1
梁の曲げ
ここでは以下の事項を説明する。
1.外力としてのSFDとBMDおよびそれらの関係2.梁の曲げ応力
(外力により発生する内力)3.梁のたわみの求め方
(静定はりー曲率、微分方程式)4.力のかかり方による問題の解法の違い
(集中荷重、集中モーメント、切断法)5.力の釣り合いの他に、たわみの条件を必要とする解法(不静定問題)
基礎コース 材料力学の基礎
2
1.梁の剪断力と曲げモーメント
X方向に伸びた長い棒状の構造物を梁とい
い、これに横方向の荷重が作用するとき、曲げ問題という。
力の釣り合い外力 P は A-A’ 面にはたらく剪断力 τの合計力 Q と釣り合う。
モーメントの釣り合いO点においてはモーメント Pa と A-A’ 面における引っ張り圧縮応力(これを曲げ応力)による曲げモーメント M と釣り合う。
PdAQA
A '
PadAzMA
A '
力のかかり方
基礎コース 材料力学の基礎
3
剪断力とモーメントの符号の定義
0 Q Q
(+)
(-)
M M(+)(+)
x(+)
z(+)
面の法線が正(負)のほうを向いた面に
正(負)の方向を向いた剪断力が働くと正の剪断力と定義する。その反対だと負。
モーメントの場合正(負)の方向を向いた面に梁の中心をzの正の方向に凸にするモーメントを正のモーメントと定義する。その反対だと負。
基礎コース 材料力学の基礎
4
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)
左の図のような片持ち梁にPが作用すると、xの位置に置いて切り出した
仮想面には一定の剪断力Pが働き、その符号は正。
また同様にこのPによりxの位置ではモーメントP(l-x)が働き、その符号は負である。
これをグラフに描いたものがSFDとBMDである。
これはdxと言う微小な部分を切り出して考えてもよい。
基礎コース 材料力学の基礎
6
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)---集中荷重両端支持
左図の様な集中荷重が作用する回転自由な両端支持の場合を考える。A,Bに反力RA、RBがはたらく。
力の釣り合い BA RRP
モーメントの釣り合い
釣り合い式より Pl
aRP
l
bR BA ,
Cで分割して左と右に片持ち梁があると考えると考えやすい。すると
)(
)0()(
lxaPl
aR
axPl
bR
xQ
B
A
剪断力分布
BA bRaR
基礎コース 材料力学の基礎
7
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)---集中荷重両端支持
Pl
abMM
lxaxlPl
aRxl
axPxl
bxR
xM
ax
B
A
)(max
)()()(
)0()(
となり、絵で描くと
基礎コース 材料力学の基礎
8
剪断力図(SFD)と曲げモーメント図(BMD)---集中モーメント両端支持
図のようにC点に集中モーメントが働く場合のSFDとBMDを求める。
力の釣り合い 0 BA RR
0 BA bRMaR
C点でのモーメントの釣り合い
この2式よりl
MB
l
M
ba
MA RR
,
この反力が働くのでxでのモーメントは
)()(
)0()(
lxalxl
MMxR
axxl
MxR
xM
A
A
基礎コース 材料力学の基礎
10
図の様な一様な荷重が作用する両端支持梁のSFDとBMDを求めよ。
演習1
略解
2
qlRR BA
よって、Xにおける剪断力は
qxql
RxlqxQ B 2
)()(
曲げモーメントも同様に考え
2
)(
2
)()()()(
xlqxxlxlqxlRxM B
基礎コース 材料力学の基礎
11
はりの曲げ応力
θ
h
M
中立面R
A A'
z
σx(z)B B'
中立軸
b
条件:はりの断面は梁が曲がっても平面。
ひずみは中立軸に関し対称。(ひずみは z に関し一次的
=直線変化、よって応力も)
微小な距離 AA’も BB’ もモーメントが働かないときは同一の長さ。今、モーメントM が作用。 曲がってその小さなθの範囲での半径は Rと考える。中立面上の AA’ は伸び縮みせず。外は伸び内側は縮む。
zR
EEz
R
z
R
RzRz
)(
)()(ひずみは;
応力は;
基礎コース 材料力学の基礎
12
h
中立軸
b
z
dA=bdz
中立軸から z 離れたところの応力は zR
EEz )(
そこの面積は dAよって、中立軸周りのモーメントは
dAzR
EdAzzdM 2)(
よって断面全体で合計したモーメントが外部モーメントと釣り合う
IR
EdAz
R
EdMM
h
h
h
h
2/
2/
22/
2/
ここで積分で表された Iのことを断面2次モーメント、EI を曲げ剛性と呼ぶ。Iは断面の形状から決まり、Eは材料のヤング率である。
(1)
(2)
(3)
(1)、(3)式より
I
M
z
z
)(よって z
EI
Mzz
I
Mz )(,)(
長方形断面の断面2次モーメント:Iは12
32/
2/
2 bhbdzzI
h
h
基礎コース 材料力学の基礎
13
重要事項の取りまとめ
R
EIM
R
z
12
3bhI (長方形断面の場合)
1
11)(Z
Mh
I
Mh
さらに、最大の応力が発生するのは、zが最大つまり、はりの上下面。それぞれまでの最大値を h1、h2 とすると
zI
Mz )(
ここで、I/h1 を Z1 とする。 Z1 を形状係数と呼ぶ。
今、断面が長方形なら、h1=h/2より6)2/(
2
21bh
h
IZZ
材料から見ると歪は梁の上面か下面で最大となり、応力も最大となるので
1
max
Z
M となり、強度だけチェックするときは形状係数がわ
かっていればよい。
基礎コース 材料力学の基礎
14
断面2次モーメント
中立軸からの距離の2次モーメントを断面全体で積分したもののこと。
(ねじり中心点からの距離の2次モーメント(断面極2次モーメント)と区別必要)h
中立軸
bz
dA=bdz 2/
2/
2h
hdAzI
θ
y
dz
CD
y
z
z
dA
左のような円形断面の断面2次モーメントは
dD
ydzdA
dD
dzD
zD
y
22
cos2
2
cos2
,sin2
,cos2
基礎コース 材料力学の基礎
15
64
4sin4
1
64
2
4cos1
32
2sin32
cossin432
cos2
sin4
4
2/
2/
4
2/
2/
4
2/
2/
24
222/
2/
4
22
22/
2/
22
D
D
dD
dD
dD
dDD
dAzIA
円形断面の断面2次モーメント
基礎コース 材料力学の基礎
16
断面2次モーメントの平行軸の定理
中立軸 y’から e離れた y軸を中立軸として曲げるとき断面2次モーメントは
A AA
AA
dAzzdAedAe
dAzezedAzeI
22
222
2
)2()(
図心(重心)は中立軸 y’上にあるので第2項はゼロ。
第1項の積分は単に面積、第3項は Iy’ 。
AeII 2' の関係がある。
同じ量(断面積が同じ)の材料を使っても曲げる中立軸から遠くに材料を集めると、元の固さより、 分だけ固くなることを意味する。Ae2
基礎コース 材料力学の基礎
17
たわみ=>(1)曲率とは
R
EIM 書き換えると
EI
M
R
1である。
実は、この 1/R は曲率と呼ばれていて
z
x
dsdθ
dθ
θdz
dx
R
0 ds
d
Rd
d
R
11m進んだ時の向きの変化量:曲率
図より
tan/
)(1
1cos
)(11
)()()(
2
2
2
222
dxdz
zds
dx
zdx
dz
dx
ds
dzdxds
基礎コース 材料力学の基礎
18
dx
d
dx
d
d
dz
dx
dz
dx
d
2cos
1)tan(
よって
2coszdx
d
さてここでds
d
Rd
d
R
1なので
2
32
2
12
2
1
1
1cos
1
z
z
z
zds
dx
dx
d
R
材力のたわみの問題の場合梁の傾き z’<<1 となるように座標を通常とるので、
zR
1
とみなせる。
基礎コース 材料力学の基礎
19
たわみ=>(2)たわみを求める式は
以上の議論より、たわみを求めるには
EI
xM
dx
xzd
EI
xM
dx
xzd
xR
)()(,
)()(
)(
12
2
2
2
なる方程式を解くことに帰着する。1)BMDより、xの位置におけるモーメントがxの関数として求まる。
2)曲げ剛性 EI を設計で決める。E は材料により決まるヤング率という剛性。
I は梁の断面形状により決まる剛性。3)上の微分方程式を解き変形曲線を求め、境界値を用い、たわみ曲線を決定することとなる。
基礎コース 材料力学の基礎
20
梁の曲げたわみの求め方1(単純片持ち梁)
左のような片持ち梁を考える。
)()( xlPxM
これを曲げの方程式に代入EI
xlP
dx
zd )(2
2
)2
()( 1
2
Cx
lxEI
Pxz
)6
1
2()( 21
32 CxCxxl
EI
Pxz
境界条件は x=0 で z’=z=0. より C1=C2=0.
)3(6
)( 32 xlxEI
Pxz
よって、たわみを表す関数は
基礎コース 材料力学の基礎
21
梁の曲げたわみの求め方2(等分布荷重両端単純支持)
)(2
)(22
)()(
2 lxxq
xlqlxl
xlqM
EI
CxClxxqz
EI
Clxxqz
EI
lxxq
EI
xMz
24
)2(
2
))2/1()3/1((
2
)()(
2134
123
2
境界条件は x=0 , x=lで z=0.
よって、3
12 ,0 lCC
たわみ曲線はEI
xllxxqz
24
)2( 334
基礎コース 材料力学の基礎
22
梁の曲げたわみの求め方3(切断法)
(集中荷重や集中モーメント、部分荷重等ある位置でBMDが別の形になる場合)
x y
C で右と左のBMDが別の式となる。そこで別に考え、境界条件で左右を結合する。RA, RBは求められている。よって
)0(,)(
)0(,)(
byyl
PayM
axxl
PbxM
B
A
よって、たわみの方程式は
yEIl
Paz
xEIl
Pbz
B
A
基礎コース 材料力学の基礎
23
)(6
)(6
433
213
CyCyEIl
Paz
CxCxEIl
Pbz
B
A
これらの2式をそれぞれ積分して
x=0, y=0 でたわみゼロより C2=C4=0
さらに、 x=a, y=b で zA=zB の条件と傾き角が等しい条件、 z’A=-z’Bより、
)3()3( 32
12
32
12
CbaCab
CbCa
)2(
)2(
23
21
babC
abaC
この連立方程式を解くと
ただし、向きの違いにより+-逆にしている。
基礎コース 材料力学の基礎
24
))2((6
))2((6
23
23
ybabyEIl
Paz
xabaxEIl
Pbz
B
A
よって、たわみの曲線を表す式は
最終的に、y=l-xと置き換え xで統一して説明する式とし、
)(,)2()()(6
)0(,)2(6
)(2
2
lxababxlxlEIl
Pa
axbaaxxEIl
Pb
xz
基礎コース 材料力学の基礎
26
不静定はりのたわみ
静定問題とは、垂直力とモーメントのつり合いより、BMDが求められ、たわみの微分方程式が直接求められ、たわみ分布が求められる。
不静定問題とは力とモーメントのつり合いだけでは決まらない外力があり、それらを未知のまま問題を解き、最後に傾き角などの、幾何条件(境界条件)を含めて、
決まってない定数を決めてやるという方法を取らざるを得ない問題のこと。
基礎コース 材料力学の基礎
27
不静定はりのたわみの例1
MA
l
a bP
CA B
RA RB
x
左の問題を解く。力のつり合いより
P=RA+RB
モーメントのつり合いよりMA=-Pa+RBl
力とモーメントのつり合いからでは反力とモーメントが3個あり決められない。よってこのまま変数として置いておいたまま、たわみの微分方程式を解く。たわみ角、たわみ量が、求まったのち、Aでのたわみ角、たわみ量ゼロ
Cでのたわみ量、たわみ角はともに分割した左右で同一、Bでのたわみ量ゼロと
いう5条件を加わえ、積分定数4個と上記の反力とモーメントの合計7個を決定し、問題を解く。
変形条件を入れないと解けない問題を不静定問題という。
説明ではわかりづらいので、この問題を解いてみる。
基礎コース 材料力学の基礎
28
MA
l
a bP
CA B
RA RB
x
x y
A点から xを、B点から y座標を取りC点での切断法を考える。梁の垂直方向つり合い
BA RRP
梁のモーメントのつり合い(A点回り)
lRPaM BA
よって、 RA, RB をMAで表すと、l
MPaR
l
MPbR
AB
AA
,
C点より左のたわみの微分方程式は )(1
AA MxREI
z
)3(6
121
23 CxCxMxREI
z AA たわみは
0, zzoxat より
23 3
6
1xMx
l
MPb
EIz A
A
基礎コース 材料力学の基礎
2929
C点より右のたわみの微分方程式は、B点から y軸を取り
yEIl
MPay
EI
Rz
AB
43
3
6
1CyCy
l
MPa
EIz
A
たわみは
0, zoyat より
yCy
l
MPa
EIz
A3
3
6
1
左右のはりそれぞれで、 x=a, y=b でたわみは等しいので
blCbMPalaMaMPb AAA 3323 )(3)( (1)
基礎コース 材料力学の基礎
30
0,0,0 zyx で共にまた、同様に より
322 363 Cb
l
MPaaMa
l
MPb AA
A
(2)
(1)、(2)式を連立させると
l
bPaCba
l
PabMA
2
3),2(
2
2
32
よってたわみは次の式で与えられる。
)0(,3)32(12
)(
)0(,)2(3)243(12
)(
232
3
2322
3
byyablyabaEIl
Payz
axxbaalxbabaEIl
Pbxz
基礎コース 材料力学の基礎
31
これらの2式を yを (l-x) で置き換え zを x軸で統一して表現すると、
)(,)(3))(32(12
)0(,)2(3)243(12
)(232
3
2322
3
lxaxlablxlabaEIl
Pa
axxbaalxbabaEIl
Pb
xz
という答えにたどり着く。
基礎コース 材料力学の基礎
32
不静定はりのたわみの例2(重ね合わせの原理)
材料力学の問題は応力とひずみ、荷重と変形の関係が比例します。つまり線形問題で、二つの力が作用するとき影響を分離・重ね合わせできます。
M0
l
q
A B
R0 R0
xM0
l
q
A B
R0R0
x
M0l
A B
xM0
=
+
左上図の梁のたわみは、した二つの計算の合計である。
境界条件は二つのたわみの式の合計で与えられた式が x=0 で傾かず、かつたわまないと考えたものである。
(1)
(2)
(1)の条件のたわみは スライド 21 で
EI
xllxxqz
24
)2( 334
1
基礎コース 材料力学の基礎
33
M0l
A B
xM0
(2)に関しては梁全体がM0の同一モーメント。よって
たわみの微分方程式は
)(2
2120
2
0
CxCxEI
Mz
EI
Mz
境界条件は x=0, l で z=0 である。よって )(2
202 lxx
EI
Mz
)(2
)2(24
033421 xlx
EI
Mxllxx
EI
qzzz
重ね合わせのたわみは
重ね合わせたたわみの境界条件は(1)、(2)ともにたわみはすでにゼロであるが、 x=0で z’=0 が必要である。
基礎コース 材料力学の基礎