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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE, PARIS VI
COMMISSARIAT À L’ÉNERGIE ATOMIQUE, CENTRE DE SACLAY
Couplage interfacial de modèles en dynamique des fluides.Application aux écoulements diphasiques.
Thomas GALIÉ
Soutenance de thèse - mardi 31 mars 2009
Annalisa AMBROSO Encadrante CEAChristophe CHALONS Encadrant universitaireFrédéric COQUEL Encadrant universitaireYvon MADAY Directeur de thèse
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Sommaire
1 Introduction générale
2 Couplage interfacial de modèles en dynamique des gaz
3 Couplage interfacial avec terme source mesure
4 Relaxation et approximation numérique d’un modèle bifluide à deux pressions
5 Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux
6 Conclusion et perspectives
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Sommaire
1 Introduction générale
2 Couplage interfacial de modèles en dynamique des gaz
3 Couplage interfacial avec terme source mesure
4 Relaxation et approximation numérique d’un modèle bifluide à deux pressions
5 Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux
6 Conclusion et perspectives
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Introduction générale
Contexte : projet NEPTUNE
CEA, EDF, Areva-NP, IRSN
Etablir une plateforme de calcul pour simuler la thermohydraulique dans unréacteur nucléaire à eau sous pression
Constat : différents codes de calculs pour différentes échelles
CFD : Neptune_CFD (3D libre)
Composant : FLICA, THYC (3D poreux)
Système : CATHARE (0D-1D libre/poreux)
Points communs : écoulements diphasiques, méthodes volumes finisValidés et qualifiés : les codes fonctionnent en « boîtes noires »
Besoin : coupler les codes en espace
Un code pour une région de l’espace
Maillages conformes d’un domaine à l’autre (calcul de flux)
Modélisations différentes : couplage interfacial de modèles
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Introduction générale
Collaboration CEA Saclay - Laboratoire Jacques-Louis Lions
Groupe de travail hebdomadaire au LJLL :
A. Ambroso, B. Boutin, C. Chalons, F. Coquel, T. Galié,E. Godlewski, F. Lagoutière, P.-A. Raviart, J. Segré, N. Seguin
Etude du couplage interfacial de modèles pour les écoulements diphasiques
Approche unidimensionnelle (invariance des équations par rotation)
Interface fixe et mince en x = 0
xx = 0
Modèle de gauche x < 0 Modèle de droite x > 0
Mise au point de conditions de couplage en x = 0
Construction de méthodes numériques consistantes
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Sommaire
1 Introduction générale
2 Couplage interfacial de modèles en dynamique des gaz
3 Couplage interfacial avec terme source mesure
4 Relaxation et approximation numérique d’un modèle bifluide à deux pressions
5 Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux
6 Conclusion et perspectives
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage de modèles en dynamique des gaz
Problème de couplage
xx = 0
Euler (L), x < 0, t > 0∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + pL(ρ,ε)) = 0,
∂t (ρE) + ∂x (ρEu + pL(ρ,ε)u) = 0,
Euler (R), x > 0, t > 0∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + pR(ρ,ε)) = 0,
∂t (ρE) + ∂x (ρEu + pR(ρ,ε)u) = 0.
ρ > 0 : densité
u ∈ R : vitesse
ρE = ρu2/2 + ρε > 0 : énergie totale et ε énergie interne
pα ≡ pα (ρ,ε), α = L,R : pression à gauche et à droite
Notation contractée
∂t u + ∂x fL(u) = 0, pour x < 0, t > 0,
∂t u + ∂x fR(u) = 0, pour x > 0, t > 0,
où u = (ρ,ρu,ρE) et fα (u) = (ρu,ρu2 + pα ,ρEu + pα u),α = L,R
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage de modèles en dynamique des gazConditions de couplage
Approche globalement conservative : couplage par flux
Le problème est réécrit sous la forme d’un seul et unique problème global :
∂t u + ∂x f(u,x) = 0, x ∈ R, t > 0, avec f(u,x) =
{fL(u), x < 0,
fR(u), x > 0.
Conservation des grandeurs : fR(u(0+, t))− fL(u(0−, t)) = 0, t > 0
Non continuité des variables d’états
Approche non conservative : couplage par état
On impose, via deux conditions de bords du type Dirichlet,
v(0−, t) = v(0+, t),
où v est un jeu de variables donné
Continuité des variables
Non conservation : fR(u(0+, t)) 6= fL(u(0−, t)), t > 0
Exemples : v := (ρ,u,p), v := (ρ,u,h) où h = ε + p/ρ est l’enthalpie
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage de modèles en dynamique des gazProblème de couplage : approximation numérique
x
x0 = 0
un−1/2un
−3/2. . .un
j−1/2
x−1x−2xj
un1/2 un
3/2 . . .un
j+1/2
x1 x2 xj
Euler (L), j ≤ 0,n ≥ 0 Euler (R), j ≥ 0,n ≥ 0
Pas de temps ∆t , pas d’espace ∆x
Cellules Cj+1/2 = [xj ,xj+1[, j ∈ Z et temps discrets tn = n∆t , n ∈ NSolution constante par morceaux u∆x (x , tn) = un
j+1/2, pour x ∈ Cj+1/2
Formulation volumes finis
un+1j−1/2 = un
j−1/2−∆t∆x
((gL)nj − (gL)n
j−1), pour j ≤ 0,
un+1j+1/2 = un
j+1/2−∆t∆x
((gR)nj+1− (gR)n
j ), pour j ≥ 0.
On cherche à calculer
(gL)n0 := gL(un
−1/2,un1/2)
(gR)n0 := gR(un
−1/2,un1/2)
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage de modèles en dynamique des gazConditions de couplage : approximation numérique
Couplage par flux : approche par relaxation
On résout le problème de Riemann à l’interface de couplage pour un sur-modèlehors-équilibre thermodynamique :
∂t U + ∂x F(U) = λR(U,x), x ∈ R, t > 0.
Schéma de Godunov
(gL)n0 := F
(W(
0−;Un−1/2,U
n+1/2
))= (gR)n
0 := F(W(
0+;Un−1/2,U
n+1/2
))Couplage par état : approche double-flux
Les flux numériques sont donnés par les formules suivantes :
(gL)n0 :=gL(un
−1/2,un+1/2),
(gR)n0 :=gR(un
−1/2,un+1/2),
où (u)n+1/2 et (u)n
−1/2 sont deux états fictifs reconstruits selon le jeu de variables àtransmettre à l’interface de couplage.
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage de modèles en dynamique des gazProfil uniforme en pression : couplage par flux
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
Densité Vitesse
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
t
MasseImpulsion
Energie totale
Pression Pertes de conservation
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage de modèles en dynamique des gazProfil uniforme en pression : couplage par état en pression
1.58
1.585
1.59
1.595
1.6
1.605
1.61
1.615
1.62
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
0.792
0.794
0.796
0.798
0.8
0.802
0.804
0.806
0.808
0.81
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
Densité Vitesse
2.325
2.33
2.335
2.34
2.345
2.35
2.355
2.36
2.365
2.37
2.375
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
-0.035
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
t
MasseImpulsion
Energie totale
Pression Pertes de conservation
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage de modèles en dynamique des gazProfil uniforme en pression : couplage par état en enthalpie
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
Densité Vitesse
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
t
MasseImpulsion
Energie totale
Enthalpie Pertes de conservation
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Sommaire
1 Introduction générale
2 Couplage interfacial de modèles en dynamique des gaz
3 Couplage interfacial avec terme source mesure
4 Relaxation et approximation numérique d’un modèle bifluide à deux pressions
5 Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux
6 Conclusion et perspectives
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage interfacial avec terme source mesure
Couplage de modèles en dynamique des gaz pour un écoulement isentropique :
∂t u + ∂x fL(u) = 0, pour x < 0, t > 0,
∂t u + ∂x fR(u) = 0, pour x > 0, t > 0,
avec
u =
(ρ
ρu
), fα (u) =
(ρu
ρu2 + pα (τ)
), α = L,R et τ = 1/ρ.
Condition de transmission par ajout d’un terme source mesure :
∂t u + ∂x f(u,x) = M (t)δx=0, x ∈ R, t > 0,
avec M (t) = (0,Mρu(t))
Avantage : contrôle des pertes de conservation
Difficulté : prise en compte du terme source mesure :
fR(u(0+, t))− fL(u(0−, t)) = M (t), t > 0
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Approche par relaxation - hors couplage -
Système d’Euler isentropique
Strictement hyperbolique de valeurs propres : λ1 = u− c (VNL) et λ2 = u + c (VNL)où c = τ
√−p′(τ) est la vitesse du son dans le fluide.
{∂t ρ + ∂x ρu = 0, x ∈ R, t > 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p(τ)) = 0
x
t
ug
λ1 (ug) u∗ λ r2 (ud )
ud
Approche par relaxation
Strictement hyperbolique de valeurs propres : λ r1 = u−aτ (LD), λ r
2 = u (LD) etλ r
3 = u + aτ (LD). La variable π est la pression de relaxation.∂t ρ + ∂x ρu = 0, x ∈ R, t > 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + π) = 0,
∂t (ρπ) + ∂x (ρπu + a2π) = λρ(p(τ)−π)
x
t
Ug
λ r1 (Ug) U∗g
λ r2
(U∗g)
U∗dλ r
3 (Ud )
Ud
limλ→+∞ π = p(τ) ssi a2 > maxτ [−p′(τ)]
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Approche par relaxation - couplage -
Système d’Euler isentropique
La masse de Dirac conduit à l’ajout d’une onde stationnaire, en x = 0, qui s’apparenteà une onde LD : λ0 = 0. On utilise les relations de Rankine-Hugoniot.
{∂t ρ + ∂x ρu = 0, x ∈ R, t > 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p(τ,x)) = Mρu(t)δx=0.
x
tλ r
0
ug
λ1 (ug) u− u+ λ r2 (ud )
ud
Approche par relaxation
Valeurs propres : λ r0 = 0 (LD), λ r
1 = u−aτ (LD), λ r2 = u (LD) et λ r
3 = u + aτ (LD). Leterme source Mρπ est un degré de liberté supplémentaire.
∂t ρ + ∂x ρu = 0, x ∈ R, t > 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + π) = Mρu(t)δx=0,
∂t (ρπ) + ∂x (ρπu + a2π) = Mρπ (t)δx=0.
x
tλ r
0
Ug
λ r1 (Ug)
U−
λ r2 (U1)
U+ U3λ r
3 (Ud )
Ud
Le terme source mesure est restaurer au niveau discret de manière exacte.
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Couplage conservatif : 2-choc pur avec (Mρu ,Mρπ ) = (0,0)
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x
Densité Vitesse
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Couplage conservatif : 2-choc pur avec (Mρu ,Mρπ ) = (0,M eρπ )
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x
Densité Vitesse
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Sommaire
1 Introduction générale
2 Couplage interfacial de modèles en dynamique des gaz
3 Couplage interfacial avec terme source mesure
4 Relaxation et approximation numérique d’un modèle bifluide à deux pressions
5 Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux
6 Conclusion et perspectives
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Relaxation et approximation numérique d’un modèlebifluide à deux pressions
On considère, hors couplage, le modèle bifluide à deux vitesses et deuxpressions isentropique par phase suivant :
∂t α1 + u2∂x α1 = 0,
∂t (α1ρ1) + ∂x (α1ρ1u1) = 0,
∂t (α1ρ1u1) + ∂x (α1ρ1u21 + α1p1)−p1∂x α1 = 0,
∂t (α2ρ2) + ∂x (α2ρ2u2) = 0,
∂t (α2ρ2u2) + ∂x (α2ρ2u22 + α2p2) + p1∂x α1 = 0,
pour x ∈ R, t > 0.
αk ∈ (0,1),ρk > 0,uk ∈ R : fraction, densité et vitesse de la phase k
pk ≡ pk (ρk ) > 0 : pression de la phase k
Condition de saturation : α1 + α2 = 1
Présence de termes non conservatif : couplage entre les phases
Notation contractée
∂t u + ∂x f(u) + c(u)∂x u = 0, x ∈ R, t > 0
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Etude du problème de Riemann
Structure de la solution du problème de Riemann
Valeurs propres : λ0 = u2(LD),λ1 = u1− c1(VNL),λ2 = u1 + c1(VNL),λ3 =u2− c2(VNL),λ4 = u2 + c2(VNL) avec ck =
√p′(ρk )
Le système est hyperbolique dès que u1± c1 6= u2
Soit ug ,ud deux états constants. Le PR s’écrit, pour x ∈ R, t > 0,∂t u + ∂x f(u) + c(u)∂x u = 0,
u(x ,0) =
{ug , x < 0,
ud , x > 0.
x
t
ug
λ1,3 (ug)u−
λ0 (u−)
u+λ2,4 (ud )
ud
Difficultés
Beaucoup de champs VNL (Ondes de chocs/détentes)
Termes non conservatifs
Possibilité de résonnance (hors du régime d’étude)
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Approche par relaxation
La loi de pression de la phase k = 1,2, suit la loi d’évolution suivante :
αk ρk ∂t pk −ρ2k p′k u2∂x αk + αk ρk uk ∂x pk + ρ
2k p′k ∂x αk uk = 0
On remplace le terme de pression par la pression de relaxation πk , k = 1,2 :
αk ρk ∂t πk −a2k u2∂x αk + αk ρk uk ∂x πk + a2
k ∂x αk uk = λαk ρk (pk −πk )
On propose le système de relaxation suivant, pour x ∈ R, t > 0,
∂t α1 + u2∂x α1 = 0,
∂t (α1ρ1) + ∂x (α1ρ1u1) = 0,
∂t (α1ρ1u1) + ∂x (α1ρ1u21 + α1π1)−π1∂x α1 = 0,
∂t (α1ρ1π1) + ∂x (α1ρ1π1u1 + a21α1u1)−a2
1u2∂x α1 = λα1ρ1(p1−π1),
∂t (α2ρ2) + ∂x (α2ρ2u2) = 0,
∂t (α2ρ2u2) + ∂x (α2ρ2u22 + α2π2) + π1∂x α1 = 0,
∂t (α2ρ2π2) + ∂x (α2ρ2π2u2 + a22α2u2) + a2
2u2∂x α1 = λα2ρ2(p2−π2),
limλ→+∞ πk = pk ssi ak > maxρk [ρk ck (ρk )] , k = 1,2
Notation contractée
∂t U + ∂x F(U) + C(U)∂x U = 0, x ∈ R, t > 0
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Approche par relaxation - Problème de Riemann
Structure de la solution du problème de Riemann
Valeurs propres : λ0 = u2(LD),λ r1 = u1−a1τ1(LD),λ r
2 = u1 + a1τ1(LD),λ r3 =
u2−a2τ2(LD),λ r4 = u2 + a2τ2(LD) et λ r
5 = u1 (LD)
Le système est hyperbolique dès que u1±a1τ1 6= u2
Soit Ug ,Ud deux états constants. Le PR pour x ∈ R, t > 0, s’écrit∂t U + ∂x F(U) + C(U)∂x U = 0,
U(x ,0) =
{Ug , x < 0,
Ud , x > 0.
x
t
Ug
λ r1 (Ug)
λ r3 (Ug) U∗g
λ r5
(U∗g)
U−λ r
0 (U−)
U+λ r
4 (Ud )
λ r2 (Ud )
Ud
Résolution
Résolution itérative : coûteuse et compliquée
Estimation des termes non conservatifs : deux méthodes proposées
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Tube à choc
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 5 10 15 20
x
RusanovRelax-exact
Relax(1)Relax(2)
Fraction α1
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériquesTube à choc
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0 5 10 15 20
x
RusanovRelax-exact
Relax(1)Relax(2)
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0 5 10 15 20
x
RusanovRelax-exact
Relax(1)Relax(2)
Pression p1 Pression p2
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0 5 10 15 20
x
RusanovRelax-exact
Relax(1)Relax(2)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 5 10 15 20
x
RusanovRelax-exact
Relax(1)Relax(2)
Vitesse u1 Vitesse u2
22/30
1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Robinet de Ransom
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 2 4 6 8 10 12
x
Reference100 cellules
1000 cellules10000 cellules
Fraction α1
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Robinet de Ransom
10
11
12
13
14
15
16
0 2 4 6 8 10 12
x
Reference100 cellules
1000 cellules10000 cellules
Vitesse u2
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Sommaire
1 Introduction générale
2 Couplage interfacial de modèles en dynamique des gaz
3 Couplage interfacial avec terme source mesure
4 Relaxation et approximation numérique d’un modèle bifluide à deux pressions
5 Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux
6 Conclusion et perspectives
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux
Modèle bifluide à deux pressions avec termes sources : x < 0, t > 0,
∂t α1 + u2∂x α1 = θ(u)ε2 (p1−p2),
∂t (α1ρ1) + ∂x (α1ρ1u1) = 0,
∂t (α1ρ1u1) + ∂x(α1ρ1u2
1 + α1p1)−p1∂x α1 = α1ρ1f1(u) + λ(u)
ε2 |u2−u1|(u2−u1),
∂t (α2ρ2) + ∂x (α2ρ2u2) = 0,
∂t (α2ρ2u2) + ∂x(α2ρ2u2
2 + α2p2)
+ p1∂x α1 = α2ρ2f2(u)− λ(u)ε2 |u2−u1|(u2−u1).
Modèle de drift-flux : x > 0, t > 0,∂t ρ + ∂x (ρ u) = 0,
∂t (ρY ) + ∂x (ρ uY + ρY (1− Y )ur ) = 0,
∂t (ρ u) + ∂x (ρ u2 + p + ρY (1− Y )u2r ) = ρ(1− Y )f1(u) + ρY f2(u).
La loi de pression p ≡ p(ρ) est donnée par la résolution du sous-système :{p = p1(ρ(1− Y )/(1− α)),
p1(ρ(1− Y )/(1− α)) = p2(ρY/α), (p, α) ∈ (0,+∞)× (0,1)
Le système est fermé par la loi de drift ur = u2− u1 = Φ(u).
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Dérivation du modèle de drift-flux
Théorème
Supposons que nous soyons dans le régime ε → 0+. Alors les solutions du modèlebifluide à deux pressions vérifient, à O(ε2) près, le système d’équations suivant
∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,
∂t (ρY ) + ∂x (ρuY + ρY (1−Y )ur ) = 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p + ρY (1−Y )u2r ) = ρ(1−Y )f1(v) + ρYf2(v),
avec |ur |ur = ε2 ρY (1−Y )λ(v)
(f2(v)− f1(v) +
(1ρ1− 1
ρ2
)(ρ(1−Y )f1(v) + ρYf2(v))
)et{
p = p1(ρ(1−Y )/(1−α2)),
p1(ρ(1−Y )/(1−α2)) = p2(ρY/α2).
Principe
Ecriture du modèle bifluide en variables de mélange
ρ = α1ρ1 + α2ρ2, ρu = α1ρ1u1 + α2ρ2u2, ρY = α2ρ2,
ur = u2−u1, p = α1p1 + α2p2, pr = p2−p1,
Chapman-Enskog sur ur et pr et passage en coordonnées Lagrangiennes
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Colonne à bulles
x
x = 0
Entrée
Sortie
g
p1 = p2 = pout
α in1 ,p1 = p2 = pin,uin
1 ,uin2
Modèle de drift-fluxEquilibre force de flot-tabilité/force de traînée
Modèle bifluideDeséquilibre entre les phases
Technique du modèle père
Décentrement des termes derelaxation en vitesses
On applique différents ε
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Colonne à bulles avec ε2 = 10−1
0.94
0.945
0.95
0.955
0.96
0.965
0.97
0.975
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
x
bifluidedrift
couplage
Fraction α1 à T = 5×10−3s
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Colonne à bulles avec ε2 = 10−1
0.9
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
x
bifluidedrift
couplage
Fraction α1 à T = Tsta
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Colonne à bulles avec ε2 = 10−3
0.954
0.956
0.958
0.96
0.962
0.964
0.966
0.968
0.97
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
x
bifluidedrift
couplage
Fraction α1 à T = 5×10−3s
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Résultats numériques
Colonne à bulles avec ε2 = 10−3
0.95
0.951
0.952
0.953
0.954
0.955
0.956
0.957
0.958
0.959
0.96
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
x
bifluidedrift
couplage
Fraction α1 à T = Tsta
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
BibliographieCouplage interfacial de modèles
A. Ambroso, C. Chalons, F. Coquel, E. Godlewski, F. Lagoutière, P.-A. Raviart, N.Seguin, The Coupling of Homogeneous Models for Two-Phase Flows, Int. J.Finite Volumes, 4 (1), 1–39, 2007.
J.-M. Hérard, O. Hurisse, Couplage interfacial d’un modèle homogène et d’unmodèle bifluide, H-I81-2006-04691-FR, EDF-DRD, 2006.
Approche par relaxation
A. Ambroso, C. Chalons, F. Coquel, E. Godlewski, F. Lagoutière, P.-A. Raviart, N.Seguin, A Relaxation Method for the Coupling of Systems of Conservation Laws,Hyperbolic Problems : Theory, Numerics, Applications, Springer BerlinHeidelber, 947–954, 2008.
C. Chalons, F. Coquel, Navier-Stokes Equations with Several IndependentPressure Laws and Explicit Predictor-Corrector Schemes, Numer. Math., 101(3), 451–478, 2005.
Modèle bifluide à deux pressions
T. Gallouët, J.-M. Hérard, N. Seguin, Numerical Modeling of Two-Phase Usingthe Two-Fluid Two-Pressure Approach, M3AS, 14 (5), 663–700, 2004.
D.W. Schwendeman, C. W. Wahle, A. K. Kapila, The Riemann Problem and aHigh-Resolution Godunov Method for a Model of Compressible Two-Phase Flow ,J. Comput. Phys., 212, 490–526, 2006.
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Sommaire
1 Introduction générale
2 Couplage interfacial de modèles en dynamique des gaz
3 Couplage interfacial avec terme source mesure
4 Relaxation et approximation numérique d’un modèle bifluide à deux pressions
5 Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux
6 Conclusion et perspectives
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1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion
Conclusion et perspectives
Travaux et avancées
Mise en évidence des avantages et inconvénients de la condition de couplagepar flux et des différentes conditions de couplage par état
Contrôle des pertes de conservation par l’ajout d’un terme source mesurerestauré numériquement de manière exacte par l’approche par relaxation
Développement d’un schéma par relaxation pour le modèle bifluide
Dérivation formelle du modèle de drift-flux à partir du modèle bifluide etréalisation du couplage bifluide/drift
Perspectives et applications
Terme source mesure : couplage milieu libre/milieu poreux
Extension de l’approche par relaxation au modèle avec énergie
Développement dans un cadre industriel d’un coupleurExemple : couplage interfacial CATHARE-FLICA
Couplage de modèles d’écoulements diphasiques
Problème de couplage
xx = 0
HEM, x < 0, t > 0∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + pE ) = 0,
∂t (ρE) + ∂x (ρEu + pE u) = 0,
HRM, x > 0, t > 0∂t m1 + ∂x (m1u) = λ (m?
1(ρ)−m1),
∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + pR) = 0,
∂t (ρE) + ∂x (ρEu + pRu) = 0.
z : taux de présence de la phase 1 et m1 = zρ1 masse partielle de la phase 1
ρk , uk , εk : densité, vitesse et énergie interne de la phase k = 1,2, avec u1 = u2
Variables de mélangeρ = zρ1 + (1− z)ρ2,
ρε = zρ1ε1 + (1− z)ρ2ε2,
p = zp1(ρ1,ε1) + (1− z)p2(ρ2,ε2).
HEM : Homogeneous Equilibrium Model, pE ≡ pE (ρ,ε)
HRM : Homogeneous Relaxation Model, pR ≡ pR(ρ,ε,m1) avecpR(ρ,ε,m?
1)≡ pE (ρ,ε) où m?1 est la masse partielle de la phase 1 à saturation
Couplage de modèles d’écoulements diphasiquesConditions de couplage
Approche globalement conservative : couplage par flux
Modèle père pour x ∈ R, t > 0 :∂t m1 + ∂x (m1u) = µ(x)(m?
1(ρ)−m1),
∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,
∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p) = 0,
∂t (ρE) + ∂x (ρE + p)u = 0,
où p = pR(ρ,ε,m1),
avec
µ(x) =
{+∞ si x < 0,
λ si x > 0.
Approche non conservative : couplage par état
en x = 0, le modèle HEM est complété par une condition de bord de typeDirichlet donnée par les trois dernières composantes de uR(0+, t) ;
en x = 0, le modèle HRM est complété par une condition de bord de typeDirichlet donnée par le vecteur
(m?
1(ρ(0−, t)),uE (0−, t)).
Couplage de modèles d’écoulements diphasiques
Profile uniforme en pression : densité
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
(r,ru,rE)(r,ru,e+p)
(r,ru,p)Flux
(ρ,ρu,ρE)(ρ,ρu,h)(ρ,ρu,p)Flux
Couplage de modèles d’écoulements diphasiques
Profile uniforme en pression : fraction de vapeur
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
(r,ru,rE)(r,ru,e+p)
(r,ru,p)Flux
(ρ,ρu,ρE)(ρ,ρu,h)(ρ,ρu,p)Flux
Couplage interfacial avec terme source mesureCalcul d’un terme source optimal
Soit la fonctionnelle convexe
J : Mρu ∈Dadm 7→J (Mρu) ∈ R.
On résout à chaque itération en temps le Problème d’Optimisation sousContraintes suivant :
Trouver un terme source optimal M oρu ∈Dadm tel que
J (M oρu)≤J (Mρu), ∀Mρu ∈Dadm
Exemple : contrainte de perte de conservation maximale via M tolρu
J (Mρu) = κ
(∣∣Mρu∣∣−M tol
ρu
)2
++(Mρu−M T
ρu
)2, Mρu ∈Dadm,
où on a noté
a+ =
{a, si a > 0,
0, sinon.
Paramètre κ � 1 donné et fixé
M Tρu : poids correspondant à condition de couplage par état en (ρ,u)
Couplage interfacial avec terme source mesure
Cas du 2-choc pur avec M tolρu = 0.275
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
t
Mρu
Mρu, tol
Densité Terme source
Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de driftTechnique du modèle père (≡ modèle bifluide à deux pressions)
Première étapeLa solution discrète du modèle père un
j+1/2 coïncide avec la solution du modèlebifluide pour j < 0 et avec le relèvement de la solution de drift :
unj+1/2 = Run
j+1/2, j > 0.
Deuxième étapeun
j+1/2, j ∈ Z→ Méthode avec décentrement des termes sources→ Relaxation
partielle des pressions→ Prise en compte de la gravité→ un+1−j+1/2, j ∈ Z
Troisième étapeSolutions discrètes des deux modèles au temps tn+1 données par
un+1j+1/2 = un+1−
j+1/2, j < 0,
(α1)n+1−j+1/2 = (α1)n+1−
j+1/2,
(α1ρ1)n+1−j+1/2 = (α1ρ1)n+1−
j+1/2,
(α2ρ2)n+1−j+1/2 = (α2ρ2)n+1−
j+1/2,
(α1ρ1u1)n+1−j+1/2 + (α2ρ2u2)n+1−
j+1/2 = (α1ρ1u1)n+1−j+1/2 + (α2ρ2u2)n+1−
j+1/2,
(ur )nj+1/2 = Φ(un+1−
j+1/2),
j > 0.
Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift
Méthode avec décentrement des termes sources
Soit la variable χ définie de la manière suivante :
∂x χ =λ (u) |u2−u1|(u1−u2)
α1ρ1(u1−u2)=
λ (u) |u2−u1|α1ρ1
et assujétie à l’équation de transport : ∂t χ + u2∂x χ = 0
On cherche à résoudre le système suivant :
∂t α1 + u2∂x α1 = 0, x ∈ R, t > 0,
∂t (α1ρ1) + ∂x (α1ρ1u1) = 0,
∂t (α1ρ1u1) + ∂x (α1ρ1u21 + α1p1)−p1∂x α1+ m
ε2 ∂x χ = 0,
∂t (α2ρ2) + ∂x (α2ρ2u2) = 0,
∂t (α2ρ2u2) + ∂x (α2ρ2u22 + α2p2) + p1∂x α1− m
ε2 ∂x χ = 0,
∂t (α2ρ2χ) + ∂x (α2ρ2χu2) = 0.
m = α1ρ1(u1−u2) : débit de masse relatif et invariant de Riemann pour l’ondede couplage de vitesse u2 (champ LD)
Résolution du système via l’approche par relaxation