《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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长 安 大 学 教 案 第 3 次课 教学课型:理论课√ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□
主要教学内容(注明:* 重点 # 难点 ):
§2-0数学模型概述
§2-1线性系统的输入-输出时间函数描述(*)
一、建立线性系统的输入—输出时间描述函数
二、建立输入—输出时间函数描述的方法
三、线性元件的微分方程
四、描述线性定常系统输入—输出关系的微分方程一般形式
五、线性系统微分方程的求解
§2-2线性系统的输入-输出传递函数描述(*)
一、传递函数
二、传递函数的求取方法
三、电气网络传递函数的求取
四、脉冲响应与传递函数
教学目的要求:
一、掌握数学模型的概念,以及控制理论中数学模型描述方法;
二、掌握线性系统的输入-输出时间函数描述方法;
三、掌握用机理分析法(解析法)建立数学模型的方法与步骤;
四、掌握传递函数的定义、性质、局限性和求解方法;
五、掌握用复阻抗法求电网络的传递函数。
教学方法和教学手段:
教学方法:讲授
教学手段:板书与多媒体相结合
讨论、思考题、作业:
习题:2-1,2-3
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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参考资料:
① 胡寿松. 自动控制原理: 第 5版. 北京:科学出版社,2007
② 邹伯敏 .自动控制理论 : 第 3版. 北京:机械工业出版社,2007
③ (美)R. C. Dorf, (美)R. H. Bishop. Modern Control Systems: Tenth Edition. 英
文影印版. 北京:科学出版社, 2005
④ 胡寿松. 自动控制原理习题集: 第 2版. 北京:科学出版社,2003
注:教师讲稿附后
第二章 线性系统的数学模型
2-0 控制系统的数学模型概述
2-1 线性系统的输入-输出时间函数描述
2-2 线性系统的输入-输出传递函数描述
2-3 非线性数学模型的线性化
2-4 典型环节的数学模型
2-5 建立数学模型的实验方法简介
2-6 框图及化简方法
2-7 信号流程图
2-8 控制系统的传递函数
2-9 用 Matlab 处理控制系统的数学模型
主要内容
1、数学模型的概念及种类。
2、系统微分方程的列写与求解。
3、非线性微分方程的线性化。
4、传递函数的概念及典型环节的传递函数。
5、动态结构图及其等效变换。
6、信号流图与梅逊公式及其应用。
7、用 Matlab处理控制系统的数学模型。
重 点
1、系统微分方程的列写。
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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2、传递函数的概念及典型环节的传递函数。
3、由动态结构图或信号流图求传递函数。
4、用梅逊公式求传递函数。
难 点
微分方程的列写与求各种传递函数
§2-0控制系统的数学模型概述
为了使所设计的自动控制系统能满足性能指标要求,须对系统的过度过程在理论上进行
分析,掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态的方程式表达出来,
再加以分析和计算,即为建模。它是分析、设计控制系统的第一步。
模型—客观实际物体的代表。如电机模型,机械零件模型等。
几何模型—几何尺寸放大或缩小。(如建筑物预先做的模型)
模拟模型—物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械,也叫物理模型。
数学模型—用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间的关系的代数方程。
静态数学模型—在静态条件下(即变量各阶导数为 0),描述变量之间关系的代数方程。
动态数学模型—描述诸变量动态关系得数学表达式。
常用的动态数学模型:微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态结构图、信号
流图、脉冲响应函数、频率特性等。
用数学表达式描述自控系统,首先须建立一个合理的数学模型,准确性和简化性之间应
全面考虑,在误差允许的条件下,尽量简化数学模型。
一、控制理论中控制系统模型的描述方法
• 时域:微分方程、差分方程、状态方程
• 复域:传递函数、动态结构图
• 频域:频率特性
微分方程是输入输出描述,又称端部或外部描述;
差分方程用来描述采样控制系统;
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传递函数、动态结构图等也是端部或外部描述,由微分方程导出;
频域特性是传递函数为基础的又一图解法;
状态方程是内部描述,不仅描述输入输出关系,还描述内部特性;
二、为什么要建立控制系统的数学模型?
1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要;
2、是寻找一个较好的控制规律的需要
三、什么是控制系统的数学模型?
描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式。
四、如何建立数学模型?
1、提出合理的假设,忽略次要因数,抓住本质。
2、建立恰当的数学描述
3、非线性环节的处理
五、实际工程应用中建立模型的一般步骤:
1、把各部件尽可能地作线性化处理;
2、建立线性化的系统模型(近似模型);
3、求系统的近似特性;
4、建立更复杂的模型,得到更精确的特性。
六、建立控制系统数学模型的一般方法
1、机理分析法:对系统各部分的运动机理进行分析,按 照它们遵循的物理规律、化学
规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。
2、实验辩识法:对系统施加某种测试信号(如阶跃、脉冲、正弦等),记录基本输出响
应(时间响应、频率响应),估算系统的传递函数。
§2-1线性系统的输入-输出时间函数描述
一、建立线性系统的输入—输出时间描述函数
建立的目的:确定被控制量与给定输入或扰动之间的关系,为分析和设计创造条件。
二、建立输入—输出时间函数描述的方法
(1)确定系统的输入量和输出量;
(2)分析系统的工作原理,作合理的假设;
(3)根据物理或化学定律例写描述系统运动的方程;
(常用定律:基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律)
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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(4)消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程;
三、线性元件的微分方程
列写方法:
(1)确定元件的输入、输出变量。
(2)从输入端开始,根据物理、化学基本定律写出原始方程式。
(3)消去中间变量,写出只含输入、输出变量的微分方程。
(4)标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边,与输出有关的各项放在等号左
边,各阶导数按降幂排列。
例 2-1-1:弹簧阻尼系统,图中质量为 m 的物体受到外力 F 的作用,产生位移 y,求该
系统的输入-输出
解:(1)分析物体 m的受力情况,假设 k为常数、f为常数;
(2)输入量为 F,输出量为 y;
(3)根据牛顿定律列写方程
, ,k f k f
dyF F F F ma F ky F f
dt
(4)消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程
2
2
d y d ym f k y F
d t d t
例 2-1-2:如图为两个形式相同的 RC电路串联组成的滤波电路,建立输入电压为 u,求电
容 C2两端电压 uc为输出的微分方程
解:(1)分析电路的工作原理,假设电阻是理想电阻器,电容也是理想的电容器;
(2)输入量为 u,输出量为 uc;
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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(3)根据基尔霍夫定理列写方程
节点方程:
11 2 1
dui i C
dt
1 1 1u i R u
回路方程:
1 2 2 Cu i R u
2 2cdu
i Cdt
(4)消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 22( )c c
c
d u d uR C R C R C R C R C u u
d t d t
例 2-1-3:下图为弹簧、质量、阻尼器机械旋转运动单元,试写出在输入转矩 M(t)作用
下转惯量为 J的物体的运动方程,输出量为角位移
u(t)
k
M(t)
f
r
R
u(t)C c
F(t)
fx(t)
m
k
J
1
1
i(t)
θ
解:弹簧的阻力与角位移成正比,阻尼器的阻力与角速度成正比
2
1 1 2
( ) ( )( ) ( )
d t d tM t k t f J
d t d t
即:
2
1 12
( ) ( )( ) ( )
d t d tJ f k t M t
d t d t
例 2-1-4:下图为一台直流他励电动机,L、R 分别为电枢回路的总电感和总电阻。假设
励磁电流恒定不变,试建立在 机转轴的运动方程 ru (t)
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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解:反电动势
( ) ( )a eE t C t
eC --电动势常数
控制回路方程
( )( ) ( ) ( )a
a a r
di tL Ri t E t u t
dt
电机输出扭矩
( ) ( )m aM t C i t
mC --转矩常数
转矩方程
( )( ) C
d tM t M J
dt
2
1 12
( )( ) ( )( ) ( ) ( )c
m m u r m c
dM td t d tTT T t K u t K T M t
dt dt dt
式中:
1
1 mm u m
e m e
TL JRT T K K
R C C C J
恒转矩负载时有:
2
1 2
( ) ( )( ) ( ) ( )m m u r m c
d t d tTT T t K u t K M t
dt dt
例 2-1-5:速度控制系统
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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1.运放Ⅰ: )()( 1
1
21
2
1
11
fgfg
fguuKuu
R
Ru
R
u
R
u
R
u
2.运放Ⅱ: )()( 11
211
3
3
42
4
21
3
1 udt
duKu
dt
ducR
R
Ru
R
u
dt
duc
R
u
3.功放: 23uKua
4.电机: )(2
2
c
c
amaumma Mdt
dMTKUK
dt
dT
dt
dTT
5.测速机: ff Ku
最后合并上述方程有:
dt
dT
dt
dTT mma 2
2
)()()( 123123 cc
amfug
g
u Mdt
dMTK
dt
dKKKKKu
dt
duKKKK
令 ffuu KKKKKKKKKKKKK 1230123 ,
则有:
dt
d
K
KT
dt
d
K
TT mma
0
0
2
2
0 11 )(
1)(
1 00
c
c
a
m
g
gM
dt
dMT
K
Ku
dt
du
K
K
可见:既与 gu 有关又与 cM 有关。
(1)当 gu 为变化量,系统实现转速跟踪时,为速度随动系统, cM 一般不变:
)(111 00
0
2
2
0
g
gmma udt
du
k
K
dt
d
K
KT
dt
d
K
TT
(2)当 gu 为常值, cM 为变化量,系统为恒值调速系统:
_
+ uf
+
ug
功率
放大
T
G
G
负载 R1
R2
R3 R3
R4
_ _ +
ua
_ M
R1
u1
C
u2
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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四、描述线性定常系统输入—输出关系的微分方程一般形式
先列写各元件的微方,再合并,消去中间变量。
五、线性系统微分方程的求解
建立微分方程的目的之一是用数学方法定量研究系统的工作特性,给出 r(t),分析 c(t),
也就是解微分方程。可用经典法、拉氏变化法或计算机求解。其中拉氏变化法可将微积分运
算代数运算,且可查表,简单实用。
步骤:
(1)将系统微方进行拉氏变换,得到以 s 为变量的代数方程,其初始值取系统 t = 0时
的对应值。
(2)解代数方程,求出 c(s)表达式。
(3)将 c(s)展开成部分分式。
(4)进行拉氏反变换,即得微方的全解 c(t)。
例 2-1-6:RC 网络,K 闭合前 C上有 )(0 UU ,求 K 闭合后的 )(tU c 。
UC
R
i cu
K
解:K 闭和瞬间, )(1 tUui
)(1 tUudt
duRC c
c ,
则:
s
UsURCUsRCsU cc )()( 0
则:
1
1 11
1
0 1 11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
m m
m mm m
d d dc t a c t a c t a c t
d t d t d t
d d db r t b r t b r t b r t
d t d t d t
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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RCs
U
RCs
U
s
UU
RCs
RC
RCss
UsU c 111)1()( 0
0
RC
t
RC
t
c eUUeUtu
0)(
稳态解 零状态解 零输入解 暂态解
§2-2线性系统的输入-输出传递函数描述
用拉氏变换求解微方,虽思路明确,简单实用。但如果系统参数改变,特征方程及其解
都会随之改变。要了解参数变化对系统动态响应的影响,就必须多次计算,方程阶次愈高,
计算工作量越大,故引入另一种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具,也是
经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始
条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
一、传递函数
1、传递函数的基本概念
定义:线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入
量的拉氏变换之比。零初使条件是指当 t≤0时,系统 r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。
G(s)R(s) C(s)
则 ( )
( )( )
C sG s
R s
以下图所示的RC 网络为例,列些系统的传递函数。
由基尔霍夫定理有:
rc
c uudt
duRC
设 0)0( cu ,则有
)()()1()()()( sUsURCssUsUsRCsU rcrcc
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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)(1
1)( sU
RCssU rc
,其中 )(sU r 随 )(tur 形式而变,而
1
1
RCs完全由网络的结构及
参数确定。
令
1
1
)(
)()(
RCssU
sUsG
r
c
则有
).()()( sUsGsU rc
若 )(sU r 不变,则 )(sU c 不变,所以 )(sU c 的特性完全由 )(sG 的形式与数值来决定,且 )(sG
将 )(sU r 传到了 )().( sGsUc 反映了系统自身的动态本质,表达了传递信号的性质和能力,
故称它为 RC 网络的传递函数。
2、传递函数的一般形式
设线性定常系统的微方一般形式为:
1 1
0 1 1 0 1 11 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d c t d c t dc t d r t d r t dr ta a a a c t b b b b r t
dt dt dt dt dt dt
当初始条件为零时有:
)(][)(][ 1
1
101
1
10 sRbsbsbsbscasasasa mm
mm
nn
nn
则:
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sCsG
1
1
10
1
1
10
)(
)()(
js 为复数, )(sG 是复变量 s 的函数,故称为复放大系数。
可见:有了微分方程,可以直接写出其传递函数,与 c(t)有关的项为分母,与 )(tr 有
关的项为分子。
①零、极点表示法:
' 1 ' '10 1 1 1 2
1 1' 1 ' '
0 1 1 1 2
1
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )
m
jm mjm m m
nn n
n n ni
i
s zb s b s b s b s z s z s z
G s K Ka s a s a s a s p s p s p
s p
其中,当 jzs 时,G(s)=0. jz 为传函的零点;当 ips 时,G(s)= , ip 为传函的极点;
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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而0
0
1a
bK ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)。
②时间常数表示法:
111 1 1 2
1
1 1 1 2
1
( 1)1 ( 1)( 1) ( 1)
( )1 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)
m
jm mjm m m m
nn n
n n n ni
i
sb d s d s d s s s s
G s K Ka c s c s c s T s T s T s
T s
其中,n
m
a
bK ――放大系数。且
n
i
i
m
j
j
p
z
KK
1
1
1
)(
,有i
i
j
jp
Tz
1,
1 。
③二项式表示法:
如 21.pp 为一对共轭复数,则有
2221 2
1
))((
1
nnsspsps
或
12
1
)1)(1(
122
21
TssTsTsT
④一般表示法:
系统可能还会有零值极点,若为个,则有:
21
21
1
22
1
1
22
11
)2()(
)2()(
)(m
l
lll
n
i
i
m
k
kkk
m
j
j
ssps
sszs
s
KsG
21
21
1
22
1
1
22
1
)12()1(
)12()1(
n
l
lll
n
i
i
m
k
kkk
m
j
j
sTsTsT
sss
s
K
在此: .2,2 2121 nnnmmm
3、性质与说明:
(1)传递函数是复变量 s 的有理真分式,具有复变函数的所有性质, nm 且所有系数均为
实数。
(2)传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统
或元件的结构和参数,而与 r(t)的形式无关,也不反映系统内部的任何信息。
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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(3)传递函数是描述线性系统动态特性的一种数学模型,而形式上和系统的动态微方一一
对应。但只适用于线性系统且初始条件为零的情况下,原则上不能反映系统在非零初始条件
下的全部运动规律。
(4)传递函数是系统的数学描述,物理性质完全不同的系统可以具有相同的传函。在同一
系统中,当取不同的物理量作输入或输出时,其 G(s)一般也不相同,但却具有不同的分母。
该分母多项式称为特征多项式。(形成的方程叫特征方程)。
(5)传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条件有两方面的含义:
①指 r(t)是在 0t 时才作用于系统,在 t=0-时,r(t)及其各阶导数均为零。
②指 r(t)加于系统之前,系统处于稳定的工作状态,即 c(t)及其各阶导数在 0t 时的
值也为零。
4、传递函数的局限性
(1)原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息;
(2)适合于描述单输入/单输出系统;
(3)只能用于表示线性定常系统。
二、传递函数的求取方法
例 2-2-1:求例 2-1-2 系统的传递函数
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 22(c c
c
d u d uR C R C R C R C R C u u
d t d t
设初始状态为零,对方程两边求拉氏变换,得
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c cRC R C s U s RC R C RC sU s U s U s
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) 1 ( ) ( )cRC R C s RC R C RC s U s U s
2
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
( ) 1( )
( ) ( ) 1
cU sG s
U s R R C C s R C R C R C s
例 2-2-2:求例 2-1-5 速度控制系统的传递函数:
1)运放 :微分方程 )(111 fg uuKuKu ,传函 11
1)(
)()( K
sU
sUsG
2)运放Ⅱ:微分方程 2u )( 11
2 udt
duK ,传函 )1(
)(
)()( 2
1
22 sK
sU
sUsG
3)功放:微分方程: 23uKua , 传函: 33 )( KsG
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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4)电机:微分方程 )(2
2
c
c
amaumma Mdt
dmTKUK
dt
dT
dt
dTT
由于传递函数多用于单输入-单输出情况
1
)1(
)(
)(0
1)(
)()(0
2
2
sTsTT
sTK
sM
sGu
sTsTT
K
su
ssGM
mma
am
c
ma
mma
u
a
uc
迭加原理有: )()()()()( sMsGsUsGs cMau
5)测速机:微分方程 ff Ku ,传函 f
f
f Ks
sUsG
)(
)()(
6)系统总的微分方程:
2
0
2
0 0 0 0
( ) ( )1 1 1 1
ga m m m cg a c
duT T T K K dMd d Ku T M
K dt K dt K dt K dt
7)传递函数为:
111
)1(
)(
)()(0
111
)1(1
)(
)()(0
0
02
0
0
02
0
0
sK
KTs
K
TT
sTK
sM
ssu
sK
KTs
K
TT
sK
K
su
ssM
mma
am
c
Mg
mmag
uc
三、电气网络传递函数的求取
对于由电阻 R、电容 C 和电感 L 组成的电气网络,可以应用复数阻抗的概念直接写出
相应的传递函数。
(1)无源网络电路
1 2 2
( )( ) crU sU s
IZ Z Z
2
1 2
( )( )
( )
c
r
U s ZG s
U s Z Z
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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例 2-2-3:求下图所示电路的传递函数。
1 1 11
1 1 1 11 1
R C s RZ
R C s R C s
2 22 2
2 2
11 R CZ R
C s C s
2 2
2 2 2 2 1 1
22 2 11 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2
2 1 1
1
( ) ( 1)( 1)
1( ) ( ) 1
1
c
r
R C
U s Z C s R C s R C
R C RU s Z Z R R C C s R C R C R C s
C s R C s
(2)有源网络电路
上图中Z1、Z2、Z3、Z4均为复数阻抗,且设 ,并略去流入运算放大器的输入电
流,则由上图得
1 2
( )( ) crU sU s
Z Z
2
1
( )( )
( )
c
r
U s ZG s
U s Z
0AU
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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1 2I I , 2 3 4I I I ,1
1
rUI
Z ,
2
2
BUI
Z
,
3
3
BUI
Z ,
4
4
B cU UI
Z
消去上式中的中间变量1I 、
2I 、3I 、
4I 和BU ,求得
3 4 2 4 2 3
1 3
( )( )
( )
c
r
U s Z Z Z Z Z ZG s
U s Z Z
例 2-2-4:求下图所示电路的传递函数。
1 1Z R , 22 2
11 R CsZ R
Cs Cs
则得:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
( ) 1 1 1( ) 1
( )
c
r
U s Z R Cs R RG s
U s Z R Cs R R Cs R R Cs
例 2-2-5:求下图所示电路的传递函数。
1 1Z R , 2 2Z R , 3 1/Z Cs , 4 3Z R
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
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则得:
32 2 3
2 3 2 3
1 1
/( ) ( )
( )( ) /
c
r
RR Cs R R
U s R R R R CsCsG sU s R Cs R
四、脉冲响应与传递函数
1、脉冲函数
0( )
0 0,
At
r t
t t
2、单位脉函数
0
0( ) lim ( )
0 0
tt t
t
( ) 1t dt
3、延迟单位脉冲函数
( )0
tt
t
( ) 1t dt
4、系统的单位脉冲函数响应
设系统是线性定常系统,且 t=0时系统的响应及其各阶导数均为零,则其响应与输入之
间齐次性和线性关系,即满足:
1 ), 0
)
A t
t
当脉冲强度 ,记为 ( 如令 并求极限,
则称为单位脉冲函数,记为( 。显然有:
《自动控制原理》 第二章 线性系统的数学模型
17
如果以单位脉冲函数作为输入函数,则系统输出为 称为单位脉冲
响应
单位脉冲信号:
)0(
1
)0(0
)(t
tt
t
及
及 11
)(
dtt
当 0 时,
0
00)()()(
t
tttt 及 1)(
dtt
1)面积为 A,出现在 时刻的理想脉冲:
AdttAt
ttA
)(
0)(
及
2)脉冲响应函数:
设线性系统的传函为 )(sG ,则有 )()()( sRsGsC
)()(1)()()( sGsCsRttr ,
则 )]([)( 1 sGLtg 线性系统的脉冲响应函数。
根据拉氏变换的唯一性定理, )()( sGtg 与 一一对应,故 )(tg 也是一种数模。
3)脉冲响应与传递函数应用:由 )(tg 求 )(sG :
例 2-2-6:已知 24 35)(
tt
eetg
,求其 )(sG 。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
c t H t r t
r t c t H t
输入函数 输出函数 算子
( ) ( ) ( ) ( )g t c t H t t