EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
YESID ARIZA OSORIOASESORAMIENTO EMPRESARIAL & GESTIONCAPACITACION Y ENTRENAMIENTO
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
Es una herramienta matemática que resuelve problemas de planeación y programación de operaciones; es decir, resuelve la pregunta sobre cuánto producir de acuerdo a la capacidad operativa y estudios de mercado
Utiliza el modelo de la Programación Lineal, a través de la solución de una matriz, usando el método de eliminación de Gauss Jordan.
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
METODOLOGIA DE TRABAJOIdentificación de la función objeto y las restricciones
Construcción del modelo de programación lineal de forma estándar
Construcción de un modelo matricial
Solución de la matriz por método de eliminación (Gauss Jordan)
Se obtiene a partir del enunciado del ejercicio y en la práctica, a partir de entrevistas
y/o observación
•Las variables se consideran positivas•Se suman o restan variables básicas o supuestas para eliminar la inecuación•Se asegura que el signo del número al otro lado de la solución sea positivo
Se construye una matriz, generalmente de dos dimensiones, una para las variables básicas incluyendo a Z (Función objeto) y otra para todas las variables
Se utiliza la eliminación identificando en cada iteración la columna de entrada y la ecuación pivote
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
IDENTIFICACION DE LA FUNCION OBJETO Y LAS RESTRICCIONES
Ejemplo
Maximizar Z= 3X + 2Y, sujeto a:
X+2Y<=62X+Y<=8-X+Y<=1Y<=2
Considere todas las variables positivas
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
CONSTRUCCION DEL MODELO DE PL USANDO LA FORMA ESTANDAR
Función Objeto
Se debe agrupar las variables de un solo lado de la ecuación, entonces:
Z=3X+2Y, queda como-3X-2Y+Z=0
Inecuaciones
Sumar o restar una variable supuesta teniendo en cuenta el sentido de la inecuación; si es menor que se suma, si es mayor que, se restaDe ser necesario cambiar el signo de toda la igualdad para que el número del otro lado del igual sea positivo
X+2Y<=6X+2Y+S1=6
2X+Y<=82X+Y+S2=8
-X+Y<=1-X+Y+S3=1
Y<=2Y+S4=2
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
MODELO DE PL USANDO LA FORMA ESTANDAR
Restricciones
Función Objeto -3X-2Y+Z = 0
X+2Y+S1 = 6 2X+Y+S2 = 8 -X+Y+S3 = 1 Y+S4 = 2
Los números después del signo igual, se consideran posibles soluciones, ellos deben colocarse en la casilla correspondiente de la matriz para solucionar el modelo de Simplex
Los números delante de las variables son sus coeficientes
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
DISEÑO DE LA MATRIZ
Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución
Z
S1
S2
S3
S4
Esquema de la matriz
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
DISEÑO DE LA MATRIZ
Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0
S1 0 1 2 1 0 0 0 6
S2 0 2 1 0 1 0 0 8
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 0 1 0 0 0 1 2
Se toman los coeficientes de las ecuaciones del modelo de PL de forma estándar y se colocan en su lugar correspondiente de acuerdo con la identificación de las filas y columnas de la matriz
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
SOLUCION DE LA MATRIZ(Condiciones de optimidad y de factibilidad)
CONDICIÓN MAXIMIZACIÓN MINIMIZACIÓN
Optimidad
La variable entrante es la que tiene el coeficiente mas negativo en la ecuación objeto.
La variable entrante es la que tiene el coeficiente mas positivo en la ecuación objeto.
El empate (dos números iguales, se rompe de manera arbitraria
El nivel óptimo se alcanza cuando los coeficientes No Básicos de la ecuación Z son No Negativos.
El nivel óptimo se alcanza cuando los coeficientes No Básicos de la ecuación Z son No Positivos.
Factibilidad La variable saliente es la variable básica con menor razón positiva entre la solución y el coeficiente en la dirección de la variable entrante.
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
SOLUCION DE LA MATRIZ(Identificación de Columna de Entrada, Ecuación Pivote y Elemento Pivote)
Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0
S1 0 1 2 1 0 0 0 6 6/1=6
S2 0 2 1 0 1 0 0 8 8/2=4
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 1/-1=-1
S4 0 0 1 0 0 0 1 2 2/0=∞
Coeficientes de las variables No Básicas en la función Objeto
Columna de Entrada
Ecuación Pivote; tiene la menor razón positiva Pivote
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
SOLUCION DE LA MATRIZ(ITERACIONES)
Se utiliza el método de eliminación Gauss Jordan para calcular los nuevos coeficientes, según las siguientes operaciones del cálculo:
Nueva Ecuación Pivote = Ecuación Pivote / Elemento Pivote
Nueva Ecuación = Ecuación anterior – Coeficientes
Columna entrada
Nueva Ecuación
Pivotex
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
SOLUCION DE LA MATRIZ(ITERACIONES)
Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución
Z
S1
X 0 1 ½ 0 ½ 0 0 4
S3
S4
Utilizamos el cálculo de la nueva Ecuación Pivote, dividimos cada coeficiente entre el elemento pivote, el resultado es:
Note que la variable X pasó a ser básica
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
Calculamos cualquiera de las ecuaciones de la nueva Iteración, el ejemplo es el cálculo de la primera fila (Ecuación objeto)
Ecuación anterior 1 -3 -2 0 0 0 0 0
Coeficiente Columna Entrada (CCE) -3
Nueva Ecuación Pivote 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
CCE x Nueva Eq. Pivote 0 3 3/2 0 3/2 0 0 12
Nueva Ecuación 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12
SOLUCION DE LA MATRIZ(ITERACIONES)
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12
S1
X 0 1 ½ 0 ½ 0 0 4
S3
S4
Se escriben los valores en la fila correspondiente de la Matriz (primera fila)
SOLUCION DE LA MATRIZ(ITERACIONES)
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
SOLUCION DE LA MATRIZ(SOLUCIÓN)
Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12+2/3
Y 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
X 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
S3 0 0 0 -1 1 1 0 3
S4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
Se realizan las Iteraciones que sean necesarias, identificando una y otra vez la Columna de Entrada, la Ecuación Pivote y el elemento pivote, hasta que se cumpla el valor óptimo descrito en la condición de Optimidad. La matriz resultante es la siguiente:
EL METODO SIMPLEXSIMPLEX PRIMAL
SOLUCION DE LA MATRIZ(SOLUCIÓN)
Básica Z X Y S1 S2 S3 S4 Solución
Z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12+2/3
Y 0 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
X 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
S3 0 0 0 -1 1 1 0 3
S4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
La solución es, los valores de X y Y que hacen máxima a Z, son 10/3 y 4/3 respectivamente y el valor máximo de Z es 12 +2/3