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Primero de 2012
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El radio atmico del nquel CCC es 1.243 . Calcular: a) el
parmetro de red y b) la densidad del nquel, si se sabe que la masa atmica
del nquel es de 58.71 g/mol.
Datos:
mol/tomos6.02x10 Avogadrode N.
teora) (por tomos 4 datomos/cel
g/mol 58.71 M
243.1a
23
0
Solucin:
a) Parmetro de red. En la celda CCC los tomos se contactan entre
si a travs de la diagonal de las caras del cubo, de forma que la relacin
entre la longitud del lado de cubo a0 y el radio atmico r es:
)1( 2
r4a bien o r4a2 00
Entonces, sustituyendo los datos en la relacin anterior
cm3.5157x10a
2
)cm10x243.1(4a
8-
0
8
0
b) Densidad. Para determinar la densidad del nquel, basta con
calcular el volumen de celda y sustituir su valor con los datos en la relacin:
Avogadro)de erocelda)(nm de volumen(
atmica) da)(masatomos/cel de nmero( )2(
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2
Clculo del volumen de celda: Por ser una celda cbica los valores de lados
son iguales, de manera que el volumen viene dado por:
3
0acelda de Volumen
323-
38
cm4.3455x10 celda de Volumen
)10x5157.3(celda de Volumen
Ahora bien, sustituyendo en (2)
3
23323
cm/g977.8
)mol/tomos10x02.6)(cm10x3455.4(
.71g/mol)tomos)(58 4(
2. La densidad del potasio, que tiene una estructura CC y un tomo
por punto de red es 0.855 g/cm3. La masa atmica del potasio es 39.09
g/mol. Calcule:
a) el parmetro de red y
b) el radio atmico del potasio
Solucin:
Datos:
mol/tomos10 x 6.02 Avogadrode N.
teora) (por tomos 2 datomos/cel
g/mol 39.09 atmica Masa
g/cm 855.0
23
3
a) Parmetro de red. Como el potasio tiene una estructura cbica, su
3
0acelda de volumen , el cual puede obtenerse a travs de la relacin:
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3
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen
atmica) lda)(masa(tomos/ce
donde:
Avogadro)de (nmero
atmica) lda)(masa(tomos/cecelda de olumenv
Entonces, sustituyendo los valores:
322-
233
cm 10 x 1.5189 celda de volumen
)tomos/mol10 x )(6.02g/cm 855.0(
g/mol) .09tomos)(39 (2celda de olumenv
y como 3
0acelda de volumen , despejando se obtiene el parmetro de red
3355.5a
cm10 x 3355.5acm10 x 1.5189a
celda de volumena
0
8-
0
3 322-
0
30
b) Radio atmico. Como en la celda CC los tomos se contactan
entre si a travs de la diagonal del cubo, la relacin entre la longitud de la
diagonal de cubo a0 y el radio atmico r es: r4a3 0 , por lo que el radio
atmico puede calcularse despejando dicha relacin
2.3103 cm10 x 3103.2r
4
)cm10 x 3355.5(3r
4
a3r
8-
8-
0
3. Un metal con una estructura cbica tiene una densidad de 1.892
g/cm3, un peso atmico de 132.91 g/mol y un parmetro de red de 6.13 . Un
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4
tomo asociado a cada punto de la red. Determinar la estructura cristalina del
metal.
Solucin:
Datos:
mol/tomos6.02x10 Avogadrode N.
13.6a
g/mol 132.91 atmica Masa
g/cm 1.892
23
0
3
Para determinar la estructura cristalina y en base a los datos obtenidos,
basta con calcular el nmero de tomos por celda.
De la formula de densidad, se tiene
(1) atmica masa
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumendatomos/cel
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen
atmica) lda)(masa(tomos/ce
Clculo de volumen de celda. Como el metal tienen una estructura
cbica, el 3
0acelda de volumen , entonces:
322-
3-8
cm10 x 2.3035 celda de volumen
)cm10 x (6.13celda de volumen
Una vez determinado el volumen de celda y con los datos obtenidos,
determinamos el tipo de estructura sustituyendo en la relacin (1)
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5
tomos 2 tomos 1.974celda/tomos
)g/mol (132.91
)mol/tomos10 x (6.02)cm10 x (2.3035)g/cm (1.892datomos/cel
atmica masa
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumendatomos/cel
23322-3
Finalmente, en base al resultado, se puede decir que el metal tiene una
estructura CC
4. El galio tiene una estructura ortorrmbica, con a0=0.45258 nm,
b0=0.45186 nm y c0=0.76570 nm. El radio atmico es 0.1218 nm. La
densidad es de 5.904 g/cm3 y la masa atmica es de 69.72 g/mol. Determine
a) el nmero de tomos en cada celda unitaria y
b) el factor de empaquetamiento de la celda unitaria
Solucin:
Datos:
tomos/mol 10 x 6.02 Avogadrode N.
g/mol 69.72 atmica Masa
g/cm 5.904
nm 0.76570 c
nm 0.45186 b
nm 45258.0a
23
3
0
0
0
a) Nmero de tomos por celda. Se determinan despejndolos de la
relacin de densidad
(1) atmica masa
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumendatomos/cel
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen
atmica) lda)(masa(tomos/ce
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Clculo del volumen de celda. Para determinar el volumen se
multiplican cada uno de los parmetros de red, es decir
322-
7-7-7-
000
cm10 x 1.5659 celda de volumen
)cm10 x 76570.0)(cm10 x 45186.0)(cm10 x (0.45258 celda de volumen
c x bx a celda de volumen
ahora, sustituyendo los valores en (1)
tomos 8 tomos 7.98celda/tomos
g/mol 69.72
)tomos/mol 10 x (6.02)cm 10 x (1.5659)g/cm (5.904 datomos/cel
atmica masa
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen datomos/cel
23322-3
b) Factor de empaquetamiento. Se calcula por medio de la relacin
(2) celda) de (volumen
tomo) de volumen)(celda/tomos(FE
Clculo del volumen de tomo. Considerando a los tomos
como esferas rgidas, se obtiene a travs de la expresin
324-
37-
3
cm 10 x 7.5875 tomo de volumen
)cm10 x 1219.0(3
4 tomo de volumen
r3
4tomo de volumen
Ahora bien, sustituyendo los datos en la ecuacin (2)
0.3876 FE
)cm 10 x (1.5659
)cm10 x 7.5875)(8(FE
322-
3 -24
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5. Una de las formas del manganeso tiene un radio atmico de 1.12
, un parmetro de red de 8.931 , y un factor de empaquetamiento de
0.479. Cuntos tomos hay en la celda unitaria?
Datos:
0.479 FE
cm10 x 8.931 8.931a
cm10 x 1.12 1.12r
8-0
-8
Solucin: En base a los datos suministrados, el nmero de tomos por celda
unitaria se puede obtener mediante un simple despeje de la expresin:
(1) tomo de volumen
celda) de en(FE)(volum atomo/celd
celda de volumen
tomo) de volumen)(celda/tomos(FE
Para ello, se determinan el volumen de tomos y el volumen de celda
Clculo del volumen de tomo: Considerando a los tomos como
esferas slidas
324-
38-
3
cm10 x 5.8849 tomo de volumen
)cm10 x 1.12(3
4 tomo de volumen
r3
4tomo de volumen
Clculo del volumen de celda:
322-
38-
30
cm10 x 7.1236 celda de volumen
)cm10 x (8.931 celda de volumen
acelda de volumen
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Sustituyendo en (1)
tomos 58 datomos/cel
57.98 atomo/celd
cm10 x 5.8849
)cm10 x 1236(0.479)(7. atomo/celd
324-
3-22
Determine los ndices de Miller correspondientes a las direcciones de la
celda cbica que aparece en la figura
Solucin:
Direccin A
1) Se determinan coordenadas iniciales (1,0,0) y coordenadas finales
(0,0,1)
2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales:
1 0, 1,- )0,0,1()1,0,0(
3) No hay fracciones por simplificar o enteros por reducir
4) ]1 0 1[
z
y
x
z
y
x
1/2
3/4
A
B
C
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Direccin B
1) Se determinan coordenadas iniciales (1/2,1,0) y coordenadas
finales (1,0,1)
2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales:
1 1,- 1/2,- )0,1,2/1()1,0,1(
3) Se simplifican fracciones: 2 2,- ,1)1 ,1,21(2
4) ]2 2 1[
Direccin C
1) Se determinan coordenadas iniciales (0,3/4,1) y coordenadas
finales (1,0,0)
2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales:
4,-13- 1, )1,43,0()0,0,1(
3) Se simplifican fracciones: 4- 3,- 4,)1- ,43 ,1(4
4) ]4 3 4[
6. Determine los ndices para los planos de la celda unitaria cbica
que aparece en la figura
z
y
x
z
y
x
1/3
B
A
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10
Solucin:
Plano A
1) Se deber mover el origen, ya que el plano pasa a travs de 0,
0,0. Se mueve tambin el origen un parmetro de red en la direccin y (ver
figura). Entonces 1z -1, y,1x
2) Se determinan los recprocos de las intersecciones:
1z
1 ;1
y
1 1;
x
1
3) No hay fracciones que simplificar
4) 1) 1 1(
Plano B
1) Se determinan las intersecciones: z 3,1 y,x
2) Se determinan los recprocos de las intersecciones:
0z
1 ; 3
y
1 0;
x
1
3) No hay fracciones que simplificar
4) 0) 3 0(
y
Z
Y
X
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11
7. Un vector direccin pasa a travs de cubo unidad (o celda unitaria)
desde la posicin )4
1 0, ,4
1( a la )1 ,4
3 ,4
1( . Cules son los ndices de
direccin?
Solucin: Se sigue el mismo procedimiento que el presentado en el ejercicio
5
1) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales:
43 ,
43 0,
41 0, ,
411 ,
43 ,
41
2) Se simplifican fracciones: 3 3, 0, 4
3 ,4
3 ,04
3) [0 3 3]
8. Dibuje los vectores direccin en celdas unitarias para las
siguientes direcciones cbicas: a) ]1 1 1[ ; b) ]121[ y c) ]011[
Solucin:
Para ]1 1 1[ : Las coordenadas de posicin para la direccin son (1,-
1,-1). Para su representacin tendr que llevarse el origen del vector
direccin al vrtice inferior izquierdo de la parte trasera del cubo.
z
y
x
z
y
x
Nuevo origen O
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12
z
y
x
z
y
x
1/2
1/2
Para la direccin ]121[ : Las coordenadas posicin para la
direccin, se obtienen dividiendo los ndices de direccin por 2 de modo que
puedan estar dentro de la celda unitaria. Son,
por tanto 2
1- 1, ,2
1
Para la direccin ]011[ : La coordenadas posicin para la direccin,
son (1,-1,0). El origen del vector direccin tiene que llevarse al vrtice inferior
izquierda de la parte trasera del cubo.
9. Determine los ndices de Miller del plano cristalino cbico que
cortan las siguientes coordenadas de posicin: (0,0,2
1 ); (1,0,0); (2
1 ,4
1 ,0)
Solucin: Primero, se localiza como A, B y C las tres coordenadas de
posicin tal como se indica en la figura
z
y
x
z
y
x
Nuevo origen O
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A continuacin, se unen B y C y se prolonga BC hasta D, y se unen A y
B. Por ltimo, se unen A y D hasta completar el plano ABD. El origen para
este plano en el cubo puede ser elegido en E, que da las intersecciones
axiales con el plano ABD en 21z ,21 y,1x . Los recprocos de estas
intersecciones axiales son: 1, 2, 2. No hay fracciones que eliminar y
finalmente, los ndices de Miller para el plano dado: (12 2)
10. El hierro puro experimenta un cambio polimrfico de CC a CCC
calentndolo al pasar los 912 C. Calcular el cambio de volumen asociado
con el cambio de estructura de CC a CCC si a 912 C la celda unitaria CC
tiene un parmetro de red de 0.293 nm y la celda unitaria CCC 0.363 nm.
Datos:
(teora) tomos 2 datomos/cel
nm 0.293 a
CC Para
0
(teora) tomos 4 /celdatomos
nm 0.363 a
CCC Para
0
X X
Z
Y
Z
Y
A
D
C B
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Solucin: El cambio volumtrico durante la transformacin puede calcularse a
partir de datos cristalogrficos. El volumen por tomo para la red cristalina
del hierro CC antes de transformarse es:
3CC
3
30
CC
nm 0251.0V
2
)nm 0.293(Vcc
2
aV
El volumen por tomo para la red cristalina CCC que tiene cuatro tomos por
celda unitaria es
3CC
3
30
CCC
nm 01196.0V
4
)nm 0.363(Vccc
4
aV
El cambio porcentual en volumen durante la transformacin CC a CCC,
viene dado por:
4.9% - V
V
100% x nm 0.01258
nm 0.01258 nm 0.01196
V
V
100% x cintransforma la de antes V.
cintransforma la de antes V.- cintransforma la de despus .VV
CC
3
33
CC
Esto indica que el hierro se contrae al calentarse 4.9%
11. Un cristal nico de un metal CCC est orientado de tal forma que
la direccin [001] es paralela a un esfuerzo aplicado de 5000 psi. Calcular el
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z
y
x
z
y
x[110]
[111]
esfuerzo cortante resultante que acta sobre el plano de deslizamiento (111)
en las direcciones de deslizamiento [110] y [011].
Solucin:
Para (111)/ [110]: Se aplica un esfuerzo normal en la direccin
[001] de la celda unitaria. Esto produce un ngulo de 90 (por inspeccin)
con la direccin de deslizamiento [110] y un ngulo con la normal al plano
(111) (direccin [111] por ser celda cbica). En la grfica se muestra lo
planteado anteriormente
Clculo de : Aplicando identidades geomtricas
76.54
3
1cosAr
a3
aCos
0
0
02a
0a
03a
[111]
[110]
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Clculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relacin cos.cos y
sustituyendo los valores obtenidos
0
)76.54)(cos90(cospsi5000
Para (111)/ [011]: Se aplica un esfuerzo normal en la direccin
[001] de la celda unitaria. Esto produce un ngulo con la direccin de
deslizamiento [011] y un ngulo con la normal al plano (111) (direccin
[111] por ser celda cbica). En la grfica se muestra lo planteado
anteriormente
Clculo de : Aplicando identidades geomtricas
45
)1cos(Ara
aCos
0
0
z
y
x
z
y
x
[011]
[111]
0a
0a
02a
[011]
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Clculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relacin cos.cos y
sustituyendo los valores obtenidos
psi2040
)76.54)(cos45(cospsi5000
12. Determinar la distancia entre los planos adyacentes (121) en el
cobre, el cual tiene un parmetro de red de 3.615.
Solucin: Sustituyendo los valores dados en la ecuacin general
476.1d
121
615.3d
lkh
ad
)121(
222121
222
0)l,k,h(
13. El litio CC tiene un parmetro de red de 3.5089 x 10-8 cm y
contiene una vacancia por cada 200 celdas unitarias. Calcule:
a) el nmero de vacancias por centmetro cbico
b) la densidad del litio
Datos:
mol/tomos10 x 6.02 Avogadrode .
tabla) (Por g/mol 6.94 atmica Masa
200
1Vacancias
cm10 x 5089.3a
23
-80
Solucin:
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18
a) Vacancias por centmetro cbico: Para determinarlas, se emplea la
siguiente relacin:
(1) celda de Volumen
vacancias de Nmero
cm
Vacancias3
Clculo del volumen de celda
323-
38-
30
cm10 x 4.32029 celda de volumen
cm)10 x (3.5089 celda de volumen
a celda de volumen
Sustituyendo
320
3
3 23-3
cm/Vacancias10 x 157.1cm
Vacancias
cm10 x 4.32029
2001
cm
Vacancias
b) Densidad del litio. Se obtiene aplicando la relacin de densidad.
Clculo del nmero de tomos por celda. Considerando que la
celda presenta defectos, es necesario obtener el nmero de tomos (tomos
calculados), mediante la definicin de vacancias y asumiendo que la celda en
condiciones normales presenta 2 tomos
tomos 1.995 calculados tomos
200
1 - 2 calculados tomos
Vacancias- normales scondicione en tomoscalculados tomos
calculados tomos- normales scondicione en tomosVacancias
Ahora sustituyendo en la relacin de densidad
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19
3
23323-
g/cm 5323.0
)mol/tomos10 x 02.6)(cm10 x (4.32029
94g/mol)tomos)(6. (1.995
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen
atmica) lda)(masa(tomos/ce
14. Una aleacin de niobio se produce al introducir tomos
sustitucionales de tungsteno en la estructura CC; finalmente se produce una
aleacin con un parmetro de red de 0.32554 nm y una densidad de 11.95
g/mol. Calcular la fraccin de tomos de tungsteno dentro de la aleacin.
Datos:
g/mol 92.91 niobio del atmica Masa
g/mol 11.95
cm10 x 0.32554 nm 0.32554 a -70
Solucin: Para determinar la fraccin de tomos de tungsteno dentro de la
aleacin, se debe obtener primeramente el nmero de tomos por celda
unitaria de la aleacin, el cual se calcula a partir de la relacin de densidad.
(1) niobio del atmica masa
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen celda/tomos
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen
atmica) lda)(masa(tomos/ce
Clculo del volumen de celda: Por ser una celda cbica los valores
de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por:
323-
37-
30
cm10 x 3.44995 celda de volumen
cm)10 x (0.32554 celda de volumen
a celda de volumen
Una vez determinado el volumen de celda, se sustituye en (1)
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20
tomos 2.671 datomos/cel
g/mol 92.91
)tomos/mol10 x )(6.02cm10 x (3.44995)g/mol 95.11( celda/tomos
233-23
Una vez conseguidos el nmero de tomos por celda unitaria de la aleacin,
se emplea la definicin de tomos sustitucionales para determinar as, el
nmero de tomos de tungsteno introducido en la aleacin
(2) tungsteno de tomosnormales scondicione en tomos nalessustitucio tomos
Es importante destacar, que los tomos sustitucionales representa el
nmero de tomos por celda en la aleacin y los tomos en condiciones
normales son el nmero de tomos por red cristalina en una celda CC (2
tomos). De ah que el nmero de tomos por celda de tungsteno se calcula
a travs de un simple despeje de la expresin (2)
tomos 0.671 tungsteno de tomos
tomos 2 - tomos 2.671 tungsteno de tomos
normales scondicione en tomos - nalessustitucio tomos tungsteno de tomos
Clculo de la fraccin de tomos de tungsteno: Se miden por
medio de la relacin siguiente
0.335 tomos de Fraccin
tomos 2
tomos 0.671 tomos de Fraccin
normales scondicione en tomos
tungsteno de tomos tomos de Fraccin
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21
15. El platino CCC tiene una densidad de 21.45 g/cm3 y un parmetro
de red de 3.9231 . En promedio qu porcentaje de los puntos de red
contiene vacantes? (asmase un tomo por punto de red)
Datos:
(teora) 4 red de Puntos
mol/tomos10 x 6.02 Avogadrode N.
(tabla) g/mol 195.09 atmica Masa
cm10 x 3.9232 3.9232 a
g/cm 21.45
23
8-0
3
Solucin: Para saber el nmero de vacancias, es necesario determinar el
nmero de tomos por celda, el cual se determina despejndolo de la
expresin de densidad
(1) atmica masa
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen celda/tomos
Avogadro)de erocelda)(nm de (volumen
atmica) lda)(masa(tomos/ce
Clculo del volumen de celda: Por ser una celda cbica los valores
de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por:
323-
38-
30
cm10 x 6.0379 celda de volumen
cm)10 x (3.9231 celda de volumen
acelda de volumen
Sustituyendo en (1)
tomos 3.9964529 datomos/cel
g/mol 195.09
)tomos/mol10 x )(6.02cm10 x )(6.0379g/cm 45.21( celda/tomos
233-233
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22
Como puede observarse, de haber 4 tomos/celda sera un cristal
perfecto de platino; de aqu la diferencia se debe a la presencia de vacantes.
Para obtener el nmero de vacantes se aplica la definicin
0.0035471 Vacancias
3.9964529 - 4 Vacancias
calculados tomos- normales scondicione en tomosVacancias
Clculo del porcentaje de vacantes por puntos de red: Se obtienen
a travs de:
0.000886 red de Ptos
Vacantes
4
0035471.0
red de Ptos
Vacantes
16. Determinar el ngulo de un borde de grano de ngulo pequeo
en el cobre CCC cuando las dislocaciones estn separadas 1000 . El
parmetro de red del cobre es de 3.615 .
Datos:
(Teora) [110] compacta Direccin
1000 D
615.3a0
Solucin: Los granos se encuentran inclinados un vector de Burgers en cada
direccin cada 1000 . El vector de Burgers en el cobre CCC es [110], de
manera que la longitud del vector de Burgers es de d110 (distancia
interplanar)
Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
23
b
D
b
D
Clculo de la longitud del vector de Burgers: Se determina
mediante la relacin
2.557 d
011
615.3d
lkh
ad
110
222110
222
0)l,k,h(
Clculo del ngulo : Aplicando identidades trigonomtricas
0.293
002557.02
Sen
1000
557.2
2Sen
D
b
2Sen