Definisi
Misal, suatu percobaan yang hasilnya dapat digolongkan atas
“keberhasilan” atau “kegagalan”.
Jika diambil X=1 untuk kejadian “berhasil”, dan X=0 untuk kejadian
“gagal”, fungsi massa peluangnya adalah:
𝑝 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝
𝑝 𝑋 − 1 = 𝑝
Nilai Harapan dan Ragam:
𝐸 𝑋 = 𝑥=01 𝑥. 𝑝(𝑥) = 0 1 − 𝑝 + 1 𝑝 = 𝑝
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝)
Contoh Kasus
Sebuah dadu setimbang dilemparkan sebanyak satu kali.
Misalkan, jika diperoleh angka 4 atau 6, maka dikatakan
“berhasil”, sedangkan sisanya dikatakan “gagal”. Tentukan fungsi
massa peluang bagi peubah acak X, yaitu munculnya angka 4
atau 6.
𝑋 = 1 , jika muncul angka 4 atau 6
0 , selainnya
Jika 𝑋 adalah peubah acak Bernoulli dengan parameter 𝑝 = 1 3,
maka fungsi peluangnya adalah:
𝑋 =
2/3 , jika x=01/3 , jika x=10 , selainnya
Nilai harapan dan ragam:
𝐸 𝑋 = 𝑝 =1
3
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝 1 − 𝑝 =1
31 −
1
3= 2/9
Definisi
Jika kita melakukan 𝑛 tindakan bebas yang berpeluang 𝑝 untuk
“berhasil” dan berpeluang (1 − 𝑝) untuk “gagal”, maka X yang
menyatakan banyaknya keberhasilan dalam 𝑛 tindakan adalah peubah
acak binomial.
Fungsi massa peluangnya:
𝑏 𝑥, 𝑛, 𝑝 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛𝑥
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥, untuk 𝑥 = 1,2, … , 𝑛
Nilai Harapan dan Ragam
𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Contoh Kasus
Ujian matematika menggunakan pilihan berganda. Setiap soal ada
empat pilihan dan hanya satu jawaban yang benar untuk setiap soal.
Selanjutnya, antarnomor soal diasumsikan saling bebas. Amir mengikuti
ujian matematika tersebut, dan terdapat 10 soal yang harus dijawab.
a. Berapa peluang dia menjawab benar 5 soal?
b. Berapa peluang dia menjawab soal minimal 3 yang benar?
a. 𝑃 𝑋 = 5 =105
1
4
5 3
4
10−5= 0.1615146
b. 𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 − 𝑥=02 10
𝑥1
4
𝑥 3
4
10−𝑥
𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 −100
1
4
0 3
4
10−0+
101
1
4
1 3
4
10−1+
102
1
4
2 3
4
10−2
𝑃 𝑋 ≥ 3 = 0.763912
Definisi
Misalkan kita melakukan tindakan2 yang saling bebas, masing2 dengan
peluang 𝑝, sampai terjadi satu “keberhasilan”. Jika 𝑋 adalah banyaknya
tindakan yang diperlukan, maka 𝑋 adalah peubah acak geometrik.
Fungsi massa peluangnya:
𝑔 𝑥, 𝑝 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 1 − 𝑝 𝑥−1𝑝 , untuk 𝑥 = 1,2, …
Nilai Harapan dan Ragam
𝐸 𝑋 =1
𝑝
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =1−𝑝
𝑝2
Contoh Kasus
Dalam suatu proses produksi diketahui bahwa rata-rata di antara 100
butir hasil produksi 1 yang cacat. Berapakah peluang bahwa setelah 5
butir yang diperiksa baru menemukan cacat pertama ?
Jawab:
Gunakan distribusi geometrik dengan x = 5 dan p = 0,01, maka diperoleh
𝑔 5; 0.01 = 0.01 0.99 4 = 0.0096
Tentukan pula nilai harapan dan simpangan baku bagi p.a X !
Lack of memory property
𝑃 𝑋 = 𝑥 + 𝑛|𝑋 > 𝑛 = 𝑃 𝑋 = 𝑥
A geometric random variable has been defined as the number of trials until
the first success. However, because the trials are independent, the count of
the number of trials until the next success can be started at any trial without
changing the probability distribution of the random variable.
Contoh Kasus
Products are inspected until the first defective is found. The
first 10 trials have been found to be free of defectives. What is
the probability that the first defective will occur in the 15th trial?
𝑃 𝑋 = 15|𝑋 > 10 = ? ?
1. Tiga orang ibu akan melahirkan bayi tunggal. Peluang setiap ibu untuk
melahirkan bayi perempuan atau bayi laki-laki adalah sama. Peluang
semua bayi yang dilahirkan laki-laki sama dengan:
a. 0.125
b. 0.25
c. 0.5
d. 0.875
2. Peluang sebuah komponen dapat lolos uji tertentu adalah 2/3 dan
mengikuti distribusi binomial. Peluang bahwa 3 dari 6 komponen yang
diuji berikutnya lolos uji adalah:
a. 10/729
b. 160/729
c. 30/729
d. 40/729
3. Lima orang sarjana melamar kerja pada suatu perusahaan XXX.
Menurut informasi diketahui peluang seorang diterima kerja pada
perusahaan tersebut sebesar 0.4. Manakah pernyataan berikut yang
benar?
a. Bersarnya harapan jumlah pelamar yang diterima kerja pada
perusahaan XXX dari 10 pelamar adalah 4 orang.
b. Jumlah pelamar yang diterima kerja di perusahaan XXXX adalah
peubah acak binomial
c. Peluang tidak satu pun pelamar diterima kerja di perusahaan XXXX
adalah sebesar 0.65.
Tugas Kelompok
Montgomery & Runger (2003), Exercise 3.55
Horgan (2008), Exercise 10.1, nomor 1 dan 3.
Horgan (2008), Exercise 11.1 nomor 8
Video 1
Video 2
REFERENSI
Aidi, M.N., Djuraidah, A. 2012. Pengantar Peluang. Bogor: IPB Press.
Baron, M. 2014. Probability and Statistics for Computer Scientist, Second
Edition. Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group.
Ghahramani, S. 2000. Fundamentals of Probability Second Edition. New
Jersey: Prentice Hall.w
Horgan, J. 2008. Probability with R: An Introduction with Computer Science
Application. New Jersey: John Wiley & Sons.
Montgomery, D.C., Runger, G.C. 2003. Applied Statistics and Probability for
Engineers. New York: John Wiley & Sons.