“Curso de Nivelación de Matemática”
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Marzo 2017
CURSO DE NIVELACIÓN DEmatemática
“Curso de Nivelación de Matemática”
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PROGRAMA ANALÍTICO DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto de números naturales.
Conjunto de números enteros.
Conjunto de números racionales.
Conjunto de números irracionales.
Conjunto de números reales.
Conjunto de los números enteros: recta numérica, operaciones, problemas de aplicación, ejercicios combinados.
UNIDAD 4 UNIDADES DE MEDIDA
Longitud
Peso
Capacidad
Pulgada
Área ( y volumen
Conversiones. Resolución de problemas
UNIDAD 2 NÚMEROS RACIONALES: Fracciones
El conjunto racional.
Ubicación en la recta numérica.
Orden y comparación.
Fracciones equivalentes: Amplificación y Simplificación.
Suma y resta de fracciones con igual denominador.
Suma y restas de fracciones con distinto denominador.
Multiplicación y división de fracciones.
Ejercicios combinados.
UNIDAD 5 GEOMETRÍA EN EL PLANO
Clasificación de los cuerpos geométricos
Triangulo Rectángulo o Teorema de Pitágoras
Cuadrado
Rectángulo
Circunferencia
Calculo de Área y Perímetro. Resolución de problemas
UNIDAD 3 NÚMEROS RACIONALES: Decimales
Expresión decimal de números racionales.
Pasaje de expresión decimal a fracción.
Fracciones decimales.
Porcentaje. Cálculo de Regla de tres simple.
Suma y resta de expresiones decimales.
Multiplicación y división de expresiones decimales.
Resolución de problemas
UNIDAD 6 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
Superficie lateral
Superficie total.
Volumen.
Cubo
Prisma
Cilindro
Esfera Resolución de problemas.
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UNIDAD I ~ Conjuntos numéricos
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El conjunto de los Números Naturales es el primer conjunto con el que se
comienza a operar en matemática. Este conjunto surge ante la necesidad que tuvo el
hombre de contar los elementos de la naturaleza que lo rodeaban. Simbólicamente se lo
expresa con la letra IN.
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Este conjunto se caracteriza por:
Tener un número infinito de elementos
Su primer elemento en el número 1 y no tiene un último elemento
Cada elemento tiene un sucesor, y todos excepto el 1, un antecesor.
Entre dos números consecutivos no existe otro número natural, por eso decimos que
el conjunto de los números naturales es discreto (no continuo)
En el conjunto de los Números Naturales podemos realizar las operaciones
de suma y multiplicación sin ningún inconveniente, siendo el resultado de estas operaciones
también un número natural. No ocurre lo mismo con la resta y la división.
Actividad:
I. Indicar cuál de los siguientes números pertenecen a IN:
a) 145 c) 11 e) 3/2
b) -50 d) 3,575 f) 5
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II. Ordenar de menor a mayor:
a) 7 , 23 , 2 , 10 , 4 , 35 , 27 , 1
El Conjunto de los Números Enteros se crea
para dar solución a un tipo de resta muy particular que no se
puede resolver en el conjunto de los números naturales. Dicha
resta es aquella que tiene un minuendo mayor que el
sustraendo, (como por ej.: 5 – 20).
Esta operación en el conjunto de los números
enteros tiene la siguiente solución: 5 – 20 = Nacen de
este modo los números negativos. El conjunto de los números enteros está formado por los
números positivos, los negativos y el cero. Es decir, es la unión de los subconjuntos , y
el cero.
Simbólicamente el conjunto de números enteros se denota con la letra .
= {..., –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Gráficamente en la recta numérica hacia la derecha del cero se encuentra los
enteros positivos (números naturales) y hacia la izquierda los enteros negativos.
Representación gráfica de
Recordar: “El conjunto incluye al conjunto IN, es decir que todo número
natural es también un número entero. Pero no todo número entero es un
número natural”.
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Actividad:
I. Indicar que números pertenecen a :
a) 0 e) 548
b) 2/5 f) - 79
c) - 14 g) 1000
d) 1,65 h) - 37
II. Completar el siguiente mapa conceptual:
III. Observar la temperatura que marca cada termómetro y elige la opción correcta:
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Al igual que los conjuntos anteriormente
estudiados, el conjunto de los Números Racionales se crea
para dar solución a una operación en particular, la división
formada por un dividendo que no es múltiplo del divisor. Este
tipo de divisiones no tienen por resultado un número entero.
De este modo, el conjunto de los Números
Racionales está formado por las fracciones y sus equivalentes
decimales, (decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto) incluyendo
también a los números naturales y enteros.
Cualquier número que pueda expresarse con fracción es número racional. El
término racional proviene de ración que significa parte.
Para la notación simbólica se usa la letra .
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A medida que se grafican los conjuntos numéricos, la recta numérica se va
completando
Ejemplos de números racionales:
Actividad
Dar ejemplos de números racionales:
a) d)
b) e)
c) f)
El conjunto de los números irracionales reúne a
ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores.
Entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi
(π), etc.
La particularidad que tienen los irracionales es
que son números que no pueden ser expresados como una
fracción entre dos enteros porque poseen infinitas cifras
decimales todas diferentes, por ello decimos que es un conjunto que esta apartado de los
anteriores.
Simbólicamente se identifica con la letra
El primer número irracional que se descubrió fue √ y el segundo fue .
Luego se fueron descubriendo una infinidad de números irracionales.
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“PI” es un número irracional. Se han calculado
más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse.
El número “E”, (el número de EULER) es otro
número irracional. Se han calculado muchas cifras
decimales de “E” sin encontrar ningún patrón.
La “RAZON DE ORO” ó “NUMERO AUREO”
es un número irracional, equivale a √
Los números irracionales también pueden graficarse sobre la recta numérica,
a pesar de tener infinitas cifras decimales diferentes. Los puntos correspondientes a estos
números completan la recta:
Actividad
Indica que números pertenecen al conjunto :
a) 3 d) 1,284509…
b) √ e) 13/5
c) 2,0987345721 f) π
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El conjunto de los Números Reales se representa
con la letra IR. Lo integran:
El conjunto de los Números Racionales ( ), que a su
vez incluyen a los Enteros ( ) y estos a los Naturales (IN)
El conjunto de los Números Irracionales ( ) que está
formado por los números que tienen infinitos decimales
no periódicos.
Por esta característica, se llaman Números Reales
a todos aquellos números que se pueden expresar en forma de
decimal finito o infinito; es decir, como elemento de ó de
Actividad
Clasificar los siguientes números de acuerdo al conjunto al que pertenecen
a) e) i)
b) f) j) 57
c) √
g) π k)
d) h) l) √
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6.1 Suma y Resta
La suma y resta de números enteros, se puede presentar de cuatro formas
distintas de acuerdo al signo de los números intervinientes:
Procedimiento:
1_ Cuando los dos números tienen el mismo signo la operación mental a realizar es la suma de los valores absolutos de ambos números, y el resultado lleva el mismo signo.
2_ Cuando ambos números tienen distinto signo, la operación mental es, restar al mayor valor absoluto el menor valor absoluto y el resultado lleva el signo del mayor valor
absoluto.
Observa como utilizamos los números enteros en nuestra vida cotidiana:
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6.2 Multiplicación y División
Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta los signos
de cada uno de los factores y “aplicar la regla de los signos”.
REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACION
“En la división se procede de la misma forma como muestra el ejemplo”
Pasos a seguir para resolver un ejercicio combinado con números enteros:
I. Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
a) d) g)
b) 15+12= e) h)
c) f) i)
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II. Resolver los siguientes ejercicios combinados:
a.
b.
c.
d.
e. [ ]
f.
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UNIDAD iI
NÚMEROS racionales: Fracciones
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Una fracción es un número compuesto por dos
elementos y representa una porción de un todo, por ejemplo,
media manzana, un pastel cortado en tres raciones para tres
personas, etc. Siempre uno de los dos números representará las
partes que se deben tomar, y el otro, el número de porciones en
que se dividirá la unidad. Por ello, la palabra fracción significa
dividir una cosa en partes iguales
Definición: Un número racional b
a es el cociente de dos números enteros “
y , con .
Cuando hablamos de números racionales nos referimos al conjunto de
números fraccionarios y sus expresiones decimales equivalentes.
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para
representar partes de un todo. Los números racionales pueden expresarse como fracción y
también como un número decimal, pero a veces es más conveniente trabajarlos como
fracción antes que convertirlos a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de
decimales que se podrían obtener.
Este conjunto se puede graficar sobre la recta numérica pero a diferencia de
los números enteros entre cada número racional existen infinitos números racionales
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A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA y SOBRE LA RECTA
Para representar una fracción gráficamente, se debe observar el numerador y
denominador. El denominador indica la cantidad de partes iguales en la que se divide
el entero y el numerador cuantas partes debemos considerar.
Ejemplos:
Para representar fracciones en la recta numérica se aplica el mismo concepto
trabajado en la representación gráfica, tomando la distancia entre 0 y 1 como un
entero.
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B. FRACCIONES EQUIVALENTES
Las fracciones equivalentes son fracciones que poseen distintos numeradores
y denominadores pero representan la misma cantidad o valor numérico, dicho en otras
palabras, representan el mismo número racional.
Actividad:
Graficar sobre la recta numérica los siguientes números fraccionarios:
a)𝟐
𝟓 d)
𝟕
𝟐
b)𝟔
𝟏𝟎 e)
𝟖
𝟖
c) 𝟒
𝟕 f)
𝟏𝟐
𝟓
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Una fracción es IRREDUCIBLE cuando el numerador y denominador tienen como único
divisor en común el número “1”, es decir, no se puede seguir simplificando. La
simplificación permite llegar a la fracción irreducible
C. OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA
La suma y resta de fracciones presenta dos situaciones
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR
Para sumar o restar fracciones del mismo denominador, se suman o restan los
numeradores y se deja el mismo denominador
Ejemplo
Actividad:
Hallar tres fracciones equivalentes a las dadas:
a)𝟏
𝟒 d)
𝟐
𝟕
b)𝟑
𝟓 e)
𝟑
𝟒
c)𝟓
𝟐 f)
𝟔
𝟏𝟏
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SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
un común denominador que es el mínimo común múltiplo de los denominadores;
después se divide ese denominador por cada uno de los denominadores dados y el
resultado se multiplica por el numerador correspondiente. Por último se suman o
restan los numeradores resultantes y se conserva el común denominador.
Ejemplo
m.c.m.
m.c.m.
m.c.m.
Para obtener el m.c.m. se desarrollan los múltiplos de cada denominador, y de toma
el menor de todos los múltiplos iguales
Actividad
Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones:
a-𝟐
𝟑
𝟔
𝟑 d-
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟓
𝟐
b-𝟏𝟑
𝟖
𝟕
𝟖 e-
𝟓
𝟔
𝟏𝟑
𝟖
𝟓
𝟒
c-𝟏𝟐
𝟕
𝟒
𝟕
𝟖
𝟕 f-
𝟐
𝟕
𝟓
𝟑
𝟏
𝟐
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MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar dos o más fracciones se multiplican los numeradores entre sí,
al igual que los denominadores. Es decir, la fracción resultante tiene por numerador el
resultado del producto de todos los numeradores dados y por denominador, el resultado del
producto de todos los denominadores correspondientes. No olvidar aplicar la regla de los
signos en caso de ser necesario.
Ejemplo:
DIVISIÓN
La división de fracciones se convierte en una multiplicación. Se multiplica la
primer fracción por la reciproca de la segunda fracción. (Fracción invertida)
Ejemplo
Actividad
Calcular las siguientes multiplicaciones:
a-𝟐
𝟑
𝟒
𝟓 c-
𝟐
𝟕
𝟏𝟐
𝟓
𝟓
𝟐
b-𝟓
𝟒
𝟑
𝟕 d-
𝟑
𝟐
𝟕
𝟓
𝟐
𝟗
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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
En una operación combinada con fracciones se puede encontrar sumas,
restas multiplicaciones, divisiones, etc. A la hora de resolver hay que tener en cuenta lo
siguiente
1) Convertir a fracción los números decimales.
2) Separar en términos (los signos “+” y “-“separan términos.
3) Resolver las operaciones que estén entre paréntesis, corchetes y llaves.
4) Efectuar los productos y cocientes
5) Realizar las sumas y restas.
6) Simplificar las fracciones siempre que sea posible para que las cuentas a realizar sean
más simples
Ejemplo:
⌈(
) (
)⌉
[(
) (
)]
[
]
Actividad
Realizar las siguientes divisiones con fracciones:
a-𝟒
𝟓 ∶
𝟑
𝟖 c
𝟑
𝟐 ∶
𝟒
𝟗
b-𝟑
𝟒 ∶
𝟐
𝟒 d
𝟏
𝟕 ∶
𝟑
𝟓 ∶
𝟐
𝟑
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Actividad
Operar los siguientes ejercicios combinados:
a- 𝟐
𝟕 𝟓
𝟐
𝟏
𝟓
𝟑
𝟏𝟎 c-
𝟕
𝟑
𝟒
𝟓 𝟐
𝟑
𝟓
b- 𝟓
𝟒
𝟑
𝟐
𝟕
𝟖
𝟏𝟕
𝟐𝟒 d-
𝟓
𝟐
𝟏𝟓
𝟒
𝟏
𝟔
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
ACTIVIDADES
I. Realizar las siguientes sumas de fracciones graficando el resultado y luego ubica
sobre la recta numérica :
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II. Realizar los siguientes ejercicios combinados de fracciones:
(
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
(
)
(
) (
)
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UNIDAD iIi
NÚMEROS racionales: decimales
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Los números decimales nacen como una forma especial de la escritura de las
fracciones, de manera que la “coma” o “punto decimal” separa a la parte entera de la
decimal. Si no hay parte entera se coloca un cero delante de la coma.
Dicho de otra forma, la expresión decimal de una fracción es el cociente que
se obtiene al dividir el numerador por el denominador, este cociente puede ser un decimal
con una cantidad finita o infinita de cifras decimales.
Los números decimales forman parte del conjunto de números racionales.
A. CLASIFICACIÓN DE NUMEROS DECIMALES:
De acuerdo a la cantidad de cifras en su parte decimal, los números decimales pueden
clasificarse en:
EXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es finita
Ejemplos:
INEXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es infinita
PERIÓDICO PURO: Es cuando el período empieza inmediatamente después
de la coma decimal
Ejemplos:
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PERIÓDICO MIXTO: Es cuando la parte periódica empieza algunas cifras
después de la coma decimal.
Ejemplos:
Actividad
Pasar a número decimal las siguientes fracciones y clasificar:
B. PASAJE DE EXPRESIÓN DECIMAL A FRACCIÓN
• Decimal Exacto o Finito a Fracción: Se escribe en el numerador de la fracción, la
expresión decimal sin la coma (como números enteros), y en el denominador un uno
seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el decimal exacto.
Ejemplos:
Actividad
Pasar a fracción los siguientes números decimales:
• Decimal Periódico Puro a Fracción: La fracción correspondiente a un decimal
periódico puro tiene como numerador la diferencia (resta) entre la expresión decimal
escrita sin la coma, y la parte anterior al período. Y como denominador, tantos 9
como cifras tenga el período.
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Ejemplo
Recordar:
Actividad
Pasar a fracción los siguientes números decimales:
f
Decimal periódico mixto: El decimal periódico mixto tendrá como numerador la diferencia
(resta) entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al período; y como denominador
tantos 9 como cifras tenga el período y otros tantos ceros como cifras tenga el ante período.
Ejemplo:
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Actividad
Convertir en fracción los siguientes números decimales:
f
C. REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES EN LA RECTA
Los números decimales, “racionales”, también pueden graficarse sobre la recta
numérica. De acuerdo al número decimal con el que se trabaje se deben tener en
cuenta los siguientes pasos:
1) Para ubicar los décimos se divide la distancia entre dos números enteros
consecutivos en 10 partes iguales.
DÉCIMOS
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2) Para ubicar los centésimos se divide la distancia entre dos números enteros consecutivos en
100 partes iguales.
CENTÉSIMOS
Actividad
Representar sobre la recta numérica los siguientes números decimales:
f
D. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
La suma y resta con números decimales se realiza siguiendo un procedimiento
similar a la suma y resta de números naturales. Es decir, se trabaja encolumnando
los elementos comunes. Para ello hay encolumnar las comas de los números a
sumar o restar, quedando de esta forma encolumnadas las cifras enteras y
decimales como lo muestra el siguiente ejemplo:
Ejemplo de suma y resta de decimales:
Puede ocurrir que en la suma o en la resta haya algún número que no lleve todas las
cifras decimales, en este caso operamos como si en su lugar hubiera un 0 (cero).
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Actividad
Resolver las siguientes sumas y restas de decimales:
E. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
La multiplicación de números decimales se realiza como si fueran números naturales.
Una vez obtenido el resultado, del mismo se separan con una coma tantas cifras
como cifras decimales tengan entre los dos números decimales multiplicados
Ejemplo:
Actividad
Realizar las multiplicaciones de decimales:
F. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
La división de decimales presenta tres situaciones distintas:
(División de un numero decimal por un numero natural)
Ejemplo:
Dividir entre
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“Se divide como si fueran números naturales y al bajar la primera cifra decimal del
dividendo, se escribe la coma en el cociente”
Ejemplo:
Dividir entre
“Como la parte entera del dividendo es menor que la del divisor, se escribe 0 (cero)
y coma en el cociente y se sigue dividiendo entre ”.
(División de un numero decimal por otro decimal)
Ejemplo:
Dividir entre
“Cuando el divisor es un numero decimal, se debe convertir el mismo a un
número natural mediante la amplificación. Para ello, se multiplica el dividendo y el
divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el
divisor”
(División de un numero natural por un numero decimal)
Ejemplo:
Dividir entre
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“Como en el caso anterior, es necesario convertir el divisor en un numero
natural, amplificándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tenga. Esta amplificación nuevamente modifica al dividendo.
Actividad
Resolver las siguientes divisiones de números decimales
a) 1,9 ÷ 7 = b) 4 ÷ 9= c) 3,41 ÷ 1,8 =
G. CÁLCULOS COMBINADOS CON NUMEROS DECIMALES
Para resolver ejercicios combinados con números decimales se aplican los pasos ya
mencionados en cálculos combinados con fracciones
1) Convertir a fracción los números
decimales. (exactos y periódicos)
2) Separar en términos (los signos “+” y “-“
separan términos.
3) Resolver las operaciones que estén entre
paréntesis, corchetes y llaves.
4) Efectuar los productos y cocientes
5) Realizar las sumas y restas.
6) Simplificar las fracciones siempre que sea
posible para que las cuentas a realizar sean más simples
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H. RESOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMATICAS
Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:
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ACTIVIDADES
1) Resolver los siguientes ejercicios combinados con números decimales
(
)
(
)
( )
( )
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UNIDAD iV
Unidades de medida
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4. UNIDADES DE MEDIDA
Desde hace muchos siglos, el hombre sintió la necesidad de efectuar mediciones, ya fuera
por relaciones comerciales, construcciones, etc.
¿A quién recurrir? La respuesta la halló en su propio cuerpo y así surgieron el
codo (la distancia del codo hasta el extremo del dedo mayor), el palmo (ancho
de la mano extendida), el dedo (ancho del dedo), el pie (largo del pie
extendido), la pulgada (ancho del dedo pulgar).
Pronto surgieron las dificultades: no todos los seres humanos tienen el mismo
tamaño y esto traía problemas en los intercambios comerciales.
¿Cuál fue la solución? En 1795 se creó el SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
* Métrico: porque la base es el metro.
* Decimal: porque la razón entre las medidas mayores y menores que el metro
siempre es potencia de 10.
La siguiente tabla de unidades diferencia entre el sistema C.G.S y el sistema M.K.S, la
magnitud que utilicemos según lo que se desea medir:
UNIDADES
Magnitud Sistema C.G.S Sistema M.K.S
Masa g kg
Longitud cm M
Tiempo s s
Velocidad cm/s m/s
Aceleración cm/s 2 m/s 2
Fuerza Dina N
Presión dina/cm 2 Pa = N/m 2
Trabajo Ergio (J) Joule
Potencia ergio/s Watt (J/s)
Momento dina.cm N.m
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4.1 Longitud
La unidad principal para medir longitud es el metro (m).
Kilómetro
0.001 km
Hectómetro
0.01 hm
Decámetro
0.1 dam
Metro
1m
Decímetro
10 dm
Centímetro
100 cm
Milímetro
1000 mm
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la
unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
Ejemplo 1:
Pasar 32 m a cm
Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una
unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el
centímetro hay dos lugares de separación.
32 m × 100 = 3200 cm
Ejemplo 2:
Pasar 46,7 dm a hm
Si queremos pasar de decímetro a hectómetro tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una
unidad menor a otra mayor)
46,7 dm: 1000 = 0,0467 dm
4.2 Peso
La unidad principal para medir peso es el gramo (g).
Kilogramo
0.001 kg
Hectogramo
0.01 hg
Decagramo
0.1 dag
gramo
1g
Decigramo
10 dg
Centigramo
100 cg
Miligramo
1000 mg
El Kg es una unidad de medida equivalente a (1000g). Se usa para medir el peso de objetos o
personas entre otros.
Para la conversión entre unidades de peso procedemos de la misma manera que en las unidades de
longitud, por lo tanto, si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de
una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad
seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
× 10
÷ 10
×10
÷ 10
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4.4 Capacidad
La unidad principal para medir la capacidad es el litro (l).
Kilolitro
0.001 Kl
Hectolitro
0.01 Hl
Decalitro
0.1 Dal
litro
1L
Decilitro
10 Dl
Centilitro
100 Cl
Mililitro
1000 Ml
La conversión se trabaja de la misma manera que en las unidades de longitud y masa.
Lo importante será considerar los múltiplos y los submúltiplos en cada unidad que se trabaje:
.
×10
÷ 10
Actividad: Completar
LONGITUD
Km hm dam m dm cm mm
48
73,5
PESO
kg hg dag g dg cg mg
5317
9,12
CAPACIDAD
kl hl dal l dl cl ml
832,10
52490
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4.5 Área
Para medir el área utilizamos una medida derivada del metro, el metro cuadrado (m2).
Kilometro2
0.000001 km2
Hectómetro2
0.0001 hm2
Decametro2
0.01 dam2
metro2
1m2
Decimetro2
100 dm2
Centimetro2
10000 cm2
Milimetro2
1000000 mm2
Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la
unidad seguida de dos ceros por cada lugar haya entre ellas.
Ejemplo:
Pasar 45,5 m2 a cm2
Si queremos pasar de metros cuadrados a centímetros cuadrados tenemos que multiplicar (porque
vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que
entre el metro cuadrado y el centímetro cuadrado hay dos lugares de separación (dos lugares por
dos).
45,5 m2 · 10000 = 455000 cm2
Completar:
491,836
162,3449
4.6 Volumen
Para medir el volumen utilizamos una medida derivada del metro, el metro cúbico (m3).
Kilometro3
0.000000001 km3
Hectómetro3
0.000001 hm3
Decametro3
0.001 dam3
metro3
1m3
Decimetro3
1000 dm3
Centimetro3
1000000 cm3
Milimetro3
1000000000 mm3
÷ 1000
1000
× 100
÷ 100
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Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la
unidad seguida de tres ceros por cada lugar haya entre ellas.
Ejemplo:
Pasar 92,671 m3 a cm3
Si queremos pasar de metros cúbicos a centímetros cúbicos tenemos que multiplicar (porque vamos
a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de seis ceros, ya que entre el
metro cúbico y el centímetro cúbico hay dos lugares de separación (dos lugares por tres).
92,671 m3 · 1000000 = 92671000 cm3
Una unidad alternativa para medir volumen es el litro, el cual es equivalente a 1 dm3. Ésta se utiliza
mayormente para medir líquidos.
4.7 De pulgadas a centímetro
La pulgada es una unidad de longitud que equivale al ancho de la
primera falange del pulgar, y más específicamente a su falange
distal.
1 pulgada = 1” = 0,0254metros
Ejemplo:
Julián midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro es
4,36cm. Pero los caños se miden en pulgadas. ¿Qué medida de caño, en pulgadas, necesita Julián?
1 Pulgada = 0,0254m = 2,54cm
Actividad
a- Nicolás midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro
es 4,78cm. Pero los caños se miden en pulgadas. ¿Qué medida de caño, en pulgadas,
necesita Nicolás?
“Curso de Nivelación de Matemática”
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ACTIVIDADES DE LA UNIDAD
1. Transformar estas longitudes en metros y ordénalas de menor a mayor.
2. Completar las siguientes tablas, teniendo en cuenta la unidad de medida:
3. Resolver y contestar:
a) Un tonel se llena con 150 litros. ¿Cuántos hectolitros necesitamos
para llenar 6 toneles?
b) Una cuerda roja mide 2 dam y 3 m y otra cuerda azul mide 23,457
m. ¿Cuál de las dos es más larga?
c) Juan necesita aceite para sus dos coches, uno verde y otro azul. Para el
verde necesita 3 dl y 75 ml, y para el azul 13 cl y 5 ml. ¿Cuántos ml necesita en total? ¿Tendrá
suficiente con una lata de medio litro?
4. Convertir a una misma unidad y resolver las operaciones:
Km hm dam m dm cm mm
73,59
kg hg dag g dg cg mg
53017
kl hl dal l dl cl ml
0, 8325
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
32786,361
“Curso de Nivelación de Matemática”
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UNIDAD V
Geometría en el plano
Marzo 2017
“Curso de Nivelación de Matemática”
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GEOMETRÍA
El hombre preciso admirar la belleza de la creación para satisfacer su
espíritu, con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba.
Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que
dieron origen a la parte de las matemáticas que designamos con el
nombre de la geometría. Formada por las raíces griegas “geo”, tierra,
y “metrón”, medida, por lo tanto su significado es “medida de la
tierra”; la misma, es una herramienta que permite describir el mundo físico en que se vive.
1- FIGURAS GEOMÉTRICAS
Cuadriláteros
Regulares
Cubo
Pirámides
Prismas
Cono
Cilindro
Esfera
PLANO
ESPACIO
CIRCUNFERENCIA
POLIGONOS
Poliedros Cuerpo Redondo
Triángulo
“Curso de Nivelación de Matemática”
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2- PERÍMETRO Y ÁREA
es la medida del contorno de una figura plana y se expresa en unidades de longitud, por
ejemplo: centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etc.
Para calcular el perímetro de un polígono debemos sumar las medidas de sus lados.
Ejemplo: Si calculamos el perímetro de un rectángulo de largo 5cm y ancho 3cm, sumamos la
medida de sus lados. Por lo tanto su perímetro es 16cm.
es la medida de su superficie y se expresa en unidades de área, por ejemplo: metros
cuadrados ( ), centímetros cuadrados ( ), kilómetros cuadrados ( ), etc.
Figura Geométrica Perímetro (P) Área (A)
Cuadrado de
lado (l)
Rectángulo
Triángulo
Circunferencia
Longitud:
A=
5cm
5cm
3cm 3cm
P = 3cm + 5cm + 3cm + 5cm
P = 16cm
“Curso de Nivelación de Matemática”
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Actividad:
Calcular el perímetro y área de la siguiente figura:
Ejemplo 1
Calcular el perímetro y área del siguiente triangulo.
Ejemplo 2
Se tiene un cuadrado de 3m de lado y un triángulo equilátero de 7.5m ¿Cuál de ellas tiene mayor
perímetro?
Cuadrado Triángulo equilátero
Conclusión: La figura que mayor perímetro tiene es la del triángulo equilátero
7,5cm
7,5cm
7,5cm
7 cm 7 cm
4 cm
dam
9 cm
dam 9 cm
dam
12 cm
dam
“Curso de Nivelación de Matemática”
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4- Teorema de Pitágoras
El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados (catetos)”
Ejemplo: si tenemos un triángulo de hipotenusa igual a 5 cm, cuyos lados miden 3cm y 4cm,
veamos si las áreas son las mismas:
2 =
25 = 9 + 16
25 = 25
¿Por qué es útil?
Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, el
Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.
(¡Pero sólo funciona en triángulos rectángulos!)
𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐
5 cm
“Curso de Nivelación de Matemática”
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DOS CASOS QUE PUEDEN PRESENTARSE
c2= a2 + b2
c2= 52 + 122
c2 = 25 + 144
c2 = 169
√
c = 13 cm
c2 = a2 + b2
152 = 92 + b2
225 = 81 + b2
225 – 81 = b2
144 = b2
√
12 cm = b
Solucionar utilizando lo aprendido ¿Qué calcularás? ¿Hipotenusa o cateto?
a. b.
Cuando se averigua la hipotenusa
de un triángulo rectángulo.
Cuando se averigua un lado del
triángulo rectángulo.
“Curso de Nivelación de Matemática”
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El teorema de Pitágoras como muchos temas de
matemática se lo puede aplicar en situaciones
cotidianas.
ACTIVIDADES DE LA UNIDAD
Leer atentamente los siguientes problemas, construir el
triángulo rectángulo y encontrar el dato faltante
Problema 1: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera
dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
Problema 2: Un avión militar debe atacar el blanco enemigo que se encuentra a cierta distancia. Se
sabe que el avión está volando a 20 km de altura y que el blanco enemigo está a 15 km del avión en
línea horizontal. El piloto desea saber la distancia que recorrerá el misil que enviará para destruir al
enemigo. ¿Cuál será la distancia?
Actividad 2: Determinar el perímetro y el área de cada figura:
a) Un rectángulo de 10 cm de ancho y 20 cm de largo:
b) Un cuadrado de 8 m de lado:
c) Longitud de una circunferencia y área de un círculo de radio 10 cm:
d) Un triángulo isósceles de base 6 m, lados 5 m y de altura 4 m:
Perímetro: Área:
Perímetro: Área:
Área: Longitud:
Área: Perímetro:
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UNIDAD Vi
Geometría en el espacio
Marzo 2017
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El estudio de los cuerpos geométricos no solo brindo avances en las matemáticas sino que todo este conocimiento fue extremadamente influyente en actividades muy veneradas como son la
arquitectura, la ingeniería, la física astronómica y por supuesto la física cuántica. Las principales leyes que rigen todos estos campos de conocimiento surgen del estudio matemático de los cuerpos
geométricos y los cálculos basados en ellos.
1- SUPERFICIE LATERAL, SUPERFICIE TOTAL Y VOLUMEN DE CUERPOS
SUPERFICIE LATERAL: es la suma de todas las áreas de las caras laterales.
SUPERFICIE TOTAL: es la suma del área lateral y el área de la o las bases de la figura.
VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.
ALT
O
LARGO
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Fórmulas para calcular la superficie lateral, superficie total y volumen de los siguientes cuerpos:
Superficie Lateral
Superficie Total
Volumen
Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 4 cm de
arista.
Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 6 cm de arista.
Superficie Lateral
Superficie Total
Volumen
CUBO
4 cm
𝑨 𝟒 𝒄𝒎 𝟐 𝟒 𝒄𝒎 𝟒 𝒄𝒎 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐
Área de una cara lateral = 𝒂𝟐
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Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente prisma.
Actividad: Calcular sup. Lateral, total y volumen de un prisma largo 3 cm, ancho 4 cm y altura 6 cm.
Superficie Lateral
Superficie Total
Volumen
( )
Superficie Lateral
2. ( )
Superficie Total
)
Volumen
PRISMA
c
a
2 cm
4 cm Área de una cara lateral = 𝒂 𝒄 𝟐 𝒄𝒎 𝟒𝒄𝒎 𝟖 𝒄𝒎𝟐
Área de una cara lateral del costado =𝒃 𝒄 𝟑𝒄𝒎 𝟒𝒄𝒎 𝟏𝟐𝒄𝒎𝟐
Área de una base= 𝒂 𝒃 𝟐𝒄𝒎 𝟑𝒄𝒎 𝟔𝒄𝒎𝟐
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Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente cilindro.
Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un
cilindro de radio 2 cm y altura 4 cm.
Superficie Lateral .h
Superficie Total
Volumen
Superficie Lateral
94,2
Superficie Total
94,2
Volumen
CILINDRO
h
r
5 cm
3 cm
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Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de la siguiente esfera de
radio 2 cm.
Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de una
esfera de 4 cm.
Superficie Total
Volumen
Superficie Total
Volumen
ESFERA
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ACTIVIDAD DE LA UNIDAD
1. Completar los cuadros calculando el área lateral, área total y volumen de los
respectivos cuerpos. Utilizar los datos dados:
a)
CUBO
CUBO
b)
PRISMA DE BASE CUADRADA
c)
CILINDRO
d)
ESFERA
Arista Área Lateral Área Total Volumen
3cm
5cm
Base Altura Área Lateral Área Total Volumen
2cm 5cm
3cm 4 cm
Radio Altura Área Lateral Área Total Volumen
2cm 10cm
5cm 6cm
Radio Área Total Volumen
7cm
9cm