Technická univerzita v Košiciach
Letecká fakulta
CFDmodelovanie transsonického prúdeniav dúchadle leteckéhomotora
Peter Gašparovič
Dizertačná práca
Košice 2008
Technická univerzita v Košiciach
Letecká fakulta
Katedra leteckého inžinierstva
CFDmodelovanie transsonického prúdeniav dúchadle leteckéhomotora
Dizertačná práca
Peter Gašparovič
Školiteľ: prof. Ing. Jozef Považan, CSc.
Školiteľ špecialista:
Košice 2008
Analytický list
Autor: Peter Gašparovič
Názov práce: CFD modelovanie transsonického prúdenia v dúchadle letec-
kéhomotora
Podnázov práce:
Jazyk práce: slovenský
Typ práce: Dizertačná práca
Počet strán: 110
Akademický titul: philosophiae doctor (PhD)
Univerzita: Technická univerzita v Košiciach
Fakulta: Letecká fakulta (LF)
Katedra: Katedra leteckého inžinierstva (KLI)
Vedný odbor: 91-07-9 Výzbroj a technika letectva
Špecializácia: —
Mesto: Košice
Školiteľ: prof. Ing. Jozef Považan, CSc.
Školiteľ špecialista:
Dátum odovzdania: 8. 4. 2008
Dátum obhajoby:
Kľúčové slová: CFD, transsonický ventilátor, dúchadlo, letecký prúdovýmotor
Kategória: Technika, technológie, inžinierstvo a pod.
Citovanie práce: Peter Gašparovič: CFD modelovanie transsonického prúdenia
v dúchadle leteckého motora. Dizertačná práca. Košice: Tech-
nická univerzita v Košiciach, Letecká fakulta. 2008. 110 s.
Názov práce v AJ/NJ: CFDmodeling of transonic flow in fan of aircraft engine
Podnázov práce v AJ/NJ:
Kľúčové slová v AJ/NJ: CFD, transonic fan, aircraft jet engine
Abstrakt
Pri použití CFDmetódpri počítačovommodelovaní transsonickéhoprúdenia v dúchadle
leteckého turbínovéhomotora je nutné poznať validitu výsledkov.Overenie validity je reali-
zované porovnaním výsledkov počítačového modelu s údajmi nameranými na fyzikálnom
modeli v plnej mierke. Citlivosť modelu je testovaná prítomnosťou obvodovej štrbiny. Po-
rovnanie je vykonané na čiare režimov danej konštantnými otáčkami rotora (9 981 otáčok
za minútu) a premenlivým škrtením výstupu. Porovnávanými parametrami je podiel cel-
kového tlaku na výstupe vonkajšieho prúdu a spoločnom vstupe a izentropická účinnosť
vo vonkajšom prúde. Pre modelovanie sú použité CFD systémy Fluent 5 a Ansys CFX 11,
založenénaNavier-Stokesových rovniciach ametóde konečnýchobjemov. Pri systémeFlu-
ent je použitý model turbulencie Spalart-Allmaras a neštruktúrovaná numerická sieť. Pri
systéme Ansys CFX je použitý model k-omega SST so štruktúrovanou sieťou zahustenou
v hrúbkemedznej vrstvy. Výsledky potvrdzujú schopnosť súčasných CFD systémov presne
predpovedať parametre dúchadla pri neuvažovaní detailov konštrukcie, ako aj schopnosť
presne predpovedať vplyv strát na výkonové parametre pri použití numerickej siete, ktorá
zachycuje detaily v hrúbke medznej vrstvy. Práca je veľmi užitočná pre praktické výpočty
v priemysle, pretože stanovuje podmienky pre spoľahlivú aplikáciu CFDmetód pri výpočte
transsonických a supersonických dúchadiel.
Abstract
Use of CFD methods in computer modelling of transsonic flow in the fan of aircraft
gas turbine necessitates answer to validity of results. Evaluation of validity is realised
by comparing result of computer model to data measured on physical full-scale model.
Sensitivity of the model is tested by existence of tip clearance. Comparison is done at
the flow regimes determined by constant rotational speed (9 981 revolutions per minute)
and variable throttling of the fan outlet. Evaluated are two characteristic parameters –
ratio of stagnation pressure in the outer stream of the outlet and in the inlet and isentropic
effectivity in the outer stream.UsedCFDsystems are Fluent 5 andAnsysCFX11, based on
Navier-Stokes equations and finite volumemethod. SystemFluent is appliedwith Spalart-
Allmaras turbulence model with unstructured grid. System Ansys CFX is applied with
turulence model of k-omega SST with structured numerical grid with detailed resolution
in the volume of boundary layer. Computational results confirm capability of current CFD
systems to accurately predict parameters of fan, without accounting for design details
and as well to accurately predict the effect of losses on power parameters, provided the
numerical grid which is used properly resolves details of the boundary layer. This work is
very useful for practical comutations in industry, because specifies conditions for reliable
application of CFDmethods in computation of transsonic and supersonic fans.
Zadanie práce
Vedný odbor: 91-07-9 Výzbroj a technika letectva
Špecializácia: —
Názov práce: CFDmodelovanie transsonického prúdenia v dúchadle leteckého
motora
Obsah práce:• analýzamožností CFDmodelovania dúchadla s transsonic-
kým prúdením
• voľbaoptimalizovanejmetódyCFDvýpočtupredanýprípad
• porovnanie presnosti CFD výpočtu s výsledkami experi-
mentu
Rozsah práce: 100–160 textových strán (1800 znakov/str.) a obrázkov
Dátum dizert. skúšky: 12. 2. 2003
Dátum odovzdania: 8. 4. 2008
Vedúci katedry: prof. Ing. Jozef Považan, CSc.
Dekan: doc. RNDr. František Olejník, CSc.
Čestné vyhlásenie
Vyhlasujem, že som dizertačnú prácu vypracoval(a) samostatne s použitím uvedenej
odbornej literatúry.
Košice 8. 4. 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vlastnoručný podpis
Predhovor
Vobdobí po roku 1999, kedy som začínal pracovať na tejto téme, boli naKatedre leteckého
inžinierstva, kde som vtedy pracoval, numerické výpočtové metódy prúdenia (známej-
šie pod anglickou skratkou CFD – Computational Fluid Dynamics) v podstate neznáme.
Našťastie som mal na katedre k dispozícii výkonnú pracovnú SGI Octane a vedúci ka-
tedry, prof. Ing. Jozef Považan, CSc., zabezpečil rozšírenie hardvéru aby na ňommohli byť
riešené pamäťovo veľmi náročné problémy z aerodynamiky a získanie pokročilého CFD
nástroja Fluent.
Projekt vývoja leteckého motora DV-2 v Považských strojárňach v Považskej Bystrici mi
ponúkol vhodnýmateriál pre výskum s pomocou CFD nástrojov s praktickým významom.
V strojárňach v tej dobe riešili problém vývoja nového 19-lopatkového dúchadla kovaného
z titanu, ktorý by nahradilo sériové 15-lopatkové dúchadlo s hrubšími lopatkami, vyrábané
frézovaním z duralového bloku. Moja práca bola zavŕšená výskumnou správou s komplet-
nými charakteristikami. Pri práci na tomtoprojekte somstrávil viac než rok apol, čiastočne
pri zvládaní metodiky CFD a vytváraní výpočtovej siete, ale hlavne pri čakaní na výsledky,
pretože daná úloha bola na hranici hardvérových možností toho najvýkonnejšieho počí-
tača, ktorý sommal k dispozícii, a to z hľadiska uskutočniteľnosti vôbec (veľkosť pamäte),
ako aj časovej náročnosti (rýchlosť procesora). Na oplátkumi to umožnilo získať ojedinelé
vnútropodnikové údaje o zmeraných charakteristikách starého dúchadla, na základe kto-
rých som sa mohol konečne pustiť do novej práce, ktorá by mala prvky vedeckej metódy a
mohla vyústiť do napísania tejto dizertačnej práce. Za tú dobu prebehol prudký vývoj ako
v oblasti hardvéru, tak aj v oblasti softvérových modelov. Pri práci na spoločnom projekte
s prof. Ing. Máriou Čarnogurskou, CSc., vedúcou katedry energetickej techniky TU Ko-
šice, som mal možnosť prísť do styku s novým CFD systémom—Ansys CFX. Skúsenosti
s týmto softvérom veľmi rozšírili mojemožnosti pri riešení dizertačnej práce.
Obsah
Zoznam obrázkov xi
Zoznam tabuliek xii
Použité symboly xiii
Slovník termínov xvi
Úvod 1
1 Prehľad súčasného stavu v problematike 3
1.1 Objekt výskumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Časti TKPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Propulzívna účinnosť TKPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Odlišnosti konštrukcie dúchadiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Charakteristikamotora DV-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Dúchadlomotora DV-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Druhy strát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Termodynamická účinnosť dúchadla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Prúdenie v dúchadle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Výkonové charakteristiky dúchadla . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Kinematika prúdenia v lopatkovej mreži . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Druh prúdiacehomédia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Modelovanie a experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Situácia vo vede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Situácia v technike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.3 Analytickémodely (teória) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.4 Fyzikálny experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.5 Numerickémodely a simulácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
LF KLI
1.6 Fyzikálnemodelovanie a podobnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Základné aerodynamické kritériá podobnosti . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Rozmerová analýza dúchadla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Experimentálnemetódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.1 Meranie škrtiacich charakteristík dúchadla . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 Predstava tekutiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9 CFDmetódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.1 Rozdelenie CFDmetód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.2 Typy sietí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.3 Počítačové prostriedky CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.10 Praktické otázky aplikácie metód CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Ciele amotivácia práce 43
2.1 Predchádzajúce zistenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Hypotéza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Cieľ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Konkrétne úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Metodológia riešenia 47
3.1 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Výbermetódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Základné rovnice prúdenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Rovnica kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Navier-Stokesova rovnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.3 Rovnica energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 RANS rovnice a Reynoldsove napätia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Modely turbulencie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1 Model Spalart-Allmaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.2 Model SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.3 Prechodmedznej vrstvy vmodeli SST . . . . . . . . . . . . . . . 55
ix
LF KLI
3.5.4 Požiadavky na výpočtovú sieť v medznej vrstve . . . . . . . . . . . 56
3.6 Metóda konečných objemov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 Popis výpočtovej siete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Popis modelu prúdenia a okrajových podmienok . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Výsledky 69
5 Záverečné poznámky 75
5.1 Diskusia výsledkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Prínosy dizertačnej práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1 Prínos pre vedný odbor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 Prínos pre inžiniersku prax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Ďalšie smerovanie výskumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Zoznam použitej literatúry 85
Príloha: Zápis vektorov a tenzorov 86
Register 91
x
Zoznam obrázkov
1.1 Tepelná účinnosť reálneho Braytonovho cyklu – podľa [Boyce, 2001]. . . . 5
1.2 Schémamotora DV-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Pohľad na 15-lopatkové dúchadlomotora DV-2. . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Škrtiaca charakteristika stlačenia dúchadla. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Kinematika prúdenia okolo izolovaného profilu a v lopatkovej mreži. . . . 16
1.6 Numerická difúzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Orientácia viskóznych napätí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Súčiniteľ treniaCf vmedznej vrstve (m. v.). . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Zónymedznej vrstvy podľa priebehu rýchlosti. . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Vzťahmedzi elementom siete a konečným objemom. . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Multigridmetóda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Tvar výpočtovej oblasti pre FLUENT aANSYS CFX. . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Povrchová sieť modelu pre FLUENT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Topológie používané pre sieťovanie geometrie lopatiek. . . . . . . . . . . 62
3.9 Štruktúrovaná J-sieť vytvorená vTURBOGRID-e. . . . . . . . . . . . . . 63
3.10 Výsledné zobrazenie y+ po plochách dúchadla. . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.11 Využitie periodicity pre zmenšenie geometrickej oblasti modelu. . . . . . . 65
3.12 Definícia pracovného bodu charakteristiky statickým tlakom na výstupe. . 66
3.13 PriebehMachovho čísla po lopatke a v rezoch. . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.14 Trecie napätie na povrchu lopatky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1 Škrtiace charakteristiky celk. stlačenia pri reduk. otáčkach 9 981 ot./min. . 73
4.2 Škrtiace charakteristiky izentropickej účinnosti pri reduk. otáčkach 9 981
ot./min. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Úplné škrtiace charakteristiky celk. stlačenia . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Zoznam tabuliek
4.1 Fluent SA t000 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty . . . . . . . 70
4.2 CFX SST t000 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty . . . . . . . 71
4.3 CFX SST t063 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty . . . . . . . 71
4.4 Experiment pri otáčkach 9 981 ot./min – hodnoty pre EDV2.01.03.017 . . 71
4.5 Experimentálne stlačenie – úplné hodnoty pre EDV2.01.03.017 . . . . . . 72
Použité symboly
Voľba symbolov vychádza z medzinárodných odporúčaní [ISO 31, 1992], [IUPAP-25:
Symbols, ..., 1987], a zvyklostí v aerodynamickej a turbinárskej literatúre. Kvôli prieniku
viacerých vedeckých a technických disciplín v tejto práci nemajú niektoré symboly jedno-
značný význam, ale kontext jednotlivých významovmožno v texte ľahko rozlíšiť.
Matematická interpunkcia: Jednotky v grafoch a tabuľkách sú označené hranatými zát-
vorkami, ktoré sú v tomto prípade prehľadnejšie ako algebra veličín. V súlade s pravidlami
z roku 2003 pre ekvivalentné použitie bodky a čiarky ako desatinných oddeľovačov [SI bro-
chure, 2006, s. 133] a kvôli jednotnosti s počítačovými výstupmi, je v tomto texte jednotne
použitá desatinná bodka.
Grécke symboly
Γ cirkulácia rýchlostného poľa
γ adiabatický koeficient γ = cpcv, nárazovitosť, hustota cirkulácie
η účinnosť
λ tepelná vodivosť, súčiniteľ objemovej viskozity
µ dynamická viskozita
ν kinematická viskozita
ω frekvencia dominantných vírov turbulencie
π stlačenie (pomer tlaku za ventilátorom k tlaku pred ním)
% hustota tekutiny
σ plošné napätie v tekutine
τ viskózne napätie v tekutine
LF KLI
Latinkové symboly
c špecifická tepelná kapacita (pri konštantnom objeme cv), (pri konštantnom tlaku
cp), rýchlosť zvuku
D priemer dúchadla, symbol pre totálny (materiálový) diferenciál
e jednotkové vektory karteziánskeho súradnicového systému
f špecifická objemová sila
g gravitačné zrýchlenie
H, h entalpia, špecifická entalpia
k turbulentná kinetická energia
m hmotnosť, obtokový pomer
M Machovo číslo
n rýchlosť otáčania (otáčky zaminútu)
p hydrostatický tlak
Q hmotnostný prietok, privedené teplo
R univerzálna (Molová) plynová konštanta
Re Reynoldsovo číslo
S rýchlosť deformácie
t teplota v ◦C
T termodynamická teplota (v K)
U vnútorná termomechamická energia
u rýchlosť tekutiny
V , v objem, špecifický objem
xiv
LF KLI
W privedená práca
x poloha v karteziánskom súradnicovom systéme (tiež x, y, z)
y vzdialenosť od steny
Iné symboly
[ ] (hranaté zátvorky) – podľa kontextu: vo výsledkoch sú v zátvorkách jednotky veli-
činy; v bezrozmerovej analýze zátvorky okolo fyz. veličiny produkujú jej jednotky;
inde označujematice.
. (bodka) znak desatinného oddeľovača (namiesto čiarky obvyklej v československej
sadzbe) – kvôli jednotnosti s počítačovými výstupmi
Indexy
i, j, k premenné indexy zložiek vektorov a tenzorov
x, y, z zložky v karteziánskom súradnicovom systéme
1, 2, 3 zložky v karteziánskom súradnicovom systéme
1 pred ventilátorom
2 za ventilátorom
I vo vnútornom prúde
II vo vonkajšom prúde
c celkový (stagnačný), napr. celkový tlak pc, celková teplota Tc
ef efektívny
iz izentropický
r redukovaný (t. j. korigovaný, prepočítaný na štandardné podmienky)
t turbulentný, vírový
xv
LF KLI
Slovník termínov
CFD (Computational Fluid Dynamics, slov. Výpočtová dynamika tekutín) – obor (vý-
skumu, alebo aplikácie), ktorý je prienikom fyziky tekutín, numerických metód a
počítačovej technológie. Venuje sa numerickým metódam pre výpočet prúdenia te-
kutín.
DPM (DvojPrúdový Motor, tiež aj Turbodúchadlový motor) – druh TKPM v ktorom je
okrem turbokompresorového jadra ventilátor, poháňaný turbínou, ktorý vyvoláva
pohyb vzduchu vo vonkajšom prúde. (anglický ekvivalent: turbofan – viď [Gunston,
2004, s. 665])
NS – skratka pre Navier-Stokes, označuje Navier-Stokesove rovnice a metódy založené
na týchto rovniciach, alebo numerické siete, ktoré sú svojou detailnosťou v medznej
vrstve predurčené na riešenie pomocouNS rovníc.
pád (pád profilu) – termín prevzatý z aerodynamiky profilov, kde označuje režim pri pre-
kročení medzného uhla nábehu, kde dochádza k masívnemu odtrhnutiu prúdenia
s následným vzrastom odporu, so stagnáciou vztlaku a s presunom pôsobiska vý-
slednej sily. Názov je odvodený z letovej mechaniky, kde tento jav spôsobuje pád
lietadla, to znamená, pokles sklonu pozdĺžnej osi lietadla s následnou stratou výšky.
Rovnaký režim sa vyskytuje aj pri profilových mrežiach. Ekvivalentný anglický ter-
mín „stall“ znamená v preklade približne „visenie“.
pumpáž – nestabilný režim práce kompresora, ktorý sa prejavuje silnými tlakovými
pulzmi na výstupe a veľkýmmechanickým namáhaním lopatiek, pričommôže dôjsť
k ich poškodeniu. Vzniká následkom pádového režimu na individuálnych lopatkách
a vzájomnou interakciou jednotlivých stupňov kompresoramedzi sebou.
režim prúdenia reálnej tekutiny (podľa dokonalosti obtekania povrchu) – primknuté
(angl. attached), odtrhnuté (angl. separated).
režim prúdenia reálnej tekutiny (podľa vplyvu stlačiteľnosti tekutiny) –podľa [Kundu
xvi
LF KLI
aCohen, 2002, s. 663]: nestlačiteľnépreM<0.3, podzvukové, subsonicképreM<1.0,
okolozvukové, transsonicképre0.8<M<1.2, nadzvukové, supersonicképreM>1.0,
vysokonadzvukové, hypersonické preM>3-5.
stlačenie (alebo aj stupeň stlačenia) – podiel tlakov za a pred kompresorom alebo turbí-
nou. Prakticky sa používa iba celkové stlačenie, teda podiel celkových tlakov.
TKPM (Turbokompresorový Prúdový Motor) – druh turbínového motora, v ktorom
sa energia horúcich plynov využíva pre zväčšenie kinetickej energie prúdu plynov
v dýze. Často sa používa s prívlastkom „letecký“ (skratka LTKPM). V súčasnosti
existujú dva hlavné poddruhy TKPM: jednoprúdový (JPM, angl. turbojet) a dvoj-
prúdový (DPM, angl. turbofan).
turbínovýmotor – (podľa vzoru „piestový motor“) motor, ktorého princíp činnosti je
priamo závislý na funkcii turbíny. Na rozdiel od stacionárnej turbíny (pre výrobu el.
energie) je jeho integrovanou súčasťou aj kompresor, preto sa mu hovorí aj „turbo-
kompresorovýmotor“. Turbokompresorová časť je základom (tzv. jadrom) všetkých
druhov turbínových motorov. Podľa využitia prebytočnej energie plynu za jadrom
sa turbínové motory delia na ďalšie druhy. Pri premene energie plynov na kinetickú
energiu prúdu plynov v dýze ide o turbokompresorový prúdový motor (existujú aj
prúdové motory bez turbíny), pri premene na krútiaci moment na hriadeli pridanej
(voľnej) turbíny ide o turbovrtuľový alebo turbohriadeľový motor (jemné rozdiely
v konštrukcii a regulácii). Anglický ekvivalent (nerozlišuje sa turbína a turbínový
motor): gas turbine – viď [Gunston, 2004, s. 263].
ventilátor, dúchadlo –prakticky zameniteľné pojmy.Zariadenie principiálne zhodné s vr-
tuľou a kompresorom. jednotlivé pojmy slúžia k zdôrazneniu hlavnej funkcie zaria-
denia. Zatiaľ čo vrtuľa (a rotor vrtuľníka) slúži pre vyvodenie hnacej sily a kompre-
sor pre stlačenie plynu, funkciou ventilátora, resp. dúchadla je vyvolanie prietoku
plynu. (Český ekvivalent: dmychadlo, anglický ekvivalent: fan – viď [Gunston, 2004,
s. 226])
xvii
LF KLI
Úvod
Turbokompresorové prúdové motory (TKPM), predstavujú jedno z najrozšírenejších vy-
užití plynovej turbíny. Základný kameň rozvoja turbín položil práve slovenský rodák, pro-
fesor Aurel Stodola, ktorý na začiatku 20. storočia publikoval významné práce o teórii
turbín, ktoré sa stali dôležitou referenciou pre konštruktérov prvých turbínových motorov
v Európe aj USA. Hoci myšlienka použitia turbínového motora na prúdový pohon nebola
úplne neznáma, všeobecnú skepsu prekonali až prvé letové skúšky okolo roku 1940. Ich
priekopníkmi boli Hans vonOhain vNemecku a FrankWhittle vo Veľkej Británii. Vtedajší
vojnový konflikt už iba urýchlil nástup tejto technológie v letectve. Odvtedy sa neobja-
vila technológia s väčšou energetickou účinnosťou a hustotou energie pre pohon lietadiel
(berúc do úvahy rôzne formy piestovýchmotorov, raketovémotory alebo iónovémotory).
V oblasti subsonických rýchlostí dnes vládnu dvojprúdové motory (DPM), ktoré patria
medzi TKPM. Dokonca aj vojenské supersonické lietadlá sa väčšinu času pohybujú tesne
pod rýchlosťou zvuku, preto je väčšina moderných vojenských lietadiel vybavená práve
DPM. Propulzívna účinnosť a tým aj špecifická spotreba paliva DPM je optimálna pri
užšom rozsahu rýchlostí, ako je tomu pri, kedysi výlučne používaných, jednoprúdových
motoroch. Je to do značnej miery dané geometriou dúchadla (ventilátora). Jeho návrh sa
líši od návrhu axiálneho kompresorového stupňa, hoci principiálne sa jedná o totožnú
lopatkovú konštrukciu. Výrazne trojrozmerné prúdenie, väčšie pomery vonkajšieho a vnú-
torného priemeru, spolu s väčším stlačenímpri transsonických relatívnych rýchlostiach sú
niektoré z príčin rozdielov pri návrhu dúchadlového a kompresorového stupňa.
Návrh prvých dúchadiel sa uskutočňoval pomocou výpočtových nástrojov pre subso-
nické prúdenie v kompresoroch, čo bolo spojené s rozsiahlymi skúškamimodelov v niekoľ-
kých variantoch [PS-TSb, 1988]. V tej dobe neboli verejne publikované merania kompre-
sorových stupňov pri rýchlostiach zvuku, čo je práve oblasť v ktorých pracujú dúchadlá.
Medzičasom si vedúce firmy v odbore pravdepodobne vyvinuli pokročilé reverzné ná-
vrhové programy uvažujúce supersonické prúdenie, ale podrobnosti o tomto softvéri, ako
1
LF KLI
aj výsledkymeraní zostávajú stále obchodným tajomstvom.
Napriek pokroku v návrhových metódach, bol vývoj stále závislý na overení finálneho
návrhu reálnym experimentom. To sa však zmenilo s prudkým pokrokom v oblasti metód
CFD (počítačová dynamika prúdenia). Tietometódy predstavujú tretiu cestumedzi čistou
teóriu (zjednodušujúcou ale lacnou) a experimentom (zachycujúcim komplexnosť reality
ale príliš drahým). Metódy CFD umožňujú robiť výskum a vývoj v tejto oblasti s veľmi
malými nákladmi a teda bez podpory priemyslu, v ktorom vládne ostrá konkurencia a tým
aj nepriaznivé prostredie pre zverejňovanie výsledkov výskumu.
Metódy CFDv čoraz väčšommnožstve prípadov nahradzujú experiment, pričom jednou
z prekážok je otázka validity takto získaných výsledkov. Preto sa robí množstvo porovná-
vacích štúdií, kde sa porovnávajú výsledky CFD s výsledkami experimentu. Závery týchto
štúdií bývajú obmedzené na konkrétnu aplikáciu – typ geometrie. V prípade transsonic-
kých dúchadiel je skoro nemožné verejne sa dopátrať úplných charakteristík pre nejakú
konkrétnu konštrukciu a preto je v tejto oblasti problém aj dostať sa k nejakej štúdii.
Ďalšou prekážkou je veľká rôznorodosť súčasných CFDmetód, takže porovnávacie štú-
die sa sústreďujú len na niektoré z nich. Teória týchtometód je skĺbenímmnožstva znalostí
z fyziky prúdenia, matematiky a počítačových vied a ich vývoj je veľmi drahý. Preto sa
možno v tejto oblasti často stretnúť s určitou konzervatívnosťou užívateľov ale aj vývojá-
rov, ktorí po investovaní do príslušného hardvéru, softvéru a školení nadobudnú pomerne
veľké skúsenosti a kým neexistuje výrazne väčšia výhoda v prechode na inú koncepciu
(väčšia presnosť a produktivita), zostávajú pri starom riešení, preverenom časom.
Táto práca pojednáva o použití tých metód CFD, ktoré sa označujú skratkou RANS a
ktoré sú v súčasnosti asi najrozšírenejším CFD nástrojom v priemysle.
2
LF KLI
1 Prehľad súčasného stavu v problematike
1.1 Objekt výskumu
Táto práca sa zaoberá dúchadlom, ktoré je charakteristickou časťou leteckého dvojprúdo-
vého motora (DPM). Dvojprúdový motor je druh turbokompresorového motora (TKM)
a zároveň aj druh prúdového motora. Pojem prúdový vyjadruje princíp vytvorenia ťahu
(propulzie) a pojem turbokompresorový vyjadruje vnútorné usporiadanie motora. Turbo-
kompresorové prúdovémotory (TKPM) sú nepostrádateľné pre pohon lietadiel lietajúcich
vysokou rýchlosťou a vo vysokých výškach.
Turbokompresorový motor je len jednou z podôb turbínového motora, t. j. motora, kto-
rého činnosť je založená na funkcii plynovej turbíny, pričom turbínový motor patrí spolu
s piestovými motormi do spoločnej skupiny spaľovacích motorov. V letectve, po 2. sveto-
vej vojne, TKM nahradili dovtedy používané piestové motory. TKM majú mnohé výhody
v oblasti výkonov, spoľahlivosti, ekonomiky a jednoduchosti údržby. Dnes sa síce piestové
motory ešte používajú, ale oblasť veľkokapacitnej komerčnej dopravy a vojenského letectva
je výlučnou doménou TKM.
Ak ponecháme stranou vrtuľníky, tak pre vytvorenie dopredného ťahu sa využívajú na-
sledovné dva princípy propulzie:
• urýchlením prúdu plynov prechádzajúcichmotorom,
• urýchlením okolitého ovzdušia pomocou vrtule.
Z toho vyplývajú aj zvláštnosti konštrukcie dvoch druhov TKM: turbokompresorových
prúdovýchmotorov a turbovrtuľovýchmotorov.
3
LF KLI
1.1.1 Časti TKPM
Všetky turbokompresorové prúdové motory (TKPM) sa vyznačujú samostatným turbo-
kompresorovým jadrom (generátorom plynu podľa [Považan, 1999b]), ktoré slúži ako
zdroj horúcich plynov. Vo výstupnej dýze motora dochádza sa vnútorná energia plynov
využíva na zvýšenie kinetickej energie prúdu. Urýchlenie prúdu plynov na čo najvyššiu
kinetickú energiu je základným princípom propulzie všetkých prúdovýchmotorov.
Turbokompresorové jadro sa funkčne skladá z troch častí: kompresora, spaľovacej ko-
mory a turbíny. Turbína a kompresor sú vzájomne spriahnuté – najčastejšie priamo –
pomocou hriadeľa. Turbína slúži ako zdroj krútiaceho momentu pre kompresor, ktorý
naopak stláčaním vzduchu umožňuje aby sa energia paliva v spaľovacej komore mohla
uvoľniť na teplo s najväčšímmožným potenciálom, ktoré je následne v turbíne premenené
na prácu na hriadeli. Užitočný výkon turbokompresorového jadra tvorí len veľmimalú časť
v bilancii medzi výkonom turbíny a príkonom kompresora, preto aj malé zhoršenie účin-
nosti týchto častí sa môže nepriaznivo odraziť na celkovom výkone jadra a tým aj celého
motora.
Horeuvedený popis charakterizuje najjednoduchší druh TKPM – jednoprúdový motor.
Neskôr sa objavil dvojprúdový motor, ktorý má väčšiu účinnosť vo väčšine prípadov. To
sa prejavuje v súčasnej situácii v letectve, kedy dvojprúdové motory tvoria väčšinu všet-
kých TKPM. Pre objasnenie tejto príčiny a úlohy dúchadla (ventilátora) v dvojprúdových
motoroch je nutná analýza propulzívnej účinnosti.
1.1.2 Propulzívna účinnosť TKPM
Pre dosiahnutie dobrých výkonových a ekonomických ukazovateľov je potrebné, aby sa
chemická energia obsiahnutá v palive premenila na prácu ťahu s čo najlepšou účinnosťou.
Pretože sme obmedzení propulzívnym princípom, túto účinnosť si možno predstaviť ako
produkt dvoch oddelených účinností:
4
LF KLI
1. účinnosti premeny chemickej energie paliva na kinetickú energiu prúdu plynov;
2. účinnosti urýchlenia prúdu plynov na vytvorenie ťahu.
V prvom prípade sa jedná o termodynamickú a hydrodynamickú účinnosť, ktorú možno
zlepšiť celkovo zdokonaľovaním parametrov termodynamického cyklu (napr. voľbou ma-
teriálov s lepšou žiarupevnosťou). Túto účinnosť možno zlepšiť aj dokonalým zvládnutím
procesu horenia a dokonalým tvarovaním všetkých obtekaných častí motora. Termody-
namickým modelom všetkých turbínových motorov je Braytonov cyklus (alebo obeh).
V tomto cykle sa vyskytujú štyri dôležité body, ktoré zodpovedajú miestu pred kompreso-
rom (bod 1), miestu za kompresorom (bod 2), miestu pred turbínou (bod 3) a miestu za
turbínou (bod 4). Termodynamická účinnosť Braytonovho cyklu je závislá hlavne na stla-
čení vzduchu v kompresore a pre reálny cyklus aj na teplote horenia (presnejšie povedané
– na podieli teplôt v bode 3 a 1) – viď obr. 1.1.
0
10
20
30
40
50
60
70
50 10 15 20 25 30 35 40
stlačenie [1]
tepelnáúčinno
sť[%
]
ideálny cyklus
polytropická kompresia a expanziat0 = 15 ◦Cúčinnosť kompresora = 87%účinnosť turbíny = 92%
t3 = 1200 ◦C
t3 = 1000 ◦C
t3 = 800 ◦C
Obr. 1.1 Tepelná účinnosť reálneho Braytonovho cyklu – podľa [Boyce, 2001].
Letecké turbínové motory musia kvôli vysokému požadovanému výkonu používať veľmi
vysoké teploty a z obrázku vyplýva, že s ohľadomna tepelnú účinnosť tomu zodpovedajú aj
vysoké stlačenia v kompresore – najčastejšie v rozsahu 20–30, aj keď najnovšiemotory pre
dopravné lietadlá dosahujú hodnoty viac ako 40 (Rolls Royce Trent 900 pre Airbus A380).
5
LF KLI
Vdruhomprípade sa jedná o propulzívnu účinnosť samotného princípu vytvárania ťahu.
Vytváranie ťahu na základe urýchľovania plynov obsahuje v sebe principiálny rozpor. Ak
chceme totiž vytvoriť čo najväčší ťah, musíme plynu udeliť čo najväčšiu hybnosť. Ak však
chceme vysokú účinnosť premeny energie na ťah (propulzivnu účinnosť), musí byť zvýše-
nie kinetickej energie plynov čo najmenšie. V limitnomprípade je zmena hybnosti nulová a
preto je nulová aj vynaložená energia, takžepropulzívnaúčinnosť sablíži k 100%, ale ťah sa
blíži k nule. Kompromisné riešenie spočíva v tom, že sa snažíme zadanú zmenu hybnosti
(tým aj ťah) dosiahnuť s čo najmenším zvýšením kinetickej energie. Pretože prietočné
množstvo prispieva ku kinetickej energii lineárne, ale urýchlenie prispieva ku kinetickej
energii kvadraticky, riešením je zväčšenie prietočného prierezu na úkor urýchlenia plynov.
To je dôvod, prečo je pohon vrtuľou propulzívne účinnejší ako ekvivalentný prúdový po-
hon. Bohužiaľ vrtuľa je obmedzená iba na subsonické rýchlosti letu približne do hodnoty
M=0.6. Riešením je dvojprúdový motor (DPM). Na rozdiel od jednoprúdového motora
(JPM), sa značná časť energie plynov odoberá v prídavnom stupni turbíny a tá potom
slúži pre pohon dúchadlového kolesa, ktoré je umiestnené pred samotným kompresorom.
Dúchadlomámenší priemer ako vrtuľa, čomu zabezpečuje účinnosť aj pri transsonických
dopredných rýchlostiach, ale zároveň spracováva väčšie objemy vzduchu ako turbokom-
presorová časť. Výstup z dúchadla je vedený hlavne okolo samotného turbokompresoro-
vého jadra, ale pred dýzou sa môžu oba výstupy opäť spojiť v tzv. zmiešavacej komore, čo
je konštrukčne vhodné premotory smalým obtokovým pomerom.
Pomer prietoku vo vonkajšom prúde voči prietoku vo vnútornom prúde (t. j. obtokový
pomer) je závislý na priemere dúchadlového kolesa. Motory pre veľkokapacitné dopravné
lietadlá sú určené pre menšie rýchlosti, takže môžu mať veľký priemer dúchadla a tým
aj veľký obtokový pomer (v súčasnosti okolo hodnoty 10). Motory pre vojenské lietadlá
sú určené pre transsonické a supersonické rýchlosti, preto ich dúchadlá majú iba mierne
väčší priemer ako kompresor a tomu je úmerný aj malý obtokový pomer (väčšinou okolo
hodnoty 0.4).
6
LF KLI
V 80-tych rokoch bola snaha o vývoj nových vrtulí, ktoré by mali účinnosť 0.8 až do
rýchlosti M= 0.8.Tieto sa od klasických vrtulí značne odlišovali výrazne šípovitými su-
personickými listami s 8-10 listami, preto sa pre ne začalo používať označenie propfan
(vrtuľo-ventilátor v preklade z angličtiny). Vývoj v USA ustal, pretože, podľa [Cohen et al.,
1996, s. 119], tento pohon vyžaduje náročný vývoj nových reduktorov pre prenos výkonov
vyše 8000 kW a tiež kvôli príliš vysokej hlučnosti propfanov. Napriek tomu, v Európskej
únii a na Ukrajine je vývoj týchto nových pohonných jednotiek úspešný (EPI TP400-D6
pre Airbus A-400M a Progress D-27 pre Antonov An-70). Kým sa nepreukáže úspešnosť
tejto koncepcie v reálnom nasadení, ostáva trh pohonných jednotiek pre rýchlosti M> 0.6
rezervovaný pre turbokompresorovémotory s dúchadlami.
1.1.3 Odlišnosti konštrukcie dúchadiel
Princíp práce dúchadla (ventilátora) sa neodlišuje od vrtule, alebo lopatkového kompre-
sora. Iný názov je iba vyjadrením mierne odlišnej funkcie. Pri vrtuli je dôraz na propulziu
– bezprostredné vyvodenie ťahovej sily. Pri kompresore je zdôraznená funkcia stlačenia
a prietok je len sekundárny prejav. Pri dúchadle sa jedná o vyvolanie objemového alebo
hmotnostného prietoku (konečné urýchlenie pre získanie čo najväčšieho ťahu sa uskutoč-
ňuje často až v dýze). Dúchadlo má s vrtuľou spoločný komplexný charakter rýchlostného
poľa v závislosti na polomere, podobne ako lopatkový kompresor má široké lopatky pre
dosiahnutie potrebného stlačenia pre svoju funkciu, ale na rozdiel od obidvochmá výrazne
trojrozmerný charakter prúdenia. Teda, návrh dúchadlového stupňa sa odlišuje tak od
návrhu vrtule, ako aj od návrhu kompresorového stupňa.
Pretože kompresory leteckých motorov musia dosahovať stlačenia 20–30, ale maxi-
málne dosiahnuteľné celkové stlačenie v jednom axiálnom stupni je kvôli účinnosti obme-
dzené na hodnoty 1.1–1.4, axiálny kompresor sa vždy skladá z viacerých stupňov. Oproti
tomu, veľké dúchadlá bývajú iba jednostupňové, vďaka hĺbke lopatkymávajú väčšie stlače-
nie ako kompresorové stupne (v prípademotora DV-2 je to hodnota 2.38).
7
LF KLI
1.1.4 Charakteristikamotora DV-2
(Na základe údajov v [Hocko, 2007].)
Motor DV-2 bol vyvinutý v bývalom Sovietskom zväze združením PROGRESS v Zá-
poroží. Návrh motora je dielom konštrukčnej kancelárie Lotarev. Výrobcom je podnik
Považské strojárne Letecké motory, a. s. v Považskej Bystrici. Vývoj motora začal v roku
1980. Projektovaný bol pre výšku letu 6000m a rýchlosť letu 700 km/h, s plánovaným
nasadením pre cvičné prúdové lietadlo L-39MS. Neskôr bol použitý aj v lietadlách L-59 a
Jak-130 (AermacchiM-346).
Obr. 1.2 Schémamotora DV-2.
Zvláštnosťoumotora DV-2 je pomerne veľký obtokový pomer (m = 1.5) oproti motorom
podobnej kategórie. Napríkladmotor Honeywell TFE1042 (vojenské označenie F124)má
obtokový pomerm = 0.472. Spolu s vysokým stlačením v kompresore (18 u DV-2 oproti
19.4 u F124) sa to odráža na nízkej špecifickej spotrebe paliva pri motore DV-2 (0.06
kg/(Nh) na maximálnom režime), v porovnaní s konkurenciou (okolo 0.08 kg/(Nh)).
Vysoký obtokový pomer však znamenámenší prietok horúcim traktomprvéhoprúdu (20.6
kg/s u DV-2 oproti 28.9 u F124), čo je zrejme hlavný dôvod nižšieho ťahu (21.6 kN oproti
29.0 kN). K tomu čiastočne prispieva aj teplota pred turbínou 1 196 ◦C, ktorá je menšia
ako u konkurencie (okolo 1400 ◦C).
8
LF KLI
Najdôležitejšie údaje omotore DV-2 (max. režim,MŠA h = 0m):
suchá hmotnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 kg
ťah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 kN
hmotnostný prietok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 kg/s
otáčky nízkotlakého rotora . . . . . . . . . . 13 365.5 ot./min
vstupný priemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645mm
obtokový pomer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5
celkové stlačenie v dúchadle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.38
celkové stlačeniemotora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
teplota pred turbínou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 196 ◦C
špecifická spotreba paliva . . . . . . . . . . . . 0.06 kg/(Nh)
projektovaná účinnosť ηizII . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.845
1.1.5 Dúchadlomotora DV-2
Vzhľadom k veľkým rozmerom dúchadla je pri maximálnych otáčkach obvodová rýchlosť
koncov lopatiek 450 m/s. Pri vektorovom sčítaní s axiálnou rýchlosťou 128 m/s vychá-
dza na koncoch lopatiek celková rýchlosť 468 m/s relatívne voči lopatke. To znamená že
prúdenie na koncoch lopatiek je supersonické (M≈1.4). S prihliadnutím na existenciu
subsonického prúdenia v ostatných častiach, je vhodnejšie celkové prúdenie v dúchadle
označiť ako transsonické.
Veľkosť dúchadla spôsobuje aj ďalšiu komplikáciu – variabilná veľkosť obvodovej štrbiny
medzi koncom lopatiek a vonkajším plášťom motora. Kvôli veľkému zaťaženiu odstredi-
vými silami dochádza pri maximálnom režime k takému natiahnutiu materiálu lopatky,
že sa jej koniec dotkne obvodovej upchávky a eliminuje tak obvodovú medzeru takmer
na nulu. V kľudovom stave je veľkosť medzery okolo 1.5 mm. Táto veľkosť medzery pri
danej štíhlosti lopatiek spôsobuje nezanedbateľné straty, ktoré sa menia s otáčkami, čo
sťažuje proces výpočtu charakteristík. Veľkosť obvodovej medzery je závislá na veľkosti
9
LF KLI
odstredivej sily komplikovaným spôsobom, pretože okrem ťahového namáhania, dochá-
dza aj k ohybu komplikovaného priestorového tvaru lopatky. Pre odhad veľkosti obvodovej
medzery v tejto práci je použitá jednoduchá kvadratická závislosť na otáčkach.
Obr. 1.3 Pohľad na 15-lopatkové dúchadlomotora DV-2.
1.2 Druhy strát
Straty v dúchadlemožno rozdeliť nasledovným spôsobom [Wright, 1999, s. 259]:
– profilové straty lopatiek (trenie a odtrhnutie prúdu)
– straty vplyvommedznej vrstvy na koncových stenách (kútové víry) a vplyvom obvo-
dovej medzery na konci lopatky
– straty v rázových vlnách
– straty obtekaním prvkov tlmiacich a vystužujúcich lopatky
Prvédvadruhy strát súnajvýznamnejšie amaloby sa snimiuvažovať užpri návrhu, pretože
obmedzujú nielen výkonové parametre v návrhovej oblasti, ale aj celkový rozsah oblasti
10
LF KLI
stabilnej práce (danýmasívnymodtrhnutímprúdenia a pumpážou). Podobný rozbor strát,
aj s výpočtom, je rozvedený v [Cohen et al., 1996, s. 208], [Boyce, 2001, s. 313] a [Wright,
1999, s. 260–266].
Za zmienku stojí údaj o znížení účinnosti o 1–2% pri zväčšení obvodovej medzery o 1%
[Walsh a Fletcher, 2004, s. 177], ale ten istý prameň zároveň dodáva, že presná hodnota sa
líši v závislosti od návrhu kompresora, a treba ju určiť výpočtami a skúškami.
1.3 Termodynamická účinnosť dúchadla
Účinnosť je vyjadrením úžitku (obvykle využiteľnej energie) v pomere k vloženej energii.
Termodynamickú účinnosť v prípade tepelného cyklu možno definovať priamočiaro, ako
pomer získanej práce k dodanému teplu. Pre výpočet práce otvoreného cyklu nie je možné
použiť klasickú rovnicu zachovania energie:
dU = dQ+ dW
kde U je vnútorná energia, Q je privedené teplo, W je privedená práca. Dôvodom je
to, že tepelné stroje s otvoreným cyklom sú prepojené s atmosférou, takže privedením
práce pracovnémumédiu dochádza aj k ovplyvňovaniu okolia. Preto sa s výhodou používa
upravená rovnica, kde na ľavej strane pribudol potenciál tlakových síl okoliaU + p V = H
a výsledná veličinaH sa nazýva entalpia [Cohen et al., 1996, s. 46]. Modifikovaná rovnica
zachovania energie vyzerá nasledovne:
dH = dQ+ V dp
Integrál V dp na pravej strane predstavuje tzv. technickú prácu, ktorá vyjadruje skutočnú
prácu v otvorených dejoch (t. j. dejoch kde je vnútorný priestor stroja prepojený s atmosfé-
rou). Táto rovnica je však stále použiteľná iba pre klasickú termodynamiku rovnovážnych
dejov. V reálnych dejoch dochádza v dôsledku prúdenia plynu k výmenám medzi kinetic-
kou energiou plynu a entalpiou. Tomá významný dopad na definíciu vratných dejov.
11
LF KLI
Vklasickej termodynamike saneuvažuje spohybommédia, pretodostatočnoudefiníciou
vratnosti deja je tepelná izolácia odokolia (dQ = 0). Takýdej sapotomnazývaadiabatický
(z gréčtiny – bez prívodu tepla).
Pre dej s konečnou rýchlosťou prúdenia média, je pre vratnosť deja nutné navyše zabez-
pečiť, že nedôjde k nevratnej premene kinetickej energie prúdiacehomédia na teplo (k tzv.
disipácii). Taký dej sa potom nazýva izentropický (vo význame „bez zmeny entropie“).
Izentropický dej je preto univerzálnejšia definícia vratného deja, pretože uvažuje nielen
termodynamické efekty (prívod tepla tepelným prenosom), ale aj aerodynamické efekty
(generovanie tepla trením vmedznej vrstve, alebo turbulentným vírením).
Na základe definície izentropického deja, možno ku každej termodynamickej stavovej
veličine definovať jej dvojníka s prívlastkom celkový (alebo stagnačný), ktorý zodpovedá
stavu tejto veličiny pri izentropickom zbrzdení na nulovú rýchlosť. Napr. celková entalpia
Hc je rovná pôvodnej entalpiiH zvýšenej o pôvodnú kinetickú energiu plynu zbrzdeného
z rýchlosti u:
Hc = H +12mu2
Po vydelení hmotnosťou dostaneme vzťah pre špecifickú celkovú entalpiu hc:
hc = h+u2
2
Ostatné stavové veličiny je možné vypočítať na základe entalpie. Vzťah pre celkovú teplotu
Tc je:
Tc = T +u2
2cp
kde cp je špecifická tepelná kapacita pri konštantnom tlaku. (Platí za predpokladu kon-
štantnej hodnoty cp). Vzťah pre celkový tlak pc je:
pc = p
(TcT
) γγ−1
kde γ je adiabatický koeficient (γ = cpcv).
Uvedený vzťah pre celkový tlak sa odlišuje od bežne používaného približného tvaru
12
LF KLI
pc = p + (1/2) % u2, ale pre nestlačiteľné prúdenie (M < 0.3), dávajú obidva zhodné
výsledky.
Význam celkových veličín spočíva v tom, že je možné používať termodynamické dia-
gramy aj pre reálne deje v pohybe, len namiesto statických veličín sa zakresľujú celkové.
Na základe horeuvedených definícií je možné definovať účinnosť stláčania v dúchadle.
Z hľadiska účinnosti cyklu je ideálnym procesom stláčania adiabatická zmena, presnej-
šie izentropická zmena. V reálnom procese dochádza, v dôsledku molekulárneho trenia,
k vytváraniu disipatívneho tepla, čo zvyšuje potrebnú technickú prácu na dané stlačenie.
Vhodným vyjadrením účinnosti je preto pomermedzi prácou potrebnou na stlačenie v ide-
álnom deji a prácou potrebnou na to isté stlačenie v skutočnom deji. Pretože ideálnym
cyklom je izentropický dej, definovaná je izentropická účinnosť ηiz [Cohen et al., 1996, s.
48], [PS-TSb, 1988, s. 8]:
η iz =wc izwc
=∆hc iz∆hc
=T2c iz − T1cT2c − T1c
=π
γ−1γc − 1T2cT1c− 1
(1.1)
kdew je špecifická práca,h je špecifická entalpia,π je stlačenie v dúchadle, γ je adiabatický
koeficient (pre dvojatómové plyny γ = 1.4, pre jednoatómové plyny γ = 1.66).
1.4 Prúdenie v dúchadle
Akouž bolo spomenuté pri charakteristike dúchadla, prúdenie na obvode lopatiek primax.
otáčkach je úplne supersonické. Prúdenie v koreni lopatiek je subsonické. Z toho jemožné
predpokladať existenciu zložitého systému rázových vĺn. Prítomnosť kolmých rázových
vĺn v medzilopatkovom priestore spôsobuje tzv. aerodynamické upchatie – stav pri istej
hodnote prietoku, kedy už ani úplným odstránením škrtenia výstupu nie je ďalej možné
zvýšiť hmotnostný prietok.
13
LF KLI
1.4.1 Výkonové charakteristiky dúchadla
Výkony dúchadla sa zakresľujú v podobe tzv. škrtiacich charakteristík (angl. characte-
ristics, alebo maps), kde vodorovná os predstavuje hmotnostný prietok. Najdôležitejšou
škrtiacou charakteristikou je charakteristika stlačenia (presnejšie celkového stlačenia) kde
zvislá os predstavuje stlačenie, t. j. pomer tlakov za a pred dúchadlom (obr. 1.4). Čiary cha-
rakteristík sa zakresľujú pri konštantných otáčkach.
Zmena prietoku pri meraní charakteristík sa dosahuje privieraním výstupu (škrtením).
Základný tvar charakteristiky stlačenia je danýdo značnejmiery kinematicky–geometriou
lopatiek. Priesečník krivky stlačenia s horizontálnou osou zodpovedá úplne otvorenému
výstupu, kde sa dosahuje maximálny prietok. Vyšší prietok môže byť dosiahnutý iba nú-
teným prietokom. So zväčšovaním škrtenia dochádza k poklesu prietoku a zvyšovaniu
výstupného tlaku. S postupným znižovaním prietoku dochádza aj k zväčšovaniu relatív-
neho uhla pritekania vzduchu na lopatky dúchadla, čo má za následok separáciu prúdenia
na podtlakovej strane lopatky a, kvôli tomu spôsobeným stratám, postupný odklon krivky
k nižším hodnotám tlaku. Za maximálnou hodnotou stlačenia, v oblasti opačného sklonu
krivky, dochádza k strate stability. Je síce možné zmerať úplne zaškrtený bod (bod s nu-
lovým prietokom), ale prechod z normálneho režimu je sprevádzaný náhlym rozpadom
celkového obrazu prúdenia. V prípade zaradenia dúchadla do série s ďalšími stupňami,
nestabilita spolu so zložitejšou dynamikou prúdenia spôsobuje periodické zvrátenie smeru
prúdenia, často s deštruktívnymi následkami na konštrukciu lopatiek. Posledne popísa-
nému javu sa hovorí pumpáž (angl. surge).
Tvar škrtiacej krivky celkového stlačenia sa líši v závislosti na otáčkach. Pri malých
otáčkach, kde je prúdenie v celom objem subsonické, charakteristika v stabilnej oblasti má
jednoduchý tvar s postupným zväčšovaním strmosti so zvyšujúcim sa prietokom.
V praxi však dúchadlá väčšinou pracujú pri otáčkach, kedy sa objavujú oblasti s super-
sonickým prúdením. Pri zväčšovaní prietoku dochádza k aerodynamickému upchávaniu
(angl. choke)medzilopatkových kanálov kolmou rázovou vlnou, ktorej rozsah sa postupne
14
LF KLI
hmotnostný prietok
n = konšt.
stlačenie
aerodynamické upchatie
hmotnostný prietok
n = konšt.
stlačenie
v podzvukovej oblasti s rázovými vlnami
1 1
dotyčnica dotyčnica
pumpáž
straty separáciou straty separáciou
pumpáž
0 0
ideálny (kinematický) priebeh ideálny (kinematický) priebeh
Obr. 1.4 Škrtiaca charakteristika stlačenia dúchadla.
zväčšuje od obvodu smerom k náboju. Prejavuje sa to strmým ukončením priebehu v ob-
lasti max. prietoku. Tento jav je výraznejší pri väčších otáčkach. Hodnota prietoku pri
aerodynamickom upchatí sa zvyšuje so zvyšujúcimi sa otáčkami.
1.4.2 Kinematika prúdenia v lopatkovej mreži
Lopatková mreža predstavuje pravidelné, opakujúce sa, usporiadanie aerodynamických
profilov alebo lopatiek. Je základným modelom lopatkových častí v rotačne symetrických
strojoch a takou je aj skúmané dúchadlo.
Základná vlastnosť, ktorá má vplyv na voľbu výpočtových nástrojov a okrajových pod-
mienok vyplýva z kinematiky prúdenia v lopatkovej mreži. Rozdiel medzi prúdením v lo-
patkovejmreži a okolo izolovanéhoprofilumožnodemonštrovať na obraze potenciálového
prúdenia, kde vplyv lopatiek profilov je nahradený izolovanými vírmi s cirkuláciou úmer-
nou uhlu nábehu profilu (obr. 1.5).
Prúdenie okolo izolovaného profilu s cirkuláciou Γ je v potenciálovom prúdení dané
tangenciálnou rýchlosťou víru vt podľa vzorca:
vt =Γr
kde r je polomer vzdialenosti od víru. Zložka rýchlosti vy, kolmá na smer nerozrušeného
15
LF KLI
izolovaný profil lopatkovámreža
cirkulácia
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Obr. 1.5 Kinematika prúdenia okolo izolovaného profilu a v lopatkovej mreži.
prúdu je daná iba veľkosťou cirkulácie, podľa vzorca:
vy =x
x2 + y2· Γ
kde x a y sú zodpovedajúce horizontálne a vertikálne zložky relatívneho vektora polohy,
voči víru. Podľa tohto vzťahu, má rozrušenie prúdu vírom, vyjadrené zložkou rýchlosti vy,
asymptotický priebeh so zánikom v nekonečne.
Prúdenie okolo lopatkovej mreže je možné nahradiť idealizovanou mrežou s kontinuál-
nym rozmiestnením vírov v rovine mreže, s cirkuláciou Γ charakterizovanou diferenciál-
nou hustotou cirkulácie γ definovanou vzťahom γ = dΓ/ds, kde ds predstavuje lineárny
úsek mreže. Príspevok elementárnej cirkulácie na úseku mreže dΓ = γ · ds ku kolmej
zložke rýchlosti dvy je definovaný analogicky prípadu s izolovaným profilom:
dvy =x
x2 + y2· dΓ =
x
x2 + y2· γ ds
Po integrovaní pre nekonečne dlhú lopatkovúmrežu:
vy =∫ +∞
−∞
x
x2 + y2· γ ds = ±γ ·
[arctan
( sx
)]s=+∞s=−∞
= ±γ · π
Je vidieť, že rozrušenie prúdu mrežou má úplne iný charakter – pred aj za mrežou existuje
rovinné prúdenie s navzájom opačnou kolmou zložkou rýchlosti vy.
16
LF KLI
Zatiaľ čo vplyv izolovaného profilu na prúdenie siaha do pomerne veľkej vzdialenosti a
má asymptotický priebeh, vplyv jednotlivých lopatiek mreže sa vzájomne ruší už v malej
vzdialenosti a vo väčšej vzdialenosti je prúdenie rovinné. Tento zásadný rozdiel neumož-
ňuje na analýzu prúdenia okolo lopatiek mreže použiť bežné nástroje určené na analýzu
profilov v rovinnom prúdení. Na druhú stranu, to uľahčuje definíciu okrajových podmie-
nok, pretože okraj vstupnej oblasti výpočtového modelu môže byť ukončený pomerne
blízko lopatky amôže byť na ňom definované homogénne rýchlostné pole.
1.4.3 Druh prúdiacehomédia
Potenciálovéprúdenieneumožňuje analýzuprúdenia skutočného transsonickéhodúchadla.
Základnú úroveň výpočtov tvoria až Eulerove rovnice. Eulerove rovnice uvažujú idealizo-
vanémédiumbez viskozity. Tento druh idealizácie umožňuje analýzu efektov stlačiteľnosti,
ktoré sú v transsonickej oblasti dominantné. Vyžaduje to však spolu s rovnicou hybnosti
riešiť aj rovnicu energie.Na to je potrebný termodynamickýmodelmédia vpodobe stavovej
rovnice ideálneho plynu.
Najzložitejším druhom výpočtovýchmodelov sú tie, ktoré uvažujúmédium s viskozitou.
Takémodely umožňujú riešiť aj takédetaily prúdenia, ktoré súvisia s javmi vmedznej vrstve
a vzájomným ovplyvňovaním viskozitných javov a javov stlačiteľnosti. Takéto modely sú
založené na riešení nezjednodušenýchNavier-Stokesových rovníc, alebo Boltzmannových
rovníc.
1.5 Modelovanie a experiment
1.5.1 Situácia vo vede
Empirická veda, tak ako ju dnes chápeme, predstavuje spoznávanie objektívnej skutoč-
nosti (pravdy) pomocou postupov rešpektujúcich logiku. Tieto znalosti sú reprezentované
teóriami, pričom objektívne testovanie týchto teórií pomocou experimentov a pozorovaní
17
LF KLI
je súčasťou celého snaženia. Proces vytvárania teórií (niekedy nepresne nazývaný ako čistá
veda, alebo teória) a proces empirického testovania (experimenty a pozorovania) tvoria
dve rôzne strany vedy.
Veľmi dôležitým nástrojom vedy jemodelovanie - napodobňovanie skutočnosti, vytvára-
nie modelov. Modelovanie sa využíva jednak pri vytváraní teórií (hypotéz), ale aj v procese
experimentov. V prípade teórií je výsledkomnejaký zjednodušený analytickýmodel a v prí-
pade experimentov sa využívajú princípy fyzikálneho modelovania. Tie nemajú za cieľ
zjednodušenie fyzikálneho javu, ale stanovenie pravidiel, na základe ktorých môžu byť
výsledky aplikovanémedzi dvoma podobnými javmi.
Po stáročia bol rozvoj empirickej vedy závislý na analytických modeloch a na ich ove-
rovaní experimentom a pozorovaním. Celý postup spočíval v tom, že pomocou teórie
založenej na analytických modeloch sa stanovovali predpovede, a následne sa tieto pred-
povede overovali empiricky, v kontrolovaných experimentoch, alebo dlhodobým pozoro-
vanímmnožstva podobných javov.
Situácia sa však radikálne zmenila s rozvojom kapacity počítačov v niekoľkých posled-
ných desaťročiach. To umožnilo pomocou numerickej matematiky skúmať tak zložité mo-
dely, že to nemalo obdobu s klasickými analytickými postupmi a zároveň to umožňovalo
mať pod kontrolou úplne všetky podmienky skúmaného javu, nie ako pri pozorovaní a
experimente. Numerické modelovanie sa vydelilo ako samostatný nástroj poznania, ktorý
dopĺňa teoretické a empirické postupy.
Pred príchodompočítačov a rozvinutých numerickýchmetód sa za hodnoverné potvrde-
nie teórie považovalo ibapozorovanie a experiment.Dnes tútoúlohuvmnohýchprípadoch
preberá sledovanie správania numerických modelov – simulácia. Využíva sa ten fakt, že
ani experiment, ani numerická simulácia nie sú schopné poskytnúť spoľahlivé výsledky vo
všetkých prípadoch, ale vhodne sa dopĺňajú a zostáva tak menšia oblasť javov, ktorú nie
je možné hodnoverne overiť pri vynaložení prijateľných nákladov. Vyjadrením tejto duality
je aj to, že numerická simulácia sa často označuje aj ako numerický, alebo počítačový
experiment.
18
LF KLI
1.5.2 Situácia v technike
Technika tvorí inú oblasť ľudskej činnosti ako veda. V technike je dôraz na aplikované
využitie znalostí. Ak všakmá byť návrh nového technického diela úspešný, musí sa opierať
o fyzikálnu pravdu, preto sa technika s vedou prelínajú – technika využíva objektívne
vedecké závery a veda čerpá z techniky inšpiráciu pre nový výskum. Na rozdiel od vedy
sa však v technike používajú aj postupy, spoločné s ostatnými oblasťami ľudskej činnosti,
ktoré nemožno nazvať vedecké (nie je možné overiť ich správnosť), ale sú založené na
nekodifikovanej skúsenosti. Takéto postupy obyčajne nazývame slovom umenie.
Okolnosti nútia súčasnú techniku používať čoraz viac vedecké metódy – dôvodom je
napr. snaha investorov o znižovanie rizika aj za cenu vyšších počiatočných nákladov, so-
fistikovanosť dnešných technológií a zvyšovnie kvality spolu s optimalizáciou nákladov.
(Odráža sa to aj na súčasnej transformácií pôvodne polytechnického vzdelávania na vyso-
kých školách na jednotnú formu založenú podľa vzoru tradičných vedných odborov (fyziky
apod.).
Nikdy však nebudemožné v technike potlačiť prvok umenia, preto sa aj klasické vedecké
postupy používajú v technike odlišne. Napríklad, dnes majú v technike veľké slovo nume-
rické nástroje modelovania. Používajú sa však omnoho voľnejšie ako vo vede a aplikujú
sa často aj prípadoch, kedy by to bolo vo vede sporné. Ich použitie je založené na dôvere,
ktorá vyplýva z vedeckých záverov a preto sa používajú aj v prípadoch, kedy sú ich vý-
sledky nie celkom spoľahlivé. Dôvodom je často fakt, že jednoducho neexistujú inémetódy
a často stačí iba hrubý odhad alebo porovnanie viacerých variantov riešenia bez dôrazu na
presnosť výsledkov. Pri takomto nasadení veľmi často rozhoduje skúsenosť obsluhy týchto
pokročilých nástrojov, takže tu hrá značnú úlohu umenie.
19
LF KLI
1.5.3 Analytickémodely (teória)
Podstata analytického postupu pri modelovaní spočíva, ako už bolo spomenuté, na mate-
matických a logickýchpostupoch. Podstatou tohtopostupu je konštrukcia teórie, ktorou sa
snažíme uchopiť realitu. To znamená, že teória musí byť využiteľná nielen pre vysvetlenie
existujúcich javov, ale aj pre ich predpovedanie.
Pretože objektívna skutočnosť je aj po najnutnejších zjednodušeniach (ako je napr. prin-
cíp kontinuity média) rádovo komplexnejšia ako kapacita nášho mozgu, je nutné zo všet-
kých fyzikálnych princípov majúcich vplyv na sledovaný jav zachovať iba tie, ktoré sú
v danom prípade dôležité. Tým sa dopúšťame chyby, ktorej hodnovernú kvantifikáciu
môže poskytnúť iba fyzikálna empíria alebo numerický experiment.
Tento teoretický postup má v praxi veľkú výhodu, lebo celý jav možno redukovať na nie-
koľko parametrov, čo sa využíva pri optimalizácii. Použitie analytickej matematiky má za
následok spojité riešenie, ku ktorému sa dá často nájsť inverzný postup (opak analýzy),
ktorý sa s výhodou používa na riešenie reverzných problémov – návrhu. Typickým príkla-
dom je využitie konformného zobrazenia pri návrhu tvaru aerodynamických profilov, na
základe tlakového rozloženia.
Teoretický postupmá nasledovné charakteristiky:
• výsledná teória je aplikovateľná iba pre uvažovaný typ geometrie,
• odvodenie teórie je najzdĺhavejšou časťou procesu,
• získanie výsledkov na súčasných počítačoch trvá rádovo sekundy.
1.5.4 Fyzikálny experiment
Slovom experiment sa tu rozumie jednak fyzikálny experiment, ale aj fyzikálne pozoro-
vanie (meranie pri nekontrolovaných podmienkach). Do nástupu počítačov sa za jediné
hodnoverné potvrdenie teórie považoval experiment, pretože, akákoľvek zložitá teória je
20
LF KLI
vždy iba zjednodušením reality, a realitu v jej celej komplexnosti nebudeme vedieť nikdy
spočítať.
Konkrétne v aerodynamike však pri experimente nie vždy dokážeme ovládať všetky
vplyvy, takže presnosť môže byť paradoxne niekedy horšia ako pri výpočte. To je možné
demonštrovať na príklade aerodynamického odporu laminárnych profilov.
Ďalší problém je v otázkemiery prijateľných nákladov na experiment. Napr. problémom
experimentov s kompresormi sú obrovské potrebné príkony, napr. podľa [Cohen et al.,
1996, s. 227] príkon kompresoru motora Olympus 593 z Concordu je 75 MW (25 MW
pre nízkotlakú a 50 MW pre vysokotlakú časť). V prípade motora DV-2 ide orientačne o 7
MW príkonu len do dúchadla. Ak potrebujeme zmerať úplné charakteristiky kompresora
(dúchadla), tento príkonmusí byť privedený z elektromotora, lebo pri inom druhu pohonu
nevieme riadiť krútiaci moment v celom rozsahu otáčok a prietokov. Elektromotory s tak
vysokým výkonom nie sú bežne dostupné, preto sa pri meraniach niekedy používa spria-
hnutie kompresora s turbínou (meranie namotore). Pri spriahnutí kompresora s turbínou
sme obmedzení nielen otáčkami, kedy je táto dvojica schopná samostatne pracovať, ale
aj prietokmi, kedy ešte nedochádza k nestabilite prúdenia s potenciálne deštruktívnymi
následkami .
Experimenty v zmenšenejmierke nie jemožné realizovať, ak potrebujeme súčasne splniť
viacero rôznych kritérií podobnosti (napr. súčasne zachovať Reynoldsovo aj Machovo
číslo).
1.5.5 Numerickémodely a simulácia
Ako už bolo spomenuté,modelovanie je možné opísať ako napodobovanie, alebo vytvára-
niemodelov. Slovo simulácia sapoužíva vo význame štúdia chovaniamodelu. To implikuje
potrebumodelu, pri ktoromvieme získať výstupy v reálnomčase, automatizovane.Najčas-
tejšie sú také modely realizované na počítači, preto sa pojem simulácia podvedome spája
s počítačovýmimodelmi, či už analytickými, alebo numerickými.
21
LF KLI
Numerická matematika kedysi tvorila nástroj pre riešenie niektorých problémov v tech-
nike, ktoré boli zjednodušením reality – napr. riešenie silovej rovnováhy v priehradových
nosníkoch. Na potvrdenie úspešnosti návrhu sa však požadoval experiment so skutočnou
konštrukciou.
Použitie numerickej matematiky bolo v minulosti pracné. Rozvoj numerických metód a
rozšírenie ich aplikácie na rádovo komplexnejšie prípady bolo umožnené až s automatizá-
ciou výpočtov pomocou počítačov. Komplexnosť riešených problémov napredovala s tým,
ako sa rozvíjala kapacita počítačov. Typickým príkladom nasadenia numeriky v technike
je výpočet napätosti a deformáciemateriálu (metódy CAE, alebo CSD) a výpočet prúdenia
(metódy CFD). Približne od 70tych rokov sa pomocou numerických modelov riešia prob-
lémy pomocou Navier-Stokesových rovníc prúdenia, čo im umožnilo nahradiť tradičnú
nezastupiteľnú úlohu experimentu vmnohých oblastiach aerodynamiky.
Najväčšou bariérou rozšírenia aplikácie výsledkov numerických metód v aerodynamike
je v súčasnosti:
• hodnoverné modelovanie turbulencie (dôležité pre presný výpočet aerodynamic-
kého odporu a strát v turbínových strojoch),
• zníženie numerickej difúzie pri zachovaní stability (dôležité pre výpočet spaľovania
pri vysokých rýchlostiach –motory SCRAMJET) [Anderson, 1995].
Oblasťou, v ktorej sú kontrolované experimenty prakticky neuskutočniteľné, a nezastu-
piteľnú úlohu majú numerické modely, je napríklad aerodynamika kozmických návrato-
vých prostriedkov.
Numerická simuláciamá, v porovnaní s klasickými analytickýmimetódami, nasledovné
charakteristiky:
• numerické nástroje sú bez modifikácie použiteľné na viacero tried problémov (ja-
vov), často sú použiteľné interdisciplinárne (v aerodynamike, meteorológii, oceáno-
lógii, astrofyzike, energetike),
22
LF KLI
• numerickémodelymajú potenciál nahradiť v mnohých prípadoch experimenty,
• zložitosťou sa veľmi blíži realite – zjednodušenia sú úmerné iba možnostiam počíta-
čov (veľký pokrok v kapacite sa čaká s nástupom kvantových počítačov).
Existuje rozdiel v použití numerickýchmetód (napr. CFD) vo vede a v technike.
Vo vede sa použitie CFD sústreďuje na vylepšovanie spoľahlivosti a rýchlosti konver-
gencie numerických metód, hľadanie nových metód s menšou numerickou difúziou a vy-
lepšovanie modelov turbulencie s cieľom ich lepšej korelácie so skutočnosťou. Nezriedka
sa výsledky nových numerických postupov neoverujú oproti experimentu, ale oproti iným
numerickým výsledkom, ktoré už boli overené oproti experimentu. Typické je to pri po-
rovnávaní s výsledkami modelovania turbulencie pomocou metód DNS (priame riešenie
Navier-Stokesových rovníc). Dôvodom je to, že experiment nemôže väčšinou poskytnúť
takú úroveň detailných informácií ako numerický výpočet (pri zadaných nákladoch na
výsledky).
V technike je použitiemetód CFD iba aplikované. Ak sa rieši zhoda s experimentom, tak
iba pre posúdenie rozsahu chyby – nie je cieľom vyvíjať lepšie metódy. Často sa numerické
výsledky neoverujú – buď nie je s čím overiť (experiment je uskutočniteľný až s hotovým
technickým dielom), alebo sa predpokladá že úroveň chyby je zhodná s referenčným (ty-
pickým) výpočtom, ktorý je vlastne výpočtom, ktorý bol vykonaný s podobnou geometriou
objektu, a bol dôkladne porovnaný s experimentálnymi výsledkami. Predpokladá sa po-
tom, že validita referenčného výpočtu platí pre celú triedu podobných problémov. Bez
takéhoto zjednodušenia by bola aplikácia metód nepraktická. Ďalším znakom aplikácie
CFD v technike je, že sa spolieha na viacero rôznych modelov turbulencie (pretože lep-
šie nie sú k dispozícii) a očakáva sa, že používateľ týchto nástrojov dokáže zhodnotiť
aplikovanosť jednotlivých modelov v konkrétnom prípade, na základe predchádzajúcich
skúseností. Kvôli tomu vznikajú rôzne návody a porovnávacie štúdie, na ktorých vypraco-
vaní spolupracuje často viacero subjektov z priemyslu – viď [3rd AIAA CFDDPW, 2006],
[ERCOFTACBPG], [QNET-CFD].
23
LF KLI
1.6 Fyzikálnemodelovanie a podobnosť
Nie vždy je možné uskutočniť experiment so zariadením v plnej mierke, alebo v skutoč-
ných podmienkach. V takých prípadoch sa používa model v mierke, médium s inými pa-
rametrami, alebo dokonca aj úplne iný fyzikálny princíp (nahradenie prúdenia kvapaliny
elektrostatickým poľom). Snažíme sa tým napodobniť pôvodný fyzikálny jav, pomocou
nejakého modelu. Týmito procesmi sa zaoberá fyzikálne modelovanie. Medzi analytic-
kými a numerickými modelmi na jednej strane a fyzikálnymi modelmi na druhej strane, je
diametrálny rozdiel. V prvom prípade sa dopúšťame zásadného zjednodušenia, zatiaľ čo
v druhom ponechávame komplexnosť reality, iba meníme jej konkrétnu podobu. Pravidlá
fyzikálneho modelovania slúžia pre stanovenie kritérií, ktoré treba splniť, aby bolo možné
vzájomne porovnávať a aplikovať závery medzi dvoma fyzikálnymi javmi v odlišnej roz-
merovej mierke, alebo pri odlišných podmienkach. Fyzikálne modelovanie má aj opačné
využitie – ako základ pre porovnanie dvoch javov v rôznych podmienkach.
Fyzikálne modelovanie využíva podobnosť medzi dvoma reálnymi systémami. Jeden
z nich predstavuje predlohu (dielo, prototyp), druhý zasa obraz (model). Predloha amodel
môžu byť založené na úplne iných fyzikálnych zákonoch.Napríkladmodelovanie prúdenia
tekutiny siločiarami elektrostatického poľa. Taký model nazývame aj ako analóg, lebo je
založený na analógii – matematickej izomorfii. Matematickou izomorfiou nazývame stav,
keď je možné dva rôzne fyzikálne javy popísať tým istýmmatematickýmmodelom.
Teória podobnosti vysvetľuje (umožňuje riešiť):
• zákony (kritériá) podobnosti – podobnostné čísla (vzťahy medzi vlastnosťami diela
amodelu)
• bezrozmerové čísla (hodnoty prenositeľnémedzi podobnými dielami amodelmi)
Tieto otázky vyjadrujú samotnú uskutočniteľnosť modelovania. Prakticky umožňujú riešiť
tieto úlohymodelovania:
• metodickú príprava experimentu,
24
LF KLI
• určenie požiadaviek namodel,
• určenie veličín dôležitých premeranie,
• spracovanie výsledkov,
• určenie rozsahu platnosti výsledkov.
Zákony podobnosti jemožné odvodiť rozboromdiferenciálnych rovníc, alebo rozmerovou
analýzou fyzikálnych jednotiek (BuckinghamovΠ-teorém).
1.6.1 Základné aerodynamické kritériá podobnosti
Pre splnenie úplnej (t. j. mechanickej) podobnosti prúdenia v dúchadle je nutné splniť
predovšetkým aerodynamické kritériá podobnosti, ktoré vyjadrujú podobnosť aerodyna-
mických síl. Pre obvyklé veľkosti dúchadiel sú dôležité dve kritériá:
Reynoldsovo číslo (Re) – vyjadruje pomer medzi viskóznymi a zotrvačnými silami. Pri
prúdení s vyšším Re dochádza k vzniku turbulencie v medznej vrstve, alebo k rastu
jej intenzity. To má vplyv hlavne na veľkosť oblasti stien s odtrhnutým prúdením a
tým aj veľkosť povrchových aerodynamických síl.
Re =% uL
µ
kde % je hustota média, u je rýchlosť prúdenia, L je charakteristický rozmer, µ je
viskozita.
Machovo číslo (M) – vyjadruje vplyv stlačiteľnosti prúdiaceho média. PriM>1 sa obja-
vujú rázové vlny, ktoré zásadným spôsobom ovplyvňujú podobu prúdenia.
M =u
c=
u√γ RT
kde u je relatívna rýchlosť prúdenia (voči obtekanému objektu), c je rýchlosť zvuku
v prúdiacommédiu, γ je adiabatický koeficient,R je plynová konštanta, T je termo-
dynamická teplota.
25
LF KLI
Pri zmene rozmerov modelu nie je možné súčasne zachovať obidve kritériá podobnosti,
ak máme možnosť meniť iba rýchlosť prúdenia. Potrebné by bolo zmeniť najmenej jeden
ďalší parameter, čo je v praxi ťažko realizovateľné. Preto sa využíva fakt, že v konkrétnej
situácii nemajú všetky kritériá podobnosti rovnako silný vplyv na zachovanie podobnosti.
Napr. vo všetkých režimoch kdeM<0.3, je možné vplyv Machovho čísla úplne zanedbať
(ide o tzv. nestlačiteľné prúdenie). Podobne, akRe>∼ 106, hovoríme o tzv. nadkritickom
prúdení, kedy je možné vplyv Reynoldsovho čísla zanedbať v prospech významnejších
kritérií podobnosti. V takých prípadoch hovoríme o samopodobnosti (podľaRe,M , ...).
Dobrým príkladom samopodobnosti je prúdenie v axiálnych dúchadlách a kompreso-
roch leteckýchmotorov, kde je prúdenie nadkritické podľaRe (na rozdiel od turbín), takže
sa neuvažuje vplyv viskozity. Vďaka tomu je legitímne v plnej miere využiť kritérium po-
dobnosti podľaMachovho čísla, ktoré sa, na rozdiel odReynoldsovho čísla, prejavuje veľmi
výrazne.
26
LF KLI
1.6.2 Rozmerová analýza dúchadla
Ak nie je známa rovnica popisujúca daný problém, stanovenie bezrozmerových kritérií po-
dobnosti je odkázané na rozmerovú analýzu. Pri tom sa využíva BuckinghamovΠ-teorém.
Cieľom je, na základe analýzy rozmerov zúčastnených veličín, zoskupiť veličiny do bez-
rozmerových skupín (označených písmenom Π), ktoré sú vlastne hľadanými kritériami
podobnosti. Tým dochádza k transformácii neznámej funkcie pôvodných nezávislých veli-
čín na inú, ale ekvivalentnú funkciu bezrozmerových kritérií podobnosti. Charakteristikou
tohto procesu je, že počet kritérií podobnosti jemenší, ako vstupný počet pôvodných nezá-
vislých veličín. Fakt, že kritériá sú bezrozmerové čísla, napovedá, že podobné javy nemusia
mať rovnaké rozmery, alebo inak, že javy sú si podobné, keď sú definované rovnakým
bezrozmerovým vektorovým poľom (podľa neznámej, ale tej istej funkcie).
Najproblematickejšou časťou bezrozmerovej analýzy je výber nezávislých parametrov,
o ktorýchpredpokladáme, žemajú vplyvna sledovaný jav.Zahrnutie nepodstatných veličín
nemá nepriaznivé následky (iba komplikuje bezrozmerové čísla), ale opomenutie dôleži-
tých veličín má za následok stratu platnosti takto odvodených kritérií. Duplicitné veličiny
sa eliminujú automaticky v priebehu odvodzovania. V prípade dúchadla samôžeme oprieť
o skúsenosti s aplikovaním kritérií podobnosti v iných oblastiach aerodynamiky. Nasle-
dovný postup je použitý v [Cohen et al., 1996, s. 147–149], a kritériá takto získané sú
zhodné s tými, používanými pri návrhumotora DV-2.
Budeme predpokladať, že prúdenie v dúchadle nezávisí od Reynoldsovho čísla, preto
nebudemeuvažovať viskozitu.Ostatnénezávislé veličiny sú argumentmineznámej funkcie
popisujúcej prúdenie v dúchadle:
f (D, n, Q, p1c, p2c, R T1c, R T2c) = 0
kde D je priemer dúchadla, n je rýchlosť otáčania, Q je hmotnostný prietok, p1c a p2c sú
celkové tlaky pred a za dúchadlom, R je plynová konštanta a T1c s T2c sú celkové teploty
pred a za dúchadlom. Hustotu % nie je potrebné zahrnúť (bola by duplicitná), lebo je už
zahrnutá vo veličinách tlaku, teploty a plynovej konštanty (podľa stavovej rovnice plynu).
27
LF KLI
Teploty sú združené s plynovou konštantouR, pretože ich rozmer je ekvivalentný štvorcu
rýchlosti.
Funkcia obsahuje 7 nezávislých členov a vo všetkých členoch sa vyskytujú iba 3 rozmery
(rozmerové jednotky) – rozmery hmotnosti [m], dĺžky [L] a času [t]. Podľa Π-teorému
tomu zodpovedá 7 − 3 = 4 bezrozmerových skupín členov. Problém výpočtu bezrozme-
rových skupín nie je definovateľný jednoznačne, preto sa postupuje tak, že prvé skupiny
sa definujú ľubovoľne podľa potreby a na základe nich sa počítajú ďalšie bezrozmerové
skupiny. Jedinou požiadavkou je bezrozmerovosť skupín. Obvyklé usporiadanie bezroz-
merových skupín je vidieť v nasledovnej funkcii popisujúcej prúdenie v dúchadle:
f
(p2cp1c
,T2cT1c
,Q√RT1c
D2p1c,
nD√RT1c
)= 0 (1.2)
Prvé bezrozmerové číslo je celkové stlačenie πc:
πc =p2cp1c
(1.3)
Namiesto druhého bezrozmerového čísla sa používa iné bezrozmerové číslo, ktoré je
vlastne kombináciou prvého a druhého čísla. Jedná sa o izentropickú účinnosť ηiz, defi-
novanú v rovnici 1.1 (na str. 13):
η iz =π
γ−1γc − 1T2cT1c− 1
(1.4)
Tretie bezrozmerové číslo je bezrozmerový hmotnostný prietok a štvrté číslo sú bezrozme-
rové otáčky. Často sa vyskytuje potreba porovnávať merania uskutočnené na tom istom
zariadení, ale pri rôznych atmosférických podmienkach. Vtedy predstavujú veličinyR aD
konštanty, takže ich môžeme vo výrazoch vynechať a tretie a štvrté bezrozmerové čísla sa
zmenia na rozmerové, ale stále ostávajú kritériami podobnosti:
Q√T1c
p1c,
n√T1c
28
LF KLI
Tieto výrazy sú využiteľné pri porovnávaní, ale ich samotná hodnota nie je veľmi zmys-
luplná. Preto sa používa upravená podoba, kde hodnota predstavuje skutočnú hodnotu
prepočítanú na referenčné podmienky (výška 0 m, stav vzduchu podľa medzinárodnej
štandardnej atmosféry), t. j. T1c = 288 K, p1c = 101 325 Pa. Hovoríme tu o redukova-
ných (korigovaných) parametroch:
Redukovaný hmotnostný prietokQr:
Qr√
288 K101 325 Pa
=Q√T1c
p1c
Qr = Q ·√
T1c288 K
· 101 325 Pap1c
(1.5)
Redukované otáčky (rýchlosť otáčania) nr:
nr√288 K
=n√T1c
nr = n ·√
288 KT1c
(1.6)
Kvôli možnosti vzájomného porovnávania sa škrtiace charakteristiky vynášajú pomocou
redukovaných hodnôt: prietok-stlačenie pomocouQr a πc, prietok-účinnosť pomocouQr
a ηiz. Krivky charakteristík sa vynášajú pre konštantné hodnoty nr.
29
LF KLI
1.7 Experimentálnemetódy
Experimentálne metódy používané pri vývoji častí lopatkového stroja sa značne líšia od
metód používaných v aerodynamike lietadiel. Je možné ich charakterizovať podľa rôznych
kritérií. Podľa úrovne detailov prúdenia, ktoré sa pri experimente zisťujú možno rozlíšiť
dve skupinymetód:
• metódy pre zisťovanie detailov prúdenia (napr. meranie rýchlostného poľa, vizuali-
zácia prúdenia v priestore, vizualizácia obtekania povrchu)
• metódy premeranie integrálnych parametrov (napr.meranie závislosti typu prietok-
stlačenie)
V prvej skupine sa nachádzajú jednak klasickémetódy zviditeľňovania prúdu:
zviditeľňovanie pomocou dymu: vypúšťaním do prúdiaceho vzduchu,
zviditeľňovanie prúdenia vmedznej vrstve: hlavne metódou pomalytečúcich olejových
farieb (angl. oil-flowmethod).
Ich použitie v rotačných častiachmotora je však veľmi problematické. Prakticky sa používa
iba metóda s olejovými farbami, aj to iba v prípadoch, kde nie sú veľké odstredivé sily a
režim prúdenia je možné pomerne rýchlo prerušiť – typicky pri meraní na lopatkových
mrežiach. Inak dochádza k skresleniu výsledkov.
Do prvej skupiny možno zaradiť klasické pitot-statické trubicové sondy pre zisťovanie
lokálnej rýchlosti, ako aj ich náhrady:
Anemometria rozžeraveným vláknom: metóda slúžiaca ako náhrada v prípadoch kde
sa požadujemalá zotrvačnosť (turbulentné pulzácie rýchlosti)
Laser Doppler velocimetry, Laser Doppler anemometry (LDV, LDA): optickámetóda,
ktorá je nevyhnutná v prípade, žemiestomerania je mechanicky nedostupné
Tieto metódy sú nenahraditeľné, keď je potrebné merať tlakové pole. Pretože meranie
týmito sondami má lokálnu podobu, pre meranie poľa sa musia používať hromadne, v po-
30
LF KLI
dobe hrebeňov (1D) alebo matríc (2D). Prvú skupinu uzatvárajú metódy pre kontinuálne
meranie v 2D alebo 3D oblasti:
metódymerania rýchlostného poľa: umožňujú meranie vektorov rýchlosti naraz v jed-
nej rovine. Patrí sem
• Particle image velocimetry (PIV) – optická metóda, umožňujúca 2D skenova-
nie rýchlostí častíc vložených do prúdiacehomédia
• Molecular Tagging Velocimetry (MTV) – metóda podobná PIV, len namiesto
vložených častíc sa používa „značkovanie“ prúdiacehomédia laserom
• 3D Particle tracking velocimetry (3D-PTV) – rozšírenie PIVmetódy na skeno-
vanie rýchlostí v celom objeme, pre rekonštrukciu rýchlostí častíc sa používajú
fotogrammetrickémetódy
metódymerania tlakového poľa: v súčasnosti existujú tlakovo citlivé nátery (Pressure
Sensitive Paint – PSP), ktoré fungujú na rôznych princípoch.
Druhá skupina metód – meranie integrálnych parametrov (napr. meranie závislosti typu
prietok-stlačenie, alebo prietok-účinnosť) vyžaduje kvalitatívne jednoduchšie vybavenie
snímačmi – väčšinou si vystačíme s trubicovými snímačmi rýchlosti a elektrickými sní-
mačmi celkovej teploty, umiestnenými na vstupe a v podobe hrebeňov medzi jednotlivými
sekciamimotora.
Obidve skupiny sú však vyžadujú vhodný experimentálny objekt merania. V zásade je
možné merať na stacionárnych modeloch, alebo na rotačných modeloch. Stacionárne
modely sa využívajú v nasledovných prípadoch:
Modely lopatkovýchmreží nameracích tratiach: vhodné pre posúdenie vlastností pro-
filov lopatiek axiálnych turbín a kompresorov. Výsledky sú využiteľné hlavne u níz-
kych lopatiek, kde dominuje dvojrozmerný charakter obtekania. Hodnotí sa hlavne
charakter prúdenia na chrbte lopatky, kritický uhol nábehu a poloha rázovej vlny.
Priehľadnémodely spaľovacích komôr: používané pre zviditeľňovanie prúdu (napr. zví-
renie v oblasti palivových dýz).31
LF KLI
Rotačné modely slúžia hlavne pre meranie výkonov (integrálnych parametrov) jednotli-
vých častí motora. Modely bývajú oproti prototypu zmenšené – hlavne kvôli obrovským
nárokom na príkon, ktorý sa pohybuje rádovo v Megawattoch. (V prípade motora DV-
2 je model zmenšený 2.3-násobne). Merania na rotačných modeloch sú nenahraditeľné
aj pri posudzovaní lopatkovania dúchadiel a predných stupňov axiálnych kompresorov
s výrazným trojrozmerným prúdením a pri posudzovaní odstredivých kompresorov.
1.7.1 Meranie škrtiacich charakteristík dúchadla
Meranie škrtiacich charakteristík (charakteristiky prietok-stlačenie a prietok-účinnosť) sa
vykonávana rotačnommodeli dúchadla.Rotor jemechanickypoháňaný elektromotoroma
na výstup je pripojená komora s objemomrovnýmspaľovacej komore (kvôli napodobneniu
dynamickej odozvy pri pumpáži). Na konci komory je vytvorené regulovateľné škrtiace
ústrojenstvo, pomocou ktorého sa dosahuje zmena prietočného množstva vzduchu pri
konštantných otáčkach.
Pre zistenie výkonov sa snímajú otáčky rotora, teplota a tlak atmosféry, hmotnostný prie-
tok na vstupe (pomocou údaja o priemernej rýchlosti, a parametrov atmosféry) a pomocou
hrebeňových sond na výstupe: priemerný celkový tlak a celková teplota na výstupe.
32
LF KLI
1.8 Predstava tekutiny
Spôsob vytvárania analytických a numerických modelov závisí na predstave tekutiny – na
matematickommodeli tekutiny. Používajú sa dve predstavy tekutiny: podľa prvej predsta-
vuje tekutina spojité médium – kontinuum, zatiaľ čo podľa druhej predstavy je tekutina
zložená z obrovskéhomnožstvamolekúl.
Aj keď druhý koncept je bližší fyzikálnej realite, predstava kontinua je vhodnejšia pre
riešenie klasickou matematickou analýzou a historicky bola aj bližšia k tradičnému feno-
menologickému spôsobu skúmania (fenomenologickej teórii), kde sa na tekutinu nazerá
cez makroskopické fenomény ako je tlak, rýchlosť prúdenia, teplota. Predstava kontinua
veľmi zjednodušuje riešenie praktických problémov pomocou analytických modelov, ale
zavádza principiálne zjednodušenie fyzikálnej reality, ktoré v dobe počítačových numeric-
kých nástrojov nie je nutné.
Rovnice odvodené na základe predstavy kontinua strácajú platnosť v oblasti veľmi ma-
lých rozmerov (napr. vplyv Brownovho pohybu na mikromechanické zariadenia) a v ob-
lasti zriedených plynov, kde nemôžeme tekutinu považovať za kontinuum (napríklad lety
kozmických telies na hranici atmosféry).
Najkomplexnejším prípadom rovníc odvodených na základe teórie kontinua sú Navier-
Stokesove rovnice.
Molekulovápredstava tekutiny, nazývaná ajkinetická teória alebo teórie neuniformnej
tekutiny, sa opiera o štatistickú mechaniku (či fyziku), v podobe Boltzmannových rovníc.
Podstatou numerických modelov založených na Boltzmannových rovniciach je riešenie
integrálnych rovníc vyjadrujúcich kolízie molekúl.
Aj keď sú tieto modely bližšie k fyzikálnej realite, tiež zavádzajú určité zjednoduše-
nia, konkrétne: zjednodušenie spôsobu medzimolekulovej interakcie. Toto zjednodušenie
môže zapríčiňovať väčšie chyby, ako zjednodušenia predstavou kontinua. V oblasti plat-
nosti oboch teórií (kontinua a molekulovej) vedú obidva prístupy k úplne ekvivalentným
rovniciam.
33
LF KLI
1.9 CFDmetódy
CFD metódy (z angl. Computational Fluid Dynamics) – v preklade metódy počítačovej
dynamiky tekutín, označujú numerické metódy pre riešenie detailných modelov prúdenia
na počítači, Najčastejšie sa tento výraz používa pre označenie sieťových NS metód (viď
ďalej).
1.9.1 Rozdelenie CFDmetód
Metódy CFD je možné rozdeliť do dvoch veľkých skupín – na metódy založené na teórii
kontinua a nametódy založené namolekulovej teórii.
1. Metódy založené na teórii kontinua: tvoria prevahu všetkých používaných metód,
množstvo rôznych druhov je spôsobené úrovňou zjednodušenia voči pôvodným NS rov-
niciam [Tannehill et al., 1997, s. 413]. V [Johnson et al., 2003] je popísané delenie metód
na príklade ich historického vývoja a použitia vo firme Boeing. V poradí od jednoduchších
k zložitejším, v smere v akom dochádzalo k zlepšovaniu kapacity počítačov a tým aj ich
schopností riešiť stále dokonalejšie a náročnejšie modely, sú to tietometódy:
• Linearizované potenciálové – bez vplyvu viskozity (Prandtl-Glauertova rovnica)
a najčastejšie aj bez vplyvu stlačiteľnosti (Lagrangeova rovnica). Riešenie rovníc
pomocoumetódy singularít (panelovémetódy), alebokonformnou transformáciou.
Vhodné na riešenie primknutého nestlačiteľného prúdenia.
• Plne potenciálové – bez vplyvu viskozity, so stlačiteľnosťou, ale iba pre nevírivé
prúdenie, bez zmeny entropie. Namiesto riešenia nelineárnych Eulerových rovníc
sa rieši iba jedna nelineárna rovnica. Vhodné pre riešenie primknutého prúdenia so
slabými rázovými vlnami.
• Metódy vírov – pomerné nové metódy, ktoré na rozdiel od ostatných metód, nie sú
založené na transporte hybnosti, ale na prenose vírov. Ide o bezsieťovémetódy, ktoré
majú schopnosť popísať s veľkou presnosťou splývanie vírov aj vo veľkej vzdialenosti.
34
LF KLI
• Navier-Stokesove (NS) – metódy použiteľné na všetky režimy prúdenia, schopné
popísať turbulentné aj stlačiteľné prúdenie. Podrobnejšie delenie na:
– Eulerove – riadia sa Eulerovými rovnicami, ktoré predstavujú špeciálny prí-
padNS rovníc pre neviskóznemédium. Neumožňujúmodelovať turbulenciu a
priamo ani trenie v laminárnej medznej vrstve.
– RANS (z ang. Reynolds Averaged Navier-Stokes) –metódy, ktoré nahradzujú
komplexné turbulentné prúdenie jeho časovýmpriemerom, a turbulentný cha-
otický pohyb je vyjadrený pomocou niekoľkých parametrov, ktoré sú zahrnuté
v modeli. Presnosť a zložitosť je závislá na použitom parametrickom modeli
turbulencie.
– LES (z ang. Large Eddy Simulation) – metódy, ktoré sú vylepšením metód
RANS v tom zmysle že najväčšie, prevažne anizotropné, turbulentné štruk-
túry (víry) v prúdovom poli sú riešené detailne a parametricky je riešená až
turbulencia od istej mierky nižšie.
– DES (z ang. Detached Eddy Simulation) – prechod medzi metódami RANS a
LES, umožňujúci získať niektoré detaily na úrovni metód LES za cenu nižšej
výpočtovej náročnosti metód RANS.
– DNS (z ang. Direct Numerical Simulation) – metódy založené na riešení NS
rovníc bez prostredníka v podobe parametrických modelov turbulencie. S vý-
nimkou laminárneho prúdenia, sú nepoužiteľné na reálne problémy v prie-
mysle, pretože ich náročnosť prekračuje súčasné možnosti počítačov, viď [Jos-
lin, 1997].
2. Metódy založené na molekulovej teórii: tvoria síce malú, ale rozvíjajúcu sa skupinu.
Inšpirované metódou Lattice gas, sú tieto metódy vyvíjané hlavne s vidinou eliminácie
zaokrúhľovacej chyby. Samotný molekulový model tekutiny je totiž diskrétny a je preto
vhodnejší pre výpočet na súčasných počítačoch, ktorémajú obmedzenú presnosť reálnych
čísel, ale sú veľmi efektívne pri výpočtoch s celými číslami. Okrem toho, tieto metódy
35
LF KLI
sú nenahraditeľné pri výpočtoch v oblastiach, kde strácajú platnosť predpoklady teórie
kontinua. Jedná sa o pomerne nový nástroj, preto je tu uvedená iba jedna skupinametód:
• LBM (z ang. Lattice Boltzmann Method) – v preklade: mriežkové Boltzmannove
metódy. Niekedy sa vyskytujú aj iné názvy, napr. Digital physics [Chen et al., 1997].
V súčasnosti je komerčnedostupnýproduktExa PowerFLOW, ale po zbežnompries-
kume sa zdá, že jeho použitie je obmedzené na problémy s nehybnou referenčnou
sústavou.
Vzhľadom k horeuvedenej charakteristike jednotlivých metód sa v danej situácii javí najv-
hodnejšie použitie metód RANS, preto sa budem ďalej venovať iba tejto skupine.
1.9.2 Typy sietí
RANSmetódy predstavujú sieťové numerické metódy. To znamená, že okremmatematic-
kej časti modelu, v podobe numerického riešiča fyzikálnych rovníc, vyžadujú tieto metódy
aj geometrický model vyšetrovanej oblasti v podobe diskretizovaného priestoru. Tento sa
nazýva numerická (alebo výpočtová) sieť. Kvalita vygenerovanej siete do značnej miery
predurčuje konvergenciu a presnosť výpočtu. Najdôležitejšími parametrami sú pomer
veľkostí susedných prvkov a skosenie prvkov (do akej miery sa tvar skutočného prvku
približuje ideálnemu tvaru). Existujú tri hlavné prístupy k vytváraniu sietí.
1. Štruktúrované siete. Charakterizuje ich to že sa skladajú iba z obdĺžnikových, alebo
šesťstenových (hexa) prvkov, pričom sa usporiadanie týchto prvkov dá topologicky mapo-
vať na dvoj- alebo trojrozmernúmaticu. Prvýmmotívom (dnes už nie natoľko významným)
je úspornosť pri ukladaní takéhoto typu štruktúry v pamäti počítača a určité zjednodušenia
numerického algoritmu. Nevýhodou sú však nesmierne komplikácie pri pokusoch zacho-
vať podobnú topológiu pri geometriách reálnychproblémov. Preto sa vždypoužíva blokovo
štruktúrovaná podoba, čo značne uľahčuje vytváranie takejto siete. Vhodnou topológiou
jednotlivých blokov je možné zabrániť výskytu singularít v podobe rohových uhlov blíz-
kych hodnote 0◦, alebo 180◦ a výskytu veľmi deformovaných prvkov. Druhýmotív je vyššia
36
LF KLI
presnosť výpočtu pri použití tohto druhu sietí. Príčinou je numerická difúzia, ktorá sa pre-
javí vždy, keď nie je smer prúdenia rovnobežný so stenami prvkov. Prvou podmienkou, aby
mohla byť táto požiadavka splnená, je použitie štruktúrovanej siete (viď. obr. 1.6). Meto-
dológia štruktúrovaných sietí zároveň umožňuje udržať dobrú kontrolu nad množstvom a
hustotou prvkov aj na veľmi rozsiahlych sieťach.
u u
uu
štruktúrovaná sieť
neštruktúrovaná sieť
sieť v smere prúdenia
(vyššia presnosť)
u
u
u
u
Obr. 1.6 Numerická difúzia.
2. Neštruktúrované siete. Tento typ sietí sa používa na zložito tvarované geometrie, kde
je veľmi zdĺhavé vytváranie štruktúrovaných sietí, a nie je ani v plnej miere možné využiť
ich najväčší potenciál – malú numerickú difúziu pri dobrej orientácii prvkov. Využívajú sa
tu trojuholníkové prvky (v 2D sieťach) a štvorsteny (v 3D sieťach) kombinované s prizma-
tickými päťstenmi a pyramídovitými prvkami. Tieto prvky majú veľkú výhodu v tom, že je
možné, podľa potreby, lokálne zhustiť sieť pri zachovaní konformnej siete, čo sa využíva pri
adaptívnom spresňovaní výpočtu. Ďalšou výhodou týchto sietí, oproti štruktúrovaným, je
dobrá kvalita výslednej siete, lebo pri týchto prvkoch je pomerne jednoduché zabezpečiť
nedeformovaný tvar prvkov aj v tých najzložitejšie tvarovaných oblastiach.
37
LF KLI
3. Karteziánske siete. Tieto siete predstavujú iné použitie pravidelnej maticovej štruk-
túry. Zatiaľ čo pri štruktúrovaných sieťach sa využíva možnosť zorientovania stien prvkov
do smeru predpokladaného prúdenia, pri karteziánskych sieťach sa využíva možnosť pria-
močiareho automatického sieťovania akokoľvek zložito tvarovanej geometrie. Pri takomto
spôsobe sieťovania sapostupuje cestou automatickej detekcie prienikuprvkov s obtekanou
geometriou a zahusťovaniemiest s veľkým zakrivením pomocou vložených uzlov.
1.9.3 Počítačové prostriedky CFD
Hardvér
Realita numerických výpočtov v súčasnosti je taká, že reálne problémy riešené v prie-
mysle majú rozsah niekoľko miliónov až desiatok miliónov prvkov výpočtovej siete. Na
tak veľké problémy nestačí použitie osobných počítačov (PC), ktoré sú obmedzované 32-
bitovou architektúrou a z toho vyplývajúcim obmedzením na 2-4 GB pamäte RAM. Už
pri použití na takto limitované problémy, je doba výpočtu pomocou jedného procesora
CPU neúmerne dlhá. Preto majú všetky reálne používané numerické nástroje schopnosť
pracovať paralelne na niekoľkýchCPUa to čo rozhoduje o rýchlosti výpočtu, je často dobrá
škálovateľnosť pri veľkom počte CPU, podmienená dobrou medziprocesovou komuniká-
ciou. Ukazuje sa že spojenie počítačov navzájom pomocou bežnej ethernetovej siete je ne-
dostatočné, preto sa na numerické výpočty používajú špeciálne viacprocesorové pracovné
stanice alebo servery s architektúrou optimalizovanou pre čo najvyššiu medziprocesorovú
priepustnosť. V súčasnosti je jednou z najvýkonnejších architektúra NUMAlink (použitá
na strojoch SGI Origin, Cray T3E), kde podľa testov vychádza rýchlosť aj latencia ko-
munikácie medzi CPU 20-30 × lepšia, než je tomu pri technológii etherenet. Vzhľadom
k obmedzeniam 32-bitovej platformy MS Windows a spôsobu správy operačnej pamäte
(spôsobu kešovania) pri tejto platforme všeobecne, sa v počítačoch určených na CFD nu-
merické výpočty používajúUNIX-ovské operačné systémy ako je napr. Irix firmy SGI, alebo
Solaris firmy Sun microsystems. Najnovšie sa presadzujú systémy Linux, a to dokonca aj
na superpočítačoch (počítačoch s niekoľkými stovkami až tisíckami CPU).
38
LF KLI
Softvér
CFD softvér je možné rozdeliť na tri funkčne samostatné kategórie. Tieto tri kategórie,
podľa toho ako nasledujú za sebou v celkovom procese CFDmodelovania, sú:
• Preprocesing, príprava modelov – najsamostatnejšia časť procesu. V oblasti CFD
metód RANS sa jedná o vytváranie výpočtových sietí, hovorí sa im preto aj generá-
tory sietí. Vlastnosti softvérových systémov z tejto kategórie sú veľmi univerzálne,
často sú okremmetód CFD použiteľné aj pre vytváranie sietí pre metódy CSD (ana-
lýza napätosti a deformácie tuhých látok, CAE), preto sa tu často vyskytujú sys-
témy, predávané samostatne, ktoré sú schopné spolupracovať s veľkýmmnožstvom
riešičov od iných výrobcov. Pretože používanie týchto systémov je veľmi interak-
tívne, hlavnou požiadavkou je veľmi dobrá rýchlosť odozvy. Vývoj je veľmi zdĺhavý,
preto tieto systémy skoro nikdy nie sú vyvíjané koncovými užívateľmi, ale špeciali-
zovanými firmami. Patria sem napr. produkty patria systémy ICEM CFD, FLUENT
Gambit,PATRAN apod.
• Riešiče – implementujú proces numerického riešeniamatematickéhomodelu. Fáza
definície okrajových podmienok leží niekde na rozhraní medzi preprocesormi a rie-
šičmi, preto je niekedy súčasťou softvéru pre riešenie (tak je tomu napr. pri systéme
FLUENT) a inokedy je zase vyčlenená v podobe osobitného procesora (napr. v sys-
témeANSYS CFX).
Základnou požiadavkou na riešiče je rýchlosť – posudzovaná priebehomkonvergen-
cie a stabilitou výpočtu a validita výsledkov – posudzovaná presnosťou. Rýchlosť
interakcie s používateľom nie je až taká dôležitá, pretože riešiče trávia väčšinu času
dávkovým spracovávaním numerických úloh.
Riešiče sa vyskytujú v troch podobách– ako kompletné (skoro výlučne iba komerčne
dostupné) systémy špecializované pre oblasť CFD (napr. ANSYS CFX, FLUENT),
ako univerzálne numerické vývojové prostredia (IDE - Integrated Development En-
vironment) (napr.MATLAB a ako jednoduché a programy vytvorené koncovým po-
39
LF KLI
užívateľompomocou všeobecne použiteľných programovacích jazykov (FORTRAN,
C,C++, JAVA).
Užívateľsky rozšíriť sa dajú všetky tri podoby riešičov. Aj komerčné, špecializované
CFD systémy umožňujú vložiť užívateľské modely programované v jazyku FOR-
TRAN, aleboC, aleboaspoňdávkové rutiny v skriptovacích jazykoch (Lisp,Scheme).
Základná úroveň podpory numerickej matematiky v IDE podobných systémuMAT-
LAB a fakt, že najnáročnejšia je práve aplikačná nadstavba numerických metód má
za následok, že tento typ nástrojov sa používa len ojedinele. Keď už nepostačujú
verejne dostupné (či už komerčné alebo voľné) CFD systémy, postupuje sa skoro
vždy cestou programovania v nízkoúrovňových jazykoch (FORTRAN, C, C++).
Pri tom sa využívajú hotové numerické knižnice (BLAS, LAPACK), ktoré sú do-
stupné zadarmo, prípadne ich komerčné, optimalizované verzie. Pri programovaní
grafického rozhrania sa skoro výlučne používa aplikačné rozhranie (API) OpenGL,
ktorého funkcie sú dnes dostupné na všetkých grafických zariadeniach. Dnes sa
na programovanie vstupno-výstupného rozhrania často používa aj jazyk JAVA, pre-
tože je bez potreby úprav prenositeľný na veľké množstvo platforiem. Jeho dátové
štruktúry sú však nevhodné pre uplatnenie pri pamäťovo náročných numerických
operáciách. Pre programovanie numerických algoritmov v premenlivom počte di-
menzií je najvhodnejší programovací jazykFORTRAN. Používa sa v dvoch verziách:
verzii F77, ktorá je rozšírenejšia, ale aj dosť zastaralá a novej verzii F90, ktorá pri-
náša niektoré vylepšenia inšpirované vlastnosťami jazyka C. Jazyky C a C++ neboli
navrhnuté kvôli numerickým výpočtom, preto za jazykom FORTRAN zaostávajú
v úrovne optimalizácie numerických častí kódu a v jednoduchosti odhaľovania chýb
v zdrojovom kóde pri preklade.
• Postprocesing – Vizualizácia a spracovanie výsledkov
Nástroje pre vizualizáciu prúdenia sú najčastejšie súčasťou komerčných riešičov
(napr. ANSYS CFX Post, FLUENT), ale sú dostupné aj riešenia od tretích firiem
(medzi najznámejšie patriaTecplot, FieldView, EnSight, IRIS Explorer).
40
LF KLI
1.10 Praktické otázky aplikácie metód CFD
Ekonomickéaspekty. CFDmodelovanie je finančnenáročná činnosť. Požadovanýhard-
vér je možné nahradiť pomocou bežných PC len v jednoduchých prípadoch. Pri úrovni
detailov používanej v leteckom a turbinárskom priemysle a pri požiadavke na rýchlosť
výpočtu rádovo v hodinách a nie v dňoch, je nevyhnutné vyhradiť pre výpočet špeciálne
výpočtové kapacity – v podobe superpočítačových centier. V prípade akademického pro-
stredia sa tátopožiadavka rieši vytváranímspoločnýchdistribuovanýchvýpočtovýchuzlov,
ktoré tak môžu byť lepšie využité a zároveň to dáva záujemcom k dispozícii omnoho väč-
šiu kapacitu. Na Slovensku bohužiaľ neexistuje nič podobné a tento stav zaostávania za
okolitými štátmi trvá už niekoľko rokov.
Potrebný softvér je rovnako, ak nie ešte viac, finančne náročný. Vývoj použiteľných
nástrojov je otázka niekoľkých rokov vývoja, preto organizácia bez dlhoročnej kontinuity
vlastného vývoja je odkázaná na nákup komerčných produktov.
Cena sa odvíja od počtu paralelne spustiteľných procesov, kapacitného obmedzenia
(max. počtu uzlovmodelu) a licenčného obmedzenia. Vo všetkých prípadoch je softvér ten
istý a počet spustených procesov kontroluje tzv. licenčný server. Licenčný server dovolí len
spustenie takých procesov, ktoré zodpovedajú údajom v textovom konfiguračnom súbore
s digitálnym podpisom výrobcu. Rozšírenie počtu procesov je veľmi flexibilné, pričom li-
cencie môžu byť takzvane plávajúce (procesy prepožičiavané medzi viacerými počítačmi),
alebo uzlovo zamknuté (kedy sú rezervované pre jeden konkrétny počítač, alebo procesor).
Iné delenie licencií je podľa druhu používateľa. Základný typ licencie – komerčná licencia
– nemá obmedzenia. Akademická licencia je určená hlavne pre výskum na školách, pri-
čom sa dá použiť aj na komerčné aktivity školy. Význam školskej nekomerčnej licencie je
zrejmý z jej názvu. Pre CFD riešiče, základnou ponukou bývajú 2 procesy. Ročný prená-
jom komerčnej licencie stojí okolo 30 000 EUR a akademické licencie bývajú ponúkané
za cenu 20–50 % komerčnej licencie. Akademická licencia s takými obmedzeniami, že je
použiteľná iba pre vyučovanie a riešenia izolovaných problémov, stojí ešte menej – zhruba
do 10% ceny komerčnej licencie.
41
LF KLI
Personálne aspekty. Používatelia a vývojári CFD softvéru sa navzájom líšia v dôraze
na jednotlivé smery znalostí. Od ľudí pracujúcich pri vývoji algoritmov a v poradenstve
sa očakáva špecializované vzdelanie vo fyzike, matematike a programovaní. Od použí-
vateľov sa očakáva schopnosť aplikovať CFD nástroja podľa potrieb v praxi a schopnosť
kvalifikovaného zhodnotenia použiteľnosti výsledkov [Mason a Devenport, 1998]. Dnes je
snaha prenášať použitie numerických nástrojov priamo do rúk konštruktérov a návrhárov.
Metódy CFD sa okrem letectva a motorárskeho priemyslu začínajú objavovať už aj v auto-
mobilovom a strojnom priemysle, alebo aj v architektúre. Bohužiaľ CFD nástroje sú oproti
iným numerickým nástrojom používaným pri konštruovaní založené na väčšommnožstve
predpokladoch a majú ešte stále množstvo obmedzení. Preto existuje pri CFD nástrojoch
značne strmá krivka učenia a pre kvalifikované použitie je nutná aspoň zbežná znalosť
aerodynamiky, termodynamiky amatematickej stránky numerickýchmetód. Existuje však
veľmimálo kníh, ktoré pokrývajú tieto potreby.
42
LF KLI
2 Ciele amotivácia práce
2.1 Predchádzajúce zistenia
Pred započatím tejto práce som pracoval na projekte CFD výpočtu 19-lopatkového dú-
chadla. Výsledky výpočtu zachycovali správny tvar škrtiacich charakteristík a použitý
program FLUENT umožňoval riešiť aj detaily prúdenia v oblasti straty stability (pád pro-
filu). Použitý generátor siete, Gambit, neumožňoval zahustiť sieť v oblasti medznej vrstvy
bez neúmerného zvýšenia počtu buniek siete. To obmedzovalo hodnovernosť dosiahnu-
tých výsledkov v oblasti režimov so separáciou medznej vrstvy a znemožnilo to modelovať
vplyv obvodovej medzery.
Oblasť návrhových režimov, ktorá je charakterizovaná dokonalým obtekaním povrchu
lopatiek, bola pravdepodobne modelovaná hodnoverne. To je možné vyvodiť na základe
uverejnených porovnaní medzi jednotlivými modelmi turbulencie (napríklad [3rd AIAA
CFDDPW, 2006]). Jednoznačné potvrdenie hodnovernosti však nebolomožné, pretože:
• pre projekt 19-lopatkového dúchadla neexistovali experimentálne hodnoty
• štúdie riešiace súhlas CFD výsledkov s experimentom pre prípad transsonického
alebo supersonickéhoprúdenia vdúchadlenie sú verejnedostupné apravdepodobne
ichmajú k dispozícii iba vedúce firmy v odbore.
2.2 Hypotéza
Na základe predchádzajúcich zistení, vyplynula potreba overiť hypotézu, že výsledky sú-
časných metód CFD sú hodnoverné (resp. validné) pri výpočte transsonického prúdenia
v dúchadle leteckého turbínovéhomotora.
S vysokou pravdepodobnosťou je táto hypotéza správna a potvrdenie hypotézy bude
spočívať v stanovení podmienok, pri ktorých sú výsledky CFD výpočtu validné.
43
LF KLI
2.3 Cieľ
Hypotézu je možné overiť jediným spôsobom – porovnaním výsledkov CFD modelovania
s výsledkami kontrolovaného experimentu, tak aby mohli byť stanovené rovnaké vonkaj-
šie (okrajové) podmienky. Hlavným cieľom tejto práce je preto porovnávacia štúdia na
transsonickomdúchadle leteckého turbínovéhomotora, kde budú porovnané tie výkonové
parametre, ktoré sa v praxi používajú pre hodnotenie kvality aerodynamického návrhu. Sú
to tieto parametre:
• celkové stlačenie πc
• izentropická celková účinnosť η iz
S ohľadom na získané experimentálne údaje pôjde v obidvoch prípadoch o parametre
vonkajšieho prúdu.
ZmetódCFDsaobmedzímnaveľkú triedumetódoznačených skratkouRANS(Reynolds-
averaged Navier-Stokes). Zvolená metóda musí umožniť vierohodný výpočet v danom
prípade.
2.4 Konkrétne úlohy
Prvým predpokladom pre uskutočnenie porovnávacej štúdie je získanie experimentálnych
údajov.
Ostávajúcu časť – CFD výpočet treba navrhnúť na základe princípov DOE (Design of
experiments) [Bordelon, 2006] – tak aby sa získalo čo najviac informácií pri čo najmenšej
spotrebe zdrojov (výpočtových prostriedkov).
Pretože počet podmienok ktoré majú vplyv na výsledok je veľký, vedie to aj k veľkému
počtu vzájomných kombinácii týchto podmienok ktoré je potrebné modelovať. Inak po-
vedané, vedie to k veľkému počtu výpočtových modelov. Výpočtové zdroje sú však veľmi
obmedzené (strojový čas v danom časovom období).
44
LF KLI
Rozpormedzi počtom prípadov a zdrojmi je principiálnemožné riešiť dvoma spôsobmi:
• objektívne –metódami DOE
• expertízou a intuitívnou voľbou na základe hlbších znalostí problematiky
V oboch prípadoch dochádza k zmenšeniu počtu modelov tým, že sa kontrolovaným spô-
sobom mení niekoľko podmienok súčasne. Metódy DOE umožňujú zmenšiť objem po-
trebných zdrojov rádovo v desiatkach percent, čo nestačí. V tomto prípade je efektívnejšia
metóda intuitívnej voľby na základe nasledovného expertného odhadu.
V zásade pôjde o obmedzenie počtu numerických modelov len na 2–4, aby bolo v danom
čase možné spočítať dostatočný počet prípadov pre každý z modelov. Spojením výsledkov
pre jednotlivé prípady dostanem tvar výkonových charakteristík.
Budú zvolené určité charakteristické javy v prúdení, o ktorých je známe, že majú vplyv na
výkonové parametre a zároveň predstavujú ťažšie riešiteľný problém pre súčasné metódy
CFD. Týmito charakteristickými javmi sú:
• prúdenie v medznej vrstve a ním vynútené sekundárne prúdenie – umožňuje riešiť
vplyv detailnej numerickej siete a vplyv turbulentnéhomodelu
• prúdenie v obvodovej medzere – určené pre skúmanie vplyvu tohto javu samotného
Zvolené numerické modely budú kombinovať úroveň riešenia týchto javov s modelmi
turbulencie, ktoré sú očakávateľné v danom prípade. Konkrétnou úlohou je výpočet bodov
(prípadov) pre tieto zvolené numerickémodely:
• geometria bez obvodovej medzery, jednoduchá neštruktúrovaná sieť, jednorovni-
covýmodel turbulencie Spalart-Allmaras
• geometria bez obvodovej medzery, štruktúrovaná sieť s detailmi v medznej vrstve,
dvojrovnicovýmodel turbulencie k-ω SST
• geometria s obvodovou medzery, štruktúrovaná sieť s detailmi v medznej vrstve,
dvojrovnicovýmodel turbulencie k-ω SST
45
LF KLI
Body charakteristík budú spočítané iba pre jednu rýchlosť otáčania a to 9 981 ot./min.,
ktorá zodpovedá najnižším otáčkam, ktoré boli pri experimente skúmané a pri ktorých sa
očakáva relatívna rýchlosť nabiehajúceho prúdu v rozsahu od tesne subsonickej pri koreni
lopatky, až pomierne supersonickú na obvode lopatky.
Pri definícii ostatných podmienok modelu budú rešpektované už známe odporúčania,
ktoré sú výsledkom iných projektov [Casey, 2004; Bardina et al., 1997; ERCOFTAC BPG;
3rd AIAACFDDPW, 2006].
46
LF KLI
3 Metodológia riešenia
3.1 Experiment
Pretože nároky experimentu sú mnohonásobne finančne náročnejšie než ostatné časti
tohto procesu, je nutné použiť akékoľvek, už uskutočnené, merania. Tie mi poskytol vý-
robca leteckého motora DV-2. Jedná sa o merania vykonané na prototype 15-lopatkového
dúchadla, ktoré poskytujú dostatok informácií pre porovnávanie. Namerané hodnoty sú
vo výsledkoch.
3.2 Výbermetódy
Pre riešenie prúdenia som si zvolil metódu typu RANS (Reynolds Averaged Navier-
Stokes).Detaily numerickej realizácie algoritmu súpodmienenépoužitýmsoftvéromFLU-
ENT aANSYS CFX. Ďalšou kritickou voľbou z hľadiska presnosti výsledkov bolo použitie
modelu turbulencie v rámci metódy RANS. Na základe [Bardina et al., 1997, s. 79] boli
zvolené dva modely – jednak osvedčený model Spalart-Allmaras, ktorý je ekonomický
(v pomere presnosť/výpočtová náročnosť) a pokročilý Menterov model SST (najpresnejší
spomedzi dvojrovnicovýchmodelov).
3.3 Základné rovnice prúdenia
Rovnice prúdenia sú odvodené zo základných princípov klasickej fyziky – z princípu
zachovania hmoty, hybnosti a energie. Navier-Stokesova rovnica (v jednotnom čísle) je
uplatnením zákona zachovania hybnosti na prúdenie tekutiny, alebo iného média s vnú-
torným trením (napr. medzihviezdneho prachu v astronómii). V širšom význame sa pod
označením Navier-Stokesove rovnice (názov v množnom čísle) chápu všetky tri rovnice
zachovania (hmoty, hybnosti, energie) popisujúce prúdenie tekutiny. Rovnica zachovania
hmoty sa častejšie nazýva rovnica kontinuity.
47
LF KLI
Budú uvedené iba rovnice v diferenciálnom tvare, ktorý je stručnejší. Pri metóde koneč-
ných objemov (FVM) sa používa integrálový tvar, ktorý sa získa jednoducho – integráciou
po objeme. Integrálový tvar má veľkú výhodu pri zachycovaní diskontinuít v prúde, akými
sú napr. rázové vlny. Pre modelovanie stlačiteľného prúdenia sa ukázalo ako nevyhnutné
používať tvar rovníc, ktorý eliminuje vplyv zaokrúhľovacej chyby. Takýmto tvarom je kon-
zervatívny (resp. divergentný). Tento tvar sa vyznačuje tým, že v derivácii nie je uzavretá
iba veličina rýchlosti (u), ale jej súčin s lokálnou hustotou (%u). Divergentný tvar platí pre
zmeny v nezávislej Eulerovskej sústave (na rozdiel od Lagrangeovskej sústavy spojenej
s tekutinou v pohybe). Konečné podoby odvodených rovníc sú tu uvedené práve v takom
tvare.
3.3.1 Rovnica kontinuity
∂%
∂t+ div (%~u) = 0
pomocou operátora nabla:∂%
∂t+∇ • (%~u) = 0
v tenzorovom tvare:∂%
∂t+∂ui∂xi
= 0
kde % je hustota, t je čas, u je rýchlosť a x je poloha.
3.3.2 Navier-Stokesova rovnica
Navier-Stokesova rovnica je odvodená z Cauchyho rovnice zachovania hybnosti pri dosa-
dení konštitučného (Stokesovho) vzťahu medzi viskóznymi napätiami a rýchlosťou defor-
mácie.
Cauchyho rovnica zachovania hybnosti v tekutine:
%D~uDt
= %~f +∇ • ~~σ
48
LF KLI
v tenzorovom tvare:
%DuiDt
= %fi +∂σji∂xj
kde symbol D označuje materiálovú deriváciu (v súradnicovej sústave spojenej s elemen-
tom tekutiny v pohybe), f je hmotová sila pripadajúca na jednotku hmotnosti (napr.
gravitačné zrýchlenie) a σ je tenzor povrchových napätí (viď ďalej).
Konštitučný vzťah môže mať mnoho podôb. Pred tým je však užitočné rozdeliť tenzor
napätí σ na izotropnú zložku – danú hydrostatickým tlakom p a na neizotropnú zložku –
danú viskóznymi napätiami τ (spôsobenými deformáciou tvaru):
~~σ = −p~~δ + ~~τ
kde δ je jednotkový izotropický tenzor 2. rádu (Kroneckerova delta) – v maticovom tvare
hopredstavuje jednotkovámatica.Orientácia jednotlivých zložiek tenzora napätí je zrejmá
z obrázku 3.1.
τzzτzx
τzy
τxz
τxx
τxyτyz
τyx
τyy
z
xy
Obr. 3.1 Orientácia viskóznych napätí.
Tenzor viskóznych napätí τij je striktne odvoditeľný ako:
τij = 2µSij + λ ( div ~u) δij
kde µ je molekulárna (dynamická) viskozita, λ je súčiniteľ objemovej viskozity a S je
rýchlosť deformácie.
Hodnoty λ nie sú bežne dostupné, pretože pre reálne prípady postačuje zjednodušenie v
podobe slabých rázových vĺn, a jednoatómového plynu, pre ktoré platí:
λ = −23µ
49
LF KLI
čo vedie k použitému vzťahu:
τij = µ
(2Sij −
23
( div ~u) δij
)
Pre tenzor deformačnej rýchlostiSij platí rozvoj:
Sij =12
(∂uj∂xi
+∂ui∂xj
)
takže konštitučné vzťahy po rozvoji majú tvar:
τij = µ
((∂uj∂xi
+∂ui∂xj
)− 2
3
(∂uk∂xk
)δij
)
σij = −pδij + µ
((∂uj∂xi
+∂ui∂xj
)− 2
3
(∂uk∂xk
)δij
)
Dosadením tohto vzťahu do Cauchyho rovnice vznikáNavier-Stokesova rovnica. Vo vek-
torovom tvare:
%D~uDt
= %~f −∇ • p~~δ +∇ • µ(
2~~S − 23
( div ~u)~~δ
)(3.1)
V tenzorovom tvare:
%DuiDt
= %fi −∂p
∂xi+∂
∂xjµ
((∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)− 2
3
(∂uk∂xk
)δji
)
Pri prevode na divergentný tvar sa zmení iba ľavá strana rovnice:
%D~uDt
=∂ (%~u)∂t
+∇ • (%~u⊗ ~u)
resp. v tenzorovom tvare:
%DuiDt
=∂ (%ui)∂t
+∂ (%ujui)∂xj
Celá rovnica v divergentnom tvare:
∂ (%ui)∂t
+∂ (%ujui)∂xj
= %fi −∂p
∂xi+∂
∂xjµ
((∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)− 2
3( div ~u) δji
)
50
LF KLI
3.3.3 Rovnica energie
Rovnica energie vychádza z rovnováhy medzi vnútornou energiou, privedeným teplom
a privedenou prácou. To je jediný rozdiel rovnice energie používanej v CFD oproti tvaru
obvykle používanému v termodynamike, kde má práca opačné znamienko. Divergentný
diferenciálny tvar vyjadrený pomocou entalpie vyzerá nasledovne:
∂ (%hc)∂t
+∇ • (%hc~u)− ∂p
∂t= ∇ • (λ · ∇T ) +∇ •
(µ · ∇~u+ [∇~u]T − 2
3∇ • (~uδ~u)
)
kde λ je tepelná vodivosť a špecifická celková entalpia hc je definovaná nasledovne:
hc = h+12u2
Používa sa aj rovnica energie vyjadrená pomocou vnútornej energie (namiesto entalpie).
3.4 RANS rovnice a Reynoldsove napätia
Súčasné schopnosti počítačov nie sú na takej úrovni, aby umožňovali numerické riešenie
Navier-Stokesových rovníc v praktických prípadoch. Príčinou je to, že pri režimoch prúde-
nia ktoré sa v praxi najčastejšie vyskytujú, sa v riešení prejavuje deterministický chaos, čo
je vlastnematematická podstata turbulencie.
Preto sa Navier-Stokesove, pre praktické prípady prúdenia, upravujú filtrovaním, alebo
priemerovaním – napríklad metódou RANS. Skratka RANS je z anglického názvu (Rey-
noldsAveragedNavier-Stokes)–vpreklade:ReynoldsovopriemerovanéNavier-Stokesove
rovnice.Reynoldsovo priemerovanie je typ kĺzavého časového priemerovania, ktorým sa
odstráni chaotická zložka riešenia. Reynoldsovo priemerovanie je založené naReynoldso-
vom dekompozičnom princípe:
u = u+ u′
podľa ktorého okamžitá hodnota nejakej veličiny, napr. rýchlosti u sa dá rozložiť na jej
priemernú časť u a odchýlku od priemeru u′. Priemerná časť je definovaná ako ansám-
blový priemer, t. j. nejde o konštantnú hodnotu, ale o časovú premennú, ktorej priebeh je
51
LF KLI
danýpriemerompriebehov veličiny z veľkéhomnožstva opakovanýchpokusov (ansámblu)
pri rovnakých počiatočných podmienkach. Priemerná hodnota odchýlky je podľa tej istej
definície nulová:
u′ = 0
Jediný rozdielmedzi pôvodnými aReynoldsovo priemerovanými rovnicami, pri náhrade
pôvodných veličín ich priemernými hodnotami, je pribudnutie nových členov v rovniciach
hybnosti a energie. V prípade rovnice hybnosti k viskóznemu napätiu pribudne tenzor
Reynoldsových napätí:
−%u′iu′j resp. − %~u′ ⊗ ~u′
pričom veľkosť Reynoldsových napätí, v prípade turbulentného prúdenia, rádovo prevy-
šuje veľkosť napätí spôsobenýchmolekulárnou viskozitou.
V rovnici energie pribudne k členu vyjadrujúcemu molekulárny prenos tepla (λ · ∇T )
Reynoldsov tok (vyjadrujúci prenos tepla turbulentnýmmiešaním):
−%u′ih resp. − %~u′ ⊗ h
Príspevok týchto dôsledkov Reynoldsovho priemerovania rovníc sa ďalej nahradzuje,
v prípade rovnice hybnosti, vírovou viskozitou a v prípade rovnice energie turbulentnou
difuzivitou.
V prípade stlačiteľného prúdenia sa namiesto Reynoldsovho priemerovania používa
Favreovo priemerovanie (nahradenie priemerovania u priemerovaním súčinu %u).
52
LF KLI
3.5 Modely turbulencie
Reynoldsove napätia narúšajú pôvodnú uzavretosť systému rovníc, pretože zavádzajú 9
nových neznámych premenných (zložky tenzora v 3D priestore). Preto je potrebné za-
viesť dodatočné konštitučné rovnice, ktoré sa však nedajú odvodiť jednoznačne. Rovnice,
ktoré sa používajú, sa líšia svojou zložitosťou – v závislosti na predpokladoch, z ktorých
vychádzajú. Tieto rovnice predstavujú rôznemodely turbulencie.
Obidva použité modely turbulencie (Spalart-Allmaras aj SST) vychádzajú z veľmi často
využívanej Boussinesqovej hypotézy, ktorá zakladá konštitučný vzťah medzi Reynoldso-
vými napätiami −%u′ih′ a takzvanou vírovou (alebo turbulentnou) viskozitou (angl. eddy
viscosity) µt:
−%u′iu′j = µt
(2Sij −
23
( div ~u)
)δij −
23%k δij
kde k je turbulentná kinetická energia:
k =12u′iu′i
Najväčším obmedzením Boussinesqovej hypotézy je že uvažuje iba izotropickú tur-
bulenciu (jej vyjadrenie iba pomocou jedného parametra µt). Na druhú stranu, podob-
nosť pravej strany rovnice vírovej viskozity so vzťahom pre viskózne napätia v Navier-
Stokesovej rovnici (rovn. 3.1 na str. 50) umožňuje Reynoldsove napätia zakomponovať do
pôvodnej nespriemerovanej Navier-Stokesovej rovnice – stačí len modifikovať hydrosta-
tický tlak členoms turbulentnoukinetickou energiou 23%k anahradiť pôvodnúmolekulárnu
viskozitu µ jej efektívnou hodnotou µef
µef = µ+ µt
3.5.1 Model Spalart-Allmaras
Model Spalart-Allmaras patrí medzi jednorovnicové modely turbulencie, pretože pre vý-
počet neznámej vírovej viskozity µt používa iba jednu rovnicu – konkrétne rovnicu turbu-
lentnej kinetickej energie k.
53
LF KLI
Tento model je určený pre prúdenie ohraničené stenou a v týchto prípadoch podáva
presnejšie výsledky ako mnoho zložitejších modelov (obzvlášť pri nepriaznivom tlakovom
gradiente). [Bardina et al., 1997]
Vírová viskozita µt je pri použití tohtomodelu definovaná nasledovne:
µt = %νfv1
Jediným nezávislým parametrom v tejto rovnici je tlmená turbulentná kinematická visko-
zita ν, ktorámusí byť počítaná zvláštnou transportnou rovnicou.
Tento model, umožňuje modelovať turbulenciu aj v laminárnej podvrstve, ale v prog-
rame FLUENT, bol naopak využitý so stenovou funkciou pre premostenie veľkej stenovej
vzdialenosti okrajových prvkov neštruktúrovanej siete.
3.5.2 Model SST
Menterov SST (Shear Stress Transport) model turbulencie patrí do kategórie dvojrovni-
cových modelov. Väčšinu 2-rovnicových modelov možno zaradiť do dvoch skupín – medzi
modely k-ε alebo k-ω. Tieto modely používajú pre výpočet vírovej viskozity µt dve rov-
nice – rovnicu turbulentnej kinetickej energie k a turbulentnej rýchlosti disipácie ε, alebo
frekvencie dominantných vírov ω. Veľkou výhodou modelov k-ω je presnosť modelovania
vplyvu turbulentnej škály v blízkosti steny, pri nepriaznivom tlakovomgradiente. Ich nevý-
hodou je prehnaná závislosť podmienok v medznej vrstve na parametroch turbulencie vo
vonkajšom prúde. Opačne je tomu pri modeloch k-ε. [Wieser et al., 2002]
Model SST je v základemodel kategórie k-ω, ktorý sa na okraji medznej vrstvy postupne
mení na model k-ε. Zmena je riadená zmiešavacou funkciou v závislosti na vzdialenosti
prvku od najbližšej steny. Vírová viskozita µt je pri použití tohtomodelu definovaná nasle-
dovne:
µt = %k
ω
54
LF KLI
3.5.3 Prechodmedznej vrstvy vmodeli SST
Model SST v riešičiANSYS CFX je ojedinelý v tom, že umožňuje výpočet prechodumedz-
nej vrstvy (m. v.) z laminárneho režimu do turbulentného, vďaka čomu jemožné presnejšie
predpovedanie strát v m. v. s nepriaznivým tlakovým gradientom, čo je aj prípad lopatky
dúchadla. Typický priebeh strát (trecieho odporu) v laminárnej a turbulentnej m. v. je na
obrázku 3.2.
x
Cf
laminárna (teoretická)m. v.
skutočnám. v.
turbulentná (teoretická)m. v.
prechodm.v.
Obr. 3.2 Súčiniteľ treniaCf vmedznej vrstve (m. v.).
Z troch dostupných modelov prechodu bol zvolený dvojrovnicový model γ-Reθ, nazý-
vaný niekedy aj Menter-Langtry, konkrétne jeho verzia CFX-v-1.1 podľa [Langtry a Men-
ter, 2005]. Tento model je založený na bezrozmerovej analýze prechodum. v. a korelovaní
s výsledkami veľkého množstva experimentov. Korelácia modelu je dosiahnutá vhodným
nastavením korelačných konštánt, ktoré boli publikované a dvoch korelačných funkcií,
ktoré v súčasnosti tvoria predmet obchodného tajomstva. V nezávislých testov bola potvr-
dená vynikajúca zhoda výsledkov tohto modelu s výsledkami experimentov na lopatkách
turbín a na vonkajších plochách lietadiel.
Model tvorí rovnica nárazovitosti γ a rovnica spúšťacieho kritéria prechodu – vyjadre-
55
LF KLI
ného Reynoldsovým číslom hybnostnej hrúbky medznej vrstvy (m. v.) Reθ. Nárazovitosť
(angl. intermittency) γ je podľa [Kundu a Cohen, 2002, s. 524] definovaná ako pomerná
doba, v ktorej sa dané miesto nachádza v turbulentnom režime prúdenia. Hodnota 0 zod-
povedá úplne laminárnemu prúdeniu a hodnota 1 úplne turbulentnému prúdeniu.
Dôležitým vstupom pre výpočet nárazovitosti γ je Reynoldsovo číslo deformačnej rých-
lostiReν :
Reν =y2
νS
kde y je vzdialenosť prvku od najbližšej steny, S absolútna veľkosť deformačnej rýchlosti a
ν je kinematickámolekulárna viskozita µ/%.
Toto číslo vyjadruje prechod v dôsledku Tolmien-Schlichtingovej lineárnej nestability
(príčina prirodzeného prechodu). Číslom, ktoré vyjadruje druhú hlavnú príčinu prechodu
– difúziu turbulencie z voľného prúdu (takzvaný bypass mechanizmus), je Reynoldsovo
čísloReT:
ReT =%k
µω
kde k je turbulentná kinetická energia aω je frekvencia dominantných vírov.
Informácia o režime m. v. v danom mieste je do SST modelu prenášaná práve pro-
stredníctvom nárazovitosti γ. Tento parameter v modeli SST ovplyvňuje jeho produkčné a
deštrukčné členy a tým sa dosahuje zmena výslednej hodnoty vírovej viskozity µt.
3.5.4 Požiadavky na výpočtovú sieť v medznej vrstve
Viskózne efekty v medznej vrstve majú často zásadný vplyv na obraz prúdenia v celom
priestore. Typickým príkladom je vznik sekundárnych kútových vírov, alebo separácia
medznej vrstvy na podtlakových oblastiach povrchov (napr. na chrbte lopatky). Pre verné
modelovanie týchto efektov je nutné, aby model turbulencie verne rekonštruoval priebeh
parametrov po hrúbke medznej vrstvy. Veľké gradienty v tesnej blízkosti steny a logarit-
mickýpriebeh týchtoparametrov kladú striktné obmedzenia nadetailnúdiskretizáciu siete
56
LF KLI
v blízkosti steny. Tieto obmedzenia vyplývajú z bezrozmerovej analýzy prúdenia vmedznej
vrstve. Na obrázku 3.3 je zobrazený priebeh bezrozmerovej rýchlosti v medznej vrstve u+
v závislosti na bezrozmerovej vzdialenosti od steny y+ – podľa [Tannehill et al., 1997],
[White, 2002].
1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 100000
5
10
15
20
25
30
(lineárna)podvrstva
vonkajšia oblasť
vnútorná oblasť(stenová závislosť)
nárazníkovázóna
zóna(logaritmická závislosť)
u+
y+
u+ = y+
u+ = 10.41 ln y+ + 5.15
rovná doskanepriaznivý tlakový gradient
prúdenie potrubímpriaznivý tlakový gradient
viskózna
(y+ ≈ 0–5) (y+ ≈ 30–300)
y = 0.2 hrúbkymedz. v.
(deficit rýchlosti)
y+ ≈ 300 (podľa Re)
Reθ = 5000
plne turbulentná
Obr. 3.3 Zónymedznej vrstvy podľa priebehu rýchlosti.
Podľa tohto obrázku by prvok, ktorý je najbližšie k stene, mal maťmaximálne takú veľkosť,
aby celý ležal vo viskóznej vrstve. To zodpovedá vzdialenosti y+ < 3–5, optimálne okolo
hodnoty 1. Nevhodné sú jednak väčšie prvky, ale aj menšie – aj keď v prípade riešiča AN-
SYS CFX je použitá automatická stenová funkcia, ktorá sa s menšími prvkami vysporiada
bez následkov na presnosť. Ďalším obmedzením je, že veľkosti prvkov majú rásť exponen-
ciálne so vzdialenosťou od steny. Používajú sa mocninové exponenty v rozsahu 1.1–1.2.
Pri väčších hodnotách začínajú byť zreteľné odchýlky od presného riešenia.
57
LF KLI
3.6 Metóda konečných objemov
Numerické algoritmy použitých programov (ANSYS CFX, FLUENT) sú založené na me-
tóde konečných objemov, ako ostatne prevažná väčšinaCFD riešičov.Označuje sa aj skrat-
kou FVM (z angl. Finite Volume Method). Metóda je diskrétnym ekvivalentom metódy
kontrolného objemu, používanej vo fyzike a technike. Používa integrálny tvar rovníc, preto
automaticky zaručuje splnenie zákonov zachovania a to bez ohľadu na druh siete a jej de-
tailnosť. Integrálny tvar je tiež veľmi výhodný pri zachytení diskontinuít v prúdení, akými
môže byť napríklad rázová vlna, alebo vstup chladiaceho vzduchu na stenách.
element
stredelementu
uzol
konečný objem
Obr. 3.4 Vzťahmedzi elementom siete a konečným objemom.
Diskretizačná schéma metódy FVM je založená, ako názov napovedá, na konečných
objemoch, ktoré sú tvorené časťami susedných prvkov výpočtovej siete so spoločným vr-
cholom (uzlom) – viď obr. 3.4. Počítané hodnoty prúdového poľa sú uchovávané v strede
kontrolného objemu, t. j. v uzloch výpočtovej siete. Tieto hodnoty sú získavané súčtom
priemerných hodnôt po obsahu jednotlivých segmentov, ktoré tvoria kontrolný objem.
Spôsob diskrétnej aproximácie integrálov určuje rád použitej aproximačnej schémy, ktorý
spolu s hustotou siete určuje presnosť riešenia a na druhú stranu aj rýchlosť konvergencie
výpočtu (prípadne až stabilitu). K dispozícii je aproximácia advekčnej schémy 1. rádu
58
LF KLI
(užitočná hlavne pre zvýšenie stability pri prvých iteráciách výpočtu) a ostatné schémy
max. 2. rádu, ktoré dosahujú väčšiu presnosť, ale v určitých situáciách vedú k pomalej kon-
vergencii. V prípade výpočtu vANSYS CFXbola použitá schéma „HighResolution“, ktorá
je schémou 2. rádu, ale v miestach diskontinuít (rázových vĺn) sa automaticky degraduje
na schému 1. rádu.
Výsledný systém algebraických rovníc bol riešený iteračnou metódou. Pri obidvoch
programoch a vo všetkých prípadoch bol použitý združený riešič, kde hodnoty hustoty
a rýchlostného poľa tvorili jednu maticu. V riešenej úlohe sa jedná o vysoko stlačiteľné
prúdenie, kde dosahuje združený riešič rýchlejšiu konvergenciu ako segregovaný riešič.
Model turbulencie bol riešený segregovaným spôsobom. V programe ANSYS CFX bola
segregovaným spôsobom riešená aj rovnica energie.
originálna sieť
hrubá sieť (prvá úroveň)
hrubá sieť (ďalšia úroveň)
Obr. 3.5 Multigridmetóda.
Vzhľadom k veľkej hustote siete bol pre urýchlenie konvergencie v konečnej fáze vý-
počtu použitý multigrid algoritmus. Podstatou multigrid algoritmu je vytvorenie hierar-
chie hrubších sietí – viď obr. 3.5. Problémom bodovo-implicitných iteračných metód typu
59
LF KLI
Gauss-Seidel je, že dokážu účinne redukovať iba lokálne chyby (reziduá v rovnováhe rov-
níc), ktorých vlnová dĺžka nie je oveľa väčšia ako priestorový krok siete (veľkosť prvkov).
Korekcia celkových chýb, s veľkou vlnovou dĺžkou, je spomaľovaná veľkýmmnožstvom su-
sedných prvkov. To je dôvod, prečo pri zväčšení hustoty siete, rýchlosť konvergencie klesá
rýchlejšie ako počet prvkov. Hrubšia sieť urýchľuje komunikáciu týchto korekcií prostred-
níctvom zmenšenia počtu susedných prvkov – dochádza k čiastočnej premene celkovej
chyby na pôvodnej, detailnej, sieti na lokálnu chybu na hrubej sieti, ktorá je iteračným
riešičom odstraňovaná rýchlejšie ako celková chyba. Korekcia je potom prenesená naspäť
na pôvodnú sieť, kde spôsobí vznik chyby, ale už iba lokálnej povahy, ktorá je následnou
iteráciou rýchlo odstránená.
3.7 Popis výpočtovej siete
Pre obidva programy bola vytvorená sieť v podobe periodického výseku. V obvodovom
smere mal tento výsek rozsah 1/15 kruhu (t. j. uhol 24◦). Tvar výseku pre riešič FLUENT
vidno v ľavej časti obrázku 3.6. Neskoršie vytváraná sieť pre riešič ANSYS CFX mala už
Obr. 3.6 Tvar výpočtovej oblasti pre FLUENT aANSYS CFX.
60
LF KLI
jednoduchší tvar vstupnej a výstupnej oblasti, lebo sa to ukázalo ako dostatočné (viď pravá
časť obrázku 3.6). Takýto tvar oblasti vyžaduje použitie periodickej okrajovej podmienky
na bočných stenách a presný geometrický obraz protiľahlých povrchových sietí na týchto
stenách.
Výpočtová sieť pre riešič FLUENT bola pripravená v generátore GAMBIT a vzhľadom
k vtedajším nedostatkom tohto generátora musela byť sieť vytvorená ako neštruktúro-
vaná, s použitím štvorstenových prvkov (Tetra). Povrchovú sieť (rotačne znásobenú) tohto
modelu vidno na obr. 3.7.
Obr. 3.7 Povrchová sieť modelu pre FLUENT.
Pre riešič ANSYS CFX bola vytvorená dokonalejšia sieť pomocou poloautomatizova-
ného generátora štruktúrovaných rotačných sietí TURBOGRID zo systému ICEM CFD.
Použitie štruktúrovanej siete na takú zložitú geometriu má za následok vznik veľmi de-
formovaných prvkov (viď obr. 3.8). Jedine pri J-topológii je možné tento problém obísť,
61
LF KLI
ale vytváranie takejto topológiemanuálne je veľmi pracné. Veľkou výhodou štruktúrovanej
siete je plná kontrola nad hustotou siete v celom objeme a veľmi jednoduché vytváranie
prizmatických prvkov v medznej vrstve a v obvodovej medzere. Detaily výslednej siete
s obvodovoumedzerou sú na obr. 3.9.
O-topológia C-topológia H-topológia
J-topológia
miesta so zlou kvalitou siete
Obr. 3.8 Topológie používané pre sieťovanie geometrie lopatiek.
62
LF KLI
Pri vytváraní detailnej siete vmedznej vrstve bola treba dodržať obmedzenie použitej verzie
ANSYS CFX (512 000 uzlov). Prednosť mala medzná vrstva na lopatke a v obvodovej
medzere.Na lopatkebol prvýkrok siete 0.006mm,vobvodovejmedzere0.002mm.Cieľom
bolo dosiahnuť v obidvoch miestach hodnotu y+ = 0.7–1.5. Na náboji bola očakávaná
hodnota okolo 40–50. Z obrázku 3.10, kde je pre kontrolu zobrazená hodnota y+ po
skončení výpočtu, je zrejmé že toto kritérium bolo dodržané.
Obr. 3.9 Štruktúrovaná J-sieť vytvorená vTURBOGRID-e.
Výsledná veľkosť siete bola 502 000 uzlov a 522 000 objemových prvkov.
63
LF KLI
Obr. 3.10 Výsledné zobrazenie y+ po plochách dúchadla.
64
LF KLI
3.8 Popis modelu prúdenia a okrajových podmienok
Prúdenie v dúchadle bolo definované ako stlačiteľné, preto bola okrem rovníc hybnosti
a kontinuity počítaná aj rovnica energie. Kvôli tomu bol pre vzduch použitý model ide-
álneho plynu (molárna hmotnosť 28.96 kg/kmol). Viskozita vzduchu bola konštantná –
1.831·10−5 kg m−1 s−1
Turbulencia bola riešená segregovaným spôsobom – použitý bol model SST a model
prechodu γ-Reθ (skrátene len gama-theta). Intenzita turbulencie na vstupe bola 1%.
okrajové podmienky
vstup
výstupstena(wall)
(inlet)
(outlet)
periodicita
1 2
geometria numerickéhomodelu
Obr. 3.11 Využitie periodicity pre zmenšenie geometrickej oblasti modelu.
Schematický nákres výpočtovej oblasti, aj s definovanými okrajovými podmienkami, je
na obrázku 3.11. Zadná a predná časť boli nehybné, stredná časť rotovala rýchlosťou
9 981 ot./min. Na rozhraní medzi nehybnou a rotujúcou oblasťou bola použitá jednodu-
chá schéma „Frozen rotor“. Priľahlé steny boli nastavené s okrajovou podmienkou „No
slip“, pričom všetky boli spojené s pohybom rodičovskej oblasti, okrem vonkajšieho plášťa
v strednej časti, ktorý bol nastavený tiež ako nehybný (nastavením rovnakej rýchlosti rotá-
cie, ale opačne relatívne voči otáčaniu rodičovskej oblasti).
65
LF KLI
πc
Q
p1c=konšt., p2=konšt.
n=konšt.
Obr. 3.12 Definícia pracovného bodu charakteristiky statickým tlakom na výstupe.
Čo sa týka kombinácie okrajových podmienok na vstupe a výstupe, cieľom bolo získa-
nie škrtiacich charakteristík tlaku, preto padla voľba na tlakové podmienky. Podmienky
museli umožňovať získanie charakteristiky s nemonotónnym priebehom (viď obr. 3.12),
preto bola zavrhnutá možnosť s celkovým tlakom na výstupe aj vstupe. Podľa príručky
[Ansys CFXUser’s Guide, 2007, Modelling, s. 50] existuje aj závažnejší dôvod – okrajová
podmienka celkového tlaku na výstupe je numericky nestabilná. Zvolená bola kombinácia
typu: celkový tlak na vstupe a statický tlak na výstupe. Hodnota na vstupe bola držaná
vo všetkých prípadoch na rovnakej úrovni, aby nebolo potrebné prepočítavať redukované
hodnoty, t. j. celkový tlak 101 325 Pa a teplota 288 K. Pretože výstup je rozdvojený (podľa
výkresov meracieho zariadenia), bolo potrebné zadávať dva výstupné tlaky. Podľa úvod-
nej časti meraní [PS-TSb, 1988] však celkové stlačenie vo vonkajšom prúde nezávisí na
obtokovom pomere, preto boli obidva tlaky nastavované na zhodné hodnoty.
Charakteristické pomery v prúdovom poli dúchadla po dosiahnutí konvergencie sú na
obrázkoch 3.13 a 3.14.
66
LF KLI
Obr. 3.13 PriebehMachovho čísla po lopatke a v rezoch.
67
LF KLI
Obr. 3.14 Trecie napätie na povrchu lopatky.
68
LF KLI
4 Výsledky
Výsledky počítačovej simulácie boli získané z troch modelov, pričom výpočet každého
modelu pozostával zo série prípadov, s účelom získania tvaru škrtiacej charakteristiky.
Jednotlivé výpočtovémodely sú označené nasledovnými skratkami:
Fluent SA t000 – riešič FLUENT 5, model turbulencie Spalart-Allmaras, neštruktúro-
vaná Eulerovská sieť, geometria bez obvodovej medzery.
CFX SST t000 – riešič ANSYS CFX 11,model turbulencie k-ω SST, štruktúrovaná NS
sieť, geometria bez obvodovej medzery.
CFX SST t063 – ako predchádzajúci model, ale s modifikovanou geometriou na obvode,
to znamená: riešič ANSYS CFX 11,model turbulencie k-ω SST, štruktúrovaná NS
sieť, geometria s obvodovoumedzerou 0.63mm.
Namerané hodnoty boli rekonštruované z grafov v technickej správe [PS-TSb, 1988] prog-
ramom g3data [Frantz, 2008], pričom z celého súboru boli potrebné iba hodnoty vzťahu-
júce sa k prototypuEDV2.01.03.017, ktorý je vzorom sériovo vyrábaného dúchadla.
Kvôli porovnaniuboli zvolenéotáčky9981ot./min.Výsledkypočítačovéhomodelovania
pri týchto otáčkach sú v tabuľkách 4.1, 4.2 a 4.3. Výsledky experimentu pri tých istých
otáčkach sú v tabuľke 4.4. Pre úplnosť sú uvedené aj výsledky celkového stlačenia pre
všetky otáčky, zistené pri experimente, v tabuľke 4.5.
Hodnoty izentropickej účinnosti pre počítačové modely aj pre experiment boli vypočí-
tané podľa vzorca 1.1 (str. 13) upraveného vzhľadom na parametre vo vonkajšom prúde,
s uvažovaním konštantnej hodnoty adiabatického koeficientu γ = 1.4:
η iz =πc II
0.286 − 1T2c IIT1c− 1
(4.1)
Hodnoty prietoku a otáčok sú redukované – prepočítané na štandardné podmienky (p1c
= 101 325 Pa, T1c = 288 K), takže umožňujú vzájomné porovnanie, podobne ako sa to
69
LF KLI
zvykne robiť pomocou bezrozmerových parametrov. Definícia redukovaných otáčok bola
odvodená vzorcom 1.5 na str. 29:
Qr = Q ·√
T1c288 K
· 101 325 Pap1c
Redukované otáčky sú definované vzorcom 1.6 na str. 29:
nr = n ·√
288 KT1c
Prenázornejšiukonfrontáciu výpočtov smeraniami súhodnotypreotáčky9981ot./min.
vynesené v dvoch grafoch. Na obr. 4.1. sú zobrazené škrtiace charakteristiky celkového
stlačenia a na obr. 4.2. sú zobrazené škrtiace charakteristiky izentropickej účinnosti. Hod-
noty počítačových modelov sú jednoducho spojené lomenou čiarou, experimentálne hod-
noty sú preložené aproximačnou krivkou.
Pre zdôraznenie vzájomného rozdielu medzi meraním a výpočtami v pomere k celko-
vému rozsahu nameraných charakteristík a pre znázornenie vhodnosti použitej aproxi-
mačnej krivky, sú na obr. 4.3 zobrazené všetky výsledky celkového stlačenia vo vonkajšom
prúde (okrem výpočtov pre 9 981 ot./min. aj experimentálne hodnoty pre všetky otáčky).
Tabuľka 4.1 Fluent SA t000 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty
prípad Qr p1c T1c p2c II T2c II πc II η iz II[kg/s] [Pa] [K] [Pa] [K] [1] [1]
A070 43.36 101325 288 144560 327.2 1.427 0.785
A080 43.36 101325 288 145765 327.5 1.439 0.798
A090 43.20 101325 288 150860 329.5 1.489 0.836
A095 42.82 101325 288 153657 330.9 1.516 0.848
A100 41.93 101325 288 155957 332.4 1.539 0.851
A105 40.76 101325 288 158335 334.4 1.563 0.844
A110 39.12 101325 288 160808 336.8 1.587 0.833
70
LF KLI
Tabuľka 4.2 CFXSST t000 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty
prípad Qr p1c T1c p2c II T2c II πc II η iz II[kg/s] [Pa] [K] [Pa] [K] [1] [1]
80 43.35 101325 288 147566 327.4 1.457 0.830
90 42.89 101325 288 152153 329.9 1.502 0.848
100 41.41 101325 288 156916 333.3 1.549 0.848
110 38.88 101325 288 162986 338.2 1.609 0.835
120 18.24 101325 288 147825 347.2 1.459 0.802
Tabuľka 4.3 CFXSST t063 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty
prípad Qr p1c T1c p2c II T2c II πc II η iz II[kg/s] [Pa] [K] [Pa] [K] [1] [1]
70 43.43 101325 288 144192 325.7 1.423 0.811
80 43.31 101325 288 146845 327.2 1.449 0.822
90 42.73 101325 288 151150 329.6 1.492 0.837
100 41.24 101325 288 156038 333.1 1.540 0.839
110 38.72 101325 288 162512 338.1 1.604 0.830
Tabuľka 4.4 Experiment pri otáčkach 9 981 ot./min – hodnoty pre EDV2.01.03.017
Qr πc II η iz II[kg/s] [1] [1]
42.70 1.450 0.740
41.21 1.560 0.799
39.31 1.612 0.789
37.23 1.641 0.750
36.81 1.643 0.729
35.09 1.612 0.679
71
LF KLI
Tabuľka 4.5 Experimentálne stlačenie – úplné hodnoty pre EDV2.01.03.017
nr = 9981 min−1 10875 min−1 11729 min−1 12552 min−1 13100 min−1
Qr πc II Qr πc II Qr πc II Qr πc II Qr πc II[kg/s] [1] [kg/s] [1] [kg/s] [1] [kg/s] [1] [kg/s] [1]
42.70 1.450 45.88 1.592 49.31 1.731 51.67 1.848 52.66 1.927
41.21 1.560 45.49 1.699 48.83 1.830 51.63 2.048 52.65 2.028
39.31 1.612 43.98 1.748 46.78 1.923 51.46 2.117 52.61 2.260
37.23 1.641 42.55 1.770 46.28 1.959 50.90 2.132 51.56 2.293
36.81 1.643 42.11 1.777 46.06 1.961 49.31 2.157 50.68 2.297
35.09 1.612 38.57 1.766 42.14 1.941 47.78 2.158 50.38 2.297
47.41 2.159 49.33 2.282
72
LF KLI
redukovaný prietok Qr [kg/s]454443424140393837363534
celkovéstlačenievo
vonk
.prúde
πcII
[1]
experimentFluent SA t000CFX SST t000CFX SST t063
1.7
1.6
1.5
1.4
Obr. 4.1 Škrtiace charakteristiky celk. stlačenia pri reduk. otáčkach 9 981 ot./min.
redukovaný prietok Qr [kg/s]454443424140393837363534
izentrop
ická
účinno
sťvo
vonk
.prúde
ηizII
[1] experiment
Fluent SA t000CFX SST t000CFX SST t063
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
Obr. 4.2 Škrtiace charakteristiky izentropickej účinnosti pri reduk. otáčkach 9 981 ot./min.
73
redukovaný prietok Qr = Q√
T1c288
101325p1c
[kg/s]5550454035302520
celkovéstlačenievo
vonk
.prúde
πcII=
p2cII
p1c
[1]
experimentFluent SA t000CFX SST t000CFX SST t063
13100 ot./min.
12552 ot./min.
11729 ot./min.
10875 ot./min.
nr = 9981 ot./min.
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
Obr. 4.3 Úplné škrtiace charakteristiky celk. stlačenia
LF KLI
5 Záverečné poznámky
5.1 Diskusia výsledkov
Namerané výsledky sú zaťažené veľkým rozptylom, preto boli v zdrojovom dokumente
aproximované, ale popis aproximačnej krivky nie je nikde zadokumentovaný a je vysoká
pravdepodobnosť, že aproximácia bola urobená od ruky. Spojnicový graf by bol veľmi rozk-
mitaný, takže som aspoň pri charakteristikách stlačenia vykonal aproximáciu exaktnejším
spôsobom. Použitá bola aproximačná funkcia:
πc = k1 +k2Qr− k3Qr
ktorá umožňuje dobrú aproximáciu v limitnom prípade maximálnych otáčok. Konštanty
k1, k2, k3 boli nájdené nelineárnou optimalizáciou v programe GNUPLOT. Bola pou-
žitá metóda najmenších štvorcovMarquardt-Levenberg. Krajné body na hranici pumpáže
boli ignorované, pretože by vyžadovali zložitejšiu aproximačnú funkciu. Aproximácia pri
menších rýchlostiach otáčania je zhoršená malým počtom bodov v oblasti najprudšieho
zakrivenia. Aj tak je však badateľná zmena charakteristiky z typického supersonického
upchatia pri maximálnych otáčkach (zvislá časť charakteristiky) po pozvoľný priebeh pri
minimálnych otáčkach.
Charakteristika izentropickej účinnosti bola ponechaná s pôvodnou aproximačnou kriv-
kou, pretože dostatočne verne sleduje namerané body a aj vzhľadomna veľký rozdielmedzi
nameranými a vypočítanými výsledkami.
Vypočítané charakteristiky boli ponechané bez aproximácie, pretože aj jednoduché spoj-
nice bodov sú v tomto prípade dostatočne prehľadné.
Je nutné spomenúť, že výpočtová hodnota izentropickej účinnosti bola veľmi závislá na
použitej metóde výpočtu. Použitá metóda spočívala v použití priemerných hodnôt tlakov
a teplôt, ktoré boli zisťované v dostatočnej vzdialenosti pred a za lopatkou. Pri použití
metód, ktoré integrovali uvedené parametre v miestach tesne pred a tesne za lopatkou,
75
LF KLI
vychádzala izentropická účinnosť približne o 10 % vyššia. Možnou príčinou je vplyv za-
okrúhľovacej chyby pri priemerovaní parametrov po oblasti, s veľkou variáciou hodnoty,
k čomu sa na výstupnej strane môže pripočítať ešte vplyv strát v úplave za lopatkou vo
väčšej vzdialenosti.
Pri porovnaní výpočtových výsledkov ako celku s meraniami je vidieť podobné trendy
charakteristík, ale je zreteľný mierny posun výpočtových charakteristík smerom k vyš-
šiemu prietoku o 1.5 % a podobne veľký posun smerom k nižšiemu stlačeniu. Tento posun
je rovnaký pri výpočtoch vykonaných pomocou dvoch rôznych softvérových nástrojov a pri
použití diametrálne odlišných sietí. Je vysokonepravdepodobné, že bybol tentoposun spô-
sobený nejakou nedokonalosťou v modelovaní turbulencie a medznej vrstvy. V prospech
toho hovorí jednoduché porovnanie mierky medznej vrstvy k mierke prietočného kanálu
a prihliadnutie na to, že v danom prípade nedošlo k separácii prúdenia významnejšieho
rozsahu. Ďalšia príčina – iné tlakové pomery v systéme rázových vĺn, je vylúčená faktom,
že izentropická účinnosť výpočtových bodov je vyššia než pri nameraných. Ostáva už iba
kinematický vplyv spôsobený mierne odlišným tvarovaním meraného prototypu (ozna-
čenie EDV2.01.03.017), a sériového výrobku, ktorého výrobná geometria bola použitá
pri výpočte. To vysvetľuje aj to, prečo je vrchol izentropickej účinnosti pri výpočtoch tiež
posunutý k vyšším hodnotám prietoku.
Pri porovnaní výpočtových výsledkov ideálneho prípadu (bez obvodovej medzery) je
výpočet pomocou hrubej siete (bez detailov v medznej vrstve) a pomocou jednoduchšieho
modelu turbulencie (SA), urobený v systéme FLUENT) mierne optimistický, čo je ale
hneď vykompenzované opačným rozdielom v oblasti väčšieho zaťaženia, kde sa zrejme
prejavuje predčasné predpovedanie separácie jednoduchším modelom. To je v zhode aj
s charakteristikou izentropickej účinnosti. Celkovo však ide o malé rozdiely vzhľadom
k výsledkom tretieho prípadu – s vplyvom obvodovej medzery.
Na výpočtovom prípade s vplyvom obvodovej medzery 0.63 mm je zreteľný pokles cel-
kového stlačenia a izentropickej účinnosti v celom rozsahu škrtenia prietoku, čo je v zhode
s predpokladmi. Pokles celkového stlačenia je rádovo 1 % a pokles izentropickej účinnosti
76
LF KLI
takisto 1%.
Tento výsledok je v podobnom rozsahu, ako udáva [Walsh a Fletcher, 2004, s. 177], kde
je uvedené zníženie účinnosti o 1–2% pri zväčšení obvodovej medzery o 1%.
Nameraná charakteristika izentropickej účinnostimánižšie hodnoty ako výpočtové cha-
rakteristiky. Rozdiel je približne 3.5 %. Možnou príčinou je iná veľkosť a nepravidelnosť
obvodovej medzery, alebo nedokonalý povrch meraného telesa. Veľkosť a tvar skutočnej
medzery nie je známy a je veľmi ťažko zistiteľný pri experimente. Najschodnejšou cestou
k týmto údajom by bola kombinovaná numerická analýza združujúca metódy CFD a me-
tódy konečných prvkov (FEM) používané pri analýze napätosti tuhých látok (CAE, resp.
CSD). Tieto združené metódy sú známe aj pod označením FSI (Fluid-Structure Interac-
tion).
Hypotéza, že výsledky súčasných metód CFD sú hodnoverné (resp. validné) pri výpočte
transsonického prúdenia v dúchadle leteckého turbínového motora, bola potvrdená. CFD
metódy jemožné využívať na kvantitatívnu analýzu apredpovedanie, vrátane vplyvov strát,
ktoré hoci ibamálo vplývajúna absolútnuhodnotuparametrovprúdenia, v celkovej súvahe
majú veľký vplyv na parametre aerodynamickej efektívnosti návrhu.
5.2 Prínosy dizertačnej práce
5.2.1 Prínos pre vedný odbor
V teoretickej oblasti táto práca referenčnú hodnotu, pretože prináša zriedkavo sa vyskytu-
júce výsledky merania reálneho transsonického dúchadla, ako aj CFD výsledky s použitím
najnovších verejne dostupnýchmetód.
Druhým prínosom pre vedu je aplikácia najnovších metód RANS s modelovaním pre-
chodumedznej vrstvy pri modelovaní transsonického dúchadla s obvodovoumedzerou.
77
LF KLI
5.2.2 Prínos pre inžiniersku prax
Hlavný prínos tejto práce spočíva v praktickej oblasti, kde prináša potvrdenie validity vý-
sledkov moderných CFDmetód pre účely výpočtu transsonického prúdenia v dúchadlách
leteckých dvojprúdových motorov. Táto oblasť aplikácie metód CFD je Slovensku úplne
nová. Vo svetovommeradle je táto aplikácia, s vysokou pravdepodobnosťou, bežná, ale cez
to všetko tu chýbal podobný typ práce. Najbližším typom projektu je [QNET-CFD], ktorý
má široký záber a poskytuje výsledky pre podobné, ale nie totožné, aplikácie. Hodnota
práce spočíva nielen v potvrdení hypotézy, ale aj v popise metódy, ktorá môže mať, hlavne
na Slovensku, význam v podobe určitého návodu, ako riešiť podobný problém.
Práca predstavuje príspevok k výskumu transsonických lopatkových mreží, ktorý v sú-
časnosti zažíva rozvoj a je prostriedkom k získaniu výhod v konkurenčnom boji výrobcov
leteckých prúdovýchmotorov pre civilnú dopravu aj vojenské použitie.
Konkrétnym prínosom sú aj dôsledky potvrdenia hypotézy, to znamená, že vývoj trans-
sonického dúchadla je možné úspešne viesť aj bez väčšiny finančne náročných experimen-
tov a pri odbornom zvládnutí CFD technológie je možné túto technológiu považovať za
náhradumerania na skutočnom objekte.
5.3 Ďalšie smerovanie výskumu
V priebehu práce sa ukázalo, že predsavzaté ciele sú uskutočniteľné. Úlohy, ktoré by bolo
potrebné alebo vhodné riešiť pri pokračovaní tohto výskumu, sú nasledovné:
1. Získanie kvalitnejších experimentálnych výsledkov – konkrétne odstránenie po-
chybností o geometrii fyzikálneho modelu a intenzite turbulencie na vstupe. To je
možné iba v spolupráci s výrobcom, ktorýmá príslušnú testovaciu základňu.
2. Analýza veľkosti a tvaru obvodovej medzery následkom odstredivých a aerodyna-
mických síl, pomocou metód FSI (Fluid-Structure Interaction). Viď [Gašparovič a
Semrád, 2000].
78
LF KLI
3. Analýza závislosti medzi šírkou obvodovej medzery a znížením celkového stlačenia
a termodynamickej účinnosti.
4. Analýza závislosti medzi relatívnym Machovým číslom a znížením celkového stla-
čenia a termodynamickej účinnosti následkom obvodovej medzery. Jednalo by sa
o výpočet v dvoch až troch charakteristických režimoch (výrazne subsonický, vý-
razne supersonický a prípadne aj transsonický).
5. Analýza citlivosti použitého modelu turbulencie na intenzitu turbulencie na vstupe
do dúchadla.
Pri týchto úlohách by mohla byť využitá existujúca štruktúrovaná sieť a použitý CFD
nástroj ANSYS CFX. Pri zväčšení výpočtovej kapacity by bolo možné v rozumnom čase
riešiť aj nasledovné problémy:
• Citlivostná analýza presnosti výpočtu charakteristík v závislosti na hustote siete.
• Analýza vplyvu Machovho a Reynoldsovho čísla na izentropickú účinnosť pri exis-
tencii obvodovej medzery.
79
LF KLI
Zoznam použitej literatúry
3rd AIAA CFD Drag Prediction Workshop [online]. 2006. [upd. 29.11.2006] [cit.
14.1.2008].
<http://aaac.larc.nasa.gov/tsab/cfdlarc/aiaa-dpw/>
ANDERSON, J.D., Jr., 1995. Computational FluidDynamics. 1. vyd.McGraw-Hill, 1995.
574 s. ISBN 0070016852.
Ansys CFXRelease 11, User’s Guide. Ansys Inc., USA, 2007.
Ansys ICEMCFD, User’s Guide. Ansys Inc., USA, 2007.
BARDINA, J. E. – HUANG, P. G. – COAKLEY, T. J., 1997. Turbulence Modeling Valida-
tion, Testing, and Development. Tech. Spr. NASA-TM-110446, 1997. [cit. 28.1.2008].
<http://hdl.handle.net/2060/19970017828>
BERTIN, J. J. – SMITH, M. L., 1989. Aerodynamics for Engineers. 2. vyd. Prentice-Hall,
1989. xvi + 576 s. ISBN 0130182435.
BLUNDELL,S. –BLUNDELL,K., 2006.Concepts inThermalPhysics. OxfordUniversity
Press, 2006. 483 s. ISBN 0198567707.
BORDELON, L., 2006. Design of Experiments Applied to Flight Testing. In: NATO RTO
Lecture Series SCI-176 onMission Systems Engineering. LiptovskýMikuláš, 2006.
BOYCE,M. P., 2001. Gas Turbine Theory. 2. vyd. Gulf Professional Publishing, 2001. 640
s. ISBN 0884157326.
CASEY,M., 2004. QNET-CFDNetwork Newsletter volume 2, no. 4: Best practice advice for
turbomachinery internal flows [online], 2004. [cit. 11.4.2005].
<http://www.qnet-cfd.net/newsletter/8th/n8_40-46.pdf>
CFD-Online –Wiki [online]. [cit. 28.1.2008].
<http://www.cfd-online.com/Wiki/Fluid_dynamics>
80
LF KLI
CHEN, H. – TEIXEIRA, C. – MOLVING, K., 1997. Digital Physics Approach to CFD:
Some Basic Theoretical Features. International Journal of Modern Physics C, 1997, 8,
č. 4, s. 675 – 684. ISSN 01291831. [cit. 28.1.2008].
<http://dx.doi.org/10.1142/S0129183197000576>
COHEN, H. – ROGERS, G. F. C. – SARAVANAMUTTOO, H. I. H., 1996. Gas Turbine
Theory. 4. vyd. Longman, 1996. 455 s. ISBN 0582236320.
ČARNOGURSKÁ,M., 2000. Základymatematického a fyzikálnehomodelovania vmecha-
nike tekutín a termodynamike. Košice: Vienala, 2000. 176 s. ISBN 8070993448.
ERCOFTACBest Practice Guidelines [online]. [cit. 11.4.2005].
<http://www.ercoftac.org/index.php?id=77>
Fluent 5, User’s Guide, Vol 1–4. Fluent Inc., USA, 1998.
FRANTZ, J., 2008. g3data 1.5.1 [program]. software, 2008. [cit 28.1.2008].
<http://www.frantz.fi/software/g3data.php>
GAŠPAROVIČ, P. – SEMRÁD, K., 2000. Spojenie metód CFD a FEM pri komplexnom
návrhu súčastí v letectve. In: zborník konferencieTRANSFER2000. Trenčín: Trenčianska
univerzita, 2000. s. 89–94.
GORLA, R. S. – KHAN, A. A., 2003. Turbomachinery: Design and Theory. 1. vyd. CRC,
2003. 424 s. ISBN 0824709802.
GUNSTON,B., 2004. TheCambridgeAerospaceDictionary. CambridgeUniversity Press,
2004. 750 s. ISBN 0521841402.
HALL, E. – TOPP, D. – HEIDEGGER, N. J. – MCNULTY, G. S. – WEBER, K. F. –
DELANEY, R. A., 1996. Task 7 — Endwall Treatment Inlet Flow Distortion Analysis
Final Report. Tech. Spr. NASA-CR-195468, 1996. [cit. 28.1.2008].
<http://hdl.handle.net/2060/19960027952>
81
LF KLI
HASSENPFLUG, W. C., 1993. Matrix Tensor Notation Part I. Rectilinear Orthogonal
Coordinates. ComputersMath. Applic., 1993, 26, č. 3, s. 55–93.
HEČL, P. – KOŘÁNEK, M. – MAŠEK, Z. – NEVEČEŘAL, J. – VESELKA, R., 2000.
Využití CFD programu Fluent pro vývoj lopatkových strojů. Letecký zpravodaj, 2000, ,
č. 1, s. 33–39. ISSN 1211877X.
HOCKO,M., 2007. DV-2 (popismotora) [online]. 2007. [upd. 7.10.2007] [cit. 14.1.2008].
<http://www.mzak.cz/motory/dv-2/>
HOUGHTON,E.L. –CARPENTER,P.W., 2003. Aerodynamics forEngineeringStudents.
5. vyd. Butterworth-Heinemann, 2003. 590 s. ISBN 0750651113.
ISO 31 (Quantities and units, International Organization for Standardization). Internati-
onal Organization for Standardization, Geneva, 3. vyd., 1992. ISBN 9267101854. [cit.
28.1.2008].
<http://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31>
IUPAP-25: Symbols, Units, Nomenclature and Fundamental Constants in Physics (Red
book) [online]. International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP), 1987. [cit.
28.1.2008].
<http://www-v2.sp.se/metrology/IUPAP_SUNAMCO/
IUPAPSUNAMCOCommission_files/Information_IUPAPSUNAMCO.htm>
JOHNSON, F. T. – TINOCO, E. N. – YU, N. J., 2003. AIAA 2003-3439 Thirty years of
development and application of CFD at Boeing commercial airplanes, Seattle. In: AIAA
Applied Aerodynamics Conference. 2003.
JOSLIN, R. D., 1997. Discussion of DNS: past, present, and future [online]. 1997. [cit.
20.1.2008].
<http://hdl.handle.net/2002/15304>
KOLECKI, J. C., 2002. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering
[online]. 2002. [cit. 2008-04-15].
82
LF KLI
<http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_
TM2002211716.pdf>
KROO, I., 2005. Applied Aerodynamics - A Digital Textbook. Desktop Aeronautics, 2005.
Version 4.1, August 1997. [cit. 1.3.2006].
<http://www.desktopaero.com>
KUNDU, P. K. – COHEN, I. M., 2002. Fluid Mechanics. 2. vyd. Academic Press, 2002.
730 s. ISBN 0121782514.
LANGTRY, R. B. –MENTER, F. R., 2005. TransitionModeling for General CFD Applica-
tions in Aeronautics. AIAA paper 2005-522, 2005. [cit. 2.3.2008].
<http://www.mesco.com.pl/produkty/ansys/cfx/tech_transmodel.pdf>
MASON,W.H., 1997. Applied Computational Aerodynamics - course notes [online], 1997.
[cit. 19.2.2002].
<http://www.aoe.vt.edu/~mason/Mason_f/CAtxtTop.html>
MASON, W. H. – DEVENPORT, W. J., 1998. Applied aerodynamics education: develop-
ments and opportunities. 16th AIAA Applied Aerodynamics Conference, Albuquerque,
1998. 14 s. AIAA Paper 98-2791. [cit. 2.5.2006].
<http://www.aoe.vt.edu/~mason/Mason_f/AIAA98-2791.pdf>
MOLNÁR, V., 1977. Príspevok k výpočtu prúdenia a lopatkových mreží v prúdovej vrstve
premenlivej hrúbky. habilitačná práca, SVŠT, Bratislava, 1977.
MOLNÁR, V., 2005. Teória prúdových strojov [online]. 2005. [cit. 28.1.2008].
<http://www.cfd.sk/tps>
MUNSON, B. R. – YOUNG,D. F. –OKIISHI, T. H., 2001. Fundamentals of FluidMecha-
nics. 4. vyd.Wiley and Sons, 2001. 816 s. ISBN 047144250X.
NEDELKA, M. – et al., 1998. Slovenský letecký slovník terminologický a výkladový. Brati-
slava:Magnet-Press, 1998. 494 s. ISBN 8096807307.
83
LF KLI
POPPER, K., 2002. The Logic of Scientific Discovery. Routledge, 2002. 544 s. [First
english edition 1959]. ISBN 0415278449.
POVAŽAN, J., 1999a. Konštrukcia matematických modelov leteckých turbo-
kompresorových motorov. Košice: Vojenská letecká akadémia gen. Milana Rastislava
Štefánika, 1999a. 67 s. ISBN 8071660302.
POVAŽAN, J., 1999b. Vybrané problémy projektovania leteckých motorov. Košice: Vojen-
ská leteckáakadémiagen.MilanaRastislavaŠtefánika, 1999b. 54 s. ISBN8071660329.
PS-TSa, 1983. Návrh ventilátorového stupňamotora DV-2. Technická správa 119/80-DV-
2-PB, Považské strojárne Leteckémotory, Považská Bystrica, 1983.
PS-TSb, 1988. Zmeranie termodynamických charakteristík ventilátorového stupňa NTK
motoraDV-2. Technická správa 14/88-DV2, Považské strojárne Leteckémotory, Považ-
ská Bystrica, 1988.
QNET-CFD – A Thematic Network For Quality and Trust [online]. [cit. 11.4.2005].
<http://www.qnet-cfd.net>
ROHSENOW,W.M. – HARTNETT, J. P. – CHO, Y. I., 1998. Handbook of Heat Transfer.
3. vyd.McGraw-Hill Professional, 1998. 1344 s. ISBN 0070535558.
RŮŽEK, J., 1975. Teorie leteckých motorů IV (nadzvukové kompresory). Brno: VAAZ,
1975. 87 s.
SCHLICHTING, H., 1968. Grenzschicht theorie. 5. vyd. Karlsruhe: Verlag G. Braun,
1968. 744 s. Rus. preklad: Teorija pogranichnogo sloja, NaukaMoskva, 1969.
SI: International SystemofUnits (SI brochure). Bureau International desPoids etMesures,
Paris, 8. vyd., 2006. ISBN 9282222136. [cit. 28.1.2008].
<http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf>
ŠESTÁK, Z., 1999. Jak psát a přednášet o věde. Praha: Academia, 1999. 210 s. ISBN
8020007555.
84
LF KLI
ŠVÉDA, J., 1975. Teorie vrtulníků. VAAZBrno, 1975. 114 s.
TANNEHILL, J. C. – ANDERSON, D. A. – PLETCHER, R. H., 1997. Computational
Fluid Mechanics and Heat Transfer. 2. vyd. Taylor & Francis, 1997. 816 s. ISBN
156032046X.
WALSH,P. P. – FLETCHER,P., 2004. Gas turbine performance. 2. vyd. Blackwell Science,
2004. xiv + 646 s. ISBN 063206434X.
WESSELING, P., 2000. Principles of Computational Fluid Dynamics. 1. vyd. Springer-
Verlag, 2000. 656 s. ISBN 3540678530.
WHITE, F., 2002. Fluidmechanics. 5. vyd.McGraw-Hill, 2002. 866 s. ISBN0072402172.
WIESER,W. – ESCH, T. –MENTER, F., 2002. Heat Transfer Predictions using Advanced
Two-Equation Turbulence Models [online]. Tech. Spr. CFX-VAL10/0602, 2002. [upd.
11.6.2002][cit. 11.4.2005].
<http://www-waterloo.ansys.com/cfx/horizons/media/heat_transfer.
pdf>
WRIGHT, T., 1999. FluidMachinery: Performance, Analysis, and Design. CRC, 1999. 376
s. ISBN 0849320151.
85
LF KLI
Príloha: Zápis vektorov a tenzorov
Pre zápis (napr. vektora a, alebo tenzora τ ) je možné použiť tri spôsoby, pričom každý
z nich je najvýhodnejší v inej situácii:
• vektorovo-algebraický (alebo iba vektorový – pretože sa pri ňom využíva symbolika
vyvinutá kvôli vektorom), pri ktorom vynikne geometrický význam a fyzikálny zmy-
sel vzťahu medzi veličinami. Pre označenie vektora alebo tenzora sa často používa
symbol v podobe tučného znaku. Tento spôsobmá tieto nevýhody:
– nie je okamžite jasné či dané písmeno predstavuje vektorovú alebo tenzorovú
veličinu
– nie je vhodný pre písanie rukou (pri prednáškach apod.).
Tieto nedostatky sú ošetrené štýlompodľa [Hassenpflug, 1993]. pre účely tejto práce
bol zvolený podobný štýl, t. j. vektor označený jednou šípkou (~a), tenzor 2. rádu
(dyáda) označený dvoma šípkami (~~τ ).
• komponentový, ktorý má význam pre praktické výpočty, lebo umožňuje rozpísať
vzájomnné operácií medzi jednotlivými zložkami. Komponenty (zložky) je možné
označiť samostatnými písmenami (zložky u, v, w vektora rýchlosti), alebo písme-
nom veličiny s indexom označujúcim zložku (zložky u1, u2, u3 vektora rýchlosti).
Podoba s indexom je systematickejšia a je v podstate nevyhnutná pri práci s ten-
zormi – hovoríme vtedy o indexovom (alebo tenzorovom) zápise. Okrem toho, že
prináša výhodu v tom, že podľa počtu indexov je ihneď jasné či sa jedná o skalár (a),
vektor (ai), alebo tenzor 2. rádu (aij), umožňuje aj radikálne skrátiť väčšinu operácií
medzi zložkami (viď ďalší podnadpis)
• maticový – kde jednotlivé dimenzie predstavujú riadky. Takže fyzikálny vektor pred-
stavuje stĺpcovú maticu – index zložky označuje číslo riadku. V prípade tenzorov je
to obdobne – prvý index označuje číslo riadku. Napríklad vektor rýchlosti ~u a tenzor
86
LF KLI
~~τ sa zapíšu nasledovne:
u1
u2
u3
,
τ11 τ12 τ13
τ21 τ22 τ23
τ31 τ32 τ33
Indexový zápis komponentov
V inžinierskych aplikáciách sa rýchlosť zvykne označovať písmenami v aleboV . Jednotlivé
zložky rýchlosti sa označujú samostatnými písmenami ako u, v,w (podobne sú zaužívané
písmená x, y, z pre priestorové súradnice a i, j, k pre jednotkové vektory súradnicového
systému).
Vo fyzike tekutín, sa často manipuluje s mohými veličinami súčasne v niekoľkých di-
menziách a predchádzajúci spôsob so samostatným písmenom pre každú zložku každej
veličiny je neprehľadný (v prípade tenzorov úplne nepoužiteľný).
Preto sa používa indexový (tenzorový) zápis s jednoznačným písmenom pre označenie
fyzikálnej veličiny a s indexom pre jej jednotlivé zložky (u vektorov a tenzorov). Indexový
zápis okrem toho umožňuje použitie premenného indexu (ktorý sa dá nahradiť ľubovoľnou
dimenziou), kedy stačí vzťah zapísať iba raz a vzťah pre všetky dimenzie sa dá ľahko dostať
dosadením konkrétnej dimenzie za premenný index.
Napríklad, zložka rýchlosti sa zapíše ako ui, kde premenný index i nadobúda konkrétne
označenie priestorovej dimenzie (buď číselne: u1, u2, u3, alebo písmenne ux, uy, uz) . Tam
kde je v rovnici potrebné skombinovať viacero priestorových zložiek navzájom, použijú sa
pre označenia premenných indexov ďalšie písmená v poradí (tzn. i, j, k, l, ...).
Ďalšia veľká výhoda indexového zápisu spočíva v použití sumačnej konvencie (zavedenej
AlbertomEinsteinom), ktorá umožňuje značne skrátiť zložité zápisy.
Ak sa v nejakom samostatne stojacom výraze vyskytne nejaký index viac než raz, zna-
mená to automaticky (bez prítomnosti symbolu pre súčet) súčet cez všetky hodnoty tohoto
87
LF KLI
indexu (tj. cez všetky dimenzie). Index, ktorý spúšťa toto pravidlo sa nazýva opakovaný
alebo nepravý (dummy), ostatné indexy sa nazývajú voľné. Napríklad uiviwj je chápaný
ako u1v1wj + u2v2wj + u3v3wj . Index i je opakovaný, zatiaľčo index j je voľný.
Výnimka pri označovaní komponentov polohy
Zložky vektora polohy ~x sa označujú xi. Za index i sa dosadzujú symboly jednotlivých
priestorových dimenzií – v trojrozmernom karteziánskom priestore buď klasicky, ako x, y,
z, alebo číslami 1,2,3. Použitie písmenných hodnôt x, y, z je trochu nepohodlné, pretože to
vedie k neprehľadnému zápisu xx, xy, xz. To, spolu s všadeprítomnosťou zložiek vektora
polohy v deriváciách fyzikálnych rovníc, je príčinou, prečo sa popri indexovom zápise
používajú aj ekvivalentné jednopísmenové označenia zložiek. Táto výnimka je častá hlavne
pri vektoroch polohy a jednotkových vektoroch. Preto sa zložky polohy častejšie označujú
akox,y, z a jednotkové vektory~i,~j,~k. Aby tobolo zrozumiteľnejšie, nasledujú ekvivalentné
označenia. Pre zložky polohy:
x1 ≡��HHxx ≡ x
x2 ≡��ZZxy ≡ y
x3 ≡��ZZxz ≡ z
a pre jednotkové vektory bázy súradnicového systému:
~e1 ≡ ~ex ≡~i
~e2 ≡ ~ey ≡ ~j
~e3 ≡ ~ez ≡ ~k
U ostatných vektorov sa používa iba indexový zápis. Výnimka jednopísmenného označo-
vania je tu kontraproduktívna. Napr. pre zložky vektora rýchlosti ~u:
u1 ≡ ux ≡�Zu
u2 ≡ uy ≡�Zv
u3 ≡ uz ≡��ZZw
88
LF KLI
Kombinácia vektorovej amaticovej symboliky
Vzájomné kombinovanie vektorovej algebry (označenie šípkou, skalárny súčin, ...) a ma-
tícových operátorov (maticový súčin, transponovanie, ...) v jednej rovnici nie je ideálne,
pretože, prísne vzaté, ide o matematický aparát s iným druhom abstrakcie. Matice sú ab-
strakcia v podobe číselných polí a vektory vystihujú geometrickú abstrakciu veličín a ich
transformácie v súradnicových sústavách. Našťastie, v konkrétnych prípadoch ide o ich
prienik, ale aj tak sa treba vyhnúť nedorozumeniu pri operáciách ako je napr. súčin. Na-
príklad symbol súčinu (·) má jednu definíciu v algebre (práca s jednoduchými číselnými
objektmi), inú definíciu vo vektorovej algebre (práca s tenzorovými objektmi) a úplne inú
vmaticovom počte (práca s číselnými poliami). Budú používané tieto pravidlá:
1. Lineárny súčin v lineárnej algebre sa v podstate neodlišuje od súčinu so skalárnou
veličinou vo vektorovej algebre, preto sa bude používať ten istý symbol s bodkou
(·), prípadne len nulová medzera medzi písmenami (v jednoznačných prípadoch).
To je tzv. vonkajší súčin – zovšeobecnenie jednoduchého súčinu vo vektorovej al-
gebre. V prípade použitia na zložitejšie objekty (tenzory prvého a vyššieho rádu)
dochádza vzájomným roznásobením zložiek k vzniku tenzora s vyšším rádom. To
je kvalitatívne odlišný efekt oproti násobeniu skalárov. Zároveň, pri použití obvyk-
lej bodky pre súčin tenzorov dochádza veľmi ľahko k nedorozumeniu kvôli zámene
so skalárnym alebo maticovým súčinom. Z týchto dvoch dôvodov sa tam, kde je to
kvôli lepšej zrozumiteľnosti potrebné, používa symbol ⊗ (nazývaný aj tenzorový,
dyadický, alebo Kroneckerov súčin). Príklady:
a · b ≡ ab = c
a ·~b ≡ a~b = ~c
~a ·~b ≡ ~a~b ≡ ~a⊗~b = ~~τ
2. Skalárny (tiež aj vnútorný) súčin vektorov, alebo tenzorov je diametrálne odlišná
operácia a nedorozumením môže dôjsť k zámene s tenzorovým súčinom, alebo ma-
ticovým súčinom. Preto sa v súčasnosti pre skalárny súčin často uprednostňuje
89
LF KLI
výraznejší symbol (•). Na rozdiel od tenzorového súčinu dochádza k redukcii v ráde
tenzora. Príklady:
~a •~b = c
~a •~~b = ~c
3. Pre maticový súčin bude používaný obvyklý symbol (·). Pre vylúčenie nejednoz-
načnosti budú symboly, ktoré sa chápu ako matice, uzavreté vždy do hranatých
zátvoriek. Príklady:
[a] · [b] =
a11
a21
a31
·[b11 b12 b13
]=
a11b11 a11b12 a11b13
a21b11 a21b12 a21b13
a31b11 a31b12 a31b13
90
LF KLI
Register
A
adiabatický . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
aerodynamické upchatie . . . . . . . . . . 13
analytickémodelovanie . . . . . . . . . 18, 20
B
bezrozmerové čísla . . . . . . . . . . . . . . 24
Boussinesqova hypotéza . . . . . . . . . . 53
Braytonov cyklus . . . . . . . . . . . . . . . . 5
BuckinghamovΠ-teorém . . . . . . . . . 27
C
C, C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
CAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 39, 77
celkový . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi, 34
metódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
učebnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
CSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 39, 77
D
disipácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
dvojprúdovýmotor . . . . . . . . . . . xvi, 3, 6
dúchadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
E
Eulerove rovnice . . . . . . . . . . . . . . . 17
experiment . . . . . . . . . . . . . . 17, 20, 30
F
FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
FORTRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
FSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 78
fyzikálnemodelovanie . . . . . . . . . . . . 24
G
generátor plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
H
hardvér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I
izentropický . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
J
JAVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
jednoprúdovýmotor . . . . . . . . . . . . . . 4
K
karteziánske siete . . . . . . . . . . . . . . . 38
kinematika prúdenia . . . . . . . . . . . . . 15
kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
kritériá podobnosti . . . . . . . . . . . . . . 25
M
Machovo číslo . . . . . . . . . . . . . . . 21, 25
medzná vrstva . . . . . . . . . . . . . . . 55, 56
metóda konečných objemov . . . . . . . . 58
modelovanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
modelovanie prechodu . . . . . . . . . . . 55
modelovanie turbulencie . . . . . . . . 22, 53
molekulová teória . . . . . . . . . . . . . . . 33
91
LF KLI
motor
DV-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
dvojprúdový . . . . . . . . . . . . . xvi, 3, 6
jednoprúdový . . . . . . . . . . . . . . . . 4
prúdový . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
turbokompresorový . . . . . . . . . . . xvii
turbínový . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
N
napätia
Reynoldsove . . . . . . . . . . . . . . . . 52
viskózne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
nestabilita medz. vrstvy . . . . . . . . . . . 56
neštruktúrované siete . . . . . . . . . . . . 37
NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
numerická difúzia . . . . . . . . . . . . . . 37
numerickémodelovanie . . . . . . . . . 18, 21
nárazovitosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
O
obtokový pomer . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
obvodovámedzera . . . . . . . . . . . . . . . 9
odtrhnuté prúdenie . . . . . . . . . . . . . . xvi
P
piestovýmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
počítačové prostriedky . . . . . . . . . . . 38
programovacie jazyky . . . . . . . . . . . . 40
propfan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
propulzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
propulzívna účinnosť . . . . . . . . . . . . . 4
prúdenie
odtrhnuté . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
primknuté . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
prúdenie vmreži . . . . . . . . . . . . . . . 15
prúdovýmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
pumpáž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi, 14
pád . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
R
redukované parametre . . . . . . . . . . . 29
Reynoldsovo priemerovanie, napätia . . 52
Reynoldsovo číslo . . . . . . . . . . . . 21, 25
rovnice
Boltzmannove . . . . . . . . . . . . 17, 33
energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Eulerove . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Navier-Stokesove . . . . . . . . . . 17, 47
RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
rozmerová analýza . . . . . . . . . . . . . . 25
rozmerová analýza dúchadla . . . . . . . . 27
S
samopodobnosť . . . . . . . . . . . . . . . . 26
separácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
siete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 60
simulácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 21
softvér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Spalart-Allmaras . . . . . . . . . . . . . . . 53
SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
stagnačný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
stlačenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii, 5
stlačiteľnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
straty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
92
LF KLI
subsonický . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
supersonický . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
Š
škrtiace charakteristiky . . . . . . . . . 14, 32
štruktúrované siete . . . . . . . . . . . . . . 37
T
termodynamická účinnosť . . . . . . . . . . 5
teória kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . 33
teória podobnosti . . . . . . . . . . . . . . . 24
TKPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
tlak
celkový . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 66
stagnačný . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
topológia siete . . . . . . . . . . . . . . . 36, 61
transsonický . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
turbokompresorové jadro . . . . . . . . . . 4
turbokompresorovýmotor . . . . . . . xvii, 3
turbínovýmotor . . . . . . . . . . . . . . xvii, 3
Ť
ťah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Ú
účinnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
izentropická . . . . . . . . . . . . . . . . 13
propulzívna . . . . . . . . . . . . . . . 1, 4
zníženie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
V
ventilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
vrtuľa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Y
y+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
93