191
CX
CAPITULO 7LUGARES GEOMETRICOS
7.1 INTRODUCCION
Si tenemos elementos que pueden variar sus valores en un circuito, ya sea una resistencia una reactancia o la frecuencia de laseñal de entrada, las respuestas impedancia, torsión o control del circuito variarán. Cuando analizamos a la impedanciacompleja Z ; la cual es dependiente en su modulo de la frecuencia ya que esta puede aumentar o disminuir la parte imaginariade la impedancia. Por ejemplo:
L LZ R jX X jWL , si 0 W R Z
De ahí también observamos que cuando mayor sea la velocidad angular (W) la reactancia inductiva predominará LX R
comportándose en forma inductiva pura cuando W y para esta frecuencia 90 concluimos que:
( )WZ f la impedancia es una función de la frecuencia.
Figura 1
Entonces observamos que las respuestas irán tomando diferentes valores según se varíe uno de los elementos.Para la figura 2 se tiene una resistencia variable de 0 R . Vamos a representar en forma fasorial como se vadesplazando el fasor tensión sobre una curva.
Figura 2
192
Podemos ver el comportamiento del circuito que al variar la resistencia desde cero hasta R el valor de la tensión sobreesta se va incrementando y la tensión sobre CX va disminuyendo, y vemos como el punto A se desplaza sobre la curva de lasemicircunferencia hasta cuándo R que el circuito se comporta como resistivo puro cayendo toda la tensión de la fuentesobre la resistencia variable.
7.2 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS PARA R VARIABLE
a) Para la impedancia: Z R jX , como la reactancia es fija, es decir tendrá un solo punto sobre el ejeimaginario, el par ordenado (R, X) que representa a la impedancia se irá desplazando sobre la recta paralela al eje delas abscisas (real) así tendremos una idea más general del comportamiento de la impedancia cuando 0 R ypara sus valores limites 0R Z jX R Z R
W =constantejX =constante0 R
b) Para las admitancias: debemos tener en cuenta que las escalas de la admitancia es diferente a la escala con quehemos graficado el lugar geométrico de las impedancias.
Z R jX Y G jB
1Y
R jX
………. (1)
A partir de la ecuación (1) podemos obtener los valores limites para la grafica de las admitancias
1 10R Y j
jX X y cuando R 0Y
193
Lugar geométrico de lasimpedancias
Lugar geométrico de lasadmitancias
Sería muy tedioso si comenzamos a trabajar punto por punto por lo que haremos las siguientes operaciones hasta encontraruna expresión adecuada que me represente al conjunto de todos los valores de las admitancias.
*
*
2 2 2 2
2 22 2
2 22 2
22
1
0
1 10
2 2
1 1
2 2
YZ Z
Y YYG B
Z R jX jG B G B
B BX G B
G B X
BB G
X X X
B GX X
7.3 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS ADMITANCIAS E IMPEDANCIAS PARA X AJUSTABLE
Z R jX
Igual que el caso anterior 0 X , solo que ahora el elemento a variar es la reactancia de cero a infinito
Cuando 0X Z R resistivo
Cuando X Z inductivo
Aquí R permanece constante junto con la frecuencia, solo estamos variando es el valor de la inductancia o del capacitor.
El lugar geométrico de las impedancias será la línea paralela al eje de lasordenadas (Im).El segmento de la recta positiva representa para todas las soluciones enque Z es inductivo y el segmento de recta negativo en el que laimpedancia se comporta capacitivamente
Para el caso de la admitancia que es la inversa de la impedancia compleja,
por lo tanto a partir de la expresión1
YZ
encontramos los valores
mínimos y máximos.1
YR jX
0X 1Y
R
X 0Y
194
0X
X
Para encontrar todos los puntos del lugar geométrico, trabajamos:
2 2 2 2
1 G BZ j R jX
G B G BY
Como R es constante2 2
2 2
2 22 2
2 22
0
1 10
2 2
1 1
2 2
G GR G B
G B R
GG B
R R R
G BR R
Podemos observar que el lugar geométrico de las admitancias es un semicírculo de radio1
2RPodemos observar que el lugar geométrico para los casos analizados impedancia y admitancia hay una transformación de unsegmento de recta en el eje positivo o negativo a una semicircunferencia situada en el eje negativo y positivo respectivamente.
7.4 ADMITANCIA EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN A SUS ELEMENTOS
En los siguientes gráficos se puede ver que los ejes cartesianos son G y B, en la cual podemos determinar el lugar geométricode la admitancia.
Hay dos casos: con resistencia variable y reactancia variable.
Con resistencia variable. En el circuito que se representa en la figura N° 3, se observa con una impedancia con resistenciavariable la cual se convierte a admitancia.
Figura N° 3.Circuito de impedancia a admitancia
194
0X
X
Para encontrar todos los puntos del lugar geométrico, trabajamos:
2 2 2 2
1 G BZ j R jX
G B G BY
Como R es constante2 2
2 2
2 22 2
2 22
0
1 10
2 2
1 1
2 2
G GR G B
G B R
GG B
R R R
G BR R
Podemos observar que el lugar geométrico de las admitancias es un semicírculo de radio1
2RPodemos observar que el lugar geométrico para los casos analizados impedancia y admitancia hay una transformación de unsegmento de recta en el eje positivo o negativo a una semicircunferencia situada en el eje negativo y positivo respectivamente.
7.4 ADMITANCIA EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN A SUS ELEMENTOS
En los siguientes gráficos se puede ver que los ejes cartesianos son G y B, en la cual podemos determinar el lugar geométricode la admitancia.
Hay dos casos: con resistencia variable y reactancia variable.
Con resistencia variable. En el circuito que se representa en la figura N° 3, se observa con una impedancia con resistenciavariable la cual se convierte a admitancia.
Figura N° 3.Circuito de impedancia a admitancia
194
0X
X
Para encontrar todos los puntos del lugar geométrico, trabajamos:
2 2 2 2
1 G BZ j R jX
G B G BY
Como R es constante2 2
2 2
2 22 2
2 22
0
1 10
2 2
1 1
2 2
G GR G B
G B R
GG B
R R R
G BR R
Podemos observar que el lugar geométrico de las admitancias es un semicírculo de radio1
2RPodemos observar que el lugar geométrico para los casos analizados impedancia y admitancia hay una transformación de unsegmento de recta en el eje positivo o negativo a una semicircunferencia situada en el eje negativo y positivo respectivamente.
7.4 ADMITANCIA EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN A SUS ELEMENTOS
En los siguientes gráficos se puede ver que los ejes cartesianos son G y B, en la cual podemos determinar el lugar geométricode la admitancia.
Hay dos casos: con resistencia variable y reactancia variable.
Con resistencia variable. En el circuito que se representa en la figura N° 3, se observa con una impedancia con resistenciavariable la cual se convierte a admitancia.
Figura N° 3.Circuito de impedancia a admitancia
195
Sabemos:Z =Entonces: Z = R + JX … (α)Y = G + JB … (β)De (α)y (β): R + JX = ( GG + B ) − J( BG + B )Racionalizando e igualando las partes reales e imaginarias, tenemos:
R = GG + B … (I)X = − … (II)De la ecuación (II) G + B = − BXG + B + BX = 0Dando forma: G + B + BX + 12X = 12XG + B + 12X = 12XBueno llegamos a una ecuación de una circunferencia de
Despejando B: B = 12X − G − 12X Para una impedancia inductiva: Z = ZθSi: G = 0 → B = 0 o′ B = −G = → B = −
196
Grafico N° 3. Admitancia con comportamiento inductivo en resistencia variable
Para una impedancia capacitiva: Z = Z−θSi: G = 0 → B = 0 ; B = ;G = → B =
Grafico N° 4. Admitancia con comportamiento capacitivo en resistencia variable
197
Con Reactancia variable: En el circuito que se representa en la figura N° 4, se observa con una impedancia con reactanciavariable la cual se convierte a admitancia.
Figura N° 4.Circuito de impedancia a admitancia
Ahora trabajamos con la ecuación (I):
Dándole forma:
Entonces:
Llegamos a una ecuación de circunferencia de radio
Despejando:
Para una impedancia inductiva:
Si:
197
Con Reactancia variable: En el circuito que se representa en la figura N° 4, se observa con una impedancia con reactanciavariable la cual se convierte a admitancia.
Figura N° 4.Circuito de impedancia a admitancia
Ahora trabajamos con la ecuación (I):
Dándole forma:
Entonces:
Llegamos a una ecuación de circunferencia de radio
Despejando:
Para una impedancia inductiva:
Si:
197
Con Reactancia variable: En el circuito que se representa en la figura N° 4, se observa con una impedancia con reactanciavariable la cual se convierte a admitancia.
Figura N° 4.Circuito de impedancia a admitancia
Ahora trabajamos con la ecuación (I):
Dándole forma:
Entonces:
Llegamos a una ecuación de circunferencia de radio
Despejando:
Para una impedancia inductiva:
Si:
198
En el plano Y:
Grafico N° 5. Admitancia con comportamiento inductivo en reactancia variable
Para una impedancia capacitiva Z = Z−θSi: B = 0 → G = y G = 0B = → G =
Grafico N° 5. Admitancia con comportamiento capacitivo en reactancia variable
199
LUGARES GEOMETRICOSPROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA N° 01
Encontrar el lugar geométrico de las impedancias y admitancias para el circuito mostrado:
Resolución:
Podemos observar que cuando el valor de la resistencia va de cero a infinito la admitancia toma sus valores límites, siendo unalínea paralela a las abscisas su lugar geométrico, de lo estudiado anteriormente podemos decir que su lugar geométrico de lasimpedancias será un semicírculo en el eje negativo
0
1 11
R
ZY jWC
R
1Y jWC G jB
R
PROBLEMA N°02
En el siguiente circuito determine usted si existe algún valor de LR para la condición de resonancia, además trazar el lugargeométrico de admitancia del circuito.
200
0.0975
1Y
TY
2Y
G
jB
0.022
0.050.05
0.12
2
51.34º
Resolución:
Para la rama R-C es una admitancia de valor fijo que podemos representarla en el plano complejo como un vector cuyo moduloy argumento lo podemos calcular
1 4 5Z j Fijo 0.0975 0.122Y j
1 0.156 51.34ºY
Para la rama R-L como R varia su lugar geométrico de las admitancias será un semicírculo de radio 0.05 y este se calculacuando R = 0
2 10Z R j Variable 21
10Y
R j
Es una semicircunferencia de radio1
2X
10.05
20j
Lugar geométrico de las admitancias
1 2TY Y Y
Como no hay cruce con el eje real no hay resonancia
¿Qué es la resonancia?
Se denomina resonancia de un circuito serie o paralelo cuando la reactancia de la impedancia total se anula es decir que elcircuito se comporta resistivo puro.
0Z R jX R jX
Esto se da para una determinada frecuencia o cuando se varia uno de los elementos del circuito. Es decir, el circuito esta enfase y se dice que tiene un factor de potencia unitario.
PROBLEMA N° 03
Del circuito de la figura se pide:
Dibujar el diagrama de impedancias a los terminales A-B delcircuito.
Para que condiciones el circuito tiene un factor de potenciaunitaria.
201
Resolución:La impedancia 1 tiene un valor fijo y la podemos representar en el plano en el eje positivo superior, en cambio la impedancia 2,
su lugar geométrico es un semicírculo de radio2CR
1 2totalZ Z Z 1 LZ R jX
Para 2Z
21
C
Y jWCR
las condiciones para que el circuitosea resonante usted debe analizar delgráfico y sacar sus conclusiones
PROBLEMA N° 04
Trazar el lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por el circuito mostrado y hallar el valor de RC para el quediferencia de fase entre V e I sea 45⁰.
Resolución:
La admitancia de la rama fija es de 1/R=0.1. El diámetro de la semicircunferencia del lugar geométrico de la rama RC será enRc=0 es decir D=1/|XC| y el radio:
El grafico será:
201
Resolución:La impedancia 1 tiene un valor fijo y la podemos representar en el plano en el eje positivo superior, en cambio la impedancia 2,
su lugar geométrico es un semicírculo de radio2CR
1 2totalZ Z Z 1 LZ R jX
Para 2Z
21
C
Y jWCR
las condiciones para que el circuitosea resonante usted debe analizar delgráfico y sacar sus conclusiones
PROBLEMA N° 04
Trazar el lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por el circuito mostrado y hallar el valor de RC para el quediferencia de fase entre V e I sea 45⁰.
Resolución:
La admitancia de la rama fija es de 1/R=0.1. El diámetro de la semicircunferencia del lugar geométrico de la rama RC será enRc=0 es decir D=1/|XC| y el radio:
El grafico será:
201
Resolución:La impedancia 1 tiene un valor fijo y la podemos representar en el plano en el eje positivo superior, en cambio la impedancia 2,
su lugar geométrico es un semicírculo de radio2CR
1 2totalZ Z Z 1 LZ R jX
Para 2Z
21
C
Y jWCR
las condiciones para que el circuitosea resonante usted debe analizar delgráfico y sacar sus conclusiones
PROBLEMA N° 04
Trazar el lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por el circuito mostrado y hallar el valor de RC para el quediferencia de fase entre V e I sea 45⁰.
Resolución:
La admitancia de la rama fija es de 1/R=0.1. El diámetro de la semicircunferencia del lugar geométrico de la rama RC será enRc=0 es decir D=1/|XC| y el radio:
El grafico será:
202
Diagramas del lugar geométrico
Se observa que la intensidad esta adelantada respecto a la tensión un ángulo de 45⁰ en le punto indicado esto significaque los putos real e imaginario de Yt deben ser iguales:
De:
De donde: RC=2Ω
PROBLEMA N° 05
El circuito de la fig. Debe resonar a 455KHz. Para este caso el valor de X, impedancia del circuito, el factor de calidad y ademástiene un lugar geométrico de la admitancia con escala adecuada.
Resolución:
202
Diagramas del lugar geométrico
Se observa que la intensidad esta adelantada respecto a la tensión un ángulo de 45⁰ en le punto indicado esto significaque los putos real e imaginario de Yt deben ser iguales:
De:
De donde: RC=2Ω
PROBLEMA N° 05
El circuito de la fig. Debe resonar a 455KHz. Para este caso el valor de X, impedancia del circuito, el factor de calidad y ademástiene un lugar geométrico de la admitancia con escala adecuada.
Resolución:
202
Diagramas del lugar geométrico
Se observa que la intensidad esta adelantada respecto a la tensión un ángulo de 45⁰ en le punto indicado esto significaque los putos real e imaginario de Yt deben ser iguales:
De:
De donde: RC=2Ω
PROBLEMA N° 05
El circuito de la fig. Debe resonar a 455KHz. Para este caso el valor de X, impedancia del circuito, el factor de calidad y ademástiene un lugar geométrico de la admitancia con escala adecuada.
Resolución: