7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
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260
CAPTULO 5
ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTESVARIABLES
5.1. INTRODUCCIN.
Una ecuacin diferencial lineal de coeficientes variables presenta la forma general:
)()()()()(...)()( 012
2
1
1 xfxyxaDxaDxaDxaDxan
n
n
n =+++++
De acuerdo con lo estudiado previamente, la solucin general de la ecuacin diferencial
es de la forma:
)()(....)()()( 2211 xyxyCxyCxyCxy pnn ++++=
En la expresin anterior se tiene que: { }nyyy ,....,, 21 es un conjunto fundamental desoluciones de la homognea asociada mientras que py es una solucin particular de la
no homognea.
Para el caso de coeficientes constantes es relativamente simple determinar la solucingeneral sin embargo, para coeficientes variables la situacin puede ser bastante
complicada. Algunas ecuaciones diferenciales tienen un tratamiento similar al de las de
coeficientes constantes, tal es el caso de la ecuacin diferencial de Euler. Para los otroscasos se ver que el mtodo adecuado de solucin es el de las series de potencias.
5.2. LA ECUACIN DIFERENCIAL DE EULER.
La ecuacin diferencial de Euler de orden n presenta la forma general:
)()(... 0122
2
11
1 xfxyaxDaDxaDxaDxann
n
nn
n =+++++
La homognea asociada admite soluciones de la forma ;y x C = . As las cosas, al
reemplazar idnticamente en la homognea resulta una ecuacin polinmica conocidacomo ecuacin caracterstica, as:
0)1(
...))2()....(2)(1())1()....(2)(1()(
012
1
=++
+++= aaa
nanaP nn
Resolviendo la ecuacin resulta un conjunto fundamental de soluciones de la
homognea.En cuanto a la solucin particular se aplica el mtodo de variacin de parmetros,
previamente desarrollado.Para facilitar la comprensin del mtodo se iniciar con la ecuacin diferencial de Euler
de segundo orden.
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261
La ecuacin diferencial de Euler de segundo orden.
La ecuacin diferencial de Euler de segundo orden presenta la forma general:
tesconsqpxrxxqyxpxyxyx tan:,)()()(')(''22 =++
El intervalo de validez de la solucin de la homognea es { }0/ = xRxI . Paradeterminar el conjunto fundamental de soluciones de la homognea se supone que
admite soluciones de la forma xy = , con lo que resulta la ecuacin caracterstica:
0)1( =++ qp
Al resolver la ecuacin se pueden presentar los siguientes casos:
1. Las races son reales y distintas. En este caso, el conjunto fundamental de soluciones
de la homognea es:{ } }21 ,, 21 xxyy =
2. Las races son reales e iguales == 21 . En este caso, el conjunto fundamental desoluciones de la homognea es:
{ } xxxyy ln,, 21 =
La segunda solucin se obtiene por el mtodo de reduccin de orden.
3. Las races son complejas conjugadas j=21
, . Puede demostrarse que un
conjunto fundamental de soluciones es:
{ } { }xxxsenxyy lncos(,ln(, 21 =
Ejemplo 5.1.
Encuentre la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial en el intervalo: 0>x
32 4)()(')(''2 xxyxxyxyx =+
Solucin.Primero que todo se escribe la ecuacin caracterstica, as:
01)1(2 =+
La ecuacin se puede escribir en forma factorizada, as:
0)1)(12( =
En consecuencia, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:
{ } }xxyy ,, 21 =
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Para determinar la solucin particular se escribe la ecuacin diferencial dada en su
forma normalizada, as:
xxyx
xyx
xy 2)(2
1)('
2
1)(''
2=+
Por el mtodo de variacin de parmetros, la solucin particular es de la forma:
2211 uyuyyp +=
La aplicacin del mtodo nos conduce a:
=
xu
u
x
xx
2
0
'
'
2
11
2
1
El Wronskiano del sistema es:
2)(
xxW =
Aplicando la regla de Cramer, se tiene:
xxuxuxux
xuxuxxux
2
2
2
3
2
2
2
2
111
5
44'2'
2
24'2'2
===
===
Resolviendo las operaciones se encuentra que la solucin particular es:
3
5
6xyp =
Por tanto, la solucin general de la ecuacin diferencial es:
3
215
6)( xxCxCxy ++=
La ecuacin diferencial de Euler de tercer orden.
La forma general de la ecuacin de Euler de tercer orden es:
tesconssqpxrxxsyxqxyxypxxyx tan:,,)()()(')('')(''' 323 =+++
La ecuacin caracterstica de la homognea asociada es:
0)1()2)(1( =+++ sqp
Al resolver la ecuacin caracterstica se pueden presentar los siguientes casos:
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263
1. Las tres races son reales y diferentes:1 2 3, ,
En este caso, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:
{ } { }321 ,,,, 321 xxxyyy =
2. Las tres races son reales, pero dos de ellas son iguales:1 2 3, = =
En este caso, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:
{ } xxxxyyy ln,,,, 31321 =
3. Las tres races son reales e iguales: === 321
En este caso, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:
{ } { }xxxxxyyy 2321 ln,ln,,, 3=
4. Dos races son complejas conjugadas y la otra es real:1 2 3, ,j j = + =
En este caso, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:
{ } ( ) ( )}xxxsenxxyyy lncos,ln,,, 1321 =
Ejemplo 5.2.
Encuentre la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial en el intervalo: 0>x
23 )(4)('2)(''' xxyxxyxyx =+
Solucin.Primero que todo se escribe la ecuacin caracterstica, as:
042)2)(1( =+
La ecuacin se puede escribir en forma factorizada, as:
0)2)(1( 2 =+
En consecuencia, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:
{ } { }xxxxyyy ln,,,, 221321 =
Para determinar la solucin particular se escribe la ecuacin diferencial dada en su
forma normalizada, as:
1
32)(
4)('
2)(''' =+ xxyxyxy
Por el mtodo de variacin de parmetros, la solucin particular es de la forma:
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264
332211 uyuyuyyp ++=
La aplicacin del mtodo nos conduce a:
=
+
+
1
3
2
1
3
2
221
0
0
'
'
'
3)ln(222
)ln(22
)ln(
xu
u
u
xx
xxxxx
xxxx
El Wronskiano del sistema es 9)( =xW . Aplicando la regla de Cramer, se tiene:
)ln(3
1
3
1'3'9
)ln(
9
1)(ln
6
1
9
1)ln(
3
1')ln(3'9
279''9
3
1
3
1
3
2
2
11
2
11
2
3
1
2
1
2
1
xuxuxu
xxuxxxuxxxu
xu
xuxu
===
===
===
Resolviendo las operaciones se encuentra que la solucin particular es:
)ln(9
1
27
1)(ln
6
1)ln(
3
1)ln()ln(
9
1)(ln
6
1
27
22222223
1 xxxxxyxxxxxxx
xy pp +=+
+=
Por tanto, dado que los dos ltimos trminos de la particular hallada son linealmente
dependientes con la complementaria, la solucin general de la ecuacin diferencial es:
)(ln6
1)ln()( 2223
2
2
1
1 xxxxCxCxCxy +++=
Ejemplo 5.3.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientes
ecuaciones diferenciales:
1. 0'''2 =+ yxyyx
2. 0'''2 =++ yxyyx
3. 0'''2 =+ yxyyx
4. 02'3''2 =++ yxyyx
5. 08'''3''' 23 =++ yxyyxyx
Solucin.1. La ecuacin caracterstica es:
0)1)(1(0101)1( 2 =+==+
El conjunto fundamental de soluciones es:
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265
{ } { }121 ,, = xxyy
2. La ecuacin caracterstica es:
1,0101)1( 212 j==+=++
El conjunto fundamental de soluciones es:
{ } { })cos(ln),(ln, 21 xxsenyy =
3. La ecuacin caracterstica es:
0)1)(1(01201)1( 2 ==+=+
El conjunto fundamental de soluciones es:
{ } { }xxxyy ln,, 21 =
4. La ecuacin caracterstica es:
11,022023)1( 212 j==++=++
El conjunto fundamental de soluciones es:
{ } { })cos(ln),(ln,11
21 xxxsenxyy
=
5. La ecuacin caracterstica es:
08332308)1(3)2)(1( 223 =+++=++
Simplificando, se tiene:
31,20)42)(2(08 32123 j===++=
El conjunto fundamental de soluciones es:
{ } { }xxxsenxxyyy ln3cos(,ln3(,,, 112321 =
Ecuaciones diferenciales reducibles a Euler.
Algunas ecuaciones diferenciales se pueden reducir a ecuaciones de Euler mediante un
cambio de la variable dependiente, tal es el caso de la ecuacin diferencial:
)()()(')()('')( 2 xfxdyxybaxcxybax =++++
Con base en lo estudiado previamente, el intervalo de validez de la solucin es:
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{ }0/ += baxRxI
Para convertirla en una ecuacin diferencial de Euler se hace el cambio de variable:
baxz +=
Con el cambio de la variable independiente se aplica la regla de la cadena para obtener:
)('')('''
)(''
)(')(')('
2 zyaxydx
dz
dz
dyxy
zayxydx
dz
dz
dyxy
==
==
As las cosas, la ecuacin diferencial para la nueva variable es:
=++
a
bzfzdyzcazyzyza )()(')(''22
Ejemplo 5.4.
Encuentra la solucin general de la ecuacin diferencial:
22)(4)(')12(2)('')12( 2 +=+++ xxyxyxxyx
Solucin.Al efectuar el cambio de variable resulta la ecuacin diferencial:
4
1)()(')(''1)(4)('4)(''4 22
+=++=+
zzyzzyzyzzzyzzyzyz
La ecuacin caracterstica es:
0)1)(1(0101)1( 2 =+==+
Un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:
},{},{ 121= zzyy
En cuanto a la solucin particular, resulta 21
1 uzzuyp+= , dnde:
+=
22
1
2
1
4
10
'
'
1z
zu
u
z
zz
El estudiante puede verificar que la solucin particular es:
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4
1ln
8
1)( = zzzyp
Retornando a la variable original se tiene que la solucin general de la ecuacin
diferencial es:
2
1
4
1)12ln()12(8
1)12()12()( 121 >++++++= xxxxCxCxy
Se sugiere al estudiante que resuelva los siguientes ejercicios propuestos.
EJERCICIOS 5.2.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientes
ecuaciones diferenciales:
1. 04'''2
=+ yxyyx 2. 04'''2
=++ yxyyx 3. 04'3''2 =+ yxyyx 4. 010'3''2 =++ yxyyx
5. 0'''3''' 23 =++ xyyxyx 6. 0'''3''' 23 =++ xyyxyx
7. 0'''2''' 23 =++ yxyyxyx 8. 05'5''6''' 23 =++ yxyyxyx
9. 08')32(8'')32( 2 =++ yyxyx 10. 08')32(10'')32( 2 =++++ yyxyx
Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial.
11. 0)1('0)1(4'''2 ===+ yyxyxyyx
12. 0)1('0)1(4'3''22
===+ yyxyxyyx 13. 0)1('0)1(4''' 32 ===++ yyxyxyyx
14. 1)1('0)1(0'''3''' 23 ===++ yyxyyxyx
15. 1)1(''0)1('0)1(0'''3''' 23 ====++ yyyxyyxyx
Encuentre la solucin general para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
16. xyyxyx 28')32(8'')32( 2 =++
17. 22 '''3''' xyxyyx =++
18.323
'''2''' xyxyyxyx =++ 19. 223 5'5''6''' xyxyyxyx =++
20. )ln('''3'''2 xxyxyyx =++
5.3. SERIES DE POTENCIAS.
Consideremos una funcin de variable real: )(xfy = tal que la funcin y todas sus
derivadas son continuas en un intervalo RI y sea Ix 0 . Una serie infinita de
potencias, conocida tambin como serie de Taylor, centrada en el punto, es una
expresin de la forma:
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+==
=
+==1
0
0
0
0
0 )()()()(Nk
k
k
N
k
k
k
k
k
k xxcxxcxxcxs
La serie, en su forma expandida, es:
...)()(...)()()( 10102
02010 ++++++=+
+N
N
N
N xxcxxcxxcxxccxs
Concepto de convergencia.
Se dice que una serie de potencias: )(xs converge a una funcin: )(xf en un entorno
del punto: 0x s se verifica que )()( xsxf . El intervalo de convergencia de la serie
viene dado por:
}/{ 0
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Evaluando en el punto 0xx = , resulta:
!
)(....
!3
)(
!2
)()()( 00
3
30
2
20100n
xfDc
xfDc
xfDcxDfcxfc
n
n =====
Criterio de la razn.
El criterio de la razn, que es el cociente entre dos trminos consecutivos de la serie,
permite determinar el intervalo de convergencia de una serie, as:
1)(
)(
0
1
01 x .Para resolver la ecuacin diferencial partimos de las series correspondientes a la funcin
y sus dos primeras derivadas, as:
=
+
=
+
=
+ ++=+==0
2
0
1
0
)1)(('')('k
k
k
k
k
k
k
k
k xckkyxckyxcy
Sustituyendo idnticamente en la ecuacin diferencial, resulta:
0)()1)((0
1
0
1
0
1 +++++
=
++
=
+
=
+
k
k
k
k
k
k
k
k
k xcxckxckk
Sacando x de factor comn y agrupando las dos primeras sumatorias, se tiene:
[ ] 0)()1)((0
1
0
1
+++++
=
+
=
k
k
k
k
k
k xcxckkkx
Puesto que 0x , la expresin anterior se puede escribir en la forma:
0)(0
1
0
12 ++
=
+
=
k
k
k
k
k
k xcxck
Se hacen los cambios de variable:
En la primera sumatoria: 1= kn En la segunda sumatoria: 1+= kn
Con los cambios, resulta:
0)1(1
1
1
1
2 +++
=
=+
n
n
n
n
n
n xcxcn
Al desarrollar los dos primeros trminos de la primera sumatoria resulta:
[ ] 0)1()1(1
11
20
1
21
0
2 ++++++
=
+ n
n
nn xccnxcxc
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De la expresin anterior se concluye que, si 00 c , la ecuacin indicial es: 02 = y
por tanto las races son iguales a cero. Como puede verse 01 =c . La ecuacin derecurrencia, para el valor hallado de viene dada por:
,....4,3,2,1)1( 2
11 =+=
+ nncc nn
Asignando valores, resulta:
....642
0424
02
00222
06522
0
2
2432
0210
==
=====c
cccc
ccc
ccc
Se obtiene una solucin de la forma:
+
+= ....642422
1)(222
6
22
4
2
2
0
xxxcxy
La otra solucin se puede determinar por el mtodo de reduccin de orden.
Ejemplo 5.17.
Encuentre la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial, indicando el intervalo
de convergencia:
0)()('2)('' =++ xxyxyxxy
Solucin.Por simple inspeccin, se tiene que 22 )(2)(1)(/2)( xxqxxxpxqxxp ==== .
Con base en lo estudiado, el punto: 00 =x es la nica singularidad de la ecuacin
diferencial y, adems, es un punto singular regular. En consecuencia, la ecuacin
diferencial admite, al menos, una solucin de la forma de Frobenius en el intervalo
0>x . Para resolver la ecuacin diferencial partimos de las series correspondientes a lafuncin y sus dos primeras derivadas, as:
=
+
=
+
=
+ ++=+==0
2
0
1
0
)1)(('')('k
k
k
k
k
k
k
k
k xckkyxckyxcy
Sustituyendo idnticamente en la ecuacin diferencial, resulta:
0)(2)1)((0
1
0
1
0
1 +++++
=
++
=
+
=
+
k
k
k
k
k
k
k
k
k xcxckxckk
Sacando x de factor comn y agrupando las dos primeras sumatorias, se tiene:
[ ] 0)(2)1)((0
1
0
1
+++++
=
+
=
k
k
k
k
k
k xcxckkkx
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Puesto que 0x , la expresin anterior se puede escribir en la forma:
0)1)((0
1
0
1 ++++
=
+
=
k
k
k
k
k
k xcxckk
Se hacen los cambios de variable:
En la primera sumatoria: 1= kn En la segunda sumatoria: 1+= kn
Con los cambios, resulta:
0)2)(1(1
1
1
1 +++++
=
=+
n
n
n
n
n
n xcxcnn
Al desarrollar los dos primeros trminos de la primera sumatoria resulta:
[ ] 0)2)(1()2)(1()1(1
11
0
1
1
0 ++++++++++
=+
n
n
nn xccnnxcxc
De la expresin anterior se concluye que, si 00 c , la ecuacin indicial es: 0)1( =+
y por tanto las races son 10 21 == . Como puede verse, cuando se toma la menor
de las races resulta que 01 c . La ecuacin de recurrencia, para el valor tomado de viene dada por:
,....4,3,2,1
)1(
11 =
+
= + nnn
cc nn
Asignando valores, resulta:
....!6!520!412!6!2
00 0613
502
41
30
210
cc
ccc
ccc
cc
cccc =======
Se obtiene la solucin:
+++
++= ....
!7!5!3....
!6!4!21)(
753
1
642
0
1 xxxxcxxx
cxxy
Con base en lo estudiado previamente, se tiene:
0)()cos(
)( 10 >+= xx
xsenc
xcxy
Como puede verse, la menor de las races de la ecuacin indicial nos proporciona dos
soluciones linealmente independientes.
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Mtodo para calcular una segunda solucin.
a) Las races de la ecuacin indicial son iguales.
Cuando las races de la ecuacin indicial son iguales, la otra solucin se determina por
el mtodo de reduccin de orden, as:
dxy
eyy
dxxp
=
2
1
)(
12
La aplicacin de la frmula conlleva un trabajo operativo bastante arduo, sobre todo
cuando la solucin conocida no es una funcin elemental. A continuacin se muestra
una alternativa que facilita los clculos.
Se parte de la ecuacin diferencial modificada, as:
0)()()(')()(''2 =++ xyxQxyxxPxyx
[ ] 0)()()(22 =++ xyxQDxxPDx
Usando la notacin )()()( 22 xQDxxPDxDL ++= , resulta: 0)()( =xyDL
Se supone una solucin de la forma:
=
=0
)(),(k
k
k xcxxy y se sustituye idnticamente
en la ecuacin diferencial, con lo que se obtiene:
[ ] [ ]
0.....
!2
)0('')0('')]0(')1)(0('[)]0()2)(0()1)(2[(
)]0(')0('[)]0()1)(0()1[()0()0()1(
2
012
1
010
+
+++++++++++
+++++++++
+
+
xcQP
cQPcQP
xcQPcQPxcQP
La expresin anterior se puede escribir en la forma:
0...)()(
....])()1()2([])()1([)(
1
2
02112
1
0110
+
++++
+++++++++
+
=
++
nn
m
mnmn xcmngcnf
xcgcgcfxcgcfxcf
Cuando las races de la ecuacin caracterstica son iguales, es decir 21 = , se tiene que2
1)()( =f . En este caso todos los coeficientes de la combinacin lineal soniguales a cero, excepto el primero, con lo cual la ecuacin diferencial modificada es:
[ ] xcxyxQDxxPDx 02122 )(),()()( =++
Equivalentemente, se tiene:
xcxyDL
0
2
1
)(),()( =
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293
Derivando parcialmente con respecto a , se tiene:
[ ]
xcxxcxyDL 012
10
2
1 )(2)ln()()(),()( +=
=
La expresin anterior es equivalente a la siguiente:
[ ]
xcxxyDL 012
1 )(2)ln()(),()( +=
Evaluando en el valor conocido para , resulta:
0),()(1
==
xyDL
Lo anterior significa que la funcin:1
),(
=
xy tambin es solucin de la
ecuacin diferencial. Es importante precisar que: ),( xy viene dada por:
=
=0
)(),(k
k
k xcxxy
A partir de la expresin anterior resulta:
)ln(),()('),(0
xxyxcxxyk
k
k
+=
=
En conclusin, las dos soluciones de la ecuacin diferencial son:
),(),( 1211 xyyxyy
==
En la prctica se supone que la segunda solucin es de la forma:
)ln(10
2 xCyxbxyk
k
k +=
=
La constante: C se escoge convenientemente.
b) Las races de la ecuacin diferencial difieren en un entero.
Cuando las races difieren en un entero, la mayor de ellas proporciona una solucin.
La otra solucin puede determinarse por un procedimiento similar al desarrollado
previamente. Omitiendo los detalles, la segunda solucin presenta la forma:
)ln(10
22 xCyxbxy
k
kk +=
=
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294
Ejemplo 5.18.
Encuentre una segunda solucin para la ecuacin diferencial del ejemplo 5.16.
Solucin.
Se repite la ecuacin diferencial, as:
0)()(')('' =++ xxyxyxxy
Tal como se procedi en el ejemplo, una de las soluciones es:
.....642422
1222
6
22
4
2
2
1 +
+=
xxxy
En cuanto a la segunda solucin, se deriva dos veces y se sustituye en la ecuacin
diferencial, as:
=
=
=
+
++
=
+
+=+=
0
2
11
2
1
0
1
11
21
0
2
)1()ln('''2
''
)ln('')ln(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
xbkkxyx
y
x
yCy
xkbxyx
yCyxCyxbxy
Al sustituir en la ecuacin diferencial, resulta:
0)ln(
)ln(')1()ln('''2
1
0
1
0
1
11
0
1
111
+
++
+++
++
=
+
=
=
xCxyxb
xkbxyx
yCxbkkxxyy
x
yC
k
k
k
k
k
k
k
k
k
La expresin anterior se puede escribir en le forma:
[ ] 0)1('2''')ln(0
1
0
1
0
1
1111 ++++++
=
+
=
=
k
k
k
k
k
k
k
k
k xbxkbxbkkCyxyyxyxC
Ahora, puesto que el primer trmino de la expresin anterior es idnticamente nulo, se
tiene:
'2 10
1
0
12 Cyxbxbkk
k
k
k
k
k +
=
+
=
En la primera sumatoria se hace el cambio: 1= kn En la segunda sumatoria se hace el cambio: 1+= kn Con los cambios resulta:
+
+++
=
=+ ...
64242212)1(
222
6
22
4
2
2
1
1
1
1
2 xxx
dx
dCxbxbn
n
n
n
n
n
n
Al expandir los dos primeros trminos de la primera sumatoria, se tiene:
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
36/60
295
[ ]
+
+++++
=+
...642
6
42
4
2
202)1(0
222
5
22
3
21
11
20
1
1
0
xxxCxbbnxbxb
n
n
nn
De la identidad anterior se sigue que 00 10 = bb . Por otro lado, si se hace 12 =C ,
resulta:
[ ]
+
++
=+ ...
642
6
42
4
2
2)1(
222
5
22
3
21
11
2 xxxxbbnn
n
nn
A continuacin se determinan algunas de las constantes:
230427650
15
04
642561
481
161
2561
162561
161163
0092
48
1
2
141
06
5
002424
313
0202
bbn
bn
bbbbbbn
bbbn
bbbbn
==
==
+=
===+=
==+=
==+=
En consecuencia, la segunda solucin es:
...230427650
1
64256
1
48
1)ln(
2
1 604020012 +
+
++
++= x
bx
bx
bbxyy
++++++= ...
23046441...
27650
1
256
1
8
1)ln(
2
1 642
0
642
12
xxxbxxxxyy
Puesto que la serie que acompaa a la constante 0b es la primera solucin, resulta:
...27650
1
256
1
8
1)ln(
2
1 64212 +++= xxxxyy
Ejemplo 5.19.
Encuentre la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial en un entorno de
00 =x , indicando el intervalo de convergencia.
( ) 0)(6)('2)(''2 =+ xyxyxyxx
Solucin.
Por simple inspeccin, se tiene)1(
6)(
)1(
2)(
xxxq
xxxp
=
= . Se sigue que:
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
37/60
296
xxqxxQ
xxxpxP
==
==
1
6)()(
1
2)()( 2
En consecuencia, 00 =x es un punto singular regular y la singularidad ms cercana es
11=x . Por tanto, el intervalo de validez es:
{ }10/
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
38/60
297
Con base en lo anterior, una solucin de la ecuacin diferencial es: 31 xy =
En cuanto a la menor de las races 0= , la ecuacin de recurrencia es:
,....2,1,0)2)(1(
)2)(3(1
=+
+
=+ ncnn
nn
c nn
Como puede verse, la constante: 3c no se puede determinar y por tanto es necesario
hallar la segunda solucin por otro mtodo, as:
a) Por reduccin de orden.
( )dx
xxxy
xxxpdx
x
exy
dxxp
=
=
=
24
3
26
)(
3
21
1
)1(
2)(
Despus de efectuar las operaciones, resulta:
x
xxx
x
xxy
+
=1
33
1
1ln4
323
2
Dividiendo por cuatro y desarrollando en series de potencias, se tiene:
....12
7
4
3
4
5
4
3
4
1
12
1)ln( 654232 ++++= xxxxxxxy
b) Usando el otro mtodo, con 0= se tiene: x
)ln()ln( 3
0
21
0
2 xCxxbyxCyxbxyk
k
k
k
k
k +=+=
=
=
Tomando las dos primeras derivadas, resulta:
[ ] [ ]
=
=
++=++=0
2
0
122
2 )1()ln(65'')ln(3'k
k
k
k
k
k xbkkxxxCyxkbxxxCy
Al sustituir en la ecuacin diferencial, resulta:
[ ] 062)1()1(530
1
0
1
00
132 ++
=
+
=
=
=
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k xbxkbxbkkxbkkxxC
La expresin anterior se puede escribir en la forma:
[ ]3200
1 53)2)(3()3( xxCxbkkxbkk
k
k
k
k
k
k +
=
=
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39/60
298
Se hacen los cambios adecuados, se tiene:
[ ]3201
1 53)2)(3()2)(1( xxCxbnnxbnnn
n
n
n
n
n ++
=
=+
[ ] [ ]32
0
110 53)2)(3()2)(1(0 xxCxbnnbnnxbn
nnn +++
=+
De la identidad anterior se sigue que 00 b . Por otro lado, si se hace 1=C , resulta:
[ ] 320
1 53)2)(3()2)(1( xxxbnnbnnn
n
nn +++
=+
A continuacin se determinan algunas de las constantes:
En consecuencia, la segunda solucin es:
....12
7
4
3
4
5
4
393)ln( 65432000
3
2 +++++++= xxxxxbxbbxxy
( ) ....12
7
4
3
4
5
4
3931)ln( 654320
3
2 +++++++= xxxxxxbxxy
Observe que s: 3/10 =b se tiene la misma solucin hallada por el primer mtodo.
EJERCICIOS 5.5.
Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientes
ecuaciones diferenciales, indicando el intervalo de validez.
1. 0)()('2)('' =+ xxyxyxxy 2. 0)()(')(''2 =+ xxyxyxxy
3. 0)()(')1()('' =+ xyxyxxxy 4. 0)(4)(')('' 2 =+ xyxxyxxy
5. ( ) 0)(4)(')('' 22 =++ xyxxxyxyx 6. 0)(6)(')('')2( 2 =+ xxyxyxyxx 7. 0)()('2)('')1( =++ xxyxyxyxx 8. 0)()14()('4)(''4
22=++ xyxxxyxyx
12
7
9
7014185
4
3
5
306104
4
5543
4
3342
93062130620
5656
4545
44
33
01212
0101
====
====
===
===
===+===+=
bbbbn
bbbbn
bbn
bbn
bbbbbnbbbbn
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
40/60
299
9. 0)()(')()('' 22 =++ xyxyxxxyx 10. 0)()(')21()(''2 =+ xyxyxxxy 11. 0)(2)('2)('')1( =+ xyxyxyxx 12. 0)()(')2()('' =++ xyxyxxxy
13. 0)(4)(')('' 3 =+ xyxxyxxy 14. 0)()(')()(''2 22 =++ xyxyxxxyx
15. 0)()2()(')32()(''2 22 =+++ xyxxyxxxyx
Mediante el cambio de variable xz /1= , encuentre la solucin general para lassiguientes ecuaciones diferenciales:
16. 0)(4)(')('' 3 =+ xyxxyxxy
17. 0)()12()('10)(''4 23 =+++ xyxxyxxyx
18. 0)()('2)('' 34 =++ xyxyxxyx
19. 0)()(')1(2)('' 24 =+++ xyxyxxxyx
20. Suponga soluciones de la forma:
=
+=0n
n
nxcy para resolver la ecuacin
diferencial: 0)(2)(')(''2 = xyxyxyx
5.6. ECUACIONES DIFERENCIALES NOTABLES.
En diversas aplicaciones de ingeniera y ciencias resultan ecuaciones diferenciales de
coeficientes variables que merecen un tratamiento especial. Cabe mencionar: la
ecuacin diferencial de Legendre, la ecuacin diferencial de Bessel y otras de no menos
importancia.
La ecuacin diferencial de Legendre.
La ecuacin diferencial de Legendre presenta la forma general:
=++ Rpxyppxxyxyx 0)()1()('2)('')1( 2
Puede verse que la ecuacin diferencial admite soluciones de la forma de Maclaurin en
el intervalo { }11/
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41/60
300
En la segunda sumatoria: kn = Con los cambios resulta:
0))(1()1)(2(02
2 ++++
=
=+
n
n
n
n
n
n xcpnpnxcnn
De la identidad anterior se sigue que:
,...2,1,0;)2)(1(
))(1(00 210 =++
++= + nc
nn
pnpnccc nn
Asignando algunos valores a n se tiene:
113
002
!3
)2)(1(
32
)2)(1(1
!2
)1)(0(
21
)1)(0(0
cpp
cpp
cn
cpp
cpp
cn
+=
+
==
+=
+==
135
024
!5
)4)(2)(3)(1(
45
)4)(3(3
!4
)3)(1)(2)(0(
34
)3)(2(2
cpppp
cpp
cn
cpppp
cpp
cn
++=
+==
++=
+==
157
046
!7)6)(4)(2)(5)(3)(1(
67)6)(5(5
!6
)5)(3)(1)(4)(2)(0(
56
)5)(4(4
cppppppcppcn
cpppppp
cpp
cn
+++=+==
+++=
+==
La solucin de la ecuacin diferencial es:
+
+++
++
+
+
+++
++=
....!5
)4)(2)(3)(1(
!3
)2)(1(
....!4
)3)(1)(2)(0(
!2
)1)(0(1)(
53
1
42
0
xpppp
xpp
xc
xpppp
xpp
cxy
Como era de esperarse, aparecen dos soluciones linealmente independientes.
Un caso de particular inters es aquel en el que el parmetro p es un entero no negativo,
es decir ,...3,2,1,0== nnp . . En este caso la ecuacin diferencial de Legendre seescribe en la forma:
,...3,2,1,00)()1()('2)('')1( 2 ==++ nxynnxxyxyx
Las dos soluciones de la ecuacin diferencial vienen dadas por:
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
42/60
301
....!5
)4)(2)(3)(1(
!3
)2)(1()(
...!4
)3)(1)(2)(0(
!2
)1)(0(1)(
53
2
42
1
+++
++
+=
+++
++
+=
xnnnn
xnn
xxy
xnnnn
xnn
xy
Como puede verse, una de las soluciones es un polinomio de grado n , conocido como
polinomio de Legendre de grado n , mientras que la otra solucin es una serie infinita.
A continuacin se ilustran algunos casos particulares:
...5
4361
3
53
....21
2
52312
...106
11
...753
10
642
2
3
1
753
2
2
1
642
21
753
21
+++===
===
===
++===
xxxy
xxyn
xxxxyxyn
xxxyxyn
xxxxyyn
Los polinomios normalizados de Legendre corresponden a normalizaciones de los
obtenidos previamente de tal manera que pasen por el punto )1,1( . La siguiente es una
tabla de los polinomios normalizados de Legendre:
1)(0 0 == xPn
xxPn == )(11
)13(2
1)(2 22 == xxPn
)25(2
1)(3 33 xxxPn ==
)33035(8
1)(4 244 +== xxxPn
)157063(8
1)(5 355 xxxxPn +==
)5105315231(16
1)(6 246
6
+== xxxxPn
La figura 5.2 ilustra la grfica de los polinomios de Legendre de grados: 1, 2 y 3.
Los polinomios de Legendre se pueden obtener a partir de la siguiente frmula,
conocida como frmula de Rodrigue.
n
n
n
nnx
dx
d
nxP )1(
!2
1)( 2 =
La siguiente frmula de recurrencia se puede usar para determinar los polinomios de
Legendre a partir de xxPyxP == )(1)(10 .
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
43/60
302
,....4,3,2,1;)(1
)(1
12)( 11 =+
+
+= + nxP
n
nxxP
n
nxP nnn
Puede demostrarse que:
12
)()(
)(11
+
=+
n
xPxP
dxxPnn
n
Figura 5.2.
Los polinomios de Legendre presentan ciertas propiedades, entre las que son dignas de
destacar, las siguientes:
1. Un polinomio de Legendre es estrictamente par o estrictamente impar.2. Los polinomios pares pasan por los puntos: )1,1( y )1,1( 3. Los polinomios impares pasan por los puntos: )1,1( y )1,1( 4. Todas las races de los polinomios de grado mayor o igual que uno son reales y
estn en el intervalo: 11
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
44/60
303
Lo anterior significa que una funcin seccionalmente continua no se puede expresar en
trminos de series de potencias de Taylor. Veremos a continuacin que una funcin
seccionalmente continua en el intervalo: 11
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46/60
305
,...3,2,1,0;)1)(2(
)(200 210 =++
= + nc
nn
pnccc nn
Al evaluar algunos de los trminos de la serie, resultan dos soluciones que forman un
conjunto fundamental, as:
...!7
)5)(3)(0(2
!5
)3)(1(2
!3
)1(2
...!6
)4)(2)(0(2
!4
)2)(0(2
!2
)0(21
73
52
3
2
63
42
2
1
+
+
+
+=
+
+
+
+=
xppp
xpp
xp
xy
xppp
xpp
xp
y
Cuando ,...3,2,1,0== nnp , la ecuacin diferencial es: 0)(2)('2)('' =+ xnyxxyxy En este caso una de las soluciones es un polinomio de grado: n conocido como
polinomio de Hermite, mientras que la otra es una serie infinita, as:
...!7
)5)(3)(1(2
!5
)3)(1(2
!3
)1(2
...!6
)4)(2)(0(2
!4
)2)(0(2
!2
)0(21
73
52
3
2
63
42
2
1
+
+
+
+=
+
+
+
+=
xnnn
xnn
xn
xy
xnnn
xnn
xn
y
A continuacin se muestran algunos casos particulares:
...302
313
23
..210303
12
...306
11
...42103
10
642
2
3
1
753
2
2
1
642
21
753
21
++===
+===
===
++++===
xxxy
xxyn
xxxxyxyn
xxxyxyn
xxxxyyn
Los polinomios normalizados de Hermite son los siguientes:
12072048064)(
12016032)(124816)(
128)(24)(2)(1)(
246
6
35
5
24
4
33
2210
+=
+=+=====
xxxxH
xxxxHxxxH
xxxHxxHxxHxH
Los polinomios de Hermite se pueden obtener directamente de la siguiente frmula,
conocida como frmula de Rodrigue.
22
)1()( xn
nxn
n edx
dexH =
A partir de los polinomios de Hermite xxHyxH 2)(1)( 10 == , se pueden
determinar los otros polinomios de Hermite, mediante la siguiente frmula derecurrencia:
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47/60
306
)(2)(2)( 11 xnHxxHxH nnn + =
Los polinomios de Hermite son ortogonales con respecto a la funcin de peso2xe , as:
=
= mnsinmnsidxxHxHe nmn
x
!20)()(
2
Las figuras 5.4 y 5.5 ilustran las grficas de los polinomios de Hermite de grados: 1,2, 3
y 4.
Figura 5.4 Figura 5.5
Puede verse que todas las races son reales.
Ejemplo 5.21.
Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial de Hermite de primer orden.
0)(4)('2)('' =+ xyxxyxy
Solucin.Tal como se acaba de ver, una solucin es xy =1 . La segunda solucin se puededeterminar de dos maneras, as:
1. Haciendo uso de los resultados previos:
...306
164
2
2 =xx
xy
2. Por el mtodo de reduccin de orden.
=
=
=
dxx
exdx
x
exdx
y
eyy
xxdxdxxp
22
2
2
1
)(
12
2
La serie correspondiente a2xe es: .....
621
6422 ++++=
xxxex
Con base en lo anterior, la segunda solucin es:
dxxxx
xy
++++= ...
6211
42
22
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
48/60
307
Efectuando las operaciones, resulta la misma solucin anterior con signo contrario.
La ecuacin diferencial de Chebyshev.
La forma general de la ecuacin diferencial de Chebyshev es la siguiente:
=+ Rpxypxxyxyx 0)()(')('')1( 22
Puesto que 00 =x es un punto ordinario de la ecuacin diferencial y dado que las
singularidades ms cercanas son 1=x , se garantizan dos soluciones linealmenteindependientes en el intervalo }1/{
7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES
49/60
308
Particularmente, cuando ,..2,1,0== np , una de las soluciones es un polinomio degrado n , as:
...!5
)43)(41(
!3
)41(8814
...!6
)34)(32(1
!4
)32(3
!2
31
2
33
...!5
)23)(21(
!3
)21(212
...!6
)14)(12(1!4
)12(1!2111
...!7
531
!5
31
!2
110
52222
322
2
42
1
622222
4222
22
2
3
1
52222
322
2
2
1
6
22222
4
222
2
2
21
7222
522
22
21
+
+
+=+==
+
+
+
+===
+
+
+===
++++===
+
+
+
+===
xxxyxxyp
xxxyxxyp
xxxyxyp
xxxyxyp
xxxxyyp
La solucin polinmica recibe el nombre de polinomio de polinomio de Chebyshev degrado n.
A continuacin se ilustran algunos de los polinomios normalizados de Chebyshev.
1184832)(52016)(
188)(
34)(
12)(
)(
1)(
246
6
35
5
24
4
3
3
2
2
1
0
+=+=
+=
=
=
=
=
xxxxCxxxxC
xxxC
xxxC
xxC
xxC
xC
Los polinomios normalizados de Chebyshev se pueden determinar a partir de la
frmula:
[ ][ ]
>
=
1)(coshcosh
1)(coscos)(
1
1
xsixn
xsixnxCn
La siguiente frmula de recurrencia permite hallar cualquier polinomio de Chebyshev a
partir de xxCyxC == )(1)(10 .
,....3,2,1)()(2)( 11 == + nxCxxCxC nnn
Los polinomios de Chebyshev son ortogonales en el intervalo: 11
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50/60
309
Al igual que los polinomios de Legendre, los polinomios de Chebyshev se pueden usar
para desarrollar funciones seccionalmente continuas en el intervalo 11
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51/60
310
Como puede verse, el punto: 00 =x es un punto singular regular de la ecuacin
diferencial y, en consecuencia, admite al menos una solucin de la forma de Frobenius,
as
=
+=0k
k
kxcy . Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuacin diferencial, se
tiene:0)()()1)((
000
1
0
1 ++++++
=
+
=
+
=
+
=
+
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k xpcxckxckxckk
Agrupando sumatorias y sacando como factor comn x , resulta:
Figura 5.6. Figura 5.7.
0)()(00
12 ++
=
=
k
k
k
k
k
k xcpkxck
Procediendo a realizar los correspondientes cambios de variable, se tiene:
0)()1(01
12
+++
=
=+
n
nn
n
nn xcpnxcn
De la expresin anterior se sigue que:
[ ] 0)()1(0
1
21
0
2 +++
=+
n
n
nn xcpncnxc
Para soluciones diferentes de la trivial se toma 00 c , con lo que resulta: 021 ==
y, por tanto, se tiene una solucin, as:
== 01
n
n
nxcy
En la expresin anterior se tiene que: ,...3,2,1,0;)1(
0210
=+
= + nc
n
pncc nn
Evaluando algunos trminos y haciendo 10 =c , resulta:
( ) ( ) ( ) ( )...
!4
)3)(2)(1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
!11 4
2
3
2
2
221+
+
+
+
+= x
ppppx
pppx
ppx
py
La otra solucin se puede determinar por el procedimiento desarrollado en la seccin
anterior o por reduccin de orden.Particularmente, cuando ,..3,2,1,0== np ,
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311
La solucin hallada es un polinomio de grado n, as:
( ) ( ) ( ) ( )...
!4
)3)(2)(1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
!11 4
2
3
2
2
221+
+
+
+
+= x
nnnnx
nnnx
nnx
ny
Algunos casos particulares son los siguientes polinomios conocidos como polinomios
de Laguerre.
432
1
32
1
2
1
11
24
1
3
23414
6
1
2
3313
2
1212
1110
xxxxyn
xxxynxxyn
xynyn
++==
+==+==
====
A continuacin se presentan algunos polinomios normalizados de Laguerre.
24967216)(
6189)(24)(
1)(1)(
234
4
23
3
2
2
10
++=
++=+=
+==
xxxxxL
xxxxLxxxL
xxLxL
Los polinomios de Laguerre se pueden derivar de la siguiente frmula, conocida como
frmula de Rodrigue.
xn
n
nx
n exdx
dexL =)(
La siguiente frmula de recurrencia sirve para determinar los diferentes polinomios de
Laguerre a partir de )()( 10 xLyxL .
,...3,2,1)()()12()( 12
1 =+= + nxLnxLxnxL nnn
Figura 5.8. Figura 5.9.
Las figuras 5.8 y 5.9 ilustran las grficas de los polinomios de Laguerre de grados: 1,2,
3 y 4. Puede verificarse que, cualquiera que sea el grado, las todas las races son reales
positivas.
Los Polinomios normalizados de Laguerre son ortogonales en el intervalo: 0>x conrespecto a la funcin de peso xkex , as:
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( )
=
=
mnsikn
n
mnsi
dxxLxLexk
m
k
n
xk
)!(
!
0
)()(3
0
Ejemplo 5.23.Usando el mtodo de reduccin de orden, determine la segunda solucin de la ecuacin
diferencial de Laguerre de primer orden.
0)(')1()('' =++ yxyxxxy
Solucin.La primera solucin es: 11 = xy
En cuanto a la segunda solucin, tenemos:
( )( )
( )
=
=
=
dxxx
exdx
x
exdx
y
eyy
xdx
x
xdxxp
22
1
2
1
)(
12)1(
11
1
Efectuando las operaciones resulta:
...216000240028836
34
)ln()1(65432
2 ++++++=xxxx
xx
xxy
La ecuacin diferencial de Bessel.
La ecuacin diferencial de Bessel presenta la forma general:
=++ Rpxypxxxyxyx 0)()()(')('' 222
Por simple inspeccin se ve que 00 =x es un punto singular regular de la ecuacin
diferencial y, en consecuencia, se garantiza al menos una solucin de la forma:
=
+=nn
n
nxcxy)(
La solucin ser vlida en el intervalo: 0>x
A sustituir idnticamente en la ecuacin diferencial resulta:
0)()1)(( 22 +++++
=
+
=
++
=
+
=
+
nn
n
n
nn
n
n
nn
n
n
nn
n
n xcpxcxcnxcnn
Agrupando sumatorias y sacando como factor comn x resulta:
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313
[ ] 0)( 222 ++
=
+
= nn
n
n
nn
n
n xcxcpn
A continuacin se hacen los cambios de variable adecuados, con lo que se tiene:
[ ] 0)(2
2
0
22 ++
=
= k
k
k
k
k
k xcxcpk
Equivalentemente se puede escribir:
0))((2
2
0
++++
=
= k
k
k
k
k
k xcxcpkpk
De la expresin anterior resulta:
[ ] 0))(()1)(1())((2
2
1
1
0
0 ++++++++++
=
k
k
kk xccpkpkxcppxcpp
Para obtener soluciones no triviales se impone la condicin 00 c , con lo que resulta la
ecuacin indicial 0))(( =+ pp , cuyas soluciones son pp == 21 . Deacuerdo con lo estudiado en la seccin anterior, una de las soluciones es:
=
=0
1 )(k
k
k
p xpcxy
Por otro lado se tiene:
,...4,3,2;)2(21
02
21 =+
=+
= kc
pkk
cc
pc k
kk
De lo anterior se sigue que: ....000 531 === ccc y, adicionalmente resulta:
0642
46
04232
4
02
02
)3)(2)(1(!32
1
)2(32
1
)26(6
)2)(1(!221
)2(21
)24(4
)1(2
1
)22(2
cppp
cpp
cc
cpp
cpp
cc
cpp
cc
+++
=
+
=
+
=
++=+=+=
+
=
+=
Puede verse que el trmino genrico es:
022 ))...(3)(2)(1(!2
)1(c
kppppkc
k
k
k ++++
=
Con base en lo anterior, la primera solucin es:
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314
+
+++
+++
+= ...
)3)(2)(1(!32)2)(1(!22)1(!121
46
6
4
4
2
2
01ppp
x
pp
x
p
xxcy p
La solucin se puede escribir de la siguiente manera:
= ++
+=
02
2
01)1(!2
)1()1(
kk
kkp
kpk
xpxcy
En la expresin anterior se define la funcin gamma, as:
)1()1)(2)...(2)(1)(()1( ++++++=++ pppkpkpkpkp
Finalmente, s se hace)1(2
10 +=
pc
p, resulta:
pk
k
k x
kpk
py
+
=
++
+=
2
0
12)1(!
)1()1(
La serie encontrada recibe el nombre de funcin de Bessel de primera especie de orden
p y se denota como:pk
k
k
p
x
kpkxJ
+
=
++
=
2
0 2)1(!
)1()(
En cuanto a la segunda solucin, es decir, para p=2 , se tiene:
,...4,3,2;)2(21
02
21 =
=
= kc
pkk
cc
pc k
kk
Tal como puede verse, s: 2/1=p la constante 1c es diferente de cero y enconsecuencia resultan dos soluciones linealmente independientes. Para cualquier otro
valorp la constante 1c es cero.
Analizando la ecuacin de recurrencia se concluye que s ,...3,2,1,0=p , es imposiblehallar una segunda solucin. En otro caso puede verse que una segunda solucin es:
pk
k
k
p
x
kpkxJy
=
++
==
2
0
22)1(!
)1()(
En conclusin, dada la ecuacin diferencial de Bessel de orden p, s ...4,3,2,1,0p , lasolucin de la ecuacin es:
)()()( 21 xJCxJCxy pp +=
Cuando ...4,3,2,1,0== np , la segunda solucin se puede determinar por el mtodo de
reduccin de orden, as:
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,...3,2,1,0)(
)(22
=
= n
xxJ
dxxJy
n
n
Para efectos de hallar la segunda solucin se puede proceder segn lo estudiado en la
seccin anterior.Cuando ,..3,2,1,0== np , la funcin gamma se convierte en la funcin factorial, de talmanera que !)1( nn =+ . En tal caso, se tiene:
nk
k
k
n
x
nkkxJ
+
=
+
=
2
0 2)!(!
)1()(
Las figuras 5.10 y 5.11 muestran las grficas de las funciones de Bessel de orden cero y
orden uno.
Las funciones de Bessel de la primera especie presentan algunas propiedadesinteresantes, entre las que cabe mencionar las siguientes:
1. [ ] )()( 1 xJxxJxdx
dp
p
p
p
= 2. [ ] )()( 1 xJxxJxdx
dp
p
p
p
+ =
3. )()()(' 1 xpJxxJxxJ ppp = 4. )()()(' 1 xxJxpJxxJ ppp +=
5. )()()('2 11 xJxJxJ ppp + = 6. )()(2
)( 11 xJxJx
pxJ ppp + =
Figura 5.10. Figura 5.11.
La funcin gamma.
La funcin gamma es una generalizacin de la funcin factorial y se define de lasiguiente manera:
+ = Rpdxxep px01)(
Cuando Np , el clculo de la funcin gamma se realiza usando tcnicas numricas yusando la siguiente frmula de recurrencia:
)()1( ppp =+
Cuando Nnp = , se tiene )!1()( = nn . Justamente, del resultado anterior se sigueque: 1!0 =
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La funcin gamma se puede definir para valores negativos no enteros de p, as:
,...3,2,1)1(
)( +
= pp
pp
Puede demostrarse que: = )2/1(La figura 5.12 muestra la grfica de la funcin gamma en el intervalo 0 4p< . Puede
verse que se presentan asntotas en ,...4,3,2,1,0 =p , mientras que la funcin escontinua para: 0>n
Ejemplo 5.24.
Demuestre que:
,....3,2,1
2
)!12()2/1( =
=+ n
nn
n
Solucin.Se procede por induccin matemtica incompleta, as:
n
nn
2
)!12()2/3(
.
.
2
7531)2/1(
2
1
2
3
2
5
2
7)2/9()2/14(
2
531)2/1(
2
1
2
3
2
5)2/7()2/13(
2
31)2/1(
2
1
2
3)2/5()2/12(
2
1)2/1(
2
1)2/11(
4
3
2
=+
===+
===+
===+
==+
Ejemplo 5.25.
Demuestre la propiedad:
)()1()( xJxJ nn
n =
Solucin.Se parte de la funcin de Bessel de orden -n, as:
=
=
0
2
2)!(!
)1()(
k
nkk
n
x
nkkxJ
A continuacin se hace el cambio de variable nkj = , con lo que resulta:
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=
++
+
=
nj
njnj
n
x
jnjxJ
2
2!)!(
)1()(
La expresin anterior se puede escribir en la forma:
=
+
=
++
+
+
+
=
0
21 2
2!)!(
)1()1(
2!)!(
)1()(
j
njjn
nj
njnj
n
x
jnj
x
jnjxJ
Teniendo en cuenta que el factorial de un nmero negativo tiende a , la primerasumatoria tiende a cero y, en consecuencia queda demostrada la propiedad.
Ejemplo 5.26.
Demuestre la propiedad:
[ ] )()( 1 xJxxJxdxd nn
nn
=
Solucin.Se parte de la definicin de la funcin de Bessel de orden n, as:
[ ]
[ ]
[ ] )(2)!1(!
)1(
)!1(!2
)1()(
)!1)((!2
)()1(
)!1)((!2
)(2)1()(
)!(!2
)1(
2)!(!
)1()(
1
12
0012
122
0
12
122
0
2
122
02
)(22
0
xJxx
nkkx
nkk
xxJx
dx
dnknkk
xnk
nknkk
xnkxJx
dx
d
nkk
x
dx
dx
nkkx
dx
dxJx
dx
d
n
n
nk
k
kn
kk
nk
n
n
k
k
nk
k
k
nk
n
n
kk
nkknk
k
kn
n
n
+
=
=
+
=
+
=
+
=
++
=
=
+
=
+
=
++
+=
++
+=
+
=
+
=
Figura 5.12.
El resultado puede hacerse extensivo al caso de orden ,...3,2,1,0p , es decir, lapropiedad en forma general es:
[ ] )()( 1 xJxxJxdx
dp
p
n
p
=
De manera similar se puede demostrar la segunda propiedad.
Ejemplo 5.27.
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Demuestre la propiedad: )()()(' 1 xpJxxJxxJ ppp =
Solucin.Se parte de la primera propiedad, as:
[ ] )()()(')( 11 xJxxJpxxJxxJxdx
dp
p
p
p
p
p
n
p
=+=
Multiplicando por px se tiene:
)()()(')()()(' 111 xpJxxJxxJxJxJpxxJ pppppp ==+
De manera similar se demuestra la cuarta propiedad.
EJERCICIOS 5.6.
Encuentre la solucin general para las ecuaciones diferenciales 1-10
1. 0)(6)('2)('')1( 2 =+ xyxxyxyx
2. 0)(4
3)('2)('')1( 2 =+ xyxxyxyx
3. 0)(4)('2)('' =+ xyxxyxy 4. 0)()('2)('' =+ xyxxyxy
5. 0)(4)(')('')1( 2 =+ xyxxyxyx
6. 0)(41)(')('')1( 2 =+ xyxxyxyx
7. 02)(')1()('' =++ yxyxxxy
8. 02
1)(')1()('' =++ yxyxxxy
9. 0)()4()(')('' 22 =++ xyxxxyxyx
10. 0)()25.0()(')('' 22 =++ xyxxxyxyx
11. Use los polinomios normalizados de Legendre para aproximar la siguiente funcin
en el intervalo 11 x . Represente grficamente la funcin original en un mismogrfico con la aproximacin.
xxf = 1)(
12. Demuestre las siguientes propiedades:
4. )()()(' 1 xxJxpJxxJ ppp +=
5. )()()('2 11 xJxJxJ ppp + =
6. )()(2
)( 11 xJxJx
pxJ ppp + =
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319
13. Usando la propiedad de recurrencia del ejercicio anterior, exprese )(3 xJ en trminos
de )(0 xJ y )(1 xJ .
14. Evale las siguientes integrales:
a. dxxxJ )(0 b. dxxJx )(12 c. dxxJx )(14 d. dxxxJ )(2
0
15. Considere la ecuacin diferencial 0)()()(')('')1( 2222 =++ xypxxxyxyx ,conocida como ecuacin paramtrica de Bessel con parmetro . Demuestre que la
funcin: )( xJn es una solucin de la ecuacin diferencial:
16. Use el resultado del ejemplo 5.24 y la frmula de la funcin de Bessel para
demuestre que:
a. )(2
)(2/1 xsenx
xJ
= b. )cos(2)(2/1 xx
xJ
=
17. Usando los resultados del ejercicio anterior y la propiedad 6, exprese )(2/3 xJ y
)(2/5 xJ en trminos de )(2/1 xJ y )(2/1 xJ