Transfert de Chaleur |
Chapitre I : Rappels des Lois de Transfert de Chaleur
I.1. Introduction
Parmi les modes dâĂ©change dâĂ©nergie. Le transfert de chaleur est certainement lâun des
plus courants. DĂšs quâune diffĂ©rence de tempĂ©rature apparaĂźt entre deux systĂšmes, le transfert
de chaleur va intervenir. Lâimportance des phĂ©nomĂšnes de transfert de chaleur rĂ©sulte de leur
intervention dans presque tous les procĂ©dĂ©s des diffĂ©rents secteurs dâactivitĂ©s : chimie,
pharmacie, agroalimentaire, environnement, pétrole⊠le rÎle du transfert de chaleur devient
souvent essentiel et mĂȘme dĂ©terminant lorsquâil est Ă lâorigine des techniques utilisĂ©es :
Ă©changeur, four, calorifugeageâŠ
I.1.1 Les cause du transfert de chaleur
La condition nĂ©cessaire pour quâun transfert de chaleur soit possible est quâil existe
une différence de température entre deux corps, deux fluides ou deux systÚmes. Cela peut
ĂȘtre schĂ©matisĂ© ainsi :
Un débit de chaleur est transféré de la source chaude vers la source froide. Le débit de
chaleur ou flux de chaleur, Q, est la quantité de chaleur transmise par unité de temps. Il a donc
la dimension dâune puissance. Les unitĂ©s du flux de chaleur watt (W) ou (Kcal.h-1)
Lorsque les tempĂ©ratures des diffĂ©rents systĂšmes restent constantes, câest-Ă -dire
indépendants du temps, le régime thermique est dite stationnaire. En revanche, si les
tempĂ©ratures locales varient en fonction du temps, cela signifie que lâĂ©quilibre thermique
nâest pas encore atteint. Le rĂ©gime est alors qualifiĂ© de instationnaire ou transitoire
I.1.2 Modes de transfert de chaleur
Le transfert de chaleur peut se faire suivant trois modes de transmission : la
conduction, la conviction, le rayonnement.
Source
CHAUDE
(Température Tc)
Source
FROIDE
(Température Tf)
CHALEUR
Q
Avec Tc Tf
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I.2. La conduction :
La conduction peut se définir comme un transfert de chaleur sans déplacement des
particules de matiĂšre les unes par rapport aux autres. La conduction et le seul mode de
transfert de chaleur intervenant au sein des milieux solides.
Exemple : propagation de la chaleur le long dâune barre mĂ©tallique chauffĂ©e par Ă une
extrémité par une flamme.
Le transfert de chaleur par conduction peut se faire suivant deux mécanismes :
- Transmission de la chaleur par les vibrations des atomes ou molécules ;
- Transmission de la chaleur par les Ă©lectrons libres.
Lâimportance relative de ces mĂ©canismes dĂ©pend de la nature du corps et des
matériaux.
I.3. La convection :
La convection implique le mouvement des particules de matiĂšre, et par suite ce
transfert de chaleur concerne donc exclusivement les fluides : liquide et gaz.
Exemple : chauffage dâun liquide contenu dans un rĂ©cipient placĂ© sur une plaque
chauffante. Au fur et à mesure de la montée en température du liquide, ce liquide se met en
mouvement : des mouvements de conviction apparaissent Ă lâintĂ©rieur du volume du liquide ;
le liquide au contact du fond du récipient est plus chaud, sa masse volumique diminue et par
suit cette couche liquide se déplace vers le haut du récipient et elle est remplacée par liquide
plus froid.
LâĂ©change de chaleur se fait alors par mĂ©lange des couches chaudes et des couches
froides du liquide ; se mĂ©lange sâeffectue librement sans intervention extĂ©rieure : câest la
convection naturelle.
Pour accélérer le mélange entre les couches chaudes et froides du fluide, et donc
favoriser le transfert de chaleur, on peut utiliser une action mécanique extérieure (pompe pour
la circulation dâun liquide dans une canalisation, agitateur mĂ©canique pour un liquide contenu
dans un rĂ©acteur, ventilateur pour de lâairâŠ) : dans ces conditions on dit que la convection
est forcée ou assistée.
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I.4. Le rayonnement
Tout corps placĂ© devant une source de chaleur sâĂ©chauffe, mais son Ă©chauffement
sâarrĂȘte quand un obstacle est placĂ© entre la source de chaleur et lui. Ceci indique que
lâĂ©nergie transportĂ©e par un rayonnement identique Ă celui de la lumiĂšre. Dâune maniĂšre
gĂ©nĂ©rale tous les corps Ă©mettent par leur surface de lâĂ©nergie sous forme de radiations
électromagnétique. Ce transfert de chaleur qui ne nécessite aucun support matériel se produit
mĂȘme dans le vide. LâĂ©nergie reçue par la surface du corps le plus froid va se rĂ©partir en trois
parties : énergie réfléchie par la surface, énergie transmise par le corps et énergie absorbée par
le corps qui va de ce fait élever la température du corps.
Exemple :
- Le soleil chauffe la terre par rayonnement ; chaleur Ă©mise par rayonnement par une flamme
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Chapitre II : Transfert de chaleur par conduction
II.1 Loi de transmission de la chaleur par conduction :
Loi de Fourier
Dans un corps solide, homogÚne et isotrope, considérons deux plans parallÚles
infiniment voisins de surface A, distants de dx (lâaxe des x Ă©tant perpendiculaire) et
isothermes respectivement aux tempĂ©ratures T et Tâ (TTâ avec Tâ = T + dT)
En rĂ©gime permanent (T et Tâ indĂ©pendants du temps), on fait lâhypothĂšse quâil nây pas de
pertes thermique au niveau de la surface latéral du corps ; dans se conditions il y a
Ă©coulement de chaleur par conduction de la paroi chaude vers la paroi froide : le flux de
chaleur Q est donc dans la direction de lâaxe des x et normal aux plans.
Le flux de chaleur Q est :
- Proportionnel Ă lâĂ©cart de tempĂ©rature entre les deux plans :
T = T-Tâ = - dT ;
- Proportionnel à surface du plan traversé A ;
- Inversement proportionnel Ă la distance entre les deux plans : dx ;
- Proportionnel Ă un coefficient đ qui dĂ©pend de la nature du matĂ©riau : ce coefficient đ
est appelé conductibilité thermique ou conductivité thermique.
Dans ces conditions la loi de Fourier, sâĂ©crit :
đ = â đ đŽ đđ
đđ„ ⊠(1)
Dans cette relation, le gradient de tempĂ©rature đđ
đđ„ Ă©tant nĂ©gatif, le signe â est introduit pour
avoir un flux de chaleur toujours positif.
De la loi de Fourier, on peut dĂ©duire la dimension de đ :
T Tâ
A A
dx
Q
Transfert thermique par conduction
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λ =quantité de chaleur à longueur
temps à surface à écart de température
La relation de Fourier (eq1) peut ĂȘtre prĂ©sentĂ©e sous la forme :
âđđ = đđđ„
đđŽ ⊠(2)
Les variable Ă©tant sĂ©parĂ©es, cette Ă©quation diffĂ©rentielle peut ĂȘtre ensuite intĂ©grĂ©e pour
calculer le flux de chaleur Q Ă travers une paroi quelconque de dimensions finies, ce transfert
de chaleur de faisant dans les conditions de lâĂ©tat stationnaire avec Q constant
II.2 Coefficients de conductivité thermique
La conductivité λ représente la nature du matériau, et dépend de plusieurs paramÚtres dont les
principaux sont :
- La température
- La phase dans laquelle se trouve le matériau (gaz, solide, liquide)
- Lâorientation des fibres ou des cristaux dans le corps (bois, mĂ©taux et plastiques Ă©tirĂ©s ou
laminés...)
- La pression pour les gaz
La connaissance de λ est importante, son évaluation se fait expérimentalement. Des tables de
conductivité thermique existent pour la plupart des matériaux.
⹠Variation de λ avec la température
Les matériaux ont un comportement différent vis à vis de la température sur le plan de la
conduction de la chaleur. Certains matĂ©riaux voient leurs λ diminuer lorsque T croit, câest le
cas du fer, de lâargent, du cuivre, du zinc. Pour dâautres matĂ©riaux λ dĂ©croĂźt avec T, câest le
cas du cobalt, du béryllium, du magnésium....
Il existe des matĂ©riaux dont λ passe par un extremum, câest le cas du plomb, de lâaluminium,
de lâantimoine...
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En pratique, si lâĂ©cart de tempĂ©ratures est faible et que lâapplication ne demande pas une
grande précision (thermique du bùtiment par exemple), une valeur constante de λ peut suffire.
Toujours selon lâapplication, et bien souvent une variation linĂ©aire du type
λ = λ0 [1 + Ă (T â T0)] suffit amplement.
Pour toute la suit du chapitre, nous supposerons đ constant, et indĂ©pendant de la tempĂ©rature
(il sera possible de prendre une valeur moyenne de đ dans lâintervalle de tempĂ©rature
considéré).
Ci-dessous sont résumés les domaines de valeurs des conductivités thermiques en fonction
des milieux considérés.
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II.3. Conduction de la chaleur cas unidimensionnels en régime stationnaire :
II.3.1. Transfert de chaleur dans une paroi constituĂ©e dâun seul matĂ©riau :
a. Mur semple
La section droite de la paroi, A, dans la direction perpendiculaire Ă lâĂ©coulement est constante,
cette paroi est constituĂ©e dâun matĂ©riau homogĂšne, dâĂ©paisseur e, et conductivitĂ© thermique đ.
Les températures des surfaces sont respectivement T1 et T2 (T1T2)
La relation de Fourier (eq2) peut ĂȘtre intĂ©grĂ©e avec les bornes dâintĂ©gration indiquĂ©es sur le
schéma :
â« âđđđ2
đ1
=đ
đđŽâ« đđ„
đż
0
â đ1 â đ2 =đ
đđŽđ
Relation qui indique le profil de température est linéaire dans la paroi plane est donné par la
relation :
đ = đđŽ(đ1 â đ2)
đ
La résistance thermique correspondante est égale à :
đ đĄâ =Îđ
đ=
đ
đđŽ
On appelle densité de flux de chaleur la quantité de chaleur transmise sur la surface A par
unité de temps :
đ = đ
đŽ W/m2
x dx
T dT
0 e
x
Conduction dans un mur plan
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b. Cylindre creux
Considérons un cylindre creux de longueur L, de rayon intérieur r1 et de rayon extérieur r2. La
surface interne est maintenue Ă la tempĂ©rature T1 tout le long du tube, la surface externe est Ă
la tempĂ©rature T2 et par suite la direction de lâĂ©coulement de chaleur est en tout point radial
(perpendiculaire Ă lâaxe du cylindre).
Dans se conditions, en coordonnĂ©es cylindriques, lâĂ©quation 2 sâĂ©crit :
âđđ = đđđ
đđŽ(đ) âŠ(5)
La surface traversée par le flux de chaleur est variable ; pour un rayon r, elle vaut :
đŽ(đ) = 2đđđż
LâĂ©quation 5 peut ĂȘtre intĂ©grĂ©e, avec les bornes dâintĂ©gration indiquĂ©es sur le schĂ©ma :
â« âđđ =đ
đ2đđżâ«
đđ
đ
đ2
đ1
đ2
đ1
â đ1 â đ2 =đ
đ2đđżln
đ2đ1
Relation qui indique que le profil de tempĂ©rature dans la paroi nâest plus linĂ©aire ; le profil de
température est une fonction logarithmique du rayon : T = f (ln r). Par suite le flux de chaleur
traversant la paroi cylindrique est donné par la relation :
đ =2đđżđ (đ1âđ2)
lnđ2đ1
âŠâŠ(6)
La résistance thermique correspondante est égale à :
đ đĄâ =âđ
đ=
lnđ2đ1
2đđżđâŠ(7)
Conduction dans un cylindre creux
(T1T2) r2
r1
T2
T1
T +dT
T r
r + dr
L
Axe du cylindre
Q
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Par analogie avec le mur plan, lâexpression du flux de chaleur peut sâĂ©crire :
đ =đđŽđđđŠ(đ1âđ2)
đâŠ(8)
Ou :
- e est lâĂ©paisseur du solide : e = r2 â r1 ;
- Amoy est lâaire moyenne traversĂ©e par le flux de chaleur ; câest la valeur moyenne entre
lâaire intĂ©rieure du cylindre : A1 = 2r1 L et lâaire extĂ©rieure du cylindre A2 = 2r2 L.
LâĂ©galitĂ© des relations 6 et 8 donnes :
đŽđđđŠ
đ2 â đ1=
2đđż
lnđ2đ1
Soit :
đŽđđđŠ =2đđż(đ2 â đ1)
lnđ2đ1
=(đŽ2 â đŽ1)
lnđŽ2
đŽ1
Cette relation montre que lâaire moyenne Ă considĂ©rer est lâaire moyenne logarithmique :
logarithmique entre les surfaces, intérieur et extérieure, de cylindre.
c. SphĂšre creuse :
Considérant une sphÚre creuse de rayon intérieur r1 et de rayon extérieur r2. La surface
interne est maintenue à la température T1, la surface externe à la température T2 ; par suit
le flux de chaleur sera radial et la surface traversée au rayon r est égale à : A (r) = 4r2.
Conduction dans un cylindre creux
r r1
r2
T1
T2 T1 T2
T T+dT
r+dr r
Q
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Dans se condition, en coordonnĂ©es sphĂ©riques, lâĂ©quation 5 peut ĂȘtre intĂ©grĂ©e, avec les
bornes dâintĂ©gration indiquĂ©es sur le schĂ©ma :
â« âđđ =đ
đ4đâ«
đđ
đ2
đ2
đ1
đ2
đ1
â đ1 â đ2 =đ
đ4đ(1
đ1â
1
đ2)
Relation qui indique que le profil de tempĂ©rature dans la paroi sphĂ©rique nâest pas
linéaire ; le profil de température est une fonction de 1/r : T = f (1/r).
Par suite le flux de chaleur traversant la paroi sphérique est donné par la relation :
đ =4đđ (đ1âđ2)
1
đ1â
1
đ2
= 4đđ1đ2đđ1âđ2
đ2âđ1 ⊠(10)
La résistance thermique correspondante est égale à :
đ đĄâ =âđ
đ=
đ2âđ1
4đđ1đ2đâŠ(11)
Par analogie avec le mur plan, lâexpression du flux de chaleur peut sâĂ©crire sous la
forme de lâĂ©quation 8, avec e = r2 â r1 et Amoy est lâaire moyenne traversĂ©e par le flux de
chaleur : valeur moyenne entre lâaire intĂ©rieure de la sphĂšre : A1 = 4r12 et lâaire extĂ©rieure de
la sphĂšre A2 = 4r22. LâĂ©galitĂ© des relations 8 et 10 donnes :
đŽđđđŠ = 4đđ1đ2 = âđŽ2đŽ1
Dans le cas dâune sphĂšre, lâaire moyenne Ă considĂ©rer est la moyenne gĂ©omĂ©trique entre
les surfaces, intérieure et extérieure, de la sphÚre.
II.3.2. Conduction à travers plusieurs corps placés en série
a. Cas de murs plans en série
ConsidĂ©rons un ensemble de n murs juxtaposĂ©s dâĂ©paisseurs diffĂ©rentes et de natures
diffĂ©rentes, mais de mĂȘme surface A. Chaque Ă©lĂ©ment est donc caractĂ©risĂ© par son
Ă©paisseur ei et sa conductivitĂ© thermique đi.
Les températures des faces externes sont connues : T1 et Tn+1, en revanche les
tempĂ©ratures des diffĂ©rentes interfaces : T2, T3, âŠ, Ti, âŠ, Tn, sont Ă dĂ©terminer.
Pour chaque mur, lâĂ©quation de Fourier permet dâĂ©crire la diffĂ©rence de tempĂ©rature :
⊠(12)
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Mur 1 : đ1 â đ2 = đđ1
đ1đŽ
Mur 2 : đ2 â đ3 = đđ2
đ2đŽ
Mur i : đđ â đđ+1 = đđđ
đđđŽ
Mur n : đđ â đđ+1 = đđđ
đđđŽ
En faisant la somme membre Ă membre de ces diffĂ©rentes Ă©quations, il est possible dâĂ©liminer
les températures intermédiaires des différentes interfaces ; on obtient :
đ1 â đđ+1 = đ (đ1
đ1đŽ+
đ2
đ2đŽ+ âŻ+
đđ
đđđŽ+ âŻ+
đđ
đđđŽ) = đ â
đđ
đđđŽ
đ
đ=1
âđđ
đđđŽ
đđ=1 = â đ đĄâ,đ
đđ=1 est la rĂ©sistance thermique totale du mur qui est la somme des
résistances thermiques de chaque élément constituant le mur (analogie avec les conducteurs
électriques en série).
Par suite le flux de chaleur traversant le mur est Ă©gal Ă :
đ =âđ
â đ đĄâ,đđđ=1
đđđđ âđ = đ1 â đđ+1
Connaissant le flux de chaleur Q, lâĂ©quation de la conduction pour chaque mur permet
de calcule les températures intermédiaires. Dans cette présentation les résistances thermiques
de contact entre chaque mur ont été négligées (contact par fait entre les murs).
Remarque : la relation 13 peut bien entendu sâappliquer Ă un ensemble de cylindres en sĂ©rie
ou de sphĂšres creuses en sĂ©rie, en considĂ©rant dans chaque cas lâexpression appropriĂ©e pour la
résistance thermique.
⊠(13)
(1) (2) (i) (n)
T1 T2 T3 Ti Ti+1 Tn Tn+1
Q Q (đ1)
e1
(đ2)
e2
(đi)
ei
(đn)
en Conduction dans plusieurs murs plans en série
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I.4. Transfert de chaleur dans une paroi constituĂ©e dâun seul matĂ©riau avec contacte
deux fluides :
a. Mur semple :
Câest le cas des murs rĂ©els constituĂ©s de plusieurs couches de matĂ©riaux diffĂ©rents et oĂč le
ne connaßt que les températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les deux faces du mur de
surface latérale A :
Le flux de chaleur est conservatif et sâĂ©crit :
đ = â1 (đđ1 â đ1) =λA
eA(T1 â T2) =
λB
eB(T1 â T2) =
λc
ec(T3 â T4) = â2 (đ4 â đđ2)
b. Cylindre creux :
Câest le cas pratique dâun tube recouvert dâune ou plusieurs couches de matĂ©riaux
diffĂ©rents et oĂč le ne connaĂźt que les tempĂ©ratures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les
faces interne et externe du cylindre ; h1 et h2 sont les coefficients de transfert de chaleur par
convection entre les fluides et les faces internes et externes :
Le flux de chaleur est conservatif et sâĂ©crit :
đđ = 2đđ1â1 (đđ1 â đ1) =2đđđŽ (đ1 â đ2)
lnđ2đ1
=2đđđ” (đ2 â đ3)
lnđ3đ2
= 2đđ3â2 (đ3 â đđ2)
⊠26
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c. SphĂšre creuse :
Câest le cas pratique dâune sphĂšre creuse recouvert dâune ou plusieurs couches de
matĂ©riaux diffĂ©rents et oĂč le ne connaĂźt que les tempĂ©ratures Tf1 et Tf2 des fluides en contact
avec les faces interne et externe de la sphĂšre creuse ; h1 et h2 sont les coefficients de transfert
de chaleur par convection entre les fluides et les faces internes et externes :
đ = 4đđ12â1 (đđ1 â đ1) =
4đđđŽ (đ1 â đ2)
1đ1
â1đ2
=4đđđ” (đ2 â đ3)
1đ2
â1đ3
= 4đđ32â2 (đ3 â đđ2)
đ =đđ1âđđ2
1
4đđ12â1
+
1đ1
â1đ2
4đđđŽ+
1đ2
â1đ3
4đđđ”+
1
4đđ32â2
r r1
r2
T1
T2 Q T3
r3
đB
đA
Fluide 2
h2
h1
⊠27
⊠28
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Chapitre III : Transfert de chaleur par convection :
La convection est un processus physique de transmission de la chaleur qui s'appuie sur un
milieu matériel avec mouvement de matiÚre. On ne peut donc avoir de convection que dans
les liquides et les gaz. Le flux de chaleur transmis par convection, entre une paroi Ă
température T1 et un fluide à température T2 (température mesurée loin de la paroi), peut
s'Ă©crire sous la forme :
Q = h S (T1 â T2) (loi de Newton)
oĂč h est le coefficient d'Ă©change par convection (unitĂ© Wmâ2Kâ1).
On dĂ©finira de la mĂȘme façon que prĂ©cĂ©demment la rĂ©sistance thermique de surface par
đ đĄâ =1
âđ. Cette relation ne constitue pas une loi, mais plutĂŽt une description
phénoménologique du processus de transmission par analogie avec la conduction. Quel que
soit le régime d'écoulement, y compris turbulent, il existe au voisinage immédiat de la paroi
une zone d'écoulement laminaire appelée couche limite (voir figure ci-dessous). Ce film est
adjacent Ă la surface avec condition d'arrĂȘt de l'Ă©coulement le long de la paroi (vitesse nulle).
Ce film constitue la principale résistance thermique au transfert de chaleur entre la paroi et
le fluide en mouvement. C'est pourquoi on parle souvent de coefficient de film pour désigner
le coefficient de transfert convectif Ă la paroi. Lorsque la turbulence de l'Ă©coulement
augmente, l'épaisseur du film laminaire diminue, sa résistance thermique décroßt. Le flux de
chaleur, pour un écart de température donné, est donc d'autant plus important que le régime
d'écoulement est turbulent. Dans la pratique, on détermine la valeur de h à partir
d'expériences. Les résultats de ces expériences sont traduits en terme de lois de corrélations
faisant intervenir des grandeurs adimensionnelles. On distingue deux types de convection.
I.5.1. La convection forcée :
Le mouvement du fluide est imposé par des actions mécaniques extérieures (pompes,
ventilateurs, etc.). L'Ă©coulement est alors laminaire ou turbulent suivant la valeur du nombre
de Reynolds :
đ đ =đđąđ„
đ
OĂč x : est une Ă©chelle de longueur caractĂ©ristique de l'Ă©coulement (par exemple diamĂštre,
dans le cas d'un écoulement de conduite), u est une vitesse caractéristique de l'écoulement
(par exemple, la vitesse moyenne đą =đ
đđ dans le cas d'un Ă©coulement de conduite, m
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reprĂ©sentant le dĂ©bit massique et S la section de passage), ÎŒ la viscositĂ© dynamique (en
Poiseuille (Pl) en SI) et Ï la masse volumique. Les coefficients d'Ă©change h sont exprimĂ©es
par l'intermédiaire du nombre de Nusselt Nu défini par :
đđą =âđ„
đ
- đ ⶠconductivitĂ© thermique du fluide,
- x : échelle de longueur caractéristique.
L'expérience montre que Nu = f (Pr, Re)
oĂč Pr : le nombre de Prandtl qui rĂ©sume les propriĂ©tĂ©s thermophysiques du fluide.
đđ =đđđ
đ
Ainsi, on posera la plupart du temps : Nu = A . Ren . Prm
OĂč A est une constante dĂ©pendant de la gĂ©omĂ©trie considĂ©rĂ©e et de la valeur du nombre de
Reynolds.
I.5.2. La convection libre (ou naturelle) :
Ce type de convection résulte des variations de masse volumique du fluide résultant des
Ă©changes de chaleur eux-mĂȘmes (poussĂ©e d'ArchimĂšde sur les Ă©lĂ©ments de fluide chaud). Il en
résulte une convection laminaire ou turbulente, suivant la valeur du nombre de Grashof Gr ou
de Rayleigh Ra.
đșđ =đđœđ2đ„3Îđ
đ3 đđĄ đ đ = đđ. đșđ
- x : échelle caractéristique de longueur,
- âT : Ă©cart caractĂ©ristique de tempĂ©rature,
- g : accélération de la pesanteur,
- ÎŒ : viscositĂ© dynamique,
- ÎČ : coefficient de dilatation (đœ =1
đ
đđ
đđ).
En fonction de la valeur du nombre de Rayleigh, le transfert de chaleur a les
caractéristiques suivantes :
Ra < 103 : convection négligeable ; le transfert a lieu essentiellement par conduction
103 < Ra < 109 : le transfert a lieu en régime de convection libre laminaire (rouleaux
convectifs stables dans le temps)
Ra > 109 : le transfert a lieu en régime de convection libre turbulente.
Transfert de Chaleur |
L'expĂ©rience montre que Nu = A.Ran = A.(Pr.Gr)n oĂč A est une constante dĂ©pendant de la
géométrie considérée et de la valeur du nombre de Rayleigh.
I.5.3. Expressions du coefficient de convection h en convection forcée
Nous avons vu que les relations décrivant un problÚme de convection forcée peuvent
sâĂ©crire sous la forme : Nu = f (Pr, Re). La relation entre ces trois nombres adimensionnels ne
peut pas ĂȘtre Ă©tablie thĂ©oriquement mais doit ĂȘtre dĂ©terminĂ©e expĂ©rimentalement. De
nombreux résultats obtenus par des scientifiques ont été rassemblés dans la littérature. Ils sont
appelés « corrélations expérimentales ». Dans cette partie nous présenterons les corrélations
expérimentales les plus usuelles en convection forcée.
I.5.3.1. Ăcoulement externe :
Par écoulement externe nous considérons un écoulement se développant librement à une
surface solide. Cette surface pourra ĂȘtre plane (plaque) ou bien courbĂ©e (cylindre, sphĂšre...).
a) Ăcoulement sur une plaque plane :
La plaque peut ĂȘtre horizontale ou verticale. Le fluide en Ă©coulement Ă une vitesse
moyenne um et x désigne la longueur considérée. Si pour une longueur donnée x, le nombre de
Reynolds ne dĂ©passe pas 5 Ă 105 le rĂ©gime dâĂ©coulement est laminaire.
RĂ©gime laminaire
đđąđż = 0,664 Ređż0,5 Pr0,33, pour Pr â„ 0,6 et L la longueur considĂ©rĂ©e.
Pour les valeurs de nombres de Reynolds supĂ©rieures Ă 5Ă105, le rĂ©gime dâĂ©coulement est
turbulent :
RĂ©gime turbulent
Nuđ„ = 0,0296 Ređ„0,8 Pr0,33, pour 0,6 < Pr < 60
Transfert de Chaleur |
b) Ecoulement autour dâun cylindre
Le fluide est en Ă©coulement perpendiculaire par rapport Ă lâaxe du cylindre. Sa vitesse Ă
lâinfini amont est uf et sa tempĂ©rature Tf (voir la figure). Un sillage se forme en aval de
lâĂ©coulement qui conduit Ă une rĂ©partition non homogĂšne du coefficient variable sur la
périphérie du cylindre. On définit un coefficient de convection moyen pour toute la périphérie
à température TP :
Dans le cas dâun gaz
Nuđ· = C Ređ·m Pr0,33
Dans le cas dâun liquide
Nuđ· = 1,11 C Ređ·m Pr0,33
Les valeurs des constantes C et m sont reportées dans le tableau :
Tableau : Constantes dans lâexpression du nombre de Nusselt pour lâĂ©coulement autour
dâun cylindre
Figure : Ăcoulement autour dâun cylindre
c) Ecoulement autour dâune sphĂšre :
Pour une sphÚre, les effets de sillage sont similaires à ceux rencontrés dans le cas du
cylindre, néanmoins la corrélation préconisée par la littérature est la suivante :
Nuđ· = 2 + (0,4 Ređ·0,5 + 0,06Re0,66)Pr0,4 (
đđ
ÎŒđ)
[
0,71 < đđ < 380
3,5 < Ređ· < 7,6 104
1,0 < (đđ
ÎŒđ) < 3,2
]
Transfert de Chaleur |
Toutes les propriétés sont déterminées à la température Tf sauf la viscosité dynamique p
du fluide qui lâest Ă la tempĂ©rature Tp.
d) Ecoulement autour dâun faisceau de tubes :
Beaucoup dâinstallations industrielles sont constituĂ©es de rangĂ©es de tubes parallĂšles
immergĂ©es dans un Ă©coulement perpendiculaire Ă leur axe. Les tubes peuvent ĂȘtre alignĂ©s ou
disposés en quinconce, comme représenté à la figure.
La disposition en quinconce conduit Ă de plus fortes turbulences et donc un coefficient
dâĂ©change plus important que pour un faisceau alignĂ©. La corrĂ©lation utilisĂ©e est la suivante :
Nuđ· = 1,13 C1 Ređ·,đđđ„m Pr0,33
Les valeurs des constantes sont : C1= 0,26 et m = 0,65 pour la disposition alignée, et :
C1=0,41 et m = 0,60 pour la disposition en quinconce.
Le nombre de Reynolds est calculé dans ces configurations en utilisant la vitesse
maximale dans lâĂ©coulement. On lâobserve pour les plans dĂ©signĂ©s par Amax pour les deux cas.
Elle se calcule en utilisant les espacements entre les tubes, la vitesse dâarrivĂ©e du fluide et le
diamĂštre des tubes : umax = Pt / (Pt â D) u, pour un arrangement alignĂ© et : umax = 2Pt (PdâD)u,
pour un arrangement en quinconce.
I.5.3.2. Ăcoulement interne :
Par écoulement interne nous considérons un écoulement se développant dans un espace
confinĂ©. Cet espace peut ĂȘtre un tube (cylindrique ou rectangulaire), lâespace entre deux tubes
concentriques etc. La corrélation utilisée pour les calculs de convection dans ces conditions
est appelée corrélation de Colburn.
a) Ecoulement dans un tube cylindrique :
RĂ©gime turbulent Pour le nombre de Reynolds supĂ©rieur Ă 104 le rĂ©gime dâĂ©coulement
est turbulent. On applique alors la corrélation suivante :
Nuđ· = 0,023 Ređ·0,8 Pr0,33
Cette corrélation est valable pour 0,7 < Pr < 100 et seulement quand le régime turbulent
est Ă©tabli, ce qui nâest garanti que si x/D > 60.
Régime laminaire Pour le nombre de Reynolds Re < 2100 la littérature recommande la
relation :
Nuđ· = 1,86 (Ređ·PrD
đż)
0,33
(đ
ÎŒđ)
0,14
Transfert de Chaleur |
[
đđ = đđđđ đĄđđđĄ
0,48 < đđ < 16700
0,0044 < (đ
ÎŒđ) < 9,75
]
et Pr sont Ă©valuĂ©s Ă la moyenne des tempĂ©ratures du fluide entre lâentrĂ©e et la sortie du
tube. Cependant p est viscosité du fluide déterminée pour la température de paroi du tube TP.
b) Ecoulement dans des tubes de forme polygonale :
Beaucoup dâapplications industrielles utilisent des tubes dont la section nâest pas
circulaire. Pour lâĂ©coulement et lâĂ©change thermique dans ce type de tubes on peut utiliser un
diamÚtre effectif (ou diamÚtre hydraulique) défini par :
đ·â =4đŽđ
đ
Ac est lâaire de section du tube et P est le pĂ©rimĂštre de contact entre la paroi solide et le
fluide en écoulement. Ce diamÚtre Dh est utilisé pour le calcul des nombres NuD et ReD. Ainsi,
les corrĂ©lations pour le tube circulaire peuvent ĂȘtre appliquĂ©es. Les rĂ©sultats sont fiables pour
lâĂ©coulement turbulent. En rĂ©gime laminaire le calcul est moins prĂ©cis. Bien Ă©videmment,
pour une forme non circulaire le coefficient peut varier sur le périmÚtre du tube et plus
particuliÚrement il tend vers zéro dans les angles. La démarche que nous proposons ici
conduit Ă un coefficient dâĂ©change convectif moyen sur le pĂ©rimĂštre du tube.
c) Ecoulement entre deux tubes concentriques :
Pour un Ă©coulement entre deux tubes concentriques (voir la figure), le diamĂštre
hydraulique est défini par :
đ·â =4(
đ4) (đ·0
2 â đ·đ2)
đđ·0 + đđ·đ= đ·0 â đ·đ
Le calcul basé sur le diamÚtre hydraulique conduit à des résultats avec ±10% de précision
pour la surface interne (tube de diamĂštre Do). Le coefficient dâĂ©change peut ĂȘtre diffĂ©rent Ă la
surface externe (tube de diamĂštre Di), surtout lorsque Di << Do.
Figure : Ăcoulement entre deux tubes concentriques
Transfert de Chaleur |
I.5.4. MĂ©thodologie pour le calcul de transferts par convection en utilisant les
corrélations expérimentales
La dĂ©marche Ă suivre lorsque lâon veut dĂ©terminer le flux de chaleur Ă©changĂ© par
convection entre un fluide et une paroi solide est la suivante :
1) SpĂ©cifier les conditions gĂ©omĂ©triques du problĂšme dâĂ©change par convection
(Ă©coulement le long dâune surface plane, sphĂšre, cylindre, interne, externe, diamĂštre,
longueur).
2) Spécifier une température de référence et déterminer les propriétés thermophysiques
du fluide à cette température.
3) Calculer le nombre de Reynolds (en convection forcée) ou le nombre de Rayleigh (en
convection naturelle). Par comparaison avec une valeur critique, déterminer le régime
dâĂ©coulement (laminaire, turbulent).
4) Choisir une corrélation expérimentale correspondante à la configuration étudiée pour
calculer le nombre de Nusselt.
5) Calculer le coefficient dâĂ©change Ă partir du nombre de Nusselt.
6) Calculer le flux chaleur échangé à partir de la relation de Newton.
I.5.5. Convection avec changement de phase
Le transfert de chaleur associĂ© Ă un changement de phase (Ă©bullition dâun liquide ou
condensation dâune vapeur) conduit en gĂ©nĂ©ral Ă des coefficients dâĂ©change trĂšs Ă©levĂ©s. Pour
cette raison, les applications industrielles de systÚmes thermiques exploitant ces phénomÚnes
sont nombreuses : condenseurs, chaudiÚres, réchauffeurs...
I.5.5.1. Convection lors de la condensation
La condensation intervient quand une vapeur à température et pression données rentre en
contact avec une paroi dont la température est inférieure à la température de saturation de
vapeur Tsat pour cette pression. Il en rĂ©sulte quâune certaine quantitĂ© de masse de liquide se
dépose sur la surface froide. Pendant ce phénomÚne, la chaleur latente de vaporisation est
dégagée et transférée vers la paroi.
Les interactions liquides â paroi solide sont Ă la base du type de condensation. Comme
cela est représenté sur la figure ci-dessous, nous pouvons distinguer :
La condensation en film continu, quand le liquide mouille la surface et sépare la
vapeur de la paroi solide. Du fait de la faible conductivité thermique des liquides,
cette séparation diminue en général les échanges thermiques.
La condensation en gouttelettes, que lâon observe sur des surfaces propres, sans
contaminations, souvent recouvertes de substances lipophiles (téflon, or). La
formation de gouttes intervient quand la tension superficielle du liquide est
suffisamment élevée pour que celui-ci ne mouille pas la surface. La taille des
gouttelettes augmente durant le processus. Quand elle atteint une dimension
critique elles se détachent libérant ainsi la surface solide de la barriÚre thermique.
Transfert de Chaleur |
La condensation en gouttelettes favorise donc lâĂ©change de chaleur et est recherchĂ©e dans
les applications industrielles. Cependant, il est trĂšs difficile de maintenir les conditions de
condensation en gouttes en pratique. En effet, les surfaces se dégradent, la rugosité augmente
et en général cela conduit à la condensation en film. Pour cela la plupart des travaux
concernant lâĂ©change convectif de chaleur en condensation sont consacrĂ©s Ă la condensation
en film.
I.5.5.2. Convection lors de lâĂ©bullition
LâĂ©bullition est le processus de formation de vapeur dâun liquide Ă sa tempĂ©rature de
saturation pour une pression donnée. Elle se caractérise par la chaleur de vaporisation. Le plus
souvent, la chaleur de vaporisation est apportée au liquide par une surface solide, néanmoins
on peut rencontrer les cas oĂč le liquide est chauffĂ© par des sources volumiques de chaleur
telles que le rayonnement, lâinduction ou les micro-ondes.
LâĂ©change thermique associĂ© Ă lâĂ©bullition est caractĂ©risĂ© par des coefficients dâĂ©change
importants et de hauts flux de chaleur pour une différence de température entre la température
de saturation du liquide Tsat et la tempĂ©rature de la paroi solide TP. LâĂ©change de chaleur en
ébullition est utilisé pour la production de vapeur dans les centrales électriques ou le
chauffage. Il est aussi largement exploité dans des systÚmes nécessitant un refroidissement
intense, comme par exemple : les réacteurs nucléaires, les turboréacteurs de fusées etc.
On distingue deux types dâĂ©bullition :
Ă©bullition surfacique, oĂč la vapeur se forme Ă la surface chauffĂ©e
Ă©bullition en volume, oĂč la vapeur peut se former dans lâensemble de volume de
liquide à la température de saturation
En fonction du type dâĂ©coulement du fluide, on peut aussi avoir lâĂ©bullition en convection
naturelle pour un fluide immobile ou lâĂ©bullition en convection forcĂ©e pour un fluide en
Ă©coulement dans un conduit.
La maniÚre dont la vapeur se forme à la surface chauffée dépend de la différence de
tempĂ©rature Tp â Tsat. La figure reprĂ©sente la densitĂ© de flux de chaleur Ă©changĂ© en fonction
de la diffĂ©rence susmentionnĂ©e pour lâeau Ă la pression normale.
Figure : Deux types de condensation : a) en film ; b) en gouttelettes
Transfert de Chaleur |
- Ăbullition en convection libre (zone AB) : Dans la plage AB, TP â Tsat = 0 Ă· 3 K, la
chaleur est transportée uniquement par convection naturelle dans le liquide. La vapeur se
forme seulement Ă la surface libre du liquide en contact avec lâair. Le coefficient
dâĂ©change est proportionnel Ă (Tp â Tsat )0,25 et le flux Ă©changĂ© est proportionnel Ă
(Tp â Tsat)1,25.
- Ăbullition nuclĂ©Ă©e (zone BC) : Dans la plage Tp â Tsat = 3 Ă· 30 K les bulles de vapeur se
forment Ă la surface chauffĂ©e. Elles deviennent de plus en plus grandes et sâĂ©vacuent vers
la surface du liquide. Le coefficient dâĂ©change est proportionnel Ă (Tp âTsat)2 et donc le
flux transmis Ă (Tp âTsat)3. Ă Tp â Tsat = 30K la densitĂ© de flux (q = h (Tp â Tsat)) atteint
son maximum, appelĂ© point critique dâĂ©bullition (C).
- Ăbullition instable (zone CD) : Câest la zone instable. Le coefficient et le flux diminuent
brusquement. La densité de flux atteint le minimum au point critique (D).
- Ăbullition pelliculaire (zone DE). Toute la surface chauffĂ©e est recouverte de mince film
de vapeur. Le transfert de chaleur se fait au départ essentiellement par conduction. Avec
lâaugmentation de tempĂ©rature le phĂ©nomĂšne de rayonnement sâajoute Ă la conduction ce
qui conduit Ă lâĂ©lĂ©vation du flux transmis. Lâaugmentation de tempĂ©rature dans cette zone
peut provoquer la fusion de la paroi chauffée.
Figure : DensitĂ© de flux Ă©changĂ© pour lâeau en fonction de la diffĂ©rence Tp â Tsat
Transfert de Chaleur |
I.6. Les Ă©changeurs de chaleur :
Quâest-ce quâun Ă©changeur ?
Dispositif permettant de transfĂ©rer de lâĂ©nergie thermique entre deux fluides, habituellement
séparés par une paroi solide.
Pourquoi utilise-t-on des Ă©changeurs ?
- Chaque fois quâon a besoin de rĂ©chauffer ou de refroidir un fluide Ă lâaide dâun autre fluide
(batteries chaude ou froide, Ă©vaporateur ou condenseur, tour de refroidissement, etc.)
- Quand deux rĂ©seaux de distribution de fluides doivent ĂȘtre sĂ©parĂ©s pour des problĂšmes
sanitaires ou de corrosion (chauffe-eau solaire, géothermie, etc...)
- Quand deux rĂ©seaux de distribution de fluides doivent ĂȘtre sĂ©parĂ©s pour des problĂšmes de
pression (chauffage urbain).
Essai de classification
- selon le type dâĂ©coulement :
courants parallĂšles de mĂȘme sens ou de sens contraires
courants croisés
combinaison des deux types précédents
- selon les types de fluides utilisés :
2 fluides de caractéristiques thermiques voisines
(eau/eau)
2 fluides de caractéristiques thermiques trÚs différentes
(eau/air)
- selon la surface dâĂ©change :
paroi matérielle (plaque, tube, etc.)
contact direct (aéroréfrigérant, tour de refroidissement)
I.6.1. DiffĂ©rents types dâĂ©changeurs de chaleur :
La plupart des échangeurs de chaleur offrant une surface de séparation entre fluide
chaud et fluide froid peuvent ĂȘtre classĂ©s selon les familles technologiques suivantes :
â Ă©changeurs tubulaires ou faisceau-calandre
â Ă©changeurs double tube
â serpentins (de rĂ©chauffage ou de refroidissement)
â Ă©changeurs Ă plaques (dĂ©montables ou brasĂ©s)
Transfert de Chaleur |
â Ă©changeurs spiralĂ©s
â Ă©changeurs Ă air
I.6.1.1. Ăchangeurs tubulaires Ă faisceau et calandre
Un des fluides circule dans un faisceau de tubes monté sur deux plaques
tubulaires. Il est logé dans une calandre munie de tubulures d'entrée et de sortie pour le fluide
circulant à l'extérieur des tubes le chemin imposé par les chicanes qui sont supportées par le
faisceau.
Appareils 1-2 (1 passe cÎté calandre, 2 passes cÎté tubes) Appareil 1-4
Appareil 2-4
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I.6.1.2. Echangeurs double tube
Ils sont constitués par des séries de deux tubes concentriques réunis par des coudes
et des boßtes de jonction, l'un des fluides circulant à l'intérieur du tube de plus petit diamÚtre,
l'autre dans l'espace annulaire entre les deux tubes.
I.6.1.3. serpentins (de réchauffage ou de refroidissement)
Ces appareils sont utilisés pour maintenir des produits visqueux à un niveau
thermique adéquat afin d'assurer leur pompabilité dans des conditions économiques.
I.6.1.4. Ă©changeurs Ă plaques
Un échangeur à plaques est constitué d'un ensemble de plaques embouties, en inox
ou en tous autres matériaux nobles tels que le titane, l'hastelloy, etc. selon les utilisations
prévues. Le transfert de chaleur entre les deux fluides s'effectue au travers de ces plaques.
Transfert de Chaleur |
I.6.1.5. échangeurs spiralés
L'échangeur à spirale est constitué de deux bandes métalliques séparées par des
entretoises et enroulées de façon à constituer un corps spiralé à deux canaux. Chaque fluide
circule dans l'un des canaux.
I.6.1.6. AĂRORĂFRIGĂRANTS et AĂROCONDENSEURS
Un Ă©changeur Ă ailettes est un Ă©changeur relativement simple : il consiste en un
conduit cylindrique ou rectangulaire sur lequel sont fixées des lames métalliques de
différentes formes. Le fluide de refroidissement est en général l'air ambiant. La chaleur est
transférée du fluide chaud circulant dans le conduit principal aux lames métalliques
par conduction thermique ; ces lames se refroidissent au contact de l'air.
Transfert de Chaleur |
I.6.2 Dimensionnement
Le dimensionnement des Ă©changeurs repose principalement sur un calcul de bilan
thermique mais Ă©galement sur la prise en compte des pertes de charges.
Le flux de chaleur Q dâun Ă©changeur peut sâĂ©crire de la maniĂšre suivante :
Q = K S Tm
K est le coefficient de transmission thermique surfacique moyen, S la surface dâĂ©change et
Tm reprĂ©sente lâĂ©cart de tempĂ©rature moyen entre les deux fluides. On est obligĂ© de
raisonner sur des valeurs moyennes de K et de Tm dans la mesure oĂč les tempĂ©ratures des
deux fluides et le coefficient K varient dâun endroit Ă lâautre de lâĂ©changeur.
I.6.2.1. Théorie des échangeurs
Lâapproche thĂ©orique est rĂ©alisĂ©e en rĂ©gime permanent et en faisant les hypothĂšses
suivantes :
- lâĂ©changeur est parfaitement isolĂ© de lâextĂ©rieur (pas de pertes), on nĂ©glige la
conduction axiale,
- les coefficients K et Cp sont constants,
- la température de chaque fluide est homogÚne dans une section donnée.
LâĂ©quation (62) peut ainsi sâĂ©crire :
Q = K S Tm = Gc Cpc (Tce-Tcs) = Gf Cpf (Tfs-Tfe)
oĂč G reprĂ©sente le dĂ©bit massique (kg/s) et Cp la chaleur spĂ©cifique (J/kg K),
les indices f et c sont relatifs aux fluides froid et chaud et les indices s et e Ă lâentrĂ©e et Ă la
sortie de lâĂ©changeur.
La rĂ©solution de cette Ă©quation dĂ©pend du type dâĂ©changeur considĂ©rĂ© ; nous allons
commencer par les plus simples, câest Ă dire ceux Ă courants parallĂšles.
a) ECHANGEURS A COURANTS PARALLELES
On considĂšre les cas des Ă©changeurs Ă courants parallĂšles et de mĂȘme sens
(antiméthodiques ou à co-courant) et ceux de sens contraire (méthodiques ou à contre-
courant).
⊠62
⊠63
Transfert de Chaleur |
Dans ces deux configurations, il est possible en faisant un bilan thermique sur une
tranche Ă©lĂ©mentaire, puis en intĂ©grant sur toute la longueur de lâĂ©changeur, de calculer lâĂ©cart
de température moyen entre les fluides chaud et froid. On trouve ainsi :
âđđ =đż â â
lnđżâ
et sont définis sur la figure.
On appelle Tm lâĂ©cart logarithmique moyen et on le note DTLM.
Pour un flux thermique connu, si on fixe les dĂ©bits et les tempĂ©ratures dâentrĂ©e, on
a 3 équations et 4 inconnues qui sont S, K, Tfs et Tcs ; il faut donc calculer séparément K.
Calcul du coefficient K
Figure 2 : SchĂ©ma de principe dâun Ă©changeur de chaleur
Si on suppose que les transferts de chaleur entre le fluide et la paroi, dâĂ©paisseur e
et de conductivitĂ© thermique se font essentiellement par convection, K peut sâĂ©crire de la
maniĂšre suivante :
Figure: Evolutions des tempĂ©ratures le long dâĂ©changeurs Ă courants parallĂšles
⊠64
⊠65
Transfert de Chaleur |
hc et hf sont calculés avec les formules de convection forcées pour des températures de
fluides moyennes et Rec et Ref sont les rĂ©sistances thermiques dâencrassement.
I.6.2. Objet de lâĂ©tude des Ă©changeurs
Lâobjectif du calcul dâun Ă©changeur est lâĂ©valuation dâune surface et dâune
gĂ©omĂ©trie capables de rĂ©aliser le service thermique exigĂ© par le client. Il sâagit alors de
proposer lâappareil le plus Ă©conomique. Pour arriver Ă ce rĂ©sultat, on est amenĂ© Ă faire un
compromis entre la surface et les puissances de pompage des fluides.
On peut aussi ĂȘtre amenĂ© Ă Ă©valuer les performances dâun Ă©changeur en
fonctionnement par rapport à celles qui ont été prévues au départ par le constructeur.