RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TEORIA
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A2 Y B2 TEORIA
VECTORES, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO:
RECTA
๐ด(1,2,3)๐ฆ๐ต(0,1, โ1)
Crea el vector con los puntos:
๐ด๐ต-----โ = ๐ต โ ๐ด = (0,1, โ1) โ (1,2,3) = (โ1,โ1,โ4)
๐ต๐ด-----โ = ๐ด โ ๐ต = (1,2,3) โ (0,1, โ1) = (1,1,4)
Ecuaciones de la recta:
๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ โ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = (1,2,3) + ๐ก(1,1,4)
๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ โ @๐ฅ = 1 + 1๐ก๐ฆ = 2 + 1๐ก๐ง = 3 + 4๐ก
๐ถ๐๐๐ก๐๐๐ข๐ โ๐ฅ โ 11
=๐ฆ โ 21
=๐ง โ 34
๐ผ๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐รณ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ โ I๐ฅ โ ๐ฆ + 1 = 04๐ฆ โ ๐ง โ 5 = 0
Para que dos rectas sean paralelas deben tener el mismo vector director o proporcional.
Algo importante para tener en cuenta:
Para encontrar el vector director de una recta representada de la siguiente manera:
๐ โก๐ฅ โ 21
=๐ฆ + 20
= ๐ง โ ๐!----โ = (1,0,1)
Para saber el vector director de la
recta:"๐ค ๐ฅ ๐'โ1 โ1 00 4 โ1
" = 1๐ + 1๐ + 4๐
Para saber un punto le damos un valor
a cualquier incรณgnita y
despejamos el resto
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Cuando tenemos la siguiente expresiรณn, hallar el vector es:
๐๐ฅ1=๐ฆ + 11
=๐ง + 21
โ ๐๐๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐๐!----โ = (1๐, 1,1)๐๐!----โ = (1,๐,๐)
๐ฅ1๐=๐๐ฅ1
POSICIรN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Sus vectores directores son proporcionales
En este caso las rectas son paralelas o coincidentes (la misma recta). Es decir, se cumple:
๐0๐ฃ0=๐1๐ฃ1=๐2๐ฃ2
Para diferenciar entre paralelas o coincidentes tenemos que coger el punto de la recta ๐ y sustituirlo en la recta ๐ .
Coincidentes:
El punto de la recta r cumple las ecuaciones de la recta s.
Paralelas:
El punto de la recta r NO cumple las ecuaciones de la recta s.
r
s
s r
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Sus vectores directores NO son proporcionales
En este caso, los vectores al no ser proporcionales, las recta o se cruzan o se cortan.
Para diferenciar ambas opciones necesitamos los vectores directores de cada una de las rectas y crear un nuevo vector con los puntos de cada recta.
Entonces;
M๐0 ๐1 ๐2๐ฃ0 ๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ฅ0 โ ๐ฅ1 ๐ฆ0 โ ๐ฆ1 ๐ง0 โ ๐ง1M
Si el determinante anterior es igual a cero: las rectas se cortan en un punto. Para hallar dicho punto de corte tenemos que igualar ambas rectas teniendo en cuenta que las rectas deben de estar en paramรฉtricas.
Si el determinante anterior es distinto de cero entonces ambas rectas se cruzan en el espacio.
r
s
r
s
๐๐๐ก(๐ด) = 0
๐๐๐ก(๐ด) โ 0
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PLANO
Necesitamos por lo menos tres puntos, con esos tres puntos calculamos dos vectores y
escribimos las ecuaciones: A, B y C puedo calcular: ๐ด๐ต-----โ ๐ฆ๐ด๐ถ-----โ
Ecuaciรณn vectorial
(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = (๐ฅ3, ๐ฆ3, ๐ง3) + ๐(๐0, ๐1, ๐2) + ๐(๐ฃ0, ๐ฃ1, ๐ฃ2)
Ecuaciรณn paramรฉtrica
@๐ฅ = ๐ฅ3 + ๐๐0 + ๐๐ฃ0๐ฆ = ๐ฆ3 + ๐๐1 + ๐๐ฃ1๐ง = ๐ง3 + ๐๐2 + ๐๐ฃ2
Ecuaciรณn general o implรญcita
Para preparar esta ecuaciรณn del plano tenemos dos procedimientos dependiendo de la informaciรณn:
Primer procedimiento
Cuando tenemos dos vectores y un punto que pertenecen al plano:
M๐0 ๐1 ๐2๐ฃ0 ๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ฅ โ ๐ฅ3 ๐ฆ โ ๐ฆ3 ๐ง โ ๐ง3M = 0
resolviendo este determinante obtendremos la ecuaciรณn general del plano:
๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ๐ง + ๐ท = 0
Punto Vector Vector
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Segundo procedimiento
Cuando nos proporcionan el vector normal del plano y un punto:
๐-โ = (๐ด, ๐ต, ๐ถ)
๐(๐ฅ3, ๐ฆ3, ๐ง3)
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ3) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ3) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง3) = 0
๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ๐ง + ๐ท = 0
POSICIรN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO
Obtenemos el vector director de la recta ๐!----โ y el vectro normal del plano ๐-โ :
R๐!----โ โ ๐-โ = 0 โ ๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐!----โ โ ๐-โ โ 0 โ ๐ฟ๐๐๐๐๐ก๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
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POSICIรN RELATIVA DE DOS PLANOS
Dos planos pueden ser coincidentes, paralelos o secantes.
๐ = ๐โฒ ๐
๐โฒ
๐
๐โฒ ๐
๐ด๐ดโฒ=๐ต๐ตโฒ=๐ถ๐ถโฒ=๐ท๐ทโฒ
๐ด๐ดโฒ=๐ต๐ตโฒ=๐ถ๐ถโฒโ ๐ท๐ทโฒ
๐ด๐ดโฒโ ๐ต๐ตโฒโ ๐ถ๐ถโฒ
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POSICIรN RELATIVA DE TRES PLANOS
Dados los planos
๐ = ๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ๐ง + ๐ท = 0
๐โฒ = ๐ดโฒ๐ฅ + ๐ตโฒ๐ฆ + ๐ถโฒ๐ง + ๐ทโฒ = 0
๐โฒโฒ = ๐ดโฒโฒ๐ฅ + ๐ตโฒโฒ๐ฆ + ๐ถโฒโฒ๐ง + ๐ทโฒโฒ = 0
Podemos conocer su posiciรณn relativa estudiando el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:
๐ = X๐ด ๐ต ๐ถ๐ดโฒ ๐ตโฒ ๐ถโฒ๐ดโฒโฒ ๐ตโฒโฒ ๐ถโฒโฒ
Y๐โ = X๐ด ๐ต ๐ถ ๐ท๐ดโฒ ๐ตโฒ ๐ถโฒ ๐ทโฒ๐ดโฒโฒ ๐ตโฒโฒ ๐ถโฒโฒ ๐ทโฒโฒ
Y
๐ ๐๐๐๐(๐) ๐ ๐๐๐๐(๐โ) Posiciรณn 3 3 Planos secantes en un punto 2 3 Planos secantes dos a dos
Dos planos paralelos y el tercero secante 2 2 Planos secantes y distintos
Dos planos coincidentes y uno secante 1 2 Planos paralelos y distintos dos a dos
Planos paralelos y dos coincidentes 1 1 Planos coincidentes
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Con el dominio de estos procedimientos seremos capaces de resolver cualquier problema.
Dos planos paralelos:
Si tenemos dos planos que son paralelos debemos tener claro que sus vectores normales van a ser iguales o proporcionales:
๐0----โ = ๐1----โ
Recta y plano perpendiculares:
Cuando tenemos una recta y un plano perpendiculares estamos trabajando con una situaciรณn en la que el vector normal del plano es igual al vector director de la recta:
๐0----โ = ๐๐----โ = (๐ด, ๐ต, ๐ถ)
Con ese vector y un punto ya podrรญamos crear la ecuaciรณn del plano o de la recta, dependiendo de la informaciรณn que nos den y de lo que nos pidan.
๐ด(๐ฅ โ ๐ฅ3) + ๐ต(๐ฆ โ ๐ฆ3) + ๐ถ(๐ง โ ๐ง3) = 0
๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ๐ง + ๐ท = 0
๐0----โ
๐1----โ
๐0----โ
๐๐----โ
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RECTA Y PLANO PARALELOS
Cuando tienes esta posiciรณn de la recta y el plano, tienes que asumir que ๐! โ ๐-โ = 0, ya que sus vectores forman un รกngulo de noventa grados. Esta informaciรณn suele ser de interรฉs para resolver ejercicios.
Plano paralelo a dos rectas:
Cuando nos dicen que un plano es paralelo a dos rectas, el vector ๐-โ del plano es perpendicular a los dos vectores directores de las rectas, entonces:
\๐ค ๐ฅ ๐-โ๐0 ๐1 ๐2๐ฃ0 ๐ฃ1 ๐ฃ2
\ = ๐-โ = (๐ด, ๐ต, ๐ถ)
Recta paralela a dos planos:
Cuando nos dicen que una recta es paralela a dos planos, el vector ๐de la recta es perpendicular a los dos vectores normales de los planos, entonces:
\๐ค ๐ฅ ๐-โ๐ ๐ ๐๐0 ๐0 ๐0
\ = ๐!----โ = (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
๐-โ
๐
๐ฃ
๐-โ
๐
๐-โ = (๐0, ๐0, ๐0)
๐-โ = (๐, ๐, ๐)
๐๐----โ
๐๐----โ
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Punto simรฉtrico respecto de un plano:๐๐ฆ๐
Creamos la representaciรณn de la derecha, teniendo en cuenta lo siguiente:
๐-โ = ๐!----โ โ
๐๐๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฆ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐
Observa que la recta (en discontinua) la vas a crear utilizando el vector normal del plano y el punto P
Cuando creas la recta con ๐๐ฆ๐!----โ = ๐-โ , tienes que calcular el punto medio ๐. Para eso tienes que introducir en el plano las ecuaciones de la recta:
๐ โก ๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ๐ง + ๐ท = 0๐: b๐ฅ = โฏ๐ฆ = โฏ๐ง = โฏ
๐ด(โฆ) + ๐ต(โฆ) + ๐ถ(โฆ ) + ๐ท = 0
๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ข๐๐ ๐ข๐ ๐ก๐๐ก๐ข๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐รณ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐.
๐ฆ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐
Para finalmente halla punto simรฉtrico: ๐5 = 2๐ โ ๐
๐-โ
๐๐----โ
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Punto simรฉtrico respecto de una recta:๐๐ฆ๐
Creamos la representaciรณn de la derecha, sabiendo que:
๐-โ = ๐!----โ โ
๐๐๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฆ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐ .
Observa que el plano (en discontinuo) lo vas a crear utilizando el vector director de la recta y el punto P que esta dentro del plano.
Cuando creas el plano con ๐๐ฆ๐!----โ = ๐-โ , tienes que calcular el punto medio ๐. Para eso tienes que introducir en el plano las ecuaciones de la recta:
๐ โก ๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ๐ง + ๐ท = 0๐: b๐ฅ = โฏ๐ฆ = โฏ๐ง = โฏ
๐ด(โฆ) + ๐ต(โฆ) + ๐ถ(โฆ ) + ๐ท = 0
๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ข๐๐ ๐ข๐ ๐ก๐๐ก๐ข๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐รณ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐.
๐ฆ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐
Para finalmente halla punto simรฉtrico: ๐5 = 2๐ โ ๐
Entendiendo este procedimiento podrรกs ser capaz de determinar la distancia entre un punto y una recta o un punto y un plano de forma mucho mas sencilla que aplicando las formulas. El calculo se reduce al calcula de la distancia entre dos puntos.
๐-โ
๐๐----โ
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La distancia entre dos puntos:
๐(๐ด, ๐ต) = h๐ด๐ต-----โ h = i๐ฅ1 + ๐ฆ1 + ๐ง1
La distancia entre un plano y un punto:
๐(๐, ๐) =|๐ด๐ฅ3 + ๐ต๐ฆ3 + ๐ถ๐ง3 + ๐ท|
โ๐ด1 + ๐ต1 + ๐ถ1
La distancia entre dos planos paralelos:
๐(๐, ๐0) = l๐ท โ ๐ทโฒ
โ๐ด1 + ๐ต1 + ๐ถ1l
รNGULO ENTRE ELEMENTOS
โข Entre dos rectas:
๐๐๐ ๐ผ =๐ข-โ โ ๐ฃ|๐ข-โ | โ |๏ฟฝโ๏ฟฝ|
โข Entre dos planos:
๐๐๐ ๐ผ =๐0----โ โ ๐1----โ|๐0----โ | โ |๐1----โ |
โข Entre recta y plano:
๐๐๐ (90 โ ๐ผ) = ๐!----โ โ ๐0----โh๐!----โ h โ |๐0----โ |