Cinemática dos Corpos Rigidos
Prof. Eng. André SoaresDisciplina: Resistência dos Materiais II
Cinemática dos Corpos Rígidos• Definições:O que é corpo rígido?“Um corpo rígido é definido como um conjunto finito, de Npartículas de massas mi e posições ri (i=1,N), tal que a distânciaentre duas partículas i e j, |ri‐rj|, é constante no tempo. Em outraspalavras, um corpo rígido é uma "nuvem" de partículas cujadistância entre elas não muda no tempo. (Wikipédia).”
A massa total do corpo rígido, M, é o somatório das massas daspartículas,
N
iimM
Cinemática dos Corpos Rígidos• Definições:O que é corpo rígido?É um conjunto de partículas agrupadas de forma que a distânciaentre as partes que constituem o corpo ou o sistema não soframmudanças, ou seja, essas partículas não se alteram para umreferencial fixado no próprio corpo.
O corpo rígido executa os movimentos de rotação, translação ouos dois de forma combinada.
Cinemática dos Corpos Rígidos• Objetivo:
Estabelecer as relações entre o tempo, as posições, asvelocidades e as acelerações dos vários pontos materiais queformam um corpo rígido;
Mostrar os tipos de movimentos de um corpo rígido.
Cinemática dos Corpos Rígidos• Tipos de Movimentos:
Translação;
Rotação (em torno de um eixo fixo);
Movimento Plano Geral (combinado);
Cinemática dos Corpos Rígidos• Translação:Diz‐se que um movimento é de translação quando qualquer retaunindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direçãodurante o movimento.
Cinemática dos Corpos Rígidos• Translação:No movimento de translação todos os pontos materiais queformam o corpo deslocam‐se segundo trajetórias paralelas.
Translação Retilínea Translação Curvilínea
A1
B1
A2
B2A1
B1
A2
B2
Cinemática dos Corpos Rígidos• Translação:Diferença?
Translação retilínea vs. Translação Curvilínea
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Onde: rA e rB são os vetores de
posição de A e B em relação a um sistema de referência fixo;
rAB Vetor que une A e B.
y
x
z
rA
rABrB
o
A
BABAB rrr
Cinemática dos Corpos RígidosDerivando a equaçãoanterior em relação atempo (t), temos:
y
x
z
o
A
B v
v ABAB rrr Constante
0 AB vv
AB vv
Cinemática dos Corpos RígidosDerivando novamente emrelação ao tempo, temos:
AB vv
z
ay
xo
A
Ba
AB aa
Cinemática dos Corpos RígidosTodos os pontos têm, em cada instante, a mesma aceleração evelocidade.
rAB = constante
rB = rA + rAB
vB = vAaB = aA
Cinemática dos Corpos RígidosConclusões: Quando um corpo rígido está em movimento de translação
todos os seus pontos possuem a mesma velocidade e amesma aceleração instantâneas.
Na translação curvilínea, a velocidade e aceleração variamtanto em direção como em módulo todo instante.
Na translação retilínea, todos os pontos materiais do corpose deslocam segundo retas paralelas, e sua velocidade eaceleração conservam a mesma orientação durante todomovimento.
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Rotação em torno de um eixo fixo: Ocorre quando os pontos materiais que formam o corpo
rígido se deslocam em planos paralelos ao longo decircunferências, cujos os centros estão sobre uma mesma retafixa.
Cinemática dos Corpos RígidosDefinições Importantes: Deslocamento Angular é a mudança da
posição angular, que pode ser medida comoum vetor infinitesimal dθ;
Vetor tem módulo dθ medido emradianos (SI) ou revoluções (rev),onde 1 rev = 2∏rad;
Movimento ocorre em torno de umeixo fixo, a direção de dθ é sempreao longo do eixo;
Sentido é determinado pela regrada mão direita.
Cinemática dos Corpos RígidosDefinições Importantes: Velocidade Angular é a taxa de variação da
posição angular (w = dθ/dt );
Vetor desse módulo é medidousualmente em rad/s ou em rev/s;
Direção é sempre a do eixo derotação;
Sentido é determinado pela regrada mão direita.
Cinemática dos Corpos RígidosDefinições Importantes: Aceleração Angular mede a taxa temporal de
variação da velocidade angular ( α = dw/dt );
Vetor desse módulo é medidousualmente em rad/s2;
Direção é a mesma da velocidadeangular – w;
Sentido depende se w cresce oudecresce. Se w decresce, então α édenominada desaceleração angular etem sentido oposto a velocidadeangular.
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Estudo do Movimento de rotação do ponto P nocorpo rígido em torno de um eixo fixo :
Consideremos um corpo rígido que giraem torno de um eixo de referência fixoAA’.Premissas: O sistema tem seu centro em O sobre
AA’ e coincide com o eixo z; Seja B a projeção de P sobre AA’,
como P deve permanecer a umadistância constante de B, tem‐se umacircunferência de centro B e raio BP =r.senФ.
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Estudo do Movimento de rotação do ponto P nocorpo rígido em torno de um eixo fixo :
Velocidade escalar (módulo):
O vetor v também pode serobtido utilizando‐se oproduto vetorial de w e rp.
)(senrwrwv p
prwV
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Estudo do Movimento de rotação do ponto P nocorpo rígido em torno de um eixo fixo :
Aceleração:
normal) o(aceleraçã a
l)otangencia(aceleraçã :
2n rw
raOnde
aaa
t
nt
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Dois casos particulares de movimento derotação são freqüentemente encontrados:
1. Movimento de Rotação Uniforme – este caso se caracterizapor uma aceleração nula. Assim, a velocidade angular éconstante, e a coordenada angular é dada pela expressão:
wto
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Dois casos particulares de movimento derotação são frequentemente encontrados:2. Movimento de Rotação Uniformemente Variado – neste caso
a aceleração angular é constante. Abaixo são mostradas asequações que relacionam velocidade angular, coordenadaangular e tempo.
atwW o
2
2atwoo aww o 222
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Cinemática dos acoplamentos:
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Rodas acopladas a um mesmo eixo têm mesma velocidadeangular, mesmo período e mesma frequência.
21 ww
2
2
1
1
rV
rV
2
1
2
1
rr
VV
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Para rodas acopladas por correia, as velocidades lineares dospontos das rodas, em contato com a correia, têm o mesmo valor;as velocidades angulares são inversamente proporcionais aosrespectivos raios.
21 VVV
2211 rwrw
1
2
2
1
rr
ww
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Exercício 1:Os discos A e B estão no plano xy e rodam em torno de eixos perpendicularesa esse plano e que passam pelos seus centros. Sabendo que a velocidadeangular do disco B é constante, ωB = 30 rad/s, e que não existeescorregamento no ponto de contato dos discos, determine:(a) a velocidade angular do disco A;(b) as acelerações dos pontos dos discos que estão em contato.
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Exercício 2:Usa‐se um motor para girar uma roda com suas pás no interior doequipamento como ilustrado na figura abaixo. Se a polia A conectada aomotor inicia o seu movimento a partir do repouso, com uma aceleraçãoangular αA = 2 rad/s2, determine os módulos da velocidade e da aceleraçãono ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução. Suponha quea correia de transmissão não escorregue na polia nem na roda.
Cinemática dos Corpos RígidosExercício 3:O peso B esta ligado a uma polia dupla por um dos dois cabos inextensíveismostrados na figura. O movimento da polia é controlado pelo cabo C, que temuma aceleração constante de 0,229 m/s2 e uma velocidade inicial de 0,305m/s, ambas para a direita. Determine (a) o número de revoluções executadaspela polia em 2 s, (b) a velocidade e a variação da posição do peso B depois de2 s e (c) a aceleração do ponto D na periferia da polia interna, no instanteinicial.
Cinemática dos Corpos RígidosExercício 4:O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que gira em torno de um eixofixo. A placa parte do repouso, em t=0, e acelera à razão constante de 0,5rad/s2. Sabendo‐se que r = 200 mm, determinar o módulo da aceleração totaldo bloco quando (a) t = 0 s, (b) t = 1 s e (c) t = 2 s.
Cinemática dos Corpos RígidosExercício 5:Considere as engrenagens A e B mostradas na figura ao lado. Se A parte dorepouso e tem aceleração angular constante αA = 2 rad/s2, determine o temponecessário para B atingir uma velocidade angular WB = 50 rad/s .
Cinemática dos Corpos RígidosExercício 6:A operação de “ré” para umatransmissão automotiva detrês marchas estaesquematizada na figura aolado. Se o eixo G esta girandocom velocidade angular de 60rad/s, determine a velocidadeangular do eixo de saída H.Cada engrenagem gira emtorno de um eixo fixo. Observeque as engrenagens A e B, C eD e E e F estão engatadas. Asdemais informações estão aolado.
Cinemática dos Corpos RígidosExercício 7:Partindo do repouso quando s = 0,a polia A tem aceleração angularαA = 6 rad/s2. Determine avelocidade do bloco B quando eleatinge a posição s = 6 m. A poliatem um cubo interno D que estáfixo em C e gira com ela.
Cinemática dos Corpos RígidosExercício 8:Um moinho usa um arranjo de polias ecorreias para transmissão de potência.Quando t = O, um motor elétrico estágirando a polia A com velocidadeangular wa = 5 rad/s. Se a polia estásujeita a uma aceleração angular de 2rad/s2, determine a velocidadeangular da polia B após esta terexecutado 6 revoluções. O cubo em Destá rigidamente conectado à polia.
Prof. André Felipe Leite SoaresEngenheiro Mecânico