����������������
�
Ti me allowed : 3 hours
f.:mfftrr-'ff1fll:3�
Maximum Marks: 10010 � '3icFi: 100
CBSE PREVIOUS YEAR QUESTION PAPER
CLASS XII
�
���
���� ���������� ������ ���� ��� *+���"%&��� ��������� ��� ���� �������� ��(���� ���� ��� � )�������������� ����
��� �����������������������*+���"%&������������������������������(����������� � )��������������� ����
���� %&��� � ,�������-.������� �� � ������������� ���������'�� � �,)�
�� ������ �������� �� �
��� ����������������������������
���� �������������������������������������������������������
����� ������������������������ ���������!������"�������!����������������!��#����������
���� ������������������������� ��������#"���������!����������������!��#����������
��� ������������������������� ��������#"����������!����������������!��#�����������
���� ����������� ����������������$����%��������������$�%������������#����
����������������
��� ��������������������
���� �������������� �� ���!����"�#���� �����������
����� ������������������������$"%&���'����������������(������������)��������������
"
����� ��
�#� $!��%�&
������!���������"�� �#���� ��������������$�
'�� ����������� �������(���)������*���(��
�� ���� i j k∧∧ ∧→
� � �a 4 �#����� i j k→ ∧∧ ∧� � �b 2 2 ���7�����1��������������� 8������"��$7����� ���
a b→→
� ���������������
$�� i j k∧∧ ∧→
� � �a 4 ���� i j k→ ∧∧ ∧� � �b 2 2 #�� �������������������������������� �
������� a b→→
� �
�� ��#�������8������"��$7��(� ���
( ) ( )i j i j∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ →
� � � �� �� � 3 9k 3 0k ����
"�������������
( ) ( )i j i j∧ ∧∧ ∧ ∧ ∧ →
� � � �� �� � 3 9k 3 0k �
"� ��� � ( )i j k∧∧ ∧→
� � � �r 0. 2 5 �9����� �"�����#:����� ���� ���0��� %$�#��;-�&����� �������%� � �-$
%������ ��������������������������� �� ������� ( )i j k∧∧ ∧→
� � � �r 0. 2 5 ����� �
� ����&��
+
+� ������ ������������ ���� � $� ����-�����"����2�� ��������!�&�'
'��!�&��
���'!��&�(
����#�9�"��� ���<"���� �����������#�� �� ��������������������
��!�&�'
'��!�&��
���'!��&�(
�����������������)
�� ����*�$�����������#�=�3������!�� ��*����*����7��������������� � �-$ $��*������������&������*����*�#�� ���������� ������������
� ���� cos sinA
sin cos
�
�� ���7� ���� � 0 < <
2�
� ������ �����0�� ������� 1� �� � ���� ���� 8���
��"��$����� T2A A 2 I� � ���7�����*�#�*���������1�4���
$��cos sin
Asin cos
�
�� #� ������ ��� ���� 0 < <
2�
� � �� ��� T2A A 2 I� � +
� ����*��������������*�
����� �%�#� $!��%�,
������!���-�����.�"�� �#���� �������+������$��'�� ����������� �-�����.�(���)�+����* ���(��
-� $���!� ��,�����(��>�����!��'���� "�%�����������(����$���#?��!� ��-��������>�����!������� "%��������� ������%����������@)����A�(�������,!��������B�����"�$���!� �������������� "�%�4�����$���>���� �!�� $��� ��� "� ���4� %�C � � ���������� 8���� ��"��$� ���� ����� "� %�4� %������ !� ��-����� ������� "�%�4����
�
/� �(����*/��#�1#�(0�����(���#����./�#���#��0��!���/'#���#���0�������� ����1� "����-�����&�� ��%$� �(�����������������4�������8������"��$ ��#�;����-��.�������(����*����������(�(�8�����"��$ "���� � �� ���������� ��� � �� ����� ��� ������������� ����� ����� � �� �����*/��#�1#�(0����� �������2�������� ��������./�#���#��0�����/'#���#���0���3���������� ����������� ��������*����� �������.��
.� ����4�$����������(����*/(#��#��0#�./�#���#���0#��/�#�4#�(0�#�����5/�(#�(#�(0���� "����� 6 ���� ��� �������������*/(#��#��0#�./�#���#���0#��/�#�4#�(0����5/�(#�(#�(0����������
�0� #1�� ���"����2�'!���������/!�'������0�!��
���� �1����0�� � � 8������"��$��(���� �������� ���7�����������7�����!����� "����� ����������������������� ���������������������
'!���������/!�'������0�!��
������� ������� ���!���
�&��
*��!��.�(���"�(���"������������$������&/�������*)�����������(���������*����������4�$�������������#����1��"���D��#�����������%�������E�������-���������"����"��� ����������*�-���������F���������� *������ "���� ��"� ������;� ���������$��8���� ��"��$�*����,��������(������������'���������#�������������-���������������������������������!��������������/��������������0�� ��������������������������������������������������������� "�����������������������������������������-�
!�
*����.������������������������#�������������������������������������������"������������������������������������#����*����������
��� ��'�� #1�� � ��"����2�� ���� �1����0�� � � 8���� ��"��$7� ����� ��� ���� �(� ������7� ���!�����
x y xyx x
���
�
d cos
d 1 sin
"����� ������������������������������������������7� x y xyx x
���
�
d cos
d 1 sin
������� ��!���� �������
��� 8������"��$�;� x x x x∫ � � � 2( 3) 3 4 d �
"����7� x x x x∫ � � � 2( 3) 3 4 d �
�"� 8������"��$� ;�( )
( )
xxx
x∫
�
�
2
3
2 5 e d
2 3
�&��
8������"��$� ;�
)( )x x x
x x∫� ��
� �
2
21 d
( 1 2
"����7�( )
( )
xxx
x∫
�
�
2
3
2 5 e d
2 3
!�
"����7�
)( )x x x
x x∫� ��
� �
2
21 d
( 1 2
-
�+� 1����!����'��(���"�,���4����-�#����������"����2��8������"��$7������������-�����(!����
���� '(1����� "���� � �� �������� ��� ������� ��� � �� ������ !����'��(#� � �� � ��������������������������(!�����
��� ��������/�!0���!���7����� ��G���"��$�����
y yx
���
2d cos (a )d sina
#�;� ��G���"��$� ���� ) y y
yxx
� � �2
2d d
sina sin2(a 0dd
�
�&��
���� x xy
� � ��
21 6 4 1 4sin
5 ���7����� yx
dd
�8������"��$
$������/�!0���!�� ���������� ��
y yx
���
2d cos (a )d sina
�
3����� ���� �� ) y y
yxx
� � �2
2d d
sina sin2(a 0dd
�
!�
"���� yx
dd
���� x xy
� � ��
21 6 4 1 4sin
5
�� ���� 8���� ��"��$� ;� xx
x∫� �
2 2
2 d1 5
�
8������7� xx
x∫� �
2 2
2 d1 5
�
/
�-� ����
( )
2
x xx
xx x
x xx
� �
� �
� �
sin a 1 2 sin, < 0
( ) , 0
1 b 1 , > 0
f
���������������������!������������ 8������"��$
$��
( )
2
x xx
xx x
x xx
� �
� �
� �
sin a 1 2 sin, < 0
( ) , 0
1 b 1 , > 0
f
�����������������#�� ��������� ����������������
�/� $���0�����,0�����#�%���"�#���������?�"�����������0�������������������(�� ������7��(������#�%���"#����������?�"�����������0����������������� $����1�� ������ ��#�=�3��������������%����$���#�%���"#����� $��� ��?�"� ���� ������ 0����� ������� ���� ����# %�# %� 8���� ��"��$ � � �>���� $��� %��"(�1H�!"4���������0�����,0���������?�"�����������0�������������������1 ���'������������� $ ��*���%��"(� �1H�!"4���� ������� �������� � $<� ������������� ����������3I������4$�%$����<*�� ����� �������(������� ��������8���� ������3��������#�� ����� �������� �������8���� �������3���������������1���9����������#������� �� �������� ���������8���� ��������3��������������� ���3�������� ���� �������� ���'���������������������������6 ��������3�����������3����� ������� ����������� ��������� �)��% �� ����������������������� ���������)
�.� ������ � $�� ���"��$�;�����/���0�����������/���0��������
�&��
��G���"��$� ���� x x x x xx x
� � � � �
�� �
� �
31 1 1
2 26 8 4 1tan tan tan 2 ; 2 <
31 12 1 4�
.
6�����������7�����/���0�����������/���0��������
!�
������� �� x x x x xx x
� � � � �
�� �
� �
31 1 1
2 26 8 4 1tan tan tan 2 ; 2 <
31 12 1 4�
����� ��
�#� $!��%��
������!����0������"�� �#���� �������������$��
'�� ����������� ��0������(���)�����* ���(��
�0� ����� �� �1�6� ��� *�� ���F��������� :����� ���� :����>� � 8���� ��"��$7� ������� ��"J4� /'#��'0#
/(#��0�#�����/�#�'0����
9����� ����� ����������������#������� ��������� ������������������� �������������/'#��'0#�/(#��0����/�#�'0�
��� �����2������� ���� %�2�6���C� ���� �����%� ����� ��G���"��$� ���� ;
)
) )
)
x y zx zy
zx z y xy xyz x y z
zy xy z x
�
� � �� ��
�
2
2 3
2
(
( 2 (
(
�&��
����1 0 2
A 0 2 12 0 3
� �����!��*��:*��;*��$��<���7���������������8������"��$
�0
9���������������������������#�������� �
)
) )
)
x y zx zy
zx z y xy xyz x y z
zy xy z x
�
� � �� ��
�
2
2 3
2
(
( 2 (
(
!�
$��
1 0 2A 0 2 1
2 0 3
� ����*��:*��;*��$��<��������
��� $�����1���1�+��=��K������#������"������������� ��1�������������������� ��*������ � �*������ �������� ���� (�&����� A#��(�6� ������B� =*>�#����� =.>����� ��1���� ������� ��"� � ��� ����� ��7� ��������1������6������������;���?�#�����4?� �F�*� L6��� ��1����������������� ����(�&�� =*>�����������������'�#������1�����������%���!��(�&�� =.>��������������������#��� ��1����F"��������� ���������������*��"� �������(�&�� =*>����� ��1���������7� ����"� ����*����(�&�� =.>���� �����"� �� � � ��� ����-�������%�������,��������#� �-"�� �1�6�9����� � ���"��$� ������ ���*������#�6����� �F����E�� ��������
*� �������� ���������� ��� ������ �� ������ ��� �� ��#����� � 3�� ��������������������������������� �����������=*>����=.>� ����������?����4?������� ���������� � ��� � �� ��������������� �3��������� ��� �������� �����'�#������������=*>��������������#������������=.>���3��������������������������� ���������=*>����������=.>���6������ ����������������������������� ���� �����&����� ���������
��
�"� *����� �������"����2�� 8���� ��"��$7� ���������� ���
( )i j k∧∧ ∧→
� � � �r . 2 3 4 0 ��!�
( )i j k∧∧ ∧→
� � � � �r . 2 5 0
��"� ����@)����� ���-��������� ���#����� ������� 9�������#:�� �!�� !�#:�� ���� ���0��� %$�#��;-�&�(���(��� ��� "����� �������������� �������� �� ��������� �������������������������� �����
( )i j k∧∧ ∧→
� � � �r . 2 3 4 0 ���
( )i j k∧∧ ∧→
� � � � �r . 2 5 0
���� ������������������&������������� ��������!�&��
�+� ��G���"��$� ���� 0, 2
� �����
y �� ��
� �4 sin
2 cos#������164����>� ����
�&��
����4�$� ���� �"� %�4� ����)�"� M���4� 1� �� #�6����� #����� ���� ������� ���� #64� ��"J4� ����2�
1 1cos3
� ���
������� ��
y �� ��
� �4 sin
2 cos������������������������������ 0,
2
� �
!�
6 ���� ��������������������������������&������������������������
��� ���� 1 1cos3
� �
��
��� ���������*�@�@����#������#�*�����/#��0���/�#��0�/��#����0�9���������F��J��$����9#�6���"����������� ������4�$�������������1�������!������4��� ��*������������N�����#1�1�8�����"��$ � �*�������N�����#1�1�/#��0���*��������� ����F"� 8������"��$
A���*�@�@�������������� �������������*����������
/#��0���/�#��0�/��#����0
6 ���� ������������������������������"����� ��������� �����������������*���*��������� ���������������� ���������/#��0���*�
�� ��!��)�;�6���32��C��������������"����D��$�����@)����A�(�������,!��������B���"�%�C � �����,��"�������D��#������������(���(&/"���D���=�K����������� ��,���������������(�0���8������"��$ (�0��� ���� ��O�� �!�� �����2�� F"� 8���� ��"��$
! ������������������������������/��� ��������������0������������&������������������A���,��������� ������������ ��� ���������������������"���� ����������� ����������������,�� �*��#� ����� � ������������������� � �������������