Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
229
Equazioni differenziali
Le equazioni differenziali sono equazioni in cui l’incognita è una funzione y(x) e in cui
compaiono le derivate della funzione stessa.
Per esempio l’equazione yy 2'= è un’equazione differenziale (del primo ordine perché compare
solo la derivata prima di y).
Come si risolve un’equazione differenziale ?
Risolvere un’equazione differenziale è piuttosto complesso e quindi tratteremo solo alcuni casi:
equazioni differenziali del primo ordine o particolari equazioni differenziali del secondo ordine (
dove cioè compare anche la derivata seconda).
Ma perché si studiano le equazioni differenziali?
Le equazioni differenziali sono una parte della matematica molto importante per le scienze
applicate quali la fisica e la biologia.
Infatti quando in un fenomeno c’è una variazione nel tempo di una quantità y(t) quale ad esempio
il numero di individui di una popolazione, la quantità di carica sulle armature di un condensatore,
la temperatura di un corpo, la velocità di un corpo, abbiamo una “velocità di variazione” di y(t)
cioè la derivata di y(t).
Se possiamo determinare una relazione tra y(t) e y’(t) oppure y’’(t) troviamo un’equazione
differenziale che, risolta, ci permette di determinare y(t).
Cercheremo quindi di presentare alcuni esempi di fenomeni il cui studio porta a dover risolvere
un’equazione differenziale.
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
230
Equazioni differenziali del primo ordine
Esempio 1: 2' += xy
E’ chiaro che in questo caso per trovare la funzione y basta integrare entrambi i membri (rispetto
alla variabile x).
( ) += dxxdxy 2'
(*) ℜ∈++= ccxx
y ,22
2
Abbiamo trovato quindi una famiglia di funzioni ( le primitive di 2)( += xxa ).
Se poi conosciamo il valore che la funzione y deve avere in un dato punto (chiamata “condizione
iniziale”), posso determinare una soluzione particolare dell’equazione.
Se per esempio nel nostro caso avessi anche la condizione
0)0( =y
sostituendo nella (*) abbiamo cy =)0( , e quindi confrontando con la condizione iniziale troviamo
0=c e la soluzione particolare risulta xx
y 22
2
+= .
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
231
Esempio 2: yy ⋅= 2'
Scriviamo la derivata come dx
dy e “separiamo” le variabili x e y spostando a sinistra la y e a
destra dx (supponiamo quindi 0≠y ):
dxy
dyy
dx
dy ⋅=⋅= 22
Integrando entrambi i membri abbiamo:
⋅±==+=⋅= + xccxeeyeycxydx
y
dy 222ln2
Poiché ce± rappresenta un qualsiasi numero reale diverso da zero, possiamo scrivere :
xeky 2⋅= con 0≠k
Considerando però l’equazione iniziale è chiaro che anche 0=y è una soluzione e quindi
possiamo dire che le soluzioni dell’equazione differenziale sono in conclusione
xeky 2⋅= , ℜ∈k
Nota
Possiamo verificare che le soluzioni
sono quelle trovate calcolando la
derivata:
abbiamo xeky 22' ⋅= e sostituendo
nell’equazione differenziale iniziale
otteniamo un’identità.
Naturalmente anche in questo caso se
abbiamo una condizione iniziale, per
esempio 1)0( =y , otteniamo 1=k e
quindi la soluzione particolare xey 2= .
E’ chiaro quindi che, con passaggi analoghi all’esempio, in generale l’equazione differenziale
ℜ∈⋅= ayay ,'
ha come soluzione generale
ℜ∈⋅= keky ax ,
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
232
Esempio 3: yxy ⋅= 2'
Procediamo come abbiamo fatto nel caso precedente separando le variabili:
=+=⋅=⋅=⋅= +cxeycxydxxy
dydxx
y
dyyx
dx
dy 22ln222
ℜ∈⋅=⋅±= kekyeey xxc ,22
(sempre osservando che nel procedimento si suppone 0≠y ma anche 0=y è soluzione e quindi
si può considerare ℜ∈k ).
Anche in questo caso possiamo, se vogliamo, verificare che le soluzioni trovate soddisfano
l’equazione differenziale assegnata.
Se poi abbiamo anche una condizione “iniziale”, per esempio 1)0( =y , otteniamo 1=k e quindi
la soluzione particolare è 2xey = .
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
233
Esempio 4: xyy +='
In questo caso non possiamo separare le variabili e procediamo nel seguente modo (metodo di
Lagrange o della “variazione della costante”):
• risolviamo l’equazione yy =' che ci dà come soluzioni xeky ⋅= ;
• consideriamo k non come una costante ma come una variabile , indichiamola con k(x) e
imponiamo che xexky ⋅= )( sia soluzione dell’equazione differenziale assegnata cioè
calcoliamo
xx exkexky ⋅+⋅= )()(''
e sostituendola nell’equazione differenziale ricaviamo )(' xk
xxxxx exxkxexkxexkexkexk −⋅==⋅+⋅=⋅+⋅ )(')(')()()('
Infine ricaviamo k(x) :
( ) ++⋅−=+−⋅−=+⋅−=⋅= −−−−−− cxeceexdxeexdxexxk xxxxxx 1)(
Quindi la soluzione dell’equazione differenziale risulta:
( ) ( ) xxx ecxyecxey ⋅++−=⋅++−= − 1]1[
NOTA
Non sempre è necessario applicare il metodo della variazione della costante per ricavare la
soluzione .
Se per esempio abbiamo 1' −= yy possiamo usare il metodo della “separazione” delle variabili:
+=−+=−=
−=
−−= cxeycxydx
y
dydx
y
dyy
dx
dy11ln
111
xxc ekyeey ⋅+=⋅±=− 11
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
234
Esempio 5
Consideriamo per esempio l’equazione ( )21' yxy +⋅=
Procediamo così:
( ) cx
arctgydxxy
dydxx
y
dyyx
dx
dy +=→⋅=+
→⋅=+
→+⋅= 2111
2
22
2
e quindi in conclusione
+= c
xtgy
2
2
Nota
Le equazioni del tipo )()(' ybxay ⋅= sono dette a “variabili separabili” perché per risolverle
si procede “separando” le variabili.
Quando dividiamo per )( yb dobbiamo porlo diverso da zero e poi considerare a parte le soluzioni
dell’equazione differenziale nel caso in cui sia 0)( =yb .
Nel nostro esempio poiché 01)( 2 ≠+= yyb non ci sono problemi e non dobbiamo aggiungere
nessuna soluzione alla soluzione generale trovata.
Esempio 6
Consideriamo l’equazione a variabili separabili 2' yxy ⋅=
+−=→+=−→⋅=→⋅=→⋅=
kxyc
x
ydxx
y
dydxx
y
dyyx
dx
dy2
2
22
2 2
2
1
In questo caso poiché per poter dividere per 2y supponiamo 0≠y dobbiamo poi controllare se
0=y è soluzione dell’equazione differenziale: in questo caso si verifica che 0=y è soluzione
dell’equazione differenziale e quindi va aggiunta alle soluzioni.
In conclusione allora le soluzioni dell’equazione differenziale sono
02
2=∪
+−= y
kxy
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
235
Equazioni differenziali del secondo ordine
Studieremo solo equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti ed omogenee
cioè un’equazione del tipo:
0''' =++ cybyay
Per risolverla supponiamo che zxey = ( )ℜ∈z sia soluzione: per determinare z calcoliamo y’ e
y’’ e sostituiamo nell’equazione differenziale.
zxezy ⋅=' ; zxezy ⋅= 2'' 00 22 =+⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅ czbzaecezbeza zxzxzx
L’equazione 02 =+⋅+⋅ czbza (detta equazione “caratteristica” associata all’equazione
differenziale) può avere:
• 0>∆ e quindi due soluzioni reali distinte 21 , zz e in questo caso si può verificare che la
soluzione dell’equazione differenziale è:
ℜ∈⋅+⋅= 2121 ,21 ccconececyxzxz
• 0=∆ e quindi due soluzioni reali coincidenti 21 zz = e in questo caso si può verificare
che la soluzione dell’equazione differenziale è:
ℜ∈⋅+⋅= 2121 ,)(1 ccconxcceyxz
• 0<∆ e quindi due soluzioni complesse coniugate βα iz ±=2,1 e in questo caso si può
verificare che la soluzione dell’equazione differenziale è:
ℜ∈⋅+⋅⋅= 2121 ,)cos( ccconxsencxceyx ββα
Esempi
1) 06'5'' =+− yyy
L’equazione caratteristica è in questo caso: 3,2065 21
2 ==→=+− zzzz
Quindi la soluzione è ),(, 21
2
2
3
1 ℜ∈⋅+⋅= ccececy xx
2) 04'4'' =+− yyy
L’equazione caratteristica è : ( ) 202044 21
22 ==→=−→=+− zzzzz
Quindi la soluzione è ( ) ),(, 2121
2 ℜ∈⋅+⋅= ccxccey x
3) 09'' =+ yy
L’equazione caratteristica è: izz 309 2,1
2 ±=→=+
Quindi la soluzione è ℜ∈⋅+⋅= 2121 ,,33cos ccxsencxcy
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
236
Problemi che si risolvono utilizzando un’equazione differenziale
Problema 1
Consideriamo una popolazione che vive in un ambiente isolato (non ci sono predatori), con risorse
illimitate e per la quale perciò si suppone che, indicando con N(t) il numero degli individui della
popolazione al tempo t e considerando un intervallo di tempo [ ]ttt ∆+, si abbia:
mortinnatintNttN °−°=−∆+ )()(
Se supponiamo che il numero degli individui nati nell’intervallo di tempo t∆ sia proporzionale a
ttN ∆⋅)( secondo una costante α e che il numero degli individui morti nello stesso intervallo di
tempo sia proporzionale a ttN ∆⋅)( secondo una costante β possiamo scrivere, ponendo
βα −=a ,
Abbiamo quindi ottenuto un’equazione differenziale in cui la funzione da determinare è N(t)
(funzione del tempo) e per quello che abbiamo visto avremo quindi che
atektN ⋅=)(
cioè la crescita (nel caso che βα > e quindi 0>a ) o la decrescita (se βα < e quindi 0<a )
della popolazione sarà di tipo “esponenziale”.
Se conosciamo una condizione “iniziale”, per esempio il numero degli individui della popolazione
al tempo t=0 (inizio dell’osservazione), possiamo ricavare la costante k: se per esempio
0)0( NN = avremo 0Nk = e quindi
ateNtN ⋅= 0)(
Se per esempio consideriamo 2,0=a abbiamo un grafico del tipo seguente( )0≥t :
)()(')()()(
)()()(0
tNatNtNat
tNttNttNatNttN
t
⋅=⋅=∆
−∆+∆⋅⋅=−∆+
→∆
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
237
NOTA
Questo modello di sviluppo di una popolazione non tiene conto del fatto che il numero degli
individui della popolazione dipende anche da vincoli esterni quali il cibo fornito dall’ambiente ( e
che generalmente non è illimitato). Questi fattori esterni frenano quindi la crescita.
Si può dimostrare che l’equazione differenziale che riflette una crescita più realistica è
(*)
−⋅⋅=b
tNtNatN
)(1)()('
in cui b rappresenta la “capacità” dell’ambiente.
Infatti se )(tN è piccolo 1)(
1 ≈−b
tN e la crescita è inizialmente simile a quella esponenziale, ma
quando 0)('0)(
1)( →→−→ tNb
tNbtN cioè la crescita si arresta.
E’ piuttosto difficile arrivare alla soluzione di questa equazione differenziale, ma possiamo
“verificare” che la soluzione è la seguente:
atek
btN −⋅+
=1
)(
e l’andamento sarà :
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
238
Problema 2
Consideriamo un paracadutista in caduta libera (prima che apra il paracadute): su di esso agisce la
forza peso mg (m la massa del paracadutista e dell’attrezzatura) ma anche una forza dovuta alla
resistenza dell’aria, opposta alla forza peso e direttamente proporzionale alla velocità.
Poiché 'vmvkmgamvkmgamF aaR ⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=
Abbiamo quindi trovato un’equazione differenziale in cui la funzione da determinare è la velocità
in funzione del tempo v(t).
Possiamo risolverla “separando” le variabili:
+=−−=−
=−
−=⋅ ctvm
kg
k
mdt
vm
kg
dvdt
vm
kg
dvvkmg
dt
dvm a
aa
a ln
Dopo alcuni passaggi otteniamo:
ℜ∈⋅+=−
ceck
mgtv
tm
k
a
a
,)(
Se poniamo che
−=−==
− tm
k
aa
a
ek
mgtv
k
mgcv 1)(0)0( .
L’andamento della velocità è il seguente
Quando ak
mgvt →∞→ (velocità limite)
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
239
Problema 3
Consideriamo un corpo di massa m attaccato ad una molla di costante elastica k ( e massa
trascurabile) che oscilla senza attrito su un piano orizzontale per effetto della forza elastica
→→
−= xkF
dove x(t) indica la posizione del corpo all’istante t rispetto ad un sistema di riferimento lungo
la direzione del moto.
Poiché →→
⋅= amF e )('')( txta = abbiamo l’equazione differenziale del secondo ordine:
Consideriamo l’equazione caratteristica im
kz
m
kz ±=→=+ 2,1
2 0
Quindi, ponendo m
k=ω , avremo che la soluzione generale dell’equazione è:
tsenctctx ωω ⋅+⋅= 21 cos)(
Nota: osserviamo che la soluzione tsenctctx ωω ⋅+⋅= 21 cos)( è equivalente a
( )ϕω +⋅= tktx cos)( equazione del moto armonico di un punto materiale.
Se conosciamo le condizioni “iniziali”, per esempio se Ax =)0( e 0)0(' =x (il corpo
all’istante iniziale si trova alla massima distanza dal centro di oscillazione ed ha velocità
nulla) , otteniamo: tAtxcAc ωcos)(0, 21 ⋅=→==
Abbiamo quindi un moto armonico di periodo ωπ2=T e ampiezza A come in figura:
0)()('')()('' =+→⋅−= txm
ktxtx
m
ktx
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
240
Problema 4
Se il corpo dell’esempio precedente è soggetto anche ad una forza di attrito viscoso
proporzionale, secondo una costante h , alla velocità )(')( txtv = del corpo allora abbiamo la
seguente equazione differenziale del secondo ordine:
0)()(')('')(')()('' =⋅+⋅+→⋅−⋅−=⋅ txm
ktx
m
htxtxhtxktxm
Se per esempio
s
kgh
m
NkKgm 2,5,1 ===
abbiamo 0)(5)('2)('' =⋅+⋅+ txtxtx
Se risolviamo l’equazione caratteristica associata 0522 =++ zz troviamo:
iz 215112,1 ±−=−±−=
Quindi la soluzione generale sarà: ( )tsenctcetx t 22cos)( 21 ⋅+⋅⋅= −
Se le condizioni iniziali sono 0)0(',)0( == xAx si trova
2
, 21
AcAc == e quindi ( )tsenteAtx t 25,02cos)( +⋅= −
che risulta avere un andamento come quello in figura (moto armonico smorzato).
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
241
Esercizi sulle equazioni differenziali
1. xxy += 2' ]23
[23
cxx
y ++=
2. 02' =+− senxxy ]cos[ 2 cxxy ++=
3. 0'=+ ytgx ]cosln[ cxy +=
4.
==
2)0(
3'
y
yy ]2[ 3xey ⋅=
5.
==−1)0(
02'
y
yy ][ 2xey =
6.
=⋅=1)0(
'
y
yxy ][ 2
2x
ey =
7.
=⋅=2)0(
' 2
y
yxy ]2[ 3
3x
ey ⋅=
8. x
yy
3'= ][ 3xky ⋅=
9.
=−=
1)1(
3'
y
yxy ( ) ]13[
1 xexy
−+−⋅=
10.
=
−=
0)1(
1'
y
x
yy
]2
1[
2
x
xy
−=
11. 6' += yy ]6[ −⋅= xecy
12. 93' += yy ]3[ 3 −⋅= xecy
13. xxyy += 2' ]2
1[
2
−⋅= xecy
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
242
14. x
yxy
−= 2' ][ x
x
cy +=
15. yey x +=' ( ) ][ xexcy ⋅+=
16. yey x 2' 3 =− ][23 xx
ecey ⋅+=
17. ( )ysenxy −⋅= 1' ]1[ cos xecy ⋅−=
18. y
xy
3
'= ]2
[4
cx
y +±=
19. senxyy ⋅−= 2' ]0cos
1[ =∪
+−= y
cxy
20. 1
'2
2
+=
x
yy ]0
1[ =∪
−= y
arctgxcy
21. yxey +=' ( )]log[x
ecy −−=
22. 06'5'' =−+ yyy ][ 6
21
xx ececy −⋅+⋅=
23. 03'2'' =−+ yyy ][ 3
21
xx ececy −⋅+⋅=
24. 0'2'' =+ yy ][ 2
21
xeccy −⋅+=
25. 09'' =− yy ][ 3
2
3
1
xx ececy −⋅+⋅=
26. 016'8'' =++ yyy ( )][ 21
4 xccey x +⋅= −
27. 09'6'' =+− yyy ( )][ 21
3 xccey x +⋅=
28. 05'4'' =++ yyy ( )]cos[ 21
2 senxcxcey x +⋅= −
29. 010'2'' =++ yyy ( )]33cos[ 21 xsencxcey x +⋅= −
30. { 05'6'' =+− yyy ][ 5
21
xx ececy ⋅+⋅=
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
243
Problemi
1. Una colonia di batteri cresce proporzionalmente al numero di batteri presenti nella colonia
secondo una costante hk /2,0= (h sta per ora).
Misurando il tempo t in ore e indicando con N(t) il numero di batteri presenti al tempo t,
determina N(t) supponendo che al tempo t=0 nella colonia ci siano 100 batteri.
Disegna il grafico di N(t).
Dopo quanto tempo il numero dei batteri è raddoppiato?
]5,3,100)([ 2,0 htetN t ≅⋅= ⋅
2. La velocità di raffreddamento di un corpo è direttamente proporzionale, secondo una costante
k, alla differenza di temperatura tra la temperatura dell’ambiente (supposta costante) e la
temperatura del corpo T(t) al tempo t.
Se supponiamo che hk /5,0= (h sta per ora) , la temperatura dell’ambiente 20°C, la
temperatura iniziale del corpo 50°C, determina la temperatura T(t) del corpo (il tempo t
misurato in ore) e disegnane l’andamento.
tetT ⋅−⋅+= 5,03020)([ ]
3. Il carbonio 14 ( simbolo 14C ) è presente in tutte le sostanze organiche ma decade, cioè si
trasforma in un altro elemento, quando l’organismo muore.
La variazione del numero degli atomi di 14C è direttamente proporzionale al numero N(t) di
atomi presenti al tempo t : se indichiamo con α la costante di proporzionalità possiamo quindi
dire che )()(' tNtN ⋅−= α .
Indicando con 0N il numero degli atomi di 14C presenti al tempo t=0 in cui l’organismo è
morto, determina N(t) e tracciane un grafico indicativo.
Se si indica con dt il “tempo di dimezzamento” cioè il tempo impiegato dal 14C (come da
qualsiasi altra sostanza radioattiva) a dimezzarsi, trova la relazione tra α e dt .
(Il tempo di dimezzamento per il 14C è di circa 5730 anni ).
Nota: misurando la quantità di 14C ancora presente in un fossile si può datare il fossile, cioè
determinare quanto tempo è passato dalla morte dell’organismo.
]2ln
,)([ 0 αα =⋅= −
d
tteNtN
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
244
4. Considera un circuito in cui è inserito un generatore di f.e.m. costante 0VV =∆ , una resistenza
R e un condensatore di capacità C (vedi figura).
Alla chiusura dell’interruttore il generatore carica il condensatore: indica con q(t) la quantità di
carica presente sulle armature del condensatore all’istante t ponendo t=0 l’istante di chiusura
dell’interruttore (quindi q(0)=0 ) e con )()((' titq = la corrente che circola nel circuito.
Poiché quando sulle armature c’è una carica q(t) tra le armature c’è una d.d.p. C
tqtVC
)()( = si
ha:
Scrivi l’equazione differenziale corrispondente e determina q(t). Traccia il grafico di q(t).
)1()([
1
0
tRCeCVtq
−−⋅⋅= ]
5. Considera un circuito in cui è inserito un generatore di f.e.m. costante 0VV =∆ , una bobina di
resistenza R e induttanza L (vedi figura).
Alla chiusura dell’interruttore inizia a circolare corrente e si sviluppa nell’induttanza una f.e.m.
autoindotta dt
diL ⋅ . Quindi abbiamo:
dt
diLtiRV ⋅+⋅= )(0
Risolvi l’equazione differenziale e ricava i(t) con la condizione iniziale che i(0)=0.
Traccia il grafico di i(t).
)]1()([ 0t
L
R
eR
Vti
−−⋅=
C
tqtiRV
)()(0 +⋅=
Appunti di Matematica 5
- Equazioni differenziali -
245
6. Considera un circuito con una bobina di induttanza L (resistenza trascurabile) e un
condensatore inizialmente carico di capacità C.
Alla chiusura dell’interruttore il condensatore si scarica ma per il fenomeno dell’autoinduzione
dovuto alla presenza dell’induttanza la corrente continua a circolare ricaricando di segno
opposto le piastre del condensatore e il processo di scarica riprende ma con una corrente di
verso opposto (si parla di circuito “oscillante” ed è analogo al sistema massa-molla).
S
Se indichiamo con q(t) la carica presente al tempo t sulle armature del condensatore avremo:
0)( =⋅+
dt
diL
C
tq
Risolvi l’equazione differenziale corrispondente considerando come condizioni 0)0( Qq = e
0)0(')0( == qi e determina q(t).
Traccia il grafico corrispondente.
Come risulta la corrente che circola nel circuito? Qual è la sua frequenza?
Cosa accade se la resistenza non è trascurabile?
]2
1,
1)(,
1cos)([ 0
0LC
ftLC
senLC
Qtit
LCQtq
π=⋅−=⋅=