Instituto de Física e Matemática
Pró-reitoria de Ensino
Universidade Federal de Pelotas
Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas
Atividades de Reforço em CálculoMódulo de
2018/1
Aula 01
GAMAGrupo de Apoio em
Matemática
Projeto
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Cateto Adjacenteao ângulo 𝛼
Vértice 𝐴 Vértice 𝐶
Cateto Oposto ao ângulo 𝛼
Vértice 𝐵Hipotenusa
Ângulo interno relativo ao vértice 𝐶
Considere o triângulo retângulo a seguir
Ângulo reto
𝐴
𝐵
𝐶𝑏
𝑐𝑎𝛽
𝛼
Ângulo interno relativo ao vértice 𝐵
Cateto Adjacente ao ângulo 𝛽
Cateto Opostoao ângulo 𝛽
Trigonometria no Triângulo Retângulo
sin 𝛼 =𝑐
𝑎
Razão SenoDivisão do cateto oposto pela hipotenusa
sin𝛽 =𝑏
𝑎
cos 𝛼 =𝑏
𝑎
Razão CossenoDivisão do cateto adjacente pela hipotenusa
cos 𝛽 =𝑐
𝑎
tan𝛼 =𝑐
𝑏
Razão TangenteDivisão do cateto oposto pelo cateto adjacente
tan𝛽 =𝑏
𝑐
cot 𝛼 =𝑏
𝑐
Razão CotangenteDivisão do cateto adjacente pelo cateto oposto
cot 𝛽 =𝑐
𝑏
sec 𝛼 =𝑎
𝑏
Razão SecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto adjacente
sec 𝛽 =𝑎
𝑐
csc 𝛼 =𝑎
𝑐
Razão CossecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto oposto
csc 𝛽 =𝑎
𝑏
𝐴
𝐵
𝐶𝑏
𝑐𝑎𝛽
𝛼
𝛼 + 𝛽 = 90∘
𝛽 = 90∘ − 𝛼
sin𝛼 = cos 𝛽
sin 𝛼 = cos(90∘ − 𝛼)
cos 𝛼 = sin 𝛽
cos 𝛼 = sin(90∘ − 𝛼)
Trigonometria no Triângulo Retângulo
sin 𝛼 =𝑐
𝑎
Razão SenoDivisão do cateto oposto pela hipotenusa
sin𝛽 =𝑏
𝑎
cos 𝛼 =𝑏
𝑎
Razão CossenoDivisão do cateto adjacente pela hipotenusa
cos 𝛽 =𝑐
𝑎
tan𝛼 =𝑐
𝑏
Razão TangenteDivisão do cateto oposto pelo cateto adjacente
tan𝛽 =𝑏
𝑐
cot 𝛼 =𝑏
𝑐
Razão CotangenteDivisão do cateto adjacente pelo cateto oposto
cot 𝛽 =𝑐
𝑏
sec 𝛼 =𝑎
𝑏
Razão SecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto adjacente
sec 𝛽 =𝑎
𝑐
csc 𝛼 =𝑎
𝑐
Razão CossecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto oposto
csc 𝛽 =𝑎
𝑏
𝐴
𝐵
𝐶𝑏
𝑐𝑎𝛽
𝛼
𝛼 + 𝛽 = 90∘
𝛽 = 90∘ − 𝛼
sin𝛼 = cos 𝛽
sin 𝛼 = cos(90∘ − 𝛼)
cos 𝛼 = sin 𝛽
cos 𝛼 = sin(90∘ − 𝛼)
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Exemplo. Considerando o triângulo abaixo, determine as razões trigonométricas pedidas
(a) sin 𝛼
𝐴
𝐵
𝐶𝑥
35𝛽
𝛼
32 + 𝑥2 = 52
9 + 𝑥2 = 25
𝑥2 = 16
𝑥 = 4(c) tan𝛼
(d) sec 𝛼
(b) cos 𝛼
(e) sin𝛽
(g) cot 𝛽
(h) csc 𝛽
(f) cos 𝛽
Solução:(a) sin 𝛼
(c) tan𝛼
(b) cos 𝛼
(d) sec 𝛼
(e) sin𝛽
(g) cot 𝛽
(h) csc 𝛽
(f) cos 𝛽
3
5
4
5
3
4
5
4
4
5
3
5
3
4
5
4
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Observações Importantes
𝐴
𝐵
𝐶𝑏
𝑐𝑎
𝛼
cot 𝛼 =1
tan𝛼
sec 𝛼 =1
cos𝛼
csc𝛼 =1
sin 𝛼
tan𝛼 =sin 𝛼
cos 𝛼
cot 𝛼 =cos𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
cos 𝛼=
𝑐𝑎𝑏𝑎
=𝑐
𝑎⋅𝑎
𝑏=𝑐
𝑏= tan 𝛼
pois:
cos 𝛼
sin 𝛼=
𝑏𝑎𝑐𝑎
=𝑏
𝑎⋅𝑎
𝑐=𝑏
𝑐= cot 𝛼
pois:
1
tan 𝛼=1𝑐𝑏
=𝑏
𝑐= cot 𝛼
pois:
1
cos 𝛼=1
𝑏𝑎
=𝑎
𝑏= sec 𝛼
pois:
1
sin 𝛼=1𝑐𝑎
=𝑎
𝑐= csc 𝛼
pois:
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Observações Importantes
𝐴
𝐵
𝐶𝑏
𝑐𝑎
𝛼
sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1
𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2Teorema de Pitágoras:
𝑏2
𝑎2+𝑐2
𝑎2=𝑎2
𝑎2
𝑏
𝑎
2
+𝑐
𝑎
2
= 1
cos2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1
Dividindo ambos os lados por 𝑎2:
Propriedades das potências:
pois:
Portanto:
1 + tan2 𝛼 = sec2 𝛼
cot2 𝛼 + 1 = csc2 𝛼
𝑏2
𝑏2+𝑐2
𝑏2=𝑎2
𝑏2
1 +𝑐
𝑏
2
=𝑎
𝑏
2
1 + tan2 𝛼 = sec2 𝛼
Dividindo ambos os lados por 𝑏2:
Propriedades das potências:
Portanto:
𝑏2
𝑐2+𝑐2
𝑐2=𝑎2
𝑐2
𝑏
𝑐
2
+ 1 =𝑎
𝑐
2
cot2 𝛼 + 1 = csc2 𝛼
Dividindo ambos os lados por 𝑐2:
Propriedades das potências:
Portanto:
sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1
Ou seja:
Razões trigonométricas especiais
sin 30∘ =1
2
cos 30∘ =3
2
tan 30∘ =3
3
12 = ℎ2 +1
2
2
ℎ2 = 1 −1
4ℎ =
3
2
sin 60∘ =
321
=3
2
cos 60∘ =
121=1
2
tan 30∘ =
12
32
=1
2⋅2
3=
1
3=
3
3
Considere o triângulo equilátero de lado unitário abaixo:
Razões trigonométricas para 𝟑𝟎∘ e 𝟔𝟎∘
sin 30∘ =
121=1
2cos 30∘ =
321
=3
2
tan 60∘ =
3212
=3
2⋅2
1= 3
1 1
1
60∘ 60∘
60∘
13
2
1
2
60∘
30∘
1
2
1
2
1 1
60∘ 60∘
30∘
sin 60∘ =3
2
cos 60∘ =1
2
tan 60∘ = 3
ℎ =3
2
ℎ
Razões trigonométricas especiais
sin 45∘ =2
2
cos 45∘ =2
2
tan 45∘ = 1
𝑎2 = 12 + 12
Considere o triângulo retângulo isósceles abaixo:
Razões trigonométricas para 𝟒𝟓∘
sin 45∘ =1
2=
2
2
𝑎 = 2
𝑎1
1
45∘
45∘
𝑎2 = 2
𝑎 = 2
(teorema de Pitágoras)
cos 45∘ =1
2=
2
2
tan 45∘ =1
1= 1
1
22
2
3
2
3
2
2
2
3
3
Tabela das trigonométricas especiais
30∘ 45∘ 60∘
1 3
Seno
Cosseno
Tangente
1
2
O ciclo trigonométrico
Considere uma circunferência de raio unitário (𝑟 = 1) com centro na origem do plano cartesiano.
Cada ponto 𝑃 sobre esta circunferência determina um ângulo 𝑥 = 𝐴𝑂𝑃.
Fixe os pontos 𝑂(0,0) e 𝐴(1,0).
Estes ângulos podem ser medidos no sentido positivo (anti-horário) ou negativo (horário).
Assim, a circunferência é chamada de Ciclo Trigonométrico.
𝑥𝑟 = 1
𝑥𝑟 = 1
Sentido positivo
Sentido negativo
𝑂
𝐴
𝑃
𝑂
𝐴
𝑃
𝜋
2
5𝜋
3
Arcos e Ângulos no Ciclo Trigonométrico
Exemplo: Complete a tabela
30∘ 45∘ 60∘ 90∘ 120∘ 135∘ 150∘ 180∘
210∘ 225∘ 240∘ 270∘ 300∘ 315∘ 330∘ 360∘
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
2𝜋
3
3𝜋
4
5𝜋
6𝜋
Graus
Radianos
Graus
Radianos7𝜋
6
5𝜋
4
4𝜋
3
3𝜋
22𝜋
11𝜋
6
7𝜋
4
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋0∘
90∘
180∘
270∘
360∘
𝜋 ⟷ 180∘Conversão
grausradianos
Trigonometria no Ciclo Trigonométrico
Note que, cada arco 𝑥 está associado a um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) no plano,chamado de extremidade do arco 𝑥.
Arco
𝑃 𝑎, 𝑏Extremidade do arco 𝑥
𝑥
𝑟 = 1
𝑂
𝐴𝑎
𝑏
𝑃(𝑎, 𝑏)
Abscissa Ordenada
O arco de 90∘ está associado à
extremidade (0,1)
O arco de 0∘ está associado à
extremidade (1,0)
O arco de 270∘ está associado à
extremidade (0,−1)
O arco de 180∘ está associado à
extremidade (−1,0)
0∘
90∘
180∘
270∘
360∘
30∘
Imagem dos arcos especiais no ciclo
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
6
3
2,1
2
3
2
5𝜋
6
7𝜋
6
11𝜋
6
−3
2,1
2
−3
2, −
1
2
3
2, −
1
2
30∘
30∘30∘
5𝜋
6−
3
2,1
2
7𝜋
6−
3
2, −
1
2
11𝜋
6
3
2, −
1
2
𝜋
63
2,1
2
Extremidade do arco
𝜋
6
e de seus correspondentes nos demais quadrantes:
1
2
3
21
2
1
2
1
2
45∘
Imagem dos arcos especiais no ciclo
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
4
2
2,2
2
2
2
2
2
3𝜋
4
5𝜋
47𝜋
4
−2
2,2
2
−2
2, −
2
2
2
2, −
2
2
45∘
45∘45∘
3𝜋
4−
2
2,2
2
5𝜋
4−
2
2, −
2
2
7𝜋
4
2
2, −
2
2
𝜋
42
2,2
2
Extremidade do arco
𝜋
4
e de seus correspondentes nos demais quadrantes:
2
2
2
22
22
2
60∘
Imagem dos arcos especiais no ciclo
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
3
1
2,3
2
3
2
1
2
2𝜋
3
4𝜋
35𝜋
3
−1
2,3
2
−1
2, −
3
21
2, −
3
2
60∘
60∘
60∘
2𝜋
3−1
2,3
2
4𝜋
3−1
2, −
3
2
5𝜋
3
1
2, −
3
2
𝜋
31
2,3
2
Extremidade do arco
𝜋
3
e de seus correspondentes nos demais quadrantes:
3
2
1
23
23
2
Arcos côngruos
Dois arcos 𝛼1 e 𝛼2 são ditos côngruos ou congruentes se ambos possuem a mesma extremidade (mesma abscissa e mesma ordenada) no ciclo trigonométrico.
Note que, no ciclo trigonométrico, nada impede que um arco seja maior que uma volta completa, tanto no sentido positivo quanto no sentido negativo.
Por exemplo, o arco de 390∘ é um arco equivalente a uma volta completa (360∘) mais um arco de 30∘.
30∘
390∘
Note que os arcos de 30∘e de 390∘
determinam a mesma extremidade no ciclo!
Isto significa, em outras palavras, que 𝛼1 e 𝛼2 se diferenciam apenas por um certo número de voltas completas.
Solução:
Arcos côngruos
Note que, fixando um arco 𝛼0, a expressão geral que define todos os demais arcos congruentes a 𝛼0 é dada por
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (360∘)
Arcos dados em graus
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (2𝜋)
Arcos dados em radianos
Exemplo. Em cada caso, determine a expressão geral do arco dado.
(a) 150∘ (b) 4𝜋
3
(a)
150∘ + 𝑘 ⋅ (360∘)
(b) 4𝜋
3+ 𝑘 ⋅ 2𝜋 =
4𝜋
3+ 2𝑘𝜋
Número de voltas completas
Número de voltas completas
Menor determinação positiva
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (360∘)
Número de voltas completas
Primeira determinação positiva
0∘ ≤ 𝛼0 < 360∘
Arco dado em graus
𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (2𝜋)
Número de voltas completas
Primeira determinação positiva
0 ≤ 𝛼0 < 2𝜋
Arco dado em radianos
A menor determinação positiva de um arco 𝛼 é o menor arco, congruente a 𝛼 tal que 0∘ ≤ 𝛼 < 360∘ (graus) ou 0 ≤ 𝛼 < 2𝜋 (radianos) .
Nas expressões acima, 𝑘 é um número inteiro 𝑘 ∈ ℤ .
𝑘 > 0 indica 𝑛 voltas no sentido anti-horário (sentido positivo do ciclo);
𝑘 < 0 indica 𝑛 voltas no sentido horário (sentido negativo do ciclo).
Menor determinação positiva
Exemplo. Em cada caso, encontre a menor determinação positiva do arco.
Solução:
(a) 390∘ (b) 840∘ (c) −120∘ (d) 17𝜋
6
(a) 390∘ = 30∘ + 1 ⋅ (360∘)
Primeira determinação positiva
Uma volta no sentido anti-horário
(b) 840∘ = 120∘ + 2 ⋅ (360∘)
Primeira determinação positiva
Duas voltas no sentido anti-horário
(c) −120∘= 240∘ − 1 ⋅ (360∘)
Primeira determinação positiva
Uma volta no sentido horário
(d) 17𝜋
6=5𝜋
6+ 1 ⋅ (2𝜋)
Primeira determinação positiva
Uma volta no sentido anti-horário
(e) −21𝜋
4=3𝜋
4− 3 ⋅ (2𝜋)
Primeira determinação positiva
Três voltas no sentido horário
(e) −21𝜋
4
Exercícios Propostos
Exercícios
1) Em cada caso, determine os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.
Resp.: 𝑥 =
10 3
3𝑦 = 4 2
𝑧 = 10
2) Determine o valor de 𝑥.
𝑥 =3 2
2(1 + 3)
Exercícios
3) Considerando o arco 𝑥 representado no ciclo trigonométrico abaixo, determine e represente no ciclo os arcos e as respectivas coordenadas correspondentes ao arco 𝑥 nos demais quadrantes:
𝛼∘0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝑥
𝑎, 𝑏
𝑏
𝑎
𝜋 − 𝑥
𝜋 + 𝑥2𝜋 − 𝑥
−𝑎, 𝑏
−𝑎,−𝑏 𝑎, −𝑏
𝛼∘
𝛼∘𝛼∘
𝜋 − 𝑥 −𝑎, 𝑏
𝜋 + 𝑥 −𝑎,−𝑏
2𝜋 − 𝑥 𝑎,−𝑏
𝑥 𝑎, 𝑏
𝑏
𝑎
𝑏𝑏
Correspondente de 𝑥 no segundo quadrante
Correspondente de 𝑥 no terceiro quadrante
Correspondente de 𝑥 no quarto quadrante
Exercícios
4) Em cada caso, encontre a menor determinação positiva do arco dado.
(a) 2205∘ (b) −840∘ (c) −1440∘ (d) 9𝜋 (e) −37𝜋
345∘ 240∘ 0 𝜋
5𝜋
3
Monitorias!!
Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!
O GAMA possui monitorias de:
Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)
ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)
Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:
http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/
Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)
Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.
Instituto de Física e Matemática
Pró-reitoria de Ensino
Universidade Federal de Pelotas
Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas
Atividades de Reforço em CálculoMódulo de
2018/1
Aula 02
GAMAGrupo de Apoio em
Matemática
Projeto
Seno e cosseno no ciclo trigonométrico
Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.
𝑃 𝑎, 𝑏Extremidade do arco 𝑥
sin 𝑥
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏
𝑥 sin 𝑥 =𝑏
1= 𝑏
cos 𝑥 =𝑎
1= 𝑎
1
𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
1
𝑥
𝑎
𝑏𝑃 cos 𝑥 , sin 𝑥
Extremidade do arco 𝑥
cos 𝑥
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1 𝑥
𝑏
𝑎
A abscissa de 𝑃 é igual ao cosseno do arco 𝑥 e a ordenada de 𝑃 é igual ao seno do arco 𝑥.
Seno dos arcos notáveis
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
6
5𝜋
6
7𝜋
6
11𝜋
6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
seno
−1
2
seno
1
2
seno
−1
2seno
5𝜋
6
1
2
7𝜋
6−1
2
11𝜋
6−1
2
𝜋
6
1
2
Arco𝝅
𝟔Valor do seno
Arco
Seno dos arcos notáveis
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
4
3𝜋
4
5𝜋
4
7𝜋
4
2
2
2
2
seno
−2
2
seno
2
2
seno
−2
2
seno
3𝜋
4
2
2
5𝜋
4−
2
2
7𝜋
4−
2
2
𝜋
4
2
2
Arco𝝅
𝟒Valor do seno
Arco
2
2
2
2
2
2
Seno dos arcos notáveis
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
3
2𝜋
3
4𝜋
3
5𝜋
3
3
2
3
2
3
23
2
3
2
seno
−3
2
seno
3
2
seno
−3
2
seno
2𝜋
3
3
2
4𝜋
3−
3
2
5𝜋
3−
3
2
𝜋
3
3
2
Arco𝝅
𝟑Valor do seno
Arco
Função seno
GEOGEBRA - Seno
Função seno
Gráfico da função seno
Definição. A função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por
𝑓 𝑥 = sin 𝑥
é chamada de função seno.
Domínio
𝐷(𝑓) = ℝ
Imagem
𝐼𝑚 𝑓 = [−1,1]
Período
𝑃(𝑓) = 2𝜋
𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Função seno
𝑦
𝑥𝜋
2𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋
2
−2
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
1
22
2
3
2
𝑥
sin 𝑥
Primeiro quadrante
2𝜋
3
3𝜋
4
5𝜋
6
3
2
2
2
1
2
𝑥
sin 𝑥
Segundo quadrante
7𝜋
6
5𝜋
4
4𝜋
3
−1
2 −2
2−
3
2
𝑥
sin 𝑥
Terceiro quadrante
5𝜋
3
7𝜋
4
11𝜋
6
−3
2−
2
2−1
2
𝑥
sin 𝑥
Quarto quadrante
sin 0 = 0
sin𝜋
2= 1 sin 𝜋 = 0
sin 2𝜋 = 0
sin3𝜋
2= −1
Técnicas para esboço de gráficos
𝑓(𝑥) = 𝑎 sin 𝑚𝑥 + 𝑛 + 𝑏
Alonga ou comprime verticalmente o gráfico.
Inverte verticalmente o gráfico se 𝑎 < 0.
Desloca verticalmente o gráfico.
Alonga ou comprime horizontalmente o gráfico.
Inverte horizontalmente o gráfico se 𝑚 < 0.
Desloca horizontalmente o gráfico.
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 3
Deslocamento vertical do gráfico da função seno em três unidades para cima.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 + 3
Deslocamento vertical para cima
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = 2,4 𝑃 𝑓 = 2𝜋
𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
4
2
3𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
1
3
−1
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 1
Deslocamento vertical do gráfico da função seno em uma unidade para baixo.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 − 1𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Deslocamento vertical para baixo
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −2,0 𝑃 𝑓 = 2𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = 3 sin 𝑥
𝑦
𝑥𝜋
2𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
𝑦 = sin 𝑥
𝑦 = 3 sin 𝑥
Alongamento vertical do gráfico da função seno pelo fator 3.
Alongamento vertical
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3] 𝑃 𝑓 = 2𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) =1
2sin 𝑥
Compressão verticalmente o gráfico da função seno pelo fator 1
2.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 =1
2sin 𝑥𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Compressão vertical
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1
2,1
2𝑃 𝑓 = 2𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = − sin 𝑥
Reflete o gráfico da função seno em relação ao eixo horizontal.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = −sin 𝑥𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Reflexão em relação ao eixo horizontal
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 +𝜋
2
Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋
2para a esquerda.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 +𝜋
2𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Deslocamento horizontal para a esquerda
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 𝜋
Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋 unidades para a direita.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 − 𝜋𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Deslocamento horizontal para a direita
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = sin 2𝑥
Compressão horizontal do gráfico da função seno pela metade.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 2𝑥𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Compressão horizontal
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = sin𝑥
2
Alongamento horizontal do gráfico da função seno em dobro.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin𝑥
2𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Alongamento horizontal
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 4𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função
Solução:
𝑓(𝑥) = sin −𝑥
Reflexão do gráfico da função seno em relação ao eixo vertical.
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin −𝑥𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Reflexão em relação ao eixo vertical
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋
Exemplo. Esboce o gráfico da função
Solução:
𝑓 𝑥 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1
𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1
Exemplo
𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
2
3𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
1
3
−1
𝑓 𝑥 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1
Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋 unidades para a esquerda.
Alongamento vertical do gráfico da função seno em dobro.
Deslocamento vertical do gráfico da função seno em 1 unidade para cima.
Função cosseno
GEOGEBRA - Cosseno
Função cosseno
Gráfico da função cosseno
Definição. A função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por
𝑓 𝑥 = cos 𝑥
é chamada de função cosseno.
Domínio
𝐷(𝑓) = ℝ
Imagem
𝐼𝑚 𝑓 = [−1,1]
Período
𝑃(𝑓) = 2𝜋
𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
Cosseno dos arcos notáveis
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
6
5𝜋
6
7𝜋
6
11𝜋
6
3
2
cosseno
3
2
cosseno
−3
2
cosseno
−3
2
cosseno
5𝜋
6−
3
2
7𝜋
6−
3
2
11𝜋
6
3
2
𝜋
6
3
2
Arco𝝅
𝟔Valor do cosseno
Arco
3
2
3
2
3
2
3
2
Cosseno dos arcos notáveis
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
4
3𝜋
4
5𝜋
4
7𝜋
4
2
2
cosseno
2
2
cosseno
−2
2
cosseno
−2
2
cosseno
3𝜋
4−
2
2
5𝜋
4−
2
2
7𝜋
4
2
2
𝜋
4
2
2
Arco𝝅
𝟒Arco
Valor do cosseno
2
2
2
2
2
2
2
2
Cosseno dos arcos notáveis
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
3
2𝜋
3
4𝜋
3
5𝜋
3
1
2cosseno
1
2
cosseno
−1
2
cosseno
−1
2
cosseno
2𝜋
3−1
2
4𝜋
3−1
2
5𝜋
3
1
2
𝜋
3
1
2
Arco𝝅
𝟑Arco
Valor do cosseno
1
2
1
2
1
2
1
2
Função cosseno
𝑦
𝑥𝜋
2𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋
2
−2
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
3
2
2
2
1
2
𝑥
cos 𝑥
Primeiro quadrante
2𝜋
3
3𝜋
4
5𝜋
6
−1
2 −2
2−
3
2
𝑥
cos 𝑥
Segundo quadrante
7𝜋
6
5𝜋
4
4𝜋
3
−3
2−
2
2−1
2
𝑥
cos 𝑥
Terceiro quadrante
5𝜋
3
7𝜋
4
11𝜋
6
1
22
2
3
2
𝑥
cos 𝑥
Quarto quadrante
cos 0 = 1
cos𝜋
2= 0
cos 2𝜋 = 1
cos3𝜋
2= 0
cos 𝜋 = −1
Exemplo. Esboce o gráfico da função
Solução:
𝑓 𝑥 = −cos 2𝑥 − 1
𝑦 = cos 𝑥 𝑦 = − cos 2𝑥 − 1
Exemplo
Compressão horizontal do gráfico da função cosseno pela metade.
Reflexão do gráfico da função cosseno em relação ao eixo vertical.
Deslocamento vertical do gráfico da função cosseno em 1 unidade para baixo.
𝑓 𝑥 = −cos 2𝑥 − 1
𝑦
𝑥𝜋
2𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
−2
−3
Exercícios Propostos
Exercícios
e) 𝑦 = 3 cos 2𝑥 +𝜋
2
d) 𝑦 = 3 sin 2𝜋𝑥
c) 𝑦 = −3 cos(0,5𝑥)
b) 𝑦 = 2 sin 4𝑥
a) 𝑦 = 2 + sin 𝑥
1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T),
amplitude (A), domínio e imagem das funções:
𝑇 = 2𝜋 𝐴 = 1 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [1,3]
𝑇 =𝜋
2𝐴 = 2 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−2,2]
𝑇 = 4𝜋 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]
𝑇 = 1 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]
𝑇 = 𝜋 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]
Monitorias!!
Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!
O GAMA possui monitorias de:
Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)
ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)
Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:
http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/
Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)
Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.
Instituto de Física e Matemática
Pró-reitoria de Ensino
Universidade Federal de Pelotas
Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas
Atividades de Reforço em CálculoMódulo de
2018/1
Aula 03
GAMAGrupo de Apoio em
Matemática
Projeto
Tangente no ciclo trigonométrico
Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.
Eixo das tangentes
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏
𝑥tan 𝑥 =
𝑚
1= 𝑚
𝑚 1
𝑚
𝑥
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏tan 𝑥
𝑥
Tangente no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
65𝜋
6
7𝜋
6 11𝜋
6
5𝜋
6−
3
3
7𝜋
6
3
3
11𝜋
6−
3
3
𝜋
6
3
3
Arco Valor da tangente
3
3
3
3
Arco𝝅
𝟔e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
Tangente no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
43𝜋
4
5𝜋
4 7𝜋
4
3𝜋
4−1
5𝜋
41
7𝜋
4−1
𝜋
41
Arco Valor da tangente
1
1
Arco𝝅
𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
Tangente no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
32𝜋
3
4𝜋
35𝜋
3
2𝜋
3− 3
4𝜋
33
5𝜋
3− 3
𝜋
33
Arco Valor da tangente
3
3
Arco𝝅
𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
Função tangente
GEOGEBRA - Tangente
Função tangente
Definição. A função 𝑓 dada por
𝑓 𝑥 = tan 𝑥
é chamada de função tangente.
Domínio
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Imagem
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Período
𝑃(𝑓) = 𝜋tan 𝑥 =sin 𝑥
cos 𝑥
Lembre que: Assíntotas
𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Gráfico da função tangente𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−1
3𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
𝑦 = tan 𝑥
Função tangente
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
3
31 3
𝑥
tan 𝑥
Primeiro quadrante
A tangente não está definida(Assíntota vertical)
𝑦
𝑥𝜋
2𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋
2
−2
−3
3
2𝜋
3
3𝜋
4
5𝜋
6
−3
3−1− 3
𝑥
tan 𝑥
Segundo quadrante
7𝜋
6
5𝜋
4
4𝜋
3
3
31 3
𝑥
tan 𝑥
5𝜋
3
7𝜋
4
11𝜋
6
−3
3−1− 3
𝑥
tan 𝑥
Terceiro quadrante
Quarto quadrante
tan 0 = 0
tan 2𝜋 = 0
tan 𝜋 = 0
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período e as assíntotas da função
Solução:
𝑓(𝑥) = tan𝑥 + 1
Deslocamento vertical do gráfico da função tangente em uma unidade para cima.
Exemplos
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 𝑃 𝑓 = 𝜋
𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = tan 𝑥 + 1
𝑦
𝑥𝜋
2𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período e as assíntotas da função
Solução:
𝑓(𝑥) = tan 𝑥 +𝜋
2Deslocamento horizontal do gráfico da função tangente em uma
𝜋
2unidades para a esquerda.
𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = tan 𝑥 +𝜋
2
Exemplos
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 𝑃 𝑓 = 𝜋
𝑦
𝑥𝜋
2𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
𝑥
Cotangente no ciclo trigonométrico
Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.
Eixo das cotangentes
cot 𝑥 =𝑚
1= 𝑚
𝑥
𝑚
𝑥
1
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏
𝑥
cot 𝑥
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏
𝑥
𝑚
Cotangente no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
65𝜋
6
7𝜋
6 11𝜋
6
5𝜋
6− 3
7𝜋
63
11𝜋
6− 3
𝜋
63
Arco Valor da cotangente 3
Arco𝝅
𝟔e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
cot𝜋
6=
1
tan𝜋6
=1
33
=3
3= 3
Cotangente no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
43𝜋
4
5𝜋
4 7𝜋
4
3𝜋
4−1
5𝜋
41
7𝜋
4−1
𝜋
41
Arco Valor da cotangente11
Arco𝝅
𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
cot𝜋
4=
1
tan𝜋4
=1
1= 1
Cotangente no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
32𝜋
3
4𝜋
35𝜋
3
2𝜋
3−
3
3
4𝜋
3
3
3
5𝜋
3−
3
3
𝜋
3
3
3
Arco Valor da cotangente3
3
Arco𝝅
𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
3
3
cot𝜋
3=
1
tan𝜋3
=1
3=
3
3
Função cotangente
GEOGEBRA - Cotangente
Função cotangente
Definição. A função 𝑓 dada por
𝑓 𝑥 = cot 𝑥
é chamada de função cotangente.
Domínio
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Imagem
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Período
𝑃(𝑓) = 𝜋cot 𝑥 =cos 𝑥
sin 𝑥
Lembre que: Assíntotas
𝑥 = 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Gráfico da função cotangente𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−1
3𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
𝑦 = cot 𝑥
Função cotangente
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
3
313
𝑥
cot 𝑥
Primeiro quadrante
A cotangente não está definida(Assíntota vertical)
𝑦
𝑥𝜋
2𝜋
1
−13𝜋
2
2𝜋
2
−2
−3
3
2𝜋
3
3𝜋
4
5𝜋
6
−3
3−1 − 3
𝑥
cot 𝑥
Segundo quadrante
7𝜋
6
5𝜋
4
4𝜋
3
3
313
𝑥
cot 𝑥
5𝜋
3
7𝜋
4
11𝜋
6
−3
3−1 − 3
𝑥
cot 𝑥
Terceiro quadrante
Quarto quadrante
tan𝜋
2= 0
cot𝜋
2= 0
Exercícios Propostos
Exercícios
a) 𝑦 = tan 2𝑥 + 1
1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), o
domínio e imagem das funções:
𝑇 =𝜋
2𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠
𝜋4+𝑘𝜋2; 𝑘 ∈ ℤ 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
d) 𝑦 =1
2cot 𝑥 − 𝜋
c) 𝑦 = cot 𝑥 +𝜋
2
b) 𝑦 = 2 tan 3𝑥 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠𝜋6+𝑘𝜋3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =
𝜋
3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ ; 𝑇 = 𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Monitorias!!
Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!
O GAMA possui monitorias de:
Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)
ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)
Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:
http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/
Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)
Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.
Instituto de Física e Matemática
Pró-reitoria de Ensino
Universidade Federal de Pelotas
Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas
Atividades de Reforço em CálculoMódulo de
2018/1
Aula 04
GAMAGrupo de Apoio em
Matemática
Projeto
Secante no ciclo trigonométrico
Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏
𝑥
𝑚
𝑥
1
𝑚
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏
𝑥
sec 𝑥
sec 𝑥 =Cateto adjacente
Hipotenusa=𝑚
1= 𝑚
Secante no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
65𝜋
6
7𝜋
6 11𝜋
6
5𝜋
6−2 3
3
7𝜋
6−2 3
3
11𝜋
6
2 3
3
𝜋
6
2 3
3
Arco𝝅
𝟔e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
Arco Valor da secante
2 3
3
sec𝜋
6=
1
cos𝜋6
Lembre que:
2 3
3
=1
32
=2
3=2 3
3
Secante no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
43𝜋
4
5𝜋
4 7𝜋
4
3𝜋
4− 2
5𝜋
4− 2
7𝜋
42
𝜋
42
Arco𝝅
𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
Arco Valor da secante
2
sec𝜋
4=
1
cos𝜋4
Lembre que:
2
=1
22
=2
2= 2
Secante no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
32𝜋
3
4𝜋
3 5𝜋
3
2𝜋
3−2
4𝜋
3−2
5𝜋
32
𝜋
32
Arco𝝅
𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
Arco Valor da secante
2
sec𝜋
3=
1
cos𝜋3
Lembre que:
2
=1
12
= 2
Função secante
GEOGEBRA - Secante
Função secante
Definição. A função 𝑓 dada por
𝑓 𝑥 = sec 𝑥
é chamada de função secante.
Domínio
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Imagem
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ − (−1,1)
Período
𝑃(𝑓) = 2𝜋sec 𝑥 =1
cos 𝑥
Lembre que: Assíntotas
𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Gráfico da função secante𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−1
3𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
𝑦 = sec 𝑥
Função secante
Relação gráfica entre as funções secante e cosseno
𝑓 𝑥 = sec 𝑥 =1
cos 𝑥
𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−1
3𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
Onde o cosseno cresce, a secante decresce, e vice-versa;
Onde o cosseno se anula, a secante não está definida;
O sinal da secante acompanha o sinal do cosseno, em cada quadrante.
Observações Importantes:
𝑥
Cossecante no ciclo trigonométrico
Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏
𝑥
𝑚
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋𝑟 = 1
𝑎
𝑏
𝑥
csc 𝑥
csc 𝑥 =Cateto oposto
Hipotenusa=𝑚
1= 𝑚
𝑚
1
𝑥
Cossecante no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
65𝜋
6
7𝜋
6 11𝜋
6
5𝜋
62
7𝜋
6−2
11𝜋
6−2
𝜋
62
Arco𝝅
𝟔e de seus correspondentes
Arco Valor da cossecante
csc𝜋
6=
1
sin𝜋6
Lembre que:
2
=1
12
= 2
2
nos demais quadrantes.
Cossecante no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
43𝜋
4
5𝜋
4 7𝜋
4
3𝜋
42
5𝜋
4 − 2
7𝜋
4− 2
𝜋
42
Arco Valor da cossecante
csc𝜋
4=
1
sin𝜋4
Lembre que:
2
2
=1
22
=2
2= 2
Arco𝝅
𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
Cossecante no ciclo trigonométrico
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
32𝜋
3
4𝜋
3
5𝜋
3
2𝜋
3
2 3
3
4𝜋
3−2 3
3
5𝜋
3−2 3
3
𝜋
3
2 3
3
Arco Valor da cossecante
csc𝜋
3=
1
sin𝜋3
Lembre que:
2 3
3
2 3
3
Arco𝝅
𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.
=1
32
=2
3=2 3
3
Função cossecante
GEOGEBRA - Cossecante
Função cossecante
Definição. A função 𝑓 dada por
𝑓 𝑥 = csc 𝑥
é chamada de função cossecante.
Gráfico da função cossecante𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−1
3𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
Domínio
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
Imagem
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ − (−1,1)
Período
𝑃(𝑓) = 2𝜋csc 𝑥 =1
sin 𝑥
Lembre que: Assíntotas
𝑥 = 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ
𝑦 = csc 𝑥
Função cossecante
Relação gráfica entre as funções cossecante e seno
𝑓 𝑥 = csc 𝑥 =1
sin 𝑥
𝑦
𝑥𝜋
2
𝜋
1
−1
3𝜋
2
2𝜋−𝜋
2
−𝜋−3𝜋
2
−2𝜋 5𝜋
2
3𝜋
2
−2
−3
3
Onde o seno cresce, a cossecante decresce, e vice-versa;
Onde o seno se anula, a cossecante não está definida;
O sinal da cossecante acompanha o sinal do seno, em cada quadrante.
Observações Importantes:
Exercícios Propostos
Exercícios
1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), o
domínio e imagem das funções:
a) 𝑦 = sec 2𝑥 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋
4+
𝑘𝜋
2; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 𝜋
c) 𝑦 = −sec 𝑥 +𝜋
2
b) 𝑦 = 2 sec 3𝑥 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋
6+
𝑘𝜋
3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =
2𝜋
3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−2,2)
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 2𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)
f) 𝑦 = 2 − csc(𝑥)
e) 𝑦 = −csc(2𝜋𝑥)
d) 𝑦 = 3 csc(3𝑥) 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝑘𝜋3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =
2𝜋
3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−3,3)
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝑘2; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 1 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)
𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 2𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (1,3)
Monitorias!!
Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!
O GAMA possui monitorias de:
Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)
ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)
Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:
http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/
Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)
Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.
Instituto de Física e Matemática
Pró-reitoria de Ensino
Universidade Federal de Pelotas
Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas
Atividades de Reforço em CálculoMódulo de
2018/1
Aula 05
GAMAGrupo de Apoio em
Matemática
Projeto
Função exponencial
Definição. Dado 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
é chamada de função exponencial de base 𝒂.
Exemplos. São exemplos de funções exponenciais:
𝑦 = 2𝑥
função exponencial de base 2
𝑦 = 3𝑥
função exponencial de base 3
𝑦 = 10𝑥
função exponencial de base 10
𝑦 = 𝜋𝑥
função exponencial de base 𝜋
𝑦 =1
2
𝑥
função exponencial
de base 1
2
𝑦 = 𝑒𝑥
função exponencial de base 𝑒
O número 𝑒 acima é um número irracional (assim como o 𝜋, por exemplo) chamado de número de Euler. O valor aproximado de 𝑒 com três casas decimais é 2,718.
𝑓(𝑥) = 2𝑥
𝑦
𝑥1 2 3−2−3
5
−1
1
6
7
8
3
2
−4 4
4
Gráfico
𝑓 −3 = 2−3 =1
23=1
8
𝑓 −2 = 2−2 =1
22=1
4
𝑓 −1 = 2−1 =1
21=1
2
𝑓 0 = 20 = 1
𝑓 1 = 21 = 2
𝑓 2 = 22 = 4
𝑓 3 = 23 = 8
−1,1
2
1,2
2,4
3,8
0,1−2,1
4−3,1
8
Exemplo. Esboce o gráfico da função𝑓(𝑥) = 2𝑥
Obs.: 𝑎 = 2 (crescente)
Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de 𝑓, tem-se:
GráficoExemplo. Esboce o gráfico da função
Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de 𝑓, tem-se:
𝑓(𝑥) =1
2
𝑥
𝑦
𝑥1 2 3−2−3
5
−1
1
6
7
8
3
2
−4 4
4
−1,21,1
22,1
4 3,1
80,1
−2,4
−3,8
𝑓 −3 =1
2
−3
= 23 = 8
𝑓 1 =1
2
1
=1
2
𝑓 2 =1
2
2
=1
4
𝑓 3 =1
2
3
=1
8
𝑓 0 =1
2
0
= 1
𝑓 𝑥 =1
2
𝑥
𝑓 −2 =1
2
−2
= 22 = 4
𝑓 −1 =1
2
−1
= 21 = 2
Obs.: 𝑎 =1
2(decrescente)
Gráfico, domínio e imagem
Primeiro caso: 𝑎 > 1
𝑦
𝑥
Segundo caso: 0 < 𝑎 < 1
𝑦
𝑥
𝐷 𝑓 = ℝ 𝐷 𝑓 = ℝ
crescentedecrescente
Em ambos os casos (crescente ou decrescente), reta 𝑦 = 0 é chamada de assíntota horizontal do gráfico da função.
O gráfico de uma função exponencial pode assumir dois formatos distintos:
Observação: Para esboçar o gráfico de uma função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, basta identificar o comportamento do gráfico (crescente ou decrescente) e lembrar que os pontos (0,1) e (1, 𝑎) sempre pertencem ao gráfico destas funções, pois
𝑓 0 = 𝑎0 = 1 ⟹ 0,1 ∈ 𝑓 𝑓 1 = 𝑎1 = 𝑎 ⟹ 1, 𝑎 ∈ 𝑓
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗ .
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗ .
−1
𝑦
𝑥1 2 3
1
2
−1−2
3
4
5
−3−1
𝑦
𝑥1 2 3
1
2
−1−2
3
4
5
−3
Gráfico
Exemplo. Esboce os gráficos das funções
(c) 𝑓 𝑥 =1
3
𝑥
(d) 𝑓 𝑥 =1
4
𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥(a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥
Solução: Em cada caso, tem-se
1,3
0,1
(a)
𝑓 0 = 30 = 1 𝑓 1 = 31 = 3
𝑎 > 1crescente
𝑓 0 = 40 = 1 𝑓 1 = 41 = 4
1,4
0,1
(b) 𝑎 > 1crescente
−1
𝑦
𝑥1 2 3
1
2
−1−2
3
4
5
−3−1
𝑦
𝑥1 2 3
1
2
−1−2
3
4
5
−3
Gráfico
Exemplo. Esboce os gráficos das funções
(c) 𝑓 𝑥 =1
3
𝑥
(d) 𝑓 𝑥 =1
4
𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥(a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥
Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de 𝑓, tem-se:
1,1
3
0,1
(c)
𝑓 0 =1
3
0
= 1
0 < 𝑎 < 1decrescente
1,1
4
0,1
(d) 0 < 𝑎 < 1decrescente
𝑓 1 =1
3
1
=1
3𝑓 0 =
1
4
0
= 1 𝑓 1 =1
4
1
=1
4
Exercícios Propostos
Exercícios
1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.
(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2
(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1
(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1
(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2
(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥
𝑦
𝑥1 2 3−2−3
5
−1
1
6
3
2
−4 4−1
4
Exercícios
1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.
𝑦 = 2𝑥𝑦
𝑥1 2 3−2−3
5
−1
1
6
3
2
−4 4−1
4
𝑦 = 2𝑥 + 2
𝐷 𝑓 = ℝ
𝐼𝑚 𝑓 = (2,+∞)
Assíntota: 𝑦 = 2
(a) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟐
(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1
(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1
(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2
(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑦 = 2
Exercícios
1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.
𝑦 = 3𝑥 − 1
𝑦 = 3𝑥
𝑦
𝑥1 2 3−2−3
5
−1
1
6
3
2
−4 4−1
4
𝐷 𝑓 = ℝ
𝐼𝑚 𝑓 = (−1,+∞)
Assíntota: 𝑦 = −1
(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2
(b) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏
(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1
(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2
(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥
𝑦 = −1
Exercícios
1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.
𝑦 = 2𝑥−1
𝑦 = 2𝑥
𝑦
𝑥1 2 3−2−3
5
−1
1
6
3
2
−4 4−1
4
𝐷 𝑓 = ℝ
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗
Assíntota: 𝑦 = 0
(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2
(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1
(c) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙−𝟏
(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2
(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥
𝑦 = 0
Exercícios
1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.
𝑦 = 4𝑥+2 𝑦 = 4𝑥𝑦
𝑥1 2 3−2−3
5
−1
1
6
3
2
−4 4−1
4
𝐷 𝑓 = ℝ
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗
Assíntota: 𝑦 = 0
(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2
(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1
(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1
(d) 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙+𝟐
(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥
𝑦 = 0
Exercícios
1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.
𝐷 𝑓 = ℝ
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ−∗
Assíntota: 𝑦 = 0
(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2
(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1
(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1
(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2
(e) 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙
(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥
𝑦 = −2𝑥
𝑦 = 2𝑥𝑦
𝑥1 2 3−2−3
1
−1
−3
2
3
4
−1
−2
−4
−4 4
𝑦 = 0
Exercícios
𝑦 = 2−𝑥
1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.
𝑦 = 2𝑥
𝑦
𝑥1 2 3−2−3
5
−1
1
6
3
2
−4 4−1
4
𝐷 𝑓 = ℝ
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗
Assíntota: 𝑦 = 0
(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2
(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1
(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1
(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2
(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥
(f) 𝒇 𝒙 = 𝟐−𝒙
𝑦 = 0
Exercícios
4) A função exponencial é injetora? É sobrejetora? É bijetora? Justifique.
2) Em cada caso, determine a composta 𝑓𝑜𝑔.
(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 e 𝑔 𝑥 = 3𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥
(c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 2𝑥
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 2 ⋅ 3𝑥 + 5
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 5𝑥2+3𝑥
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 22𝑥 − 2𝑥
3) Em cada caso, escreva a função dada como uma composta de duas funções.
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2−2𝑥+1 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑓2 𝑥 = 3𝑥
b) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥 𝑓2 𝑥 = 2𝑥
5) Esboce o gráfico das funções inversas das seguintes funções exponenciais:
𝑓 𝑥 =1
2
𝑥
(b)(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥
Dica para a questão 05: Utilize o método da reflexão em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares!
Monitorias!!
Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!!
O GAMA possui monitorias de:
Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes)
ALGA – Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes)
Os horários e locais de monitorias podem ser encontrados na página do Projeto:
http://wp.ufpel.edu.br/projetogama/
Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes)
Certificado de 20 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.
Instituto de Física e Matemática
Pró-reitoria de Ensino
Universidade Federal de Pelotas
Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas
Atividades de Reforço em CálculoMódulo de
2018/1
Aula 06
GAMAGrupo de Apoio em
Matemática
Projeto
Logaritmos
Definição. Dados 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 e 𝑎 ≠ 1, o número 𝑥 quesatisfaz a equação exponencial
𝑎𝑥 = 𝑏
é chamado de logaritmo de 𝒃 na base 𝒂.
Exemplo. Resolva a equação exponencial
3 = log2 8.
𝑥 = log𝑎 𝑏.
2𝑥 = 8.
2𝑥 = 8 ⟹ 2𝑥 = 23 ⟹ 𝑥 = 3.
portanto, se diz que 3 é o logaritmo de 8 na base 2, ou seja,
Notação:
Da definição acima segue que
log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⟺ 𝑎𝑥 = 𝑏.O logaritmo é a solução de uma equação exponencial!!
Solução: Neste caso, igualando as bases, tem-se:
Logaritmos
2𝑦 = 64 ⟹ 2𝑦 = 26 ⟹ 𝑦 = 6
Exemplo. Calcule log2 64.
Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se
Portanto,
Resolvendo a equação 2𝑦 = 64, tem-se
log2 64 = 𝑦 ⟺ 2𝑦 = 64.
log2 64 = 6.
log𝑏 𝑎 = 𝑦 ⟺ 𝑏𝑦 = 𝑎, então
Exemplo. Calcule log4 0,25.
Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se
log4 0,25 = 𝑦 ⟺ 4𝑦 = 0,25 ⟺ 4𝑦 =1
4⟺ 4𝑦= 4−1 ⟺ 𝑦 = −1.
Portanto, log4 0,25 = −1.
Logaritmos
Exemplo. Calcule log2 1.
Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se
log2 1 = 𝑥 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 2𝑥 = 20 ⟺ 𝑥 = 0.
Portanto, log2 1 = 0.
Exemplo. Calcule log5 5.
Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se
log5 5 = 𝑥 ⟺ 5𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 = 1.
Portanto, log5 5 = 1.
Observações.
log10 𝑎 = log 𝑎
Quando a base do logaritmo é 10, se escreve log 𝑎 para representar log10𝑎
log𝑒 𝑎= ln 𝑎
Quando a base do logaritmo é 𝑒, se escreve ln 𝑎 para representar log𝑒𝑎
Logaritmos
Propriedades decorrentes da definição.
log𝑏 1 = 0
(pois 𝑏0 = 1, para qualquer base 𝑏)
O logaritmo de 𝟏, em qualquer base, é sempre igual a 𝟎
log𝑏 𝑏 = 1
(pois 𝑏1 = 𝑏, para qualquer base 𝑏)
O logaritmo de um número na própria base, é sempre igual a 𝟏
Exemplos.
log2 1 = 0 log5 1 = 0
log 1 = 0ln 1 = 0
Exemplos.
log2 2 = 1 log5 5 = 1
ln 𝑒 = 1 log 10 = 1
Função logarítmicas
Definição. Dado 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, a função 𝑓 ∶ ℝ+∗ → ℝ dada por
𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥
é chamada de função logarítmica de base 𝒂.
Exemplos. São exemplos de funções logarítmicas:
𝑦 = log2 𝑥
função logarítmica de base 2
𝑦 = log3 𝑥
função logarítmicade base 3
𝑦 = log 𝑥
função logarítmicade base 10
𝑦 = log𝜋 𝑥
função logarítmicade base 𝜋
𝑦 = log12𝑥
função logarítmica
de base 1
2
𝑦 = ln 𝑥
função logarítmicade base 𝑒
GráficoExemplo. Esboce o gráfico da função
Obs.: 𝑎 = 2 (crescente)Solução: Destacando alguns pontos do gráfico, tem-se:
𝑓(𝑥) = log2 𝑥
𝑦
𝑥3 4 5 6 7−1
−3
−4
1
1
2
3
8−1
4
2
−2
1
8,−3
1
4,−2
1
2, −1
1,02,1
4,2
8,3𝑓1
8= log2
1
8= − 3
𝑓1
4= log2
1
4= − 2
𝑓1
2= log2
1
2= − 1
𝑓 1 = log2 1 =0
𝑓 2 = log2 2 =1
𝑓 4 = log2 4 =2
𝑓 8 = log2 8 =3
𝑓(𝑥) = log2 𝑥
GráficoExemplo. Esboce o gráfico da função
Obs.: 𝑎 =1
2(decrescente)
Solução: Destacando alguns pontos do gráfico, tem-se: 𝑦
𝑥3 4 5 6 7−1
−3
−4
1
1
2
3
8−1
4
2
−2
1
8, 3
1
4, 2
1
2, 1
1,0
2, −1
4,2
8,3
𝑓(𝑥) = log12𝑥
𝑓(𝑥) = log12𝑥
𝑓1
8= log1
2
1
8=3
𝑓1
4= log1
2
1
4=2
𝑓1
2= log1
2
1
2=1
𝑓 1 = log121 =0
𝑓 2 = log122 = − 1
𝑓 4 = log124 = − 2
𝑓 8 = log128 = − 3
Gráfico, domínio e imagem
O gráfico de uma função logarítmica pode assumir dois formatos distintos:
Primeiro caso: 𝑎 > 1
𝑦
𝑥
Segundo caso: 0 < 𝑎 < 1
𝐷 𝑓 = ℝ+∗
𝐷 𝑓 = ℝ+∗
crescente
decrescente
Em ambos os casos (crescente ou decrescente), a reta 𝑥 = 0 é chamada de assíntota vertical do gráfico da função.
𝑦
𝑥
Observação: Para esboçar o gráfico de uma função 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 , basta identificar o comportamento do gráfico (crescente ou decrescente) e lembrar que os pontos (1,0) e (𝑎, 1) sempre pertencem ao gráfico destas funções, pois
𝑓 1 = log𝑎 1 = 0 ⟹ 1,0 ∈ 𝑓 𝑓 𝑎 = log𝑎 𝑎 = 1 ⟹ 𝑎, 1 ∈ 𝑓
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ.
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ.
Gráfico
Exemplo. Esboce os gráficos das funções
(c) 𝑓 𝑥 = log13𝑥 (d) 𝑓 𝑥 = log1
4𝑥(b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥(a) 𝑓 𝑥 = log3 𝑥
Solução: Em cada caso, tem-se
(a)
𝑓 1 = log3 1 = 0
𝑎 > 1crescente𝑦
𝑥3 4 5−1
−3
1
1
2
3
−1 2
−2
1,0
3,1
𝑓 3 = log3 3 = 1
(b)
𝑓 1 = ln 1 = 0
𝑎 > 1crescente𝑦
𝑥3 4 5−1
−3
1
1
2
3
−1 2
−2
1,0
𝑒, 1
𝑓 𝑒 = ln 𝑒 = 1
Gráfico
Exemplo. Esboce os gráficos das funções
(c) 𝑓 𝑥 = log13𝑥 (d) 𝑓 𝑥 = log1
4𝑥(b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥(a) 𝑓 𝑥 = log3 𝑥
Solução: Em cada caso, tem-se
(c)
𝑓 1 = log131 = 0
0 < 𝑎 < 1decrescente𝑦
𝑥3 4 5−1
−3
1
1
2
3
−1 2
−2
1,0
1
3, 1
(d) 0 < 𝑎 < 1decrescente𝑦
𝑥3 4 5−1
−3
1
1
2
3
−1 2
−2
1,0
1
4, 1
𝑓1
3= log1
3
1
3= 1 𝑓 1 = log1
41 = 0 𝑓
1
4= log1
4
1
4= 1
Gráfico
Em outras palavras, função exponencial de base 𝑎
é bijetora, e sua função inversa é a função logarítmica de base 𝑎.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑓:ℝ ⟶ ℝ+∗
𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥 𝑓−1: ℝ+∗ ⟶ℝ
Observação: A inversa da função exponencial de base 𝑎 é a função logarítmica de mesma base.
Observação: Lembre que existe simetria , em relação à reta 𝑦 = 𝑥, entre os gráficos de uma função 𝑓 e de sua inversa 𝑓−1.
Exemplo. Em cada caso, determine a função inversa da função dada.
(a) 𝑓 𝑥 = log5 𝑥 (b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥
Solução: Em cada caso, tem-se
(a) 𝑓−1 𝑥 = 5𝑥
(b) 𝑓−1 𝑥 = log4 𝑥
A inversa da função logarítmica de base 5 é a função exponencial de base 5.
A inversa da função exponencial de base 4 é a função logarítmica de base 4.
Gráfico
Exemplo. Determine a função inversa da função exponencial
𝑦
𝑥1 2 3 4 5
1
2
−1
−2
−1−2
3
4
5𝑦
𝑥1 2 3 4 5
1
2
−1
−2
−1−2
3
4
5𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑦 = 2𝑥
𝑦 = log2 𝑥
𝑓 𝑥 = 2𝑥
Solução: A função inversa da função exponencial é a função
𝑓−1 𝑥 = log2 𝑥
Esboce os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1.
Exercícios Propostos
Exercícios
2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.
(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥
(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)
(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)
(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)
𝑦
𝑥3 4 5 6 7−1
−3
−4
1
1
2
3
8−1
4
2
−2
Exercícios
2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.
(a) 𝒇 𝒙 = 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙
(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥
(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)
(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)
(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)
𝑦
𝑥3 4 5 6 7−1
−3
−4
1
1
2
3
8−1
4
2
−2𝐷 𝑓 = ℝ+
∗
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Assíntota: 𝑥 = 0
𝑦 = 1 + log2 𝑥
𝑦 = log2 𝑥
𝑥 = 0
Exercícios
2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.
(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥
(b) 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙
(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)
(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)
(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)
𝑦
𝑥3 4 5 6 7−1
−3
−4
1
1
2
3
8−1
4
2
−2𝐷 𝑓 = ℝ+
∗
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Assíntota: 𝑥 = 0
𝑦 = 2 log2 𝑥
𝑦 = log2 𝑥
𝑥 = 0
Exercícios
2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.
(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥
(c) 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙 − 𝟐)
(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)
(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)
𝑦
𝑥3 4 5 6 7−1
−3
−4
1
1
2
3
8−1
4
2
−2𝐷 𝑓 = (2, +∞)
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Assíntota: 𝑥 = 2
𝑦 = log3(𝑥 − 2)
𝑦 = log3 𝑥
𝑥 = 2
Exercícios
2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.
(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥
(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)
(d) 𝒇 𝒙 = 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙 + 𝟏)
(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥
(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)
𝑦
𝑥3 4 5 6 7−1
−3
−4
1
1
2
3
8−1
4
2
−2𝐷 𝑓 = (−1,+∞)
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Assíntota: 𝑥 = −1
𝑦 = log3(𝑥 − 2)
𝑦 = log3 𝑥
𝑥 = −1
Exercícios
2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.
(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥
(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)
(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)
(e) 𝒇 𝒙 = − 𝐥𝐧𝒙
(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)
𝑦
𝑥3 4 5 6 7−1
−3
−4
1
1
2
3
8−1
4
2
−2𝐷 𝑓 = (0, +∞)
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Assíntota: 𝑥 = 0
𝑦 = − ln 𝑥
𝑦 = ln 𝑥
𝑥 = 0
Exercícios
2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.
(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥
(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)
(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)
(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥
(f) 𝒇 𝒙 = − 𝐥𝐧(−𝒙)
𝐷 𝑓 = (−∞, 0)
𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
Assíntota: 𝑥 = 0𝑥 = 0
𝑦
𝑥1 2 3−2−3
1
−1
−3
2
3
4
−1
−2
−4
−4 4
𝑦 = ln 𝑥
𝑦 = − ln(−𝑥)
Exercícios
3) Determine o domínio das seguintes funções:
(b) 𝑓 𝑥 = log(𝑥2 − 1)
(a) 𝑓 𝑥 = 1 + 3 log2(𝑥 − 5)
(c) 𝑓 𝑥 = log5(𝑥2 − 𝑥 − 12) + ln(𝑥 + 2)
4) Em cada caso, determine a composta 𝑓𝑜𝑔.
(a) 𝑓 𝑥 = log2(𝑥) e 𝑔 𝑥 = 12 − 3𝑥
(b) 𝑓 𝑥 = log5(𝑥) e 𝑔 𝑥 = 5𝑥
(c) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 e 𝑔 𝑥 = log5(𝑥)
(d) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥2+ 𝑥
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = log2(12 − 3𝑥)
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥
𝐷 𝑓 = (5, +∞)
𝐷 𝑓 = −∞,−1 ∪ (1, +∞)
𝐷 𝑓 = (4, +∞)
5) Em cada caso, escreva a função dada como uma composta de duas funções.
a) 𝑓 𝑥 = log(𝑥3 + 2𝑥) 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 𝑓2 𝑥 = log(𝑥)
b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = ln 𝑥 𝑓2 𝑥 = 𝑥
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