.806179 0.267396
April 0 0.921006 1.260245 0.897849 1.11529
Hasil pengurangan dan hasil pembagian tersebut kemudian dihitung rerata
medialnya (rata-rata setelah dikurangi nilai tertinggi dan nilai terendah) untuk
masing-masing periode. Rerata medial yang dihasilkan kemudian ditambah /
dikali dengan faktor koreksi sehingga rata – rata totalnya menjadi 0 (model aditif)
/ menjadi 1 (model multiplikatif). Hasil terakhir ini kita sebut sebagai indeks
musiman. Berikut adalah hasil perhitungan indeks musiman untuk model aditif
dan model multiplikatif:
65
Tabel 4.18 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Aditif
Bulan Rerata Medial Indeks Musiman 𝐼𝑡
Mei 0.109792917 0.062221167
Juni 0.437963472 0.390391167
Juli 1.900531389 1.852959167
Agustus 0.593233611 0.545662167
September 0.169884028 0.122312167
Oktober −0.195523472 −0.243094833
Nopember −0.357980278 −0.405551833
Desember −0.652843889 −0.700415833
Januari 0.359548056 0.311976167
Februari −0.799847222 −0.847418833
Maret −0.946074722 −0.993646833
April −0.047822222 −0.095393833
Rata – rata 0.047571806 0
Tabel 4.19 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Multiplikatif
Bulan Rerata Medial Indeks Musiman 𝐼𝑡
Mei 1.049374994 1.028483753
Juni 1.171924865 1.148593867
Juli 1.753473672 1.718565044
Agustus 1.249807869 1.224926356
September 1.066194068 1.044967988
Oktober 0.922666272 0.904297582
Nopember 0.858491528 0.841400446
Desember 0.750984515 0.736033712
Januari 1.136196557 1.113576848
Februari 0.680882102 0.667326917
Maret 0.625707201 0.613250453
April 0.978048282 0.958577032
Rata – rata 12.24375193 12
66
4.2.2 Pencocokan Trend
Sebelumnya data terlebih dahulu dihilangkan faktor musimannya. Hal ini
dilakukan dengan mengurangi data dengan indeks musiman aditif (model aditif)
atau membagi data dengan indeks musiman multiplikatif (model multiplikatif).
Berikut adalah persamaan trend hasil pencocokan antara data yang telah
dihilangkan faktor musimannya sebagai variable bergantung dan periode sebagai
variable bebas:
a. Trend Model Aditif
𝑇𝑡 = 2.441167628 + 0.000674129𝑡
Dimana :𝑇𝑡 = faktor trend
𝑡 =periode
b. Trend Model Multiplikatif
𝑇𝑡 = 2.488706401− 0.0008764896𝑡
Dimana :𝑇𝑡 = faktor trend
𝑡 =periode
67
4.2.3 Evaluasi Model
Pada tahap ini akan dilakukan pencocokan data dengan model yang
terbentuk dan dilakukan pemeriksaan untuk melihat seberapa baik model tersebut
dengan menggunakan MSE. Hasil perhitungan MSE untuk metode dekomposisi
menggunakan model aditif dan model multiplikatif adalah sebagai berikut:
MSE model aditif = 0.38305
MSE model multiplikatif = 0.38812
Berdasarkan 2 nilai MSE di atas maka dapat disimpulkan bahwa model
aditif lebih baik dari pada model multiplikatif.
4.3 Perbandingan Hasil Metode SARIMA dan Metode Dekomposisi
Pada tahap ini akan dilakukan evaluasi peramalan dengan menggunakan
data musiman terkahir. Model terpilih menggunakan metode SARIMA adalah
model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 sedangkan model terpilih menggunakan metode
dekomposisi adalah model aditif. Berikut adalah perhitungan MAPE untuk 2
model tersebut yang dibandingkan dengan data musiman terakhir:
68
Tabel 4.20 Perhitungan MAPE Model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
Bulan 𝐴𝑡 𝐹𝑡 𝐴𝑡 −𝐹𝑡 𝐴𝑡 MAPE
Mei 14 34.04047 1.4314619 41.85355
Juni 35 28.03293 0.1990591
Juli 72 63.85916 0.1130673
Agustus 22 6.317604 0.7128362
September 18 24.55462 0.3641455
Oktober 10 10.13779 0.013779
Nopember 9 9.195645 0.0217383
Desember 7 3.325467 0.5249333
Januari 12 11.073 0.0772497
Februari 7 11.073 0.5818576
Maret 5 2.284689 0.5430622
April 14 20.14931 0.4392364
Jumlah 225 224.0437 5.0224264
Tabel 4.21 Perhitungan MAPE Model Dekomposisi Aditif
Bulan A_t F_t
|A_t-F_t
|⁄A_t MAPE
Mei 14 12.84045 0.0828251 18.15293
Juni 35 17.84002 0.4902851
Juli 72 77.06787 0.0703871
Agustus 22 20.8648 0.0515999
September 18 13.67252 0.2404158
Oktober 10 9.493951 0.0506049
Nopember 9 8.0758 0.1026888
Desember 7 6.017561 0.1403484
Januari 12 16.57256 0.3810466
Februari 7 5.201918 0.2568689
Maret 5 4.497283 0.1005433
April 14 11.04967 0.2107378
Jumlah 225 203.1944 2.1783517
69
Berdasarkan tabel 4.25, nilai MAPE model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12
adalah 41.853%, lebih dari 20% sehingga tidak layak digunakan untuk peramalan
selanjutnya. Nilai tersebut mungkin saja muncul karena pengaruh dari faktor di
luar data runtun waktu untuk periode peramalan lebih dominan dibandingkan
faktor dari data runtun waktu itu sendiri. Sedangkan dari tabel 4.26, diketahui
bahwa nilai MAPE model dekomposisi aditif bernilai 18.153%, kurang dari 20%
sehingga layak digunakan untuk peramalan selanjutnya.
4.4 Peramalan
Tahap terakhir pada penelitian ini adalah melakukan peramalan
menggunakan model terpilih yakni model dekomposisi aditif. Berikut adalah
peramalan jumlah pendaftaran siswa baru untuk tahun ajaran 2014 – 2015:
Tabel 4.22 Peramalan Pendaftaran Siswa Baru Tahun Ajaran 2014 - 2015
Bulan Ramalan Pembulatan
Mei 12.94474 13
Juni 17.98492 18
Juli 77.69384 78
Agustus 21.03427 21
September 13.78357 14
Oktober 9.571064 10
Nopember 8.141395 8
Desember 6.066438 6
Januari 16.70717 17
Februari 5.24417 5
Maret 4.533812 5
April 11.13942 11
70
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pengujian dan pembahasan yang telah dipaparkan pada
bagian sebelumnya, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai jawaban atas
perumusan masalah pada penelitian ini, yakni sebagai berikut:
1) Metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi sanggup memodelkan
data pendaftaran siswa baru dikarenakan data penjumlahan siswa baru
bersifat musiman dengan panjang musiman 12 periode.
2) Model Seasonal ARIMA yang paling sesuai dengan data adalah model
ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 yakni:
1 − 0.9258𝐵12 𝑊𝑡 = 0.18450 + 𝜀𝑡
Dengan nilai MSE sebesar 0.4600.
3) Model Dekomposisi yang paling sesuai ialah model dekomposisi aditif
dengan persamaan trend:
𝑇𝑡 = 2.441167628 + 0.000674129𝑡
Dan indeks musiman sebagai berikut:
71
Tabel 5.1 Indeks Musiman Model Aditif
Bulan Indeks Musiman 𝐼𝑡
Mei 0.062221167
Juni 0.390391167
Juli 1.852959167
Agustus 0.545662167
September 0.122312167
Oktober −0.243094833
Nopember −0.405551833
Desember −0.700415833
Januari 0.311976167
Februari −0.847418833
Maret −0.993646833
April −0.095393833
Dengan nilai MSE sebesar 0.38305
4) Nilai MAPE dari metode Seasonal ARIMA adalah 41.85%, tidak layak
digunakan untuk peramalan selanjutnya, sedangkan nilai MAPE metode
Dekomposisi adalah 18.15%, layak digunakan untuk peramalan
selanjutnya. Jadi pada penelitian ini metode Dekomposisi jauh lebih baik
dibandingkan metode seasonal ARIMA dalam memodelkan data jumlah
pendaftaran siswa baru di lembaga bimbingan belajar Sony Sugema
College cabang Bintaro.
72
5.2 Saran
Beberapa saran oleh penulis pada penelitian ini adalah:
1) Diharapkan kepada pihak-pihak terkait pada penelitian terutama pihak
manajemen lembaga bimbingan belajar untuk mempertimbangkan hasil
penelitian ini dalam memutuskan langkah- langkah manajemen yang
berkaitan dengan kebutuhan siswa.
2) Kepada pembaca yang tertarik melakukan penelitian lanjutan mengenai
pendaftaran siswa baru pada lembaga bimbingan belajar dapat
menggunakan metode-metode runtun waktu lain yang berfokus pada unsur
musiman atau metode lain yang memasukkan faktor-faktor luar yang
mungkin berpengaruh terhadap jumlah pendaftaran siswa baru.
73
REFERENSI
[1] Pranasta Dimas, “Peramalan Debit Air Menggunakan Metode Box Jenkins
Seasonal ARIMA (studi kasus: sungai citarum jawa barat)”.
[2] Milasari Ika, “Peramalan Jumlah Penderita Demam Berdarah
Menggunakan Model ARIMA Musiman (Studi Kasus di RSUD
Kabupaten Sidoarjo)”.
[3] Nurhayati Atik, Darnah A. Nohe, dan Syaripudin, “Peramalan
Menggunakan Model ARIMAMusiman dan Verivikasi Hasil Peramalan
dengan Grafik Pengendali Moving Average (studi kasus: produksi air
bersih di PDAM Tirta Kencana Samarinda)”.
[4] Affandy Anshar, “Prakiraan Daya Beban Listrik yang tersambung pada
Gardu Induk Sengkaling Tahun 2012-2021 Menggunakan Metode Time
Series dengan Model Dekomposisi”.
[5] Isnaeni Tri, “Analisis Data Runtun Waktu Menggunakan Metode
Dekomposisi (Aplikasi: data inflasi indeks harga konsumen di DIY)”.
[6] Barus Jimmy Handoko dan Ramli, “Analisis Peramalan Ekspor Indonesia
Pasca Krisis Keuangan Eropa dan Global Tahun 2008 dengan Metode
Dekomposisi”.
[7] Cryer, Jonathan D, Time Series Analysis, Boston: PWS Publishers. 1986.
[8] Hanke, J.E, & Wichern Dean, Business Forecasting, New Jersey: Pearson
Education,Inc. 2005.
74
[9] Makridakis S, dan Wheelwright S.C, Metode-Metode Peramalan untuk
Manajemen, Jakarta: Erlangga, 1991.
[10] Gujarati D, Basic Econometric, New York: McGraw-Hill. 2003.
[11] Wei W.W.S, Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods.
New York: Addison Wesley Publishing Company. 1994.
[12] Makridakis S, Wheelwright, S.C, and Mc Gee, V.E., Forecasting:Methods
and Applications. Canada: John Wiley and Sons, 1983.
[13] Mulyana, Buku Ajar Analisis Deret Waktu, Bandung: FMIPA UNPAD,
2004.
[14] Gaspersz, Ekonometrika Terapan 1, Bandung : Tarsito, 1991.
[15] Gaynor P.E, and Kirkpatrick R. C, Introduction to Time-Series Modeling
and Forecasting in Business and Economics. New York: McGraw-Hill
International Editions. 1994.
[16] Levenbach Hans, and Cleary James, The Beginning Forecaster, The
Forecasting Process Through Data Analysis. California: Lifetime Learn
by Pub, First Edition. 1981.
75
LAMPIRAN 1
Data Jumlah Pendaftaran Siswa Baru LBB SSC (Periode Mei 2007 – April
2014)
Bulan Tahun Ajaran
07 – 08 08 – 09 09 – 10 10 – 11 11 – 12 12 - 13 13 - 14
Mei 13 7 11 10 20 37 14
Juni 18 11 17 26 14 30 35
Juli 66 41 64 139 123 73 72
Agustus 10 32 32 18 15 6 22
September 23 13 9 4 24 26 18
Oktober 10 18 10 7 11 10 10
Nopember 8 13 10 5 8 9 9
Desember 17 10 7 1 5 3 7
Januari 35 28 11 9 21 11 12
Februari 2 5 6 5 8 11 7
Maret 12 4 4 6 2 2 5
April 1 11 23 8 18 21 14
76
LAMPIRAN 2
Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman Aditif
Bulan Tahun Ajaran
07 – 08 08 – 09 09 – 10 10 – 11 11 – 12 12 - 13
Mei 2.502728 1.883688 2.335678 2.240368 2.933508 3.548698
Juni 2.499978 2.007508 2.442818 2.867708 2.248668 3.010808
Juli 2.336690 1.860610 2.305920 3.081510 2.959220 2.437500
Agustus 1.756927 2.920077 2.920077 2.344707 2.162387 1.246097
September 3.013177 2.442637 2.074907 1.263977 3.055737 3.135787
Oktober 2.545684 3.133464 2.545684 2.189004 2.640994 2.545684
Nopember 2.484991 2.970501 2.708141 2.014991 2.484991 2.602771
Desember 3.533625 3.003005 2.646325 0.700415 2.309855 1.799025
Januari 3.243373 3.020223 2.085923 1.885243 2.732543 2.085923
Februari 1.540568 2.456858 2.639178 2.456858 2.926858 3.245318
Maret 3.478556 2.379936 2.379936 2.785406 1.686796 1.686796
April 0.095393 2.493293 3.230883 2.174833 2.985763 3.139913
77
LAMPIRAN 3
Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman Multiplikatif
Bulan Tahun Ajaran
07 – 08 08 – 09 09 – 10 10 – 11 11 – 12 12 - 13
Mei 2.493913 1.892018 2.331490 2.238820 2.912763 3.510915
Juni 2.516442 2.087683 2.466676 2.836598 2.297644 2.961185
Juli 2.437876 2.160855 2.419972 2.871273 2.800115 2.496536
Agustus 1.879778 2.829345 2.829345 2.359627 2.210785 1.462749
September 3.000560 2.454572 2.102667 1.326633 3.041289 3.117894
Oktober 2.546274 3.196259 2.546274 2.151846 2.651671 2.546274
Nopember 2.471403 3.048429 2.736616 1.912810 2.471403 2.611384
Desember 3.849293 3.128375 2.643778 0 2.186638 1.492608
Januari 3.192729 2.992339 2.153331 1.973119 2.734000 2.153331
Februari 1.038696 2.411771 2.684980 2.411771 3.116073 3.593291
Maret 4.052031 2.260560 2.260560 2.921742 1.130288 1.130288
April 0 2.501520 3.270983 2.169298 3.015271 3.176082
78
LAMPIRAN 4
Perhitungan Nilai Parameter Trend
Model Aditif:
𝑏 =𝑛 𝑡𝑍𝑡 − 𝑡 𝑍𝑡
𝑛 𝑡2 − 𝑡 2=72 6501.016 − 2628 177.53568
72 127020 − 2628 2
= 0.000674129
𝑎 = 𝑍𝑡
𝑛− 𝑏
𝑡
𝑛=177.53568
72− 0.000674129
2628
72= 2.441167628
sehingga
𝑇𝑡 = 2.441167628+ 0.000674129𝑡
Model Multiplikatif:
𝑏 =𝑛 𝑡𝑍𝑡 − 𝑡 𝑍𝑡
𝑛 𝑡2 − 𝑡 2=72 6428.9887 − 2628 176.88345
72 127020 − 2628 2
= 0.0008764896
𝑎 = 𝑍𝑡
𝑛− 𝑏
𝑡
𝑛=176.88345
72− 0.0008764896
2628
72= 2.488706401
sehingga
𝑇𝑡 = 2.488706401− 0.0008764896𝑡