STABILNOSTSTABILNOSTII
DINAMIKADINAMIKAKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA
Doc.Doc. drdr DDuuššanan KovaKovaččevievićć
STABILNOSTSTABILNOSTKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA
LLinearnainearna analizaanalizakonstrukcijakonstrukcija
�� statistatiččka linearnostka linearnost�� geometrijska linearnostgeometrijska linearnost�� materijalna linearnostmaterijalna linearnost
P
∆
L - EP
∆
N - E
P
∆
L - NP
∆
N - N
NelNelinearnainearna analizaanalizakonstrukcijakonstrukcija
�� statistatiččka nelinearnost (velikaka nelinearnost (velikapomeranja)pomeranja)
�� geometrijska nelinearnostgeometrijska nelinearnost(velike deformacije)(velike deformacije)
�� materijalna nelinearnostmaterijalna nelinearnost(nelinearna "(nelinearna "σσ--εε"" veza)veza)
IIIIII
dilatacijadilatacija
napo
nna
pon
σσuu
σσoo
εεuuεεoo
σσ cc
εεcc
IIII
II
dilatacijadilatacija
napo
nna
ponσσ
cc
εεcc
HognestadHognestadDesai, KrishnanDesai, KrishnanEvrokodEvrokod 22
dilatacijadilatacija
napo
nna
pon
σσtutu
σσ toto
εεtutuεεtoto
σσ tt
εεtt
IIII
IIIIIIII
dilatacijadilatacija
napo
nna
ponσσ
tt
εε tt
εε tutuεεmmεε toto
σσ toto
33σσtoto
EEtoto
EEtmtm
EEtutu
II IIII IIIIII IVIV
napo
nna
ponσσ
ss
dilatacijadilatacija εεss
PPEE
Y'Y'YY
UU FF
dilatacijadilatacija
napo
nna
pon
σσuuσσyy
σσss
εεss
εεyy
EEsoso
a)a)
dilatacijadilatacija εεss
b)b)
εεuu
napo
nna
pon
σσhhσσyy
σσss
εεyy
EEsoso
εεuu
εεhh
σσuu
dilatacijadilatacija εεss
c)c)na
pon
napo
n
σσhhσσyy
σσss
εεyy
EEsoso
εεuuεεhh
σσuu
NelinearniNelinearni fenomenifenomeni
�� kontinualnakontinualna ""glatkaglatka""nelinearnostnelinearnost
�� diskontinualnadiskontinualna ""hrapavahrapava""nelinearnostnelinearnost
HH
LL
PPxx
v(xv(x))
M(xM(x)=M)=M00(x)+H(x)+H⋅⋅v(x)v(x)
PP
∆∆LLLL
xx
M(xM(x)=P)=P⋅⋅(L(L--xx--∆∆L)L)
PP
LL LL
αα
tgtg sinsin PP2AE2AE
αα αα−− ==
P
P1 P2
σσTT
σσ
εεTT εε
EE
EETT
εεσσ σσ σσ
σσ εε εε εε== ++−−
== ⋅⋅ ++ ⋅⋅ −−TT TT
TTTT TT TTEE EE
EE EE (( ))
PP
∆∆
LL
PP∆∆ ff
vrlovrlo malomalo f/Lf/L
PP
∆∆
LL
PP∆∆ ff
malomalo f/Lf/L
PP
∆∆
LL
PP∆∆ ff
velikoveliko f/Lf/L
PP
∆∆
LL
ββ⋅⋅PP
∆∆PP
PPcrcr
vrlovrlo malomalo ββ
PP
∆∆
LL
ββ⋅⋅PP
∆∆PP
PPcrcr
malomalo ββ
PP
∆∆
LL
ββ⋅⋅PP
∆∆PP
PPcrcr
velikoveliko ββ
LL
≠≠∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ
v=L
v=L⋅∆ϕ∆ϕ
u=0u=0
LL
≈≈∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ vv≈
LL ⋅si
n∆ϕ∆ϕ
uu≈≈LL⋅⋅(1(1--coscos∆ϕ∆ϕ))
P P
PP
P P
P P
∆ϕ∆ϕ jjNN
∆∆uu jjNN
∆∆vv jjNN
vv jjCC
uu jjCC
ϕϕ jjCC
∆ϕ∆ϕ iiNN
∆∆uuiiNN
ϕϕ iiCC ∆∆vvii
NN
vv iiCC uuii
CC
"S""S"
"C""C"
"N""N"
GeometrijskiGeometrijski nelinearninelinearni modelimodeli�� opopšštata geometrijskigeometrijski nelinearnanelinearna teorijateorija
�� geometrijskigeometrijski nelinearnanelinearna teorijateorija ((teorijateorija IIIIredareda))
�� linearizovanalinearizovana teorijateorija IIII redareda�� PP--∆∆ postupakpostupak
RavnoteRavnotežža sa aspektaa sa aspektastabilnostistabilnosti
�� stabilna ravnotestabilna ravnotežžaa�� neutralna (indiferentna)neutralna (indiferentna)
ravnoteravnotežžaa�� nestabilna ravnotenestabilna ravnotežžaa
Bifurkaciona teorijaBifurkaciona teorija
P1
L
P2
P3
P
∆
P1
P2
P3
1515°° EE⋅I = 10I = 1044kNmkNm22 EE⋅A = 10A = 1044kNkN
PP
SilaSila P [P [kNkN]] 20.0020.00 60.0060.00koeficijentkoeficijent ukljeuklješštenjatenja [%][%] 100100 00 100100 00 100100 00
linearnalinearna teorijateorija 10.5310.53 14.9314.93 31.5931.59 44.7844.78
linearizovanalinearizovana teorijateorija IIII redareda 10.8810.88 15.7815.78 34.9634.96 53.4153.41inkrementalnoinkrementalno -- iterativniiterativni
postupakpostupak -- MIKMIK 10.9810.98 16.3316.33 36.4536.45 67.6167.61inkrementalnoinkrementalno -- iterativniiterativni
MNRMNR postupakpostupak 10.9810.98 16.3316.33 36.4436.44 67.6167.61inkrementalnoinkrementalno -- iterativniiterativni
NRNR postupakpostupak 10.9810.98 16.3316.33 36.4436.44 67.6567.65
tataččnono rereššenjeenje 10.9910.99 16.3516.35 36.5536.55 68.6068.60
L = 10.0 mL = 10.0 m
PPcrcr [[kNkN]]
// //
346.8346.8587.2587.2
149.3149.3 69.1269.12
149.2149.2 69.1069.10
149.2149.2 69.1069.10
149.1149.1 69.0969.09
1
2 3 4
5
6 78 9 10 11
12
13
14 15 1617
18
19
20
21
*PKR= 9701kN
**PKR= 3971kN
1
2 3 4
5
6 78 9 10 11
12
13
14 15 1617
18
19
20
21
*PKR= 9272kN
**PKR= 2724kN
ANALIZAANALIZAŠŠTAPOVATAPOVA
Metode za analizuMetode za analizustabilnostistabilnosti šštapova i proratapova i proraččun poun po
teoriji II redateoriji II reda
�� direktno redirektno reššavanje diferencijalne jednaavanje diferencijalne jednaččineine-- popoččetni parametrietni parametri šštapatapa
�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata�� metoda konametoda konaččnih razlikanih razlika�� "energetske" metode"energetske" metode�� iterativne metodeiterativne metode
Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina savijanjaina savijanjašštapa sa normalnom silomtapa sa normalnom silom -- popoččetnietni
parametriparametri
SS
MM00
VV00 SS
MMll
VVll
φφ00
vvllvv00 φφll
ξξ ddξξ
ppyy(x)(x)
EIEISSkk ==
EIEI))xx((pp
vvkkvv yyIIII22IVIV ==±± "+""+" -- pritisakpritisak""--"" -- zatezanjezatezanjeωω==kk··ll
PP00000000 vvSSkk
kxkxsinsinkxkxVVSS
kxkxcoscos11MMkkkxkxsinsinvv))xx((vv ++
⋅⋅−−
⋅⋅−−−−
⋅⋅++⋅⋅φφ++==
PP000000 SSkxkxcoscos11VV
SSkxkxsinsinkkMMkxkxcoscos))xx((''vv))xx(( φφ++−−
⋅⋅−−−−
⋅⋅−−⋅⋅φφ====φφ
PP000000 MMkkkxkxsinsinVVkxkxcoscosMMkxkxsinsinkkEIEI))xx((""vvEIEI))xx((MM ++⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅φφ==⋅⋅−−==
PP00 VVVV))xx((''vvSS))xx((''''''vvEIEI))xx((VV ++==⋅⋅−−==⋅⋅−−==
OpOpššta reta reššenja diferencijalne jednaenja diferencijalne jednaččinainasavijanjasavijanja šštapatapa
sa normalnom silomsa normalnom silom
Partikularna rePartikularna reššenja diferencijalneenja diferencijalnejednajednaččina savijanjaina savijanja šštapatapa
sa normalnom silomsa normalnom silom
∫∫ ξξ⋅⋅
ξξ−−−−ξξ−−⋅⋅⋅⋅ξξ==
xx
00PP dd
SSkk))xx((kksinsin))xx((kk))((ppvv
∫∫ ξξξξ−−−−⋅⋅ξξ==φφ
xx
00PP dd
SS))xx((kkcoscos11))((pp
∫∫ ξξ⋅⋅ξξ−−==xx
00PP dd))((ppVV
∫∫ ξξξξ−−⋅⋅ξξ−−==
xx
00PP dd
kk))xx((kksinsin))((ppMM
Konturni usloviKonturni uslovi
MM00=0=0
vv00=0=0
VV00≠≠00φφ
00≠≠00vvll=0=0
MMll=0=0VVll≠≠00φφll≠≠00
MM00≠≠00
vv00=0=0
VV00≠≠00φφ
00=0=0vvll≠≠00
MMll=0=0VVll=0=0φφ
ll≠≠00
Tok proraTok proraččunauna
�� unounoššenje poznatih pomeranja i/ili sila izenje poznatih pomeranja i/ili sila izkonturnih uslova u rekonturnih uslova u reššenja diferencijalneenja diferencijalne
jednajednaččineine�� određivanje nepoznatih pomeranja iodređivanje nepoznatih pomeranja i/ili sila/ili sila(tj. po(tj. poččetnih parametara) iz datih jednaetnih parametara) iz datih jednaččinaina�� određivanje ostalih pomeranja iodređivanje ostalih pomeranja i/ili sila (tj./ili sila (tj.
popoččetnih parametara)etnih parametara)
Metoda konaMetoda konaččnih elemenata (MKE)nih elemenata (MKE)
y
x
q(y)
F1F2F3F4F5F6
[[ ]] {{ }} {{}}ffuukk tt ==⋅⋅
[[ ]] [[ ]] [[ ]]++== NLNLLLtt kkkkkk
VV
[[ ]] [[ ]]∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ttTT dVdVBBEEBB[[ ]]LLkk
[[ ]] [[ ]]∫∫ ⋅⋅⋅⋅σσ⋅⋅==VV
TT dVdVGGGG[[ ]]NLNLkk
yy
vvii,T,Tii
φφii ,M,Mii
uuii,N,Nii
vvjj,T,Tjj
φφjj,M,Mjj
uujj,N,Njj
LL
xx
XX
YY
00
αα
[[ ]]
**
**--**
****
****--**--**
**--**--****
**--**--****
==
LLIIEE44..simsimet.et.
LLIIEE66
LLIIEE1212
LLSSEE00
LLAAEE
LLIIEE22
LLIIEE66
LLSSEE
LLIIEE44
LLIIEE66
LLIIEE1212
00LL
IIEE66LL
IIEE1212LL
SSEE00LL
AAEELL
SSEE00LL
AAEE
kk
2233
22
22332233
LL
AA∑∑∫∫==
⋅⋅==⋅⋅==∗∗nn
11iiiitititt AAEEdAdAEEAAEE ∑∑∫∫
==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗
nn
11iiiititiii
AAtt AAEEyydAdAEEyySSEE
∑∑∫∫==
⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nn
11iiiititi
22ii
AAtt
22 AAEEyydAdAEEyyIIEE
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅++⋅⋅==⋅⋅==∗∗nsns
11jjjjtjtj
ncnc
11iiiititi
AAtt AAEEAAEEdAdAEEAAEE
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nsns
11jjjjtjtjjj
ncnc
11iiiititiii
AAtt AAEEyyAAEEyydAdAEEyySSEE
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==∗∗nsns
11jjjjtjtj
22jj
ncnc
11iiiititi
22ii
AAtt
22 AAEEyyAAEEyydAdAEEyyIIEE
∑∑ ∑∑== ==
⋅⋅
⋅⋅σσ⋅⋅−−⋅⋅==
33
11gggg
nn
11llllggllggiiii wwAA))ss,,ll((yy))ss((BBqq ∑∑ ∑∑
== ==⋅⋅
⋅⋅σσ⋅⋅−−⋅⋅==
33
11gggg
nn
11llllggllggiiii wwAA))ss,,ll((yy))ss((BBqq
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅σσ++⋅⋅σσ==⋅⋅σσ==nsns
11jjjjsjsj
ncnc
11iiiicici
AAAAAAdAdANN ∑∑∑∑∫∫
====⋅⋅σσ++⋅⋅σσ==⋅⋅σσ==
nsns
11jjjjsjsj
ncnc
11iiiicici
AAAAAAdAdANN
∑∑∑∑∫∫====
⋅⋅⋅⋅σσ++⋅⋅⋅⋅σσ==⋅⋅⋅⋅σσ==nsns
11jjjjjjsjsj
ncnc
11iiiiiicici
AAAAyyAAyydAdAyyMM ∑∑∑∑∫∫
====⋅⋅⋅⋅σσ++⋅⋅⋅⋅σσ==⋅⋅⋅⋅σσ==
nsns
11jjjjjjsjsj
ncnc
11iiiiiicici
AAAAyyAAyydAdAyyMM
[[ ]]
⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅
⋅⋅−−
⋅⋅
⋅⋅==
1515LL22..simetsimet
101011
LL5566
0000003030LL
10101100
1515LL22
101011
LL556600
101011
LL5566
000000000000
PPkkNLNL
ААPROKSIMACIJA 2PROKSIMACIJA 2numerinumeriččkoko modeliranjemodeliranje
konturnihkonturnih ii prelaznihprelaznih uslovauslova,,dejstavadejstava,,
ponaponaššanjaanja konstrukcijekonstrukcije iimaterijalamaterijala
FormiranjeFormiranje matricematricekrutostikrutosti sistemasistema KEKE
ii vektorvektor optereoptereććenjaenja ---- formiranjeformiranje sistemasistema LAJLAJ
IzborIzbor metodemetode zaza rereššavanjeavanjesistemasistema LAJ:LAJ:
proraproraččunun pomeranjapomeranjaččvorovavorova sistemasistema KEKE
DISKRETIZACIJADISKRETIZACIJAgeometrijskogeometrijsko modeliranjemodeliranje
izboromizborom oblikaoblika KEKE((formiranjeformiranje mremrežžee KE)KE)
ААPROKSIMACIJA 1PROKSIMACIJA 1numerinumeriččkoko modeliranjemodeliranje
izboromizborom tipatipa KEKE --matricamatrica krutostIkrutostI
((formiranjeformiranje sistemasistema KE)KE)
ProraProraččunun uticajauticaja uuččvorovimavorovima sistemasistema KEKE
AlgoritamAlgoritamprimeneprimene
MKEMKE
PrednostiPrednosti primeneprimene MKEMKE
�� dovoljna tadovoljna taččnostnost�� efikasnefikasnoo numerinumeriččko modeliranjeko modeliranje�� jednostavnajednostavna implementacijaimplementacija uu
CAACAA softverusoftveru
GreGrešškeke u primeniu primeni MKEMKE
�� gregrešške diskretizacijeke diskretizacije�� gregrešške aproksimacijeke aproksimacije�� gregrešške implementacijeke implementacije
uu CAACAA softverusoftveru
Metoda konaMetoda konaččnih razlikanih razlika(diferencni postupak)(diferencni postupak)
EIEISSkk
EIEI))xx((pp
vvkkvv yyIIII22IVIV ====±± "+""+" -- pritisakpritisak""--"" -- zatezanjezatezanje
∆∆xx ∆∆xx
vv ii vv jj vv kk
PP ii PP jj PP kk
∆∆xx
vv hh
PP hh
∆∆xx
vv ll
PP ll
xx22vvvvvv iikkII
∆∆−−≈≈
22iijjkkIIII
xxvvvv22vv
vv∆∆
++−−≈≈
33hhiikkllIIIIII
xx22vvvv22vv22vvvv
∆∆−−++−−
≈≈44
hhiijjkkllIVIV
xxvvvv44vv66vv44vv
vv∆∆
++++++−−≈≈
Postupci zasnovani na principu oPostupci zasnovani na principu ominimumu energijeminimumu energije -- "energetske""energetske"
metodemetode
�� priblipribližžne metodene metode�� stepen tastepen taččnosti zavisi od pretpostavljenognosti zavisi od pretpostavljenog
izvijenogizvijenogoblika sistemaoblika sistema
�� rezultat prorarezultat proraččuna je veuna je većći intenzitet kritii intenzitet kritiččnognogoptereoptereććenje od taenje od taččnognog
Iterativni postupciIterativni postupci
�� metoda kolokacije, metoda postupnogmetoda kolokacije, metoda postupnogpriblipribližžavanja, Reyleighavanja, Reyleigh--Ritzova metoda...Ritzova metoda...
�� priblipribližžne metodene metode�� stepen tastepen taččnosti zavisi od broja iterativnihnosti zavisi od broja iterativnih
ciklusa i/ili od pociklusa i/ili od poččetne pretpostavke izvijenogetne pretpostavke izvijenogoblikaoblika
�� rezultat prorarezultat proraččuna je veuna je većći intenzitet kritii intenzitet kritiččnognogoptereoptereććenje od taenje od taččnognog
Eulerovi (1774) sluEulerovi (1774) sluččajevi izvijanjaajevi izvijanja
�� prosta greda, konzola,prosta greda, konzola, šštap tipa "g",tap tipa "g", šštaptaptipa "k"tipa "k"
�� prava osa, konstantan popreprava osa, konstantan popreččni presekni presek�� homogeni, izotropni i elastihomogeni, izotropni i elastiččni materijalni materijal
�� aksijalno optereaksijalno optereććenjeenje�� dudužžina izvijanjaina izvijanja šštapa "ltapa "lii""
�� vitkostvitkost šštapa "tapa "λλii""
ββii=1.0=1.0 ββii=2.0=2.0 ββii=0.7=0.7 ββii=0.5=0.5 ββii=1.0=1.0 ββii=2.0=2.0
AAIIii
iillllll
ll22IIEEnnPP minmin
minminminmin
iiiiii
ii
2222
kritkrit ====λλ⋅⋅ββ==⋅⋅⋅⋅ππ⋅⋅==
vitkostvitkost λλ
napo
nna
ponσσ k
ritkrit
EulerovaEulerovahiperbolahiperbola((elastielastiččno)no)TetmayerovaTetmayerova
pravaprava((plastiplastiččno)no)
EulerovaEulerovahiperbolahiperbola((plastiplastiččno)no)
σσEE
σσTT
λλEE
Izvijanje u plastiIzvijanje u plastiččnoj oblasti (Euler, Tetmayer,noj oblasti (Euler, Tetmayer,Bauschinger, Engesser, CarmBauschinger, Engesser, Carmáán, Shanley)n, Shanley)
E⋅λ2π2
=σk
ANALIZAANALIZASISTEMASISTEMAŠŠTAPOVATAPOVA
Metode za analizuMetode za analizustabilnosti i prorastabilnosti i proraččun sistemaun sistema
šštapovatapova po teoriji II redapo teoriji II reda
�� priblipribližžna metoda deformacijana metoda deformacija�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata
�� metoda silametoda sila
PribliPribližžna metoda deformacijana metoda deformacija
�� nepoznate su rotacije krutih uglova inepoznate su rotacije krutih uglova iparametri pomeranja sistemaparametri pomeranja sistema
�� aksijalna i smiaksijalna i smiččuućća krutost gredaa krutost gredaEAEA→∞→∞ ,, GAGAss→∞→∞
�� spoljaspoljaššnja opterenja optereććenja deluju uenja deluju u ččvorovimavorovimasistemasistema
�� matrica krutosti zavisi i od fleksione krutostimatrica krutosti zavisi i od fleksione krutostii od velii od veliččine normalne sileine normalne sile šštapatapa
ProraProraččun sistema primenom pribliun sistema primenom približžne metodene metodedeformacija po linearizovanoj teoriji II redadeformacija po linearizovanoj teoriji II reda
�� proraproraččun normalnih sila uun normalnih sila u šštapovima po teoriji I redatapovima po teoriji I reda�� formiranje sistema "m+n" jednaformiranje sistema "m+n" jednaččina obrtanja iina obrtanja i
pomeranja i vektora slobodnihpomeranja i vektora slobodnih ččlanovalanova�� rereššavanje sistema jednaavanje sistema jednaččina, tjina, tj. o. određivanjedređivanje
nepoznatih obrtanja i pomeranjanepoznatih obrtanja i pomeranja�� određivanje sila na krajevimaodređivanje sila na krajevima šštapovatapova
ProraProraččun kritiun kritiččnog opterenog optereććenja sistemaenja sistemaprimenom pribliprimenom približžne metode deformacija pone metode deformacija po
linearizovanoj teoriji II redalinearizovanoj teoriji II reda
�� proraproraččun normalnih sila uun normalnih sila u šštapovima po teoriji I redatapovima po teoriji I redaza optereza optereććenje Penje P
�� formiranje sistema "m+n" jednaformiranje sistema "m+n" jednaččinainaobrtanja i pomeranja sa parametromobrtanja i pomeranja sa parametrom ωω=k=k··ll
�� određivanje najmanje vrednosti parametraodređivanje najmanje vrednosti parametra ""ωω" tako" takoda determinanta "m+n"da determinanta "m+n" matrice bude nulamatrice bude nula
�� određivanje kritiodređivanje kritiččnog opterenog optereććenjaenjaPPkrkr==ωω22··EI/lEI/l22
Konstante aKonstante aikik, b, bikik, c, cikik zaza šštap tipa "k"tap tipa "k"
ikikikikkkikikiiikikikik MMikik,,∆∆ttMMik,0ik,0ccbbaaMM ++++ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅==
ikikkikikkkikiiikikikiki ccaabbMM ++ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅==
konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00=0,=0, φφ00==φφii=1.0, M=1.0, M00≠≠0, V0, V00≠≠0, v0, vll=0,=0, φφll=0=0
aaikik
SSφφii=1.0=1.0 bbkiki
ll
ii kk
EIEISSkk ==
ωω==kk··ll
MMkiki,,∆∆ttMMki,0ki,0 ++
00SSkk
sinsinVVSScoscos11MM
kksinsin))ll((vv 0000ii ==
⋅⋅ωω−−ωω
⋅⋅−−ωω−−
⋅⋅−−ωω
⋅⋅φφ==
00SScoscos11VV
SSsinsinkkMMcoscos))ll(( 0000ii ==ωω−−
⋅⋅−−ωω−−
⋅⋅−−ωω⋅⋅φφ==φφ
iiikikii
22
00 aall
EIEIsinsin))coscos11((22
coscossinsinMM φφ⋅⋅==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω−−⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω⋅⋅ωω==
llbbaa
llEIEI
sinsin))coscos11((22))11((coscosVV ikikikik
ii22
22
00++
−−==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−ωω−−⋅⋅
−−ωω⋅⋅ωω==
ikikikikikik bbaacc ++==
MomentiMomentiMMikik zaza šštap tipa "k"tap tipa "k"
ll
SSkkii
MMkiki
konturni uslovi:konturni uslovi:vv00==φφ00=0=0
MM00≠≠0, V0, V00≠≠00
vvll==φφ ll=0=0
00dd))((pp))ll((FFSS))sinsin((llVV))coscos11(())00((MMll
004400 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅⋅⋅ωω++ωω−−ωω⋅⋅⋅⋅++ωω−−⋅⋅ωω⋅⋅ ∫∫
00dd))((pp))ll((FFSSll))coscos11((llVVcoscos))00((MMll
003300 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ωω−−⋅⋅⋅⋅++ωω−−⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅ξξ⋅⋅ ∫∫
00dd))((pp))ll((FFSSllkk
sinsinVVcoscosMM))ll((MMll
00220000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅++ωω⋅⋅== ∫∫
SSkkkxkxsinsinkxkx))xx((FF44 ⋅⋅
−−−−==
SSkxkxcoscos11))xx((FF33
−−−−==
kkkxkxsinsin))xx((FF22 ==
ξξ ddξξ
p(xp(x))MMikik
Konstanta dKonstanta digig zaza šštap tipa "g"tap tipa "g"
igigigigiiigigigig ddddMM ψψ⋅⋅++φφ⋅⋅==
ddigig
SSφφii=1.0=1.0ii gg
ddigig
SSii
gg
1.0
1.0ψψigig== --1.01.0
ll
EIEISSkk ==
ωω==kk··ll
MMigig,,∆∆ttMMig,0ig,0 ++++
konturni uslovi:konturni uslovi:vv00=0,=0, φφ00==ααigig
MM00==1.01.0VV00==--1/l1/l
vvll=0,=0, φφ ll=0=0MMll=0=0
MM00=1.0=1.0
SS
ααigigii
gg
ll
llEIEI
coscossinsinsinsin11dd
EIEIll
sinsincoscossinsin
00SS
sinsinVV
SScoscos11
kksinsin
))ll((vv
22
igigigig22igig00
0000
ωωωω−−ωωωω⋅⋅ωω==
ωω==
ωω⋅⋅ωωωωωω−−ωω==αα==φφ
==⋅⋅ωωωω−−ωω
⋅⋅−−ωω−−++ωω⋅⋅φφ==
MomentMomentMMigig zaza šštap tipa "g"tap tipa "g"
SSggii
llξξ ddξξ
00dd))((pp))ll((FFSSkk
sinsinVVSScoscos11MM))ll((vv
ll
00440000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−−−
⋅⋅ωω⋅⋅ωω
⋅⋅−−ωω−−
⋅⋅−−== ∫∫
00dd))((pp))ll((FFkk
sinsinVVcoscosMM))ll((MMll
00220000 ==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−−−
ωω⋅⋅++ωω⋅⋅== ∫∫
konturni uslovi:konturni uslovi:vv00=0=0 φφ00==00MM00≠≠00 VV00≠≠00
vvll=0 M=0 Mll=0=0
p(xp(x))
00 MMig,0ig,0MM ==⇒⇒
MMigig
Konstanta eKonstanta eisis za konzoluza konzolu -- šštap tipa "s"tap tipa "s"
iiisisisis eeMM φφ⋅⋅==eeisis
SS
=1.0=1.0ii
ss SS
konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00==φφ00=v=vll=M=Mll=0=0
iiisisii00
00ii
eell
EIEItgtgMM
00coscosMMsinsinkkEIEI))ll((MM
φφ⋅⋅==φφ⋅⋅⋅⋅ωω⋅⋅ωω−−==
==ωω⋅⋅++ωω⋅⋅⋅⋅⋅⋅φφ==
MMisis,,∆∆ttMMis,0is,0 ++++
MomentMoment MMisis za konzoluza konzolu -- šštap tipa "s"tap tipa "s"
p(xp(x))
SSssii
ll
MMisis
ξξ ddξξ
konturni uslovi: vkonturni uslovi: v00==φφ00=v=vll=M=Mll=0=0
00
ll
00220000
MM
00dd))((pp))ll((FFsinsinllVVcoscosMM))ll((MM
==⇒⇒
==ξξ⋅⋅ξξ⋅⋅ξξ−−⋅⋅ωω−−ωω⋅⋅⋅⋅++ωω⋅⋅ωω⋅⋅== ∫∫MMis,0is,0
UkupnoUkupnooobrtanjebrtanje
šštapa "ab"tapa "ab"
iisis eM +φ⋅=
n
1jj,igjigiigig ddM
=
+ψ⋅∆⋅−φ⋅= ∑
n
1jj,ikjikkikiikik cbaM
=
+φ⋅∆⋅+φ⋅+φ⋅= ∑
∑=
ψ+ψ+ψ⋅∆=ψn
1jc,abt,abj,abjab
MomentiMomenti nanakrajevimakrajevimašštapovatapova
MomentiMomentipunogpunog
ukljeuklješštenjatenja
MMikik
MMigig
MMisis
MMikik == MMik,0ik,0 ++MMikik,,∆∆tt ++ MMik,tik,t ++MMik,cik,c
MMigig == MMig,0ig,0 ++MMigig,,∆∆tt ++ MMig,tig,t ++MMig,cig,c
MMisis == MMis,0is,0 ++MMigig,,∆∆tt
JednaJednaččine obrtanjaine obrtanja -- "m" uslova ravnote"m" uslova ravnotežžeeččvorova sistemavorova sistema
∑∑∑∑ ==++∆∆⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅kk
00iijjijijkk
kkikikiiiiii 00AABBAAAA
∑∑∑∑∑∑ ==++++ss
isisgg
igigkk
ikik 00MMMMMM
JednaJednaččine pomeranjaine pomeranja -- "n" uslova ravnote"n" uslova ravnotežžeerereššetke sistemaetke sistema
00))mm((RR))pp((RRMM))MMMM(( ffjjjjjj,,igig
ggigig
kkjj,,ikikkikiikik ==−−−−ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅++ ∑∑∑∑
Rad momenata mRad momenata mff na pomeranjima rena pomeranjima reššetke sistemaetke sistema
=1.0=1.0
aa bb
vvbb
vvaa
dxdxdvdvNNmm 00,,abab
ff ⋅⋅==
llvvvv
abababab
aabb ψψ==−−
dxdxmm))mm((RRabab
bb
aajj,,abab
ffffjj ⋅⋅ψψ⋅⋅−−== ∑∑ ∫∫
llNN))vvvv((NN))mm((RRabab
jj,,abababababab00,,abababab
aabbjj,,abab00,,ababff
jj ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−==−−⋅⋅ψψ⋅⋅−−== ∑∑∑∑
dxdxdxdxdvdvNNdxdx
dxdxdvdvNN))mm((RR
abab
bb
aajj,,abab00,,abab
abab
bb
aajj,,abab00,,abab
ffjj ⋅⋅ψψ⋅⋅−−==⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−== ∑∑ ∫∫∑∑ ∫∫
llEIEIllNN
EIEINN
llllkkabab
abab22abababab00,,abab
abab
00,,abababababababababab ⋅⋅ωω±±==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==ωω
))ll((ll
EIEI))mm((RR
ababcc,,ababtt,,ababll,,abab
ababjj,,abab
abab
abab22abab
ffjj ψψ++ψψ++ψψ⋅⋅∆∆⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅ωω±±== ∑∑∑∑
00CCCC''BBmm
11ii
nn
11ll00jjlljljliijiji ==++∆∆⋅⋅++φφ⋅⋅∑∑ ∑∑
== ==
))ll((llNN))mm((RRabab
cc,,ababtt,,ababll,,abababab
jj,,abababab00,,ababff
jj ψψ++ψψ++ψψ⋅⋅∆∆⋅⋅ψψ⋅⋅⋅⋅−−== ∑∑∑∑
ikikikik bbAA ==[[ ]]ikikAAAA ==
00
00 00CCAA
CC''BBBBAA ==
++
∆∆φφ
⋅⋅
ssisis
ggigig
kkikikiiii eeddaaAA ++++== ∑∑∑∑∑∑
[[ ]]ijijBBBB == ijijgg
jj,,igigigigkk
jj,,ikikikikijij ''BBddccBB ==ψψ⋅⋅−−ψψ⋅⋅== ∑∑∑∑
abab ababikikikikll,,ababjj,,abab
22abab
ccll,,igigjj,,igigigigll,,ikikjj,,ikikkikiikikjljl ''llEIEIdd))cccc((CC ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωωψψ⋅⋅ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅++== ∑∑∑∑∑∑ mm
Sistem m+n jednaSistem m+n jednaččina metode deformacijaina metode deformacija
Koeficijenti sistema jednaKoeficijenti sistema jednaččina metode deformacijaina metode deformacija
∑∑∑∑∑∑ ++++==ssggkk
00ii MMikikAA[[ ]]== 00ii00 AAAA
))((''ll
EIEI
RR))((CC
cc,,ababtt,,ababjj,,abababab abab
22abab
cc
ikik
ppjjjj,,igig
ikikjj,,ikik00jj
ψψ++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω
−−ψψ⋅⋅++ψψ⋅⋅++==
∑∑
∑∑∑∑
mm
mm
SlobodniSlobodni ččlanovi sistema jednalanovi sistema jednaččinainametode deformacijametode deformacija
MMigig MMisis
MMikik MMkiki MMkiki
{0}{0}CC''BBBBAA
==
∆∆φφ
⋅⋅
ProraProraččun kritiun kritiččnog opterenog optereććenja primenomenja primenommetode deformacijametode deformacija
∑∑∑∑ ==∆∆⋅⋅++φφ⋅⋅++φφ⋅⋅kk
jjijijkk
kkikikiiiiii 00BBAAAA
00CC''BBmm
11ii
nn
11lllljljliijiji ==∆∆⋅⋅++φφ⋅⋅∑∑ ∑∑
== ==
{0}{0}CC''BBBBAA
==
detdet
Osobenosti analize po teoriji II reda primenomOsobenosti analize po teoriji II reda primenommetode deformacijametode deformacija
�� koeficijenti akoeficijenti aikik, b, bikik, c, cikik, d, digig, i e, i eisis u matricamau matricama[A][A]mxmmxm, [B], [B]mxnmxn i [B']i [B']nxmnxm i momentii momenti MMikik,, MMigig, i, i MMisis
u vektorima {Au vektorima {A00}}mm i {Ci {C00}}nnzavise od normalnih silazavise od normalnih sila šštapovatapova
�� dijagonalni koeficijenti Adijagonalni koeficijenti Aiiii matrice [A]matrice [A]mxmmxm sadrsadržže i koeficijente i koeficijenteeisis konzolnihkonzolnih šštapovatapova
�� koeficijenti Ckoeficijenti Cjljl matrice [C]matrice [C]nxnnxn sadrsadržžee ččlanlan
abab ababll,,ababjj,,abab
22abab
cc ''llEIEI ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω∑∑mm
�� koeficijenti Ckoeficijenti Cj0j0 vektora {Cvektora {C00}}nn sadrsadržžee ččlanlan
))((''ll
EIEI cc,,ababtt,,ababjj,,abababab abab
22abab
cc ψψ++ψψ⋅⋅ψψ⋅⋅ωω∑∑mm
Prvi oblik gubitka stabilnostiPrvi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1
Drugi oblik gubitka stabilnostiDrugi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1
TreTrećći oblik gubitka stabilnostii oblik gubitka stabilnosti -- okvir 1okvir 1
Prvi oblik gubitka stabilnostiPrvi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2
Drugi oblik gubitka stabilnostiDrugi oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2
TreTrećći oblik gubitka stabilnostii oblik gubitka stabilnosti -- okvir 2okvir 2
DINAMIKADINAMIKAKONSTRUKCIJAKONSTRUKCIJA
Dejstva na konstrukcijeDejstva na konstrukcije�� konstantan intenzitet tokom vremena bezkonstantan intenzitet tokom vremena bez
pojave inercijalnih silapojave inercijalnih sila�� male i/ili spore promene intenziteta imale i/ili spore promene intenziteta i
zanemarljivo male inercijalne silezanemarljivo male inercijalne sile�� velike i/ili brze promene intenziteta i malevelike i/ili brze promene intenziteta i male
inercijalne sileinercijalne sile�� velike inercijalne silevelike inercijalne sile
Statika konstrukcijaStatika konstrukcija�� konstantan intenzitet dejstva bez pojavekonstantan intenzitet dejstva bez pojave
inercijalnih silainercijalnih sila�� male i spore promene intenziteta dejstvamale i spore promene intenziteta dejstva
i zanemarljive inercijalne silei zanemarljive inercijalne sile�� promene intenziteta i/ili inercijalne silepromene intenziteta i/ili inercijalne silekoje ne ugrokoje ne ugrožžavaju nosivost, stabilnost iavaju nosivost, stabilnost i
upotrebljivost konstrukcijeupotrebljivost konstrukcije
Dinamika konstrukcijaDinamika konstrukcija�� velike i/ili brze promene intenzitetavelike i/ili brze promene intenziteta
dejstva i male inercijalne siledejstva i male inercijalne sile�� velike inercijalne silevelike inercijalne sile
�� promene intenziteta dejstva i/ilipromene intenziteta dejstva i/iliinercijalne sile koje ugroinercijalne sile koje ugrožžavaju nosivost,avaju nosivost,
stabilnost i upotrebljivost konstrukcijestabilnost i upotrebljivost konstrukcije
DinamiDinamiččka dejstvaka dejstva�� periodiperiodiččno promenljiva optereno promenljiva optereććenjaenja
(harmonijska i neharmonijska)(harmonijska i neharmonijska)�� udarna optereudarna optereććenja (velika brzinaenja (velika brzinananonanoššenja i kraenja i kraćće ili due ili dužže trajanje)e trajanje)
�� impulsna optereimpulsna optereććenja (velika brzinaenja (velika brzinananonanoššenja i rastereenja i rastereććenja)enja)
�� aperiodiaperiodiččna opterena optereććenja (sloenja (složženaenafrekventna karakteristika)frekventna karakteristika)
TT
PeriodiPeriodiččno promenljiva optereno promenljiva optereććenjaenja
�� ponavljanje u jednakim vremenskimponavljanje u jednakim vremenskimintervalimaintervalima
PP
tt
TT
Harmonijski promenljiva optereHarmonijski promenljiva optereććenjaenja
�� promena definisana harmonijskim funkcijamapromena definisana harmonijskim funkcijama
TT
PP
tt
∆∆tt
Udarna optereUdarna optereććenjaenja
�� promena intenziteta u veoma kratkompromena intenziteta u veoma kratkomintervalu vremenaintervalu vremena∆∆ P
P
PP
tt
∆∆tt
Impulsna optereImpulsna optereććenjaenja
�� optereoptereććenje i rastereenje i rastereććenje u veoma kratkomenje u veoma kratkomintervalu vremenaintervalu vremena∆∆ P
P
PP
tt
∆∆tt
Serija impulsnih optereSerija impulsnih optereććenjaenja
�� periodiperiodiččno optereno optereććenje i rastereenje i rastereććenje u veomaenje u veomakratkom intervalu vremenakratkom intervalu vremena
∆∆ PP
PP
tt
AperiodiAperiodiččna opterena optereććenjaenja
�� slosložžena frekventna karakteristikaena frekventna karakteristika -- definisanadefinisanau intervalimau intervalima
PP
tt
�� MODELIRANJE KONSTRUKCIJAMODELIRANJE KONSTRUKCIJA --kreiranje idealizovane i pojednostavljenekreiranje idealizovane i pojednostavljenereprezentacije ponareprezentacije ponaššanja konstrukcijaanja konstrukcija --
odluodluččujuujućći korak u procesu projektovanjai korak u procesu projektovanja�� GreGrešške i propusti u modeliranjuke i propusti u modeliranju
mogu da budu uzrok ozbiljnihmogu da budu uzrok ozbiljnihproblema i teproblema i tešškokoćća u projektovanjua u projektovanju�� NUMERINUMERIČČKO MODELIRANJE jeKO MODELIRANJE je
matematimatematiččka realizacija izabranog konceptaka realizacija izabranog konceptamodeliranja konstrukcijemodeliranja konstrukcije
CILJCILJ NUMERINUMERIČČKOG MODELIRANJAKOG MODELIRANJA
FormulisanjeFormulisanje ""optimalnooptimalno"" kompleksnogkompleksnogmodela ponamodela ponaššanja konstrukcije:anja konstrukcije:
�� realnorealno potrebanpotreban kvalitetkvalitet aproksimacije...aproksimacije...�� usklađenost sa moguusklađenost sa moguććnostimanostimapraktipraktiččne realizacije i primene...ne realizacije i primene...
DINAMIDINAMIČČKI MODELIKI MODELI
�� veliveliččina i raspored masa...ina i raspored masa...�� veliveliččina i raspored priguina i raspored priguššenja...enja...�� veliveliččina i raspored krutosti...ina i raspored krutosti...
Raspored masa kod dinamiRaspored masa kod dinamiččkih modelakih modela
raspodeljeneraspodeljenemasemase
koncentrisanekoncentrisanemasemase
0.040.04 0.0120.012 0.0040.004
22 44 66 88 1010 1212 1414 1616 1818 20200.000.00
0.250.25
0.500.50
0.750.75
1.001.00
1.251.25
1.501.50
rela
tivna
rela
tivna
gre
grešš
kakapr
ora
pror
aččun
aun
a[%
][%
]
TT TT
TT
−− 00
Model sa raspodeljenim masamaModel sa raspodeljenim masama
brojbroj elemenataelemenata popo šštaputapu sistemasistema
22 44 66 88 1010 1212 1414 1616 1818 2020brojbroj elemenataelemenata popo šštaputapu sistemasistema
112233445566778899
10101111
rela
tivna
rela
tivna
gre
grešš
kakapr
ora
pror
aččun
aun
a[%
][%
] TT TT
TT
−− 00
0.050.05 0.030.03
Model sa koncentrisanim masamaModel sa koncentrisanim masama
�� Stepeni slobode dinamiStepeni slobode dinamiččkih modelakih modela --nezavisni parametri pomeranja kojinezavisni parametri pomeranja koji
određuju poloodređuju položžaj masa modelaaj masa modela
�� Broj stepeni slobodeBroj stepeni slobode --minimalan broj dodatnih veza zaminimalan broj dodatnih veza za
sprespreččavanje pomeranja masa dinamiavanje pomeranja masa dinamiččkogkogmodelamodela -- ne zavisi od "statine zavisi od "statiččkog" brojakog" broja
stepeni slobodestepeni slobode
Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkih modelakih modela
Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkih modelakih modelaokvirnog nosaokvirnog nosaččaa
Raspored masa dinamiRaspored masa dinamiččkog modelakog modelaluluččnog nosanog nosaččaa
Odnos broja stepeni slobode "s" i broja "m"Odnos broja stepeni slobode "s" i broja "m"masa dinamimasa dinamiččkih modelakih modela
s=ms=m s>ms>m
s<ms<m s=ms=m
Metode za dinamiMetode za dinamiččku analizuku analizusistemasistema
�� direktno redirektno reššavanje parcijlneavanje parcijlnediferencijalne jednadiferencijalne jednaččineine
�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata�� metoda silametoda sila
Parcijalna diferencijalna jednaParcijalna diferencijalna jednaččinainapoprepopreččnih oscilacija gredenih oscilacija grede
MM00
VV00
MMll
VVll
φφ00
vvllvv00 φφll
ξξ ddξξ
ppyy(x,t(x,t))
m(xm(x))
))tt,,xx((ppttvv))xx((mm
xxvvEIEI
ttvv))xx((mm))tt,,xx((pp
xxvvEIEI yy22
22
44
44
22
22
yy44
44
==∂∂∂∂⋅⋅++
∂∂∂∂⋅⋅⇒⇒
∂∂∂∂⋅⋅−−==
∂∂∂∂⋅⋅
v=v=v(x,tv(x,t))
Slobodne popreSlobodne popreččne oscilacije prostene oscilacije prostegredegrede
00))xx((vvωω))xx((mmdxdx
vvddEIEI 2244
44
==⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⇒⇒
ttωωsinsin))xx((vv))tt,,xx((vv ⋅⋅==
00ttvv))xx((mm
xxvvEIEI 22
22
44
44
==∂∂∂∂⋅⋅++
∂∂∂∂⋅⋅
4422
EIEIωωmmLLλλ⋅⋅
⋅⋅==
xxLLλλsinsinDDxx
LLλλcoscosCCxx
LLλλsinhsinhBBxx
LLλλcoshcoshAA))xx((vv ⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==
Konturni uslovi i konstanteKonturni uslovi i konstante
00λλsinsinDD00λλsinhsinhBB
λλsinsinDDλλsinhsinhBB))LL((MM
λλsinsinDDλλsinhsinhBB))LL((vv
==⋅⋅==⋅⋅
⇒⇒
⋅⋅−−⋅⋅==
⋅⋅++⋅⋅==
00CC00АА
CCAA))00((MM
CCAA))00((vv
====
⇒⇒
−−==
++==
00dxdx
))LL((vvddEIEI))LL((MM 22
22
==⋅⋅−−==00dxdx
))00((vvddEIEI))00((MM 22
22
==⋅⋅−−==
00))LL((vv ==00))00((vv ==
LL
KruKružžna frekvencija i "j" oblikna frekvencija i "j" oblikoscilovanja proste gredeoscilovanja proste grede
LLxxππjjsinsinDD))xx((vv jjjj⋅⋅⋅⋅
⋅⋅==
,...),...)22,,11jj(())xx((mm
EIEILLππjjωω 22
2222
jj ==⋅⋅⋅⋅==
EIEIωω))xx((mm
LLππjjλλ 4422jj
jj
⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==
,...),...)22,,11jj((ππjjλλ00λλsinsin00BB00λλ ==⋅⋅==⇒⇒==⇒⇒==⇒⇒≠≠
LL
KruKružžne frekvencije i oblici oscilovanjane frekvencije i oblici oscilovanjaproste grede (j=1,2,3)proste grede (j=1,2,3)
j=2j=2
j=1j=1
j=3j=3
))xx((mmEIEI
LLππωω 22
22
11 ⋅⋅==
))xx((mmEIEI
LLππ44ωω 22
22
22 ⋅⋅==
))xx((mmEIEI
LLππ99ωω 22
22
33 ⋅⋅==
Superpozicija oblika oscilovanjaSuperpozicija oblika oscilovanjaproste gredeproste grede
∫∫∫∫
∑∑∑∑
∑∑
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅
⋅⋅==
∂∂∂∂==
==
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅==
∞∞
==
∞∞
==
∞∞
==
11
00jj
11
00jj
11jjjj
11jjjj
11jjjjjjjj
dxdxLL
xxππjjsinsin))xx((''ffLL22''bbdxdx
LLxxππjjsinsin))xx((ff
LL22bb
LLxxππjjsinsin''bb))xx((''ff
LLxxππjjsinsinbb))xx((ff
tt))00,,xx((vv))xx((''ff
))00,,xx((vv))xx((ff
))φφttωω((LL
xxππjjsinsinDD))tt,,xx((vv
22jj
22jj22
jjjj
22jj
22jj
22jj
jjjjjjjj
jj
jjjj
jjjjjjjj
jjjjjj
11jjjjjjjj
11jjjj
11jjjjjj
11jjjj
ωω''bb
bbDD
''bbωωbbωωbb
φφsinsinωω''bb
bbφφtgtg
φφcoscosωωDD''bbφφsinsinDDbb
LLxxππjjsinsinφφcoscosωωDD
LLxxππjjsinsinbb
LLxxππjjsinsin
LLxxππjjφφsinsinDD
LLxxππjjsinsinbb
++==
++⋅⋅
⋅⋅==⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅==⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
∑∑∑∑
∑∑∑∑∞∞
==
∞∞
==
∞∞
==
∞∞
==
Slobodne popreSlobodne popreččne oscilacije konzolene oscilacije konzole
00))xx((vvωω))xx((mmdxdx
vvddEIEI 2244
44
==⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⇒⇒
ttωωsinsin))xx((vv))tt,,xx((vv ⋅⋅==
00ttvv))xx((mm
xxvvEIEI 22
22
44
44
==∂∂∂∂⋅⋅++
∂∂∂∂⋅⋅
4422
EIEIωωmmLLλλ⋅⋅
⋅⋅==
xxLLλλsinsinDDxx
LLλλcoscosCCxx
LLλλsinhsinhBBxx
LLλλcoshcoshAA))xx((vv ⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==
Konturni usloviKonturni uslovi
LL
00dxdx
))LL((vvddEIEI))LL((MM 22
22
==⋅⋅−−==
00dxdx
))LL((vvddEIEI))LL((VV 33
33
==⋅⋅−−==
00dxdx
))00((dvdv ==
00))00((vv ==
KruKružžne frekvencije i oblici oscilovanjane frekvencije i oblici oscilovanjakonzole (j=1,2,3)konzole (j=1,2,3)
j=2j=2
j=1j=1
j=3j=3LL
))xx((mmEIEI
LL875875..11ωω 22
22
11 ⋅⋅==
))xx((mmEIEI
LL694694..44ωω 22
22
22 ⋅⋅==
))xx((mmEIEI
LL855855..77ωω 22
22
33 ⋅⋅==
Stepen slobode pomeranjaStepen slobode pomeranjadinamidinamiččkih modelakih modela
�� realni sistemi imaju kontinualno raspoređenerealni sistemi imaju kontinualno raspoređenemase (bssmase (bss→∞→∞))
�� kontinualno raspoređena masakontinualno raspoređena masase modelira dovoljnim brojem koncentrisanihse modelira dovoljnim brojem koncentrisanih
masa (bssmasa (bss=N)=N)�� kontinualno raspoređena masakontinualno raspoređena masa
se modelira jednom koncentrisanom masomse modelira jednom koncentrisanom masom(bss=N)(bss=N)
DinamiDinamiččki modeli sa jednimki modeli sa jednimstepenom slobode pomeranjastepenom slobode pomeranja
Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacijeene oscilacijedinamidinamiččkih modela sa jednim stepenomkih modela sa jednim stepenom
slobode pomeranjaslobode pomeranja
�� slobodne oscilacijeslobodne oscilacije ---- sistem osciluje bez spoljasistem osciluje bez spoljaššnjeg dejstvanjeg dejstva
ili poremeili poremeććajaaja�� mala vrednost prigumala vrednost priguššenja (enja (µ≈µ≈00))�� harmonijska funkcija promeneharmonijska funkcija promene
yy stst
mm
kk
mm⋅⋅ηη kk⋅⋅ηη
mm⋅⋅gg
mm -- masa tela [kg]masa tela [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje
(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost opruge [N/m]krutost opruge [N/m] -- sila kojasila koja
izaziva jediniizaziva jediniččno pomeranjeno pomeranjeyystst -- statistatiččko pomeranje (ravnoteko pomeranje (ravnotežžnini
polopoložžaj)aj)y(t)y(t) -- pomeranje u odnosu napomeranje u odnosu na
ravnoteravnotežžni poloni položžaj (elongacija)aj (elongacija)ηη(t)(t) -- ukupno pomeranje (ukupno pomeranje (ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]
¨
ηη (t)(t)
y(t)
y(t)
Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina slobodnih nepriguina slobodnih nepriguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modela sa jednimkog modela sa jednim
stepenom slobode pomeranjastepenom slobode pomeranja
dtdt))tt((dydy
dtdt))tt((ηηdd ==
))tt((yyyy))tt((ηη stst ++==
00))tt((yykk))tt((yymm ==⋅⋅++⋅⋅ &&&&
yyηη..tt јјdtdt
))tt((yydddtdt
))tt((ηηdd22
22
22
22
==== &&&&&&&&
00ggmm))tt((ηηkk))tt((ηηmm::principprincipAlambertovAlambertov''DD ==⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅ &&&&
))))tt((yy))tt((ηη((kkyykkggmm stst −−⋅⋅==⋅⋅==⋅⋅
popoččetni uslovietni uslovi
]]ss
radrad[[aafrekvencijfrekvencijkrukružžnana
ααsinsinAACC22 ⋅⋅==ααcoscosAACC11 ⋅⋅==
−−
ttωωcoscosCCttωωsinsinCCyy 2211 ⋅⋅++⋅⋅==
−−yygg
mmkkωω
stst
====
ttωωcoscosyyttωωsinsinωωyyyy 00
00 ⋅⋅++⋅⋅== &&
vvyy))00tt((yy,,yy))00tt((yy 000000 ========== &&&&
00))tt((yyωω))tt((yy ==⋅⋅++&&&&
AA -- amplituda oscilacijaamplituda oscilacija
AA))ααttωωsin(sin(AAyy iimaxmax ==++⋅⋅==
))ααttωωsin(sin(AAyy ++⋅⋅==
))ααcoscosttωωsinsinααsinsinttωω(cos(cosAAyy ⋅⋅++⋅⋅==
ωωyyyy
CCCCααtgtg
00
00
11
22 ⋅⋅====&&
yyωωyyCCCCAA 22
00
220022
222211 ++
==++== &&
]]minminobrobr[[tehnitehniččka frekvencijaka frekvencija
]]ss11[[svojstvena frekvencijasvojstvena frekvencija
]]ss[[period oscilacijaperiod oscilacija
−−TT6060
mmkk
ππ226060ff6060nn ==⋅⋅==⋅⋅==
−−mmkk
ππ2211
ππ22ωω
TT11ff ⋅⋅======
−−
ωω22ππ99
ωωααtt 22 ++−−==
ωω22ππ55
ωωααtt11 ++−−==
ωω22ππ
ωωααtt00 ++−−==
...)...),,22,,11,,00ii(( ==ωω22
αα22ππ))ii4411((tt11))ααttωωsin(sin( iiii−−⋅⋅++==⇒⇒==++
ωωππ22tttt......ttttttttTT 11iiii11220011 ==−−====−−==−−== −−
AA
AA ·· s
in(
sin(ωω
t+t+αα ))
AA ·· s
insin αα
AA
T=2T=2ππ//ωω
ααωωtt
ωω22ππ
ωωαα ++−−
Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode
pomeranjapomeranja
Određivanje krutosti dinamiOdređivanje krutosti dinamiččkog modela sakog modela sajednim stepenom slobode pomeranjajednim stepenom slobode pomeranja
P=1P=1
P=1P=1
P=1P=1
δδmPmP
11kk ==δδ m
Pm
P
δδ mP
mP
δδ mP
mP
mm
mm
mm
mm
kk22
kk11
Određivanje ekvivalentne krutosti dinamiOdređivanje ekvivalentne krutosti dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode
pomeranjapomeranja
mmkk22
kk11
2211 kk11
kk11
kk11 ++==k = kk = k11 + k+ k22
Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacijeene oscilacijedinamidinamiččkih modela sa jednim stepenomkih modela sa jednim stepenom
slobode pomeranjaslobode pomeranja
�� slobodne oscilacijeslobodne oscilacije ---- sistem osciluje bez spoljasistem osciluje bez spoljaššnjeg dejstvanjeg dejstva
ili poremeili poremeććajaaja�� prigupriguššenje ne moenje ne možže da se zanemari (e da se zanemari (µ≠µ≠00))
�� harmonijska funkcija promeneharmonijska funkcija promene
PriguPriguššenje kod građevinskih konstrukcijaenje kod građevinskih konstrukcija
�� trenje između materijalnihtrenje između materijalnih ččestica...estica...�� histerezisno ponahisterezisno ponaššanje materijala...anje materijala...
�� otpor u vezama (spojevi,otpor u vezama (spojevi,ččvorovi, oslonci...)vorovi, oslonci...)
�� viskozni otpor sredine...viskozni otpor sredine...�� Coulombovo trenje...Coulombovo trenje...
Pomeranje/rotacijaPomeranje/rotacija -- δδ//κκ
Sila
/mom
ent
Sila
/mom
ent --
P/M
P/M
11
22 33
44 55
Histerezisno ponaHisterezisno ponaššanje gredaanje greda
Sila
/mom
ent
Sila
/mom
ent --
P/M
P/M
11
22 33
44
55
Histerezisno ponaHisterezisno ponaššanje stubovaanje stubova
Pomeranje/rotacijaPomeranje/rotacija -- δδ//κκ
PomeranjePomeranje -- δδ
Sila
Si
la --
PPHisterezisno ponaHisterezisno ponaššanjeanje
ččvorovavorova
mm
kk
mm⋅⋅ηηkk⋅⋅ηη
mm⋅⋅gg
mm -- masa [kg]masa [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje
(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranje
(ravnote(ravnotežžni poloni položžaj)aj)y(t)y(t) -- pomeranje u odnosupomeranje u odnosu
na ravnotena ravnotežžni poloni položžajaj(elongacija)(elongacija)
ηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))
kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]¨
cc⋅⋅ηη
˙
cc yy stst
ηη (t)(t)
y(t)
y(t)
Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina slobodnih priguina slobodnih priguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modelakog modela
sa jednim stepenom slobode pomeranjasa jednim stepenom slobode pomeranja
))yy))tt((yy((kk))tt((ηηkk stst++⋅⋅==⋅⋅
00yykkyyccyymm ==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅ &&&&&&
))tt((yycc))tt((ηηcc ⋅⋅==⋅⋅ &&&&
00ggmmηηkkηηccηηmm ==⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅ &&&&&&
))tt((yymm))tt((ηηmm &&&&&&&& ⋅⋅==⋅⋅
22
22,,11 DDmm22
ccmmkk
mm22cc
mm22ccrr ±±
⋅⋅−−==−−
⋅⋅
±±⋅⋅
−−==
2222 00ωωrrmmccrr ==++⋅⋅++
rtrteeyy ==
rtrt22 eerryy ⋅⋅==&&&&
rtrteerryy ⋅⋅==&&
22 00yyωωyymmccyyyy
mmkkyy
mmccyy ==⋅⋅++⋅⋅++==⋅⋅++⋅⋅++ &&&&&&&&&&&&
ttrr22
ttrr11
2211 eeCCeeCCyy ⋅⋅++⋅⋅==
Negativna vrednost diskriminante D<0Negativna vrednost diskriminante D<0
iiωωmm22
ccrr dd22 ⋅⋅−−⋅⋅
−−==iiωωmm22
ccrr dd11 ⋅⋅++⋅⋅
−−==
mm22ccωωωω
222222
dd
⋅⋅
−−==
ωωmm22
cc 2222
<<
⋅⋅
00mmkk
mm22cc 22
<<−−
⋅⋅
==== yy))00tt((yy 00
⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅
⋅⋅−−
))ttωωcoscosCCttωωsinsinCC((eeyy dd11dd11
ttmm22cc
⋅⋅−−==−− zzsinsiniizzcoscosee iziz
⋅⋅++== zzsinsiniizzcoscoseeiziz
⋅⋅++⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−
))eeCCeeCC((eeyy ttωωii22
ttωωii11
ttmm22cc
dddd
⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅++
⋅⋅==⋅⋅
⋅⋅−−
ttωωcoscosyyttωωsinsinωω
yymm22
ccyyeeyy dd00dd
dd
0000ttmm22cc &&
====== vvyy))00tt((yy 0000&&&&
ωωmm22ccζζ⋅⋅⋅⋅
==ζζ11ωωωωmm22
cc11ωωωω 2222
dd −−⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅==
))ααttωωsin(sin(eeAAyy dd
ttmm22cc
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅
⋅⋅−−
yymm22
ccyy
ωωyyααtgtg0000
00
⋅⋅⋅⋅
++
⋅⋅==&&
yyωω
yymm22
ccyyAA 22
00
22
dd
0000++
⋅⋅⋅⋅
++==
&&
-- koeficijent relativnog prigukoeficijent relativnog priguššenja (0.00enja (0.00--1.00)1.00)
ddttωωζζ ))ααttωωsin(sin(eeAAyy ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−
0000
00
yyωωζζyyωωyyααtgtg⋅⋅⋅⋅++
⋅⋅==&&
2200
22
dd
0000 yyωω
yyωωζζyyAA ++
⋅⋅⋅⋅++== &&
dddd ωω
ππ22TT⋅⋅==
cccrcr
ccζζ ==
dd00dd
0022 TT22ttωωππ44tttt ++==⋅⋅++==dd00
dd0011 TTtt
ωωππ22tttt ++==⋅⋅++==
dddddd22 ωω
ππ44ωω22ππ
ωωααtt
⋅⋅++⋅⋅
++−−==
dddddd11 ωω
ππ22ωω22ππ
ωωααtt
⋅⋅++⋅⋅
++−−==dddd
00 ωω22ππ
ωωααtt
⋅⋅++−−==
ddddii ,...),...)22,,11,,00ii((ii22
2211
ωωππ
ωωααtt ==
⋅⋅++++−−==
iiddttωωζζ
maxmax 11))ααttωωsin(sin(eeAAyy ==++⋅⋅⇒⇒⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−
dd00kk TTkktttt ⋅⋅++==
22dd
dd11kk
kk
ζζ11ππ22ζζ
ωωππ22ωωζζTTωωζζ
yyyylnlnδδ
−−⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅====
++
TTkkωωζζ
kk
00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−))TT22tt((ωωζζ
22 eeAAyy dd00⋅⋅== ++⋅⋅⋅⋅−−
TT22ωωζζ
22
00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅−−))TTtt((ωωζζ
11 eeAAyy dd00⋅⋅== ++⋅⋅⋅⋅−−
TTωωζζ
11
00 eeyyyy dd== ⋅⋅⋅⋅−−ttωωζζ
00 eeAAyy 00⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−
logaritamskilogaritamskidekrementdekrement
11ζζffff 22
22dd ==++
ζζ11ffζζ11
TT11
ππ22ωωff 2222
dd
dddd −−⋅⋅==−−⋅⋅====
TT11
ππ22ωωff ====
TTδδ
TTkkyyyylnln
ωωζζdddd
kk
00
==⋅⋅
==⋅⋅
TTωωζζkkyyyylnlnδδkk dd
kk
00 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅
yy 00
AA ·· s
insin αα
TTdd=2=2ππ//ωωdd
Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode
pomeranja (D<0)pomeranja (D<0)
yy 11
ddttωωζζ ))ααttωωsin(sin(eeAAyy ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ⋅⋅⋅⋅−−
0000
00
yyωωζζyyωωyyααtgtg⋅⋅⋅⋅++
⋅⋅==&&
2200
22
dd
0000 yyωω
yyωωζζyyAA ++
⋅⋅⋅⋅++== &&
dddd ωω
ππ22TT⋅⋅==
ttωωζζeeAA ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅−−
ttωωζζee--AA ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅−−
Pozitivna vrednost diskriminante D>0Pozitivna vrednost diskriminante D>0
ωωmm22
cc 2222
>>
⋅⋅
00mmkk
mm22cc 22
>>−−
⋅⋅
2222 ))11ζζζζ((ωωrr −−++⋅⋅−−==22
11 ))11ζζζζ((ωωrr −−++−−⋅⋅==
00yy))00tt((yy ==== 0000 vvyy))00tt((yy ====== &&&&
tt))11ζζζζ((ωω22
tt))11ζζζζ((ωω11
2222
eeCCeeCCyy ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−++−−⋅⋅ ⋅⋅++⋅⋅==
11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22
220000
22−−⋅⋅⋅⋅
−−++−−⋅⋅⋅⋅++−−== &&
11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22
220000
11−−⋅⋅⋅⋅
−−++⋅⋅⋅⋅++== &&
0000 vvyy))00tt((yy00))00tt((yy======
====&&&&
11ζζωω22yyCC
11ζζωω22yyCC 22
002222
0011
−−⋅⋅⋅⋅−−==
−−⋅⋅⋅⋅== &&&&
))eeee((AAyy tt))11ζζζζ((ωωtt))11ζζζζ((ωω 2222 ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−−−⋅⋅−− −−⋅⋅==
CC11
Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode
pomeranja (D>0)pomeranja (D>0)
CC22
tt))11ζζζζ((ωω22
22
eeCC ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅
tt))11ζζζζ((ωω11
22
eeCC ⋅⋅−−++−−⋅⋅⋅⋅tt))11ζζζζ((ωω
22tt))11ζζζζ((ωω
11
2222
eeCCeeCCyy ⋅⋅−−++⋅⋅−−⋅⋅−−++−−⋅⋅ ⋅⋅++⋅⋅==
11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22
220000
22 −−⋅⋅⋅⋅−−++−−⋅⋅⋅⋅++−−== &&
11ζζωω22))11ζζζζ((ωωyyyyCC 22
220000
11−−⋅⋅⋅⋅
−−++⋅⋅⋅⋅++== &&
vv00>0>0
vv00=0=0
vv00<0<0
yy 00
Slobodne priguSlobodne priguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa jednim stepenom slobodemodela sa jednim stepenom slobode
pomeranja (D=0)pomeranja (D=0)
vv00>0>0
vv00=0=0
vv00<0<0
ttωωζζ00crcr0000
0000
00
ttωωζζ2211
crcr
crcr
ee]]tt))yyζζyy((yy[[yy
vvyy))00tt((yyyy))00tt((yy
ee))ttCCCC((yy
⋅⋅⋅⋅−−
⋅⋅⋅⋅−−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==
==========
⋅⋅⋅⋅++==
&&
&&&&
Prinudne priguPrinudne priguššene oscilacije modela sa jednim stepenomene oscilacije modela sa jednim stepenomslobodeslobode -- harmonijska poremeharmonijska poremeććajna silaajna sila
mm -- masa [kg]masa [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje
(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranjey(t)y(t) -- elongacijaelongacijaηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje
((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm⋅⋅gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]F(t)F(t) -- poremeporemeććajna sila [N]ajna sila [N]
¨˙
mm
kk
mm⋅⋅ηηkk⋅⋅ηη
mm⋅⋅gg
cc⋅⋅ηη
cc yy stst
ηη (t)(t)
y(t)
y(t)
F(t)=FF(t)=F00··sinsinννtt
Diferencijalna jednaDiferencijalna jednaččina prinudnih priguina prinudnih priguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modelakog modela
sa jednim stepenom slobode pomeranjasa jednim stepenom slobode pomeranja
))φφttννsin(sin(NNvv))ααttωωsin(sin(eeAAyy
ωωζζεε))tt((yy))tt((yy))tt((yy
ttννsinsinmmFFyyωωyyωωζζ22yy
ttννsinsinFFyykkyyccyymm
ννddttωωζζ
pphh
0022
00
++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅==++==
⋅⋅==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
⋅⋅==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−−
&&&&&&
&&&&&&
ttννsinsinmmFF))φφsinsinttννsinsinφφcoscosttνν(cos(cosNNννεε22
))φφsinsinttννcoscosφφcoscosttνν)(sin)(sinννωω((NN
ttννsinsinmmFF))φφttννsin(sin(NNωω
))φφttννcos(cos(NNννεε22))φφttννsin(sin(NNνν
))φφttννsin(sin(NNννyy
))φφttννcos(cos(NNννyy
))φφttννsin(sin(NNyy
00νννννν
νννν2222
νν
00νννν
22
νννννννν22
νννν22
pp
ννννpp
ννννpp
⋅⋅==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
++⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅
⋅⋅==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−==
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==
++⋅⋅⋅⋅==
&&&&
&&
2222νν222222222200
νν
νννννν2222
νν
00νννννν
2222νν
νννννν2222
νν
νννννν2222
νν
ννωωννεε22φφtgtg
ννεε44))ννωω((mmFFNN
00φφcoscosNNννεε22φφsinsin))ννωω((NN
mmFFφφsinsinNNννεε22φφcoscos))ννωω((NN
00ttννcoscos]]φφcoscosNNννεε22φφsinsin))ννωω((NN[[ttννsinsin]]φφsinsinNNννεε22φφcoscos))ννωω((NN[[
−−⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅++−−⋅⋅==
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅−−
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅
⇓⇓
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅−−++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅
4444444444444444444444 334444444444444444444444 2211
22222222vstvst
2222222222
22
vstvstνν
22vstvst
220000
22
statistatiččki ugibki ugibusled Fusled F00
koeficijentkoeficijentprigupriguššenjaenja
odnosodnosfrekvencijefrekvencije
poremeporemeććajneajnesilesile
i krui kružžnenefrekvencijefrekvencije
ηηζζ44))ηη11((11NN
ννεε44))ννωω((ωωNNNN
ωωNNωωkkFF
mmFF
ωωkkmm
00vstvst kk
FFNN ==
ωωεεζζ ==
ωωννηη ==
⋅⋅⋅⋅++−−⋅⋅==
==⋅⋅⋅⋅++−−
⋅⋅==
⋅⋅==⋅⋅==
==
22maxmax
22νν
22222222νν
vstvstpp
ζζ11ζζ2211µµ00
ηηddµµdd
ηη11ηηζζ22φφtgtg
ηηζζ44))ηη11(())φφttννsin(sin(NNyyyy
−−⋅⋅⋅⋅==⇒⇒==
22222222vstvst
vv dinamidinamiččki koeficijentki koeficijentηηζζ44))ηη11((
11NNNNµµ −−
⋅⋅⋅⋅++−−====
−−⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅++−−−−
⋅⋅====
1.01.0
22..00
33..00
1.01.0 2.02.0 3.03.0 4.04.0
ηη
µµ
))ααttωωsin(sin(eeAA
ηηζζ44))ηη11(())φφttννsin(sin(
kkFFyy
ttωωζζ
222222νν00
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
++⋅⋅⋅⋅++−−
++⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅−−
ζζ=1.000=1.000
ζζ=0.500=0.500
ζζ=0.150=0.150
ζζ=0.375=0.375
ζζ=0.250=0.250
Promena dinamiPromena dinamiččkog koeficijenta "kog koeficijenta "µµ" usled promene odnosa" usled promene odnosa""ηη" (razli" (različčiti koeficijenti relativnog priguiti koeficijenti relativnog priguššenja "enja "ζζ")")
DinamiDinamiččki modeli sa viki modeli sa višše stepenie stepenislobode pomeranjaslobode pomeranja
Metode za dinamiMetode za dinamiččku analizuku analizusistema sa visistema sa višše stepeni slobodee stepeni slobode
�� metoda silametoda sila�� metoda deformacijametoda deformacija
�� metoda konametoda konaččnih elemenatanih elemenata
II11+R+R11 IIii+R+Rii IIkk+R+Rkk IInn+R+Rnn
PPii(t)(t)
PPii(t)(t)
kk11 kkii kkkk kknn
XXii == --IIii --RRii ==
== --mmii··yyii -- ccii··yyii
= k= kii··yyii
&&&&&&
mm11 mmii mmkk mmnn
mm11 mmii mmkk mmnn
yy11 yyii yykk yynn
ii
iiiiiiii kk
RRyymmyy++⋅⋅== &&&&
00))tt((∆∆oscilacije:oscilacije:slobodneslobodne ii ==
00RRii →→
))tt((∆∆))tt((∆∆))tt((∆∆ icicipipii ++==
00))tt((∆∆kkXXXXδδ......XXδδXXδδ ii
ii
iinninin2222ii1111ii ==++++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅
00))tt((∆∆yy))RRyymm((δδ............))−−RRyymm((δδ))RRyymm((δδ
iiiinnnnnninin
22222222ii11111111ii
==++−−++⋅⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅⋅−−
&&&&
&&&&&&&&
00))tt((∆∆yyyymmδδ......yymmδδyymmδδ iiiinnnninin222222ii111111ii ==++−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅−− &&&&&&&&&&&&
PPii(t)(t)
kk1i1ikkiiii
kkkiki kknini
mm11 mmii mmkk mmnn
kk11 kkii kkkk kknn
mm11
mmii mmkk
mmnn
1.0
1.0
00yymmyykk......yykk......yykk
00))tt((PPoscilacije:oscilacije:slobodneslobodne
00))tt((PPyymmyykk......yykk......yykk
00RR
00))tt((PPRRXXSS
yykk......yykk......yykkSS
iiiinnininiiiiii1111ii
ii
iiiiiinnininiiiiii1111ii
ii
iiiiiiii
nnininiiiiii1111iiii
==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅
==
==++⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅
→→
==++++++
⋅⋅++++⋅⋅++++⋅⋅==
&&&&
&&&&
Slobodne nepriguSlobodne nepriguššene oscilacije dinamiene oscilacije dinamiččkogkogmodela sa vimodela sa viššee
stepeni slobode pomeranjastepeni slobode pomeranja
==
==++⋅⋅⋅⋅
==++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅
nnnn
nn222222
nn1112121111
iinnnninin222222ii111111ii
δδ..simsim
δδδδδδδδδδ
]]δδ[[
00}}yy{{}}yy{{]]MM[[]]δδ[[
00yyyymmδδ......yymmδδyymmδδ
MMOO
KK
KK
&&&&
&&&&&&&&&&&&
==
==
==
==++⋅⋅⋅⋅
nn
22
11
nn
22
11
nn
22
11
yy
yyyy
}}yy{{
yy
yyyy
}}yy{{
mm..simsim
00mm0000mm
]]MM[[
00}}yy{{}}yy{{]]MM[[]]δδ[[
&&&&MM
&&&&
&&&&
&&&&MM
MMOO
KK
KK
&&&&
00ΦΦAAΦΦ))AAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ((
ΦΦAAyy
ΦΦAAyyΦΦAAyy
ΦΦAAyy
ΦΦAAyyyy
kkikikkknknknnininkk222222iikk111111ii
kknknknknk
kkkk22kk22
kkkk11kk11
kkikikikik
nn
11kkkkikik
nn
11kkikikii
==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅==
⋅⋅==⋅⋅==
⋅⋅==
⋅⋅==== ∑∑∑∑====
&&&&
MM
ttωωcoscosBBttωωsinsinAAΦΦ
00AA))AAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ((ωω
ωωAAmmδδ......AAmmδδAAmmδδ
AAΦΦΦΦ
kkkkkkkkkk
ikiknknknnininkk222222iikk111111ii22kk
22kk
nknknnininkk222222iikk111111ii
ikik
kk
kk
⋅⋅++⋅⋅==
==−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±
±±==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅
==&&&&
00ΦΦωωΦΦ kk22kkkk ==⋅⋅mm&&&&
00AA))λλmmδδ((......AAmmδδAAmmδδ
00AAmmδδ......AA))λλmmδδ((AAmmδδ
00AAmmδδ......AAmmδδAA))λλmmδδ((
00AA))11ωωmmδδ((......AAωωmmδδAAωωmmδδ
00AAωωmmδδ......AA))11ωωmmδδ((AAωωmmδδ((
00AAωωmmδδ......AAωωmmδδAA))11ωωmmδδ((
nknkkknnnnnnkk222222nnkk111111nn
nknknnnn22kk22kk222222kk11222121
nknknnnn11kk11221212kk11kk111111
nknk22kknnnnnnkk22
22kk2222nnkk11
22kk1111nn
nknk22kknnnn22kk22
22kk222222kk11
22kk112121
nknk22kknnnn11kk11
22kk221212kk11
22kk111111
==⋅⋅−−⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅
==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅
MM
MM
00}}AA{{])])II[[λλ]]DD([([
AA
AAAA
}}AA{{
kkkk
nknk
kk22
kk11
kk
==⋅⋅⋅⋅−−
==MM
]]MM[[]]δδ[[]]DD[[
00}}AA{{λλ}}AA{{]]MM[[]]δδ[[
00}}AA{{}}AA{{]]MM[[]]δδ[[ωω
kkkkkk
kkkk22kk
⋅⋅==
==⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅
==−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅
====
==
−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅
==⋅⋅−−
nnnn22nn11nn
nn2222222121
nn1112121111
nn2211
kknnnnnn2222nn1111nn
nnnn22kk222222112121
nnnn11221212kk111111
AAAAAA
AAAAAAAAAAAA
}}}}AA}...{}...{AA{{}}AA{{{{]]AA[[
00
λλmmδδmmδδmmδδ
mmδδλλmmδδmmδδmmδδmmδδλλmmδδ
frekventnafrekventnajednajednaččinaina
(fleksibilnost)(fleksibilnost)
00]]II[[λλ]]DD[[
LL
MMOOMMMM
LL
LL
LL
MMOOMMMM
KK
KK
00
λλmmkkkkkk
kkλλmmkkkk
kkkkλλmmkk
00
mmλλδδδδδδ
δδmmλλδδδδ
δδδδmmλλδδ
kk
nnnnnn22nn11nn
nn22kk
2222222121
nn111212kk
111111
nn
kknnnn22nn11nn
nn2222
kk22222121
nn11121211
kk1111
==
−−
−−
−−
==
−−
−−
−−
LL
MMOOMMMM
KK
KK
LL
MMOOMMMM
KK
KKalternativnialternativnioblikoblik
frekventnefrekventnejednajednaččineine
(fleksibilnost)(fleksibilnost)
frekventnafrekventnajednajednaččinaina(krutost)(krutost)
00]]MM[[ωω]]KK[[ 22 ==⋅⋅−−
Svojstveni oblici slobodnih nepriguSvojstveni oblici slobodnih nepriguššenihenihoscilacija dinamioscilacija dinamiččkog modela sa vikog modela sa viššee
stepeni slobode pomeranjastepeni slobode pomeranja
�� svojstveni oblik oscilacija je definisansvojstveni oblik oscilacija je definisansvojstvenim vektorom i odgovara svojstvenojsvojstvenim vektorom i odgovara svojstvenoj
frekvencijifrekvenciji�� broj svojstvenih oblika jednak je broju stepenibroj svojstvenih oblika jednak je broju stepeni
slobodeslobode�� u svojstvenom obliku oscilovanja odnosiu svojstvenom obliku oscilovanja odnosi
amplituda masa su konstantniamplituda masa su konstantni�� svojsteni vektori su ortogonalni vektorisvojsteni vektori su ortogonalni vektori
Ortogonalnost svojstvenih oblika slobodnihOrtogonalnost svojstvenih oblika slobodnihneprigunepriguššenih oscilacija dinamienih oscilacija dinamiččkog modela sakog modela sa
vivišše stepeni slobode pomeranjae stepeni slobode pomeranja
}}00{{}}AA{{]]MM[[}}AA{{00AAAAmm
ωωωω00AAAAmm))ωωωω((
))ttωωsinsinAAttωωsinsinAA((ωωmm
))ttωωsinsinAAttωωsinsinAA((ωωmm
ssTT
rr
nn
11iiiririsisii
ssrr
nn
11iiiririsisii
22ss
22rr
nn
11iirririrssisis
22ssii
nn
11iissisisrririr
22rrii
==++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅
≠≠==⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−
⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==
==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
==
⇓⇓
==
==
==
4444444444444444 334444444444444444 2211
Određivanje svojstvenih oblika i svojstvenihOdređivanje svojstvenih oblika i svojstvenihfrekvencija dinamifrekvencija dinamiččkog modela sa vikog modela sa višše stepenie stepeni
slobode pomeranjaslobode pomeranja
kkkkkk }}AA{{λλ}}AA{{]]DD[[ ⋅⋅==⋅⋅
kkkkkk }}AA{{λλ}}AA{{]]MM[[]]δδ[[ ⋅⋅==⋅⋅⋅⋅
2211
11mm
11mm
mm ωω11λλ
}}BB{{}}BB{{limlim ====++
∞∞→→
11mmmm}}AA{{cc}}BB{{limlim ⋅⋅==
∞∞→→
mm11mm }}BB{{]]DD[[}}BB{{ ⋅⋅==++
kk22kkkk }}AA{{]]MM[[ωω}}AA{{]]KK[[ ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅
nn
22nn
mm
11mmmm λλ
11ωω}}BB{{}}BB{{limlim ====++
∞∞→→
nnmmmm}}AA{{cc}}BB{{limlim ⋅⋅==
∞∞→→
mm11
11mm }}BB{{]]DD[[}}BB{{ ⋅⋅== −−++
kk22kkkk
1111 }}AA{{ωω}}AA{{]]δδ[[]]MM[[ ⋅⋅==⋅⋅⋅⋅ −−−−
00aa00}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa
00}}AA{{]]MM[[}}AA{{
}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa......}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa}}AA{{]]MM[[}}AA{{aa
00}}BB{{]]MM[[}}AA{{
}}AA{{aa}}BB{{00aa
}}AA{{aa......}}AA{{aa}}AA{{aa}}BB{{
1111TT
1111
ssTT
rr
nnTT
nnnn22TT
222211TT
1111
TT11
nn
22mmmmmm11
nnnn22221111
==⇒⇒==⋅⋅⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅
⋅⋅==⇒⇒==
⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅==
∑∑==
11nn
ii11ii11
ii11iinn
3131
ii11ii11
ii11ii33
2121
ii11ii11
ii11ii22
11,c11,c
11nn
2121
1111
AAAAmm
AAmm......AA
AAmm
AAmmAA
AAmm
AAmmAA
AA
AAAA
}}BB{{
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−−−−⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅−−⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅==
==
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
00AAmmAA......AAmmAAAAmmAAii
11iinn11nnii
11ii222121ii
11ii111111 ==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅ ∑∑∑∑∑∑
MM
}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[
}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[
}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[
}}AA{{}}AA{{]]SS[[
AA
AAAA
AA
AAAA
110000
001100
AAmm
AAmm
AAmm
AAmm00
11mmmm11mm11ccmm
3322112211cc22
2211111111cc11
cc111111
cc11nn
2121
1111
11nn
2121
1111
ii11ii11
ii11iinn
ii11ii11
ii11ii22
++==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅
==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅
==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅
==⋅⋅
==
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅−−
⋅⋅
⋅⋅
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
MMMM
LL
MMOOMMMM
LL
LL
}}AA{{λλaa}}BB{{limlim
}}AA{{λλaa}}BB{{limlim
λλ......λλλλ
λλ......λλλλ
}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{
}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{
22mm22221111mmmm
2211mm
222211mmmm
mmnn
mm33
mm22
nn3322
nnmmnnnn33
mm333322
mm222211mm
nn11mm
nnnn3311mm
33332211mm
2222mm
⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅==
>>>>>>>>>>>>
>>>>>>
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==
++∞∞→→
−−
∞∞→→
++
−−−−−−
2222
2222
11mm2222
22mm2222
mm11mm
1111mmmm ωω
11λλ}}AA{{λλaa
}}AA{{λλaalimlim}}BB{{}}BB{{limlim ====
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −−∞∞→→
++
∞∞→→
00aa00aa
00}}BB{{]]MM[[}}AA{{
00}}BB{{]]MM[[}}AA{{
2211
TT22
TT11
====
==⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅
∑∑==
⋅⋅==⇒⇒nn
33mmmmmm }}AA{{aa}}BB{{
00AAmmAA......AAmmAAAAmmAA
00AAmmAA......AAmmAAAAmmAA
ii22iinn11nn
ii22ii222121
ii22ii111111
ii11iinn11nn
ii11ii222121
ii11ii111111
==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
2233
3333
11mm3333
33mm3333
22mm
2211mm
mm
33333311mm
333322mmmm
nnmmnnnn44
mm444433
mm333322mm22mm22
2222nnnnnn444444333333221122
11mmmm22mm22ccmm
2222
ωω11λλ
}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa
}}BB{{}}BB{{limlim
}}AA{{cc}}AA{{λλaa}}BB{{limlim
}}AA{{λλaa......}}AA{{aa}}AA{{λλaa}}BB{{}}BB{{]]DD[[
}}BB{{}}AA{{λλaa......}}AA{{λλaa}}AA{{λλaa}}BB{{]]DD[[
}}AA{{}}AA{{]]DD[[}}AA{{]]SS[[]]DD[[}}AA{{]]DD[[
]]DD[[]]SS[[]]DD[[
====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==⋅⋅
==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅
−−++
∞∞→→
−−
∞∞→→
++
Prinudne vibracije dinamiPrinudne vibracije dinamiččkog modela sa vikog modela sa viššeestepeni slobode pomeranja usled harmonijskistepeni slobode pomeranja usled harmonijski
promenljivog opterepromenljivog optereććenjaenja
00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX))kk11δδ((......XXδδXXδδ
yyyymmkk
kkXX
kkyymmyyyymmXX
ttννsinsin∆∆))tt((∆∆
00))tt((∆∆yyXXδδ......XXδδXXδδ
00iinnininiiii
iiii2222ii1111ii
ii
iiiiii
ii
ii
ii
iiiiiiiiiiii
00iiii
iiiinninin2222ii1111ii
==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++++++⋅⋅++⋅⋅
⋅⋅==⇒⇒==⋅⋅==⋅⋅==
⋅⋅==
==++++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅
&&&&&&&&&&&&
00ttννsinsin∆∆XX**δδ......XXδδXXδδ
00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX**δδXXδδ
00ttννsinsin∆∆XXδδ......XXδδXX**δδ
00ttννsinsin∆∆XXδδ......XX))ννmm
11δδ((......XXδδXXδδ
ttννsinsinyy))tt((yy
00nnnnnnnn2222nn1111nn
2020nnnn22222222112121
1010nnnn11221212111111
00iinnininii22ii
iiii2222ii1111ii
iiii
==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅
==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅
==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅
==⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
−−++++⋅⋅++⋅⋅
⋅⋅==
MM
22ii
ii
22iiii
ii ννmmttννsinsinyy
ttννsinsinννyymmkk ⋅⋅−−==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−==
00kknnknkn2222kk1111kkkk
1122
22ii
iiii
22nn
nnnn22nn11nn
nn222222
22222121
nn1112122211
1111
22ii
iiiiiiii
SSXXSS......XXSSXXSSSS
00}}∆∆{{}}XX{{))]]MM[[νν11]]δδ([([
ννmmXX))tt((yy
ννmm11δδδδδδ
δδννmm
11δδδδ
δδδδννmm
11δδ
]*]*δδ[[
ννmm11δδ**δδ
++⋅⋅++++⋅⋅++⋅⋅==
==++⋅⋅−−
⋅⋅==
⋅⋅−−
⋅⋅−−
⋅⋅−−
==
⋅⋅−−==
−−
LL
MMOOMMMM
KK
KK
ZEMLJOTRESZEMLJOTRES�� zemljotreszemljotres -- ubrzano pomeranje tla koje izazivaubrzano pomeranje tla koje izaziva
inercijalne sile u konstrukcijamainercijalne sile u konstrukcijama�� vulkanski zemljotresivulkanski zemljotresi -- posledica promena uposledica promena u
zemljinoj kori zbog izrazemljinoj kori zbog izražžene vulkanske aktivnostiene vulkanske aktivnosti�� urvinski zemljotresiurvinski zemljotresi -- posledica uruposledica uruššavanja gornjihavanja gornjihslojeva tla u zonama iznadslojeva tla u zonama iznad ššupljina u zemljinoj koriupljina u zemljinoj kori�� tektonski zemljotresitektonski zemljotresi -- posledica popuposledica popušštanja vezetanja veze
u kontaktnim zonama blokova zemljine koreu kontaktnim zonama blokova zemljine kore(rasedi)(rasedi)
ZemljotresZemljotres -- mesto pojavemesto pojave
�� hipocentarhipocentar -- mesto nastanka seizmimesto nastanka seizmiččkog talasakog talasa -- tetežžiišštetepovrpovrššine raseda (na dubini 5kmine raseda (na dubini 5km--60km)60km)
�� epicentarepicentar -- centralna projekcija hipocentra na povrcentralna projekcija hipocentra na površšinuinuzemljezemlje
�� "e""e" -- epicentralno rastojanjeepicentralno rastojanje -- rastojanje epicentrarastojanje epicentra "E""E" ododtataččke na zemljinoj povrke na zemljinoj površšini "X"ini "X"
�� "h""h" -- hipocentralno rastojanjehipocentralno rastojanje -- rastojanje hipocentrarastojanje hipocentra "H""H" ododepicentraepicentra "E""E" -- dubinadubina žžariariššta zemljotresata zemljotresa
HH
EE XXее
hh ff
Prostiranje zemljotresa u zemljinoj koriProstiranje zemljotresa u zemljinoj kori ---- seizmiseizmiččki talasiki talasi
�� longitudinalni (podulongitudinalni (podužžni) talasini) talasi -- promenapromenanaprezanja (pritisak i zatezanje) u pravcu talasanaprezanja (pritisak i zatezanje) u pravcu talasa
(7(7--8km/s)8km/s)�� transverzalni (popretransverzalni (popreččni) talasini) talasi -- oscilovanjeoscilovanje
upravno na pravac talasa (4upravno na pravac talasa (4--4.5km/s)4.5km/s)�� Reyleighevi (povrReyleighevi (površšinski) talasiinski) talasi --
dvodimenzionalno oscilovanje slobodne povrdvodimenzionalno oscilovanje slobodne površšineinetla (0.2tla (0.2--5.6km/s)5.6km/s)
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]
--350350
--300300--300300
--250250
--200200--200200
--150150
--100100--100100
--5050
0000
5050
100100100100
150150
200200200200
250250
300300300300
350350
--300300
--200200
--100100
00
100100
200200
300300
San FernandoSan Fernando09.02.197109.02.1971N11E komponentaN11E komponenta∆∆t=0.02st=0.02s
uugmaxgmax=192.643cm/s=192.643cm/s 22
uugmingmin==--220.489cm/s220.489cm/s 22
Hor
izon
taln
o ub
rzan
je p
odlo
ge [c
m/s
Hor
izon
taln
o ub
rzan
je p
odlo
ge [c
m/s
22 ]] &&&&&&&&
Akcelerogram seizmiAkcelerogram seizmiččkog dejstvakog dejstva
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]
--4.54.5
--4.04.0--4.04.0
--3.53.5
--3.03.0--3.03.0
--2.52.5
--2.02.0--2.02.0
--1.51.5
--1.01.0--1.01.0
--0.50.5
0.00.00.00.0
0.50.5
1.01.01.01.0
1.51.5
2.02.02.02.0
2.52.5
3.03.03.03.0
3.53.5
4.04.04.04.0
4.54.5
--4.04.0
--3.03.0
--2.02.0
--1.01.0
0.00.0
1.01.0
2.02.0
3.03.0
4.04.0
0.8040.804
--0.9230.923--1.2621.262
1.1381.138
--2.8982.898
3.1583.158
0.3240.324
--0.280.28
MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆t=0.005st=0.005suumaxmax=3.158cm=3.158cmuuminmin==--2.898cm2.898cm
Hor
izon
taln
o po
mer
anje
[cm
]H
oriz
onta
lno
pom
eran
je [c
m]
Odgovor objektaOdgovor objekta -- pomeranjepomeranje
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919Vreme [s]Vreme [s]
--350350
--300300--300300
--250250
--200200--200200
--150150
--100100--100100
--5050
0000
5050
100100100100
150150
200200200200
250250
300300300300
350350
--300300
--200200
--100100
00
100100
200200
300300
ParkfieldParkfield27.06.196627.06.1966N65W komponentaN65W komponenta∆∆t=0.02st=0.02suugmaxgmax=264.352cm/s=264.352cm/s 22
uugmingmin==--220.801cm/s220.801cm/s 22
Hor
izon
taln
o ub
rzan
je p
odlo
ge [c
m/s
Hor
izon
taln
o ub
rzan
je p
odlo
ge [c
m/s
22 ]]
&&&&&&&&
Akcelerogram seizmiAkcelerogram seizmiččkog dejstvakog dejstva
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919
Vreme [s]Vreme [s]
--4.54.5
--4.04.0--4.04.0
--3.53.5
--3.03.0--3.03.0
--2.52.5
--2.02.0--2.02.0
--1.51.5
--1.01.0--1.01.0
--0.50.5
0.00.00.00.0
0.50.5
1.01.01.01.0
1.51.5
2.02.02.02.0
2.52.5
3.03.03.03.0
3.53.5
4.04.04.04.0
4.54.5
--4.04.0
--3.03.0
--2.02.0
--1.01.0
0.00.0
1.01.0
2.02.0
3.03.0
4.04.0
--0.7990.799
0.8720.872
2.0572.057
--2.232.23
1.1311.131
--1.3031.303
--0.6440.644
0.4450.445
MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆t=0.005st=0.005suumaxmax=2.057cm=2.057cmuuminmin==--2.230cm2.230cm
Hor
izon
taln
o po
mer
anje
[cm
]H
oriz
onta
lno
pom
eran
je [c
m]
Odgovor objektaOdgovor objekta -- pomeranjepomeranje
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919
Vreme [s]Vreme [s]
--350350
--300300--300300
--250250
--200200--200200
--150150
--100100--100100
--5050
0000
5050
100100100100
150150
200200200200
250250
300300300300
350350
--300300
--200200
--100100
00
100100
200200
300300
Imperial ValleyImperial Valley18.05.1940.18.05.1940.N65W komponentaN65W komponenta∆∆t=0.02st=0.02suugmaxgmax=263.049cm/s=263.049cm/s 22
uugmingmin==--341.705cm/s341.705cm/s 22
Hor
izon
taln
o ub
rzan
je p
odlo
ge [c
m/s
Hor
izon
taln
o ub
rzan
je p
odlo
ge [c
m/s
22 ]] &&&&&&&&
Akcelerogram seizmiAkcelerogram seizmiččkog dejstvakog dejstva
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919
--4.54.5
--4.04.0--4.04.0
--3.53.5
--3.03.0--3.03.0
--2.52.5
--2.02.0--2.02.0
--1.51.5
--1.01.0--1.01.0
--0.50.5
0.00.00.00.0
0.50.5
1.01.01.01.0
1.51.5
2.02.02.02.0
2.52.5
3.03.03.03.0
3.53.5
4.04.04.04.0
4.54.5
--4.04.0
--3.03.0
--2.02.0
--1.01.0
0.00.0
1.01.0
2.02.0
3.03.0
4.04.0
--2.42.4
2.4152.415
--1.6321.632
2.4432.443
--0.8110.811
1.5311.531
--0.2450.245
1.2011.201
MGC analizaMGC analizaHorizontalno pomeranjeHorizontalno pomeranjeČČvor 1vor 1µµ=5%,=5%, ∆∆ t=0.005st=0.005suumaxmax=2.443cm=2.443cmuuminmin==--2.400cm2.400cm
Vreme [s]Vreme [s]
Hor
izon
taln
o po
mer
anje
[cm
]H
oriz
onta
lno
pom
eran
je [c
m]
Odgovor objektaOdgovor objekta -- pomeranjepomeranje
ŠŠema registrovanja mehaniema registrovanja mehaniččkih velikih veliččinainapri seizmipri seizmiččkim dejstvimakim dejstvima
�� nepokretni deonepokretni deo�� oprugaopruga (krutost)(krutost)
�� prigupriguššenjeenje�� masamasa
�� zapiszapis
Intenzitet seizmiIntenzitet seizmiččkog dejstvakog dejstva�� magnituda zemljotresa (Richter, Mmagnituda zemljotresa (Richter, Mmaxmax=8.9)=8.9)
M = log(A)M = log(A) -- log(B)log(B)AA -- amplituda pomeranja zemljotresaamplituda pomeranja zemljotresa
BB -- amplituda pomeranja referentnog zemljotresaamplituda pomeranja referentnog zemljotresa(B=0.001mm, e=100km)(B=0.001mm, e=100km)
�� oslobođena energija u hipocentruoslobođena energija u hipocentrulog(E) = 11.0 + 1.8log(E) = 11.0 + 1.8··MM�� intenzitet u epicentruintenzitet u epicentru
II00 = 1.5= 1.5··MM -- 3.53.5··log(f)+3.0log(f)+3.0
SeizmiSeizmiččke skaleke skale�� XVII vek (Italija)XVII vek (Italija)
�� 50 skala prema veli50 skala prema veliččiniini šštete na objektima,tete na objektima,promene nastale u okrupromene nastale u okružženju,enju,
promene ponapromene ponaššanjaanja žživih biivih bićća...a...�� MercalliMercalli--CancaniCancani--Siebergova skala (12 stepeni,Siebergova skala (12 stepeni,
1917.)1917.)�� modifikovana Mercallijeva skala (MM, USA)modifikovana Mercallijeva skala (MM, USA)
�� GOST 6249GOST 6249--52 (Rusija)52 (Rusija)�� MedvedevMedvedev--SponheuerSponheuer--Karnik (MSKKarnik (MSK--64, UNESCO,64, UNESCO,
1964.)1964.)
Karakteristike zemljotresa prema MCSKarakteristike zemljotresa prema MCSseizmiseizmiččkoj skalikoj skali
�� I stepenI stepen -- reaguju samo instrumentireaguju samo instrumenti�� II stepenII stepen -- oseti se samo na vioseti se samo na viššim spratovimaim spratovima
�� III stepenIII stepen -- lak zemljotres (vibracije kao pri prolaskulak zemljotres (vibracije kao pri prolaskulakog vozila)lakog vozila)
�� IV stepenIV stepen -- umeren zemljotres (vibracije kao pri prolaskuumeren zemljotres (vibracije kao pri prolaskutetešškog vozila)kog vozila)
�� V stepenV stepen -- dosta jak zemljotres (odosta jak zemljotres (oššteteććenja naenja naneseizmineseizmiččki građenim objektimaki građenim objektima))
�� VI stepenVI stepen -- jak zemljotres (pukotine u tlu, ojak zemljotres (pukotine u tlu, oššteteććenja i naenja i naaseizmiaseizmiččki građenim objektima aki građenim objektima agg=0.25=0.25--0.50m/s0.50m/s22))
�� VII stepenVII stepen -- silan zemljotres (osilan zemljotres (oššteteććenja na AB objektima,enja na AB objektima,aktiviranje manjih kliziaktiviranje manjih kliziššta, ata, agg=0.50=0.50--1.00m/s1.00m/s22))
�� VIII stepenVIII stepen -- šštetan zemljotres (strah i panika, srednjatetan zemljotres (strah i panika, srednjaooššteteććenja AB objekata, aenja AB objekata, agg=1.00=1.00--2.00m/s2.00m/s22))
�� IX stepenIX stepen -- ograniograniččeno razoran zemljotres (teeno razoran zemljotres (tešškakaooššteteććenja na svim objektima, aenja na svim objektima, agg=2.00=2.00--4.00m/s4.00m/s22))
�� X stepenX stepen -- razorni zemljotres (orazorni zemljotres (oššteteććenja na nasipima ienja na nasipima ibranama, pukotine u tlu i do 1m, rubranama, pukotine u tlu i do 1m, ruššenje veenje veććineine
uobiuobiččajeno građenih objekataajeno građenih objekata))�� XI stepenXI stepen -- pustopustoššni zemljotres (komunikacije postajuni zemljotres (komunikacije postaju
neupotrebljive, aktiviranje klizineupotrebljive, aktiviranje kliziššta i odrona)ta i odrona)�� XII stepenXII stepen -- katastrofalni zemljotreskatastrofalni zemljotres
(promena reljefa terena...)(promena reljefa terena...)
Prinudne priguPrinudne priguššene oscilacije modela sa jednim stepenomene oscilacije modela sa jednim stepenomslobode usled pomeranja osnoveslobode usled pomeranja osnove
mm -- masa [kg]masa [kg]gg -- gravitaciono ubrzanjegravitaciono ubrzanje
(9.81m/s(9.81m/s22))kk -- krutost [N/m]krutost [N/m]cc -- prigupriguššenje [Nenje [N··ss/m]/m]yystst -- statistatiččko pomeranjeko pomeranjey(t)y(t) -- elongacijaelongacijaηη(t)(t) -- ukupno pomeranjeukupno pomeranje
((ηη(t)=(t)=y(t)+yy(t)+ystst))kk··ηη -- restituciona sila [N]restituciona sila [N]cc··ηη -- sila prigusila priguššenja [N]enja [N]mm··ηη -- inercijalna silainercijalna sila [N][N]mm··gg -- tetežžina tela [N]ina tela [N]yygg(t)(t) -- pomeranje osnove [m]pomeranje osnove [m]
¨˙
mm
kk
mm··zzkk··zz
mm⋅⋅gg
cc··zz
cc yy stst
ηη (t)(t)
y(t)
y(t)
yygg(t)(t)
gg22
gg
gg
gg
gg
gg
gggggggg
yyzzωωzzωωζζ22zz
yyzzmmkkzz
mmcczz
yymmzzkkzzcczzmm
yyyyzzyyyyzzyyyyzz
yymm))yyyy((kk))yyyy((cc))yyyy((mm
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&
−−==⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
−−==⋅⋅++⋅⋅++
⋅⋅−−==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅
−−==−−==−−==
⋅⋅−−==−−⋅⋅++−−⋅⋅++−−⋅⋅
Spektri odgovoraSpektri odgovora�� spektri odgovora prikazuju maksimalnespektri odgovora prikazuju maksimalnevrednosti odgovora (pomeranja, brzine,vrednosti odgovora (pomeranja, brzine,
ubrzanja, sile u preseku, naponi, dinamiubrzanja, sile u preseku, naponi, dinamiččkikikoeficijenti...) sistema sa jednim stepenom slobode zakoeficijenti...) sistema sa jednim stepenom slobode za
dinamidinamiččko dejstvoko dejstvo�� apscisna osaapscisna osa -- svojstvene frekvencije ili periodisvojstvene frekvencije ili periodi
oscilovanja konstrukcijeoscilovanja konstrukcije�� ordinatna osaordinatna osa -- maksimalne vrednosti odgovoramaksimalne vrednosti odgovora
konstrukcijekonstrukcije�� familije krivih dobijaju se promenom prigufamilije krivih dobijaju se promenom priguššenjaenja
sistemasistema
NumeriNumeriččko modeliranje odgovorako modeliranje odgovorakonstrukcija izlokonstrukcija izložženih seizmienih seizmiččkim dejstvimakim dejstvima
�� modeliranje seizmimodeliranje seizmiččkog dejstvakog dejstva�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja materijalaanja materijala�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja elemenataanja elemenata
�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja spojeva i vezaanja spojeva i veza�� modeliranje ponamodeliranje ponaššanja tlaanja tla
Metoda direktne dinamiMetoda direktne dinamiččke analizeke analize
[M][M] -- matrica masa sistemamatrica masa sistema[C][C] -- matrica prigumatrica priguššenja sistemaenja sistema[K[Ktt]] -- tangentna matrica krutosti sistematangentna matrica krutosti sistema{{∆∆üü}} -- vektor inkremenata ubrzanjavektor inkremenata ubrzanja ččvorova sistemavorova sistema
-- vektor inkremenata brzinavektor inkremenata brzina ččvorova sistemavorova sistema{{∆∆u}u} -- vektor inkremenata pomeranjavektor inkremenata pomeranja ččvorova sistemavorova sistema{{∆∆F}F} -- vektor inkremenata spoljnih sila uvektor inkremenata spoljnih sila u ččvorovima sistemavorovima sistema
}}uu∆∆{{]]MM[[}}FF∆∆{{}}uu∆∆{{]]KK[[}}uu∆∆{{]]CC[[}}uu∆∆{{]]MM[[ ggtt &&&&&&&&&& ⋅⋅−−====⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅
}}uu∆∆{{ &&
ReReššavanje jednaavanje jednaččine dinamiine dinamiččke ravnoteke ravnotežžee� primena metode konačnih elemenata
� numeričko rešavanje jednačina dinamičke ravnotežeprimenom inkrementalnog (step-by-step) pristupa u
povezivanju tekuće i naredne konfiguracije analiziranogsistema konačnih elemenata
� umesto rešenja za bilo koji vremenski trenutak "t", traži serešenje samo u određenim diskretnim trenucima "ti"
(i=1,2,...,n) koji se razlikuju za "∆t"� promena pomeranja, brzina i ubrzanja u okviru vremenskog
intervala "∆t" unapred se pretpostavlja� kompleksna metoda
� velika tačnost metode - mogućnost primene realnihnelinearnih modela ponašanja i dobijanje istorije promene
veličina pomeranja, napona i sila
Metode direktne integracije jednaMetode direktne integracije jednaččineinedinamidinamiččke ravnoteke ravnotežžee
� metoda centralnih konačnih razlika(centralni diferencni postupak)
� Houboltov postupak prethodnih konačnih razlika� Wilsonov "θ" postupak linearnog ubrzanja
� Newmarkov "β" postupak konstantnog ubrzanja� postupak harmonijskog ubrzanja
� Hilberov postupak...
Algoritam inkrementalnog postupka primene metodeAlgoritam inkrementalnog postupka primene metodedirektne integracije jednadirektne integracije jednaččine dinamiine dinamiččke ravnoteke ravnotežžee
� inicijalizacija početnog stanja pomeranja, brzine i ubrzanja utrenutku "t0" kao poznatog
� na osnovu pretpostavke promeni ubrzanja uintervalu "t0+∆t" određuje se stanje pomeranja,
brzine i ubrzanja u trenutku "t1"� uticaji u trenutku t1 su inicijalni za drugi interval -
- veličine na kraju tog intervala određuju se naosnovu uticaja na početku intervala i pretpostavljenog
načina njihove promene u okviru intervala "∆t"
))uuuu((22tt∆∆uuuu tttt∆∆tttttt∆∆tt &&&&&&&&&&&& ++⋅⋅++== ++++
))uuuu((22tt∆∆uuuu tttt∆∆tttttt∆∆tt &&&& ++⋅⋅++== ++++
tttttt∆∆tttt∆∆tt uu))uuuu((tt∆∆
22uu &&&&&&&&&&&& −−−−⋅⋅== ++++
tttttt∆∆tttt∆∆tt uu))uuuu((tt∆∆
22uu &&&& −−−−⋅⋅== ++++
tt∆∆tt,,ggtt∆∆tttttt∆∆tt11
tt∆∆tt
tt∆∆tt,,ggtt∆∆tttttt∆∆tttt∆∆tt
}}uu{{))}}uu{{]]KK[[}}uu{{]]CC([([]]MM[[}}uu{{
}}uu{{]]MM[[}}uu{{]]KK[[}}uu{{]]CC[[}}uu{{]]MM[[
++++++−−
++
++++++++
−−⋅⋅++⋅⋅⋅⋅==
⋅⋅−−==⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
Metoda modalne superpozicijeMetoda modalne superpozicije
�� odgovor sistema dobija se kaoodgovor sistema dobija se kaokombinacija odgovora po svojstvenim oblicimakombinacija odgovora po svojstvenim oblicima
(modalna superpozicija)(modalna superpozicija)�� seizmiseizmiččke sile izrake sile izraččunavaju se za prvihunavaju se za prvih
"k" svojstvenih oblika"k" svojstvenih oblika�� uticaji u konstrukciji dobijaju se na osnovu statiuticaji u konstrukciji dobijaju se na osnovu statiččke analize zake analize za
seizmiseizmiččke sile prvih "k" svojstvenih oblikake sile prvih "k" svojstvenih oblika�� ukupni uticaji se dobiju kao kombinacija svih oblikaukupni uticaji se dobiju kao kombinacija svih oblika
(kombinacija nije linearna s obzirom na razli(kombinacija nije linearna s obzirom na različčite faze amplitudaite faze amplitudapomeranja i sila za razlipomeranja i sila za različčite svojstvene oblike)ite svojstvene oblike)
�� kompleksna metodakompleksna metoda�� nedovoljna tanedovoljna taččnost s obzirom na pretpostavku o linearnomnost s obzirom na pretpostavku o linearnom
ponaponaššanju i karakter superpozicijeanju i karakter superpozicije
j=2j=2j=1j=1 j=3j=3
�� xxikik -- amplitudaamplituda sistema zasistema zaoblik "i" ioblik "i" i
za taza taččku "k"ku "k"
xxQQ
xxQQxxηη
�� koeficijenkoeficijent oblikat oblika
))5050..00ββ5050..11((TT7575..00ββ
�� koeficijenkoeficijent dinamit dinamiččnosti zanosti zaoblik "i"oblik "i"
nn
11jj
22ijijjj
nn
11jjijijjj
ikikikik
iiii
ii
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅==
>>>>==
∑∑
∑∑
==
==
xx1313
xx1212
xx1111
xx2323
xx2222
xx2121
xx3333
xx3232
xx3131
ηηQQββKKSS
�� sseizmieizmiččka sila za oblik "i"ka sila za oblik "i"i tai taččku "ku "kk""
ikikkkiiccikik ⋅⋅⋅⋅⋅⋅==
j=2j=2j=1j=1 j=3j=3
SS1313
SS1212
SS1111
SS2323
SS2222
SS2121
SS3333
SS3232
SS3131
�� KKcc -- koeficijentkoeficijentseizmiseizmiččnostinosti
(zavisi od seizmi(zavisi od seizmiččke zone ike zone ikvaliteta tla)kvaliteta tla)
�� QQkk -- tetežžina mase "k"ina mase "k"
∑∑==
==nn
11ii
22ikikkk YYYY
�� "ukupni" uticaj u "k""ukupni" uticaj u "k"
Metoda ekvivalentnog statiMetoda ekvivalentnog statiččkog opterekog optereććenjaenja
�� zasnovana na spektralnoj analizizasnovana na spektralnoj analizi -- određuje se zamenjujuodređuje se zamenjujuććeestatistatiččko horizontalno optereko horizontalno optereććenjeenje
�� uticaji u konstrukciji dobijaju se za seizmiuticaji u konstrukciji dobijaju se za seizmiččke sile dobijene nake sile dobijene naosnovu analize prvog svojstvenog oblika i drugih dinamiosnovu analize prvog svojstvenog oblika i drugih dinamiččkihkih
parametara konstrukcije, kategorije objekta, intenzitetaparametara konstrukcije, kategorije objekta, intenzitetapretpostavljenog seizmipretpostavljenog seizmiččkog dejstva i karakteristika tlakog dejstva i karakteristika tla
�� jednostavna metodajednostavna metoda�� nedovoljna tanedovoljna taččnost s obzirom nanost s obzirom na
statistatiččki karakter metodeki karakter metode
∑=
⋅
⋅⋅=
s
1iii
iii
HG
HGSS
⋅⋅⋅= pdso KKKKK
⋅= GKS SS -- ukupna seizmiukupna seizmiččka silaka silaKK -- ukupni seizmiukupni seizmiččki koeficijentki koeficijentKKoo -- koeficijent kategorije objektakoeficijent kategorije objektaKKss -- koeficijent seizmikoeficijent seizmiččkogkog
intenzitetaintenzitetaKKdd -- koeficijent dinamikoeficijent dinamiččnostinostiKKpp -- koeficijent prigukoeficijent priguššenja ienja i
duktilitetaduktilitetaSSii -- seizmiseizmiččka sila za sprat "i"ka sila za sprat "i"GGii -- tetežžina mase za sprat "i"ina mase za sprat "i"HHii -- visina sprata "i"visina sprata "i"
KKoo -- koeficijent kategorije objekta zavisi od znakoeficijent kategorije objekta zavisi od značčaja objekta iaja objekta iposledica koje mogu da nastanu u sluposledica koje mogu da nastanu u sluššaju oaju oššteteććenja ilienja iliruruššenja objektaenja objekta
KKoo =1.50 (I kategorija=1.50 (I kategorija -- zgrade sa prostorijama predvizgrade sa prostorijama predviššene zaene zavevećće skupove ljudie skupove ljudi -- bioskopi, pozoribioskopi, pozoriššta, sportsketa, sportskedvorane fakulteti,dvorane fakulteti, šškole, bolnice...)kole, bolnice...)
KKoo =1.00 (II kategorija=1.00 (II kategorija -- stambene zgrade, hoteli restorani,stambene zgrade, hoteli restorani,javne i industrijske zgrade koje nisu u prvoj kategoriji...)javne i industrijske zgrade koje nisu u prvoj kategoriji...)
KKoo =0.75 (III kategorija=0.75 (III kategorija -- pomopomoććnono--proizvodne zgrade,proizvodne zgrade,agrotehniagrotehniččki objekti...)ki objekti...)
KKoo = (IV kategorija= (IV kategorija -- privremeni objektiprivremeni objekti ččije ruije ruššenje neenje nemomožže da ugrozi ljudskee da ugrozi ljudske žživote...)ivote...)
KKss -- koeficijent seizmikoeficijent seizmiččkog intenziteta zavisi od intenzitetakog intenziteta zavisi od intenziteta(stepena) zemljotresa i normiran je u odnosu na ubrzanje(stepena) zemljotresa i normiran je u odnosu na ubrzanjezemljine tezemljine težžee
KKss =0.025=0.025 -- zemljotres VII stepena MCS skalezemljotres VII stepena MCS skaleKKss =0.050=0.050 -- zemljotres VIII stepena MCS skalezemljotres VIII stepena MCS skaleKKss =0.100=0.100 -- zemljotres IX stepena MCS skalezemljotres IX stepena MCS skale
KKdd -- koeficijent dinamikoeficijent dinamiččnosti određen je na bazi spektranosti određen je na bazi spektraodgovora na osnovu spektralnih krivih za određeneodgovora na osnovu spektralnih krivih za određenekategorije tlakategorije tla
KKdd =0.50/T=0.50/T -- I kategorija (dobro tlo) 1.00>KI kategorija (dobro tlo) 1.00>Kdd>0.33>0.33KKdd =0.70/T=0.70/T -- II kategorija (srednje tlo) 1.00>KII kategorija (srednje tlo) 1.00>Kdd>0.47>0.47KKdd =0.90/T=0.90/T -- III kategorija (loIII kategorija (lošše tlo) 1.00>Ke tlo) 1.00>Kdd>0.47>0.47
KKpp -- koeficijent duktiliteta i prigukoeficijent duktiliteta i priguššenja omoguenja omoguććuje korekcijuuje korekcijuseizmiseizmiččkih sila objekta koje zavisi od parametarakih sila objekta koje zavisi od parametaraprigupriguššenja i duktilitetaenja i duktiliteta
KKoo =1.00 (I kategorija=1.00 (I kategorija -- sve savremene konstrukcije odsve savremene konstrukcije odarmiranog betona,armiranog betona, ččelieliččne i drvene konstrukcije osim onihne i drvene konstrukcije osim onihu II kategoriji)u II kategoriji)
KKoo =1.30 (II kategorija=1.30 (II kategorija -- konstrukcije od armiranih zidova ikonstrukcije od armiranih zidova iččelieliččne konstrukcije sa dijagonalama...)ne konstrukcije sa dijagonalama...)
KKoo =1.60 (III kategorija=1.60 (III kategorija -- zidne konstrukcije sa vertikalnim ABzidne konstrukcije sa vertikalnim ABserklaserklažžima vrlo visoke i vitke konstrukcije sa malimima vrlo visoke i vitke konstrukcije sa malimprigupriguššenjem: dimnjaci, antene, vodotornjevi i drugeenjem: dimnjaci, antene, vodotornjevi i drugekonstrukcije sa T>2.0s...)konstrukcije sa T>2.0s...)
KKoo =2.00 (IV kategorija=2.00 (IV kategorija -- konstrukcije sa fleksibilnimkonstrukcije sa fleksibilnimprizemljem ili spratom, sa naglom promenom krutosti iprizemljem ili spratom, sa naglom promenom krutosti ikonstrukcije od obikonstrukcije od običčnih zidova...)nih zidova...)
Osnovi aseizmiOsnovi aseizmiččkog projektovanja i građenja objekatakog projektovanja i građenja objekata
�� seizmiseizmiččki parametri lokacije objektaki parametri lokacije objekta�� geomehanigeomehaniččki parametri lokacije objektaki parametri lokacije objekta
�� znaznaččaj i kategorija objektaaj i kategorija objekta�� ekonomski aspektiekonomski aspekti
�� dispozicija objekta (simetridispozicija objekta (simetriččne i kompaktne,ne i kompaktne, a ne razuđene ia ne razuđene inepravilne osnove, izbegavanje torzije, koncentrisanje venepravilne osnove, izbegavanje torzije, koncentrisanje veććihih
masa na manjim visinama, izbegavanje fleksibilnih prizemlja imasa na manjim visinama, izbegavanje fleksibilnih prizemlja ispratova kao i nagle promene krutosti)spratova kao i nagle promene krutosti)
�� izbor materijalaizbor materijala
�� rezerva nosivosti, stabilnosti i upotrebljivosti kod statirezerva nosivosti, stabilnosti i upotrebljivosti kod statiččkikineodređenih sistemaneodređenih sistema
�� zidane konstrukcije (mala masa i kompaktnost, kritizidane konstrukcije (mala masa i kompaktnost, kritiččna nosivostna nosivosthorizontalnih spojnica, potreba uvhorizontalnih spojnica, potreba uvođenja vertikalnih i horizontalnihođenja vertikalnih i horizontalnih
AB serklaAB serklažža za prijem horizontalnih seizmia za prijem horizontalnih seizmiččkih sila...)kih sila...)�� AB konstrukcije (velika masa, srednjaAB konstrukcije (velika masa, srednja ččvrstovrstoćća, skeletni, panelni ia, skeletni, panelni i
kombinovani sistemi , polokombinovani sistemi , položžaj jezgra i zidova za horizontalnoaj jezgra i zidova za horizontalnoukruukruććenje, duktilnost spojeva kod monolitnih i montaenje, duktilnost spojeva kod monolitnih i montažžnih sistema,nih sistema,
fleksibilne i krute međuspatni elementifleksibilne i krute međuspatni elementi -- tavanice...)tavanice...)�� ččelieliččne konstrukcije (mala masa, velika krutost ine konstrukcije (mala masa, velika krutost i ččvrstovrstoćća, istea, iste
karakteristike za pritisak i zatezanje, stabilno histerezisnokarakteristike za pritisak i zatezanje, stabilno histerezisnoponaponaššanje i velika duktilnost, moguanje i velika duktilnost, moguććnost gubitka stabilnosti i krtognost gubitka stabilnosti i krtog
loma zavarenih spojeva...)loma zavarenih spojeva...)