Download pdf - ba - University of Washingtongreenbau/PREPRINTS/amathsem.pdf10−5 100 0 20 40 60 80 100 10−8 10−6 10−4 10−2 100 102 104 106 108. e i

� � ��

�� !#"�$&%('*) + )-, . / 0 / 1 23"4,5"6%87#"�+:9

; =?=A@ABDC�EF

� �� >� � � �ba � � �-� �dc ��

e fhg i jlk =A

� �Å� �� ba � � �-� �dc �Å� Ô Õ Ö � �

e Í Î ¦ × p~5pu } j p k ~xp k ~�w j y j ~ { g Ø`ÙÚ i Ø ry j} Î�Û Ü 3Í Î ¦ Ú Æ j°g w ? y { j²g ~pp j s(p wzyFxp k ¥g i ³w p pÂs6w`~ j° p uvpxwzy wub~ k r Ý `~ p j s(p wzyFxp k w(y ? p w (x ~�jlk ~ j s jlk

0 20 40 60 80 10010−45

10−40

10−35

10−30

10−25

10−20

10−15

10−10

10−5

100

0 20 40 60 80 10010−8

10−6

10−4

10−2

100

102

104

106

108

e i Ã × p~5pu } j p k k ~�w j y j ~ { gÒÞ�j ~5p �j°É puvp pk xp } p kß p�~5pu } j p k ~xp puvs(p p gk ~�wP~ j? wDu { j ~5puw`~ j° p } p~ àk g u y j´ pwDu k{k ~5p } k r

y j} Ã Û Ü i Ã Ú Æ j°g w y { j°gLÊ o i ËÌ r Ý P~ p j sIp ` w(y*p k wzy ? p w zx ~ �jlk ~ j s jlk

0 20 40 60 80 100100

105

1010

1015

k

|| Tk

||

0 20 40 60 80 10010−30

10−20

10−10

100

e i Ã á wuµâ ³w j´&k rØ�ã Ú jj ~ j wzy k ~�wP~5p ß i Ã Ø�ã Ú k ~�w`~5p w g ~5pu Ç k ~5p Âk r i Ã Øã Ä ä Ú p j sIp ` p ~ u` uµuvp k?x�j s ~ p j s(p wzyFxp Ì r å uÇ y_wDu�s(p(t pu�sIp x p uwP~5p jlk p�~5puæ} j p ç{ k p `? y_wuvs(p k ~ p j s(p wzyFxpzrÝ P~ p j sIp ` w(yFxp k w (x ~ �jlk ~ j sL jlk

2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

2 4 6 8 10 120

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

e } j èêénë�ìí ¤ ã ¨ïî ðòñ o i Ð p k¶j_ wzy u } j jó pw(y

ô á Ð ®>õ rö { Ik5k¶j ylp `?` pu�sIp x p pw j_ u gô á Ð ®>õ w p wP~n~�w j p j ~ w } w�~u j ³w Ij s w `{ s j² p p j sIp ` w(y*p k r o|ô r§t÷ ~øw(ât õ ~uòwzâ ùk t úüûzý

ô j° p w þ �{ þ } wP~u j i t Þ� w k p�~ ÿ � �~w`~ w p w k5k LDj w`~5p j ~ i ~ s j° p } uvpj`g u } wP~ j? ~³w ~p k p ~uµ } wzy p w u ¥Ij_ p w `~ ~xp � x u } g g ~ j_Âk ¥g i r

e å j py g wzyFp k&� o i Ú �� i �� >Ú Ì�� ¬

e � &k p (k p ~uµ } Ñ��êo i Ú �� j k w p j sIp ` w(y*p g i � �

g u k } p � j ~ � Ë �� ¬e ÷ y {8?} j w(y } pu j_ wzy^zzyFy ¥g p&sudp&p ÇA

� Ã o i Ú �� ñ o i � © ñ o �Â ©�� ñ � � Ã � ¬

å j w k p�~ ÿ w x k wzy_wDu k � w j ~ !"� ¥g} à puw`~5p kçj ± p k ~w`~ g u wzyFy y {8?} j w(y k o uw wzy { ~ j_ g x ~ j?&k ñ � #Ók %$ ¢�& © ñ o �& ©�' òñ o i ' #Ók %$ ¢�& © ñ o �Â © r

e ÿ Ú ÑÒo i t � Ú Ì t Ú ( o*) r+-, ¦ .0/ 1325476 8"9�:*;= î ? î ð�@BA�CD: . , ¦ .E/132%1F1=2G476 8"9G:H;=

� #5k %$ ¢�& © ñwvix ð o �Â ©�' ñ o i ' #Ók $ ¢y& © ñ o �Â ©

e fhg pÂsLuvpp ¥g } jj} wzy y {zx?} j wzy jlk z t~xp w { ñ o i Ú ñ{vix ð o i g u w pu§~�w j o z | Ìxnk ~ pÂsLuvp&p y {zx} j wzyw} ~xp ? p ~³wP~ } w`~ xp kñ w`~ ~xp p j sIp ` w(yFxp k t:w Ik p pu j° w`~ j° p k g u pu ~zu sL Ï~| Ì} w`~ ~ k p g ñ wP~ w p j sIp ` w(yFxp` uïuvp k�?x�j s ~ w Ï ç{ Ï x u w y L âr

e f xp y_wu�sIp k ~ k p~ ÿ xpuvp w ¥ p y k j ~� Ú Ì jlk wzyFy²p ~p [^\óW�=AZ E*N?\=^Z @LOQEüBN?\ÅU^\´\�

ô j° p w k p�~ ÿ�t g u pw ñ `?&k¶j_ pujgF� VH ¤&³¨ o i Ú ñ o i [� ¬ oD

å j k wzy_wDu k � w k ~³w`~ g u wzyFy ñ � # oD ' ñ o i ' # oD r

e o i Ú ñ o i j°g o �Â Ú ñ{vix ð o �Â� o �ÂX o �Âg u k ?} p � Ü oQÿ r t puvp jlk ~p} jj} w(y y {zx?} j wzy#o ¥g pÂsLuvp&p z� w ñ{vix ð jlk ~p y {8?} j wzy ¥g pÂsLuvpp z | Ìk wP~ jlk|gò{j s ñwvix ð o i Ú ñ o i r

e oD jlk w EüBy\ @(N?=^\*E�=^=4N E =zC@LOn[^\SN8CEF=[AOµ

ô j° p ÿ � � t¯ª ð � ¬|¬ ¬ � ª� � ÿ�t:w ð � ¬|¬5¬ � �tÞ�jg"� Km ¤&¨ o«ª\ Ú � Ú ÌU� ¬ ¬|¬ �¿þ~� r

e fhg ÿ jlk ~xp ? p j ~ �jlk ât~xp j´`Þ�} } jlkw j p p �{ w g ~ j? ~w`~ j k w k w(yówDu} zy ~ j y²p ¥g w Þ�j ~5p H \SN4G�B6U&@ [AOµ

ô j° p ÿ � � t¯ª ð � ¬|¬ ¬ � ª� � ÿ�t:w ð � ¬|¬5¬ � �tÞ�jg"� Km ¤&¨ o«ª\ Ú � Ú ÌU� ¬ ¬|¬ �¿þ~� r

e fhg ÿ jlk w kçj´} y { `?z p ~5p ? p k p�~Pt j ~ w p } w ( p ~ ~xp ? p j ~ �jlk â ª Ij ww ? p¶¿~ p w wzy { ~ j_ } w (j s «4r

jgF� �¬ ¤&¨ ¬ o«ª Ú � Új`gF� K « ¤&¨ o « o«ª\ Ú � Ú

jg"� Km ¤©¨ ¨ o®«8o«ª\ Ó Ú � ¬e õm} p udp k (y ~ k wzy k â xp ÿ jlk

} zy ~ j y { z p ~5p r

1 7#" ¯ 'ü"°²± ³µ´ ¶ ·¸°©¹º¼»·g½¾± ¿ ÀÁ ¿ Â ·dÃÄZÅÇÆÈº¼»

É ÊQËÌÌÎÍÎÏ[Ð Ñ Ò Ó Ô�Õ Ö5× Ø ÙLÍÚË�Û\ÐoÜqÝ Ï5Þ{Í%ß Ð%àá Þoâ á ã äæå[ç Ô�Õ èHÓ Ô�Õ Ö=Ö é êêUëíìÎî âï{à ÞyÐð ÍïHñ�Ð ð á ËÙLÐòÏ á Þoâ á ã äæå[ç Ô�Õ èóÓ Ô�Õ Ö=Ö é ô¾× Ô[õ¸ÐÌ�ÙLÍ�ö{Ð%à á Þ�ÜhÏ Üø÷ Õ ÜWÏ ô ù"ú ô ÍûÙ Üø÷ Ó Ô�Õ Ö ÜWÏ âà¼ÜhÏ5üB×ýÖ þ®ï ÿ ÍBÏ á ð â%Ï[ÐòÏ�� àÍ ï{Í á Þ�âö{Ð �Í ÍÈàÐòÏ á Üýÿ â á Ð\Ï ÷®ÍûÙ � ä åZç Ô�Õ èóÓ Ô�Õ Ö=Ö��¸ùË á ×7×7×

É þ ÷ Õ ÜWÏ â ô ùFú ô ÿ â á Ù ÜqÝ��ÈÏ�Üýï ð ÐÓ Ô�Õ Ö Ò � �Ô�Õ Ö�� á Þ{Ð ÌÎÍ� úï{ÍÚÿ Ü â�~ïËÿ Ð�Ù Ü ð â��ÞË��ÍU÷ àBÐ�ÈÙLÐÐ ê� âïwà Ï�Üýï ð Ð âï\ú ÷�Ëï ð á ÜmÍï Í�÷â ô ù"ú ô ÿ â á Ù®ÜøÝ Õ ð âï ùÎÐ ß Ù Ü á�á ÐÎï â�Ï â � Ù Ï áàBÐ�ÈÙLÐ%Ð Ì�Í� úïyÍÿ Ü â�Üýï Õ �� Ô�Õ Ö � � �� Ü ï\÷! �#"$�%� � �&� �'�� ( " Ô�Õ Ö Ò � Ô�Õ Ö*)òëõ¸Ð�ï ð Ð ÷ ÍÙ ô ùFú ô ÿ â á Ù Ü ð ÐòÏ (� ä åZç Ô�Õ èóÓ Ô�Õ Ö=Ö Ò ê âïwà ã ä åZç Ô�Õ è*Ó Ô�Õ Ö=Ö é ôdë

+ ÝUâÿ Ì� Ð (Õ Ò ì ê, ë ì~ê ì

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Eigenvalues and Field of Values of A

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

|| et

A ||

|| etA || and Upper and Lower Bounds based on the Field of Values

- . º / ½QÅ Ã 0 Å-»�1·g½32 4 ºÄ^Ã¹¸ÄIÀµº52 6$7 Ä82 ·g½ 9 :;7 Æ>>?ì ê× × × × × ×

ì ê@ ì

A�BBBC è @ D Ô*ì èIê{ÖIë

É E Þ{Ð Ð�ÜF�BÐÎï\öUâ�� ËyÐ\Ï Í�÷ Õ âoÙÐ á Þ{Ð G á Þ ÙLÍ Í á Ï ÍU÷@ ( HJI Ò @ � �LKNM �PORQTSVU I KWM ×É XÍûÙ @ Ò ê�¾Õ ÜWÏ â ï{ÍÙÿ â�� ÿ â á Ù ÜqÝ ß Ü á Þ

ÐoÜF�Ð�ïö�â�²Ë{ÐòÏ ËïÎÜø÷ ÍÙÿ � ú à¼ÜWÏ á Ù ÜýùË á Ð�à âù�ÍË áá ÞyÐ ËïÎÜ á ð ÜýÙ ð �WÐ× Ó Ô�Õ Ö ÜWÏ á ÞyÐ ð ÍÚïö{Ð5Ý ÞË��Í�÷á ÞyÐ Ð�ÜF�Ð�ïö�â�²ËyÐ\Ï%× � MZY[�\Ô�Õ Ö ð ÍÚï�Ï�ÜWÏ á Ï Í�÷ á Þ{ÐÐoÜF�Ð�ïö�â�²Ë{ÐòÏ âïwà á Þ{Ð ÍÙ ÜF� Üýï× E Þ{Ð\^] Ì%Ï[ÐÎË{àÍÎÏrÌÎÐ ð á ÙËÿ ð ÍÚï�Ï�ÜWÏ á Ï Í�÷ à ÜWÏrüGÏ âù�ÍË áá ÞyÐ Ð�ÜF�Ð�ïö�â�²ËyÐ\Ï Í�÷ Ùaâwà¼Ü Ë%Ï \ ×

É XÍûÙ @ Ò ì_�¾Õ ÜWÏ â `{ÍûÙ àâï ù� Í ð ü ß Ü á ÞÐoÜF�Ð�ïö�â�²Ë{Ð ì~× Ó Ô�Õ Ö ÜWÏ â à¼ÜWÏrü âùÎÍË á á Þ{ÐÍÙ ÜF� Üýï Í�÷ Ù âwà ÜýË%Ï ð ÍBÏòÔbacwÔNG d ê{Ö=Ö5× � MZY[�\Ô�Õ ÖÜWÏ â à¼ÜhÏ5ü ÍU÷ Ùaâ{à ÜýË�Ïê , �WÍ�ÔôeG~ÖfcgG d � Í�Ôh� Í��~ÔôeG~Ö=ÖfcgG d i{ÔZêjckGÖ��âïwà á ÞÎÜWÏ ÜWÏ ÐlÈË�â� á Í á Þ{Ð \^] Ì%Ï[ÐÎË{àÍÎÏrÌÎÐ ð á ÙËÿ÷®ÍûÙ \nm �WÍ�~ÔôoGÖfcwÔôeG~Ö , � Í�~Ôh� Í��ÔôeG~Ö=Öfc{ÔôoGÖ5×

p q r s t uTt v&w x y q t{z | }~vt

Õ Ò=>>>?ì ê× × × × × ×

ì ê@ ì

A BBBC è @ D Ô*ì èIê{ÖIë

s t{q uTt 7 Ä Á n7 : Á�7 Å:3 | Å�e k Ô Ö | | 3 - .{¡¢ i �£ | ¤R¥ ¦ i �£ | ¤*¥ §

¨ ©bª«ª«¬& Õ Ò ® ¯°® Y[� �ß ÞyÐÎÙLÐ ® ± ÜWÏ á Þ{Ð² âï{àÐ�Ùÿ ÍïwàBÐ ÿ â á Ù ÜqÝ ÷ ÍÙ á ÞyÐ Ð�ÜF�Ð�ïö�â�²ËyÐ\Ï (

® ± Ò=>>>>?

ê H � ëiëXë H MZY[��ê H Q ëiëXë H MZY[�Q××× ××× ×××ê H M ëiëXë H MZY[�M

A�BBBBC

õgÍ�ß àÍ ß Ð ð Íÿ ÌË á Ð á Þ{Ð ÿ Üýï�Ü ÿ â� ] ïyÍûÙ^ÿÜýï á ÐÎÙÌ�Í� â á Üýï� ÷`Ëï ð á ÜmÍï ³"�´µ Ï ïyÍ á Ð%à Ð{âoÙW�íÜmÐ�Ù%� Ü á Þ�â%Ï á ÞyÐ ÷®ÍûÙ^ÿ

³" ÔP¶�Ö Ò · ¸º¹ d ¸ �»¶ d ëXëiëgd ¸ MZY[�*¶ MZY¼�½¸ MZY[� d ½¸ MZY Q ¶ d ëiëiëgd ½¸ ¹ ¶ MZY[� èâïwà Ï]â á ÜhÏ#�~Ð\Ï ³" Ô HJI Ö Ò � Ô HJI Ö��¿¾ Ò ê�è3ëiëXëièNG ×þ ÷ ¸ Ò Ô ¸ ¹ èiëiëiëiè ¸ MÀY[� Ö ± � âïwà Á ÜWÏ á Þ{ÐÌ�ÐÎÙÿ Ë á â á ÜmÍï ÿ â á Ù ÜqÝ ß Ü á Þ ê�Â-Ï Íï Ü á Ï ÏrüIÐ5ßà¼Ü â�ÍÚï�â��Ã� á ÞyÐÎï á Þ{ÐòÏ[Ð ð ÍÚïwà¼Ü á ÜmÍÚï�Ï â�ÙLÐ (

® Y ± � ÔP¯ Öf® ± Á ½¸ Ò Ô � Ô�Õ Ö=Ö ± Á ½¸ Ò · ¸ ëÄ � âwàBÐÎÙ âï{à Å~ÜýïwàÎÏ á Ù#ÆÍÿ ÏrÞyÍ�ß Ð%à á Þ�â á á ÞyÐÎÙLÐ ÜWÏ âÙÐwâ��Ï ð â� âoÙ°· ÷ ÍÙ ß ÞÎÜ ð Þ á Þ�ÜhÏ ÐlÈË�â á Ü ÍÚï Þoâ�Ï âïyÍï%Û\ÐÎÙÍ Ï[Í�²Ë á ÜmÍï öwÐ ð á ÍûÙ ¸ âïwà á Þ�â á á ÞyÐ � âoÙ&�BÐ\Ï áÏ5Ë ð Þ · ÜWÏ � ³"�� ÈÇ� ×ÊbÜýï ð Ð Ô � Ô�Õ Ö=Ö ± Á ÜWÏ Ô ð Íÿ Ì� ÐGÝ�Ö ÏXúÿ ÿ Ð á Ù®Ü ð � Ü áÞoâ�Ï âï Ê ² É Í�÷ á Þ{Ð ÷®ÍûÙÿ Ê Ë Ê ± × E ÞyÐÏ=Í�²Ë á ÜmÍï%Ï á Í âùÎÍUöwÐ ÐÌlÚËoâ á ÜmÍï âoÙÐ ( ¸ Ò Í I �· Ò Î IÏ âï{à ¸ Ò Ð�Í I �· Ò , Î I × Ñ

+ Ý�âÿ Ì��WÐ (Õ Ò ì ê, ë ì~ê ì

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

|| et

A ||

|| etA || and Upper and Lower Bounds based on the Unit Disk

Ò q uTq }Ó}Ô u»Õ� Ö | × Ø × , ê Ù .3Ú Ä Ú × Û Å ¢Ã .3Ú Ü 32 Ú ÄÝ 7 32 Ú dÃÄZÅßÞ f7 Ä Ø à Å Ú Åá| Å ¢ Æ«7 ¼QÅâ7 dÃÄZÅßÞ Ù Å Ã . Ú Åäã Ú åæ{: ¡�Ú�¢Å� ¥ Ã .�Ú ¦ i �º£ | ¤*¥ §

¨ ©bª«ª«¬&® Y ± � ÔP¯ Öf® ± Á ½¸ Ò Ô � Ô�Õ Ö=Ö ± Á ½¸ Ò · ¸ èÏ[Í �� Ô�Õ Ö � � ç · ç × Ñ

+ Ý�âÿ Ì��WÐ ( Ø ÍÚÿ ÌoâïÎÜmÍÚï ÿ â á Ù®ÜøÝ ß Ü á Þ è ÙaâïwàBÍÿÐoÜF�Ð�ïö�â�²Ë{ÐòÏ Üýï á Þ{Ð ËïÎÜ á à ÜWÏrüÎ× � Õ I � âïwà � Í�ß ÐÎÙù�ÍËï{à×

−3 −2 −1 0 1 2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

real

imag

inar

y

Eigenvalues (in the unit disk) and Field of Values

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

j

|| A

j ||

|| Aj || and Lower Bound

Ä ÜøöwÐ�ï âï G ùFú G ÿ â á Ù®ÜøÝ Õ �ß Ð � ÍdÍüIÐ%à ÷®ÍûÙ â Ï[Ð áÑ é ê âïwà Ï ð â� â�Ù Ï � âïwà ã ß Ü á Þ ã cg� ÍU÷ÿ ÍÈàBÐÎÙaâ á Ð Ï�ÜWÛ\Ð ÔLë ë ìÈÔí® Ö Üø÷ ìÈÔí® Ö ÜWÏ � â�Ù&�Ð{Ö Ï5Ë ð Þá Þoâ á ÷ ÍÙ â��¾ÌÎÍ� úïyÍÿ Üíâ��qÏ �(

� î�Üýï÷g �#"$� �� Óïð� (" Ô�Õ Ö Ò � Ô�Õ Ö*) é �� Ô�Õ Ö �é ã îGÜýï÷g �ñ"�� Óïð� (Z" Ô�Õ Ö Ò � Ô�Õ Ö*)\ë

É þ®ï â ÷ ÐGß Ð5Ý ð Ð�Ì á ÜmÍÚï�â� ð â%Ï[Ð\Ï Ôô ùFú ôÿ â á Ù Ü ð Ð\ÏJ� âï{à Ì�ÐÎÙ á ËÙùÎÐ%à `{ÍÙ àâï ù�� Í ð üGÏ]Ö��ß Ð ÷ ÍÚËïwà ÏrË ð Þ â Ï[Ð á ×

É þ®ï �BÐÎïyÐÎÙaâ��ò�bÜ á Ï[Ð%Ð�ÿ Ï à¼Üôó ð Ë� á �¸ÌÎÐ�ÙÞ�âÌ�ÏÜýÿ ÌÎÍBÏ3ÏFÜ ù�� Ð� á Í � ïwà ÏrË ð Þ â Ï=Ð á × E Þ{ÐÌ�ÙLÍù�� ÐÎÿ ÜWÏ á Þoâ á Ü ï á ÐÎÙ^ÌÎÍ� â á Üýïº� õ � â%Ï ð Þü]ÐÌ�ÙLÍÈàÈË ð á Ï Ôh� Üýü]Ð Üýï á Ð�ÙÌÎÍ� â á Üýï� ÌÎÍ� úï{ÍÚÿ Ü â�qÏ]Öð âï Ô3ùË á àÍ ï{Í á â� ß âFú�Ï]Ö àBÍ ß ÜÃ�Wà á ÞÎÜýï��ÏùÎÐ á ß Ð%Ð�ï á Þ{Ð Üýï á Ð�ÙÌÎÍ� â á ÜmÍï ÌÎÍdÜýï á Ï%× õ¸Ð�ï ð Ðá Í �Ð á â �Í ÍÈà ö�â�²Ë{Ð ÷®ÍûÙ � �¸ïyÐ%Ð%à Ñ á Íð Íï á âÎÜýï �íÜ á�á � Ð ÿ ÍÙLÐ á Þ�âï Î Ô�Õ Ö5× õ Ë á Üø÷ ìdÔí® ÖÜWÏ � â�Ù&�Ð�� á Í �Ð á â �ÍdÍÈà öUâ��²Ë{Ð ÷ ÍÙ ã �gï{ÐÐ�àÑ á Í ð Íï á â�Üýï Ï�ÜF�ÈïÎÜô� ð âï á � ú ÿ ÍûÙÐ á Þ�âï Î Ô�Õ Ö5×

É öÐ�ÙÞoâÌ�Ï á Þ{Ð Ì�ÙLÍù�� ÐÎÿ ÏrÞyÍË��hà ùÎÐ ð Þoâïº�Ð%à×Å~Üýÿ Ü á á Þ{Ð ð � â%Ï3Ï ÍU÷ Ì�Í� úïyÍÿ Ü â�qÏ%× ÷ ø �úù«ùü÷ùûø°üNý ù þ ÿ �� ø �� ü � � ü�� é ê �ù¿ø �úùÌý � ø� ù� � þ�� ù � �� þ �� é ê �ù¿ø �� ø� ù� � þ��

Ò uTq ! t v#" $Óz Ò q w&%t('*)+ ,.- / 0 1 {�2 0 3 2 0 4 3

| 5 6 Þ¶87:9 �� ; =< ;?>

@ ACBD ü�øE � ÿ ü ý ùF�� þ � � � �ñühùF � þ ÿ �HG �JI � ö � ü � øÅ �LKM�

@ N �O� þ ù � �QP R�ù � � ÿFþ � ø � S T UWV ý X � ø � V ÿY� �RJù � �ù¿øEZ � �[Z � �� ÿ �HG ø�ù�Z 9 �� ühù \ �� þT ÿY� � ]W� ÿ ü � õ � � �^RMX�_ � �Àø�ù5þ`HR üL� abXºùÌý�cT �dVe�� f�� g h �

@ i ø�ùF�j � ÿ K �Àø�ùMk � þ�� g l�lMmJn�o Z �LKLp^qsr tvu[w�xy��z{�|x } � Jü�Àø�ù«ùM ÿY� ~Le ~�� þ þ�ù � � � ù ü � �� H� øühù � � �|K ü �� þ � � � � ühù Peÿ � � þ �Z � �� øR�ù � �#ü �� üL�@ i°ù � �#ü �� ü h R �� ü ü � ÿ �� þ[

� S n ln n m9 �� ÿY� þ�ÿ�|_ ùM ø � þ ÿ{� lsh � � ùFü n �� S l S h Z �LK pqd xz&x �

@ � ù üX � ø ùF� �� #ükÿ ù � BD R�ù � �#ü �� ü h ÿY�� ü ü � ÿ �� þ } ÿY� 9 �� s� R � � � � øÿ¡�QP � þ ÿY�_�¢�C£W� � } �ù¿ø h � P h Z � ü�øÿ¤R � �� @ ¥ ùûø Z ù¿ø � ÿ � ùûø¦Z � ükÿFù � �� þ ÿ � ü � ø � �#ükÿ �HGù�� Àø�ù � � � Z � } � �� §�¨|¨©«ª¬¬f©H®.¯8°²±´³vµ¶· ¸{¹²¯�®¶¶H®O°Oº³¼»¯s¬¾½�·=¿ §®|À:³¿¯O±^µLÁO®O·fÂ