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INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES
En este capítulo se van a calcular las Antiderivadas de , con y
polinomios con coeficientes reales y expresable como un producto de factores lineales y cuadráticos.
Consideremos la fracción racional propia , en donde y son polinomios y
el grado de es menor que el de , entonces es posible escribir Como una
suma de fracciones racionales simples, es decir
Tal que cada con de la suma tiene una de las siguientes formas
i) ii) iii) o bien iv) en donde son
números reales, n es un número entero positivo mayor o igual a 2 y es irreducible, en el sentido que es un polinomio cuadrático que no es expresable como un producto de dos polinomios lineales con coeficiente reales. Lo cual equivale afirmar que la ecuación cuadrática , no tiene raíces reales, o sea (por la fórmula cuadrática) que
La suma es la descomposición en fracciones parciales de y cada
se llama fracción parcial.
OBSERVACIÓN: Si es impropia (el grado del numerador es mayor o igual que el del
denominador), expresar como un polinomio más una función racional propia
mediante la división de polinomios, en otras palabras expresar en la forma:
(Algoritmo de la división de polinomios)
Donde es el cociente,es el residuo de grado menor que o y fracción racional propia.
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Consideremos la función racional =
Desarrollando la división de polinomios y aplicando algoritmo se obtiene;
=
De manera que si queremos integrar:
El problema se reduce a integrar:
En general, entonces nuestro interés es la integración de expresiones de la forma
, donde es una función racional propia (el grado de es menor que el
grado de ).
Ejemplo 6.1:
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Para hacer esto, suele ser necesario escribir como la suma de fracciones parciales.
Los denominadores de tales fracciones se obtienen al factorizar como un producto de factores lineales o cuadráticos.
6.1 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO EL DENOMINADOR SOLO TIENE FACTORES LINEALES
CASO 1 Los factores de (Denominador) son todos lineales y ninguno se repite, es decir:
=
Entonces, existen constantes reales únicas por determinar tal que:
Calcular la integral
Factorizando el denominador de la función racional, se tiene:
, entonces descomponiendo en fracciones parciales,
obtenemos:
(1)
Efectuando operaciones con fracciones, en el lado derecho se obtiene,
simplificando, se tiene
Ejemplo 6.2:
Solución:
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Un método para calcular A, B, y C es comparar los coeficientes de las potencias de x. Desarrollando el lado derecho de la ecuación anterior y agrupando los términos de la misma potencia en x obtenemos:
Ahora se utiliza el hecho de que si los dos polinomios son iguales, entonces los coeficientes de las mismas potencias en x, son iguales.
De manera que, igualando los coeficientes, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
Al resolver el sistema para A, B y C tenemos que:
Sustituyendo los valores de A, B, y C en (1), entonces la descomposición en fracciones parciales es:
Por tanto, la integral dada se puede expresar como:
=
=
=
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= propiedades de logaritmo
Como seguramente lo observaste en el ejemplo anterior, en el método de fracciones parciales se requiere de mucha habilidad algebraica para plantear y resolver el sistema de ecuaciones que se trabaja, y obtener así la integral de una función dada. Para reducir esta dificultad disponemos de otras estrategias muy sencillas que permiten determinar en forma rápida los valores de las constantes A, B y C.
En primer lugar, analicemos el método de valores ideales, que es apropiado para factores lineales.
Supongamos que queremos determinar los valores de las constantes A, B y C de la siguiente ecuación (Ejemplo Anterior):
Efectuando operaciones con fracciones y simplificando, se obtiene,
(2)
La ecuación anterior es una identidad, la cual es cierta para cualquier valor real de x, entonces podemos sustituir a x por valores adecuados (ideales ) que hagan que algunos de los factores de ésta sean cero,
Veamos:
Valores ideales de x,
Sustituyendo en (2) obtenemos:
Para , se tiene que:
Para , se tiene que:
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Observa que no necesitamos ningún sistemas de ecuaciones para calcular los valores de las constantes A, B y C, ya que el método permite obtenerlos de forma casi inmediata.
Nota: Para hallar los valores ideales para x, iguale a cero cada factor lineal, es decir:
En segundo lugar, analicemos el método de Heaviside, también apropiado para factores lineales.
Hallar la integral
Reescribiendo la integral:
Como el grado del polinomio del numerador es igual al grado del denominador, antes hay que efectuar la división de polinomios.
Luego por el algoritmo de la división para polinomios, tenemos que
2x1
62 xx
62 xx6 x
Ejemplo 6.3:
Solución:
Factores lineales no repetidos Si es una fracción propia; y x - a , es un factor lineal no repetido de , la fracción se
puede escribir como donde
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De modo que la integral dada nos queda
( 1 )
Para integrar la función racional en el integrando se
escribe como una suma de fracciones parciales, es decir:
( 2 )
Determinemos los valores de A y B, utilizando el método de Heaviside para factores lineales no repetidos, veamos:Para las constantes A y B se tiene,
Reemplazando los valores de A y B en (2), obtenemos:
De manera que:
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Por lo tanto, sustituyendo en ( 1), se obtiene:
=
CASO 2
Los factores de ( Denominador) son todos lineales y algunos están repetidos.
Supongamos que es un factor que se repite n veces, es decir .Entonces correspondiente a este factor estará la suma de n fracciones parciales.
, donde:
Son constantes reales únicas por determinar
Calcular la integral
La fracción en el integrando se escribe como una suma de fracciones parciales, es decir
Ejemplo 6.4:
Solución:
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(1)
Multiplicando ambos miembros de (1) por el mínimo común denominador, se tiene que, (2)
Determinamos los valores de A y C sustituyendo los valores ideales para
en la ecuación anterior
Para ,
Para , obtenemos:
Como no hay más valores ideales para , y falta hallar el valor de B, entonces tomamos un valor arbitrario para , esto es , y lo sustituimos en la identidad (válida para todo x), con el fin de obtener una ecuación en A, B y C.
Al sustituir en (2), se obtiene:
Pero y entonces:
Reemplazando los valores de A, B y C en (1), se tiene:
Por tanto la integral dada se puede expresar como:
=
=
=
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método de Heaviside para determinar las constantes, cuando los factores son lineales repetidos
Piense por ejemplo que queremos determinar los valores de las constantes A, B y C de la siguiente ecuación (Ejemplo Anterior):
Determinemos los valores de A, B y C, veamos:
Factores lineales repetidosEn el caso de x - a sea un factor lineal repetido k veces de la fracción se puede escribir como donde con j= 1, 2, …, k.
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Observa nuevamente que no necesitamos ningún sistemas de ecuaciones para calcular los valores de las constantes A, B y C , ya que el método permite obtenerlos de forma casi inmediata.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS (6.1)
Calcula las siguientes integrales utilizando el método de fracciones parciales
1. 2.
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
25.
27. Demuestre mediante el método de fracciones parciales que
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28. Demuestre mediante el método de fracciones parciales que
29. En una zona pesquera del Pacífico, la masa total de los peces y(t) se modela con la
ecuación donde y se mide en kilogramos, t en años, y los valores de los
parámetros anuales son r= 8 x10
7
Kg y k=0.71. Si y(0)=2x10
7
Kg, encuentra y(t) y calcula
y(1). ¿Cuánto tiempo pasará para que la masa total de los peces llegue a 6x10
7
Kg?
5.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO EL DENOMINADOR CONTIENE FACTORES CUADRÁTICOS
CASO 3
Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos irreducibles y ninguno de los factores cuadráticos se repite.Entonces existen constantes reales únicas por determinar tal que:
+ , es decir
A cada factor cuadrático en el denominador, le corresponde la fracción
parcial de la forma
Calcular la integral
Solución:
Para factorizar polinomios de la forma , con ; es útil algunas veces la división sintética, donde las posibles raíces (o ceros) racionales son los divisores
Ejemplo 6.5:
Solución:
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de , de manera que para el polinomio del denominador tenemos que los divisores -2 son , luego aplicando la
división sintética se tiene
Con lo que es un factor de , luego la factorización del denominador es:
, donde es irreducible de manera que:
= , entonces:
= +
(1)
Multiplicando ambos miembros de la identidad anterior por el mínimo común denominador, tenemos:
)
Podemos hallar el valor de A al sustituir el valor ideal de x = 1 en la ecuación anterior, y así:
Ahora, efectuando operaciones y agrupando los términos con la misma potencia en x en el miembro derecho, tenemos:
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de x nos queda:
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Sustituyendo el valor de en el sistema se obtiene:
y
Reemplazando A, B y C en (1), obtenemos:
Por tanto, la integral dada se puede expresar como:
(2)
Ahora, calculemos la integral entonces:
Como en la primera integral del miembro derecho de la expresión anterior vemos que la diferencial del denominador es , entonces sumamos y restamos uno en el numerador, de modo que:
Completando cuadrado
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(3)
Por tanto, reemplazando (3), en la ecuación (2) nos queda:
Nota: Desarrolle la integral por sustitución trigonométrica.
CASO 4
Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos irreducibles, y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Observación: En el Ejemplo 6.5 podemos ahorrar algunos pasos si en lugar de escribir (1) expresamos la fracción original como
Escribimos en vez de ya que
Entonces, resolviendo para obtenemos
Llegando más rápidamente al resultado.
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Si es un factor cuadrático de Q(x) que se repite n veces, entonces correspondiente a este factor estará la suma de las siguientes n fracciones parciales de la forma,
, donde:
, son constantes reales únicas por determinar
Calcular la integral
La fracción en el integrado se escribe como una suma de fracciones parciales, es decir:
(1)
Multiplicando en ambos miembros de (1) por el mínimo común denominador, se obtiene:
El valor de A se puede hallar al sustituir x=0 (valor ideal de x) en la identidad anterior
Luego efectuando operaciones y agrupando los términos con la misma potencia en x en el miembro derecho, tenemos:
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, se obtiene:
Ejemplo 6.5:
Solución:
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Resolviendo el sistema, obtenemos:
Remplazando los valores A, B, C, D, y E en (1) se tiene:
Por tanto la integral dada se puede expresar como:
(2)
Evaluamos por separado las integrales:
Sean y
Desarrollando M:
=
Desarrollando N:
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Desarrollando esta integral por sustitución trigonométrica, tenemos:Sea entonces , luego:
(3)
Como , entonces
(Figura 6.1)
Según el triangulo rectángulo de la figura 6.1, tenemos:
y
Donde , luego sustituyendo en (3) obtenemos
Por tanto, reemplazando las integrales M y N en (2), la integral dada nos queda
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS (6.2)
Calcula las siguientes integrales utilizando el método de fracciones parciales
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
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9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS (6.3)
Utilizar el o los métodos adecuados para calcular las siguientes integrales indefinidas:
1. * 2.
* 3. *4.
5. *6.
(Sugerencia: En el ejercicio 3 multiplicar y dividir por )
Nota: Amigo lector o estudiante las integrales con (*) requieren un desarrollo muy laborioso en su solución.
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