Ondas Electromagnรฉticas
Se estableciรณ que un campo elรฉctrico que varรญa con el tiempo ๐ธ(๐ก)
produce un campo magnรฉtico que varรญa con el tiempo ๐ป(๐ก) y, a la
inversa, un campo magnรฉtico que varรญa con el tiempo produce un campo
elรฉctrico. Este patrรณn cรญclico genera ondas electromagnรฉticas (EM)
capaces de propagarse a travรฉs del espacio libre y en medios materiales.
Cuando su propagaciรณn sigue el curso de una estructura material, como
una lรญnea de transmisiรณn, se dice que la onda EM viaja en un medio
guiado.
Ondas Electromagnรฉticas
La superficie terrestre y la ionosfera constituyen lรญmites paralelos de una
estructura natural de guรญa para la propagaciรณn de transmisiones de radio
de onda corta en la banda ๐ป๐น (3 ๐ 30 ๐๐ป๐ง) ; la ionosfera es un buen
reflector a estas frecuencias, lo que permite que las ondas vayan en
zigzag entre los dos lรญmites.
Ondas Electromagnรฉticas
Las ondas EM tambiรฉn pueden viajar en medios sin fronteras; las ondas
luminosas que emite el sol y las transmisiones de radio emitidas por antenas
son ejemplos tรญpicos
Ondas Electromagnรฉticas
La atenciรณn se enfocarรก en la propagaciรณn de ondas en un medio sin
fronteras. Se considerarรกn tanto medios con pรฉrdidas como sin ellas. La
propagaciรณn de ondas en un medio sin pรฉrdidas (dielรฉctrico perfecto,
como el aire) es similar a aquella a travรฉs de una lรญnea de transmisiรณn sin
pรฉrdidas. En un medio con pรฉrdidas caracterizado por una conductividad
diferente de cero, como el agua, una parte de la potencia transportada
por la onda electromagnรฉtica se convierte en calor, exactamente como
lo que le sucede a una onda que se propaga a travรฉs de una lรญnea de
transmisiรณn con pรฉrdidas.
Ondas Electromagnรฉticas
Cuando una fuente (como una antena) emite energรญa, รฉsta se expande
hacia fuera de la fuente en la forma de ondas esfรฉricas, como se ilustra en
la figura.
Aun cuando la antena puede irradiar mรกs energรญa a lo largo de algunas
direcciones que a lo largo de otras, las ondas esfรฉricas viajan con la misma
rapidez en todas las direcciones y, por lo tanto, se expanden a la misma
tasa
Ondas Electromagnรฉticas
Ondas irradiadas por una fuente EM, como una
bombilla de luz o una antena, tienen frentes de
onda esfรฉricos
Ondas Electromagnรฉticas
Para un observador alejado de la fuente, el frente de las ondas esfรฉricas
aparece aproximadamente plano, como si fuera una parte de una onda
plana uniforme con propiedades uniformes en todos los puntos del plano
tangente al frente de ondas. La propagaciรณn de ondas planas puede
describirse mediante coordenadas cartesianas con las que es mรกs fรกcil
trabajar matemรกticamente que con las coordenadas esfรฉricas requeridas
para describir la propagaciรณn de una onda esfรฉrica
Ondas Electromagnรฉticas
Sin embargo, para un observador distante, el frente
de onda que atraviesa la abertura del observador
parece aproximadamente plano
Ondas Electromagnรฉticas
Campos armรณnicos
En el caso de variaciรณn con el tiempo, los campos elรฉctricos y magnรฉticos
E, D, B y H, y sus fuentes, la densidad de carga ๐๐ฃ y la densidad de
corriente ๐ฝ, son (cada uno y en general) una funciรณn de las coordenadas
espaciales (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) y la variable de tiempo ๐ก.
Si su variaciรณn con el tiempo es una funciรณn sinusoidal con frecuencia
angular ๐ , cada una de estas cantidades se representa por un fasor
independiente del tiempo que depende sรณlo de (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง).
Ondas Electromagnรฉticas
Por lo tanto, el fasor vectorial ๐ธ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง correspondiente al campo
instantรกneo ๐ธ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง; ๐ก) se define de acuerdo con
๐ธ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง: ๐ก = ๐ ๐ ๐ธ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง ๐๐๐๐ก
Y definiciones similares son aplicables a los demรกs campos y a ๐๐ y ๐ฝ. Para
un medio lineal, isotrรณpico y homogรฉneo caracterizado por la permitividad
elรฉctrica๐, permeabilidad magnรฉtica ๐ y conductividad ๐, se recuerda
que la diferenciaciรณn en el dominio del tiempo corresponde a multiplicar
por ๐๐ en el dominio fasorial.
Ondas Electromagnรฉticas
Como la mayorรญa de las regiones de interรฉs son libres de carga, se supone
que ๐ = 0. Por otro lado, hay que suponer, materiales lineales isotrรณpicos de
tal manera que ๐ท = ๐๐ธ, ๐ต = ๐๐ป ๐ฆ ๐ฝ๐ถ = ๐๐ธ.
Isotrรณpico quiere decir que no depende de la elecciรณn de los ejes. no
importa para que lado estรฉs midiendo cierta propiedad o magnitud fรญsica
siempre va a medir lo mismo.
Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrรณpico, es decir, medir un
metro hacia arriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un
ejemplo en donde no se cumple la isotropรญa, si tu tienes un material, y es
mas difรญcil estirarlo de izquierda a derecha que de arriba abajo, pues se
dice que dicha propiedad de estirarlo (rigidez) es anisotropรญa.
Ondas Electromagnรฉticas
En electromagnetismo algunas de las propiedades que puedes medir son:
conductividad, susceptibilidad magnรฉtica, susceptibilidad elรฉctrica,
resistividad, etc. Si esas propiedades no dependen de la direcciรณn (u
orientaciรณn de los ejes) se dice que el cuerpo es isotrรณpico.
Por ejemplo si tu cuerpo tiene igual valor de conductividad cuando la
corriente lo atraviesa de arriba a abajo, que de izquierda a derecha (y en
general de todas las posibles direcciones) se dice que ese es un cuerpo
isotrรณpico con respecto a la conductividad.
Ecuaciones de Onda
Con base en los principios anteriores y suponiendo que tanto ๐ธ ๐๐๐๐ ๐ป son
dependientes del tiempo ๐๐๐๐ก, las ecuaciones de Maxwell se transforman
en:
Ahora aplicamos la identidad vectorial
๐ป ร ๐ป = ๐ + ๐๐๐ ๐ธ 1๐ป ร ๐ธ = โ๐๐๐๐ป 2๐ป โ ๐ธ = 0 3๐ป โ ๐ป = 0 (4)
๐ป ร ๐ป ร ๐ด โก ๐ป ๐ป โ ๐ด โ ๐ป2๐ด
Ecuaciones de Onda
Donde, tan solo en coordenadas cartesianas
Tomando el rotacional de (1) y (2), y utilizando (3) y (4)
Ahora sustituyendo ๐ป ร ๐ธ ๐ฆ ๐ป ร ๐ป de (2) y (1), se obtienen las ecuaciones
vectoriales
๐ป2๐ด = ๐ป2๐ด๐ฅ ๐๐ฅ + ๐ป2๐ด๐ฆ ๐๐ฆ+ ๐ป2๐ด๐ง ๐๐ง
๐ป2๐ป = ๐พ2๐ป ๐ป2๐ธ = ๐พ2๐ธ
โ๐ป2๐ป = ๐ + ๐๐๐ ๐ป ร ๐ธโ๐ป2๐ธ = โ๐๐๐ ๐ป ร ๐ป
Ecuaciones de Onda
Donde ๐พ2 = ๐๐๐ ๐ + ๐๐๐ . La constante de propagaciรณn, ๐พ , es la raรญz
cuadrada de ๐พ2 cuyas partes real e imaginaria son positivas:
con
ฮณ = ๐ผ + ๐๐ต
๐ผ = ๐๐๐
21 +
๐
๐๐
2
โ 1
๐ฝ = ๐๐๐
21 +
๐
๐๐
2
+ 1
Ecuaciones de Onda
La constante ๐ผ se llama factor de atenuaciรณn y ๐ฝ se llama constante de
crecimiento de fase. ๐พ (Gamma) tiene unidades ๐โ1 , sin embargo, es
costumbre dar ๐ผ ๐ฆ ๐ฝ ๐๐๐๐
๐๐ฆ
๐๐๐
๐, respectivamente, donde el neper (Np) es
una unidad adimensional como el radiรกn.
Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
La familiar ecuaciรณn escalar de onda en una dimensiรณn
Tiene soluciones de la forma ๐น = ๐ ๐ง โ ๐๐ก ๐ฆ ๐น = ๐ ๐ง + ๐๐ก , donde ๐ ๐ฆ ๐ son
funciones arbitrarias. Estas representan ondas que viajan con velocidad ๐
en las direcciones +๐ง ๐ฆ โ ๐ง, respectivamente, de acuerdo a la siguiente
figura.
๐2๐น
๐๐ง2 =1
๐2
๐2๐น
๐๐ก2
Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
๐ ๐ง๐
๐๐ก1
๐ ๐ง1 โ ๐1๐ก1
๐ก = ๐ก1๐ก = 0
Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
En particular, si se supone una variaciรณn armรณnica de tiempo ๐๐๐๐ก , la
ecuaciรณn de onda se convierte en
Con soluciones (incluyendo el factor temporal) de la forma
O en las partes real o imaginaria de estas.
๐2๐น
๐๐ง2 = โ๐ฝ2๐น ๐ฝ =๐
๐
๐น = ๐ถ๐๐ ๐๐กโ๐ฝ๐ง ๐น = ๐ท๐๐ ๐๐ก+๐ฝ๐ง
Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
๐ถ๐ก = 0
๐ก =๐
2๐
๐
๐น
๐ง
๐น๐๐๐ข๐๐ 2
Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
La figura 2 muestra una de estas soluciones, ๐น = ๐ ๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง , ๐๐ ๐ก = 0 ๐ฆ ๐๐ ๐ก =๐
2๐;
durante este intervalo de tiempo la onda se ha movido una distancia ๐ =๐๐
2๐
=
๐/2๐ฝ a la derecha. Para cualquier ๐ก fijo, la forma de onda se repite cuando ๐งcambia a 2๐/๐ฝ. La distancia
Se llama longitud de onda. De esta manera en la figura 2, la onda avanzadoun cuarto de longitud de onda a la derecha. La longitud de onda y lafrecuencia ๐ = ๐/2๐, guardan entre si la relaciรณn conocida
Tambiรฉn, ๐ = ๐๐ donde ๐ =1
๐= 2๐/๐ es el periodo
๐ =2๐
๐ฝ
๐๐ = ๐
Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
Las ecuaciones vectoriales de onda tienen soluciones similares a las yadiscutidas anteriormente. Como los vectores unidad ๐๐ฅ, ๐๐ฆ ๐ฆ ๐๐ง en
coordenadas cartesianas tienen direcciones fijas, la ecuaciรณn de onda
para ๐ป puede reescribirse bajo la forma
De especial interรฉs son las soluciones (ondas planas) que dependen solo
de una coordenada espacial, digamos ๐ง.
๐2๐ป
๐๐ฅ2 +๐2๐ป
๐๐ฆ2 +๐2๐ป
๐๐ง2 = ๐พ2๐ป
Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
La ecuaciรณn se convierte entonces en
Dando
Las soluciones correspondientes para el campo elรฉctrico son
๐2๐ป
๐๐ง2 = ๐พ2๐ป
๐ป = ๐ป๐๐ยฑ๐ฆ๐ง๐๐ป รณ ๐ป ๐ง, ๐ก = ๐ป๐๐
ยฑ๐ฆ๐ง๐๐๐๐ก๐๐ป
๐ธ = ๐ธ๐๐ยฑ๐ฆ๐ง๐๐ธ รณ ๐ธ ๐ง, ๐ก = ๐ธ๐๐
ยฑ๐ฆ๐ง๐๐๐๐ก๐๐ธ
Soluciones en Coordenadas
Cartesianas
Aquรญ ๐๐ป ๐ฆ ๐๐ธ son vectores unitarios. La cantidad compleja ๐พ se definiรณanteriormente
Se demuestra que
Es decir que ningรบn campo tienen componente en la direcciรณn depropagaciรณn.
Siendo esto asรญ se pueden rotar siempre los ejes para colocar uno de loscampos, digamos ๐ธ a lo largo del eje ๐ฅ. Entonces se demuestra que ๐ป yace alo largo del eje ๐ฆ.
La soluciรณn de onda plana que se acaba de obtener depende, vรญa ๐พ, de laspropiedades del medio ๐, ๐ ๐ฆ ๐
๐๐ป โ ๐๐ง = ๐๐ธ โ ๐๐ง = 0
Soluciones para medios parcialmente
conductores
Para una regiรณn de poca conductividad (ej.: suelo hรบmedo, agua de
mar), la soluciรณn de la ecuaciรณn de onda E es
La razรณn ๐ธ/๐ป es caracterรญstica del medio (tambiรฉn dependen de lafrecuencia). Mas especรญficamente, para ondas ๐ธ = ๐ธ๐ฅ๐๐ฅ , ๐ป = ๐ป๐ฆ๐๐ฆ que se
propaga en la direcciรณn +๐ง, la impedancia intrรญnseca, ๐, del medio se
define por:
De esta manera
๐ธ = ๐ธ๐๐โ๐พ๐ง๐๐ฅ
๐ =๐ธ๐ฅ
๐ป๐ฆ
๐ =๐๐๐
๐ + ๐๐๐
Soluciones para medios parcialmente
conductores
Donde la raรญz cuadrada puede escribirse en forma polar ๐ โ ๐ con
(Si la onda se propaga en la direcciรณn โ๐ง,๐ธ๐ฅ
๐ป๐ฆ= โ๐ . En efecto, ๐พ se
reemplaza por โ๐พ y se usa la otra raรญz cuadrada).
๐ =๐/๐
4
1 +๐๐๐
2๐ก๐๐2๐ =
๐
๐๐๐ฆ 0๐ < ๐ < 45๐
Soluciones para medios parcialmente
conductores
Al introducer el factor tiempo ๐๐๐๐ก y al escribir ๐พ = ๐ผ + ๐๐ฝ se obtiene lassiguientes ecuaciones para campos en una regiรณn parcialmente conductora:
El factor ๐โ๐ผ๐ง atenรบa las magnitudes de ๐ธ ๐ฆ ๐ป cuando se propagan endirecciรณn +๐ง. La expresiรณn para ๐ผ,esto demuestra que existe atenuaciรณn amenos que la conductividad ๐ sea cero, lo que solo es el caso de dielรฉctricosperfectos o de espacio vacรญo.
๐ธ ๐ง, ๐ก = ๐ธ๐๐โ๐ผ๐ง๐๐ ๐๐กโ๐ฝ๐ง+๐ ๐๐ฅ o ๐ธ ๐ง, ๐ก = ๐ธ๐๐๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง + ๐ ๐๐ฅ
๐ป ๐ง, ๐ก =๐ธ๐
๐๐โ๐ผ๐ง๐๐ ๐๐กโ๐ฝ๐ง+๐ ๐๐ฆ o ๐ป ๐ง, ๐ก =
๐ธ๐
๐๐๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง + ๐ ๐๐ฆ
Soluciones para medios parcialmente
conductores
De la misma manera, la diferencia de fase temporal ๐, ๐๐๐ก๐๐ ๐ธ ๐ง, ๐ก ๐ฆ ๐ป(๐ง, ๐ก)desaparece solo cuando ๐ es cero. La velocidad de propagaciรณn y lalongitud de onda estรกn dadas por:
Si se conoce la velocidad de propagaciรณn ๐๐ = ๐ puede usarse paradeterminar la longitud de onda ๐.
๐ =๐
๐ฝ=
1
๐๐2 1 +
๐๐๐
2+ 1
๐ =2๐
๐ฝ=
2๐
๐ 1 +๐๐๐
2+ 1
Soluciones para medios parcialmente
conductores
El termino ๐/๐๐ 2 reduce tanto el valor de la velocidad como el de la
longitud de onda, de lo que serรญan en el espacio vacรญo o dielรฉctricos
perfectos, donde ๐ = 0. Obsรฉrvese que el medio es dispersivo, es decir,
ondas con frecuencias diferentes ๐ tienen diferentes velocidades ๐.
Problemas
Problema 1
Una onda viajera estรก descrita por ๐ฆ = 10๐ ๐๐ ๐ฝ๐ง โ ๐๐ก . Dibuje en ๐ก =
0 ๐ฆ ๐๐ ๐ก = ๐ก1 cuando ha avanzado๐
8, si la velocidad es de 3 ร 108 ๐/๐ y la
frecuencia angular es ๐ = 106 ๐๐๐
๐ , ๐)๐ = 2 ร 106 ๐๐๐/๐ y el mismo ๐ก1
Problemas
Soluciรณn Inciso a
La onda avanza ๐ en un periodo, ๐ = 2๐/๐. Por tanto tenemos que
๐ก1 =๐
8=
2๐/๐
8=
๐
4๐
๐
8= ๐๐ก1 = 3 ร 108 ๐
4 106 = 236m
๐ก = 0
๐ก = ๐ก110
๐ = 106
๐ง
๐ฆ
๐/2 ๐
236๐
Problemas
Soluciรณn inciso b
La onda avanza ๐ en un periodo, ๐ = 2๐/๐. Por tanto tenemos que
๐ก1 =๐
8=
2๐/๐
8=
๐
4๐
๐
8= ๐๐ก1 = 3 ร 108 ๐
4 2ร106 = 118m
๐ก = 0
๐ก = ๐ก110
๐ = 2 ร 106
๐ง
๐ฆ
๐/2 ๐
118๐
Soluciones para dielรฉctricos perfectos
Para un dielรฉctrico perfecto, ๐ = 0 y asรญ
Como โ= 0 no hay atenuaciรณn de las ondas ๐ธ ๐ฆ ๐ป. El angula cero sobre ๐produce un ๐ป que esta en fase temporal con ๐ธ en cada localizaciรณn fija.
Suponiendo ๐ธ en ๐๐ฅ y la propagaciรณn en ๐๐ง, las ecuaciones de campo
pueden obtenerse como limites, como se denota a continuaciรณn:
๐ผ = 0 ๐ฝ = ๐ ๐๐ ๐ =๐
๐โ 00
๐ธ ๐ง, ๐ก = ๐ธ๐๐๐(๐๐กโ๐ฝ๐ง)๐๐ฅ
๐ป ๐ง, ๐ก =๐ธ๐
๐๐๐(๐๐กโ๐ฝ๐ง)๐๐ฆ
Soluciones para dielรฉctricos perfectos
La velocidad de la onda y la longitud de la onda son:
Para espacio vacรญo
๐ =๐
๐ฝ= 4๐ ร 10โ7
๐ป
๐๐ = ๐๐ = 8.854 ร
10โ12๐น
๐โ
10โ9
36๐๐น/๐
๐ = ๐๐ โ 120๐ ฮฉ ๐ฆ ๐ = ๐ โ 3 ร 108 ๐/๐
Problemas
Problema 2
En el espacio vacรญo, ๐ธ ๐ง, ๐ก = 103๐ ๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง ๐๐ฆ (๐/๐). Obtenga ๐ป(๐ง, ๐ก)
Problemas
Soluciรณn
Un examen de la fase, ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง, revela que la direcciรณn de la propagaciรณn
es +๐ง, ๐ป debe tener direcciรณn โ๐๐ฅ. Por tanto
๐ธ๐ฆ
โ๐ป๐ง= ๐๐ = 120๐ ฮฉ รณ ๐ป๐ฅ = โ
103
120๐๐ ๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง ๐๐ฅ ๐ด/๐
๐ฆ ๐ป๐ง ๐ง, ๐ก = โ103
120๐๐ ๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง ๐๐ฅ ๐ด/๐
Problemas
Problema 3
Sea la onda, en el espacio vacรญo, ๐ธ ๐ง, ๐ก = 103๐ ๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง ๐๐ฆ (๐/๐) .
Determine la constante de propagaciรณn ๐พ sabiendo que la frecuencia es
que la frecuencia es ๐ = 95.5๐โ๐ง
Problemas
Solucion
En general, ๐พ = ๐๐๐ ๐ + ๐๐๐ En el espacio vacรญo, ๐ = 0, asรญ que:
๐พ = ๐๐ ๐0๐0 = ๐ 2๐๐/๐ = ๐2๐ 95.5ร106
3ร108 = โ๐2๐โ1
Obsรฉrvese que este resultado demuestra que el factor de atenuaciรณn es
๐ผ = 0 y la constante de defasaje es ๐ฝ = 2 ๐๐๐/๐
Problemas
Problema 4
El campo elรฉctrico de una onda plana de 1MHz que viaja en la direcciรณn
+ ๐ง en aire apunta en la direcciรณn ๐ฅ. Si el valor pico de ๐ธ es de 1.2๐๐๐
๐y
๐ธ es mรกximo cuando ๐ก = 0 ๐ฆ ๐ง = 50๐ , obtenga expresiones para
๐ธ ๐ง, ๐ก ๐ฆ ๐ป ๐ง, ๐ก y luego trace una grafica de estas variaciones en funciรณn
de ๐ง ๐๐๐ ๐ก = 0.
Problemas
Soluciรณn
Con ๐ = 1๐๐ป๐ง, la longitud de onda en el aire es:
๐ =๐
๐=
3ร108
1ร106 = 300 ๐
Y el numero de onda correspondiente es ๐ฝ =2๐
๐=
2๐
300๐๐๐/๐. La expresiรณn
general para un campo elรฉctrico dirigido hacia ๐ฅ que viaja en la direcciรณn
de +๐ง aparece en la ecuaciรณn como
๐ธ ๐ง, ๐ก = ๐ธ๐๐๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง + ๐ ๐๐ฅ โ ๐ธ ๐ง, ๐ก = 1.2๐๐๐๐ 2๐ ร 106๐ก โ2๐
300๐ง + ๐ ๐๐ฅ
๐๐
๐
El campo ๐ธ ๐ง, ๐ก es mรกximo cuando el argumento de la funciรณn coseno es
igual a cero o a mรบltiplos de 2๐. Con ๐ก = 0 ๐ฆ ๐ง = 50๐, esta condiciรณn es
Problemas
Soluciรณn
โ2๐ร50
300+ ๐ = 0 ๐ ๐ =
๐
3
๐ธ ๐ง, ๐ก = 1.2๐๐๐๐ 2๐ ร 106๐ก โ2๐
300๐ง +
๐
3๐๐ฅ
๐๐
๐
Y de acuerdo con
๐ป ๐ง, ๐ก =๐ธ๐
๐๐๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ๐ง + ๐ ๐๐ฆ โน
๐ป ๐ง, ๐ก =1.2๐ร10โ3
120๐๐๐๐ 2๐ ร 106๐ก โ
2๐๐ง
300โ
๐
3๐๐ฆ ๐๐ด/๐
๐ป ๐ง, ๐ก = 10๐๐๐ 2๐ ร 106๐ก โ2๐๐ง
300โ
๐
3๐๐ฆ ๐๐ด/๐
Donde se utilizo la aproximaciรณn ๐๐ โ 120๐ ฮฉ ๐๐๐ ๐ก = 0 tenemos que
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