D E V O I R S U R V E I L L E MATIERE : MATHEMATIQUES CLASSE de : SALLE : PROFESSEUR : DATE : HEURE Dรฉbut : HEURE fin :
MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON Rappel : Tous les prรชts, รฉchanges et sorties de documents sont strictement interdits durant les devoirs, tout รฉlรจve doit prรฉvoir le matรฉriel dont il a besoin.
Compรฉtences : C1 _____________ C3 ____ C6 ____ Exercice 1 :
1)Calculer les fonctions dรฉrivรฉes des fonctions f dรฉfinies et dรฉrivables sur lโensemble D :
a)f(x) = ( 2x + 5 ) 4 D=โ b)f(x) =โ2๐ฅ+1
๐ฅ+2 D = [ 0 ; + โ[
2) Etudier la position de Cf par rapport ร la droite d dโรฉquation y= xโ3 avec f(x) โ๐ฅยฒ โ 6๐ฅ sur [6; +โ[ 3) Soit (un) la suite arithmรฉtique dont on connait u10 =27 et S= u0+u1+โฆโฆu10 = 132
Calculer le premier terme ๐ข0 et la raison r
4) Soit nu la suite dรฉfinie par : ๐ข๐+1 =1
2๐ข๐ + 2 et ๐ข0 = 8 pour nโ โ On dรฉfinit la suite nv par ๐ฃ๐ = ๐ข๐ โ 4, avec n โ.
Montrer que la suite ( ๐ฃ๐) ๐๐ ๐ก gรฉomรฉtrique , en dรฉduire lโexpression de vn puis de un en fonction de n Exercice2 Partie A :
Soit la fonction g dรฉfinie sur โ \ { 3} dont on a reprรฉsentรฉ la
courbe Cg ci-contre , ainsi que la droite D d'รฉquation x 3.
1) Lire sur ce graphique g ( 1 ) , g ' ( 1 ) et gโ(-1) 2) On donne ci-dessous les courbes reprรฉsentatives de 3 fonctions g '1 , g '2 et g '3 . Choisir parmi ces trois fonctions reprรฉsentรฉes ci-dessous, celle qui pourrait correspondre ร la fonction g ' , dรฉrivรฉe de la fonction g et justifier la rรฉponse.
Cg1' Cg2' Cg3'
3) On sait que la fonction g peut รชtre dรฉfinie par g ( ๐ฅ) = ๐ ๐ฅ + ๐ + ๐
3โ๐ฅ , oรน a, b sont deux rรฉels .
a) Calculer g ' ( ๐ฅ ) b) Utiliser les rรฉsultats de la question 1 pour dรฉterminer les rรฉels a , b et c . Partie B :
Soit la fonction f dรฉfinie sur โ \ { 3 } par f ( ๐ฅ) = 2๐ฅ โ 4 โ8
(3โ๐ฅ)ยฒ
On note Cf sa courbe reprรฉsentative dans un repรจre orthogonal.
1/ Calculer f ' ( ๐ฅ ) , pour tout x โ \ { 3 }
2/ Dรฉterminer les abscisses des points oรน la courbe Cf admet une tangente parallรจle ร la droite dโรฉquation y= 3
2๐ฅ+1
Exercice 3 Partie A
Soit f la fonction dรฉfinie par f(๐ฅ) = (4 + ๐ฅ)โ4 โ ๐ฅยฒ sur [-2 ;2]
1)a) Montrer que f โ (๐ฅ) = โ2๐ฅ2โ4๐ฅ+4
โ4โ๐ฅยฒ
b) Construire le tableau de variation de f Partie B Lโentreprise mรฉtal veut modรฉliser une nouvelle boite ร outils dont la face avant est de la forme dโun trapรจze ABCD avec CD=20 cm =2dm ,CB=20 cm=2dm , AHCD rectangle et CHB triangle rectangle en H avec BH = x dm et dont la base est un rectangle ADEF tel que AD = CH et DE = 20 cm=2dm Lโentreprise veut rรฉaliser une boite ร volume maximale
Soit V le volume de la boite 1)a) A quel intervalle x appartient-il ? b) Exprimer CH en fonction de x 2)a) Exprimer lโaire du trapรจze ABCD en fonction de x
b) En dรฉduire que le volume de la boite vaut V= (4+x)โ4 โ ๐ฅยฒ 3) En dรฉduire la valeur de x pour que le volume soit maximal
Exercice 1 :
1)Calculer les fonctions dรฉrivรฉes des fonctions f dรฉfinies et dรฉrivables sur lโensemble D :
a) f est derivable sur โ f(x) = ( 2x + 5 ) 4
fโ(๐ฅ) = 8 ร (2๐ฅ + 5)3 D=โ
b)f(x) =โ2๐ฅ+1
๐ฅ+2 f est dรฉrivable sur D = [ 0 ; + โ[ sur D, 2๐ฅ + 1 > 0 ๐๐ก ๐ฅ + 2 โ 0
๐โฒ(๐ฅ) =
2
2โ2๐ฅ + 1ร (๐ฅ + 2) โ 1 ร โ2๐ฅ + 1
(๐ฅ + 2)2=
๐ฅ + 2
โ2๐ฅ + 1โ โ2๐ฅ + 1
(๐ฅ + 2)2=
๐ฅ + 2 โ (โ2๐ฅ + 1)2
โ2๐ฅ + 1(๐ฅ + 2)2
=
๐ฅ+2โ(2๐ฅ+1)
โ2๐ฅ+1ร
1
(๐ฅ+2)ยฒ=
โ๐ฅ+1
โ2๐ฅ+1ร(๐ฅ+2)ยฒ
2) Etudier la position de Cf par rapport ร la droite d dโรฉquation y= xโ3 avec f(x) โ๐ฅยฒ โ 6๐ฅ sur [6; +โ[
sur [6 ; +โ[ ๐ฅ2 โ 6๐ฅ = ๐ฅ(๐ฅ โ 6) ๐ฅ2 โ 6๐ฅ โฅ 0 ๐(๐ฅ) โ (๐ฅ โ 3) = โ๐ฅ2 โ 6๐ฅ โ (๐ฅ โ 3)
sur [6; +โ[ ๐ฅ โ 3 > 0 ๐๐๐๐ โ (๐ฅ โ 3) < 0 ๐๐ก โ๐ฅ2 โ 6๐ฅ โฅ 0
donc on ne peut pas donner directement le signe de โ๐ฅ2 โ 6๐ฅ โ (๐ฅ โ 3) sur [6; +โ[
๐(๐ฅ) โ (๐ฅ โ 3) = โ๐ฅ2 โ 6๐ฅ โ (๐ฅ โ 3) =(โ๐ฅ2โ6๐ฅโ(๐ฅโ3))(โ๐ฅ2โ6๐ฅ+(๐ฅโ3))
โ๐ฅ2โ6๐ฅ+(๐ฅโ3)=
(โ๐ฅ2โ6๐ฅ)2
โ(๐ฅโ3)ยฒ
โ๐ฅ2โ6๐ฅ+(๐ฅโ3)=
๐ฅยฒโ6๐ฅโ(๐ฅ2โ6๐ฅ+9)
โ๐ฅยฒโ6๐ฅ+(๐ฅโ3)=
โ9
โ๐ฅยฒโ6๐ฅ+(๐ฅโ3)
sur [6; +โ[ ๐ฅ โ 3 > 0 ๐๐ก โ๐ฅ2 โ 6๐ฅ โฅ 0 ๐๐๐๐ โ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + (๐ฅ โ 3) > 0 et -9 <0 donc
โ9
โ๐ฅยฒโ6๐ฅ+(๐ฅโ3)< 0 donc ๐(๐ฅ) โ (๐ฅ โ 3) < 0 ๐๐๐๐ ๐(๐ฅ) < ๐ฅ โ 3 ๐๐๐๐
la courbe Cf est au dessous de la droite dโรฉquation y = ๐ฅ โ 3 ๐ ๐ข๐ [6; +โ[ 3) Soit (un) la suite arithmรฉtique dont on connait u10 =27 et S= u0+u1+โฆโฆu10 = 132
S= u0+u1+โฆโฆu10 = 132 donc 11ร๐ข0+๐ข10
2= 132 ๐ ๐๐๐ก 11 ร (๐ข0 + 27) = 264 ๐ ๐๐๐ก ๐ข0 =
264
11โ 27 = โ3
๐ข10 = ๐ข0 + 10 ร ๐ ๐ ๐๐๐ก 27 = โ3 + 10 ร ๐ ๐๐๐๐ ๐ =27+3
10= 3
4) Soit nu la suite dรฉfinie par : ๐ข๐+1 =1
2๐ข๐ + 2 et ๐ข0 = 8. On dรฉfinit la suite nv par ๐ฃ๐ = ๐ข๐ โ 4, avec n โ.
la suite ( ๐ฃ๐) ๐๐ ๐ก gรฉomรฉtrique si ๐ฃ๐+1 = ๐ ร ๐ฃ๐ ,
๐ฃ๐+1 = ๐ข๐+1 โ 4 = 1
2๐ข๐ + 2 โ 4=
1
2๐ข๐ โ 2=
๐ข๐โ4
2=
๐ฃ๐
2=
1
2๐ฃ๐ donc la suite ( ๐ฃ๐) ๐๐ ๐ก gรฉomรฉtrique de raison q=
1
2
de premier terme ๐ฃ0 = ๐ข0 โ 4=4 donc ๐ฃ๐ = 4 ร (1
2)๐ et ๐ข๐ = ๐ฃ๐ + 4 = 4 ร (
1
2)๐ + 4
Exercice 2 1/ g ( 1 )= -6 A ( 1 ; -6) est sur la courbe Cg g ' ( 1 ) =0 car Cg a une tangente horizontale en A gโ(-1) est le coefficient directeur de la tangente ร la courbe Cg , en B ( -1 ; -8 ) passant aussi par C(3 ;-2)
donc gโ(-1)=โ2โ(โ8)
3โ(โ1)=
6
4=
3
2
2/ la fonction g est croissante sur ]โโ; 1] ๐๐ก ๐ ๐ข๐ [5; +โ[ et g est dรฉcroissante sur [1 ;3[ et sur ]3 ; 5] donc sur ]โโ; 1]๐ [5; +โ[ g โ (๐ฅ) โฅ 0 st sur [1 ;3[ U]3 ; 5] gโ(๐ฅ) โค 0 donc la courbe reprรฉsentative de gโ doit รชtre au dessus de lโaxe des abscisses sur ]โโ; 1]๐ [5; +โ[ et au dessous sur [1 ;3[ U]3 ; 5] et Cgโ doit couper lโaxe des abscisses aux points dโabscisses x=1 et x=5 ce qui correspond ร la coureb Cgโ3
3)On sait que la fonction g peut รชtre dรฉfinie par g (๐ฅ ) = ๐ ๐ฅ + ๐ + ๐
3โ๐ฅ , oรน a, b sont deux rรฉels .
a. g ' ( ๐ฅ ) = a +cร (โโ1
(3โ๐ฅ)2) = ๐ +๐
(3โ๐ฅ)ยฒ
g(1)=-6 donc a+b+๐
2= โ6 Eq1
gโ(1)=0 donc ๐ +๐
4= 0 ๐ธ๐2 et gโ(โ1) =
5
2 ๐๐๐๐ ๐ +
๐
16=
3
2 Eq 3
Eq2- Eq3 ๐
4โ
๐
16= โ
3
2 ๐๐๐๐
4๐
16โ
๐
16=
โ24
16 soit 3c = -24 soit c= -8 donc a =
โ๐
4= 2
donc 2+b-4=-6 soit b= -6+2=-4 donc g(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 4 โ 8
3โ๐ฅ
Partie B par f ( ๐ฅ) = 2๐ฅ โ 4 โ 8
3โ๐ฅ
1)f est une fonction rationnelle donc dรฉfinie et dรฉrivable sur โ\{3} fโ(๐ฅ) = 2 โ8
(3โ๐ฅ)ยฒ
2) Cf a une tangente parallรจle ร la droite dโรฉquation y= 3
2๐ฅ+1 donc f โ(๐ฅ) =
3
2 donc 2 โ
8
(3โ๐ฅ)ยฒ=
3
2
soit โ8
(3โ๐ฅ)2 =3
2โ 2 = โ
1
2 soit โ16 = โ(3 โ ๐ฅ)2 ๐ ๐๐๐ก 16 = (3 โ ๐ฅ)2
๐ ๐๐๐ก 3 โ ๐ฅ = 4 ๐๐ข โ 4 ๐ ๐๐๐ก ๐ฅ = โ1 ๐๐ข ๐ฅ = 7
Exercice 3 Soit f la fonction dรฉfinie par f(๐ฅ) = (4 + ๐ฅ)โ4 โ ๐ฅยฒ sur [-2 ;2]
1)f est dรฉrivable si 4โ๐ฅ2 > 0 ๐ ๐๐๐ก (2 โ ๐ฅ)(2 + ๐ฅ) > 0 ๐ ๐๐๐ก ๐ฅ โ ] โ 2; 2[
๐โฒ(๐ฅ) = 1 ร โ4 โ ๐ฅยฒ + (4 + ๐ฅ) รโ2๐ฅ
2โ4 โ ๐ฅ2= โ4 โ ๐ฅยฒ โ
๐ฅ(4 + ๐ฅ)
โ4 โ ๐ฅ2=
4 โ ๐ฅ2 โ ๐ฅ2 โ 4๐ฅ
โ4 โ ๐ฅ2=
โ2๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4
โ4 โ ๐ฅยฒ
โ4 โ ๐ฅ2 > 0 ๐ ๐ข๐ ] โ 2; 2[ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐โฒ๐๐ ๐ก ๐๐๐๐ข๐ ๐๐ โ 2๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4 โ= 16 + 32 = 48
๐ฅ1 =4โ4โ3
โ4= โ1 + โ3~0,73 ๐ฅ2 =
4+4โ3
โ4= โ1 โ โ3 ~ โ 2,73
f(โ1 + โ3 ) = (3+โ3 ) โ4 โ (1 โ 2โ3 + 3)
=(3+โ3 )ร โ2โ3~8,8
2)Lโentreprise mรฉtal veut modรฉliser une nouvelle boite ร outils dont la face avant est de la forme dโun trapรจze ABCD avec CD=20 cm =2dm ,CB=20 cm=2dm , AHC D rectangle et CHB triangle rectangle en H avec BH = x dm et
๐ฅ โ2 โ1 + โ3 2
f โ( ๐ฅ ) + 0 โ
f ( ๐ฅ ) f( (โ1 + โ3) 0 0
de base un rectangle ADEF tel que AD = CH et DE = 20 cm=2dm Lโentreprise veut rรฉaliser une boite ร volume maximale
Soit V le volume de la boite 1)a) CHB est rectangle en H donc 0 < BH < CH donc 0 < x < 2 x est dans lโintervalle I = ]0 ;2[ b) CHB est rectangle en H dโaprรจs le thรฉorรจme de Pythagore
BHยฒ +CHยฒ= CBยฒ soit CHยฒ =4-xยฒ donc CH = โ4 โ ๐ฅยฒ avec xโ]0; 2[
2)a) aire(ABCD)=(2+๐ฅ+2)รโ4โ๐ฅ2
2=
1
2(4 + ๐ฅ)โ4 โ ๐ฅ2
b) V=DEร ๐๐๐๐ (๐ด๐ต๐ถ๐ท) = 2 ร 1
2(4 + ๐ฅ)โ4 โ ๐ฅ2 =(4+x)โ4 โ ๐ฅยฒ = f(x) sur
]0 ;2[
3) Dโaprรจs la partie A , f a un maximum sur ]-2 ;2 [ en x= -1+โ3 ~0.73 ๐๐ข๐ ๐ฃ๐๐ข๐ก ๐๐๐ฃ๐๐๐๐ 8, donc la boite ร outils a un volume maximal dโenviron 8,8 dm3
pour CH~0.73 ๐๐