ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
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CAPÍTULO III PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO E ACOPLAMENTOS RADIAIS E AXIAIS 3.1. EIXOS DE TRANSMISSÃO
3.1.1 Introdução
O termo eixo refere-se, geralmente, a um componente de seção transversal circular,
cujo comprimento axial supera o diâmetro da área de seção transversal, e que possui rotação
em torno de seu eixo de simetria, transmitindo rotação e torque, ou ainda, potência.
Componentes como engrenagens, polias, cames, volantes e outros, são normalmente
fixados axial e/ou radialmente ao eixo através de chavetas, retentores ou anéis de fixação, e
são normalmente denominados de "elementos associados". Acoplamentos (rígidos e
elásticos), juntas universais e juntas homocinéticas, são considerados elementos responsáveis
pela união axial de um ou mais eixos a uma fonte de potência ou de carregamento. Um eixo
que não possui rotação é considerado um elemento estacionário ou de suporte, como uma
viga.
Os eixos podem ser submetidos a várias combinações de carregamentos: axial,
transversal, flexional ou torsional, que podem ser estáticos ou dinâmicos.
Normalmente, um eixo rotativo transmitindo potência (em regime), está sujeito à ação
de um momento torsor constante, que produz uma tensão de cisalhamento estática, e um
momento fletor orientado, que por sua vez, produz uma tensão normal alternada simétrica (as
fibras de uma região do eixo são sucessivamente submetidas à tração e à compressão, devido
à rotação e deflexão do eixo), solicitando este elemento em fadiga. Portanto, para satisfazer os
critérios de falha associados aos conceitos de resistência dos materiais, os eixos devem ser
projetados de forma que suas deflexões permaneçam dentro de limites aceitáveis. Uma
deflexão lateral excessiva em um eixo pode comprometer o funcionamento de engrenagens e
cames, causando ruído excessivo. A deflexão angular, por sua vez, pode ser destrutiva quando
atuando em mancais de rolamento não autocompensadores. A torção pode afetar a precisão de
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
62
um came ou de um trem de engrenagens. Além das condições citadas, vale lembrar que,
quanto maior a flexibilidade do eixo, tanto mais baixa será a velocidade crítica
correspondente, a qual pode então se posicionar anteriormente à rotação operacional do eixo.
Neste caso, a cada acionamento do sistema, o eixo deve ultrapassar sua condição de
ressonância, até atingir seu regime de operação, o que demanda energia (ou torque de
acionamento) suficientemente elevada para superar esta região crítica de funcionamento da
máquina.
Muitas vezes, os elementos associados são parte integral do eixo. Normalmente, são
construídos separadamente e montados sobre o mesmo através de elementos de fixação como:
• Pinos: encaixe simples para transmissão de carregamentos leves. Os principais
tipos são: pino reto, pino cônico, pino elástico e pino ranhurado.
• Chavetas: utilizadas para taxas mais pesadas de serviço ou operação. Principais
tipos: chaveta de seção quadrada, retangular, redonda, chavetas em montagem
dupla a 90°, chaveta woodruff (meia pastilha), chavetas com cabeça e, ainda, as
parafusadas.
• Anel de fixação axial ou retentores: método excelente e de baixo custo para
posicionamento e fixação axial em eixos. Os tipos convencionais são montados
em ranhuras, enquanto que os tipos sob pressão não necessitam das mesmas. Em
ambos os casos, os anéis podem ser externos (montados sobre os eixos) ou
internos (montados na caixa ou equivalente).
• "Splines" ou eixos ranhurados ou estriados: normalmente permitem uma conexão
axial mais resistente para altas taxas de transmissão de torque.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
63
Tabela 3.1 - Nomenclatura e Simbologia.
Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI
A área in2 2m
c distância da fibra externa à linha
neutra in m
d diâmetro in m
e excentricidade in m
G módulo de cisalhamento psi Pa
E módulo de Young psi Pa
I momento de área in 4 4m
J momento polar de área in4 4m
Cf coeficiente de flutuação adimensional adimensional
Ek , Ep energia cinética e energia potencial in-lb Joule
F força ou carregamento lb N
Fl flutuação (em velocidade angular) rad/sec rad/sec
fn freqüência natural em Hz Hz Hz
Ny fator de segurança em escoamento adimensional adimensional
Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional
g aceleração da gravidade 2secin 2secm
k constante de mola lb / in N / m
Kf , Kfm fator de concentração de tensão em
fadiga adimensional adimensional
Kt , Kts fator de concentração de tensão
geométrico (estático) adimensional adimensional
m massa lb sec / in2− kg
l comprimento in m
M momento fletor lb-in N-m
P potência hp watts
p pressão psi Pa
r raio in m
T torque ou momento torsor lb-in N-m
W peso lb N
α aceleração angular 2secrad 2secrad
δ deflexão in m
ν coeficiente de Poisson adimensional adimensional
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
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θ deflexão angular rad rad
γ densidade de peso lb in3 3mN
σ tensão normal psi Pa
σ’ tensão de Von Mises psi Pa
τ tensão de cisalhamento psi Pa
ω velocidade angular em rad/sec rad / sec rad / sec
ωn freqüência natural em rad/sec rad / sec rad / sec
ζ fator de amortecimento adimensional adimensional
Se limite de resistência à fadiga corrigido psi Pa
Sf resistência à fadiga corrigido psi Pa
Sy limite de resistência ao escoamento psi Pa
Sut máxima resistência à tração psi Pa
3.1.2 Materiais para eixos
No sentido de minimizar deflexões, o aço é a escolha lógica como material para
fabricação de um eixo, devido ao seu alto módulo de elasticidade, embora o ferro fundido ou
o ferro nodular sejam, algumas vezes, também usados, especialmente se engrenagens ou
outros acessórios forem fundidos juntamente com o eixo. Materiais como bronze ou aço
inoxidável podem ser também utilizados em equipamentos marinhos ou em equipamentos
expostos a outros tipos de ambientes corrosivos. Em casos onde o eixo atua como munhão,
deslocando-se no interior de um mancal, a dureza torna-se uma característica necessária ao
material. Neste caso, a dureza do aço pode ser a melhor opção de escolha como material do
eixo.
A maioria dos eixos de transmissão de máquinas é constituída de aço baixo-médio
carbono, que podem ser tanto laminados a quente quanto a frio, embora as ligas de aço sejam
também utilizadas onde a característica de elevada resistência seja necessária, ou ainda, onde
ocorrem maiores solicitações. Essas mesmas ligas, quando laminadas a frio, apresentam
propriedades mecânicas mais elevadas em relação às ligas laminadas a quente, devido às
propriedades do trabalho a frio. Porém, apresentam também a desvantagem da ocorrência de
tensões superficiais residuais, devido a este processo de fabricação. O aço laminado a frio é
mais usado para eixos de reduzido diâmetro (menores que 3 in ou 8 mm), podendo ser
aplicados sem necessidade de usinagem prévia, a não ser em casos onde acessórios são
acoplados ao eixo, exigindo, assim, uma superfície de melhor precisão e qualidade. Os aços
laminados a quente são aplicados para os eixos de maior diâmetro, e devem ter toda a sua
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
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superfície usinada, de modo a remover toda a camada carbonizada pelo processo. Em eixos
onde foram usinados rasgos de chaveta, ranhuras ou variações de diâmetro (como para eixos
escalonados) caracterizam-se as regiões de incremento ou concentração de tensões, o que
pode vir a causar urdimento do eixo. Eixos de aço pré-endurecidos (30 HRC) e com precisão
da própria laminação, podem ser obtidos em pequenas dimensões e podem, igualmente, ser
usinados com ferramentas de carboneto. Eixos laminados de elevada dureza (60 HRC) podem
ser obtidos, porém, não podem ser usinados.
3.1.3 Potência Transmitida pelo Eixo
A potência transmitida por um eixo é obtida através de princípios simples. Em
qualquer sistema rotativo, a potência instantânea é obtida pelo produto do torque pela
velocidade angular (Capítulo I):
P = T . ω (3.1)
No qual ω é a velocidade angular em radianos por segundo.
Qualquer que seja a unidade de medida usada para os cálculos, a potência é,
geralmente, convertida em unidades do Sistema Inglês ips (HP) ou do Sistema Internacional
SI (KW). Tanto o torque como a velocidade angular, pode variar com o tempo, embora a
maioria das máquinas rotativas seja projetada para operarem a uma velocidade constante, ou
aproximadamente constante, por um longo período de tempo. A potência média é, então,
obtida a partir de:
PAVG = TAVG. ωAVG (3.2)
3.1.4 Solicitações do Eixo
O caso mais comum de solicitação do eixo está na aplicação de momento torsor e
momento fletor alternados cíclicos e combinados. Podem ocorrer solicitações axiais, no caso
de eixos verticais, ou no caso de existirem elementos acoplados, como hélices ou turbinas,
que, em operação, geram uma componente normal de força. Um eixo deve ser projetado de
modo a minimizar a ação dessas tensões axiais, apoiando-o em mancais axiais nas regiões
mais próximas aos pontos de aplicação destas cargas. Tanto o momento torsor, quanto o
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
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momento fletor, podem variar no tempo, conforme visto no Capítulo II, apresentando,
portanto, componentes alternadas variáveis e componentes médias constantes.
A combinação do momento fletor e do momento torsor em um eixo rotativo gera, no
mesmo, um estado de tensão múltipla (Capítulo II). Se as cargas são assíncronas ou dispostas
aleatoriamente, então ocorrerá um caso complexo de tensões multiaxiais. Porém, o estado
multiaxial de tensões pode ocorrer mesmo se momentos torsor e fletor atuam em fase (ou
defasados de 180º). O fator crítico para definir um estado simples ou complexo de tensões
multiaxiais, é a direção da tensão principal alternada, num dado elemento do eixo. A maioria
dos eixos rotativos, submetidos aos momentos fletores e torsores, encontra-se na categoria de
estado combinado de tensões. Combinando os efeitos de flexão e cisalhamento, para
visualização gráfica no Círculo de Mohr, obtém-se um estado de tensão principal alternada,
que varia de direção. Uma exceção é o caso de momento torsor constante, superposto a um
momento fletor que varia no tempo. Desde que o momento torsor constante não apresente
uma componente alternada, para variar a direção da tensão principal alternada, este se torna
um caso simples de esforço multiaxial. Entretanto, se existirem concentrações de tensões
presentes, como rasgos de chavetas ou ranhuras no eixo, por exemplo, incrementos de tensão
locais são introduzidos, e requerem uma complexa análise de fadiga multiaxial.
Assume-se, portanto, que a função distribuição do momento fletor ao longo do eixo é
conhecida numa dada situação, e que esta distribuição apresenta tanto uma componente média
Mm, como uma componente alternada Ma. Da mesma maneira, assume-se que o momento
torsor é conhecido, e que este apresenta tanto uma componente média quanto alternada, Tm e
Ta. Então, o procedimento de análise para esta situação é o mesmo introduzido no Capítulo II
para solicitação em fadiga. Em qualquer ponto do eixo, surgirão momentos e torques
(especialmente em combinação com pontos de concentração de tensões), que devem ser
analisados por critérios de falha por fadiga, assim como por uma análise dimensional da seção
e/ou das propriedades do material, de modo a serem ajustados convenientemente.
3.1.5 Análise de Tensões no Eixo
Para compreender como as seguintes equações foram obtidas, para múltiplos pontos do
eixo, e seus efeitos multiaxiais combinados também considerados, deve-se, primeiramente,
obter as tensões aplicadas em todos os pontos de interesse. As diversas componentes de
tensões alternadas e médias, devido à flexão na superfície do eixo, são obtidas a partir de:
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
67
σa = Kf . Ma . c / I σm = K fm . Mm. c / I (3.3)
No qual Kf e Kfm são os fatores de concentração de tensão em fadiga, devido ao
momento fletor, para as componentes alternadas e médias, respectivamente. Sendo um eixo de
seção constante e sólida, podemos substituir C e I por:
c = r = d / 2 I = π . d4 / 64 (3.4)
Substituindo (3.4) em (3.3), obtem-se:
σa = K f . 32. Ma / π . d3 σm = K fm . 32. Mm / π . d3 (3.5)
As componentes alternada e média das tensões de cisalhamento devido ao momento
torsor, são obtidas a partir de:
τa = K fs . Ta . r / J τm = K fsm . Tm . r / J (3.6)
No qual Kfs e Kfsm são os fatores de concentração de tensão em fadiga, devido ao
momento torsor, para as componentes alternadas e médias, respectivamente.
Para um eixo de seção constante e sólida, pode-se substituir R e J por:
r = d/2 J = π . d4 / 32 (3.7)
Assim:
τa = K fs .16. Ta / π . d3 τm = K fsm . 16. Tm / π . d3 (3.8)
Se uma carga FZ, que produz uma tensão axial, estiver presente, produzirá apenas uma
componente média, obtida a partir de:
σm axial = Kfm . FZ / A = Kfm . 4 .FZ / π . d2 (3.9)
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
68
3.1.6 Testes de Falhas para Eixos Submetidos a Carregamentos Combinados
Extensivos estudos de falhas por fadiga, tanto para aços dúcteis, quanto para ferro
fundido frágil, submetidos à torção e flexão, foram originalmente realizados nos anos 30 por
Davies e por Gough e Pollard. Os resultados destes estudos encontram-se na Figura 3.1,
obtida da norma ANSI/ASME Standard B106.1M-1985 para Design of Transmission Shafting
(Projeto de Eixos de Transmissão). A combinação de torção e flexão para materiais dúcteis
em fadiga, portanto, foi obtida através da equação geral, apresentada na Figura 3.1. Para
materiais frágeis, os resultados (não apresentados), foram obtidos a partir do critério de
máxima tensão principal. Estes resultados são similares aos obtidos para um estado de tensão
combinada de torção e flexão, para carregamentos alternados simétricos.
3.1.7 Projeto de Eixos
Tanto as deflexões quanto as tensões devem ser consideradas no projeto de um eixo.
Muitas vezes, a deflexão pode se tornar o fator crítico, desde que excessivas deflexões podem
causar um rápido desgaste dos mancais nos quais o eixo está apoiado. Engrenagens, correias
ou correntes de acionamento, podem também sofrer com o desalinhamento que as excessivas
deflexões do eixo produzem. Note que as tensões podem ser calculadas localizadamente para
diversos pontos ao longo do eixo, baseando-se no conhecimento das cargas e da seção
considerada. Porém, os cálculos de deflexão requerem que toda a geometria do eixo seja
definida.
Assim, geralmente, o eixo é projetado inicialmente sob as considerações da análise de
tensões e, então, a partir do cálculo das deflexões, a geometria é totalmente definida. A
relação entre as freqüências naturais do eixo, tanto em torção como em flexão, e a freqüência
das funções de torque e de força de excitação, variáveis no tempo, pode ser crítica se as
funções de excitação apresentam freqüências próximas à freqüência natural do eixo,
provocando um estado de ressonância e, consequentemente, gerando elevados níveis de
vibrações, tensões e deflexões.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
69
(a) (b)
Figura 3.1 - Resultados de testes de fadiga em Aços sujeitos a Flexão e Torção Combinada, (a) Tensão de flexão alternada simétrica e Tensão de cisalhamento constante e (b) Tensões de flexão e de cisalhamento alternadas
simétricas.
3.1.8 Considerações Gerais
Algumas normas gerais para o projeto de eixos são apresentadas a seguir:
1. Para minimizar tanto as tensões quanto as deflexões, o comprimento do eixo deve
ser o menor possível, assim como o número de apoios.
2. Na possibilidade de se escolher entre uma viga biapoiada e uma viga em balanço,
é mais conveniente utilizar a viga biapoiada, com o intuito de minimizar as
deflexões, uma vez que a viga em balanço apresenta deflexões mais acentuadas. O
uso de vigas em balanço só deve ser feito quando detalhes de montagem exigirem
seu uso.
3. Um eixo tubular apresenta uma menor relação massa/rigidez (rigidez específica) e,
portanto, freqüências naturais mais elevadas, quando comparado a um eixo sólido.
Porém, pode ser mais caro e necessitar de um diâmetro externo maior.
4. As regiões de incremento de tensões devem ser localizadas o mais distante
possível das regiões de maior concentração de momentos fletores, minimizando
seus efeitos com maior diâmetro da seção em questão.
5. Se a prioridade é a de minimizar as deflexões, o aço baixo-carbono pode ser a
melhor opção de material, pois a sua rigidez é tão elevada quanto à de aços mais
aço
aços Aço carbono
aço
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
70
caros. O eixo projetado para pequenas deflexões apresentará níveis de tensões
mais baixos.
6. As deflexões geradas pela fixação de engrenagens ao eixo não podem ultrapassar
o valor de 0.005 in (130µm). A deflexão angular do eixo, neste caso, não pode
ultrapassar o valor de 0.03°.
7. Na presença de mancais hidrodinâmicos, as deflexões do eixo, nas seções
próximas aos mancais, devem ser menores que a espessura do filme de óleo do
mancal.
8. Se o mancal de rolamento empregado não for autocompensador, as deflexões
angulares do eixo, próximas ao mancal, devem ser inferiores a 0.04°.
9. Se o eixo estiver submetido a carregamentos axiais, mancais axiais devem ser
empregados de modo a impedir o deslocamento axial do eixo. Porém, esses
mancais não devem ser posicionados distantes um do outro, pois o intervalo entre
eles pode sofrer uma dilatação térmica que, por sua vez, virá a comprometer o
trabalho dos mancais.
10. Sempre que possível, a primeira freqüência natural do eixo deve ser, no mínimo,
o triplo da maior freqüência de excitação esperada em operação.
3.1.9 Projeto para Flexão Alternada Simétrica e Torção Constante
Esta é uma situação particular do caso geral de carregamento em torção e flexão
flutuantes e, devido à ausência da componente alternada do momento torsor, é considerado
um caso simples de fadiga multiaxial. Porém, a presença de tensões locais concentradas pode
causar um estado de tensão multiaxial complexo. A norma para projeto de eixos de
transmissão da ANSI/ASME está publicada como B106.1M-1985. Esta norma apresenta uma
aproximação simplificada para o projeto de eixos. A aproximação da ASME assume que o
carregamento gera tensão normal de flexão alternada simétrica (componente média nula) e
momento torsor constante (componente alternada nula), a ponto de criar tensões abaixo da
resistência ao escoamento torsional do material. A norma classifica os casos de diversos eixos
de máquinas nesta categoria. Utilizando a curva da figura 3.1(a), o limite de resistência à
fadiga por flexão é descrito no eixo de σa , enquanto que o limite de resistência ao escoamento
por cisalhamento, no eixo de τm. A substituição do limite de escoamento em tração pelo limite
de escoamento por cisalhamento é justificada pelas relações de Von Mises. As derivações de
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
71
equações de eixos da norma ASME são apresentadas a seguir, onde da elipse para critério de
falha da figura 3.1(a), tem-se:
1
22
=
+
ys
m
e
a
Ss
τσ (3.10)
Introduzindo o fator de segurança Nf .
1
22
=
+
ys
mf
e
af
sN
sN
τσ (3.11)
Relembrando a relação de Von Mises para SYS .
3
y
ys
SS = (3.12)
Substituindo (3.12) na equação (3.11):
Ns
Nsf
a
ef
m
y
σ τ
+
=
2 2
3 1 (3.13)
Substituindo as expressões para σa e τm , das equações (3.5) e (3.8), respectivamente,
tem-se:
KM
d
N
SK
T
d
N
Sfa f
efsm
m f
y
32 16 31
3
2
3
2
π π
+
= (3.14)
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
72
Quando resolvida para o diâmetro d, a equação (3.14) fica:
dN
KM
SK
T
Sf
fa
efsm
m
y
=
+
32 3
4
2 212
13
π (3.15)
A norma utiliza ainda a aproximação de reduzir a resistência de fadiga Sf pelo fator de
concentração de tensões em fadiga Kf. Entretanto, as normas da ASME assumem que o fator
de concentração de tensões, para componente média de tensões de cisalhamento, seja sempre
unitário em todos os casos, o que resulta em:
dN
KM
S
T
Sf
fa
e
m
y
=
+
32 3
4
2 212
13
π (3.16)
É importante aplicar a equação (3.16) somente em situações onde as cargas assumidas
sejam exatamente como as consideradas na dedução da expressão, isto é, com momento torsor
constante e momento fletor alternado simétrico.
A Figura 3.2 apresenta o diagrama elíptico de falha de Gough, superposto com a
parábola de Gerber, e as linhas de Sodenberg e Goodman modificadas. Note que a elipse de
Gough se aproxima da parábola de Gerber a esquerda da linha de escoamento, divergindo,
porém, a partir da interseção com a mesma. A elipse de Gough tem a vantagem de considerar
um possível escoamento antes da fadiga, sem a necessidade de envolver a linha de
escoamento. Entretanto, a elipse de Gough, enquanto bom critério de falha, é menos geral que
a combinação das linhas de Goodman e de escoamento, comumente utilizadas como critérios
de falha.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
73
Figura 3.2 - Principais Linhas e Curvas de Falha por Fadiga.
3.1.10 Projeto para Flexão e Torção Flutuantes
Quando o torque não é constante, sua componente alternada irá criar um estado
complexo de tensões multiaxiais no eixo. A aproximação utilizada considera as componentes
de Von Mises médias e alternadas, através das equações (3.17).
′ = + − +
′ = + − +
σ σ σ σ σ τ
σ σ σ σ σ τ
a xa ya xa ya xya
m xm ym xm ym xym
2 2 2
2 2 2
3
3 (3.17)
Um eixo rotativo, submetido à torção e flexão combinadas, apresenta um estado de
tensões biaxial, que faz com que a equação 3.17 apresente duas componentes:
( )′ = +σ σ τa a a2 23 e ( )′ = + +
σ σ σ τm m m maxial
2 23 (3.18)
As tensões de Von Mises podem, agora, fazer parte do diagrama modificado de
Goodman, para um determinado material, para obter seu respectivo fator de segurança.
Para projetos onde o diâmetro é a incógnita a ser obtida, as equações (3.5), (3.8) e
(3.18) devem ser trabalhadas a partir de um processo iterativo, para a obtenção do diâmetro,
dados como conhecidos o carregamento e as propriedades do material. Isso não representa
σa
σm Sy Sut
Sy
Se ou Sf
Linha de Escoamento
Linha de Goodman
Elipse de Gough
Parábola de Gerber
Linha de Soderberg
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
74
grandes dificuldades quando pacotes computacionais, como o TKSolver, por exemplo, são
utilizados. Entretanto, o trabalho manual com estas equações é extremamente oneroso, devido
a sua forma. Se um caso particular de falha é assumido, a partir do diagrama de Goodman
modificado, as equações podem ser manipuladas para se obter uma equação similar à equação
(3.15), para o diâmetro do eixo na secção de interesse. Considerando o caso particular de falha
onde as componentes alternadas e médias apresentam uma razão de variação constante, a
falha ocorrerá no ponto onde o fator de segurança é definido como:
1N S Sf
a
e
m
ut
= +σ σ (3.19)
No qual Nf é o fator de segurança desejado, Se é o limite de fadiga corrigido para um
determinado ciclo de vida, e Sut é o limite de resistência à ruptura do material. Considerando
carga axial no eixo nula, e substituindo as expressões correspondentes na equação (3.19),
obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( )d
NK M K T
S
K M K T
Sf
f a fs a
e
fm m fsm m
ut
=+
++
323
4
3
4
2 2 2 2
13
π (3.20)
A equação (3.20) pode ser usada para se obter o diâmetro do eixo para qualquer
combinação de flexão e torção, considerando-se carga axial nula e componentes alternadas e
médias do carregamento variando a uma relação constante ao longo do tempo.
3.1.11 Verificação da Deflexão do Eixo
O eixo é uma viga de seção circular, que sofre uma deflexão transversal, sendo, ao
mesmo tempo, uma barra em torção, que sofre uma deflexão angular. Ambos os modos de
deflexão devem ser analisados.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
75
a) Deflexão Transversal de Eixos.
Sabe-se que, em coordenadas cartesianas, a curvatura da linha elástica é dada pela
equação diferencial fundamental:
1
1
2
2
23
2ρ=
+
d y
dx
dy
dx
(3.21)
Sendo ρ o raio de curvatura do eixo, y a deflexão transversal e x a coordenada axial do
eixo.
A grandeza dy / dx representa a declividade angular da linha elástica, sendo, portanto,
um valor muito pequeno. Assim, desprezando-se o quadrado da declividade na equação
(3.21):
1 2
2ρ= d y
dx (3.22)
Como 1 / ρ = M / EI, a expressão (3.22) torna-se:
d y
dx
M
EI
2
2= (3.23)
Portanto, a expressão geral para deflexão transversal do eixo, é dada pela integral
dupla:
δ
θ
= + +
= +
∫∫
∫
M
EIdx C x C
M
EIdx C
1 2
1
(3.24)
O único fator de complexidade é a presença de variações de seção transversal, por
exemplo, em um eixo escalonado, cujas propriedades geométricas da seção analisada variam
ao longo de seu comprimento. A integração das funções M / EI torna-se, então, mais
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
76
complexa, devido ao fato de que, tanto o momento fletor (M) quanto o momento de área (I),
variam ao longo do eixo. Se os carregamentos e momentos variarem no tempo, então seus
valores de amplitude máxima deverão ser usados para calcular a deflexão. A função deflexão
irá depender do carregamento e das condições de contorno relativas ao tipo de apoio ou
vínculo utilizado.
b) Deflexão Angular de Eixos
A deflexão angular θ (em radianos) para um eixo de comprimento L, módulo de
cisalhamento G, e momento polar J, com torque transmitido T é:
θ = T L
G J
.
. (3.25)
Do qual se pode obter a expressão para a constante elástica torsional:
KT G J
LT = =θ
. (3.26)
Se o eixo é escalonado, as mudanças da seção circular dificultam os cálculos para a
deflexão torsional, pois estes irão variar com o momento polar de inércia da seção.
O conjunto de seções adjacentes de um eixo, com diferentes diâmetros, pode ser
analisado como um conjunto de molas em série, com pequenas deflexões angulares, desde que
estas deflexões se somem, e que o torque transmitido através das diferentes seções permaneça
constante. Uma rotação constante pode ser obtida para cada seção do eixo, como também os
momentos polares de inércia, com o intuito de obter as deflexões angulares relativas entre
cada seção. Para um eixo com três seções distintas, definem-se J1, J2 e J3 de cada seção, com
os seus correspondentes comprimentos L1, L2 e L3. A deflexão angular total será a soma das
deflexões de cada uma das seções. Assim:
θ θ θ θ= + + = + +
1 2 3
1
1
2
2
3
3
T
G
L
J
L
J
L
J (3.27)
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
77
A constante de mola torsional efetiva, para um eixo de três seções diferentes, é dada
por:
1 1 1 1
1 2 3K K K KTeff T T T
= + + (3.28)
Estas expressões podem ser estendidas para qualquer número de segmentos de um
eixo escalonado.
3.1.12 Pinos, Chavetas, Eixos Estriados e Interferência
3.1.12.1 Pinos
A norma da ASME define um pino ou uma chaveta como uma peça desmontável que,
quando assentada a um rasgo, produz a transmissão de torque entre o eixo e o elemento
associado por esta conexão radial. Pinos e chavetas encontram-se normalizados sob tamanhos
e perfis diversos.
O pino circular reto apresenta diâmetro constante ao longo de seu comprimento. O
pino cônico apresenta seção circular, porém seu diâmetro varia linearmente ao longo de seu
comprimento. O pino elástico apresenta-se como um elemento tubular com um rasgo de uma
extremidade à outra de seu comprimento, o qual permite seu ajuste por pressão no interior do
furo passante nas peças a serem conectadas. O mesmo efeito elástico está presente em pinos
ranhurados de seção de base circular (Figura 3.3).
Figura 3.3 - Tipos de Pinos – acoplamento radial.
Pino Reto Pino Cônico
Pino Elástico Pino Estriado
d
D
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
78
a) Esforços em Pinos
A capacidade de carga de um pino, em relação ao torque, é limitada pela resistência
deste elemento ao duplo cisalhamento, em ambas as extremidades do pino. Para um pino
sólido de diâmetro d e resistência ao escoamento por cisalhamento Sys, a capacidade máxima
de torque será:
Dd
SD
FT ys 422
2π== (3.29)
Algumas vezes, pinos em cisalhamento, aplicados a transmissão de torque, são
utilizados como dispositivos de segurança para o eixo de transmissão, sendo manufaturados
com dimensões inferiores às mínimas necessárias, e/ou de materiais pouco resistentes, de
forma a romper antes de o eixo estar submetido à carga máxima de torque transmitido.
3.1.12.2 Chavetas
Uma chaveta reta é aquela que apresenta seção retangular e cujas dimensões não
variam ao longo do seu perfil. A chaveta inclinada apresenta largura constante, porém a altura
varia linearmente ao longo do seu perfil, em uma razão de 1/8 in de altura por unidade de
comprimento. A cabeça desse tipo de chaveta pode ser plana ou perfilada, de modo a facilitar
a sua remoção. A chaveta Woodruff apresenta seção semicircular e dimensões constantes ao
longo de seu perfil. É assentada em rasgos semicirculares usinados no próprio eixo por
pastilhas de perfil circular. A chaveta inclinada também serve para posicionar axialmente o
acessório ao eixo, porém, as chavetas retas e as chavetas Woodruffs necessitam de outros
tipos de fixação, que possam garantir o posicionamento axial, tais como anéis de fixação e
grampos.
Figura 3.4 - Tipos de Chavetas – acoplamento radial.
Chaveta Reta
H
L
Chaveta Chanfrada com Cabeça Chaveta Woodruff
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
79
a) Chavetas Retas
As chavetas retas são as mais comumente utilizadas. As normas da ANSI definem
particulares dimensões de seções de chavetas e, dimensões do assento destas, como uma
função do diâmetro do eixo no posicionamento da chaveta. Uma reprodução parcial dessas
especificações é encontrada na Tabela 3.2, para eixos de pequenos diâmetros. Para eixos de
maiores dimensões, deve-se consultar a norma. Chavetas quadradas são indicadas para eixos
de diâmetro superior a 6,5 in, enquanto que para eixos de diâmetro inferior a 6,5 in,
recomenda-se o uso de chavetas retangulares. As chavetas são montadas entre o eixo e o
elemento associado, com metade de sua altura assentada no eixo e a outra metade, no
acessório, conforme mostrado na Figura 3.4.
As chavetas retas são, geralmente, feitas de aço laminado a frio, com tolerância
negativa, isto é, suas dimensões nunca podem ser superiores à sua tolerância nominal,
somente inferiores (caso contrário ocorreria interferência na montagem). A tolerância positiva
pode acontecer em alguns casos, onde seja necessário que a chaveta se ajuste ao rasgo com
interferência.
A fixação da chaveta é importante quando abordada sob o ponto de vista dos esforços
ao qual o eixo está submetido. Quando o torque alterna entre positivo e negativo para cada
ciclo, a chaveta é submetida a esforços que causam impactos e, conseqüentemente, fadiga. A
norma também prevê que, no sentido de minimizar esforços sobre as chavetas, estas devem
apresentar um comprimento de, no máximo, 1,5 vezes o diâmetro do eixo (Lchaveta = 1,5Deixo),
de modo a evitar que seu comprimento venha a interferir na deflexão do eixo. Caso seja
necessário um maior comprimento de chaveta, podem-se utilizar duas chavetas, defasadas de
90o entre si.
b) Chavetas Inclinadas
As larguras para chavetas inclinadas, dado um eixo de diâmetro específico, são as
mesmas que para chavetas retas. A conicidade e a cabeça deste tipo de chaveta são
especificadas na norma. A conicidade é capaz de travar axialmente o elemento associado ao
eixo, devido ao surgimento de uma força de atrito entre o contato da superfície da chaveta
com a superfície do acessório. As chavetas inclinadas com cabeça são utilizadas em
montagens onde, devido às pequenas dimensões, a retirada da chaveta seria de difícil acesso.
Chavetas inclinadas tendem a criar excentricidades entre o eixo e o acessório, por
concentrarem as folgas radiais de um único lado.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
80
c) Chavetas Woodruff (Meia-Pastilha)
As chavetas Woodruff são comumente utilizadas em eixos pequenos. São auto-
alinháveis, sendo preferencialmente aplicadas em eixos afunilados. A montagem desta
chaveta no elemento associado ao eixo, corresponde à metade da sua altura.
Tabela 3.2 Medidas Padronizadas para Chavetas Retas.
Diâmetro do Eixo (in) Largura Nominal da
Chaveta (in)
437.0312.0 ≤< d 0.093
562.0437.0 ≤< d 0.125
875.0562.0 ≤< d 0.187
250.1875.0 ≤< d 0.250
375.1250.1 ≤< d 0.312
750.1375.1 ≤< d 0.375
250.2750.1 ≤< d 0.500
750.2250.2 ≤< d 0.625
250.3750.2 ≤< d 0.750
750.3250.3 ≤< d 0.875
500.4750.3 ≤< d 1.000
500.5500.4 ≤< d 1.250
500.6500.5 ≤< d 1.500
O rasgo feito no eixo, para o assentamento deste tipo de chaveta, apresenta perfil
semicircular, o que evita a existência de cantos e, consequentemente, pontos de concentração
de tensões. A relação entre a largura da chaveta Woodruff e o diâmetro do eixo é a mesma
apresentada na Tabela 3.2. As outras dimensões da chaveta Woodruff são especificadas pela
norma ANSI, e o corte dos assentos, previamente verificados para estas dimensões. A Tabela
3.3 apresenta um exemplo da norma para as dimensões das chavetas. Cada medida encontra
uma especificação numérica para o tipo de chaveta presente na norma. Os dois últimos dígitos
fornecem o diâmetro nominal da chaveta, em oitavos de polegada, e os dígitos precedentes,
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
81
fornecem a largura nominal da chaveta, em trinta e dois avos de polegada. Por exemplo, uma
chaveta de número 808 define um chaveta de tamanho 8/32 x 8/8.
Tabela 3.3 - Medidas Padronizadas para Chavetas Woodruff (ANSI).
Número da Chaveta Largura / Comprimento(in) Altura H (in)
202 0.062x0.250 0.106
303 0.093x0.375 0.170
404 0.125x0.500 0.200
605 0.187x0.625 0.250
806 0.250x0.750 0.312
707 0.218x0.875 0.375
608 0.187x1.000 0.437
808 0.250x1.000 0.437
1208 0.375x1.000 0.437
610 0.187x1.250 0.545
810 0.250x1.250 0.545
1210 0.375x1.250 0.545
812 0.250x1.500 0.592
1212 0.375x1.500 0.592
Existem dois modos de falha em chavetas: por cisalhamento e por compressão. A falha
por cisalhamento ocorre quando a chaveta se rompe ao longo de seu comprimento, na
interface entre eixo e elemento associado. A falha por compressão ocorre quando a chaveta é
submetida a uma compressão violenta em ambos os lados, sofrendo esmagamento.
FALHA POR CISALHAMENTO: a tensão de cisalhamento, atuando na interface
eixo-elemento associado, é definida por:
τ xys
F
A= (3.30)
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
82
No qual F é a força aplicada e AS é a área submetida à tensão de cisalhamento. No caso
da chaveta, AS é dada pelo produto da largura W pelo comprimento da chaveta L. A força que
atua na chaveta pode ser obtida pela razão do torque T ao qual o eixo está submetido, e o raio
do eixo r = D / 2. Se o torque for constante ao longo do tempo, a força também o será, e o
fator de segurança N pode ser obtido por comparação entre o valor da tensão de cisalhamento
τ e da resistência ao escoamento por cisalhamento do material Sys da chaveta. Se o torque
variar no tempo, então existe a possibilidade da chaveta falhar por fadiga. Uma aproximação
está em considerar as componentes médias e alternadas da tensão de cisalhamento e usá-las
para obter as componentes média e alternada da tensão efetiva de Von Mises. Estes valores
podem, então, ser utilizados no diagrama modificado de Goodman, para obtenção do fator de
segurança.
FALHA POR COMPRESSÃO: a tensão de compressão, na superfície lateral da
chaveta, é definida por:
σ x
F
A= (3.31)
No qual F é a força aplicada, e A é a área lateral de contato entre a chaveta e o eixo, ou
entre a chaveta e o acessório. Para uma chaveta reta A = L*H . Uma chaveta Woodruff
apresenta diferentes áreas de contato para o acessório e para o eixo. A área de contato entre o
acessório e a chaveta Woodruff é bem menor, quando comparada a sua área de contato com o
eixo, falhando assim, na superfície em contato com o acessório. Os esforços por compressão
devem ser calculados com o uso do maior valor, em módulo, da força aplicada, seja esta
constante ou variável no tempo. Considerando-se que a tensão de compressão não causa falha
por fadiga, esta tensão de compressão pode ser considerada estática. O fator de segurança N é
obtido por comparação entre a máxima tensão de compressão σ e o limite de escoamento por
compressão do material Sy.
Comparando a resistência ao cisalhamento e a resistência à compressão, para uma
chaveta reta de seção retangular, tem-se:
d / 8
d / 4
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
83
a) Capacidade de Torque do Eixo:
2
32 : ,
4 Dre
DJonde
J
Tr === πτ
τ lim .= =S Sys y0577
16577.0
2
32577.0
34 DS
D
DS
r
JST yy
ys ππ ===
b) Cisalhamento na Chaveta:
8577.0
24
2LDS
DLDSrFT yyss ===
DLLD
SD
ST yy 57.18
577.016
577.023
=⇒== π
c) Compressão na Chaveta:
1628
2LDS
DDLSrFT yyc ===
DLLD
SD
ST yy 82.11616
577.023
=⇒== π
Devido ao fato das chavetas estarem submetidas ao cisalhamento, materiais dúcteis são
usados em sua confecção. O aço baixo-carbono é a escolha mais adequada, a não ser que se
trate de um ambiente corrosivo, que requer o uso de materiais como latão ou aço inoxidável.
Chavetas retas são laminadas a frio e, então, cortadas em seu comprimento. Chavetas cônicas
e do tipo Woodruff são, geralmente, laminadas a quente.
São poucas as variáveis a serem analisadas no dimensionamento e projeto de chavetas.
O diâmetro do eixo, onde será assentada a chaveta, determina o valor da largura da mesma. A
altura da chaveta (ou o quanto a mesma se encaixa no acessório) é proporcional a sua largura.
Resta apenas o comprimento de cada chaveta e o número de chavetas que serão usadas por
acessório. A chaveta cônica pode apresentar o mesmo comprimento do acessório. A chaveta
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
84
Woodruff pode ser definida em função do diâmetro, que corresponde a sua altura, e ao quanto
este se encaixa no acessório.
Em projeto de chavetas é comum considerar um estado de tensão aonde a chaveta que
venha a falhar primeiro, e não o seu assento, o que acarretaria a troca do eixo e de um maior
número de elementos associados. Tal consideração se deve ao fato de que uma chaveta é um
elemento barato e de fácil reposição. Isso justifica também o uso de materiais dúcteis em sua
confecção, o que fará com que a falha ocorra na chaveta e não venha a prejudicar o sistema.
Neste caso, a chaveta funcionaria como um dispositivo de segurança.
Considerando-se que as chavetas apresentam, geralmente, bordas de raio pequeno
(cantos praticamente vivos), os seus rasgos também o apresentam, o que provoca uma
significativa concentração de tensão nesta região. Os rasgos são brochados no cubo, correndo
ao longo de seu comprimento, enquanto que no eixo, o rasgo deve ser usinado com grande
precisão geométrica, de modo a minimizar as interferências. Se os cantos usinados, para o
rasgo em um eixo, apresentarem cantos vivos (como é o perfil de chavetas retas e cônicas),
estes serão pontos de acúmulo de tensão, que devem ser minimizados com o arredondamento
dos mesmos.
Peterson demonstrou, experimentalmente, o acúmulo de tensões nos cantos vivos de
rasgos, para eixos submetidos tanto à torção quanto à flexão. Estes estão reproduzidos nas
curvas da Figura 3.5. Os fatores de concentração de tensão, nestas regiões, oscilam entre 2 e 4,
dependendo da razão entre o raio da ferramenta e o diâmetro do eixo.
Figura 3.5 - Fator de Concentração de Tensão em Flexão Kt e Torção Kts.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
85
3.1.12.3 Eixos Estriados, Ranhurados ou Splines
Quando um torque a ser transmitido por um eixo excede o valor limite suportado por
uma chaveta, estrias sobre o eixo podem ser usadas. Estrias são como que chavetas usinadas
na superfície externa do eixo e na superfície interna do acessório, de modo que seus perfis se
encaixem. Algumas estrias apresentam dentes de seção quadrada, ou mais comumentes em
forma de envolvente, conforme Figura 3.6. A forma envolvente de estrias apresenta,
praticamente, as mesmas características (posição, ângulos e alturas) que as engrenagens, e as
técnicas de corte de engrenagens são também aplicadas na manufatura das estrias. A vantagem
do corte de estrias envolventes, em relação às estrias quadradas, é que esta última minimiza a
concentração de tensões. A norma da SAE define as especificações, tanto para estrias
quadradas quanto para as envolventes, enquanto que a norma da ANSI define as
especificações apenas para estrias envolventes. A norma para estrias envolventes define um
ângulo de pressão de 30 graus e uma altura correspondente à metade da altura definida para
dentes de engrenagens. O tamanho do dente é definido pela fração, cujo numerador é o
diâmetro primitivo (que define a largura do dente) e o denominador é a altura do dente.
Passos diametrais normalizados são 2.5; 3.0; 4.0; 5.0; 6.0; 8.0; 10.0; 12.0; 16.0; 20.0;
24.0; 32.0; 40.0 e 48.0. Estrias padronizadas podem apresentar de 6 a 50 dentes. Estrias
podem ter a raiz plana ou filetada, como mostra a Figura 3.6.
Figura 3.6 - Geometria da Estria Envolvente.
Algumas das vantagens do uso de estrias é a resistência máxima da raiz, devido a sua
forma curvilínea, o que evita o acúmulo de tensões; bem como sua fácil usinagem através de
ferramentas específicas. A maior vantagem das estrias sobre as chavetas é a de possibilitar
uma grande acomodação axial entre o eixo e o acessório, enquanto ocorre a transmissão de
di
dr
do
dp
Diâmetro Primitivo
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
86
torque. São usadas para conectar a saída da transmissão do eixo para a barra de direção em
automóveis e caminhões, onde o movimento da suspensão causa esforços axiais entre os
membros. Também são usadas em transmissões não-automáticas e não-sincrométricas de
caminhões, para acoplar axialmente as engrenagens de câmbio aos seus respectivos eixos.
Além disso, o torque do motor é, geralmente, transmitido através de eixos estriados, que
conectam a embreagem ao eixo de transmissão, permitindo o esforço axial necessário para
desacoplar o volante da embreagem.
A carga que atua nas estrias é puramente torsional, sendo de natureza tanto estática
quanto dinâmica. Assim como as chavetas, dois tipos de falhas podem ocorrer nas estrias:
cisalhamento e compressão. Assim como nas chavetas, alguns dentes da estria podem sofrer
cisalhamento devido ao carregamento. O ideal é que o comprimento L da estria seja tão longo
quanto necessário, de modo que, em cada dente, a resistência ao cisalhamento do dente seja
igual à resistência ao cisalhamento torsional em todo o eixo. Se a estria for feita corretamente,
sem variações no tamanho dos dentes ou no espaçamento entre eles, o esforço se distribuirá
igualmente em todos os dentes. Entretanto, a realidade da manufatura das estrias impossibilita
essa condição ideal. A norma da SAE afirma que, na prática, as falhas na manufatura do
espaçamento e na forma dos dentes permitem que apenas 25% dos dentes estejam em contato
ideal e que, devido a este fato, uma boa aproximação para o comprimento L da estria em um
eixo é dada pela expressão:
L
dd
d
d
ri
r
p
≅−
34
4
2
1
(3.32)
No qual dr é o diâmetro da raiz, di é o diâmetro interno do eixo (se este for tubular) e
dp é o diâmetro primitivo da estria (Figura 3.6).
A variável L representa o comprimento do dente da estria, e deve ser considerada
como o valor mínimo necessário para apresentar a resistência necessária para cada dente, para
um eixo de diâmetro equivalente.
A tensão de cisalhamento é calculada a partir do diâmetro primitivo da estria, e a área
de cisalhamento é dada por:
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
87
Ad L
S
p=π . .
2 (3.33)
A tensão de cisalhamento pode ser calculada, considerando a afirmativa da SAE de
que apenas 25% dos dentes do eixo estriado apresentam contato perfeito e, conseqüentemente,
sofre mais intensamente o cisalhamento. Para isso, basta considerar 1/4 da área de
cisalhamento. Assim:
τπ
≅ = = =4 4 8 16
2
F
A
T
r A
T
d A
T
d LS p S p S p. . . . (3.34)
No qual T é o torque ao qual o eixo está submetido. Qualquer tensão de compressão na
estria, deve ser calculada, e devidamente combinada com o cisalhamento. Se a carga
corresponde simplesmente à torção estática pura, então a tensão de cisalhamento, obtida
através da equação (3.34), é comparada com o limite de escoamento por cisalhamento do
material Sys, de modo a obter o fator de segurança N. Se o carregamento é flutuante, ou a
compressão está presente, a tensão aplicada deve ser convertida para tensão de Von Mises, e
convenientemente comparada no diagrama modificado de Goodman.
3.1.12.4 Montagem por Interferência
Outro modo comum de acoplar radialmente acessórios aos eixos é através de pressão
ou ajuste por interferência. O ajuste por pressão é obtido através da usinagem do orifício do
acessório com uma diferença mínima entre seu diâmetro e o diâmetro do eixo, como é
mostrado na Figura 3.7. As duas partes são, então, forçadas lentamente para o encaixe,
usando, de preferência, um lubrificante aplicado na junção. A deflexão elástica, tanto no eixo
quanto no acessório, atua gerando uma elevada força normal e de atrito entre as partes. A
força de atrito transmite o torque do eixo para o acessório, como também resiste aos esforços
axiais. A “American Gear Manufactures Association” (AGMA) publicou a norma AGMA
9003-A91, Flexible Couplings-Keyless Fits, na qual define expressões para o cálculo do ajuste
por interferência.
Somente diâmetros relativamente pequenos podem ser acoplados por pressão, sem que
a força necessária exceda o limite que a peça suporta. Para peças maiores, o ajuste por
interferência pode ser feito pelo aquecimento do acessório, provocando a expansão de seu
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
88
diâmetro interno, e/ou através do resfriamento do eixo, de modo a reduzir o seu diâmetro. As
partes quente e fria podem, então, ser acopladas através de um leve esforço axial e, quando
alcançarem o equilíbrio térmico com o ambiente, suas variações de dimensões criarão a
interferência ou o contato por atrito desejado. Outro método consiste em expandir o acessório
hidraulicamente com óleo pressurizado, através de dutos em contato interno com o acessório.
Esta técnica é também utilizada para desacoplar o acessório do eixo.
A interferência necessária para se alcançar uma junção adequada, varia com o
diâmetro do eixo. Aproximadamente 0,001 a 0,002 unidades de interferência diametral, por
unidade de diâmetro do eixo, é a opção típica para os mais diversos tamanhos de eixo. Por
exemplo, a interferência para um eixo de 2 in de diâmetro pode ser algo em torno de 0.004 in.,
mas um eixo de 8 in de diâmetro permite uma interferência entre 0.009 a 0.010 in. Outra regra
simples é utilizar 0,001 in de interferência para diâmetros próximos a 1 in, e 0,002 in de
interferência para diâmetros entre 1 e 4 in.
Figura 3.7 - Montagem com Interferência.
A fixação por interferência gera um estado de tensão semelhante a um eixo submetido
a uma distribuição uniforme de pressão em sua superfície. O cubo, ou elemento associado,
sofre o mesmo estado de tensão que um cilindro sob pressão distribuída internamente. As
equações para o estado de tensão em cilindros sob pressão interna dependem das pressões
aplicadas e do raio do elemento. A pressão P, criada pelo ajuste por pressão, pode ser obtida
pela deformação do material, causada pela interferência:
Pr
E
r r
r r
r
E
r r
r ri
o
o
oo
i
i
i
=+−
+
+ +
−−
052 2
2 2
2 2
2 2
. δ
ν ν
(3.35)
EIXO
CUBO
ri
r r
ro
∆r
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
89
No qual δ=2∆r é a interferência diametral total entre as partes, r é o raio nominal da
interface entre as partes, r i é o raio interno do eixo (se o mesmo for tubular) e ro é o raio
externo relativo ao cubo do acessório, como mostra a Figura 3.7. E e ν são o Módulo de
Young e o Coeficiente de Poisson dos materiais de ambas as partes, respectivamente.
O torque máximo a ser transmitido por um ajuste por interferência, pode ser definido
em função da pressão P na interface, a qual cria uma força de atrito em relação ao raio do
eixo.
PLrT µπ 22= (3.36)
No qual L é o comprimento do cubo do elemento acoplado radialmente ao eixo, r é o
raio do eixo, e µ é o coeficiente de atrito entre o eixo e o cubo. A norma da AGMA sugere
valores para µ entre 0,12 e 0,15, para acessórios expandidos hidraulicamente; e entre 0,15 e
0,20, para acessórios montados sob pressão. A norma AGMA assume (e recomenda) uma
superfície de rugosidade igual a 32 µin rms (1,6 µm Ra), a qual requer um bom acabamento
das partes. As equações 3.35 e 3.36 podem ser combinadas, para fornecer a expressão que
define o torque obtido a partir de uma particular interferência, coeficiente de atrito e
geometria:
TLr
E
r r
r r E
r r
r ri
o
o
oo
i
i
i
=+−
+
+ +
−−
π µδ
ν ν1 12 2
2 2
2 2
2 2
(3.37)
A pressão P é utilizada para obter o estado de tensão, radial e tangencial, em cada
parte.
Para o eixo, tem-se:
σTEi
i
Pr r
r r= − +
−
2 2
2 2 (3.38)
σRE P= − (3.39)
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
90
No qual r i é o raio interno de um eixo tubular. Se o eixo for sólido, r i será nulo.
Para o elemento associado ao eixo, tem-se:
σTAo
o
Pr r
r r= +
−
2 2
2 2 (3.40)
σRA P= − (3.41)
Este estado de tensão deve ser mantido abaixo do limite de escoamento do material
utilizado, de modo que a interferência possa ser mantida. Caso a interferência não suporte a
carga, o acessório provavelmente danificará o eixo.
Concentração de tensões ocorre devido à existência de uma tensão de compressão
neste tipo de montagem, principalmente nas extremidades do acessório, onde ocorre uma
variação abrupta entre o material comprimido e o não comprimido. A concentração de tensões
ocorre, principalmente, nos cantos vivos, e pode ser reduzida com o uso de um entalhe
circunferêncial no elemento associado, em uma região próxima ao eixo. Tais entalhes
aumentam a resistência do acessório em fletir com o eixo, e ainda minimizam o acúmulo de
tensões.
A Figura 3.8 mostra algumas curvas de fatores de concentração de tensão para ajustes
por interferência entre eixos e acessórios. Os valores nas abcissas são as razões entre os
comprimentos dos acessórios e os diâmetros dos eixos. Estes fatores geométricos de
concentração de esforços são aplicados da mesma maneira que antes. Para carregamentos
estáticos, devem ser usados para determinar se o limite local irá comprometer a interferência.
Para carregamentos dinâmicos, variam para cada material, fornecendo o fator de fadiga para
concentração de tensão.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
91
Figura 3.8 - Concentração de Tensão em Montagem com Interferência.
3.2. PROJETO DE VOLANTES
Um volante é usado para suavizar variações na velocidade, geralmente causadas por
flutuações de torque. Muitas máquinas estão sujeitas aos carregamentos que causam a
variação da função do torque no tempo. Pistões de compressores, prensas de estampagem,
trituradores de rochas, etc., possuem carregamentos variáveis no tempo. O motor primário
também pode introduzir oscilações no torque do eixo transmissor. Motores de combustão
interna com um ou dois cilindros são um exemplo. Outros sistemas podem apresentar fontes
de torque e de carregamento suaves, como um gerador elétrico, acionado por uma turbina a
vapor. Estes dispositivos não necessitam de um volante. Se a fonte do torque ou do
carregamento possui uma natureza flutuante, então o volante é normalmente utilizado.
Um volante é um dispositivo armazenador de energia. Ele absorve e armazena energia
cinética quando acelerado, restituindo energia ao sistema quando necessário, através da
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
92
diminuição de sua velocidade rotacional. A energia cinética Ek em um sistema rotativo é dada
por:
2mI
2
1 ω=kE (3.42)
No qual Im é o momento de inércia de todas as massas rotativas do eixo, na direção de
rotação, e ω é a velocidade rotacional do eixo. O momento de inércia Im inclui o motor e
qualquer outra massa rotativa com o eixo, além do volante.
Volantes podem ser simples, como um disco cilíndrico de um material sólido, ou um
dispositivo com raios, cubo e coroa. Este último arranjo é mais eficiente para qualquer
material, especialmente para grandes volantes, uma vez que concentra a maior parte da massa
na borda, ou ainda, na extremidade de maior raio. Desde que o momento de inércia de massa
Im de um volante é proporcional a mr2, a massa localizada em um raio maior apresenta um
efeito de inércia muito mais acentuado. Se for assumida uma geometria de disco sólido, com
raio interno r i e raio externo ro, o momento de inércia de massa é:
( )Im = +m
r r i2
02 2 (3.43)
A massa de um disco circular vazado, de espessura constante t é:
( )trrgg
Wm i
220 −== γπ (3.44)
Substituindo (3.44) na equação (3.43), obtem-se uma expressão para Im, em função da
geometria do disco:
( )Im = −π γ2
04 4
gr r ti (3.45)
No qual γ é a densidade de peso do material, e g é a constante gravitacional.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
93
Existem dois estágios no projeto de um volante. No primeiro estágio, a quantidade de
energia exigida, para o grau de suavidade desejado, deve ser estimada, e o momento de inércia
necessário para absorver esta energia deve ser determinado. Então, no segundo estágio, a
geometria do volante deve ser definida, para suprir o momento de inércia de massa em um
elemento de dimensão razoável e, ao mesmo tempo, seguro contra falhas em velocidades de
projeto.
3.2.1 Variação da Energia em um Sistema Rotativo
A Figura 3.9 mostra um volante, projetado como um disco circular plano, vinculado a
um eixo de motor. O motor fornece um torque de magnitude Tm, o mais constante possível, ou
seja, próximo ao valor do torque médio Tavg. Assume-se que o carregamento, após o volante,
demande um torque Tl, variante no tempo. Esta variação de torque pode causar a variação da
velocidade do eixo, dependendo da característica torque-velocidade do motor de acionamento.
Necessita-se determinar o momento de inércia Im a ser acrescentado, na forma de um volante,
para reduzir a variação da velocidade do eixo a um nível aceitável no sistema.
Figura 3.9 - Volante em um eixo de Transmissão.
Pela Lei de Newton, para o diagrama de corpo livre da figura 3.9:
αmI=∑T então αmI=− ml TT (3.46)
Sabe-se que o ideal seria um valor médio constante para o torque:
avgm TT = ou ainda αmI=− avgl TT (3.47)
Motor Eixo
Volante
Tm
Tl
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
94
Substituindo α na expressão (3.47):
θωωθ
θωωα
d
d
dt
d
d
d
dt
d =
== (3.48)
θωω
d
dTT avgl mI=− e então ( ) ωωθ dIdTT mavgl =− (3.49)
Integrando (3.49) obtem-se:
( ) ∫∫ =−→
→
max
min
max
minmI
ω
ω
ωθ
ωθωωθ ddTT avgl ou ( )
→
→−=−∫
2min
2maxmI
2
1max
minωωθ
ωθ
ωθdTT avgl (3.50)
O lado esquerdo da expressão (3.50) representa a variação na energia cinética Ek, entre
os valores máximo e mínimo da velocidade angular ω do eixo, sendo igual à área do diagrama
torque-tempo, entre os valores extremos de ω.
O lado direito da equação (3.50) é a variação da energia cinética armazenada no
volante. Para extrair a energia cinética do volante deve-se desacelerá-lo. É impossível obter
uma velocidade exatamente constante do eixo, em face de demanda de energia variável
devido à carga. É possível, contudo, minimizar a variação da velocidade (ωmax - ωmin) através
de um volante, com Im suficientemente elevado.
3.2.2 Determinação da Inércia de um Volante
Trata-se de determinar as dimensões de um volante, necessárias para absorver a
variação de energia cinética, com uma variação aceitável de velocidade angular ω. A variação
da velocidade do eixo, durante um ciclo, é chamada de flutuação Fl:
Fl max min= −ω ω (3.51)
Normalizando a flutuação para uma razão admensional, dividindo-a pela média da
velocidade do eixo, obtem-se o coeficiente de flutuação Cf :
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
95
( )Cf
max min
avg
=−ω ω
ω (3.52)
Este coeficiente de flutuação é um parâmetro de projeto a ser definido pelo projetista.
É tipicamente utilizado um valor entre 0,001 e 0,05 para máquinas de precisão e, de 0,20 para
máquinas de triturar ou de martelar, o que corresponde de 1 a 5% de flutuação na velocidade
do eixo. Quanto menor o valor selecionado, maior deverá ser o volante. Por sua vez, um
volante maior acarretará maior custo, acrescentando mais peso ao sistema, fatores estes a
serem considerados, em detrimento da suavidade da operação desejada.
A variação requerida na energia cinética Ek, através da integração da curva do torque:
( ) kavgl EdTT =−∫ θωθ
ωθ
max
min
@
@ (3.53)
Igualada ao lado direito da equação (3.50):
( )2min
2max2
1 ωω −= mk IE (3.54)
Fatorando esta expressão:
( )( )minmaxminmax2
1 ωωωω −+= mk IE (3.55)
Se a função torque x tempo for puramente harmônica, então seu valor médio pode ser
expresso como:
( )2
minmax ωωω +=avg (3.56)
As funções de torque raramente serão harmônicas puras, porém o erro introduzido
através do uso da expressão (3.56), como uma aproximação da média, é aceitável.
Substituindo as equações (3.52) e (3.56) na equação (3.55), obtemos uma expressão para o
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
96
momento de inércia de massa Is, necessário ao sistema rotativo completo, para se obter o
coeficiente de flutuação selecionado.
( )( )avgfavgsk CIE ωω22
1= ou ainda 2avgf
ks
C
EI
ω= (3.57)
A equação (3.57) pode ser usada para projetar o volante físico, através da escolha de
um coeficiente de flutuação Cf adequado, e do valor de Ek, obtido de uma integração numérica
da curva de torque, além da velocidade angular ω média do eixo, para calcular o Is necessário
do sistema. O momento de inércia de massa Im do volante físico é, então, igualado ao
momento de inércia requerido do sistema Is. Porém, se os momentos de inércia de massa dos
demais elementos rotativos do eixo (como o motor) são conhecidos, o momento Im do volante
físico pode ser reduzido.
O projeto mais eficiente de volante, em termos da maximização do momento de
inércia Im, para um mínimo de material utilizado, é tal que a massa seja concentrada na sua
coroa, e seu cubo seja suportado por raios, como uma roda de carruagem ou bicicleta. Desta
forma, a maior parte da massa localiza-se a uma distância maior possível do cubo,
minimizando o peso para um dado Im. Mesmo que um projeto de volante circular plano seja
escolhido, por simplicidade de manufatura, ou para se obter uma superfície plana para outras
funções (como uma embreagem de automóvel), o projeto deve ser feito com a devida atenção
para a redução do peso e, consequentemente, do custo.
Como, geralmente, Im = mr2, um disco estreito e de grande diâmetro exigirá menor
massa de material, para obter um certo valor de Im, que um disco mais espesso e de diâmetro
menor. Materiais densos, como ferro fundido e aço, são as melhores escolhas para um volante.
O alumínio é raramente empregado e, apesar de muitos metais (chumbo, ouro, prata, platina)
serem mais densos que o ferro e o aço, raramente se conseguirá a aprovação do departamento
financeiro para o uso destes em volantes.
3.2.3 Tensões em Volantes
Conforme um volante gira, a força centrífuga atua em sua massa distribuída, tentando
puxá-la para fora. Estas forças centrífugas são similares àquelas causadas por uma pressão
interna em um cilindro. Deste modo, o estado de tensão em um volante girando, é análogo a
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
97
um cilindro de parede espessa sob pressão interna. A tensão tangencial em um volante sólido,
na forma de disco, em função de seu raio é:
++−++
+= 22
22222
3
31
8
3r
r
rrrr
goi
oit νννωγσ (3.58)
A tensão radial é dada por:
σγ
ων
r i oi o
gr r
r r
rr=
+
+ − −
2 2 2
2 2
223
8 (3.59)
No qual γ = densidade de peso do material, ω = velocidade angular em rad/sec, ν =
coeficiente de Poisson, r = raio de um ponto de interesse, r i e r0 = raios interno e externo do
volante sólido, respectivamente.
A figura 3.10 mostra como estas tensões variam ao longo do raio do volante. A tensão
tangencial é máxima no raio mais interno. A tensão radial, por sua vez, é nula nos raios
interno e externo, e seu valor máximo ocorre em um ponto interno, porém em uma posição
em que supera a tensão tangencial correspondente ao mesmo ponto. O ponto de maior
interesse é, portanto, no raio interno. A tensão tangencial de tração, neste ponto, é responsável
pela falha do volante e, quando ocorre à fratura, o volante fragmenta-se e explode, com
resultados extremamente desastrosos. Sendo as forças causadoras das tensões, funções da
velocidade rotacional, sempre haverá alguma velocidade em que o volante falhará. A
velocidade de operação mais segura deverá ser calculada para o volante, e algumas medidas
devem ser tomadas para impedir sua operação a velocidades mais altas, como um controle de
velocidade ou um limitador de velocidade. O fator de segurança contra o excesso de
velocidade de rotação pode ser determinado como o quociente entre a velocidade que causa
escoamento e a velocidade de operação, Nos = ωyield / ω.
Critério de Falha para o Volante
Se o volante passa a maior parte de sua vida útil, operando a uma velocidade
praticamente constante, então se pode considerar o carregamento estático, e o limite de
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
98
escoamento é utilizado como um critério de falha. O número de ciclos partida-parada, em seu
regime de operação, determinará se uma condição de fadiga no carregamento deve ser
considerada. Cada variação da velocidade, partindo do repouso, até a velocidade operacional e
vice-versa, constitue um ciclo de tensão flutuante. Se o número desses ciclos superar a vida
prevista em projeto do sistema, então o critério de falha por fadiga deve ser aplicado. Um
regime de fadiga de baixo ciclo requer uma análise de falha por fadiga baseada na
deformação, ao invés de tensão, particularmente se existe a possibilidade de qualquer excesso
de carregamento transiente, que possa causar tensões locais excessivas, superando o limite de
escoamento nas localidades de concentrações de tensão.
(a) (b)
Figura 3.10 - Distribuição de tensão tangencial (a) e radial (b).
3.3. ACOPLAMENTOS
3.3.1 Introdução
Os acoplamentos são utilizados para unir subsistemas ou componentes de máquinas
rotativas. Se os acoplamentos forem projetados apropriadamente, eles podem diminuir a
sensibilidade relativa ao desalinhamento que existe entre os componentes acoplados. Uma
ampla variedade de acoplamentos axiais comerciais entre eixos está disponível, desde
acoplamentos rígidos, até projetos mais elaborados, que utilizam engrenagens, elastômeros,
ou fluidos para transmitir torque entre eixos, ou para outros dispositivos, quando na presença
de vários tipos de desalinhamentos. Os acoplamentos podem ser, de modo geral, divididos em
duas categorias: rígidos e flexíveis. Acoplamentos flexíveis, dentro deste contexto, incluem os
acoplamentos que podem absorver algum desalinhamento entre dois eixos, enquanto que para
acoplamentos rígidos, nenhum desalinhamento é permitido entre os eixos conectados.
Raio do Volante
Raio do Volante Tensão Tangencial
Tensão Radial
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
99
O desalinhamento entre os rotores é uma condição na qual as linhas de eixo destes não
são geometricamente coincidentes. Existem três tipos de desalinhamentos entre os rotores: o
paralelo, o angular, e o axial. Entretanto, na realidade, o desalinhamento entre rotores é uma
combinação dos três tipos de desalinhamento (paralelo, angular, e axial) como é mostrado na
Figura 3.11. O alinhamento perfeito entre os rotores acoplados é difícil de ser obtido devido a
muitos fatores práticos, e ainda se obtido, é difícil de ser mantido durante o tempo de
operação dos sistemas mecânicos. O grau de desalinhamento entre eixos permitido pelos
acoplamentos é variável, e depende do tipo de acoplamento usado. O desalinhamento pode
causar forças radiais que atuam sobre o sistema. Se estas forças radiais forem consideráveis,
os componentes tais como os mancais, selos e eixos, poderiam sofrer tensões indevidas, e
falhar prematuramente. Os materiais mais flexíveis exercem forças radiais menores do que as
exercidas pelos materiais mais rígidos.
A freqüência natural de um sistema pode ser alterada através da variação da inércia de
qualquer um de seus componentes, ou da rigidez do acoplamento usado. Depois que um
sistema é projetado, torna-se difícil e custoso alterar a inércia dos componentes. Portanto, a
seleção do acoplamento é usada para alterar a freqüência natural do sistema.
Em resumo, as funções dos acoplamentos mecânicos podem ser: transmissão de
potência, facilitar a montagem e desmontagem das máquinas, isolar e amortecer as vibrações
torcionais, permitir o movimento axial devido à expansão ou contração térmica, absorção do
movimento axial para prever o carregamento axial ou manter a peça alinhada, permitir
desalinhamento angular, paralelo ou misto. Entretanto, se o desalinhamento não for
minimizado, as conseqüências podem ser: ruído, vibração, perda de potência, rápido desgaste
dos mancais, selos e montagens, dano ou falhas das engrenagens, falha por fadiga do eixo e
falha do acoplamento.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
100
Desalinhamento Paralelo
Desalinhamento Axial Desalinhamento Angular
Desalinhamento Real
DesalinhamentoAxial
DesalinhamentoAngular
DesalinhamentoParalelo
DesalinhamentoTorcional
Figura 3.11 - Tipos de desalinhamento entre eixos acoplados.
3.3.2 História dos Acoplamentos Mecânicos
O desenvolvimento dos acoplamentos está intimamente relacionado com o
desenvolvimento da roda, ainda que só tenha ocorrido a quase cinco milênios depois.
Enquanto os primeiros registros de rodas datam de 5000 A.C., os acoplamentos não
antecedem os 300 A.C., sendo utilizados pelos Gregos, os quais correspondiam a uma junta
universal. Os Chineses foram os primeiros a utilizar este conceito aproximadamente em 25
D.C..
A origem dos modernos acoplamentos é delegada a Jerome Cardan, que no século 16
inventou um mecanismo composto por dois braços de ligação, uma cruz e quatro mancais.
Este acoplamento foi o antecessor comum de todos os acoplamentos flexíveis, e atualmente
ainda é utilizado, e continuamente melhorado com a tecnologia. Porém, ele não projetou a
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
101
junta que leva seu nome, Junta Cardan, tendo desenvolvido apenas um de seus componentes.
A Junta Cardan também é conhecida como “Junta Hooke”. A primeira aplicação para esta
junta foi desenvolvida por Robert Hooke por volta do ano de 1650, quando também
equacionou as flutuações na velocidade angular causadas por uma Junta Cardan.
No século subseqüente, quase não há registros de avanços nos acoplamentos. Estes só
começaram a surgir novamente com a Revolução Industrial, e especialmente, com a revolução
automobilística, que motivou o desenvolvimento de muitos acoplamentos flexíveis. Roots F.
(1886), teorizou que, em se afinando a seção da flange de um acoplamento rígido, esta poderia
ter certa flexibilidade que preveniria falhas para o equipamento e o eixo. Esta idéia foi a
precursora dos acoplamentos de diafragma atuais. O acoplamento de compressão de Davis foi
desenvolvido para eliminar o uso de chavetas, através do uso de cubos em compressão sobre
os eixos, acreditando-se que eram os mais seguros. Acredita-se que o primeiro acoplamento
de correntes foi aquele descrito em maio de 1914, na revista Americana “Scientific
American”.
Na década de 20, a indústria dos acoplamentos flexíveis expandiu-se rapidamente,
motivada diretamente pela invenção do automóvel. Surgiram muitos novos modelos e
empresas especializadas no assunto, entre eles as companhias “Thomas Flexible Coupling”,
“Ajax Flexible Coupling” e outras. Este desenvolvimento teve continuidade nas décadas de 30
e 40. Neste período, foram introduzidos os acoplamentos flexíveis de uso geral dentro do
mercado industrial. Entre os acoplamentos mais utilizados pode-se citar: de corrente, de
grade, de garras, de engrenagem, de disco, de bloco quadrado corrediço e a junta universal.
A partir da segunda metade da década de 40 até a década de 50, observou-se um rápido
avanço tecnológico e a introdução de equipamentos rotativos de maior porte e de maior
torque, levando à necessidade de acoplamentos com capacidade de maior torque e de
assimilação de maiores desalinhamentos. Neste período, foi desenvolvido por completo o
acoplamento de engrenagens de perfil envolvente, introduzido na indústria de aço. A
utilização de turbinas a gás em aplicações industriais (geradores, compressores) tornou-se
popular, e com isso tornaram-se necessários os acoplamentos com maiores velocidades de
operação. Portanto, os acoplamentos de engrenagens e de disco foram melhorados para suprir
essas necessidades. Entretanto, com o aumento da velocidade de operação, necessitou-se de
acoplamentos mais leves e com características torcionais. Esses acoplamentos com
características torcionais utilizam materiais como os elastômeros, que suavizam o
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
102
funcionamento do sistema, e em alguns casos, são capazes de absorver ou amortecer os
carregamentos de pico causados pelas oscilações torcionais.
Na década de 60 houve uma maior exigência em relação às máquinas rotativas com
maior torque e maiores velocidades de operação, observando-se a introdução de novos tipos
de acoplamentos. Alguns fabricantes lançaram acoplamentos de engrenagens padronizados,
muito utilizados no mercado. Os acoplamentos de grade e de corrente eram populares para as
aplicações gerais e os acoplamentos de pneus de borracha eram oferecidos em modelos
próprios por cada fabricante. Durante este período, foram introduzidos acoplamentos de
elastômeros sofisticados para resolver os diferentes problemas que eventualmente surgiam nos
sistemas. A utilização de acoplamentos sem lubrificação cresceu rapidamente neste período,
ou seja, até a primeira metade da década de 80.
Os avanços nos acoplamentos desde a segunda metade da década de 80 até os dias
atuais ficaram por conta da melhoria dos materiais, da análise através dos elementos finitos e
novos métodos de fabricação. Os acoplamentos sem lubrificação, ao serem projetados através
da análise de elementos finitos, são mais confiáveis e tem maiores capacidades. Os avanços
nos equipamentos de controle numérico (CNC), permitiram o desenvolvimento de
acoplamentos de diafragma de uma só peça, eliminando-se, dessa forma, a utilização da solda.
A otimização da forma e a melhoria nos materiais dos elastômeros do projeto permitiram
maior capacidade e maior tempo de vida útil nos acoplamentos de elastômeros.
Atualmente, tem-se, principalmente, o desenvolvimento de micro-mecanismos, além
de melhorias contínuas nos acoplamentos já em uso, direcionados para aplicações específicas
em miniaturas (servomecanismos, equipamentos de oficina, e mecanismos pequenos), ou
então para acoplamentos com excessivas exigências de potência.
3.3.3 Classificação dos Acoplamentos Mecânicos
No mercado há uma vasta variedade de acoplamentos mecânicos disponibilizados, os
quais, em geral, são agrupados em acoplamentos rígidos e acoplamentos flexíveis. Este
segundo grupo é dividido em vários subgrupos. Rivin E.(1986), propôs uma classificação dos
acoplamentos considerando a função do acoplamento nos sistemas de transmissão. Nessa
classificação ele subdividiu os acoplamentos flexíveis em: Acoplamentos com compensação
de desalinhamento, Acoplamentos torcionalmente flexíveis e Acoplamentos de propósito
mistos.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
103
Marangoni R., Xu M. (1990) classificaram os acoplamentos flexíveis em 4 tipos, de
acordo com seus princípios de operação, denominando cada grupo como: Acoplamentos
mecanicamente flexíveis; Acoplamentos de membranas metálicas; Acoplamentos de
elastômeros; Acoplamentos de miscelâneas (mistos). Childs D., et al. (1992), agruparam os
acoplamentos em 3 grandes grupos, sendo que os 2 últimos grupos correspondem aos
acoplamentos flexíveis: O primeiro deles não utiliza componentes intermediários entre as
superfícies em contato do acoplamento, além de uma camada de lubrificação, ou não,
dependendo da flexibilidade das superfícies em contato; O segundo grupo utiliza uma peça
intermediária de ligação entre as superfícies em contato do acoplamento. Esta peça pode ser
metálica, ou um elastômero, a qual tem características próprias de rigidez e amortecimento,
assim como suas condições de balanceamento. Hodowanec M. (1997), classificou-os em 2
tipos: acoplamentos flexíveis metálicos e acoplamentos flexíveis de elastômeros.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
104
Figura 3.12 – Classificação geral dos acoplamentos mecânicos
Finalmente Mancuso J. (1999), fez uma classificação de acoplamentos similar àquela
publicada por Xu M., Marangoni R. (1990), com a diferença de que Mancuso acrescenta uma
classificação das aplicações dos acoplamentos, como é mostrada na Figura 3.12. De acordo
com o texto anterior, não existe uma classificação única para os acoplamentos flexíveis, mas a
mais completa até o presente momento é a citada por Mancuso.
Acoplamentos Rígidos
Acoplamentos Flexíveis
Acoplamento Flexível
Miniatura
Acoplamento Industrial de
Propósito Geral
Acoplamento Industrial de Propósito Especial
Acoplamento Rígido de Flanges
Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - sem lubrificação
Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - dentes retos - dentes de envolvente Acoplamento por Corrente - corrente de aço - corrente de náilon Acoplamento por Grade - tampa bipartida verticalmente - tampa bipartida horizontalmente
Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - de maior ângulo (gear spindle) - altas velocidades (lubrificação
selada) - altas velocidades (lubrificação
continua) - altas velocidades (lubrificação
continua, tipo marinha)
Acoplamento Rígido Bipartido
Elemento Elastomérico - acoplamento elastomérico de
uretano
Elemento Elastomerico Em Cisalhamento - pneu de uretano - pneu com fibra - câmara toroidal partida Em Compressão - câmara toroidal - calços - garras(dentado) - pinos e buchas
Elemento Elastomerico Em Cisalhamento - elastômero aderido nos cubos Em Compressão - calços
Acoplamento Rígido de Luva
Elemento Metálico Acoplamento de viga metálica Acoplamento de disco metálico Acoplamento de sanfona
metálico
Elemento Metálico De Disco - disco circular - disco quadrado - disco curvado (Scalloped) - discos articulados
Elemento Metálico De Disco - de momento reduzido(Scalloped) - tipo da marinha (Scalloped) - arranjo de discos De Diafragma - cônico (soldada) - de peça única - retas múltiplas - de convolutas múltiplas
Acoplamento Rígido de eixo oco
Miscelâneas - de pino e bucha - de viga metálica - de bloco quadrado corrediço
Miscelâneas - tipo excêntrico (Schmidt) - de mola tangencial
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
105
3.3.3.1 Acoplamentos Rígidos
Acoplamentos Rígidos travam os dois eixos conectados, não permitindo movimento
relativo entre eles, apesar de algum ajuste axial ser possível na montagem.
Estes acoplamentos são utilizados quando não há desalinhamento ou quando este
desalinhamento é muito pequeno, ou ainda, quando os eixos do equipamento ou do
acoplamento (rígido de eixo vazado) são muito robustos, ou seja, longos e suficientemente
finos para que possam flexionar e assimilar as forças e os momentos de reação produzidos
pela deflexão mecânica dos acoplamentos rígidos, impostas pelo desalinhamento. Nestes
casos, estes acoplamentos são muito eficientes na conexão de equipamentos. Em geral, estes
acoplamentos permitem a transferência de potência de uma peça para outra do equipamento.
Eles permitem também a conexão de eixos de diferentes dimensões.
São aplicados na união de eixos perfeitamente alinhados, quando precisão e fidelidade
na transmissão do torque são de extrema importância, como por exemplo, quando a relação de
fase entre dispositivos acionadores e os acionados deve ser precisamente mantida. Máquinas
de produção automatizadas, acionadas por longos eixos lineares, geralmente utilizam
acoplamentos rígidos, entre seções de eixos, por esta razão. O alinhamento entre eixos
acoplados deve ser ajustado com precisão, para evitar a introdução de grandes forças laterais e
momentos, quando o acoplamento é posicionado.
Alguns exemplos de acoplamentos rígidos comerciais são ilustrados a seguir. Há três
tipos principais: acoplamento por engrenamento plano, acoplamento por flanges e
acoplamento bipartido.
Acoplamentos por engrenamento plano ou bucha: utilizam um parafuso de elevada
dureza, que perfura o eixo para transmitir torque e carregamento axial. Estes acoplamentos
são recomendados somente para aplicações de carregamento leve, podendo afrouxar-se com
maiores níveis de vibração.
O acoplamento rígido de bucha (com ou sem luva) é uma das mais simples formas de
acoplamentos, utilizada para transmissões de frações de 1 hp, na qual os eixos conectados são
de mesmo diâmetro, sendo que estes acoplamentos são fixados nos eixos por parafusos. Na
indústria, não há um padrão para este tipo de acoplamento, sendo que os de maiores
dimensões são fornecidos com buchas substituíveis para montagem e desmontagem. Os
acoplamentos mais simples são utilizados nas transmissões motor-bomba e os mais
sofisticados para aplicações de maior torque, como eixos de propulsão da marinha.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
106
Figura 3.13 - Acoplamento por Engrenamento Plano ou Bucha.
Acoplamento por flanges: utiliza chaveta convencional e pode transmitir um torque
substancial. Parafusos são geralmente utilizados em combinação com a chaveta, estando
localizados a 90o da chaveta. Para fixação própria contra vibração, um parafuso de pressão
com ponta cavada é utilizado para atravessar o eixo. Para maior segurança, o eixo pode ser
provido de um furo raso vazado, sob o parafuso de pressão, para fornecer uma interferência
mecânica contra um deslizamento axial, ao invés de contar somente com o atrito.
Os acoplamentos de flanges rígidas são provavelmente o tipo mais comum de conexão
rígida. Seu projeto é limitado pelo número, tamanho e tipo de parafuso usado. Nas diferentes
análises de tensão, que usualmente são consideradas, os limites deveriam considerar as
tensões nos parafusos, cubos e nos flanges. Estes acoplamentos podem ser usados quando não
há desalinhamento ou quando estes forem virtualmente nulos. Algumas aplicações são as
bombas (verticais, horizontais) e as transmissões de guindastes.
Figura 3.14 - Acoplamento por Flanges.
Acoplamentos bipartidos: existem diversos projetos, sendo mais comuns os
acoplamentos de uma-ou-duas-partes bipartidas, que se ajustam ao redor de ambos eixos,
transmitindo torque através do atrito. O acoplamento rígido bipartido é usado onde a
facilidade de montagem e desmontagem é requerida. O eixo e o cubo do acoplamento são
geralmente chavetados. As duas metades são unidas rigidamente por parafusos radiais na
região segmentada, cujo número de parafusos pode variar dependendo do tamanho do
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
107
acoplamento. O torque é transferido de uma metade para outra, pela força de atrito produzida
pelos parafusos. Estes acoplamentos são amplamente utilizados para aplicações de baixo
torque e baixa velocidade, tais como em bombas verticais, agitadores, transmissão de guincho
e muitos outros tipos de aplicações.
3.3.3.2 Acoplamentos Flexíveis ou de Compensação.
Os acoplamentos flexíveis unem dois eixos de equipamento rotativos, enquanto
permitem algum grau de desalinhamento ou movimento relativo dos extremos dos eixos. As
três funções básicas deste tipo de acoplamento são: transmitir potência de uma máquina para
outra sob a forma de torque numa dada velocidade (dependendo das características do
acoplamento, a eficiência da transmissão será melhor ou pior); assimilar o desalinhamento
entre as linhas de centro dos eixos conectados, que podem ser paralelo, angular, ou misto,
sendo este último o que mais ocorre na realidade; compensar o movimento axial nos extremos
dos eixos conectados, sendo também possível restringí-los. Além das funções básicas
descritas, os acoplamentos flexíveis podem ter outras funções como: amortecer a vibração e
reduzir as cargas de choque ou pico; proteger o equipamento de sobrecargas; medir torques de
saída no equipamento acionado; isolar o equipamento motriz do equipamento acionado;
posicionar o rotor de um motor ou gerador, e para posicionar o sistema fora de seu modo
crítico torcional.
Um eixo, considerado como um corpo rígido, tem seis graus de liberdade, em relação a
um segundo eixo. Porém, devido à simetria, somente quatro desses graus de liberdade são de
interesse. Eles estão associados ao desalinhamento axial, angular, paralelo e torcional, como
mostrado na figura 3.11. Estes podem ocorrer separadamente ou em combinação, e podem
estar presentes na montagem, devido às tolerâncias de manufatura, ou podem ocorrer durante
a operação, devido aos movimentos relativos dos dois eixos.
Mesmo que o alinhamento entre os eixos adjacentes seja preciso, podem ocorrer
desalinhamento axial, angular e paralelo, em qualquer máquina em funcionamento. O
desalinhamento torcional ocorre, dinamicamente, quando a carga acionada tende a prender o
motor acionador. Se o acoplamento permite qualquer folga angular, haverá recuo quando o
torque inverter de sinal. Isto é indesejável no caso da necessidade de precisão da fase, como
em servomecanismos. Flexibilidade torcional, em um acoplamento, pode ser desejável, se
grandes carregamentos de choque, ou vibrações torcionais, devem ser isoladas entre os eixos.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
108
Numerosos projetos de acoplamentos flexíveis são produzidos, oferecendo cada um,
uma diferente combinação de características. O projetista, geralmente, pode selecionar um
acoplamento adequado e disponível comercialmente, para qualquer aplicação. Acoplamentos
flexíveis podem ser divididos em diversas subcategorias, que estão listadas na Tabela 3.4,
juntamente com algumas de suas características.
Tabela 3.4 - Tipos de Acoplamentos - Tolerância de Desalinhamento.
Classe Axial Angular Paralelo Torcional Comentário
RÍGIDO grande nenhum nenhum nenhum alinhamento
preciso
ELÁSTICO DE
PINOS suave
suave
(< 2 graus)
suave
(3% d) moderado
absorção de
choque e recuo
ENGRENAGEM grande suave
(< 5 graus)
suave
(< 0.5% d) nenhum
recuo suave e
capacidade de
torque elevada
RANHURAS grande nenhum nenhum nenhum
recuo suave e
capacidade de
torque elevada
HELICOIDAL suave grande
( 20 graus)
suave
(< 1% d) nenhum
peça compacta,
sem recuo
BELLOWS suave grande
( 17 graus)
moderado
(20%d) nenhum
sujeito à falha
por fadiga
DISCO
FLEXÍVEL suave
suave
( 3 graus)
suave
( 2% d)
suave ou
nenhum
absorção de
choque, sem
recuo
HOOKE nenhum grande grande
(aos pares) nenhum
variação de
velocidade e
recuo suave
RZEPPA nenhum grande nenhum nenhum velocidade
constante
Acoplamentos com elemento elástico deformável: apresenta dois cubos (geralmente
idênticos) com pinos sobressalentes, como mostrado na Figura 3.15 (a) e (b). Estes pinos
encaixam-se axialmente, e engrenam torcionalmente através de um complemento flexível de
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
109
borracha ou metal-leve. A folga permite algum desalinhamento axial, angular e paralelo, mas
pode também permitir algum recuo indesejável.
(a)
(b)
Figura 3.15 - Acoplamento Elástico de Pinos: (a) Oldham e (b) Teteflex.
Acoplamentos de Discos Flexíveis: são similares ao anterior, pois seus dois cubos são
ligados por um membro flexível (disco) de elastômero ou metal elástico, como mostrado na
Figura 3.16. Estes acoplamentos permitem desalinhamento axial, angular e paralelo, com
alguma flexibilidade torcional, porém, permitem pouco ou nenhum recuo.
Figura 3.16 - Acoplamento de Discos Flexíveis.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
110
Acoplamentos de engrenagens e ranhuras: utilizam dentes retos ou curvos
engrenados com dentes internos, como mostrado na Figura 3.17 (a). Permitem movimento
axial substancial entre eixos e, dependendo da forma do dente e das folgas entre eles, podem
absorver pequenos desalinhamentos angulares e paralelos. Possuem alta capacidade de torque,
devido ao número de dentes no engrenamento.
(a) (b) (c) (d)
Figura 3.17 - Acoplamentos Flexíveis: (a) de Engrenagens, (b) Tipo Bellows, (c) Junta Universal e (d) Helicoidal.
Acoplamentos Helicoidais e Tipo Bellows: são empregados em projetos que utilizam
suas deflexões elásticas para permitir desalinhamentos axial, angular e/ou paralelo, com
pouco ou nenhum recuo. Acoplamentos Helicoidais (Figura 3.17 (d)) são feitos de um cilindro
sólido de metal, cortado com uma fenda helicoidal para aumentar sua flexibilidade. Os tipos
bellows (Figura 3.17 (b)) são feitos de uma fina folha de metal, através da solda de uma série
de arruelas juntas. Estes acoplamentos têm capacidade de torque limitada, comparada a outros
projetos, mas oferece recuo zero e alta rigidez torcional, em combinação com desalinhamento
axial, angular e paralelo.
Juntas Universais: São de dois tipos comuns. O acoplamento Hooke (Figura 3.17
(c)), que não possui velocidade constante (CV) e o acoplamento Rzeppa, que possui
velocidade constante. Acoplamentos Hooke são, geralmente, usados aos pares para cancelar
seu erro de velocidade. Ambos os tipos podem lidar com grande desalinhamento angular e,
aos pares, podem fornecer grande compensação paralela também. Estes acoplamentos são
utilizados em eixos acionadores de automóveis.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
111
Figura 3.18 - Acoplamento de Molas.
3.3.4 Critérios para Seleção de Acoplamentos.
Os acoplamentos são de vital importância para um sistema de transmissão de
potência, mesmo que o seu valor monetário não supere no geral 10% do custo total do
sistema. Entretanto, muitos projetistas consideram os acoplamentos como se estes fossem
peças de hardware. O tempo gasto na seleção de um acoplamento e a determinação de sua
interação com o sistema deve ser não só função do custo do equipamento, mas também função
do tempo de substituição ou de reparo devido a uma falha ocorrida. Em alguns casos, esta
análise pode envolver um curto período de tempo com base em experiências anteriores.
Entretanto, um sistema complexo pode requerer uma análise por elementos finitos e
eventualmente possíveis testes com protótipos devem ser feitos.
O projetista de um sistema deve selecionar um acoplamento que seja compatível com
o sistema. A complexidade e o aprofundamento do processo de seleção dependerá do quão
crítico e quão custoso será a parada para o usuário final. Segundo Mancuso J. (1999), existem
usualmente 4 passos que deveriam ser considerados para uma apropriada seleção de um
acoplamento:
• Revisão dos requerimentos iniciais para um acoplamento flexível e seleção do
tipo de acoplamento que melhor satisfaz o sistema;
• Fornecer ao fabricante a informação pertinente, para que o acoplamento possa
ser apropriadamente dimensionado, projetado e fabricado para satisfazer essas
necessidades. No mínimo 3 itens são necessários para dimensionar um acoplamento:
potência, velocidade e informação da interface;
ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III
112
• Obter informação sobre as características do acoplamento, devido a interação
deste com o sistema que deve ser analisado, para garantir compatibilidade e prever o
surgimento de forças e momentos prejudiciais. Sendo o acoplamento selecionado,
dimensionado e projetado adequadamente, não é garantida uma operação sem problemas.
Os acoplamentos geram suas próprias forças e podem também amplificar as forças do
sistema, mudando as características originais do sistema ou as condições de operação.
Algumas características do acoplamento que podem interagir com o sistema são: rigidez e
amortecimento torcional, folga, massa, efeito da rotação do volante do acoplamento,
centro de gravidade, quantidade de desbalanceamento, força axial, momento de flexão,
rigidez lateral, freqüências naturais axial, lateral e torcional. O efeito da rotação do volante
de um acoplamento é o produto da massa do acoplamento pelo quadrado do raio de
rotação (raio no qual a massa do acoplamento pode ser considerada concentrada);
• Verificar a interação com o sistema, e se as condições do sistema se alterarem,
deve-se contatar o fabricante para que as novas condições e seus efeitos sobre o
acoplamento selecionado possam ser analisadas. Repetir este processo até o sistema e o
acoplamento serem compatíveis. As características do acoplamento são utilizadas para a
análise do sistema axialmente, lateralmente, térmicamente e torcionalmente.
Uma razão importante para o balanceamento do acoplamento, é devido às forças
geradas pelo desbalanceamento do mesmo, as quais poderiam ser prejudiciais para o sistema
(equipamentos, mancais e estrutura de suporte). Existem na indústria 4 padrões de
balanceamento, que são mais freqüentemente utilizados para acoplamentos: API671,
AGMA9002, ANSI S2 19-1989, e ISO1940/1(1a edição, 1986-09-01). De todos eles, somente
um foi especificamente escrito para acoplamentos AGMA9002. Os outros três padrões usam
tolerâncias que foram desenvolvidas para rotores ou outras peças rotativas.