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Capıtulo 1
Matrizes e sistemasde equac oes alg ebricas lineares
Definic oes
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Equacao linear
Uma equacao (algebrica) linear na incognita x tem a forma
ax = b
onde o coeficiente a e o termo independente b sao numeros reais (oucomplexos).
x : incognita (ou variavel)a : coeficienteb : termo independente
Definic oes
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Equacao linear
Uma equacao (algebrica) linear nas incognitas x1, x2, . . . , xn tem a forma
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b
oun
∑
j=1
ajxj = b,
onde os a1, a2, . . . , an e o termo independente b sao numeros reais (oucomplexos).
x1, x2, . . . , xn : incognitasa1, a2, . . . , an : coeficientes
b : termo independente
Definic oes
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Sistema de equacoes lineares
Um sistema de m equacoes lineares e n incognitas em R (ou C) e umaconjuncao de m equacoes lineares nas mesmas n incognitas:
(1)
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
isto e,
n∑
j=1
aijxj = bi , para i = 1, . . . ,m.
xj : variaveisaij : coeficientesbi : termos independentes
Soluc ao
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Uma solucao do sistema (1) e uma sequencia ordenada (α1, . . . , αn) denumeros reais (ou complexos), tal que (1) e verdadeiro quando
x1 = α1, . . . , xn = αn .
Exemplo
Considere o sistema de 2 equacoes lineares e 3 incognitas em R:
(2)
{
2x − y + z = 0−x + y − z = 1
• (1, 0,−2) e solucao do sistema (2).
Nova representac ao de um sistema de equac oes
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a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
x1
x2
...xn
=
b1
b2
...bm
Ax = b
Exemplo
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O sistema
{
2x − y + z = 0−x + y − z = 1
pode ser representado do seguinte modo:
[
2 −1 1−1 1 −1
]
xyz
=
[
01
]
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Matriz
Uma matriz do tipo m × n e de entradas reais (ou complexas) e um quadrode mn numeros reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas.
A =
a11 . . . a1j . . . a1n
......
...ai1 . . . aij . . . ain
......
...am1 . . . amj . . . amn
Notacao: A = [aij ]
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Entrada de uma matriz
A =
a11 . . . a1j . . . a1n
......
...ai1 . . . aij . . . ain
......
...am1 . . . amj . . . amn
Elemento ou entrada (i, j)
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Linhas de uma matriz
A =
a11 . . . a1j . . . a1n
......
...ai1 . . . aij . . . ain
......
...am1 . . . amj . . . amn
Linha i
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Colunas de uma matriz
A =
a11 . . . a1j . . . a1n
......
...ai1 . . . aij . . . ain
......
...am1 . . . amj . . . amn
Coluna j
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Matriz nula
[aij ] e a matriz nula se aij = 0, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n, i.e.,todas as entradas sao nulas.
0 . . . 0 . . . 0...
......
0 . . . 0 . . . 0...
......
0 . . . 0 . . . 0
• A matriz nula do tipo m × n designa-se por 0m×n.
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Matriz coluna e matriz linha
Matriz coluna:
a1
...am
Matriz linha:
[
a1 . . . an
]
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Matrizes quadradas
Uma matriz diz-se quadrada se o numero de linhas e igual ao numero decolunas.
a11 . . . a1i . . . a1n
.... . .
......
ai1 . . . aii . . . ain
......
. . ....
an1 . . . ani . . . ann
• n diz-se a ordem da matriz
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Matrizes quadradas
A =
a11 . . . a1i . . . a1n
.... . .
......
ai1 . . . aii . . . ain
......
. . ....
an1 . . . ani . . . ann
• Diagonal principal de A: a11, a22, . . . , ann
• O traco de A, tr A, e a soma de todas as entradas da diagonalprincipal.
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Matriz triangular inferior
Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se triangular inferior se aij = 0 parai < j.
a11 0...
. . .
ai1 . . . aii
......
. . .
an1 . . . ani . . . ann
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Matriz triangular superior
Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se triangular superior se aij = 0 parai > j.
a11 . . . a1i . . . a1n
. . ....
...aii . . . ain
. . ....
0 ann
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Matriz diagonal
Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se diagonal se aij = 0 para i 6= j.
A =
a11 . . . 0 . . . 0...
. . ....
...0 . . . aii . . . 0...
.... . .
...0 . . . 0 . . . ann
Se todas as entradas da diagonal principal forem iguais, diremos que amatriz e escalar.
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Matriz identidade
A matriz diagonal de ordem n cujas entradas da diagonal principal saoiguais a 1 designa-se por matriz identidade (de ordem n).
In =
1 0. . .
1. . .
0 1
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Igualdade de matrizes
Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij], do tipo m × n, dizem-se iguais se
aij = bij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
• Nestas condicoes, escrevemos A = B.
Operac oes com matrizes
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Adicao de matrizes
Se duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] forem do mesmo tipo m × n, entaoa soma A + B e a matriz do tipo m × n cuja entrada (i, j) e
aij + bij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
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Propriedades da adicao de matrizes
• ∀A,B,C (m × n), (A + B) + C = A + (B + C)
• ∀A,B (m × n), A + B = B + A
• ∀A (m × n), A + 0m×n = A
• ∀A = [aij] (m × n), ∃A′ = [−aij ] (m × n), A + A′ = 0m×n
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Multiplicacao de um numero por uma matriz
O produto de um numero (real ou complexo) α por uma matriz A = [aij ] dotipo m × n e a matriz igualmente do tipo m × n tal que a entrada (i, j) e
αaij ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
• Nestas condicoes, usamos a seguinte notacao: αA.
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Propriedades do produto de um numero por uma matriz
• ∀α, β, ∀A, (αβ)A = α(βA)
• ∀α, ∀A,B, α(A + B) = αA + αB
• ∀α, β, ∀A, (α + β)A = αA + βA
• ∀A, 1A = A
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Multiplicacao de matrizes
O produto de A = [aij], do tipo m × n, por B = [bij], do tipo n × p e amatriz do tipo m × p, tal que a entrada (i, j) e definida por
n∑
q=1
aiqbqj ,
para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , p.
• Notacao para o produto de A por B: AB ou A × B.
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Multiplicacao de matrizes
cij =n
∑
q=1
aiqbqj
= ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj
=[
ai1 ai2 · · · ain
]
b1j
b2j
...bnj
= (linha i de A) × (coluna j de B)
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Propriedades do produto de matrizes
• ∀A (m × n),∀B (n × p),∀C (p × r), (AB)C = A(BC)
• ∀A,B (m × n),∀C (n × p), (A + B)C = AC + BC
• ∀A (m × n),∀B,C (n × p), A(B + C) = AB + AC
• ∀A (m × n),∀B (n × p),∀α, α(AB) = (αA)B = A(αB)
• ∀A (m × n), A0n×p = 0m×p, 0p×mA = 0p×n
• ∀A (m × n), AIn = A, ImA = A
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OBSERVACAO:
• A MULTIPLICACAO DE MATRIZES NAO E COMUTATIVA !!
• AS LEIS DO ANULAMENTO DO PRODUTO EM MATRIZES NAO SAOVALIDAS !!
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Transposta de uma matriz
A transposta de uma matriz A do tipo m × n, AT , e uma matriz do tipon × m cujas linhas sao as colunas de A pela mesma ordem.
Exemplo
A =
[
1 2 −13 0 1/2
]
AT =
1 32 0−1 1/2
• Se A = AT , entao diremos que A e simetrica.
• Se A = −AT , entao diremos que A e anti-simetrica.
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Propriedades da transposicao
Considere as matrizes A,B do tipo m× n, e C do tipo n× p, e um numeroα.
• (AT )T = A
• (A + B)T = AT + BT
• (AC)T = CT AT
• (αA)T = αAT
Matrizes invertıveis
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Inversa de uma matriz
Uma matriz quadrada A, de ordem n, e invertıvel se existir uma matrizquadrada B, de ordem n, tal que AB = BA = In .
Exemplo
Uma inversa de[
2 −11 −1
]
e?
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Propriedades da inversa de uma matriz
• Se A e invertıvel, entao a inversa e unica e denota-se por A−1.
• Se A e B sao matrizes invertıveis, entao AB e uma matriz invertıvel e(AB)−1 = B−1A−1.
• Se A e invertıvel, entao (AT )−1 = (A−1)T .
• Se A e invertıvel e k e um numero inteiro, entao (Ak)−1 = (A−1)k.
• Se A e invertıvel e α e um escalar nao-nulo, entao (αA)−1 = 1
αA−1.
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Matrizes elementares
Chama-se matriz elementar de ordem m a toda a matriz que se obtem deIm por aplicacao de uma operacao elementar as respectivas linhas, i.e.
I. Troca entre si de duas linhas
II. Multiplicacao de todos os elementos de uma linha por um numerodiferente de zero
III. Substituicao de uma linha pela soma dessa linha com um multiplo deoutra
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Matrizes elementares do tipo I
Para i, j ∈ {1, · · · ,m}, com i 6= j, Pij e a matriz que resulta de Im
trocando entre si a linha i com a linha j
Exemplos
P12 =
0 1 01 0 00 0 1
= P21 ; P24 =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
= P42
• Seja A m × n. PilA e a matriz que se obtem de A trocando a linha icom a linha j.
Teorema
(Pij)−1 = Pij
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Matrizes elementares do tipo II
Para i ∈ {1, . . . ,m} e α um escalar nao nulo, Di(α) e a matriz que seobtem de Im multiplicando a linha i por α
Exemplos
D2(7) =
1 0 00 7 00 0 1
; D3(9) =
1 0 0 00 1 0 00 0 9 00 0 0 1
• Seja A m × n. Di(α)A e a matriz que se obtem de A multiplicando alinha i por α.
Teorema
(Di(α))−1 = Di(α−1)
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Matrizes elementares do tipo III
Para i, j ∈ {1, . . . ,m}, com i 6= j, e α um escalar, Eij(α) e a matriz quese obtem de Im substituindo a linha i pela soma da linha i com a linha jpreviamente multiplicada por α
Exemplos
E24(−4) =
1 0 0 00 1 0 −40 0 1 00 0 0 1
; E31(1/2) =
1 0 0 00 1 0 0
1/2 0 1 00 0 0 1
• Seja A m × n. Eij(α)A e a matriz que se obtem de A adicionando alinha i a linha j previamente multiplicada por α.
Teorema
(Eij(α))−1 = Eij(−α)
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Observacoes
• Se E for uma matriz elementar, EA e a matriz que se obtem de Aaplicando-lhe as linhas as mesmas operacoes elementares que foramaplicadas as linhas de Im para obter. E
• Resultado analogo e valido para o produto AE, reflectindo-se agora oefeito da multiplicacao nas colunas de A: AE e a matriz obtida de Aaplicando-lhe as colunas as mesmas operacoes elementares queforam aplicadas as colunas de In para obter E.