CAPITULO 9

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS COMPUESTOS

EJERCICIO 9

Hallar los límites entre los cuales

varía la expresión : E = √3 Sen φ +Cos φ

Resolución:

E = √3 Sen φ + Cos φ ....mult. y divi. por ( 2 )

E = √3 Sen φ + Cos φ

2

2

2

2

E = 2 ( √3 Sen φ + Cos φ )

1

2

1

2

E = 2 ( Sen φ + Cos φ )

√3

2 2

1

= Sen 60° = Cos 60°

E = 2 ( Sen 60°.Sen φ + Cos60°.Cos φ )

Cos ( 60° - φ )

E = 2 Cos ( 60° - φ )

Sabemos que : -1 ≤ Cos x ≤ 1

- 1 ≤ Cos ( 60° - φ ) ≤ 1 .....mult. por ( 2 )

-2 ≤ 2 Cos ( 60° - φ ) ≤ 2

-2 ≤ 2 Cos ( 60° - φ ) ≤ 2

= E

[ - 2 ; 2 ]

EJERCICIO 10

En la figura, hallar el máximo va-

lor de " θ "

A C

N

B

M

θ

Resolución:

Del gráfico : α + θ = β

θ = β - α

Tg θ = Tg ( β - α )

A C

N

B

M

θ

β

α

a

a

b

b

A

N

B

M

β

a

a

b

Tg β =

2a

b

C

N

B

M

α

a

b

b

Tg α =

a

2b

Tg β - Tg α

1 - Tg β.Tg α

Tg θ =

Reemplazando valores :

-

1 +

Tg θ = =

2a

b

a

2b

2a

b

a

2b

.

3a

2b

2b² + 2a²

2b²

Tg θ = = ......( I )

3ab

2b² + 2a²

3

2

ab

b² + a²

( )

Si : a Є R , b Є R → a - b Є R

( a - b ) ² ≥ 0 para todo a , b Є R

a ² - 2 ab + b ² ≥ 0

a ² + b ² ≥ 2ab

ab

b² + a²

≤

1

2

máx. valor =

1

2

Tg θ = =

3

2

.

1

2

Tg θ =

3

4

→ θ = 37 °

Reemplazando en ( I ) :

3

2

ab

b² + a²

( )