CUERPOS
GEOMÉTRICOS.
ÁREAS Y ÁREAS Y
VOLÚMENES.
2º E.S.O.
ÁREAS DE POLÍGONOS
h
b
h
b
h
b
A2
⋅=
b h
b
A = ⋅b h A = ⋅b h
b
ÁREAS DE POLÍGONOS
D
d
b
B
ha
A2
⋅=
D d
B
( )A
2
+ ⋅=
B b h
l
( )A
2 2
⋅ ⋅ ⋅= =
n l a p a
=n nº de lados
ÁREA Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
r
r
nº
2A = π⋅ r
2= ⋅π⋅l r
2 nºA
360º
π⋅ ⋅=
r
2 nº
360º
⋅ π ⋅ ⋅=
rl
SUPERFICIE DE UN PRISMA
ÁREA LATERAL = Perímetro de la base · altura
ÁREA TOTAL = ÁREA LATERAL + 2 · ÁREA DE LA BASE
Hallar el área total de una celda conforma de prisma de base hexagonal deun panal de abejas, según el dibujo:
SUPERFICIE DE UN PRISMA
2LATERALA p h 4 6 8 192 mm= ⋅ = ⋅ ⋅ =
2TOTAL LATERAL BASEA A A 192 41'52 233'52 mm= + = + =
2 2 2 2 2 2p p p4 a 2 a 4 2 12 a 12 3'46= + → = − = → = =
p 2BASE
p a 24 3'46A 41'52 mm
2 2
⋅ ⋅= = =
SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO
c
( )TOTALA 2 ab bc ac= + +
ab
Hallar el área total de este ortoedro:
SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO
( ) 2TOTALA 2 6 3 6 2 2 3 72 cm= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
SUPERFICIE DE UNA PIRÁMIDE
( )LAT
1 1 Perímetro de la baseA
2 2 2
⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
an l a n l a
TOTAL LAT BASE
Perímetro de la base Perímetro de la baseA A A
2 2
⋅ ⋅= + = +
a a'
Hallar la superficie de la pirámide de Keops que se detalla acontinuación:
h =160 ml = 240 ma’ = 120 m
SUPERFICIE DE UNA PIRÁMIDE
( )22 2 2h 160 120 40000 200 m= + = + = =a a'
( ) 2LAT
4 240 200Perímetro de la base96000 m
2 2
⋅ ⋅⋅= = =
aA
SUPERFICIE DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
( )( )
LAT
Lado base 1 + Lado base 2 HA nº de lados
2
⋅= ⋅
TOTAL LAT BASESA A A= +
TRONCO DE PIRÁMIDEHallar el área lateral y total del siguiente tronco de pirámidecuandrangular regular:
2 23 1 2 '83 m= − =a
( ) 2LATERAL
4 2 2 '83A 4 33'96 m
2
+ ⋅= ⋅ =
2 2 2TOTAL LATERAL BASESA A A 33'96 2 4 53'96 m= + = + + =
SUPERFICIE DE UN CILINDRO
LATERALA 2 h= π ⋅r
2TOTAL LATERAL BASEA A 2 A 2 h 2= + ⋅ = π + πr r
Hallar el área total de la figura (en centímetros):
SUPERFICIE DE UN CILINDRO
2LAT 1A 2 1 3 18'85 cm= ⋅ π ⋅ ⋅ =
2LAT 3A 2 2 5 62 '83 cm= ⋅π ⋅ ⋅ =
1 2 3
2TOTAL FIGURAA 18'85 150 '8 62 '83 232 '48 cm= + + =
2 2TOTAL2A 2 3 5 2 3 94 '25 56 '55 150 '8cm= ⋅ π⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ = + =
SUPERFICIE DE UN CONO
LATERALA = π⋅ ⋅r g
2TOTAL LATERAL BASEA A A= + = π⋅ ⋅ + π ⋅r g r
Hallar el área lateral y total del cono de la figura:
2 2g 12 5 13 cm= + =
SUPERFICIE DE UN CONO
2A r 5 13 204 '20 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ =g =
2TOTAL LATERAL BASEA A A 204 '20 78'54 282 '74 cm= + = + =
2LATERALA r 5 13 204 '20 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ =g =
2 2 2BASEA r 5 78'54 cm= π⋅ π⋅ ==
SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO
( )LATERALA = π⋅ ⋅r + r' g
( ) 2 2TOTAL LATERAL BASEA A A= + = π⋅ ⋅ + π⋅ + π⋅r + r' g r r'
Hallar el área lateral y total del tronco de cono de la figura:
SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO
( ) ( ) 2LATERALA 15 10 13 325 1020,5 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ + ⋅ = π =r + r' g =
( ) 2 2 2 2 2TOTALA 1020,5 15 10 2041 cm= π⋅ ⋅ + π⋅ + π⋅ = + π⋅ + π⋅ =r + r' g r r'
SUPERFICIE DE LA ESFERA
La superficie de la esfera se llama superficie esférica. Coincidecon la superficie lateral del cilindro que la envuelve.
22 2 4= π ⋅ = πA R R R2
LATERAL DEL CILINDRO 2 2 4= π ⋅ = πA R R R
2ESFERA 4= πA R
SUPERFICIE DE LA ESFERA
La relación entre la superficie de la esfera y la del cilindro quela envuelve también se cumple para porciones de esfera.
SUPERFICIE DE LA ESFERA
La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y correspondea una esfera de 9m de radio. Calular su superficie.
22 9 4 226 m= π⋅ ⋅ =S
SUPERFICIE DE LA ESFERA
La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y correspondea una esfera de 9m de radio. Calular su superficie.
22 9 4 226 m= π⋅ ⋅ =S
VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO
Los prismas y los cilindros son figuras prismáticas.
V = ABASE · Altura V = ABASE · Altura = πr2 · a
Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular de lado de la base 30 cm y
1 m de altura.
2 2apotema 30 15 26 cm= − ≈
VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO
2BASE
Perímetro apotema 30 6 26A 2340 cm
2 2
⋅ ⋅ ⋅= = =
2 3PRISMA BASEV A Altura 2340 cm 10 cm 234000 cm 234 litros= ⋅ = ⋅ = =
Hallar el volumen de un cilindro de 30 cm de radio y 1 m de altura.
30 cm
1 m
VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO
2 2 3CILINDRO BASEV A Altura 30 100 282600 cm 282,6 litros= ⋅ = π ⋅ = π⋅ ⋅ = =r a
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
Pirámide
1V Área de la base Altura
3= ⋅
Hallar el volumen de una pirámide de altura 20 cm. La base es un triángulo
rectángulo de 10 cm de hipotenusa y 6 cm un cateto.
2 210 6 8 cm= − =c
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
2BASE
6 8A 24 cm
2
⋅= =
3PRISMA
1V 24 20 160 cm
3= ⋅ ⋅ =
20 cm
VOLUMEN DEL TRONCO DE PIRÁMIDE
Tronco de Pirámide Pirámide grande Pirámide pequeñaV V V= −
3
1Pirámide pequeña Pirámide grande
2
V V
= ⋅
a
a
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
Hallar el volumen del siguiente tronco de pirámide:
2 3PIRÁMIDE GRANDE
1V 8 12 256 cm
3= ⋅ ⋅ =
36
33 3
PIRÁMIDE PEQUEÑA
6V 256 cm 32 cm
12
= ⋅ =
3TRONCO DE PIRÁMIDE
V 256 32 224 cm= − =
VOLUMEN DEL CONO Y TRONCO DE CONO
2Cono
1 1V Área de la base Altura
3 3= ⋅ = πr a
Tronco de Cono Cono grande Cono pequeñoV V V= −
VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO
Hallar el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura cuyas bases
tienen radios de 6 cm y 2 cm.
x 10 x2x 20 6x 4x 20 x 5 cm
6 2
+= → + = → = → =
Altura cono grande = 15 cm
Tronco de Cono Cono grande Cono pequeño
2 2 3
V V V
1 16 15 2 5 544 cm
3 3
= − =
= π⋅ ⋅ − π⋅ ⋅ =
VOLUMEN DE LA ESFERA
3Esfera
2 4V Volumen del cilindro que la contiene
3 3= = πR
VOLUMEN DE LA ESFERA
3 3 3Esfera
4 4V 9 972 3053,63 cm
3 3= π = ⋅π ⋅ = ⋅ π ≈R
Hallar el volumen de un sector esférico de 60º correspondiente a una esfera
de 9 cm de radio.
33360º 3053,63 cm 60º 3053,63
x 509 cm360º60º x
→ ⋅→ = ≈
→
3SECOR ESFÉRICO
V 509 cm≈
VOLUMEN DE LA ESFERA
3 3BALÓN
4V 25 65417 cm
3= ⋅π ⋅ ≈
El radio de un balón es 25 cm, y sabemos que el grosor de la goma es 3 mm.
¿Cuántos litros de goma son necesarios para fabricar un balón?
4 3 3ESFERA INTERIOR
4V 24,7 63090 cm
3= ⋅ π⋅ ≈
3GOMAV 65417 63090 2327 cm 2,327 litros= − = =
Solución: Se necesitarán 2,33 litros de goma aproximadamente.
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS
Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremoscoinciden con los polos.
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS
Los paralelos son circunferencias sobre la superficie terrestretales que el plano que las contiene es perpendicular al ejeterrestre.
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS
La longitud de un lugar M es la medida en grados del arco,medido sobre el Ecuador, formado por el meridiano del lugar yel meridiano de Greenwich.
LatitudLatitud
Longitud
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS
La latitud del lugar M es la medida en grados del arco, medidosobre el meridiano que pasa por M, formado por el Ecuador y elparalelo de M.
LatitudLatitud
Longitud
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS