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61 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
제 장 행렬식2 : [determinant]
여인수 전개에 의한 행렬식2.1
행렬식의 성질2.2
크래머 규칙2.3 (Cramer’s rule), !"# 의 공식화 행렬식의 응용 ,
고유값 고유벡터2.4 (eigenvalue), (eigenvector)
62
62 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
여인수 전개에 의한 행렬식2.1
정의 : !)=
>? @
AB&## &#.
&.# &..는 . × . 정사각형행렬이다 . ! 의 행렬식은 다음처럼 정의된다 .
det1!3 ) n!n )? ?&## &#.&.# &..
) &## &.. " &#.&.#
우리는 이 것을 행렬 ! 의 . × . 행렬식 이라고 부른다 [determinant] .
예제 : !)=>? @AB# .
C I이 때 det1!3 ) n!n )? ?# .C I ) 1#31I3 " 1.31C3 )I " F ) " .
정의 : !) P&67Q 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 . ! 의 성분 (entry) &67 의 소행렬식 (minor) �67 는 행렬 ! 로부터 6"행 과 7"열을 제거함으로써 얻어진
1- " #3 × 1- " #3 행렬의 행렬식으로 정의된다 그리고 . ! 의 성분 (entry) &67 의
여인수 (cofactor) !67 는 다음처럼 정의된다 .
!67 )1" #36' 7�67
주목 정사각형행렬의 행렬식을 계산할 때 행렬의 어느 행 어느 열을 따라서 계산하든 행렬식은 : 동일하다 .
- × -행렬의 계산 방법 : - × - → 1- " #3 × 1- " #3 → ⋯ → . × .
예제 : !)=
>?
@
AB
&## &#. &#C&.# &.. &.C&C# &C. &CC
는 C × C 행렬이다 .
det1!3 ) n!n )? ?&## &#. &#C&.# &.. &.C&C# &C. &CC
)&##!## ' &#.!#. ' &#C!#C
↑
!의 #행을따라서전개
)&##1" #3#' #? ?&.. &.C&C. &CC
' &#.1" #3#'.? ?&.# &.C&C# &CC
' &#C1" #3#'C? ?&.# &..&C# &C.
)&##1&..&CC " &.C&C.3 " &#.1&.#&CC " &.C&C#3 ' &#C1&.#&C. " &..&C#3
)&##&..&CC ' &#.&.C&C# ' &#C &.# &C. " &## &.C&C. " &#.&.#&CC " &#C&..&C#
63
63 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
따라서 det1!3 ) &##!## ' &#.!#. ' &#C!#C [!의 행을 따라서1 ]
) &.#!.# ' &..!.. ' &.C!.C [!의 행을 따라서2 ]
) &C#!C# ' &C.!C. ' &CC!CC [!의 행을 따라서3 ]
) &##!## ' &.#!.# ' &C#!C# [!의 열을 따라서1 ]
) &#.!#. ' &..!.. ' &C.!C. [!의 열을 따라서2 ]
) &#C!#C ' &.C!.. ' &CC!CC [!의 열을 따라서3 ]
예제 :
!)=
>
?@
A
B. ; ; E" # . I #C ; ; CG F ; ;
일 때
det1!3 )1;3!#C ' 1I3!.C ' 1;3!CC ' 1;3!IC ) 1I31" #3. ' C? ?.;EC;CGF;
) 1" I3 1" F3? ?.ECC )1.I31F " #E3 ) " .#F
주목 행렬식의 효과적인 계산은 행렬의 행과 열을 선택할 때 가장 많은 : ; 성분을 가진 행이나 열 을 선택한다 .
정리 행렬 : ! 의 한 행 또는 한 열의 성분이 모두 ; 이면 det1!3 ); 이다 .
정리 행렬 : ! 가 - × -삼각행렬이면 det1!3 )�6)#
-
&66 )&## ∙&.. ∙ ⋯ ∙&-- 이다 .
주대각선상에 놓인 모든 성분의 곱 [ ]
64
64 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 행렬의 행렬식을 계산하시오: .
!)
=
>
?@
A
BI ; ; # ;C C C " # ;# . I . CH I F . C. . I . C
65
65 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 방정식의 해를 구하시오: .
? ?$ " #C # " $
) ? ?# ; " C. $ " F# C $ " E
66
66 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 평면상의 세 점 : 1$# 0 %#30 1$. 0 %.3 0 1$C 0 %C3 이 한 직선위에 놓이기 위한 필요충분조건은
? ?$# %# #$. %. #$C %C #
) ;
임을 증명하시오 .
67
67 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
행렬식의 성질2.2
정리 : ! 가 정사각형행렬이면 det1!3 )det1!_3 이다 .
정리 : !)P&67Q 는 - × - 행렬이라고 하자 .
행렬 (1) W 가 행렬 ! 의 한 행 또는 한 열 의 스칼라 9 를 곱해서 얻어진 행렬이면 det1W3 )9 det1!3
이다 .
행렬 (2) W 가 행렬 ! 의 두 행 또는 두 열을 교환해서 얻어진 행렬이면 det1W3 ) " det1!3 이다 .
행렬 (3) W 가 행렬 ! 의 한 행에 스칼라를 곱하여 다른 행에 더해서 얻어진 행렬이거나 행렬 ! 의 한 열의 스칼라를 곱하여 다른 열에 더해서 얻어진 행렬이면 det1W3 ) det1!3 이다 .
행렬 (4) ! 의 두 행 또는 두 열 이 같으면 det1!3 ); 이다 .
행렬 (5) ! 의 두 행 또는 두 열 이 비례하면 det1!3 ); 이다 .
(6) det19!3 )9-det1!3
증명 :
68
68 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
예제 여인수 확장 을 이용하여 다음 행렬식을 계산하시오: (cofactor expansion) .
!)=
>
?@
A
BC E " . F# . " # #. I # EC D E C
풀이 : det1!3 )? ?; " # # C# . " # #; ; C C; # G ;
) " ? ?" # # C; C C# G ;
) " ? ?" # # C; C C; H C
) " 1" #3? ?C CH C ) H " .D) " #G
문제 여인수 확장 을 이용하여 다음 행렬식을 계산하시오: (cofactor expansion) .
!)
=
>
?@
A
B; # # #
K.
#K.
## K.
#
KC
.KC
#KC
#;
" KC
#KC
.; ;
69
69 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
정리 정사각형행렬 : ! 가 가역행렬이기 위한 필요충분조건은 ,,UN1!3 ≠; 이다 .
증명 :
정리 행렬 : !0 W 가 같은 크기의 정사각형행렬이면 det1!W3 )det1!3 det1W3 이다 .
증명 :
70
70 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
주목 : det1!-3 ) Pdet1!3Q-
정리 정사각형행렬 : ! 가 가역행렬이면 det1!"#3 )Kdet1!3# 이다 .
증명 : !!"#)b 이므로 정리에의하여 det1!3det1!"#3 )det1!!"#3 )det1b3 )# 이다 .그러므로
det1!"#3 )Kdet1!3# 이다 . Q.E.D.
정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 다음 명제는 동치이다 . .
(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다 .( .)(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b- 이다 .
(3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다 .
연립선형방정식 (4) !^); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^)
=
>
?@
A
B;;⋮;
1- × # 행렬3 만 가진다) .
모든 (5) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 항상 해를 가진다 .모든 (6) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 오직 하나의 해를 가진다 .
(7) ! 의 열벡터들은 #차독립이다.(8) ! 의 행벡터들은 #차독립이다.(9) det1!3 ≠;
증명 :
71
71 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 행렬식을 증명하시오 힌트 수학적 귀납법 이용: Vandermonde . [ : ]
!)
=
>
?@
A
B# $#$#
.⋯$#
-"#
# $.$..⋯$.
-"#
# $C$C.⋯$C
-"#
⋮⋮⋮ ⋮
# $-$-.⋯$-
-"#
) �#≤6r7≤-
1$7 " $63
72
72 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 행렬의 행렬식을 계산하시오: .
!)=
>
?@
A
B&( ( (( &( (( ( &(( ( ( &
73
73 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 행렬의 : ��"분해를 구하고 이를 이용하여 행렬식을 계산하시오, .
!)=
>
?@
A
B" . . " I " F" C F C " #EE " G " # #D# # ## D
74
74 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
크래머 규칙2.3 (Cramer’s rule), !"# 의 공식화 행렬식의 응용 ,
정의 : !)P&67 Q 는 - × - 행렬이고 , !67 는 성분 &67 의 여인수이다 .
Y)
=
>
?@
A
B!##!#.⋯!#-!.#!..⋯!.-⋮ ⋮ ⋮!-#!-.⋯!--
는 행렬 ! 의 여인수들의 행렬이다 .
! 의 수반행렬 [adjoint] &,71!3 는 다음처럼 정의된다 .
&,71!3 )Y_)
=
>
?@
A
B!##!.#⋯!-#!#.!..⋯!-.⋮ ⋮ ⋮!#-!.-⋯!--
주목 : !&,71!3 )=
>
?@
A
Bdet1!3 ; ⋯ ;; det1!3⋯ ;⋮ ⋮ ⋮; ; ⋯det1!3
)det1!3 b
정리 : ! 가 가역행렬이면
!"# )Kdet1!3#&,71!3
증명 : !&,71!3 )det1!3 b → !"#1!&,71!33 )!
"#1det1!3b3
→ &,71!3 ) det1!3!"# → !
"#)Kdet1!3#&,71!3 Q.E.D.
75
75 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
예제 : !)=
>?
@
AB
C . " ## F C. " I ;
→ !## )#.0 !#. )F0 !#C ) " #F
!.# )I0 !.. ).0 !.C )#F
!C# )#.0 !C. ) " #;0 !CC )#F
Y)=
>?
@
AB#. F " #F
I . #F#. " #; #F
→ &,71!3 )Y_)=
>?
@
AB#. I #.
F . " #;" #F #F #F
det1!3 )FI [check it out] → !"#)
=
>
?@
A
BKFI
#.KFI
IKFI
#.
KFI
FKFI
." KFI
#;
" KFI
#FKFI
#FKFI
#F
정리[Cramer’ rule]
- 개의 방정식과 - 개의 미지수를 가지는 연립선형방정식 !$)( 가 유일한 해를 가지기 위한 필 요충분조건은
$# )Kdet1!3det1!#3
0 $. )Kdet1!3
det1!.30 ⋯ 0 $- )Kdet1!3
det1!-3
이다 여기서 . !7 는 ! 의 7"번째 열을 열벡터 ( 로 교체함으로써 생성된 행렬이다 .
증명 :
$ )!"#( )Kdet1!3
#&,71!3( )Kdet1!3
#
=
>
?@
A
B!##!.#⋯!-#!#.!..⋯!-.⋮ ⋮ ⋮!#-!.-⋯!--
=
>
?@
A
B(#(.⋮(-
그러므로 $ 의 7" 번째 행의 성분
$7 )Kdet1!3
(#!#7 ' (.!.7 ' ⋯ ' (-!-7)Kdet1!3
det1!7317)#0 .0 ⋯0 -3 Q.E.D.
76
76 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
예제 크래머 규칙을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오: .
$# ' ' .$C )F" C$# ' I$. ' F$C )C;" $# " .$. ' C$C )G
풀이 : !)=
>?
@
AB# ; .
" C I F" # " . C
0 !# )=
>?
@
ABF ; .
C; I FG " . C
0 !. )=
>?
@
AB# F .
" C C;F" # G C
0 !C )=
>?
@
AB# ; F
" C I C;" # " . G
det1!3 )II0 det1!#3 ) " I;0 det1!.3 )D.0 det1!C3 )#E.
그러므로 $# )KII" I;
)K##
" #;0 $. )KII
D.)K##
#G0 $C )KII
#E.)K##
CG
문제 크래머 규칙을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오: .
.$ ' .% " + ' O)II$ ' C% " + ' .O)FG$ ' E% " C+ ' IO)#.C$ ' C% " .+ ' .O)F
77
77 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
정리 행렬식의 기하학적 의미[ ]
(1) ! 가 . × . 행렬이면 n det1!3 n 는 평행이동에의해 ! 의 두 열벡터의 시점을 일치시킴으로써 결정된 평행사변형의 넓이를 나타낸다 .
(2) ! 가 C × C 행렬이면 n det1!3 n 는 평행이동에의해 ! 의 세 열벡터의 시점을 일치시킴으로써 결정된 평행육면체의 부피를 나타낸다 .
증명 :
78
78 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
예제 네 점 : z#1" #0 .3 0 z.1#0 D30 zC1D0 G30 zI1E0 C3 에 의해서 결정된 평행사변형의 넓이를
구하시오 .
풀이 : KVz#z. ) r.0 Ed 0KVz#zI ) rF0 #d 이므로
평행사변형의 넓이 ) ndet1!3 n ) n ? ?. FE #
n ) n. " C;n) .G .
정리 : $%" 평면 안에 놓인 삼각형이 세 점 z#1$# 0 %#3 0 z.1$. 0 %.3 0 zC1$C 0 %C3 에 의해서 결
정된다 이 때 .
∆z#z.zC 의 넓이 )K.
#n ? ?$# %# #$. %. #$C %C #
n
증명 :
79
79 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 세점 : z#1" E0 I3 0 z. 1C0 .3 0 zC1" .0 " C3 에 의해서 결정된 삼각형의 넓이를 구하시오 .
주목 : $" 좌표가 다른 - 개의 점
1$# 0 %#3 0 1$. 0 %.30 ⋯ 0 1$- 0 %-3
이 $%"평면안에 놓인다 이 때 . - 개의 점을 지나는 차수가 - " # 보다 작거나 같은 다항함수가 유일하게 존재한다.
풀이 : %)&; ' &#$ ' &.$. ' ⋯ ' &-" #$- "# 가 - 개의 점
1$#0 %#30 1$. 0 %.3 0 ⋯ 0 1$- 0 %-3
을 지나는 다항함수라고 하자 그러면 다음 연립선형방정식을 얻는다. .
&; ' &#$# ' &.$#. ' ⋯ ' &-"#$#
-"# )%#
&; ' &#$. ' &.$.. ' ⋯ ' &-"#$.-"# )%.
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
&; ' &#$- ' &.$-. ' ⋯ ' &-"#$--"# )%-
이 연립선형방정식이 유일한 해를 가지기 위한 필요춘분조건은
=
>
?@
A
B# $# $#
.⋯$#-"#
# $. $..⋯$.
-"#
# $C $C.⋯$C
-"#
⋮⋮⋮ ⋮
# $-$-.⋯$-
-"#
≠;
이다.한편,
80
80 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
=
>
?@
A
B# $# $#
.⋯$#-"#
# $. $..⋯$.
-"#
# $C $C.⋯$C
-"#
⋮⋮⋮ ⋮
# $-$-.⋯$-
-"#
) �#≤6r7≤-
1$7 " $63
이고, $"좌표 값은 서로 다르므로
=
>
?@
A
B# $# $#
.⋯$#-"#
# $. $..⋯$.
-"#
# $C $C.⋯$C
-"#
⋮⋮⋮ ⋮
# $-$-.⋯$-
-"#
) �#≤6r7≤-
1$7 " $63≠;
이다. Q.E.D.
문제 네 점 : z#1#0 " #3 0 z.1" #0 #3 0 zC 1.0 #3 0 zI1" .0 " #3 을 지나는 C차 이하의 다항함수
를 구하시오 .
81
81 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
고유값 고유벡터2.4 (eigenvalue), (eigenvector)
정의 : ! 가 - × - 정사각형행렬이고 $ 가 - × # 열벡터이고 !$)$ 이면 $ 를 행렬 ! 의 고 정점이라고 부른다 .
이 것은 다음 관계를 의미한다 .
!$)$) b $ ↔ 1b " ! 3$ );
정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이다 다음 세 명제는 동치이다 . .
(1) ! 는 영벡터가 아닌 고정점을 가진다 .(2) b " ! 가 특이행렬이다 .(3) det1b " !3 );.
증명 :
예제 다음 행렬의 고정점을 구하고 고정점들의 공간을 : $%"좌표평면위에 나타내시오.
!)=>? @AB; .
; #
풀이 : 1b " !3$) ; ↔ =>? @
AB# " .
; ;
=>? @AB$%)=>? @AB;;↔ $).N0 %)N 1자유변수3 ↔ $ )=>
? @AB.NN
∴ $)=>? @AB.#N 즉 고정점들의 공간은 , $%"좌표평면위의 점 1.0 #3 과 원점 1;0 ;3 을 통
과하는 직선이다 .
정의 : ! 는 - × - 정사각형행렬이다 스칼라 . � 에 대하여 영벡터가 아닌 열벡터 $ 가 존재하여 !$)�$ 를 만족시키면 � 를 ! 의 고유값 이라 부르고 영벡터가 아닌 [eigenvalue] ,
82
82 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
열벡터 $ 는 � 에 대응하는 ! 의 고유벡터 라고 부른다 [eigenvector] .
정리 : det1�b " !3 ); 은 ! 의 특성방정식 이라고 불리어 [ characteristic equation]진다 .
정의 : � 가 ! 의 고유값이면 선형연립방정식 1�b " !3$ ); 은 영벡터와 영벡터가 아닌 벡터들 로 이루어지는 해공간을 가지는 데 우리는 이 해공간을 고유값 � 에 대응하는 행렬 ! 의 고유공간 이라고 부른다 [eigenspace] .
정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이다 . � 는 스칼라이다 다음 세 명제는 동치이다 . .
(1) � 는 ! 의 고유값이다 .(2) � 는 특성방정식 det1�b " !3 ); 의 해이다 .
연립선형방정식 (3) 1�b " !3$ ) ; 영벡터가 아닌 해를 가진다 .
증명 :
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83 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
예제 다음 행렬의 고유값과 각 고유값에 대응하는 고유벡터들을 구하고 고유공간을 : $%"좌표평면 위에 나타내시오 .
!)=>? @AB# C
I .
풀이 : ; )det1�b " !3 )? ?� " # " C" I � " .
↔ �. " C� " #; ); ↔ 1� ' .31� " E3 );
=>? @
AB� " # " C
" I � " .
=>? @AB$%)=>? @AB;;
고유값 (1) �) " . 인 경우
=>? @
AB" C " C
" I " I
=>? @AB$%)=>? @AB;;↔ $) " N 0 %)N ↔ $)
=>? @AB" NN)=>? @
AB" ##N 고유벡터 ( )
고유공간은 원점을 포함한 원점과 점 1" #0 #3을 통과하는 직선이다.
고유값 (2) � )E 인 경우
=>? @
ABI " C
" I C
=>? @AB$%)=>? @AB;;↔ $)KI
CN 0 %)N ↔ $)
=>? @AB$%)=
>?@
ABKIC
#N 고유벡터 ( )
고유공간은 원점을 포함한 원점과 점 1KIC0 #3을 통과하는 직선이다.
84
84 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 행렬의 고유값들을 구하시오: .
!)=
>?
@
AB; " # ;
; ; #" I " #D G
85
85 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
삼각행렬들의 고유값들
! 는 - × - 삼각형행렬 상삼각행렬 하삼각행렬 대각행렬 이다 여기서 주대각선상 위에 있는 성 [ , , ] . 분들은 &## 0 &.. 0 ⋯ 0 &-- 이다 .
;)det1�b " !3 )1� " &##31� " &..3 ⋯ 1� " &--3
그러므로 ! 의 고유값들은
�)&## 0 �)&.. 0 ⋯ 0 �)&--
이다.
정리 : ! 는 - × - 삼각형행렬 상삼각행렬 하삼각행렬 대각행렬 이다 [ , , ] . ! 의 고유값들은 ! 의 주대각선상에 있는 성분들이다 .
86
86 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 직접 : ! 의 고유값들이 ! 의 주대각선상에 있는 성분들임을 보이시오 .
!)
=
>
?@
A
BK.
#; ; ;
" # " KC
.; ;
D KG
EF ;
KH
I" I C F
87
87 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
정리 : � 가 ! 의 고유값이고 $ 가 � 에 대응하는 고유벡터이고 9 가 임의의 양의 정수이면 �9 는 행렬 !9 의 고유값이고 $ 는 고유값 �9 에 대응하는 행렬 !9 의 고유벡터이다 .
증명 :
정리 역행렬의 동치명제[ ] : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 다음 명제는 동치이다 . .
(1) ! 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다 .( .)(2) ! 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b- 이다 .
(3) ! 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다 .
연립선형방정식 (4) !^); 은 자명해 영 해 즉 ( , ^)
=
>
?@
A
B;;⋮;
1- × # 행렬3 만 가진다) .
모든 (5) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 항상 해를 가진다 .모든 (6) - × # 행렬 ( 에 대하여 !^)( 는 오직 하나의 해를 가진다 .
(7) ! 의 열벡터들은 #차독립이다.(8) ! 의 행벡터들은 #차독립이다.(9) det1!3 ≠;.(10) �); 은 ! 의 고유값이 아니다 .
증명 :
88
88 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 행렬의 고유값을 구하시오: .
!)=>? @
AB" . " #
E .
대수적승[Algebraic Multiplicity]
! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 .
e1�3 )det1�b " !3 )�- ' *#�-"# ' *.�
-". ' ⋯ ' *- 1� 에 관한 -차 다항함수3
우리는 e1�3 )�- ' *#�-"# ' *.�
-". ' ⋯ ' *- 를 행렬 ! 의 특성다항함수 라고 부른다[characteristic polynomial] .
그리고
e1�3 )�- ' *#�-"# ' *.�
-". ' ⋯ ' *- )1� " �#35#1� " �.3
5. ⋯1� " �9359 1인수분해3
여기서 지수 56 16)#0.0 ⋯0 93를 행렬 ! 의 고유값 �6 의 대수적승이라고 부른다 .
예제 : ! 는 F × F 행렬이고 특성다항함수가
�F " C�I ' .�C )�C1� " #3.1� ' .3
이면 �); 의 대수적승은 C, �)# 의 대수적승은 .이고 그리고 , �) " . 의 대수적승 은 # 이다 .
89
89 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
기하적승[Geometric Multiplicity]
! 는 - × - 정사각형행렬이고 , � 는 ! 의 고유값이다 .
연립선형방정식 1�b " !3$ ) ; 의 해공간 즉 ( , � 의 고유공간 의 차원을 ) � 의 기하적승이라고 말 한다.
주목 : 대수적승 ≥ 기하적승
정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 . ! 의 특성다항함수는 다음처럼 표현될 수 있다 .
e1�3 )det1�b " !3)1� " �#35#1� " �.3
5. ⋯1� " �9359
여기서 고유값 , �#0 ⋯ 0 �ㅏ 는 서로 다르고 그리고 ,
5# ' 5. ' ⋯ ' 59 )- 이다 .
. × . 행렬의 고유값 분석
!)=>? @
AB& (
* ,
;)det1�b " !3 )? ?� " & " (" * � " ,
)�. " 1& ' ,3� ' 1&, " (*3
)�. " Na1!3� ' det1!3 [� 의 이차방정식 ]
판별식 |)Na1!3. " Idet1!3 이다 .
(1) |d; 인 경우 : ! 는 서로 다른 실수 고유값을 가진다
(2) |); 인 경우 : ! 는 하나의 중첩된 실수 고유값을 가진다
(3) |r; 인 경우 : ! 는 서로 다른 순허수 고유값을 가진다
90
90 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 행렬의 고유값들을 구하시오: .
!)=>? @
AB. .
" # E0 W)
=>? @
AB; " #
# .0 Y)
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AB. C
" C .
정리 : ! 가 실수 성분들을 가지는 . × . 대칭행렬이면 ! 의 고유값들은 실수들이다 특히 . ,
!)=>? @
AB& ;
; &는 하나의 중첩된 실수 고유값을 가진다 .
따라서
!)=>? @AB& (
( *1( ≠;3 는 서로 다른 두 개의 실수 고유값을 가진다 .
증명 :
91
91 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 행렬의 고유공간을 : $%"좌표평면위에 나타내시오.
!)=>? @ABC .
. C
92
92 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
정리 : ! 는 - × - 정사각형행렬이고 , �# 0 �. 0 ⋯ 0 �- 1중복허용3 은 행렬 ! 의 고유값들이
라고 하자 .
(1) det1!3 )�6)#
-
�6 )�#�. ⋯ �-
(2) Na1!3 )Z6)#
-
�6 )�# ' �. ' ⋯ ' �-
증명 :
93
93 안상욱2015 Linear Algebra ( ).hwp
문제 다음 행렬의 고유값 대수적승 기하적승을 구하시오: , , .
!)=
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AB# # " C
. ; F# " # E