Dedução NaturalUniversidade Tecnológica Federal do
ParanáCurso de Engenharia de Computação
Método da dedução natural Deduzir uma conclusão a partir
de premissas.
Regras de inferência.
Método prático.
Regras de inferênciaQuantas regras se pode ter num
sistema?Mínimo: duas regras para cada
operador – introdutora e eliminadora.
Regras de inferência diretas. Regras de inferência hipotéticas. Regras de inferência derivadas.
Regras de inferência diretasDupla Negação (DN):
¬¬
Modus Ponens (MP):
Conjunção (C):
Separação (S):
Expansão (E):
Regras de inferência diretas
Silogismo Disjuntivo (SD): ¬ ¬
Condicionais para Bicondicional (CB):
Bicondicional para Condicionais (BC):
Exemplo de dedução
Pa (Qab Cq), (Qab Cq) Dc, Dc (E (¬E Fba)), Pa, ¬E ╞ Fba.
1. Pa (Qab Cq) P2. (Qab Cq) Dc P3. Dc (E (¬E Fba)) P4. Pa P5. ¬E P ?Fba
1. Pa (Qab Cq) P2. (Qab Cq) Dc P3. Dc (E (¬E Fba)) P4. Pa P5. ¬E P ?Fba6. Qab Cq 1, 4 MP7. Dc 2, 6 MP8. E (¬E Fba) 3, 7 MP9. ¬E Fba5, 8 SD10. Fba 5, 9 MP
Definições
“Definição 1: Sejam um conjunto qualquerde fórmulas e uma fórmula. Uma deduçãode a partir de é uma sequência finita1,...,n de fórmulas, tal que n = e cada i,1 i n, é uma fórmula que pertence a oufoi obtida a partir de fórmulas que aparecemantes na sequência, por meio da aplicação dealguma regra de inferência.” (MORTARI,
2001:242)
Definições
“Definição 2: Sejam um conjunto qualquer
de fórmulas e uma fórmula. Dizemos que
é consequência lógica (sintática) de , o que
denotamos por ├ , se há uma dedução de a partir de .” (MORTARI, 2001:243)
Exemplos
{Pa (Qab Cq), (Qab Cq) Dc, Dc (E (¬E Fba)), Pa, ¬E} ├
Fba.
{1,...,n} ├
1,...,n ├
Regras de inferência hipotéticasSe Miau é um gato típico, ele não gosta de nadar.
Senão gosta de nadar, então não pratica pescasubmarina. Logo, se Miau é um gato típico, Miau
nãopratica pesca submarina.
Gm ¬Nm, ¬Nm ¬Pm ├ Gm ¬ Pm.
1. Gm ¬NmP2. ¬Nm ¬Pm P ?Gm ¬ Pm3. | Gm H ?¬Pm
1. Gm ¬Nm P2. ¬Nm ¬Pm P ?Gm ¬ Pm3. Gm H ?¬Pm4. ¬Nm 1, 3 MP5. ¬Pm 2, 4 MP6. Gm ¬Pm 3-5 RPC
Regra de prova condicional Formulação
:
Uso apropriado da RPCI. Introduzir na derivação uma linha
vertical toda vez que uma hipótese adicional for introduzida.
II. Não usar uma fórmula que ocorre à direita de uma linha vertical depois de terminada essa linha.
III. Descartar as hipóteses na ordem inversa em que foram introduzidas.
IV. Uma dedução não termina enquanto não forem descartadas todas as hipóteses adicionais.
Regras de inferência hipotéticas Cb ¬Fnp ├ ¬(Cb Fnp)
1. Cb ¬Fnp P ?¬(Cb Fnp)
2. Cb Fnp H ?CTR3. Cb 2 S4. ¬Fnp 1, 3 MP5. Fnp 2 S6. Fnp ¬Fnp 4, 5 C7.¬(Cb Fnp) 2-6 RAA
Regra de redução ao absurdoFormulação:
¬¬
Regras de inferência derivadas
São as regras que podem ser provadas
a partir das regras mencionadasanteriormente.
Podem ser consideradas como umamaneira de abreviar parte de umadedução.
Regras de inferência derivadas
Modus Tollens (MT):¬¬
Silogismo Hipotético(SH):
Contraposição
¬¬
Dupla Negação (DN):¬¬
Contradição (CTR):
¬
Leis de De Morgan (DM):
¬( ) ¬( )¬ ¬ ¬ ¬
Teoremas
Definição 3: Uma fórmula é um teorema
(do CQC) se há uma dedução de a partir
do conjunto vazio de premissas.
Assim, é um teorema se e somente se ├ , o que abreviamos escrevendosimplesmente ├ .
Teoremas
Exemplo:
├ (Fa Gb) Fa.
1. Fa Gb H2. Fa 1 S3. (Fa Gb) Fa. 1-2 RPC
Consequência sintática e consequência semântica
Teorema de Correção e Completude
├ se e somente se ╞
é uma consequência sintática de se e somente se é uma consequência semântica de .
O método de dedução natural é um sistemade prova correto e completo. Correto porquese uma conclusão pode ser deduzida de umconjunto de premissas, então ela de fato éconsequência lógica (semântica) de . Ecompleto porque, se uma fórmula éconsequência lógica (sintática) de umconjunto de premissas, há uma deduçãodemonstrando isso.