BAB II
LANDASAN TEORI
A. Deskripsi Konseptual
1. Penalaran Aljabar
Aljabar berasal dari bahasa arab yaitu “Al-jabr” yang
memliki arti “pertemuan”,”hubungan” atau “penyelesaian”.
Ontario Ministri of Education (2013) mengungkapkan bahwa
aljabar adalah proses mengenali hubungan antara kuantitas dan
operasi. Watson (2007) berpendapat bahwa pada tingkatan
sekolah aljabar dideskripsikan sebagai: 1) Menipulasi dan
transformasi pernyataan dalam bentuk simbol , 2) Generalisasi
aturan tentang bilangan dan pola-pola , 3) Kajian tentang
struktur dan sistem abstraksi dari komputasi dan relasi , 4)
Aturan dalam tranformasi dan penyelesaian persamaan, 5)
Belajar tentang variabel, fungsi dan mengekspresikan
perubahan dan hubungan-hubungannya dan 6) Pemodelan
struktur matematika dari situasi di dalam atau diluar konteks
matematika.
Watson (2007) berpendapat bahwa siswa haruslah dapat
membedakan makna dari simbol huruf sebagai sesuatu yang
belum diketahui (unknown), variabel, konstanta atau parameter
serta memahami makna persamaan. Aljabar dalam jenjang
7
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
8
sekolah dasar belum diajarkan mengenai konsep aljabar, tetapi
baru diperkenalkan konsep operasi penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian. Aljabar baru diperkenalkan pada
jenjang SMP/MTs pada kelas VII, dalam jenjang sekolah dasar
siswa terbiasa mengoperasian bilangan dan dalam jenjang
SMP/MTs siswa mulai di perkenalkan aljabar untuk
mengoperasikan bilangan dan simbol yang berupa huruf
alphabet.
Penalaran aljabar dalam bahasa inggris disebut Algebraic
Reasoning atau Algebraic thinking, De Walle et al. (2011)
menjelaskan bahwa berfikir aljabar atau penalaran aljabar
melibatkan pembentukan generalisasi dari pengalaman dengan
bilangan dan perhitungan, memformalkan ide tersebut dengan
menggunakan sistem simbol, dan mengeksplorasi konsep dari
pola dan fungsi.
Pendapat lain dikemukakan Lins (Watson, 2007) yang
menyebutkan penalaran aljabar merupakan suatu perubahan
yang disengaja dari konteks menuju struktur. Konteks dapat
berupa suatu masalah yang nyata atau dapat berupa
permasalahan matematika tertentu. Penalaran aljabar muncul
ketika seseorang menemukan dan menyatakan struktur, baik
dalam konteks pemecahan masalah yang berkaitan dengan
bilangan atau beberapa situsi yang dimodelkan, atau dalam
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
9
konteks penyelesaian masalah, atau dalam konteks kajian
tentang struktur yang lebih umum.
Pengertian penalaran aljabar dikemukakan oleh Kaput &
Blanton (Andriani, 2015) menyatakan bahwa penalaran aljabar
adalah suatu proses dimana siswa melakukan generalisasi ide
matematika dari sekumpulan fakta, menyusun generalisasinya
melalui pernyataan dan mengekspresikan pernyataan tersebut
dengan cara yang semakin formal dan menyesuaikan dengan
usia.
Dari pendapat beberapa ahli di atas dapat disimpulkan
bahwa penalaran aljabar adalah proses seseorang melakukan
generalisasi objek matematika dari suatu hal yang khusus dan
menyatakan dalam bentuk umum/formal menggunakan
simbol/variabel, serta dapat menentukan suatu nilai
berdasarkan formula tertentu ataupun menentukan formula
apabila diketahui nilai-nilainya.
2. Pelevelan Penalaran Aljabar
Pelevelan penalaran aljabar terdiri dari 2 yaitu Primary
Education dan Secondary Education. Dalam pelevelan Primary
education, Ake,dkk (2013) berpendapat bahwa pelevelan dapat
dibagi menjadi level 0, level 1, level 2, level 3. Untuk
secondary education, Godino et al. (2014) mengemukakan
pendapat bahwa pelevelan dapat dibagi menjadi Fourth level of
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
10
algebraization: using parameters, Fifth level of algebraization:
treatment parameters, Sixth level of algebraization.
a) Tingkat (Level) Penalaran Aljabar di Primary Education
Ake et al. (2013) mengajukan empat level penalaran
aljabar dengan menggunakan tiga kriteria berikut.
1) Adanya bentuk umum yang dihasilkan dari proses
generalisasi.
2) Langkah-langkah dalam melakukan generalisasi.
3) Operasi dan transformasi terhadap variabel dalam bentuk
umum yang dihasilkan dari proses generalisasi.
Untuk level penalaran aljabar Ake et al. (2013)
membagi empat level yaitu :
Tabel 2.1 Karakteristik Level 0-3
Level Karakteristik
Level
0 objek ekstensif (extensive object)
dinyatakan dengan bahasa apa adanya dan numerik
hasil yang diperoleh berasal dari operasi pada objek-objek khusus
Level
1 objek intensif (intensive object)
generalisasi dapat dikenali dengan jelas dengan bahasa apa adanya dan
numerik
terdapat simbol yang merujuk pada objek intensif, tetapi tidak
melakukan operasi terhadap objek tersebut
Level
2 melibatkan variabel yang dinyatakan dengan bahasa simbol yang
merujuk pada objek intensif, tetapi masih bersifat sementara
bentuk umum berupa persamaan Ax ± B = C
tidak melakukan operasi dengan variabel untuk membuat bentuk umum
Level
3
objek intensif dinyatakan dengan bahasa simbol
melakukan transformasi dengan tidak merubah persamaan (equivalen)
terdapat operasi terhadap variabel untuk membuat bentuk umum
(Sumber : Ake,dkk (2013))
Godino et al., (2007) berpendapat bahwa Hasil dari proses
generalisasi disebut objek intensif (intensive object), sedangkan
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
11
objek baru yang diperoleh melalui operasi terhadap objek-objek
tertentu disebut objek ekstensif (extensive object)).
Berikut adalah contoh soal dan penyelesaian level penalaran
aljabar untuk Primary education menurut Godino et al. (2014)
Tabel 2.2 contoh soal Level 0-3
Pertanyaan: Disebuah sekolah SMA, siswa berangkat ke sekolah dengan berjalan kaki dan naik
kendaraan (kendaraan pribadi dan kendaraan umum). Jika jumlah seluruh siswa di sekolah adalah
212 dan jumlah siswa yang berjalan kaki adalah 3 kali lipat siswa yang naik kendaraan. Berapa
banyak siswa yang berangkat naik dengan kendaraan?
Level 0 Contoh penyelesaian :
Untuk setiap 3 siswa berjalan kaki, ada 1 siswa naik kendaraan.
Untuk setiap 3 siswa yang berangkat berjalan kaki, ada 1 siswa yang berangkat
dengan naik kendaraan. Oleh karena itu , misal ada sebuah kelompok dengan
berjumlah 4 siswa. Pasti ada 1 siswa yang berangkat dengan naik kendaraan., dengan
demikian ada 50 siswa yang berangkat dengan naik kendaraan dari 200 siswa dan
juga ada 3 siswa dari 12 siswa berangkat dengan naik kendaraan. Karena itu, 53 siswa
berangkat dengan naik kendaraan dan tiga kali lipat jumlahnya yaitu 159, dengan
berjalan kaki.
Level 1 Contoh penyelesaian :
Untuk setiap 4 siswa ada 3 siswa yang berangkat dengan berjalan kaki. Dapat ditulis
menjadi
4 (siswa) ------> 3 berjalan kaki
212 (siswa) ------> x berjalan kaki 4
3=
212
x; x=3×
212
4;x=159
Dengan begitu didapatkan jumlah siswa yang berangkat berjalan kaki yaitu 159,
jumlah siswa yang berangkat dengan kendaraan didapat dari 212 - 159 = 53.
Level 2 Contoh penyelesaian :
212 = x + 3x
212 = 4x;
x = 212 / 4; x = 53
53 siswa dengan berkendaraan, 212-53 = 159 berjalan kaki
Level 3 Contoh penyelesaian :
x = Siswa berangkat dengan kendaraan
y = Siswa berangkat dengan berjalan kaki
x+y = 212 ; y = 3x
x+3x = 212
4x = 212;
x = 212/4 = 53
(Sumber : Godino et al. (2014))
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
12
b) Tingkat (Level) Penalaran Aljabar di Secondary Education
Menurut Radford dalam (Godino et al. ,2014)
berpendapat bahwa Using parameters dan Treatment
parameters dapat menjadi kriteria untuk mendefinisikan
tingkat yang lebih tinggi dari aljabar yang terkait dengan
persamaan dan fungsi. Parameter akan dihubungkan atau
dikaitkan ke tingkat keempat dan kelima dari penalaran
aljabar, sedangkan pembelajaran mengenali sifat – sifat dari
suatu formula mengarah ke tingkat aljabar keenam.
Tingkatan dalam penalaran aljabar Godino et al. (2014) di
tingkat Secondary education membagi yaitu:
1) Level 4 : Using parameters
Menurut Drijvers (2001) berpendapat bahwa
parameter adalah variabel ekstra dalam ekspresi aljabar
atau fungsi. Selain itu, Godino et al. (2014) berpendapat
bahwa parameter adalah simbol yang terlibat dalam
sebuah ekspresi dengan variabel lain, sehingga untuk
setiap nilai tertentu yang dimasukkan ke parameter
didapat sebuah fungsi tertentu. selain itu paramater
dalam sebuah fungsi dan persamaan juga disebut sebagai
koefisien. Dapat disimpukan bahwa parameter adalah
variabel ekstra atau tambahan selain variabel utama,
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
13
parameter juga mencangkup koefisien dan konstanta dari
suatu fungsi dan persamaan.
Godino et al. (2014) penggunaan parameter untuk
menggantikan bilangan numerik (angka) untuk
menyusun suatu fungsi dan persamaan termasuk kedalam
level penalaran ke empat. Penggantian bilangan numerik
ke parameter dapat terlihat ketika siswa mampu
membuat model matematis dan dapat merubah model
matematis ke bentuk umumnya.
Contoh 1 : Fungsi linear
Godino et al. (2014) juga memberikan contoh :
Dalam ekspresi aljabar y = 2x, simbol y dan x ditafsirkan
sebagai variabel. x sebagai simbol yang dapat mengambil
nilai apapun dari domain yang diberikan, biasanya
bilangan real. Nilai x dan y bersesuaian satu sama
lainnya, sesuai dengan aturan yang ditetapkan dalam
ekspresi yang sesuai. koefisien x dapat digeneralisasi
untuk nilai apapun dalam satu domain tertentu, yang
ditandai dengan ekspresi dari jenis y = ax. a sebagai
parameter dapat mengambil nilai yang berbeda dalam
satu domain tertentu, sehingga untuk setiap nilai diambil
diperoleh fungsi tertentu. Sebagai contoh, untuk a = 2
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
14
kita memiliki y = 2x dan untuk a = 3 maka diperoleh y =
3x. F = {f (x) = ax| a,x ∈R }.
2) Level 5 : Treatment parameters
Godino et al. (2014) menjelaskan bahawa level
penalaran aljabar ke 5 dapat terlihat ketika melakukan
operasi perhitungan yang dilakukan pada satu atau lebih
parameter yang terlibat dalam sebuah persamaan atau
fungsi.
Contoh 3: Mendapatkan rumus umum persamaan kuadrat
Misalkan ada sebuah persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
0, buktikan bagaimana mencari rumus akar – akar
persamaan kuadrat.
Jawab :
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎= 0
⟺ 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 = −
𝑐
𝑎
⟺ 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑏2
4𝑎2= −
𝑐
𝑎+
𝑏2
4𝑎2
⟺ 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑏2
4𝑎2 = −4𝑎𝑐
4𝑎2 +𝑏2
4𝑎2
⟺ (𝑥 +𝑏
2𝑎)2
=𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
⟺ 𝑥 +𝑏
2𝑎= √
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
⟺ 𝑥 = −𝑏
2𝑎±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
15
3) Level 6
Godino et al. (2014) menjelaskan bahwa pengenalan
sifat – sifat dari suatu formula ( seperti ruang vektor )
dan pengoperasian fungsi aljabar (penambahan,
pengurangan, pembagian, perkalian, dan komposisi)
mulai di SMA. Karena itu untuk karakteristik tingkat
aljabar keenam yang seharusnya membantu kita untuk
memusatkan perhatian kita pada sifat – sifat khusus dari
suatu formula matematis. Godino et al. (2014)
memberikan contoh di buku sekolah SMA yang yang
sesuai dengan tingkat penalaran aljabar keenam ini:
“Tabel 2.3 menunjukkan sifat – sifat operasi
penjumlahan dari ruang vektor.
Tabel 2.3 Ruang vektor
PENJUMLAHAN DARI DUA ELEMEN V: jika
𝑢,⃗⃗ ⃗ �⃗⃗� ∈ 𝑉, kemudian �⃗⃗� + �⃗⃗� ∈ 𝑉` Sifat – sifat penjumlahan vektor :
komutatif: �⃗⃗� + �⃗⃗� =�⃗⃗� + �⃗⃗� Assosiatif:(�⃗⃗� + �⃗⃗� ) + �⃗⃗⃗� = +�⃗⃗� + (�⃗⃗� + �⃗⃗⃗� )
Vektor nol, jika 0⃗⃗ untuk �⃗⃗� ∈ 𝑣 menghasilkan 0⃗⃗ + �⃗⃗� =�⃗⃗� Kebalikan vektor, semua vektor 𝑣 ⃗⃗ ⃗ memiliki
kebalikan −𝑣 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗:
𝑣 + −𝑣⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0⃗
Sumber : Colera & Oliveira (Godino et al. ,2014)
3. Indikator Penalaran Aljabar
Indikator penalaran aljabar yang akan digunakan dalam
penelitian ini disesuaikan dengan teori Godino et al. (2014)
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
16
untuk secondary education. Karena penelitian ini akan
dilaksanakan pada Sekolah Menengah Kejuruan (SMK).
Tabel 2.4 Pelevelan dan indikator penalaran aljabar
Level 4 Level 5 Level 6 Indikator
Level
4(Using
parameters)
√ Menggantikan bilangan
numerik (angka) dengan
parameter dilihat ketika
siswa membuat model
matematika dan membuat
bentuk umum dari model
matematika tersebut.
Level
5(Treatments
parameters)
√ Melakukan operasi aljabar
terhadap dua parameter
Level 6 √ Mengetahui sifat-sifat
khusus dari operasi
aljabar terhadap suatu
formula matematika.
B. Penelitian Relevan
Dalam penelitiannya Nuraini,dkk (2016) menyimpulkan
bahwa terdapat dua subjek untuk penalaran aljabar level 0, terdapat
dua subjek untuk penalaran aljabar level 1, terdapat tiga subjek
untuk penalaran aljabar level 2, dan terdapat tiga subjek untuk
level yang berada diatas level 2 namun belum mencapai level 3.
Selain itu pada penelitian tersebut peneliti menggunakan pelevelan
menurut Ake dan indikator penelitian yang digunkan menggunakan
indikator pemecahan masalah yang disesuaikan dengan level
penalaran aljabar.
Dalam penelitiannya Rosita (2016) menyimpulkan bahwa
kemampuan penalaran aljabar mahasiswa pendidikan matematika
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
17
semester 5 STKIP Sebelah April Sumedang terdapat enam
pelevelan aljabar yaitu level unistruktural rendah, unistruktural,
multistruktural, relational, relational tinggi (lebih dari relational,
tetapi belum mencapai level exteded abstract), dan exteded
abstract. Data diperoleh dari 38 subjek yaitu 3 subjek untuk
penalaran aljabar level unistruktural rendah, 15 subjek untuk
penalaran aljabar level unistruktural, 15 subjek untuk penalaran
aljabar level multistruktural, 3 subjek untuk penalaran aljabar level
relational, 1 subjek untuk penalaran aljabar level relatonal tinggi,
dan 1 subjek untuk penalaran aljbar level extended abstract. Dalam
penelitian tersebut peneliti menggunakan pelevelan model SOLO.
Dua penelitian di atas menggunakan penalaran aljabar dan
salah satu penelitian pada tingkat pendidikan SMP dan yang satu
pada perguruan tinggi, penelitian lainnya belum ada pada jenjang
pendidikan SMA/MA/SMK. Selain itu juga pada dua penelitian
diatas belum menggunakan pelevelan aljabar menurut Godino.
Oleh karena itu peneliti akan melakukan penelitian pada jenjang
pendidikan SMA/MA/SMK dan berdasarkan pelevelan penalaran
aljabar yang berbeda dengan jenjang pendidikan SMP/MTs dan
menggunkan pelevelan penalaran aljabar menurut Godino.
C. Kerangka Pikir
Pendidikan di indonesia dilaksanakan pada lembaga
pendidikan formal dan nonformal. Dalam lembaga pendidikan
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
18
formal ada beberapa jenjang pendidikan yaitu SD/MI, SMP/MTs,
SMA/SMK/MA dan Perguruan Tinggi. Pada Jenjang
SMA/SMK/MA berbeda dalam kemampuan yang ingin dicapai
setiap siswa, pada jenjang SMA sekolah menitik beratkan pada
teori dan sedikit praktik. Untuk jenjang SMK berbeda lagi, sekolah
menitik beratkan pada praktik karna bertujuan untuk siswa SMK
agar siap dalam menghadapi dunia kerja dan untuk MA sekolah
lebih banyak mengajarkan tentang ilmu agama. Sehingga
menyebabkan kemampuan siswa antara SMK dan SMA berbeda
dalam menyerap informasi. Lulusan SMK disiapkan untuk
memasuki dunia kerja, tetapi ada juga yang melanjutkan kedalam
Perguruan Tinggi.
Matematika merupakan materi pelajaran yang mendapat
perhatian khusus, karena matematika adalah dasar dari aplikasi
dalam kehidupan sehari-hari dan ilmu yang mendasari ilmu
lainnya. Dalam matematika terdapat beberapa bidang, salah satu
bidang yaitu aljabar. Aljabar juga merupakan salah satu materi
yang diajarkan disekolah. penalaran aljabar yang kadang disebut
sebagai Algebraic Reasoning atau Algebraic thinking memiliki
level yang disesuaikan oleh jenjang pendidikan. Untuk tingkat
SMP/MTs masuk kedalam primary education, Ake et al. (2013)
membagi 4 level yaitu level 0, level 1, level 2, dan level 3. Pada
jenjang SD/MI belum diajar secara langsung konsep aljabar, maka
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
19
pada jenjang SD/MI masuk kedalam level 0. Pada tingkat
SMA/MA/SMK masuk kedalam secondary education, Godino et
al. (2014) membagi 3 level yaitu : Level 4 (Using parameter),
Level 5 (Treatments parameters) dan level 6.
Manusia adalah makhluk yang tercipta dengan memiliki
akal, sehingga menyebabkan manusia dapat berfikir dan bernalar.
Kemampuan antar manusia berbeda karna manusia memiliki
kelebihannya masing – masing, oleh karena itu penalaran aljabar
dari setiap siswa pun berbeda. Setelah preses pembelajaran
didalam kelas biasanya dilakukan evaluasi pembelajaran baik
dalam bentuk ulangan harian, Ulangan Tengah Semester, dan
Ulangan Akhir Semester guna mengetahui sejauh mana
kemampuan siswa dalam menyerap informasi yang telah diberikan
oleh guru. Dalam menyerap informasi yang diberikan oleh guru
setiap siswa tidaklah sama, sehingga menyebabkan
pengkategorian. Kategori biasanya dengan kemampuan tinggi,
kemampuan sedang dan kemampuan rendah.
D. Tinjauan Materi
Materi yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah
materi kelas X
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018
20
Tabel 2.5 Tinjauan Materi
Materi pokok Kelas/Semeter Indikator
Eksponen dan
logaritma
X/1 Siswa mampu
menggunakan aturan-
aturan perpangkatan
Siswa mampu
menggunakan aturan-
aturan akar
Siswa mampu
menyusun rumus
perpangkatan dari
masalah dunia nyata
SPLDV X/1 Siswa dapat
menjelaskan konsep
PLDV
Siswa dapat
menyusun model dari
masalah sehari-hari
Profil Penalaran Aljabar..., Rino Sulistiyanto, FKIP UMP, 2018