© 2014
Săptămâna 1
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) {−5; 0} − 41
1000,27 pătrat, con-
gruente disc
b) − − −
53
40 1 41 0 3
5
2; ; ; , ; , ( );
125
990,0005 paralelipiped,
congruente con
c) 2; π{ } 283
901,5(3) poligonală centru
Partea a II-a1. a)
−4 −2,5 0xx x x
− 12 2
1,50,625
5
8 6
b) i) F; ii) A; iii) F; iv) A; v) A.
2. a) Corpul A este cilindru circular drept, corpul B este con circular drept, iar C este sferă.
Or
a
R
a
h G h
ar
RA B C
b) Desfăşurarea cilindrului A este un dreptunghi de dimensiuni h şi 2�R. Desfăşurarea conului B este un sector de disc de rază G şi lungimea arcu- lui 2�R. Sfera nu se poate desfăşura pe un plan.
2πR
h
G
G
2πR
3. a) Sunt două situaţii:
6π10π
6π10π
i)
ii)
C
A
B
i) generatoarea este 6�, iar lungimea cercului bazei este 10� (de unde R = 5). ii) generatoarea este 10�, iar lungimea cercului bazei este 6� (deducem R = 3). b) Se obţine un con cu vârful în C, axa BC şi R = d(A, BC) din care lipseşte un con cu vârful
în B, axa BC, generatoarea AB şi R = d(A, BC). c) Corpul de rotaţie obţinut este alcătuit dintr-un cilindru circular drept, având ca generatoare baza
mică şi ca rază înălţimea trapezului, şi două conuri congruente, având ca generatoare laturile nepa-ralele ale trapezului şi ca raze înălţimea trapezului.
d) Lcerc = 2πR = 2π · 3 = 6π cm; Lcerc = Larc;
35
n Larc = n G n
n nπ π π π
π1806
5
180
6 180
5216
°⇔ = ⋅
°⇔ = ⋅ ° ⇔ = ° .
Săptămâna 2
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 10 F [−5; 1) D ∈ α un plan
b) 5
6A −( )3 3; concurentă în punctul A inclusă
c) 15 F [2; ∞) AB punctPartea a II-a1. a) A = {0; 2; 4; 6}. b) B = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}.2. a) −( ]3 2; ; b) − −( )6 4; ;
c) −[ ]1 0; . –1 0 4 6[ ]( )
Clasa a VIII-a ♦ Matematică ♦ Răspunsuri
© 2014
3. a) B Î (ACD), B′ Ï (ACD). b) AB Ì (ACD), deci o infinitate de puncte comune; BB′ Ç (ACD) = {B}, deci un punct comun; A′B′ şi (ACD) nu au niciun punct comun. c) (ACD) Ç (ABB′) = AB. d) BD Ì (DD′B′), deci mijlocul lui [BD] aparţine planului (DD′B′).
Săptămâna 3
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) −1 raţional F nu-i apotema
b) 2 5 iraţional A un plan tetraedru regulat
c) 10 3 raţional F drepte regulat, congruente
Partea a II-a1. a) Se disting cazurile:
I: n par a = − − − = + −1
3
1
5
1
7
1
3
1
5
1
7
b = − + −1
7
1
5
1
3
II: n impar a = − − − − = − − +1
3
1
5
1
7
1
3
1
5
1
7
b = + − + = − +1
7
1
5
1
3
1
7
1
5
1
3.
b)
a b
n
n
− =−
2
32
3
,
,.
pentru par
pentru impar
2. a) 1
4
9
27
3
2 3
1
2
9
27
3
2 3
1
2
1
3
3
2 3
1
2
1
21+
− −( )⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + = .
b) 2
2
3
35 2 4 3 2 3 5 2 4 3 4 2 3 3
2 2( )+( )
− − = + − − = − − .
c) 13
51
4
51
9
251
16
25
16
25
9
25
4
5
3
5
4
5
5
3
2 2
−
−
= − − = =
= = ⋅
: : :
: == 4
3.
3. a) Dreptele paralele AD şi BC determină planul ABC;
AB ABC
E AB E
ABC CD
E CD
⊂ ( )∈ ∈
( )∩ =
⇒ ∈, α
α
, deci punctele C, D, E nu pot fi vârfurile unui triunghi.
b) Fie E punctul de intersecţie a dreptei
x x x
A
B
C DE
d
α
c AB cu planul α. Dreptele paralele c, d determină planul (c, d).
A c
B dA B c d AB c d
∈∈
⇒ ∈( )⇒ ⊂ ( ), , , .
Planul (c, d) intersectează planul α după dreapta CD.
Cum
deci punctele
AB E
CD c dE CD C
∩ ={ }= ( )∩
⇒ ∈
α
α,, , DD E, sunt coliniare.
Răspunsul este: punctele C, D, E nu sunt necoliniare. c) În triunghiul echilateral ABC:
13
10
A
B
CM
V
Ox
AM
l= = =3
2
10 3
25 3 cm
OM AM= ⋅ = ⋅ =1
3
1
35 3
5 3
3 cm este apotema bazei.
În triunghiul VBM, dreptunghic în M, aplicăm teorema lui Pitagora:
VM VB MB
VM
2 2 2 169 25 144
12
= − = − =⇒ = cm este apotema piramidei.
© 2014
d) Planul (SMB) intersectează
O x
A
B CT
N
A
B
CT
N
M
xS
O
planul cercului după dreapta BO, deci punctul T este diame-tral opus lui B. Planul (ASM) intersectează planul cercului după dreapta AO, deci N
este diametral opus lui A.
m m
mm
m m
AB AC
BATCT
NT AB
( ) = ( ) =( ) =
⇒ ( ) =
( ) = ( )
°
°°
60
18060
== °60
Săptămâna 4
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 2 3
3
3 2
7
+ 2a + 2b necoplanare paralele
b) 14
25 2 3− −16x4y3 paralelă;
numai una necoplanare
c) − 3 − −( )3 7 3 6
52a x paralele concurente
Partea a II-a1. a) 2 3 2 4 7 2 5
1 4 5 1
2 3 2 3+ − + − − − − + − + + −( ) == + − = −
x x x x x x x x x
x x x.
b) x x x x x x x x
x x x x x x
3 2 2 3 10 2
3 12 12 3
2 2 2
3 2 2 3
− + − − − + ⋅ =
= − − + = − − .
2. a) 3 2 3 2
9 2
3 2 3 2
9 2
3 2 3 2
7
3 2 3 2
70
+( ) −( )−
−−( ) +( )
−=
=+( ) −( )
−+( ) −( )
= .
3 2 3 2
9 2
3 2 3 2
9 2
3 2 3 2
7
3 2 3 2
70
+( ) −( )−
−−( ) +( )
−=
=+( ) −( )
−+( ) −( )
= .
b) 7 4 2
7
4 2
14 2
2 2 2
2
2 22 2
a a b a b
a
a b a ba b a b
− −( )−
= − −−
= − + .
c) 6 2 3 5 6 2 3 5 2 2a b c a b c+ + − − − + = .3. a) MN linie mijlocie în ∆ACD MN êê CD PQ linie mijlocie în ∆BCD PQ êê CD } MN êê PQ,
deci dreptele MN şi PQ sunt coplanare.
b) MNCD
PQCD
MN PQ=
=
⇒ =2
2
, deci MNPQ este paralelogram.
Răspunsul este: nu. c) MP linie mijlocie în triunghiul CAB MPBA este trapez. d) NP şi AB sunt necoplanare.
Săptămâna 5
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 4x2 − 9 9 −6x2 + x4 27x3 − 1congruente ... comple-
mentare50
b) 81y2 + 18xy + x2 x3 + 3x2 + 3x + 1 6x punct,
paralele 40
c) 9 + 4x2 + a2 + 12x + 6a + 4ax
8x3 − 12x2y + 6xy2 − y3 8 perpen-
diculare 90
Partea a II-a1. a) Din a + b – c = 0 c = a + b. Membrul drept al relaţiei cerute este: c a b a b a b a ab b a b ab2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2− − = +( ) − − = + + − − = . Deci relaţia este adevărată.
© 2014
b) 3 2 1 2 2 3 3 12
2 3
3 2 3 1 2 2 3 4 2 3 4 2
2 1 2 2 3
2
+ −( ) = −( ) ⇔ +( ) =−
⇔
⇔ + + = +( )⇔ + = +
− + )
33 (A).
2. a) 5 2
2
2 2
2 2
2 5
5 2
2 5
5 2 5 2
2 2 2 5 5
5 2
2 2 10
++−
=+( )
−( ) +( ) =
=( ) + ⋅ + ( )
( ) − ( )= +
)
++−
= +5
5 2
7 2 10
3.
b) Fie 2n + 1, n Î , 2m + 1, m Î două numere întregi impare.
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 1 4
2 2n m n m n m
n m n m n
+( ) − +( ) = + − −( ) + + +( ) == +( ) ⋅ + +( ) = ++( ) + +( )m n m 1 .
Cum produsul a două numere întregi consecutive este divizibil cu 2 avem:
n m n m
n m n m+( ) + +( )
⇒ +( ) + +( )1 2
4 24 1 8
.
c) Fie x – 1, x, x + 1, unde x Î , trei numere întregi consecutive.
S x x x x x x x x x x
x x x x
= −( ) + + +( ) = − + − + + + + + =
= + =
1 1 3 3 1 3 3 1
3 6 3
3 3 3 3 2 3 3 2
3 2 ++( )2 .
Distingem trei situaţii:
I x k k S k k
II x k k
. , . .
. , .
Atunci
= ∈ = ⋅ ( ) +
=
= + ∈
3 3 3 3 2
3 1
2
M9
AAtunci
S k k k
k k k
= +( ) + + +( ) == +( ) + +
3 3 1 9 6 1 2
3 3 1 9 6
2
2 33 9 3 1 3 2 1
3 2 3 3 2
2( ) = +( ) + +( ) == + ∈ = +( )
k k k
III x k k S k
M .9
. , . Atunci 99 12 4 2
9 3 2 3 4 2
2
2
k k
k k k
+ + +( ) == +( ) + +( ) = M .9
Prin urmare, suma cuburilor a trei numere întregi consecutive este multiplu de 9.
3. a) ED AB
ABMMB ED
mm
( ) =
⇒ ( ) =°
°
6767, .
A
B C
D
EF
O b) FC AB
ABMMB FC
mm
( ) =
⇒ ( ) =°
°
6767, .
c) FE BC
MB BCFE BM
mm sau 77
,, .
( ) =
⇒ ( ) =°
° °
103103
d) AO BC
MB BCAO BM
mm sau 77
,, .
( ) =
⇒ ( ) =°
° °
103103
Săptămâna 6
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) (x + 3)2 (x + 3)(x + 4) (x – 2)(x + 2)(x2 + 4)
|| ||
b) (2x – 5)(2x + 5) (x – 7)(x + 2) x(x + 2)2 || ^
c) (x + 1)(3x2 + 7) (2x + 3)(x + 3) 3(x – 7)(x – 1) ^ ||
Partea a II-a
1. a) x +
3
2
2; b) (y – x – 2)(y + x +2);
c) Notăm x2 + 4x = a şi obţinem (a + 1)(a + 5) + 3 = (a + 2)(a + 4). După înlocuire obţinem (x2 + 4x + 2)(x + 2)2.2. a) x2 + y2 + 2xy = 36 (x + y)2 = 36, x, y > 0 x + y = 6; b) x2 + y2 – 2xy = 16 (x – y)2 = 16, x > y x – y = 4.3. a) AC ^ BN, AC ^ BD AC ^ (DNB); BC ^ AM, BC ^ AD BC ^ (DAM); b) AC ^ (DNB) AC ^ DE; BC ^ (DAM) BC ^ DE ⇒ DE ^ (ABC); c) E – ortocentrul triunghiului ABC AB ^ CE, dar AB ^ DE AB ^ (DEC) AB ^ DC.
© 2014
Săptămâna 7
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a)este perpendiculară pe orice dreaptă din
planul α2
4
5x −17
6 1x +( ) AA′ ^ BC
b) formează între ele un unghi drept
x
x
+−
2
2
x
x
+−
3
5 BC ^ DC′
c) coincid7
3x
x
+−
4
32 A′C′ ^ BD
Partea a II-a
1. a) x Î \ {±1; –3; –4}. b) E xx x x x
( ) =−( ) +( )
=−
−+
2
1 1
1
1
1
1.
c) Suma devine 1
1
1
3
1
3
1
5
1
5
1
99
1
101
100
101− + − + + + − =... .
2. Fie M – simetricul lui B′ faţă de C′, demonstrăm că CM êê BC′;
Calculăm A′C = a 3 ; CM = a 2 ; A′M = a 5 . Rezultă conform reciprocei teoremei lui Pitagora că ∆A′CM este dreptunghic A′C ^ CM A′C ^ BC′. La fel pentru N – simetricul lui D′ faţă de C′ şi obţinem A'C ^ DC′ A′C ^ (DBC′). 3. Fie A′ – simetricul lui A faţă de punctul P ABA′C este dreptunghi AC ^ (MA′C) AC ^ MA′; AB ^ (MA′B) AB ^ MA′ MA′ ^ (ABC). NP linie mijlocie în ∆MAA′ NP êêMA′ NP ^ (ABC).
Săptămâna 8
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) {2; –9}1
2 3x +; (2x – y)(2x + y) 8 2
b)3
2x −; –1 –2; 2; –1; 0 2 7 13
c) {3; 1; 5; –1} 2 1 4 3
Partea a II-a
1. a) E xx
x1 1( ) =
+; E1(1) · E1(2) · E1(3) · E1(4) =
1
5;
b) E xx
x
x x
x xx x x2
2
1
1 2
2 44 4( ) =
+⋅
+( ) +( )+( ) +( )
⋅ +( ) = +( );
c) x2 + 4x + a = x2 + 4x + 4 + a – 4 = (x + 2)2 + a – 4 ≥ 0, dacă a – 4 ≥ 0 a ≥ 4. Pentru a = 4, E2(x) > 0, " x Î \ {–1; –2; –4}.2. ∆DBC este dreptunghic BD ^ BC; ∆ABD este dreptunghic BD ^ AB BD ^(ABC) BD ^ AC.3. a) CD ^ AC, CD ^ MA CD ^ (MAC) MC ^CD; la fel ME ^ ED. b) EC ^ AD, EC ^ MA EC ^ (MAD) EC ^ MD MD ^ EC. c) BE ^ AC, BE ^MA BE ^ (MAC).
© 2014
Săptămâna 9
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) un segment sau un punct 4 5
5 2
42
12
13
b)
unghiul format de dreaptă cu proiecţia ei
pe plan
32 31
43 3−
3
13
c) [AC] 22 3 5 4 3 5 2 2 15< < < 24
13
Partea a II-a
1. a) 10 7 2+ ; b) 5 2 71
5 2 71+ =
−⇒ = −x ;
2. a) După raţionalizare obţinem: 1 2
1
2 3
1
99 100
19
−−
+ −−
+ + −−
=... ;
b) Despărţim fiecare fracţie în două fracţii şi obţinem:
1
1
1
3
1
3
1
5
1
23
1
25
4
5− + − + + − =... .
3. Fie AC Ç BD = {O}. Proiecţia mijlocului unui segment este mijlocul proiecţiei segmentului. Fie O′ proiecţia punctului O pe planul α ⇒ O′ mijlocul [A′C′] şi O′ – mijlocul [B′D′] A′B′C′D′ paralelogram.
Săptămâna 10
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 7 {–3; –1; 1; 2; 5} 2 25 8 2;
b) 1 01
21 2; ; ; –2 şi –8 15 2 4 7;
c) 3 9 –10 3 41. 16
Partea a II-a1. f(2) = 4a –3 = 5 a = 2; f(–2) = 2 + b = 5 b = 3.2. a) 3 7; b) 12; c) 3 13.3. Înlocuind x cu –x în relaţia dată obţinem: 2f(–x) + f(x) = –x –9. Această relaţie împreună cu relaţia iniţială formează un sistem cu necunoscutele f(x) şi f(–x). Obţinem f(x) = x – 3.
Săptămâna 11
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) –1 A 1
2
1
2;
90º 20
b) 0 F 1
3
1
3;−
5 5 17
c) 6 A 2 17 3 3 13
Partea a II-a
1. a) x = 2 f(2) = 2a + 4a = 6a; 3 54
560 82
aa
+ = ⇒ = ; b) 32 + 400 = 432;2. a) 2 b) 3 26 ; c) 3 10 ;
© 2014
3. a) Dacă M Î (ABC) M = O (AC Ç BD = {O}), iar OA = ≠5 2 13 2; b) 313 ; c) ∆MAC şi ∆MBD sunt isoscele MO ^ AC şi MO ^ BD.
d) d(A, (BCM)) = d(E, (BCM)) = 120 2
313, unde E – mijlocul [AD].
Săptămâna 12
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) − 1
12–24 F 9 3 45º
b) ±57
2A 6
390º
c) 3 3 1+ (–3; –5) F 2 2 2
Partea a II-a
1
5−1−2
●● ●
● xO
y
●
1. a) f(–2) = –1; f(–1) = –1; f(0) = –1;
f(1) = −1
2; f(5) =
1
4;
b) f(0) = –4; f(2) = 0;
x
y
O2
−4
2. a) − +3 7 2 ; b) (A) c) 2 2 7 2 2 7a b b+ − = + ∈ ⇒ ⇒ a = –7; b = –7;
3. a) m(MDC) = 45º; b) tg (MBC) = 4
3;
c) 8 34
5; d)
5
3 .
Săptămâna 13
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) –6; –5; –4–3; –2; –1; 0 4 7 2 6
5
+ 8 6 2
b) [–2; 3] 2 3 11 8 3 2 34
c) (8; 10) –2254 –15; 11 5 4,8
Partea a II-a
1. a) 1
2
1
2
2 4
8
2
2 2
2 2
8
1
2 42 2x x
x
x
x
x x
x
x x x x−+
+
⋅ + =
+( ) ⋅ −( )⋅
+( )⋅
=−
;
b) x E xx
⋅ ( ) =−
∈1
2 4 2x – 4 = ± 2 x Î{3; 1}
2. a) a = 3; b = 9
b) f(x) = 3x + 9; f(0) = 9; f(–3) = 0; AB = 3 10 ; sin B = =9
3 10
3 10
10
c) 27
2 u2;
3. a) 3 3
4; b) 3; c)
3 11
4 d) 60º.
Săptămâna 14
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
tea) 4 2 6 A 50
b) 1
4
1
4–3 A 24
c) a = 7; b = –9 (2; –3) 6u2 F 2 337
© 2014
Partea a II-a1. a) (–1; –3); b) 9u2.2. a) Funcţia care are ca grafic dreapta AB este f(x) = x + 1 C Ï AB; b) Funcţia care are ca grafic dreapta AB este f(x) = 5x – 12 C Î AB; c) Funcţia care are ca grafic dreapta AB este f(x) = 3x – 1 C Î AB;3. a) AB ^ (SMC) SC ^ AB şi SC ^ SM SC ^ (SAB); b) SC ^ (SAB) SC ^ SB;
c) BC = 10 2 cm, SM = SN = 5 2 cm, MN = AC
25 2= ,
ASMNl= = =
2 3
4
50 3
4
25 3
2 cm2.
d) SO = 10 3
3cm.
Săptămâna 15
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 3 2
282 9 3 4 3
b) 5 6
290º 180 24 3
c) (1; 1) 2 3
3
24
5
12
5;
60
12724
Partea a II-a
1. a) 1
2
1
2;
; 1
3
1
3;−
;
b) 51
2 51
12 0
5 5 5
14⋅ −
− + ⋅ +
−− = ⇒ − + +
−=
a
a
a a
a
a;
–5a + 5 + 5a2 + 5a = 4a2 – 4a a2 + 4a + 5 = 0 a2 + 4a + 4 + 1 = 10 (a + 2)2 = –1 < 0, a Ï .
2. a) 3 2 2+ ;
b) x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+−
− − +− −
= +−
− −+
=−
1
1
1
1
1
1
1
1
4
12 (A)
c) a
ab
+−
= ∈1
1 a – 1 | a + 1, a – 1 | a – 1 a – 1 | 2
a Î{2; 0; 3; –1}, b Î{3; –1; 2; 0}; A = 1
2u2.
3. a) At = 224; V = 192; b) 4 11 ; c) hF = 2 2 ; A = 2 34 ;
d) ′′
= =C Q
B Q
4
12
1
3, C′Q = 1.
Săptămâna 16
Partea I
1. a) S = ; b) S = 3
2
; c) Dacă m ¹ 1 Þ S = −−
3
1m Dacă m = 1 Þ S = Æ.
2. a) x = 5; b) S = {−2; 3}; c) S = Æ.3. a) S = \ {1}; b) ( )2 3 2 1 2 1 2 3 2 5 405k k k k k− + −( ) + +( ) + +( ) + +( ) = ⇒ =k 40 77 79 81 83. , , , Numerele sunt: şi 85; c) 86.4. a) V = 216 cm3; b) d = 13 cm; c) h = 6 cm.5. a) 2 3 cm; b) 1,2 dm; c) 27 3 cm3.
Partea a II-a
1. a) x x11
13
13
15
12001
12003
1001 2003− + − + + −
= ⇒ =... ;
b) 39
49
59
89
35 332
335 3
6 0 3 6 0 3 6
x x x x xx
x m m m
+ + + + = ⇒ + = ⇒ =
⋅ − = ⇒ − = ⇒ =
...
.
© 2014
2. a) x a n an= + ⋅ −( ) ∈ ∈4 3 1 , ,
pentru n - număr par Þ x = 4a + 3 pentru n - număr impar Þ x = 4a − 3 y a
n= + ⋅ −( ) +8 2 1
1
pentru n - număr par Þ y = 8a − 2 pentru n - număr impar Þ y = 8a + 2 pentru n - număr par Þ x + y = 12a + 1 pentru n - număr impar Þ x + y = 12a − 1, " a Î 12a - număr par Þ x + y = număr impar, " n Î ," a Î b) pentru n - număr par Þ x + y = 37 Þ restul este 1 pentru n - număr impar Þ x + y = 35 Þ restul este 11 c) pentru n - număr par Þ x + y − 1 = 12a 12, " a Î pentru n - număr impar Þ x + y − 1 = 12a − 2 12 2 12
1 12
a a
x y a
−( ) ∀ ∈⇒ + − ∀ ∈
,
, pentru toate valorile naturalle pare ale lui .n
3. b) AD
AD
AA ABC
AM DE
AM DE ABC
A M DE
A DE
6
2
34= ⇒ =
⊥ ( )⊥
⊂ ( )
⇒ ⊥
( )∩
cm
’
,
’
’ AABC DE
A M DE
AM DE
A DE ABC
AD
AB
AM
A
( ) =⊥⊥
⇒
⇒ ( ) ( )( ) = °
= ⇒
’
’ ,m 60
2
3 FF
AM
AM
= ⇒ =
⇒ = ⋅ =
2
3 3 3
2
3
2 3 3
32 3 cm
În ∆ ( ) = °⇒ ° = ⇒ = ⇒ =
= ⋅ ⋅ = ⋅
A AM AAA
AM
AAAA
l h
’ : tg’ ’
’m cm
lat.
90 60 32 3
6
3 3A 66 6 108⋅ ⇒ =Alat.2 cm .
c) V = ⋅ ⋅ = ⋅ =lh
2 3
4
36 3
46 54 3 cm3;
d) În ∆ ( ) = °⇒ = + ⇒
⇒ = + ( ) ⇒ =
=
A AM A A M A A AM
A M A M
DE
’ : ’ ’
’ ’
m
cm
90
6 2 3 4 3
2
2 2 2
2 2 2
33
2
36 4
2
4 4 3
28 3
⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =∆
BC
DE A MA DE
cm
cm2A ’’
.
Săptămâna 17
Partea I
1. a) S = \; b) m = 4; c) S = {0; 25}.
2. a) x = 2; b) S = m
mm
+−
∀ ∈ ±{ }2
33
2, \ ; c) S =
8
11
14
11; .
3. a) S =
1
2; b) 2; c) S = .
4. a) AB = 2 22 3
3
4
3
4000
3 cm, cm, cm mm3 3h V= = = ;
b) ap lat= =3 27 3 cm, cm2A . ;
c) A A A Vtot b b L h. .= ⋅ ⇒ = ⇒ = = =4 4 3 44 6
3
16 2
3 cm cm, , cm2 3
5. i) a) ah
abb
= ⇒ = = ⇒ = °6 33
330tg ;α α
b) 120º.
ii) cos .u = 1
3Partea a II-a
1. a b c
a b c
−( ) + + −( ) + + −( ) + =
−( ) + + −( ) + + −(2 9 6 4 2 10 25 10
2 3 6 2 2 10
2 2 2
2 2 2 2 )) + =2 25 10
A
BCDE
FM
A'
B'C'
© 2014
a a
b b
c c
− = ⇒ =− = ⇒ =
− = ⇒ =
⇒ = + = +( )2 0 2
6 0 6
2 10 0 2 10
8 2 10 2 4 10 cm
a
b
c
a b c
2
2
2
2 2 2
4
36
40
=
=
=
⇒ + = ⇒ Conform reciprocei teoremei lui Pitagora,
triunghiul este dreptunghic în C
Aa b= ⋅ = ⋅ =
2
2 6
26.
2. Notăm cu x suma iniţială.
a) 3
5
3
5⋅ =x
x (suma cheltuită în prima zi)
1
2
3
535000
1
2
2
535000
535000x
x x x−
+ = ⋅ + = + (a cheltuit a doua zi)
2
5 535000 15000
535000 15000
550000
x x x x− +
= ⇒ − = ⇒ =
⇒ =x 250000 lei a avut iniţial.
b) x
535000 50000 35000 85000+ = + = lei a cheltuit a doua zi.
3. b) ∆ = += + ⇒ = ⇒ =
VBC VB BC
VB VB VB
2
20 2 8 2 12 6 cm
A B
CD
V
– MO
În ∆ ( ) = °⇒ = −
= − = ⇒ =
= ⋅ ⋅
VMB M VM VB MB
VM VM
l alat
:
.
m
cm
90
6 4 20 2 5
2
2 2 2
2 2 2
A pp
b
tot lat b
l
= ⋅ ⋅ =
= =
= + = + = +( )
2 8 2 5 32 5
64
32 5 64 32 5 2
2
cm
cm
2
2A
A A A. . ccm2
În ∆ ( ) = ° = −
= =
= ( ) − = ⇒ =
VOM O VO VM OM
OMl
VO VO
: ,m
cm
cm
90
24
2 5 4 4 2
2 2 2
2 2 2
V== cm3A hb ⋅ = ⋅ =3
64 2
3
128
3.
∆ ( ) = ° = −
= =
= ( ) − = ⇒ =
VOM O VO VM OM
OMl
VO VO
: ,m
cm
cm
90
24
2 5 4 4 2
2 2 2
2 2 2
V== cm3A hb ⋅ = ⋅ =3
64 2
3
128
3.
c) d(A, (VBC)) = ⋅
= ⋅ = ⋅ =
= = ⋅ =
3
2
8 2 5
28 5
2
128
3
1
2
64
3
VA
A
V
VABC
VBC
VBC
VABC
BC VM
V
cm
cm
2
3
d (A, VBC) =⋅3643
8 5=
8 5
5cm .
d) VBC ABC BC
VM BC
OM BC
VM VBC
OM ABC
VBC ABC
( )∩ ( ) =⊥⊥⊂ ( )⊂ ( )
⇒ ( ) ( )
=, VVM OM VMO, ( ) =
tg .VMOVO
OM = = =2
4
1
2
Săptămâna 18
Partea I
1. a) 1 şi 3; b) 2 3 2 0, , , ;− −{ } c) x x2 3 1 0+ + = .
2. a) S = {2,3}; b) m = 16; c) a = 1, b = –6.
3. a) ∆ = 81; b) x = − 5; c) −
42
5; .
© 2014
4. a) AA
A Al
bl b= ⇒ = ⋅2 2 ; Notăm L x x xb l= ⇒ = ⇒ =2 4 82 2A A
dar
cm
A
Alb p
l p p
p b
ax a a x
a a h x x x L
=⋅
= ⋅ ⇒ =
− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =2
4 2
4 3 1 22 2 2 2 2
,
,, = 2 cm
cm3
ap ⇒
⇒ =V 4 3
3.
b) AA
AAb
B
bbk= ⇒ =
⇒ =2
2
18
1
32 cm2.
c) 6 cm.
5. a) A Vb pL a h= = = = =36 625
34 48 cm cm cm cm cm2 3, , , , .
b) Alata
. .=2 15
4 c) Atot =108 3 cm2.
Partea a II-a
1. 15
10060 9
60 9 69
⋅ =
+ = elevi.
2. a) x x x S2 28 16 0 4 0 4+ + = ⇒ +( ) = ⇒ = −{ }.
b) x x y y
x y x x
y
2 2
0
2
0
2 2
2 8 17 0
1 4 0 1 0 1
4
− + + + =
−( ) + +( ) = ⇒ −( ) = ⇒ =+(≥ ≥
)) = ⇒ = −2
0 4y .
c) A a a b b a b
A a b
= − + + + + ∈
= −( ) + + +( ) +
2 2
2 2
2 5 8 17
1 4 4 1
, ,
A este minim dacă a −( ) =1 02 şi b +( ) =4 0
2 a = 1, b = − 4
Cea mai mică valoare a numărului A este 4 1 2 1 3+ = + = , valoare ce se realizează pentru a = 1 şi b = − 4.
3. b) VAB VBC VB
AE VB
CE VB
VAB VBC
AE EC AEC
( )∩ ( ) =⊥⊥
⇒ ( ) ( ) =
= ( ) =
,
,
m
fie
AEC
VM AB
VO ABCD
AC ABCDVO AC
AEB CEB I U
( ) = °⊥
⊥⊂
⇒ ⊥
∆ ≡ ∆
120
,
( )
( )
. ..( )⇒ [ ] ≡ [ ]AE EC
A B
CD
V
MO
P N
120°
E
D AEC isoscel } EO - înălţime EO - mediană şi bisectoare AC AO
AOE O
AEOEAO
= ⇒ =
∆ ( ) = °
( ) = °⇒ ( ) = °
8 2 4 2
90
6030
: m
mm
Conform teoremei unghiului de 30º EOAE=2
tg
:
303
3 4 2
4 6
32
4 6
3
8 6
3
90
° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =
∆ ( ) = °⇒
OE
AO
OEOE AE
AEB AEB
cm
m BBE AB AE BE
VOB VOB
2 2 2 64 3
9
8 3
3
90
= − = ⋅ ⇒ =
∆ ( ) = °
cm
m conform teore: , mmei catetei ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = = ⋅ = =
∆ ⊥ ⇒
OB BE BV
VBOB
BE
VMB VM AB
2
2 32 3
8 3
12 3
34 3
: VVM VB MB
VMO VO OM VO VM OM
= − = − = =
∆ ⊥ ⇒ = − = − = =
2 2
2 2
48 16 32 4 2
32 16 16 4
cm
c: mm
cm
cm
2
2
A
A
A
A A A
latb p
lat
b
tot lat b
a=
⋅⇒ = ⋅ =
=
⇒ = + = +
2
32 4 2
264 2
64
64 2 664 64 2 1
3
64 4
3
256
3
= +( )=
⋅= ⋅ =
cm
cm
2
3VAb h
.
© 2014
tg
:
303
3 4 2
4 6
32
4 6
3
8 6
3
90
° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =
∆ ( ) = °⇒
OE
AO
OEOE AE
AEB AEB
cm
m BBE AB AE BE
VOB VOB
2 2 2 64 3
9
8 3
3
90
= − = ⋅ ⇒ =
∆ ( ) = °
cm
m conform teore: , mmei catetei ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = = ⋅ = =
∆ ⊥ ⇒
OB BE BV
VBOB
BE
VMB VM AB
2
2 32 3
8 3
12 3
34 3
: VVM VB MB
VMO VO OM VO VM OM
= − = − = =
∆ ⊥ ⇒ = − = − = =
2 2
2 2
48 16 32 4 2
32 16 16 4
cm
c: mm
cm
cm
2
2
A
A
A
A A A
latb p
lat
b
tot lat b
a=
⋅⇒ = ⋅ =
=
⇒ = + = +
2
32 4 2
264 2
64
64 2 664 64 2 1
3
64 4
3
256
3
= +( )=
⋅= ⋅ =
cm
cm
2
3VAb h
.
c)
VAB ABCD VM MO VMO
VMO O
VO MOV
( ) ( ) = ( ) =∆ ( ) = °
= =⇒ ∆
, ,
: m
cm
90
4MMO
VMO
este dreptunghic isoscel
m
⇒⇒ ( ) = ° 45 .
d) fie N - mijlocul lui VO NP VM
VNP VMO U UVN
VM
NP
MO
VP
VO
NP
NP NP
⊥
∆ ∆ ( )⇒ = = ⇒ = ⇒
⇒ = = ⇒
∼ . .2
4 2 4
8
4 2
2 22
== ⇒
⇒ ( )( ) =2
2d cm.N VAB,
Săptămâna 19
Partea I1. a) − 1; b) x = − 27; c) S = Æ.
2. a) 32; b) D = \ ±
= ∉1
2
1
2, ;x D ; c) x = 1.
3. a) x = − 2; y = 3; b) 2; c) m = −1
3.
4. a) 37 3 cm3; b) 114 cm3; c) 54 3 cm3.
5. a) V =109 cm3; b) 7
8; c) 144 7 cm2.
Partea a II-a
1. Notăm cu x - suma iniţială
2
33000
2
33000⋅ + +x
xlei= lei (s-au cheltuit în prima zi)
xx x− +
= −2
33000
33000 (primul rest)
3
5 33000 2000
5
9000
52000
5200⋅ −
+ = − + = +x x x
lei (s-au cheltuit a doua zi)
5 3
33000
5200
2
153200
/ /x x x− − − = − lei (al doilea rest)
1
2
2
53200 2000
151600 2000
15400
x x x−
+ = − + = + lei (s-au cheltuit a
treia zi)
2
153200
15400 24000
153600 24000
1527600 414000
x x
x xx
− − − =
− = ⇒ = ⇒ = leei.
2. a) 3 28
2
2 7
310 3 24 4 14 6 60
10 6 60 7 70 1
/ /x xx x x x
x x x x
+ − + = − ⇒ + − − = −
− + = − ⇒ = ⇒ = 00
10 2 8
10 4 61
2
c
c
= − == − =
cm
cm.
b) A = ⋅ = ⋅ =c c1 2
2
8 6
224 cm2.
3. b) ∆ ⇒ =
= = ⇒ =
APC POAC
AC L PO
dreptunghic isoscel
cm
2
2 20 2 10 2
A B
D
MO
C
M'A' B'
C'D'O'
P ●
∆ ⇒ =
= ⇒ =
A PC POA C
A C l PO
’ ’ ’’ ’
’ ’ ’
dreptunghic isoscel
=5 2 cm
2
210 2
2
OOO
m h R r
m
m
l
l
l
’= + =
= + −( )= ( ) + −( )=
10 2 5 2 15 2
15 2 10 2 5 2
225
2 2 2
2 2 2
2
cm
⋅⋅ + ⋅ =
⇒ =
2 25 2 500
10 5ml cm.
© 2014
c) Alat tr
tr
L l a
a hL l
= +( ) ⋅
= + −
2
22 2
2
a a atr tr tr
lat
2 22
215 220 10
2450 25 475 5 19
2
= ( ) + −
⇒ = + = ⇒ =
=
cm
A 220 10 5 19 300 19
20 400 10 100
3
2 2
+( ) ⋅ =
= = = =
= +
cm
cm cm
2
2 2A A
V
B b
Bh
A Abb B bA A+ ⋅( )⇒ = + + ⋅( ) == +( )⇒ =
V
V
15 2
3400 100 400 100
5 2 500 200 3500 2 cm33.
d) ∆ ⇒ ( ) = °APC PAO dreptunghic isoscel m 45 .
Săptămâna 20
Partea I
1. a) −( ) − −
1 1 21
2; ; ; ; b) 2 2; ;( ) c) 2 3a a a−( ) ∈{ }, .
2. a) x y= =2 1, ; b) 6 2 3− ; c) x y= = −4 1, .
3. a) x = 2; y = − 7; b) 2 7 1 0 4 7 0x y x y+ − = − + =, . Se adună relaţiile
3 3 6 0 22
2
21x y x y M
x ya+ + = ⇒ + = − ⇒ = + = − = − .
c) A 0 6; −( ) şi B 9 0; .( )4. a) V = 70
3 cm3; b) 60°; c) 9 cm.
5. a) 12 cm; b) 5 46 cm; c) Alat = 252 cm2.
Partea a II-a
1. a) 2 5 6 0 2 0 2
5 6 00
2
02
x y y y x y y x
y y
− + − + = ⇒ − = ⇒ =
− + =≥ ≥
2
25 24 15 1
23
1 2∆ = − = ⇒ = ±y ,
x = 1
x = 3
2 ⇒
S = ( )
1 232
3, ; ,
b)
x x x x
x x x x x
+ > + > + > ⇒ > −
+ = + + + ⇒ + + =( ) ( ) ( )8 0 10 0 12 0 8
12 10 8 24 1442 2 2 2
, ,
xx x x x
x x
x
x
2 2
21
2
20 100 16 64
12 20 0 144 80 64
10
2
+ + + + +
⇒ + + = ∆ = − = ⇒
= −
= −,
daar x
x
> −
⇒ = −
8
2
x
x
x
+ =+ = − + =+ = − + = ⇒
12 10
10 2 10 8
8 2 8 6
Lungimile catetelor sunt 6 şi 8, iar ipotenuza este 10.2. 8 6 24 0x y− + = a) x y y M
y x x N
= ⇒ = ⇒ = ⇒ ( )= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ −( )
0 6 24 4 0 4
0 8 24 3 3 0
,
, .
b) A∆ = ⋅ = ⋅ =MONOM ON
2
4 3
26 u2.
c) d O MN OP MN MO ON
MN OP MN OPMON
, ,( ) = = + = + = =
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ =
∆
2 2 16 9 25 5
26
2
12 5
A
⋅⋅ ⇒ =OP OP12
5.
3. b) PQ a
a a a h
h h
tr
tr B b tr
tr tr
= = + = =
− −( ) =
− = ⇒ = =
10 8
2
18
29
81 1 80 4 5
2 2 2
2
cm
AA
latB b tra
=+( ) ⋅
=+( ) ⋅
= ⋅2
40 32 9
2
72 9
2
A B
DM
OC
A' B'C'D' O'
P
●
V
Q
T
© 2014
A A A
A Alat B b
tot lat B b totA A A
= = =
= + + = +
324 100 64
324
2 2 2 cm cm cm; ,
; 1100 64 488 2+ = cm
c) V
V
= + + ⋅( )= + +( ) =
hA A A AB b B b3
4 5
3100 64 80
976 5
33 cm
d) DC BC
MCD MCB
[ ] ≡ [ ]≡
⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒
L U LMDC MBC
. . . MB MD[ ] ≡ [ ]⇒
MC - latură comună
⇒∆MBD isoscel
∆ = +MBD MB BD2
∆MBD este minim când MB este minim BD - constantă
MB
BMB
- minim
- fix⇒ este minim când BM CC⊥ ′
A∆ = ⋅ = ⋅ ⊥
= =′= ⇒ = ⇒ =
VBC
p
P
p
p
VT BC BM CVVT BC
l
L
a
a
VC
CV
h
H
h
H
h
H
a
a
2 2
8
10
4
5
,
++= ⇒
+= ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ =
⇒ = = + =
a
a
aa a a
a VT
h
tr
p
pp p p
P
4
5 9
4
55 4 36 36
36 9 45
cm
cm
HH
h
hh H= ⇒
+= ⇒ = ⇒ =4
5 4 5
4
516 5 20 5
AC OC CV CV
VT BC BM CV BM
= ⇒ = ⇒ = + = ⇒ =
⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅
10 2 5 2 2000 50 2050 5 82
45 10 5
2
88245 10
5 82
90 8282
⇒ = ⋅ =BM
⇒ = +∆ MBD
90 82
4110 2 cm
Săptămâna 21
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 4 x = −3; y = 7 R = 2; G = 3 5 4
b) −3 × i) 20π 100 3
3
2π 4π
c) 7 4
3ii) 37,6 250 3
3
2π 24π
Partea a II-a
1. a) Se aduce sistemul la forma generală 4 11 39
5 6 10
x y
x y
− = −− = −
(5p)
Se obţine soluţia x = 4, y = 5. (5p) b) x y= =2 2 3; . (5p)
2. a) l L
l Ll L5 6
2210 12
=
+ =
⇒ = =; .
(5p)
b) Cazul I: G = 10, R = 6 V = 360�. (3p) Cazul II: G = 12, R = 5 V = 300�. (2p)3. a) Realizarea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p) b) 2�RG = �R2 2G = R. (2p) Scriind teorema lui Pitagora în DABC, obţinem: 2 153 17 153 3 6
2 108
2 2 2R G G G R
R R G
( ) + = ⇒ = ⇒ = =
= +( ) = cm; cm;
cmt2A π π .
(2p)
(1p)
c) V = = ≅π πR G2 108 338 12, . cm3 (2p) 338,12 cm3 = 0,33812 dm3 = 0,33812 l (2p) În cilindru nu încape un litru de apă. (1p)
© 2014
d) Distanţa de la O′ la una dintre laturile pătratului reprezintă apotema pira- midei patrulatere care se formează. (1p) l R= =2 6 2 cm. (1p)
al
b = =2
3 2 cm. (1p)
a a h ap b p2 2 2 3 3= + ⇒ = cm. (2p)
Săptămâna 22
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) (2, 2)3
203 2;( ) 4 3
b) a = −3; b = 1 20 5 288° 15π
c) −1 (3; −3) 5 2 6+ 16π 12π
Partea a II-a
1. Se aduce sistemul la forma generală 6 10
5 3 16
x y
x y
+ = −− + =
. (5p)
Soluţia sistemului este (–2; 2). (5p)2. a) h = R + 2, G = R + 4 (2p) Scriind teorema lui Pitagora, avem: R R R R R+( ) = +( ) + ⇔ − − =4 2 4 12 0
2 2 2 2 . (2p) Soluţia acceptabilă a ecuaţiei este R = 6 h = 8 cm, G = 10 cm. (2p) At = �RG = 60� cm2. (2p)
b) V = =π πR h2
396 cm3. (3p)
c) Al =⋅ ⇒ =
°
°° °πG u
u2
360216 . (4p)
3. a) Realizarea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p)
b) At = �R(R + G) = 216� cm2. (2p) G2 = R2 + h2 h = 12 cm. (1p)
V = =π πR h2
3324 cm3. (2p)
c) Notăm VM = MA = x MO = 12 – x. (1p) Scriind teorema lui Pitagora în triunghiul OMA se obţine: x x x2 2 212 9
75
8= −( ) + ⇔ = cm. (4p)
d) AVAB = r · p (1p)
AVAB = 108 cm2. (1p) p = 24 cm (1p) r = 4,5 cm. (2p)
Săptămâna 23
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 111 42°; 48°. 16 5 5
b) 180 26,46 dm2. 927
420π
c) 15 265288
25
405
4
π 1
7
Partea a II-a1. a) Notăm cu x lungimea întregului drum. (1p)
În prima etapă a parcurs 3 5
5
x − şi i-au mai rămas 2 5
5
x +. (1p)
În a doua etapă a parcurs 2 5
7
x +. (1p)
Rezolvând ecuaţia 3 5
5
3 5
510
x xx
− + − + = , se obţine x = 85 km. (1p)
Lungimea drumului este de 85 km. (1p)
© 2014
b) În prima etapă a parcurs 50 km, iar în a doua etapă 25 km. (2p) p% din 50 = 25. (1p) p = 50%. (1p)2. a) G2 = R2 + H2 H = 8 cm. (1p) Al = �RG = 60� cm2. (2p)
V = =π πR H2
396 cm .3 (2p)
b) V
V
V
Vtr
con
con mic
con
= ⇒ = ⇔ =
⇔ =7
8
1
8
1
2
1
23
3
k k . (4p)
Planul paralel cu baza trebuie dus prin mijlocul înălţimii. (1p) c) A AVB p p a p b p c= −( ) −( ) −( ) = 48. (2p)
A AVBVA VB V
V= ⋅ ⋅ ⇒ =sinsin .
2
48
50 (3p)
3. a) Realizarea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p) b) Al = �G(R + r) R + r = 8. (2p) R – r = 4. (1p) R = 6 cm, r = 2 cm. (2p)
c) r
R
g
G
g
g= ⇔ =
+2
6 8. (2p)
g = 4 cm G = 12 cm. (2p) Al = �RG = 72� cm2. (1p) d) uº = 180º. (5p)
Săptămâna 24
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 2 {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} (−∞; 4] 2 3 12
b) pozitiv [3; +∞] 0 92π 1008π
c) 0, 1, 2, 3 4 [−1; 3] 152 3
3
π 300π
Partea a II-a x x
xx
x
3 15 5 15 2
3 5 2
3 5 0
2
5 3
5 3
5 3
− − + ≥ −
−( ) ≥ −− <
⇒ ≤
−⇔
⇔ ≤ +
+ )
.
(2p)
(2p) (2p)
x x
xx
x
3 15 5 15 2
3 5 2
3 5 0
2
5 3
5 3
5 3
− − + ≥ −
−( ) ≥ −− <
⇒ ≤
−⇔
⇔ ≤ +
+ )
. (2p)
Cel mai mare număr natural mai mic decât 3,968... este 3. (2p)2. a) 3 6 2 3 3 3x x x x− ≤ − < −/ (1p) − ≤ − − < +6 3 0 3x / (1p) − ≤ − <3 3x (1p) A = − −{ }2 1 0 1 2 3; ; ; ; ; (1p) x x+ > − +14 4 8 10 (1p) 3 12x < (1p) B = −∞( ); 4 (1p) A Ç B = A (1p) A – B = Æ (1p)
b) f : {–2; –1; 0; 1; 2; 3} , f(x) = 2x – 1. (3p)
x –2 –1 0 1 2 3f(x) –5 –3 –1 1 3 5
Reprezentarea corectă a celor 6 puncte într-un sistem de axe ortogonale. (3p)3. a) Realizarea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p) b) R = 2r (1p) AO R OC r= =2 2, (1p)
3 2 24 2 8 16r r R= ⇒ = = cm, cm (1p) I = R + r = 24 cm. (2p) c) G I R r G2 2 2
8 10= + −( ) ⇒ = cm. (1p)
Al2 cm= +( ) =π πG R r 12 10 (1p)
AB = 256� cm2. (1p) Ab = 64� cm2. (1p) At
2 cm= +( )320 192 10π π . (1p)
d) H = 48 cm. (1p)
© 2014
V = =πR H2
34096 cm3. (2p)
V 12861,44 cm dm .3 3= =12 86144 12 86144, , l (1p) Conul se umple după 4,28 minute. (1p)
Săptămâna 25
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) (−∞; −1) 0 64π 144π
b) [−2; +∞) *+ (−∞; 5) 8 300π
c) [−2; −1)2
31;
(−∞; 5)256
3
π 180
2197
Partea a II-a
1. a) x xx
x x
x x
9 990
22
90110 11 242
121 242 2
+ =
+ == ⇒ = .
(1p)
(2p) (2p) b) x x x x x
x x
x
x
x2 2 26 9 11 2 4 2
3 9 2 8 3
2 4
2
2+ + + < + + +− − + ≥ −
⇔
<≥ −
⇔∈ −∞;(( )∈ − +∞[ )
x 2;
(2p)
(2p)
Soluţia sistemului este intervalul [–2; 2), iar x = 2 nu aparţine acestui interval. (1p)2. a) π πR R R R+( ) = ⇔ + − =4 12 4 12 02 (2p) Soluţia ecuaţiei care convine este R = 2 cm. (2p) G R h h2 2 2 2 3= + ⇒ = cm. (2p)
Vcon = =π πR h2
3
8 3
3 (2p)
b) Un cerc mare al sferei este înscris în secţiunea axială a conului, care este un triunghi echilateral. (2p)
Raza sferei înscrise reprezintă 1
3din înălţimea triunghiului,
adică 2 3
3cm. (2p)
Asfera inscrisa2 cm= 16
3
π. (2p)
c) Un cerc mare al sferei este circumscris secţiunii axiale a conului. (2p)
Rsfera cm= 4 3
3 (2p)
Vsfera circumscrisa3 cm= 256 3
27
π. (2p)
3. a) A = =4 1442π πr cm2 (2p)
V = =4
3288
3π πr cm3. (3p)
b) l = 12 cm (2p) h = 24 cm. (3p) c) Vprismă = 3456 cm3 (1p)
Vmingi3 cm≅1808 64, (1p)
Vneocupat = 1647,36 cm3 (1p)
p% din 3456 = 1647,36 p = 47,(6)%. (2p)
Săptămâna 26
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 0,48 0,3 4 7 4 2;
b) 30 42 64 Æ 90°
c) 30 37 16� B 96 cm2
Partea a II-a
1. a) x y y x x y+ = = ⇒ = =361
530 6; ani; ani;
b) 1
36x t y t t+( ) = + ⇒ = ani.
© 2014
2. a) E xx
x( ) = +
−1
1;
b) E xx
x x( ) = +−
∈ ⇒ − ∈ = ± ±{ }⇒ ∈{ }12
11 1 2 2 0 32 D ; , ,
c) E x x S( ) = ⇒ = − ⇒ =∅0 1 .
3. a) AB = 12 cm OM = 6 cm; V
A B
CD P
O
VO ^ (ABC) m(<VOM) = 90° VO = 8 cm; b) At = Al + Ab Ab = 144 cm2; Al = 240 cm2
At = 384 cm2; V A=
⋅=b 3 cm
h
3384
c) BC VM
BC OMBC VOM OP VM
O VBC OP OPVO OM
VM
⊥⊥
⇒ ⊥ ( ) ⊥ ⇒
⇒ ( )( ) = ⇒ = ⋅ =
;
, ,d 4 8 cm
d) 3
4
27
64
384 27
64162
384 162
3
= ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⇒
⇒ = − =
V
V
VV
V
p
P
pp
3
t
384 cm
2222 cm .3
Săptămâna 27
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 2 5; 342, 225 –2, +2 15 3
b) 3 37 2(x – 2)(x + 2) 7,5 ani 9
c) 46
15. 121, 225 x = –3 27cm2 27� cm3
Partea a II-a1. 271 7 356 8 534 6 8
264 348 521 2 3
1 2
= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + > ⇒⇒ = ⋅ = ⋅
a c a c a c a
a c a c
; ; ;
; ; 88
264 348 528 12 123= ⋅ ⇒
⇒ = ( ) = ⇒ =a c
a ac.m.m.d.c. , , .
2. a) f a a−( ) = − + = − ⇒ =3 3 1 5 2; -3 1
−2
−5●
●
●
f(x)
g(x)x
O
y
A
B
C
g b b−( ) = − − = − ⇒ =3 3 5 2.
b) f B
g C
0 1 0 1
0 2 0 2
( ) = ⇒ ( )( ) = − ⇒ −( )
;
;
c) A = ⋅ =3 3
24 5, . cm2
3. a) d l= =3 12 3 cm
b) A
Vl
2
3
cm
cm
= ⋅ =
= =
4 576
1728
2
3
l
l
A B
CDA' B'
C'D' M
P
QR
c) ∆ ′ ′ ⇒ ′ =
=′ ′
A BC BC
A BC
echilateral cm.
cm2
12 2
6 6A
d) Fie MP ^ DC şi PR ^ DB.
În ∆DBC, CQ ^ BD CQ PR CQ= ⋅ = ⇒12 12
12 26 2;
PR
CQMR MP PR MR= = = + ⇒ =
23 2 9 22 2 2; cm.
Săptămâna 28
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 3 000 272 = 24 · 17 –4,4 18 cm 100�
b) 20 000 m2 68 x Î {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
3 3 cm500
3
π
c) 3 816 2 1 2 1x x−( ) +( ) 3 3 cm2 10� cm
Partea a II-a
1. a) 25 12 78
5 10 27 52 4
a b
a ba b
+ =+ = ⋅ −( )
⇒ = =
|, lei; 1,5 lei
© 2014
b) 2 4 1 5 30
5 12
10 4
, ,
; ;
; .
x y
x y
x y
+ = ⇒= == =
Cazul I:
Cazul II:
2. a)− − + + =
− + + = −
⇒ = − = ( ) = − − + +a b
a ba b E x x x x
4 1 2
8 16 4 161 4 4 43 2; ;
b) E x x x( ) = −( ) +( )1 42
c) (1 – x)(x + 4)2 = 0 x1 = 1; x2 = –4.3. a) ∆ ⇒ = ⇒ =
= =
VAB OB R
VOl
echilateral cm cm
cm
5 5
3
25 3
A
A'
B
B'
V
O
O'
b) A Vt c= + = = =π π π π πR RG
R H22
753
125 3
3;
c) 9 3
3 3 2 3
2π π= ⇒ =′= ⇒ ′ = ′ =
r r
VO
VO
r
RVO OO; cm.
d) Vtr3 cm= + +( ) =2 3
39 25 15
98 3
3π π π π
.
Săptămâna 29
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) −( ) −( ) −−
2 41
2
2
3
3
4
2 0; ; ; ; F 43 200 60° 0°
b) 2 –2 94 30° 2400 cm2
c) 3 2 2 3
2
+3 2− (6; 24);
(12; 18)3 NU
Partea a II-a1. a) A = +( ) + +( ) + + +( ) = + + + +( )5 5 5 1 5 5 1 5 6 1 5 5 50 1 2 22 2 4 22... ...
Numărul A are 24 termeni. 6 2 A 2 A este par. b) A = + + +( ) + + + +( ) + + + + +( )5 5 5 5 5 1 5 5 5 5 1 5 5 50 1 2 3 4 2 3 20 2 3...
A conţine: 24 termeni : 4 = 6 paranteze
A
A
A
= + ⋅ + + ⋅
= + + +( )⇒
156 156 5 156 5
156 1 5 5
156 39 39
4 20
4 20
...
...
.
2. a) f(0) = b + 3 = –1 b = –4
1−2
−5●
●
●
xO
y
A
B
CM
f(–2) = –2a + b + 3 = –5 a = 2 f(x) = 2x – 1.
b) f(x) = 0 2x – 1 = 0 x C= + ⇒
1
2
1
20; .
c) ∆ = =
⇒ = ⇒ ( ) =
⊥ ⇒ = ⋅
OAC OC OA
AC O G OM
OM G OMOC
f
f
dreptunghic u u
d
; ;
,
1
21
5
2
OOA
AC= 5
5u.
d) M(t; t) Î Gf 2t – 1 = t t = 1 M(1; 1) Î Gf.
3. a) ABCDA B C D DD
BD
′ ′ ′ ′ ⇒ ′ =
= ⇒
paralelipiped dreptunghic cm.
cm
6 3
10 ′′ = ′ + =D B DD DB2 2 4 13 cm.
b) A
A
V
t
t2 cm
c
= ⋅ ′ + ⋅ ′ + ⋅( )= +( )= ⋅ ⋅ ′ =
2
24 7 3 4
288 3
AB BB BC BB AB BC
AB BC CC mm3.
A B
CD
A' B'
C'D'
M
c) m m m′( ) ( )( ) = ′( ) = ′( ) = °D AB ABC D A AD D AD; ; . 60
© 2014
d) Fie cm.
Din teorema celor 3 perpendiculare
AM BD AM
A M
⊥ =⇒ ′
; ,4 8
⊥⊥
′( ) ( )( ) = ′( ) = ′( )′( ) = ′
=
BD
A BD ABC A M AM A MA
A MAAA
AM
m m m; ;
tg
5 3
44.
Săptămâna 30
Partea INr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 2,45
3; –8 4 2; 3 2;
b) –31
5; B(4; 0) 32 2; 18 2π;
c) 0,6 x = 9; y = 15 126 12 2. 18 2π.
Partea a II-a
1. a) cb
a c c a b= = ⇒ = = =2
1 5 60 90 120; , ; ; .
b) xc a x
yb a y
10015
10075
⋅ = ⇒ =
⋅ = ⇒ =
% %
% %.
2. a) 2 3 1 03
22 2
x y x−( ) + +( ) = ⇒ = şi y = –1.
b) i) x x a E aa a
a a
a
a
x x
x
22
22
3 2
2 1
2
1
2 2
1+ = ⇒ ( ) = +( ) +
+( ) += +
+= + +
+( ) ii) E(–2) = 2.
3. a) Vt = 312� h = 6 cm
b) A
A A
l
l2
B
cm cm
cm
= +( ) ⊥ ⇒ = ⇒ =
= ⋅ = =
π
π π
G R r CM AB MB BC;
;
6 6 2
6 2 14 84 2 100ππ π
π π
cm cm
cm
2b
2
t2
;
.
A
A
=
= +
16
116 84 2
c) AABCD
AB CD OO=
+( ) ⋅ ′= ⋅ =
2
28 6
284
3
cm2.
A
D
B
C
O
O'
M
d) V
V VV
VV
V V V
c
c t
c
cc
3
con c t
cm+
=
⇒
+= ⇒ =
= + =
r
R
3
312
8
125
64
13
10
ππ
000
3
π cm3.
Săptămâna 31
Partea ISe punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerinţe, fie 0 puncte.Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 56 60 4 6 2 6
b) 1 010 4 –2 18 5
c) 3 8 2 6 3
Partea a II-aPentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pen-tru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
1. a) Formula de calcul. (2p) Punctajul total al clasei: 179 (2p) Media = 7,16 (2p)
© 2014
b) Numărul cazurilor posibile = 25 (1p) Numărul cazurilor favorabile = 12 (1p)
Finalizare: 12
25. (2p)
2. a) 1
1 2
1
2 3
2 4
1 2 3x x x x
x
x x x+( ) +( )+
+( ) +( )= +
+( ) +( ) +( ) . (3p)
Finalizare (2p)
b) E( )11
2 3
1
3 4
1
4 5
3
2 5=
⋅+
⋅+
⋅−
⋅ (2p)
E(1) = 0 (3p) c) E(a) = 0, oricare a > 0 (4p) Finalizare. (1p)3. a) Transcrierea figurii 3 (3p) Completarea desenului (2p)
b) Fie x muchia muchia piramidei ⇒ DOx= 3
3 (2p)
xx2
23
948− = (2p)
Finalizare: AB = 6 2 cm (1p) c) Triunghiul ABN este isoscel (3p) MN mediană, deci MN ⊥ AB (2p) d) Justificarea faptului că unghiul este MNB (2p)
Finalizare: sin (MNB) = 3
3 (3p)
Săptămâna 32
Partea ISe punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerinţe, fie 0 puncte.Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 36 3011 12 4 3
b) 210 3 8 2 9π
c) 300 2 −5 2 18π
Partea a II-aPentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pen-tru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
1. a) Fie x numărul participanţilor. x = 15% · x + 30% · 85% · x + 60 + 59. (3p) Finalizare: 200 elevi (3p) b) Premiul al II-lea au primit 30% · 85% din 200 elevi. (2p) Finalizare: 51 elevi. (2p)
2. a) x x x x
x
x x xx x
E
2
22
3 2 2 1
2
1
3 2
1 2 5 3 2
5
+ + = +( ) +( )
+ + += +
−( ) = −
:
Finalizare
−− <
+ + = +
+
3 2 1
11
2
3
42
2
x x x
Finalizare
(2p)
(2p) (2p)
b) (2p)
(3p)
c) (3p)
(1p)
© 2014
3. a) Transcrierea figurii 3. (3p) Completarea desenului. (2p) b) AB2 + 4AB − 192 = 0 (3p) Finalizarea : AB = 12 cm. (2p)
c) Înălţimea piramidei = 9
2 cm. (3p)
Volumul = 216 cm3. (2p) (Atenţie! Dacă elevul nu calculează volumul, dar scrie corect formula lui, se acordă 1p din 5p) d) Justificarea faptului că unghiul este AD'T, unde D'T ⊥ (ABC) şi T ∈ DB. (2p)
Finalizare: cos (AD'T) = 3
89. (3p)
Săptămâna 33
Partea ISe punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerinţe, fie 0 puncte.Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 1 072 4 1 6 24
b) 23 1 2 36� 3 3
c) 1,6 7 B 20� 18 3
Partea a II-aPentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pen-tru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.1. I
primul rest II
( ) +
− +
= − ⇒ −
+
: ;
( ) :
x
xx x x
21
21
21
1
2 21 1== − + = +
− +
− +
= − −
x x
xx x
xx x
4
1
21
4
1
2
21
4
1
2 2
;
noul rest: 44
3
2 4
3
2
1
2 4
3
21
21
4
1
2 8
3
41
− = −
( ) −
+ + + + + − + =
x
x x x xx
;
. ; ,III prinn amplificare
au fost 14 bomboa
⇒
⇒ + + + + − + = ⇒ = ⇒4 8 2 4 6 8 8 14x x x x x nne inicial.
I bomboane:
II bomboane;
III
⇒( ) + =
⇒ ( ) + =
⇒ ( )
7 1 8
3 1 4
1++ =1 2 bomboane.
I
primul rest II
( ) +
− +
= − ⇒ −
+
: ;
( ) :
x
xx x x
21
21
21
1
2 21 1== − + = +
− +
− +
= − −
x x
xx x
xx x
4
1
21
4
1
2
21
4
1
2 2
;
noul rest: 44
3
2 4
3
2
1
2 4
3
21
21
4
1
2 8
3
41
− = −
( ) −
+ + + + + − + =
x
x x x xx
;
. ; ,III prinn amplificare
au fost 14 bomboa
⇒
⇒ + + + + − + = ⇒ = ⇒4 8 2 4 6 8 8 14x x x x x nne inicial.
I bomboane:
II bomboane;
III
⇒( ) + =
⇒ ( ) + =
⇒ ( )
7 1 8
3 1 4
1++ =1 2 bomboane.
2. a) ma = +( ) ⋅ −( ) = +( ) −( ) =2 1 1 2 2 1 2 1 12 2
.
b) x x
x x x x
x x x x
−( ) + −( ) = ⇒
⇒ − + + − + = ⇒
⇒ − = ⇒ −( ) = ⇒
3 1 10
6 9 2 1 10
2 8 0 2 4 0
2 2 2
2 2
2 xx
x
==
0
4.
A
B C
x −1 x − 3
10
c) 1 < y < 3, 1 < y y – 1 > 0 E x y y y y( ) = − + − = − + − => <
1 3 1 3 20 0
.
3. a)
A
B
C
A′
B′
C′M
Figura 3
M′T
N
2 3
3 3
4 3
b) A A A
A
A
A
t l b
l b
b
t
h
= +
= ⋅ = ⋅ = ( )= ⋅ = ( )= +
2
12 3 3 3 108
16 3 3
412 3
108 2
2
cm
cm
2
44 3 cm2( ).
c) CNl= = ⋅ =3
2
4 3 3
26 cm ,
M′T = linie mijlocie = 3 cm MT = 6 cm.
d) sin .u u = = ⇒ ( ) =3 3
6
3
260m
ţi
© 2014
Săptămâna 34
Partea ISe punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerinţe, fie 0 puncte.Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te
a) 48 15 100 5 36
b) 37 10; 11; 12; 13; 14; 15 12 2,4 36 3
c) 25 0,5 6 3 180 3
Partea a II-aPentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pen-tru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
1. a) t + f = 60 şi t
f= 2 75, . (2p)
Finalizare: Fiul are 16 ani (4p) b) În urmă cu x ani: 44 − x = 3(16 − x) (2p) Finalizare: x = 2 ani (2p)2. a) f(2) = −3 şi g(2) = −3 (1p) a = 2 (2p) b = 3 (2p) b) Reprezentarea corectă a unui punct situat pe graficul funcţiei f, respectiv g. (2p) Reprezentarea corectă a altui punct situat pe graficul funcţiei f, respectiv g. (2p) Trasarea graficului funcţiei f şi a funcţiei g. (2p) c) Punctul de intersecţie a celor două grafice este A(2; −3) ⇒ ⇒ înălţimea triunghiului = 2u (2p)3. a) Transcrierea figurii 3 (3p) Completarea desenului. (2p)
b) OM ⊥ VB, M ∈ VB şi MB = 5,4 cm (2p) Finalizare: VB = 15cm (3p) c) Aria bazei = 81π cm2 (2p) Aria laterală = 135π cm2 (2p) Finalizare: Aria totală = 216π cm2 (1p) (Atenţie! Dacă elevul nu calculează aria totală, dar scrie corect formula
ei, se acordă 1p din 5p) d) Calculul razei cercului circumscris (3p)
Finalizare: cosinusul unghiului PAO = 24
25. (2p)
Săptămâna 35
Partea ISe punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerinţe, fie 0 puncte.Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1 2 3 4 5
Rez
ulta
te a) 127 772 60 2 2 5
b) 7 · 8 755 33 16 25�c) 1 768 1 4 120�
Partea a II-aPentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pen-tru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
1. a) Prima data: rest
A doua oar : 2
5
40
100
2
5
3
53
5
6
x x x
x
= ⇒
⋅
=
225
2
5
6
25
16
25
9
25
2
5
9
25
x
x x x x x x
x
A treia oar : − +
= − =
.
= ⇒ + + + =
− − −( ) = ⋅ ⇒
18
125
2
5
6
25
18
125108
125 50 30 18 108 125 27
x x x x x
x x == ⋅ ⇒ =108 125 500x .
ă
ă
ă
© 2014
Prima data: rest
A doua oar : 2
5
40
100
2
5
3
53
5
6
x x x
x
= ⇒
⋅
=
225
2
5
6
25
16
25
9
25
2
5
9
25
x
x x x x x x
x
A treia oar : − +
= − =
.
= ⇒ + + + =
− − −( ) = ⋅ ⇒
18
125
2
5
6
25
18
125108
125 50 30 18 108 125 27
x x x x x
x x == ⋅ ⇒ =108 125 500x .
b) 10820
100108
1
5500 108 100: ⋅ ⇒ > ⋅ ⇒ > ( )x Adev rat
2. a) f a b a b
f a b a b
2 3 2 4 2 3 2 5
1 9 2 2 9 5
( ) = − ⇒ + + − = − ⇒ + = −
−( ) = − ⇒ − − + − = − ⇒ − + = − ⋅ −/ 11
2 5
5
0
52 7
( )+ = −− =
⇒== −
⇒ ( ) = −a b
a b
a
bf x x .
b)
–1
–9
2
4
–7B(–1; –9)
A(2; –3)–3 2
x
u
c) tg .u = 1
2
3. a)
A B
CD
V
M
O
N
T
G
3
b) V
Al h
l h
VA h
l h
l l
VMN
b
=
= ⋅ =
⇒ ⋅ =
=⋅
⇒
⋅ = ⋅ ⇒
⇒
108 6
227 2
54 2
3108 6
3 108 62
cm.
⋅⋅( ) = ⋅
⋅ = ⋅ ⇒
⇒ = =
h
l
l AB
3 108 6
54 2 3 108 6
6 3
.
cm.
c)
d) ; ∆VAB - echilateral AT - mediană şi înălţime, AT = 9 cm AG = AC = = AO = . ∆VAB - echilateral, OV = OA = OB = OVAB - piramidă ∆-ulară regulată PrO(VAB) = O - centrul cercului circumscris ∆-ului VAB. O º G OG ^ (VAB).
A
BC
D
V
MO
N
T
G
3 3
3 3