Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 1
Sistem Persamaan Linier
1.1. DEFINISI SISTEM PERSAMAAN LINIER
Persamaan Linier
Misalkan sebuah garis dalam sebuah bidang xy ditulis secara aljabar seperti dibawah ini :
ax + by = c
maka persamaan diatas disebut persamaan linier dalam peubah x dan y. Dengan demikian persamaan linier secara umum dapat ditulis seperti :
a1x1 + a2x2 + ...........+ anxn = b
Contoh persamaan linier
x + 3y = 7 4x1 + 3x2 - 8x3 = 6
y = �
�x + 3z + 4 x1 + x2 + ...........+ xn = 3
BAB I
TUJUAN PEMBELAJARAN: Mahasiswa memahami konsep-konsep tentang sistem persamaan linier, eksistensi dan keunikan sistem persamaan linier, keunikan sistem persamaan linier homogen, solusi sistem persamaan linier.
OUTCOME PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu membedakan SPL homogen dan nonhomogen, SPL yang mempunyai penyelesaian dan tidak mempunyai penyelesaian. Mahasiswa juga mempu menghitung penyelesaian SPL dengan metode eliminasi gaussian dan gaus-jourdan.
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 2
Persamaan linier tidak memuat hasil kali, akar, atau fungsi-fungsi trigonometri, logaritma maupun eksponensial
Contoh yang bukan persamaan linier
x + 4y2 = 0 3x + 2y – xy = 9
y – sin x = 0 √� + 2 y = 2
Penyelesaian dari sebuah persamaan linier adalah sederet n angka s1,s2, ……sn
sedemikian sehingga angka tersebut memenuhi persamaan linier tersebut.
Contoh
Cari himpunan penyelesaian dari
a. 3x -6y = 2 Penyelesaian: Tentukan nilai sebarang x atau sebarang y. misal diambil sebarang nilai x=t
maka 3t - 6y = 2. Dari persamaan tersebut didapat y = �
��−
�
�.
Jadi himpunan penyelesaiannya x = t dan y = �
��−
�
�. Dengan memberi nilai t
sebarang nilai, misal t = 2, maka x =2 dan y = �
�
b. x -3y + 5z = 8 penyelesaian: tentukan nilai sebarang dari dua variable/peubah, misal s untuk y dan u untuk z maka akan didapatkan himpunnan penyelesaian : x = 3s – 5u +8 , y = s dan z = u.
Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier adalah himpunan terhingga dari persamaan linier dalam peubah-peubah x1, x2, x3…..,xn . Sedangkan deretan s1 , s2,……sn disebut suatu penyelesaian sistem jika x1= s1, x2 = s2, …..,xn= sn merupakan penyelesaian dari setiap persamaan dalam sistem tersebut.
Contoh
4x – y + 3z = -1
3x + y + 9z = -4
Sistem diatas mempunyai penyelesaian x = 1 , y = 2, z = -1. Dimana apabila nilai-ilai tersebut disubstitusikan kedalam kedua persamaan, maka akan terpenuhi.
Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai satu penyelesaian, atau mempunyai tak-hingga banyaknya penyelesaian. Sebuah sistem
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 3
persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai tak-konsisten, jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka sistem tersebut disebut konsisten.
Secara ilustrasi, karena persamaan linier grafiknya berbentuk garis, maka penyelesaian suatu sistem persamaan linier dapat dilihat dari perpaduan garis–garis nya.
a. Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian, maka garis-garisnya akan saling sejajar.
b. Sistem persamaan linier yang mempunyai satu penyelesaian, maka garisnya akan saling memotong pada satu titik.
c. Sistem persamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian, maka garisnya akan saling berimpitan.
Y y y
x x x
a. Tidak mempunyai penyelesaian b. Satu penyelesaian c. Banyak penyelesaian
Sebuah sistem persamaan linier dengan m persamaan linier dan n peubah dapat ditulis sebagai :
a11x1 + a12x2 + ...........+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...........+ a2nxn = b2
: : :
am1x1 + am2x2 + ...........+ amnxn = bm
serta disingkat dengan hanya menuliskan susunan angka dalam bentuk segiempat yang disebut matriks yang diperbanyak.
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 4
Matriks diperbanyak tersebut mempunyai elemen-elemen yang terdiri dari koefisien peubah dan nilai hasil persamaan.
Contoh :
2x1 + 4x2 + 3x3 = 11
3x1 - 2x2 + 5x3 = 9
6x1 + 4x2 - x3 = 3
Sistem persamaan linier diatas dapat ditulis sebagai
�2 4 33 −2 56 4 −1
1193�
1.2. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Metode dasar untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah dengan mengganti sistem yang ada dengan suatu sistem yang baru yang mempunyai penyelesaian yang lebih mudah. Untuk mendapatkan sistem yang baru dapat dilakukan dengan menerapkan operasi baris elementer.
Operasi baris elementer meliputi tiga langkah, yaitu
a. Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta ( dinotasikan cBi dimana c = konstanta ).
b. Pertukarkan dua baris ( dinotasikan BiBj atau Bij). c. Tambahkan perkalian dari suatu baris ke baris lainnya ( dinotasikan Bi+cBj) .
Dengan operasi baris elementer diatas, matriks yang sudah dibentuk bisa direduksi menjadi sebuah matriks yang berbentuk baris-eselon. Bentuk baris-eselon tersebut mempunyai sifat-sifat yang harus dipenuhi, yaitu :
a. Jika baris tidak seluruhnya nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah sebuah angka 1. ( atau utama 1)
b. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya nol, maka baris dikelompokkan bersama dibagian bawah matriks
c. Jika sebarang dua matriks yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari angka nol, utama 1 dalam baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama 1 dalam baris yang diatasnya
d. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 mempunyai nol ditempat lainnya.
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 5
Suatu matriks yang memenuhi keempat sifat diatas dinamakan bentuk baris-eselon tereduksi, sedangkan apabilah hanya memenuhi sifat a,b dan c dinamakan bentuk baris-eselon.
Contoh:
Matriks dalam bentuk baris-eselon tereduksi
�1 0 00 1 00 0 1
47−1
� �1 0 00 1 00 0 1
� �0 1 −20 0 00 0 0
010 130�
Matriks dalam bentuk baris-eselon
�1 4 30 1 60 0 1
725� �
1 1 00 1 00 0 0
� �0 1 20 0 10 0 0
6−10 001�
Prosedur untuk mereduksi suatu matriks yang diperbanyak menjadi bentuk baris-eselon dinamakan eliminasi gaussian, sedangkan jika matriksnya menjadi bentuk baris-eselon tereduksi dinamakan eliminasi gauss-jordan.
Eliminasi Gauss-jordan Prosedur eliminasi gauss-jourdan adalah sebuah prosedur untuk mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi bentuk baris-eselon tereduksi. Contoh Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan eliminasi gauss-jordan
- x2 + 7x5 = 12 2x1 + 4x2 - 10x3 + 6x4 + 12x5 = 28 2x1 + 4x2 - 5x3 + 6x4 - 5x5 = -1
Penyelesaian Matriks yang diperbanyak dari sistem diatas:
�0 0 −22 4 −102 4 −5
0 7 126 12 286 −5 −1
�
dengan menggunakan operasi baris elementer , matriks ini direduksi menjadi matriks baris eselon tereduksi.
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 6
�0 0 −22 4 −102 4 −5
0 7 126 12 286 −5 −1
� ��⇔���⎯⎯⎯� �
2 4 −100 0 −22 4 −5
6 12 280 7 126 −5 −1
�
�
���
��
�1 2 −50 0 −22 4 −5
3 6 140 7 126 −5 −1
� �������⎯⎯⎯⎯� �
1 2 −50 0 −20 0 5
3 6 140 7 120 −17 −29
� ��
�
����
�⎯⎯⎯�
�1 2 −50 0 10 0 5
3 6 14
0 −�
�− 6
0 −17 −29
� �������⎯⎯⎯⎯� �
1 2 −50 0 10 0 0
3 6 14
0 −�
�− 6
0�
�1
� ����⎯�
�1 2 −50 0 10 0 0
3 6 14
0 −�
�− 6
0 1 2
� ���
�
���
�⎯⎯⎯⎯� �1 2 −50 0 10 0 0
3 6 140 0 10 1 2
� �������⎯⎯⎯⎯�
�1 2 −50 0 10 0 0
3 0 20 0 10 1 2
� �������⎯⎯⎯⎯� �
1 2 00 0 10 0 0
3 0 70 0 10 1 2
�
Matriks terakhir berbentuk matriks baris eselon tereduksi. Dengan demikian persamaan yang sepadan adalah
x1 + 2x2 + 3x4 = 7 ⇒ x1 = 7- 2x2 - 3x4 x3 = 1 x5 = 2 misalkan x2 = s dan x4 = t maka x1 = 7- 2s – 3t Jadi himpunan penyelesaian umumnya
x1 = 7- 2s – 3t, x2 = s, x3 = 1, x4 = t , x5 = 2
Eliminasi Gaussian
Prosedur eliminasi gaussian adalah sebuah prosedur untuk mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi bentuk baris-eselon. Sistem persamaan yang sudah dalam bentuk baris-eselon tersebut, bisa diselesaikan dengan teknik yang disebut subsitusi-balik.
Contoh:
Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan eliminasi gaussian
x + y +2z = 9
2x + 4y - 3z = 1
3x + 6y -5z =0
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 7
Penyelesaian
Matriks yang diperbanyak dari sistem diatas adalah
�1 1 22 4 −33 6 −5
910�
Dengan operasi baris elementer, matriks tersebut diubah menjadi bentuk baris-eselon.
�1 1 22 4 −33 6 −5
910� �������������⎯⎯⎯⎯� �
1 1 20 2 −70 3 −11
9
−17−27
�
�
���
�� �
1 1 2
0 1 −�
�
0 3 −11
9
−��
�
− 27
� �������⎯⎯⎯⎯�
�
1 1 2
0 1 −�
�
0 0 −�
�
9
−��
�
−�
�
�
�
���
�� �
1 1 2
0 1 −�
�
0 0 1
9
−��
�
3
� (bentuk baris eselon)
Setelah matriks sudah dalam bentuk baris eselon maka dilakukan substitusi terbalik
x + y + 2z = 9 x = 9 – y – 2z x = 1
y−�
�z = −
��
� y =
�
�z −
��
� y = 2
z = 3
Jadi himpunan penyelesaian : x = 1 , y = 2 , z = 3
1.3. SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN
Sistem persamaan linier yang mempunyai semua konstantanya nol disebut sistem homogen. Sistem persamaan linier homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti ini mempunyai penyelesaian x1=0,x2=0,....xn=0. Jika sistem hanya mempunyai penyelesaian seperti diatas , maka penyelesaiannya disebut penyelesaian trivial. Sebaliknya jika ada penyelesaian lainnya, maka penyelesaiannya dinamakan penyelesaian tak-trivial.
Contoh :
a1x + b1y = 0
a2x + b2y = 0
Teorema
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 8
” Sebuah sistem persamaan linier homogen yang mempunyai peubah lebih banyak
dari jumlah persamaan mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian”
Contoh
Selesaikan SPL homogen berikut ini:
2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0
-x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0
x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
Penyelesaian
Matriks yang diperbanyak untuk sistem diatas
�
2 2 −1−1 −1 0
0 1 0−3 1 0
0 1 −2 0 0 1
0 −1 0 1 1 0
�
Dengan mereduksi matriks menjadi matriks baris eselon tereduksi, didapatkan:
�
1 1 00 0 1
0 1 00 1 0
0 0 00 0 0
1 0 00 0 0
�
Sistem yang sepadan adalah
x1 + x2 + x5 = 0
x3 + x5 = 0
x4 = 0
sehingga didapatkan
x1 = -x2 - x5 ; x3 = -x5 ; x4 = 0
Jadi penyelesaian umumnya:
x1 = -s – t , x2 = s , x3 = -t, x4 = 0 , x5 = t.
SOAL-SOAL LATIHAN 1
1. Cari himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan linier berikut ini :
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 9
a. 7x – 5y = 3 b. 3x -5y + 4z = 7 c. -8x1 + 2x2 - 5x3 + 6x4 = 1
2. Selesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut dengan menggunakan metode eliminasi gauss- Jordan :
a).
5643
342
7252
zyx
zyx
zyx
; b).
32
6
1132
zyx
zyx
zyx
c).
3694
1432
6
zyx
zyx
zyx
3. Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan metode eliminasi Gaussian dan substitusi terbalik :
a).
543
1022
423
zyx
zyx
zyx
b).
3
03
72
zx
zy
yx
c).
166
168
894
zy
zx
yx
4. Selesaikan masing-masing sistem berikut dengan metode eliminasi gauss-jordan dan eliminasi gaussian
x1 + x2 + 2x3 = 8 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 a. - x2 - 2x2 + 3x3 = 1 b. -2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
3x1 - 7x2 + 4x3 = 10 8x1 + x2 + 4x3 = -1
5. Selesaikan masing-masing sistem dengan menggunakan eliminasi gauss-jordan
a. 5x1 - 2x2 + 6x3 =0 b. x1 + 2x2 + x3 - 4x4 = 1 -2x1 + x2 + 3x3 =1 x1 + 3x2 +7x3 +2x4 =2 x1 -12x2 -11x3-16x4=5
6. Selesaikan sistem persamaan linier homogen menggunakan eliminasi gauss-jordan
a. 3x1 + 2x2 + x3 - 4x4 = 0 b. x1 +3x2 + 4x4= 0 5x1 - x2 + x3 - 4x4 = 0 x1 +4x2 +2x3 = 0 -2x2 - 2x3 - x4 = 0
2x1- 4x2 + x3 + 4x4 = 0 x1 - 2x2 - x3 + x4 = 0
1.4. MATRIKS , JENIS-JENIS MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Definisi Matriks
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 10
Matriks adalah susunan berbentuk persegipanjang dari elemen-elemen bilangan yang diatur berdasar baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut.
mnmm
n
n
mxn
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
adalah matriks berukuran / berdimensi mxn.
Ukuran sebuah matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. m adalah banyak baris dari matriks A, n adalah kolom dari matriks A. Sehingga matriks diatas dapat ditulis sebagai :
mxnijmxn aA .
Anggota pada baris ke-i dan kolom ke-j dari sebuah matriks A pada umumnya juga dapat dinyatakan sebagai
ijA)( atau ija .
Contoh:
nxA1 (matriks baris, vektor baris). 421341 xA .
1xnB (matriks kolom, vektor kolom).
3
3
2
13 xB .
Jenis-jenis Matriks
1. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan 0ija untuk ji .
33
22
11
33
00
00
00
a
a
a
A x
2. Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks diagonal dengan kaaa nn ...2211 .
Contoh:
200
020
002
33 xA .
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 11
3. Matriks Satuan (Matriks identitas)
Matriks identitas adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utama sama dengan satu.
Contoh:
100
010
001
33 xI
4. Matriks Segitiga
Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan 0ija untuk ji .
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar dengan 0ija untuk i < j.
33
2322
131211
33
00
0
a
aa
aaa
A x
333231
2221
11
33 0
00
aaa
aa
a
B x
Matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah
Operasi-operasi Matriks
1. Dua Matriks Sama
Dua matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran sama dan elemen-elemen anggotanya yang seletak sama. Dalam notasi matriks, jika A=[
ija ] dan
B=[ijb ] mempunya ukuran sama maka A=B jika dan hanya jika
ija =ijb .
Contoh: BABA xx
604
113
512
,
604
113
512
3333 .
2. Jumlah / Selisih Dua Matriks
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai ukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota B dengan anggota-anggota A yang sepadan, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B yang sepadan. Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan .
a. nxmnxmnxm CBA .
Contoh:
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 12
701
033
421
242
322
211
b. nxmnxmnxm DBA .
Contoh:
143
451
421
242
322
211
3. Hasil kali Matriks dengan Skalar
Jika A adalah sebarang matriks dan k adalah sebarang skalar, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan k.
Contoh:
644
4222
322
211AA
4. Hasil kali Dua Matriks
Jika A adalah sebuah matriks m x p dan B adalah matriks p x n, maka hasil kali AB adalah matriks berukuran m x n yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikiut:
Untuk mencari anggota dalam baris ke-I dan kolom ke-j dari AB, pilih baris ke-I dari matrik A dan kolom ke-j dari matriks B. Kalikan anggota-anggota yang sepadan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan jumlahkan hasilnya.
Syarat untuk bisa menggandakan dua matriks adalah jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua.
nxmnxppxm CBA .
Contoh:
17
47
)1)(3()2)(2()0)(2()3)(3()1)(2()2)(2(
)1)(2()2)(1()0)(1()3)(2()1)(1()2)(1(
13
21
02
322
211
Pada umumnya: BAAB .
5. Transpose Matriks
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 13
TA (matriks transpose dari matriks A) : baris-baris dari matriks A dijadikan kolom-kolom dan kolom-kolom dijadikan baris-baris.
mxnji
Tmxnnxmijnxm aAaA .
Sifat-sifat transpose :
a. ((A)T)T = A
b. (A B)T = AT BT
c. (kA)T = kAT , dengan k adalah sebarang skalar
d. (AB)T = BTAT
Contoh:
30
13
12
311
0322332
Txx AA .
Sifat-sifat operasi matriks
Dengan asumsi bahwa ukuran-ukuran matriks dibawah ini adalah sedemikian sehingga operasi-operasi matrik dapat dilakukan, maka aturan-aturan yang berlaku pada operasi matriks adalah sebagai berikut:
a. A + B = B + A b. A + (B + C) = (A + B) + C
c. A(BC) = (AB)C d. A(B + C) = AB + AC
e. (B + C)A = BA + CA f. A(B - C) = AB - AC
g. (B - C)A = BA – CA h. a(B C) = aB aC
i. (a b)C = aC bC j. a(bC) = (ab)C
k. a(BC) = (aB)C = B(aC)
Invers Matriks
Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika matriks yang berukuran sama bisa didapatkanr ( nxnnxn BA , ) sedemikian hingga maka
IAAAB nxnnxn 11 .; .
Maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A
nnnnxn IBA .
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 14
Syarat suatu matriks nxnA mempunyai invers 1nxnA jika 0A .
Sifat-sifat invers :
a. JIka B dan C keduanya adalah invers matriks A, maka B = C.
b. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka
i. AB dapat dibalik
ii. (AB)-1 = B-1A-1
Ada beberapa cara untuk mendapatkan invers dari suatu matriks:
a. IAA 1. .
Contoh:
Dapatkan 1A dari
53
32A .
01)3)(3()5)(2(53
32A mempunyai invers.
Misal: IAAdc
baA
11 . .
10
01
53
32
dc
ba
10
01
5353
3232
dbca
dbca
3,5
053
132ca
ca
ca
2,3
153
032db
db
db
Jadi:
23
351A .
b. Operasi Baris Elementer (OBE)
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 15
Suatu matriks n x n disebut matriks dasar(elementer) jika matriks ini bisa diperoleh dari matriks identitas n x n, mI dengan melakukan suatu operasi baris elementer.
Jika operasi baris elementer diterapkan pada suatu matriks identitas I untuk menghasilkan suatu matriks dasar E, maka ada operasi baris elemnter kedua yang jika diterapkan pada E, menghasilkan I lagi. Misalnya, jika E diperoleh dengan mengalikan baris ke-i dengan konstanta tak-nol c, maka I bisa didapatkan kembali jika baris ke-i dari E dikalikan dengan 1/c .
Untuk mendapatkan invers matriks yang dapat dibalik A, kita harus menemukan serangkaian operasi baris elementer yang mereduksi A menjadi matriks identitas dan
kemudian melakukan rangkaian operasi yang sama pada I untuk memperoleh 1A .
Untuk itu, kita bisa memposisikan matriks seperti berikut :
13333 |~|~| AIIA
OBEOBE
x (OBE : Operasi Baris Elementer)
Contoh:
Dapatkan invers dari
473
452
121
33 xA .
Penyelesaian:
~~~31
32
2312
13 6
2
3111
012
001
|
|
|
100
610
121
103
012
001
|
|
|
710
610
121
100
010
001
|
|
|
473
452
121BB
BB
BBBB
BB
111
674
13158
|
|
|
100
010
001
~
111
674
110
|
|
|
100
010
02121 2BB
;
Jadi:
111
674
131581A .
c. )(11 AadjA
A .
Contoh:
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 16
Dapatkan 1A dari
52
73A .
Penyelesaian:
1)2)(7()5)(3(52
73A .
Kofaktor (A)
37
25)(
32
75AAdj .
37
25)(
11 AadjA
A .
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Invers Matriks Jika A adalah suatu matriks n x n yang mempunyai invers, maka untuk setiap matriks b, nx 1, sistem persamaan Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian yaitu
x = A-1b. Contoh Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan invers matriks
x + 2y + 3z = 5 2x + 5y + 3z = 3 x + 8z = 17
Dalam bentuk Matriks, sistem ini bisa ditulis sebagai Ax = b, dengan
801
352
321
A
z
y
x
x
17
3
5
b
Dengan metode sebarang, didapatkan invers A-1 , yaitu
125
13513
916401A , maka penyelesaian system tersebut adalah
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 17
2
1
1
17
3
5
125
13513
916401bAx atau x = 1 , y = -1, z = 2 .
SOAL-SOAL LATIHAN 2
1. Diketahui:
314
022
121
,
214
302
141
QP ; a = 4 , b = -3
ditanyakan: a). PQ b). P + Q c). QP d). P – Q e). aP f). b(Q+P)
2. Diketahui:
125
041
230
,
124
012
111
BA ; ditanyakan: a). AB b). BA
3. Ditanyakan A-1 , jika: a).
42
51A b).
21
53A c).
321
513
021
A
4. Dapatkan B-1 dari: a).
548
010
214
B b).
120
111
011
B
5. Dapatkan invers dari matriks A berikut:
a.
0531
0531
0031
0001
A b.
3512
0310
1001
0200
A c.
4
3
2
1
000
000
000
000
k
k
k
k
A
6. Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan invers matriks:
a. x + y = 2 b. 4x – 3y = -3
5x + 6y = 9 2x – 5y = 9
c. x + 3y + z = 4 d. 5x + 3y + 2z = 4 2x + 2y + z = -1 3x + 3y + 2z = 2
Bab I Sistem Persamaan Linier
Untung Usada (U2) 18
2x + 3y + z = 3 y + z = 5
e. - y – 2z – 3w = 0 f. x + y + z = b1 x + y + 4z + 4w = 7 2x + 5y + 5z = b2
x + 3y + 7z + 9w = 4 3x + 5y + 8z = b3 -x – 2y - 4z – 6w = 6