Control de procesos industriales I
Ing. Ángela Bravo Sánchez M.Sc
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
MODELADO MATEMÁTICO
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado matemático
Un modelo matemático de un sistema dinámico
se define como un conjunto de ecuaciones que
representan la dinámica del sistema
La dinámica de muchos sistemas, ya sean
mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,
biológicos, etc., se describe en términos de
ecuaciones diferenciales.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado matemático
Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a
partir de leyes físicas que gobiernan un sistema
determinado, como las leyes de Newton para
sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff
para sistemas electrices.
Ej: segunda ley de Newton
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado matemático
Simplicidad frente a precisión:
Al obtener un modelo matemático de un sistema
es importante llegar a un compromiso entre
precisión y simplicidad del modelo
Para obtener un modelo matemático
simplificado, es necesario ignorar ciertas
propiedades físicas inherentes al sistema e
ignorara las no linealidades y parámetros
distribuidos que pueden hacer difícilmente
analizable al sistema
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Parámetros concentrados y distribuidos
Parámetros concentrados
Cuando se trata de modelar matemáticamente fenómenos o
sistemas reales con frecuencia se utilizan entidades ideales
(masa puntual, carga concentrada en un punto del espacio
etc.)
Es decir, consideramos que los valores que determinan las
características físicas de los objetos se encuentran
concentrados en un punto. Estas entidades que no tienen
existencia real reciben el nombre de elementos de
parámetros concentrados.
Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización
de ecuaciones diferenciales ordinarias.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Parámetros concentrados y distribuidos
Parámetros distribuidos
En el mundo real las masas no son puntuales, las
resistencias eléctricas presentan un efecto
capacitivo e inductivo distribuido a lo largo del
componente
Estos modelos suelen estar caracterizados por la
utilización de ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Modelos determistas y no deterministas
Modelos determistas
Se dice que un modelo es determinista cuando el
comportamiento del sistema queda determinado
por la especificación de las condiciones iniciales y
la evolución de las magnitudes de entrada.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Modelos determistas y no deterministas
Modelos no deterministas
Se dice que un modelo es no determinista cuando
intervienen fenómenos aleatorios, imposibles de
modelar y predecir.
Para unas mismas condiciones iniciales e igual
evolución de las magnitudes de entrada, el
sistema evolucionará cada vez de una forma
distinta.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones: Ecuaciones variantes e
invariantes en el tiempo.
Ecuaciones variantes en el tiempo
Una ecuación diferencial es variable en el tiempo,
si alguno de los coeficientes que multiplican a la
variable dependiente o a sus derivadas es función
del tiempo.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones: Ecuaciones variantes e
invariantes en el tiempo.
Ecuaciones invariantes en el tiempo.
Una ecuación diferencial es invariante en el
tiempo si todos los coeficientes que multiplican a
la variable dependiente o a sus derivadas son
constantes
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Linealidad y no linealidad
Linealidad
Una ecuación diferencial lineal es aquella que
consiste en una suma de términos lineales, o sea,
términos de primer grado en la variables
dependientes y en sus derivadas.
Ejemplo de no linealidad
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Sistemas lineales
Un sistema se denomina lineal si se aplica el
principio de superposición.
Este principio establece que la respuesta
producida por la aplicación simultánea de dos
funciones de entradas diferentes es la suma de
las dos respuestas individuales.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
Sistemas no lineales
A un sistema lineal no se le puede aplicar el
principio de superposición
Los procedimientos para solucionar sistemas no
lineales son complicados. Por tal motivo resulta
necesario considerar sistemas lineales
«equivalentes». Tales sistemas son solo validos
en un rango limitado de trabajo.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Definiciones
La mayoría de los fenómenos del mundo real
presentan características no lineales.
Los sistemas lineales resultan convenientes por
la sencillez en su tratamiento y análisis.
Mientras que las ecuaciones con no lineales son
de difícil manejo
Gracias a la linealización de ecuaciones no
lineales es posible aplicar numerosos métodos
de análisis lineal que producirán información
acerca del comportamiento del sistema no lineal
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA
Existen distintas formas de expresar el modelado
matemático de un sistema dinámico:
Descripción interna
Descripción externa
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA
Descripción interna
Representaciones que consideran ecuaciones
diferenciales que modelan la evolución de las variables de
estado. Las ecuaciones diferenciales que componen una
representación interna suelen llamarse modelos de estado
Descripción externa
Las representaciones que únicamente consideran las
ecuaciones diferenciales que relacionan las variables de
entrada y salida se denominan descripciones externas
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
CONCEPTOS BÁSICOS:
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
DIAGRAMA EN BLOQUES
MODELADO EN EL ESPACIO DE
ESTADOS
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Función de transferencia
En la teoría de control, a menudo se usan las
funciones de transferencia para caracterizar las
relaciones de entrada-salida de componentes.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Función de transferencia
Un sistema dinámico puede ser descrito por la
siguiente ecuación diferencia invariante en el
tiempo:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Función de transferencia
Pasando la ecuación al dominio de Laplace y
considerando que las condiciones iniciales son
cero se obtiene:
La función de trasferencia entre y(t) y u(t) está
dada por:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Función de transferencia
Las raíces de N(s) son llamadas polos del
sistema
Las raíces de M(s) son llamadas ceros del
sistema
Función característica se obtiene al igualar el
denominador a cero N(s)=0
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Función de transferencia
Una función de transferencia tiene las siguientes
características:
La función de trasferencia está definida
únicamente para sistemas lineales.
Todas las condiciones iniciales del sistemas son
fijadas a cero
La función de trasferencia es independiente a la
entrada del sistema
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
MATLAB
OPCIÓN 1
s = tf('s');
H = s/(s^2 + 2*s +10)
Transfer function:
s
--------------
s^2 + 2 s + 10
OPCIÓN 2
h = tf([1 0],[1 2 10])
Transfer function:
s
--------------
s^2 + 2 s + 10
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Diagrama en bloques
Un sistema de control puede consistir, en
general, por un cierto número de componentes.
Con el fin de mostrar las interacciones
existentes de forma cómoda, se acostumbra a
usar una representación gráfica denominada
diagrama a bloques.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Diagrama en bloques
Un diagrama de bloques es una
representación grafica de una función de
trasferencia.
Muestra la relación existente entre los diversos
componentes e indica el flujo de las señales del
sistema real
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Diagrama en bloques
Un bloque funcional o “bloque”, es un símbolo para
representar la operación matemática que sobre la señal
de entrada hace el bloque para producir la salida.
Las funciones de transferencia de los componentes por
lo general se introducen en bloques correspondientes,
que se conectan mediante flechas para indicar la
dirección de flujo de señal.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Diagrama en bloques: Simbología
Bloque ó bloque funcional:
Punto suma ó diferencia:
Punto de ramificación
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
La modificación de los diagramas en bloques
para efectuar simplificaciones u ordenaciones
se denomina algebra de diagrama de bloques
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques Cascada o serie
X2(s) X1(s)
C(s)
?
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques Cascada o serie
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques Paralelo
?
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques Paralelo
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques retroalimentados
?
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Asociación de bloques retroalimentados
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Intercambio del orden de los bloques
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Intercambio en el orden de los bloques
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Algebra de diagrama de bloques
Combinación o expansión del bloque
suma/resta
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Ejemplo de algebra de diagrama de
bloques
Simplifique
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Ejemplo de algebra de diagrama de
bloques
Paso 1
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Ejemplo de algebra de diagrama de
bloques
Paso 2
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Ejemplo de algebra de diagrama de
bloques
Paso 3
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Ejemplo de algebra de diagrama de
bloques
Paso 4
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
MATLAB
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
MATLAB
Ejemplo
G1(s)=4
G2(s)=1/(s+2)
H(s) = 5 s
G1 = tf([0 4],[0 1]);
G2 = tf([0 1],[1 2]);
H = tf([5 0],[0 1]);
SYS = feedback(G1*G2,H)
Transfer function:
4
--------
21 s + 2
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Procedimiento para dibujar un
diagrama en bloques
1. Escriba las ecuaciones que describen el
comportamiento dinámico de cada componente
2. Obtenga las transformadas de Laplace de
estas ecuaciones, suponiendo que las
condiciones iniciales son cero.
3. Represente individualmente en forma de
bloques cada ecuación transformada por el
método de Laplace
4. Por último, integre los elementos en un
diagrama de bloques completo
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Procedimiento para dibujar un
diagrama en bloques
Ejercicio: Circuito RC
1. Escriba las ecuaciones que describen el
comportamiento dinámico de cada
componente. En este caso i y eo
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Procedimiento para dibujar un
diagrama en bloques
1. Escriba las ecuaciones que describen el
comportamiento dinámico de cada
componente. En este caso i y eo
2. Obtenga las transformadas de Laplace de
estas ecuaciones, suponiendo que las
condiciones iniciales son cero.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Procedimiento para dibujar un
diagrama en bloques
2. Obtenga las transformadas de Laplace de estas
ecuaciones, suponiendo que las condiciones
iniciales son cero.
3. Represente individualmente en forma de
bloques cada ecuación transformada por el
método de Laplace
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Procedimiento para dibujar un
diagrama en bloques
3. Represente individualmente en forma de
bloques cada ecuación transformada por el
método de Laplace.
4. Por último, integre los elementos en un
diagrama de bloques completo
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Procedimiento para dibujar un
diagrama en bloques
4. Por último, integre los elementos en un
diagrama de bloques completo
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
MODELADO EN EL ESPACIO DE
ESTADOS
La tendencia moderna en los sistemas de
ingeniería es hacia una mayor complejidad.
Los sistemas complejos pueden tener entradas
y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo.
El modelado en el espacio de estados permite
considerar aquellos sistemas de múltiples
entradas y múltiples salidas.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Estado
Es el conjunto de variables, tales que el
conocimiento de esas variables, determinan el
comportamiento del sistema.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Variables de estado
Es un conjunto de variables que determinan el
estado del sistema. Se necesitan n variables
para describir totalmente el comportamiento de un
sistema dinámico X1,X2, … ,Xn
Vector de estado
Es un vector con las n variables de estado.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Espacio de estados.
Es un espacio de n dimensiones cuyos ejes de
son las variables de estado X1,X2,…,Xn.
Cualquier estado puede representarse mediante
un punto en el espacio de estados.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Ecuaciones de estados
Conjunto de n ecuaciones diferenciales
simultaneas de primer orden con n variables,
donde las n variables al ser despejadas son las
variables de estado.
Ecuación de salida
Ecuación algebraica que expresa las variables de
salida del sistema como combinaciones lineales
de las variables de estado y las entradas
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Considere un sistemas dinámico lineal
invariante en el tiempo, de múltiples entradas y
múltiples salidas
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
El sistema está representado en el espacio de
estados por la siguiente ecuación
Dónde:
Ecuación de estados
Ecuación de salida
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
u: un vector que contiene cada una de las p entradas al
sistema
y: un vector que contiene cada una de las q salidas al
sistema
x: es un vector que contiene cada una de las n variables
de estado del sistema
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
El tamaño de las matrices debe ser el
adecuado:
p entradas al sistema
q salidas al sistema
n variables de estado del sistema
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Ejercicio: Obtener el diagrama en bloques
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Obtención de las ecuaciones de estado
La representación en espacio de estado puede ser
derivada desde las ecuaciones diferenciales que
representan a un sistema.
1. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento del
sistema. Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley
de Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de
Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.
2. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimas
que determinan el comportamiento dinámico del sistema.
3. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razón
de cambio respecto al tiempo de cada variable de estado (su
derivada).
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Ejemplo
Considere el sistema mecánico
u(t) es una fuerza externa
y(t) es el desplazamiento de la masa
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Cuál es la variable de
entrada del sistema?
Cuál es la variable de
salida del sistema?
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Cuál es la variable de
entrada del sistema? La fuerza externa u(t) es la entrada
para el sistema.
Cuál es la variable de
salida del sistema? el desplazamiento y(t) de la masa es
la salida.
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La ecuación del sistema es
Definamos las variables de estado
x1(t) y x2(t) como:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Obtenemos
De acuerdo a (2) obtenemos
(2) (1)
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La forma matricial de estas ecuaciones es:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La forma matricial de estas ecuaciones es:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La ecuación de salida es:
En forma matricial
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La ecuación de salida es:
En forma matricial
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
En resumen,
La forma estándar es:
Donde:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La forma estándar es:
Donde:
Diagrama en bloques es:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
La forma estándar es:
Donde:
Diagrama en bloques es:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Ejercicio:
Calcular la Función de transferencia
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Aplicando Laplace, con x(0)=0
Despejamos x(s) (multiplicamos por en ambos lados )
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Por otro lado
Y
Remplazando
Por lo tanto la función de transferencia es:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
Se puede reescribir como:
Donde
Polinomio característico
Polinomio en s
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
EJERCICIO
Obtenga la función de transferencia
del sistema descrito por las
siguiente ecuación de estado:
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
De las ecuaciones de estado obtenemos los
valores de A, B, C Y D
Remplazamos en la ecuación de la función de
transferencia
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
Modelado en el espacio de estados
MATLAB
syms k m b s
A=[0 1; -k/m -b/m]
B=[0; 1/m]
C=[0 1]
D=0
%Forma Manual
G=C*(s*eye(2)-A)^(-1)*B+D
G=
s/(m*s^2 + b*s + k)
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012
MATLAB
El comando ss2tf retorna el numerador y
denominador de la función de trasferencia
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
El comando tf2ss convierte la función de
transferencia de un sistema en la forma espacio
de estado
[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)