ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DISEÑO Y PROTOTIPADO RÁPIDO DE UN ROBOT STANFORD
CON 6 GRADOS DE LIBERTAD
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO
MECÁNICO
DANIEL HUMBERTO ORDÓÑEZ OVIEDO
DIRECTOR: ING. MARIO GRANJA
Quito, Agosto 2016
i
DECLARACIÓN
Yo, Daniel Humberto Ordóñez Oviedo, declaro que el trabajo aquí descrito es de
mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación
profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en
este documento.
La Escuela Politécnica Nacional, puede hacer uso de los derechos correspondientes
a este trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su
Reglamento y por la normatividad institucional vigente.
DANIEL HUMBERTO ORDÓÑEZ OVIEDO
ii
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Daniel Humberto Ordóñez
Oviedo bajo mi supervisión.
ING. MARIO GRANJA MSc.
DIRECTOR DEL PROYECTO
iii
AGRADECIMIENTOS
Agradezco primeramente a Dios por haberme permitido culminar este trabajo
que refleja varios años de estudio y esfuerzo. Agradezco también a mi familia por-
que para ellos todo el camino de mi formación profesional y personal les ha sig-
nificado también mucho esfuerzo y dedicación, mi madre Gladys, que siempre ha
estado atrás mío en todo, apoyándome, corrigiendo mis pasos, a veces presionan-
do también pero sobre todo con mucho amor lo cual ha hecho de mi una persona
agradecida de la vida, mi padre Ramiro, siempre ha estado en los momentos difí-
ciles con consejos precisos que me han ayudado a salir adelante y en los buenos
momentos ha compartido conmigo los triunfos y alegrías que he obtenido, mi her-
mano Martín, que siempre ha estado pendiente de mí en todos los ámbitos de mi
vida y ha sido mi confidente en muchas etapas de mi vida.
Agradezco especialmente a Raquel, mi enamorada, quien ha sido un apoyo total
durante casi toda mi carrera dentro de la EPN, ella ha compartido conmigo triunfos
y fracasos, alegría y tristeza, diversión, estudios y se convirtió en una persona fun-
damental en mi vida, agradezco su fiel compañía durante estos casi 6 años a su
lado.
Agradezco también a Níkolas, quien me ha ayudado mucho en la realización del
presente trabajo de titulación, me ha dado valiosos consejos y ha estado pendiente
de la realización de mi trabajo, también, agradezco al Ing. Oscar Sotomayor por
haberme ayudado con el prototipado rápido de mi brazo manipulador.
Agradezco también a mis amigos, los que compartieron las aulas conmigo y
sobre todo a aquellos con los que la amistad trascendió mas allá de un salón de
clases, a todos los muchachos del voleibol con quienes he tenido muchas alegrías
y que también siempre han estado pendientes de mi graduación les digo muchas
gracias y espero seguir viéndolos siempre.
Daniel Humberto Ordóñez Oviedo
iv
DEDICATORIA
Dedico este trabajo a Dios por darme la vida y la salud para cumplir mis metas, a
mi familia que han sido quienes han forjado la persona que soy y que han estado
presentes toda mi vida para respaldarme en todo sentido, a Raquel, quien me ha
dado su apoyo y ayuda incondicional en mi vida y en mi carrera universitaria.
Dedico especialmente este trabajo a mis dos abuelitas, Elvita, quien ya partió de
nuestro lado pero siempre estuvo al pendiente de mi formación personal y profesio-
nal, le dedico este trabajo y espero que se sienta orgullosa de mi allá en el cielo. Y
como no dedicarle a mi abuelita Enma esta meta, ella siempre ha estado junto a mi
desde pequeñito dándome cariño y apoyándome en todo lo que he querido hacer,
a ellas dos les dedico mi trabajo y les agradezco infinitamente.
Daniel Humberto Ordóñez Oviedo
v
CONTENIDOS
Resumen 1
Introducción 2
Objetivo General 3
Objetivos Específicos 3
Alcance 3
Justificación 4
1. GENERALIDADES 5
1.1. Generalidades de la robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Historia de la robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Robot Victoriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Desde el siglo XX hasta el presente . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Las leyes de la robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Clasificación de los robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Clasificación por la configuración del robot . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Clasificación por el controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Clasificación por la fuente de poder . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Robot Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Prototipado rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Técnicas de prototipado rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1. Estereolitografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2. Sinterización selectiva por láser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.3. Modelado por deposición fundida . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7. fabricación de juntas mediante diferentes métodos . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1. Fabricación de juntas mediante el método (SL) . . . . . . . . . . 19
1.7.2. Fabricación de juntas mediante el método (SLS) . . . . . . . . . 21
1.7.3. Fabricación de juntas mediante el método (FDM) . . . . . . . . . 23
1.8. Ensamblaje rígido de partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
vi
1.9. Ejemplos de mecanismos usando FDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.1. Mecanismos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.2. Mecanismo esférico de tres grados de libertad . . . . . . . . . . 25
2. MARCO TEÓRICO 26
2.1. Movimientos de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Traslación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Traslación en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Movimientos de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1. Rotación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2. Rotación en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Movimientos compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Premultiplicación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Postmultiplicación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Dinámica del robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1. Formulación de Newton-Euler (Dinámica inversa) . . . . . . . . 38
2.4.2. Sistema de coordenadas en movimiento . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.3. Cinemática para los eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.4. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. MODELO MATEMÁTICO DEL ROBOT 44
3.1. Análisis cinemático del robot stanford de 6 grados de libertad . . . . . . . 44
3.1.1. Método Denavit-Hartenberg Standard (DHs) . . . . . . . . . . . 45
3.2. Análisis dinámico de las ecuaciones del robot . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3. Jacobianos de velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1. Jacobiano de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2. Jacobiano de aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4. DISEÑO DEL ROBOT STANFORD 66
4.1. Casa de la calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.1. Voz del usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2. Voz del ingeniero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Especificaciones técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
vii
4.2.1. Gráfico de la casa de la calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3. Diseño modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1. Nivel 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.2. Nivel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.3. Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4. Soluciones para cada módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.1. Módulo 1: Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.2. Alternativas módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.3. Evaluación y selección de las alternativas . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.4. Módulo 2: Junta prismática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.5. Alternativas módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.6. Evaluación y selección de las alternativas . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.7. Módulo 3: Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.8. Alternativas módulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.9. Evaluación y selección de las alternativas . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5. Cálculo de los elementos del robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.1. Cálculo del eslabón 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.2. Cálculo del eslabón 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5.3. Cálculo del pasador 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5.4. Cálculo del eslabón 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5.5. Cálculo del eje de unión 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5.6. Cálculo del eslabón 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.7. Cálculo de los ejes de la junta prismática . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.8. Cálculo del eslabón 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5.9. Cálculo del eslabón 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5. PROTOTIPADO RÁPIDO DEL ROBOT STANFORD 127
5.1. Pototipado de los eslabones del brazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.1. Protipado del eslabón 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.2. Protitpado del eslabón 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.3. Prototipado del eslabón 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.4. Prototipado del eslabón 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
viii
5.2. Prototipado de las juntas y la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.1. Prototipado de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.2. Prototipado de la junta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.3. Prototipado de la junta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.4. Prototipado de los ejes de la junta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3. Ensamblaje de los eslabones y juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.1. Ensamblaje eslabones 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.2. Ensamblaje eslabones 2, 3 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.3. Eensamblaje eslabones y juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.4. Robot Stanford de 6 grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . 134
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 135
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
REFERENCIAS 137
ix
Índice de figuras
1.1. Robot en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Robot en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Robot en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Robot SCARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Brazo Articulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Robot Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7. Robot Neumático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8. Robot Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9. Robot Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10.Equipo y estructura SL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11.Esquema del proceso SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.12.Ejemplo de Modelado por deposición fundida . . . . . . . . . . . . . . 19
1.13.Junta prismática fabricada mediante SL . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.14.Junta universal fabricada mediante SL . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.15.Junta de revolución fabricada mediante SLS . . . . . . . . . . . . . . 22
1.16.Junta esférica fabricada mediante SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.17.Junta Cilíndrica mediante método FDM . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.18.Twist Binder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.19.Mecanismo de Bennett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.20.Mecanismo Ojo Ágil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1. Traslación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Traslación en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Rotación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Sistema de coordenadas móvil en función del fijo . . . . . . . . . . . 31
2.5. Sistemas de coordenadas traslapados en el espacio . . . . . . . . . . 33
2.6. Rotación del sistema móvil alrededor de x(α), y(φ), z(Θ). . . . . . . . 34
2.7. Sistema de coordenadas en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8. Relaciones vectoriales entre eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9. Fuerzas y momentos sobre un eslabón . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1. Representación mediante símbolos del robot Stanford. . . . . . . . . 45
x
3.2. Sistemas de coordenadas para los métodos Denavit-Hartenberg . . . 47
3.3. Ubicación de los sistemas de coordenadas para el método Denavit-
Hartenberg Standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1. Casa de la Calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Nivel 0 Robot Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3. Nivel 1 Robot Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4. Módulos Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5. Base semi-esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6. Base cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.7. Base con tubo redondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.8. Rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.9. Eje con estrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.10.Eje cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.11.Eje redondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.12.Alternativas Módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.13.Alternativa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.14.Alternativa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.15.Alternativa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.16.Acople para junta rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.17.Acople cerrado para junta rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.18.Eje con estrías y cambio de sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.19.Eje con dos cambios de sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.20.Junta prismática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.21.Eslabón vaciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.22.Eslabón macizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.23.Alternativas Módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.24.Alternativa 1 Módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.25.Alternativa 2 Módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.26.Alternativa 3 Módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.27.Eje cuadrado Módulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.28.Brazos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.29.Eje rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
xi
4.30.Eslabón C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.31.Pinza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.32.Eje cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.33.Alternativas Módulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.34.Alternativa 1 Módulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.35.Alternativa 2 Módulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.36.Alternativa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.37.Robot Standford 6 GDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.38.Elementos a diseñarse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.39.DCL eslabón 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.40.DCL eslabón 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.41.DCL pasador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.42.DCL eslabón 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.43.DCL eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.44.DCL eslabón 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.45.DCL ejes junta prismática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.46.DCL eslabón 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.47.DCL eslabón 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1. Especificaciones Ultimaker Original+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2. Prototipado eslabón 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3. Prototipado eslabón 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4. Prototipado eslabón 3, frontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5. Prototipado eslabón 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6. Prototipado eslabón 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.7. Prototipado de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.8. Prototipado de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.9. Prototipado de la junta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.10.Prototipado de la junta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.11.Prototipado de la junta 2, lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.12.Prototipado de la junta 2, superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.13.Ejes junta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.14.Ensamblaje eslabón 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
xii
5.15.Ensamblaje eslabón 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.16.Ensamblaje eslabón 2, 3 y 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.17.Ensamblaje eslabón 2, 3 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.18.Ensamblaje eslabones y juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.19.Robot Stanford de 6 grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
xiii
Índice de tablas
3.1. Tabla de parámetros Denavit-Hartenberg Standard. . . . . . . . . . . 49
4.1. Especificaciones técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2. Simbología modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3. Evaluación de criterios módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4. Evaluación del criterio de montaje módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5. Evaluación del criterio de material módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6. Evaluación del criterio de precio módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7. Evaluación del criterio de geometría módulo 1 . . . . . . . . . . . . . 83
4.8. Conclusión de la evaluación de criterios módulo 1 . . . . . . . . . . . 83
4.9. Evaluación de criterios módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10.Evaluación del criterio de montaje módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . 92
4.11.Evaluación del criterio de material módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . 92
4.12.Evaluación del criterio de peso módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.13.Evaluación del criterio de construcción módulo 2 . . . . . . . . . . . . 92
4.14.Conclusión de la evaluación de criterios módulo 2 . . . . . . . . . . . 93
4.15.Evaluación de criterios módulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.16.Evaluación del criterio de montaje módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . 100
4.17.Evaluación del criterio de material módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . 100
4.18.Evaluación del criterio de peso módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.19.Evaluación del criterio de construcción módulo 2 . . . . . . . . . . . . 101
4.20.Conclusión de la evaluación de criterios módulo 2 . . . . . . . . . . . 101
4.21.Dimensiones de los eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1
RESUMEN
El presente trabajo muestra el diseño de un robot Stanford con 6 grados de li-
bertad basado en la ingeniería concurrente y su respectivo prototipado rápido. Se
empieza el proyecto mediante una reseña histórica de la robótica y del manipula-
dor Stanford y seguido de esto se realiza el marco teórico, donde se encuentran
las ecuaciones y las herramientas matemáticas que se usan posteriormente para
la caracterización matemática del manipulador de manera cinemática y dinámica.
Una vez que se plantea la parte teórica, se realiza el modelo matemático del robot
y se encuentran las ecuaciones cinemáticas, es decir, las ecuaciones de posición
del robot, a estas se las deriva y se hallan las ecuaciones dinámicas de velocidad y
aceleración, mediante la primera y segunda derivada respectivamente, y, finalmen-
te cuando se tienen todas las ecuaciones para cada uno de los ejes en el espacio
se ordena las mismas mediante los jacobianos de velocidad y aceleración. Luego
de esto se diseña el robot y se dimensionan todos los elementos del manipulador,
resultado de esto, se tiene un primer modelo de este brazo, se muestran los planos
de conjunto y de cada pieza del mismo y se realiza el prototipo de este manipulador.
Finalmente, se dedica un capítulo al prototipado rápido del robot Stanford, este ca-
pítulo incluye imágenes de las piezas obtenidas mediante el método de modelado
por deposición fundida (FDM) y además se presenta una explicación del proceso
de montaje de las piezas para obtener el prototipo final. Cabe mencionar que por
ser un diseño experimental, este manipulador no tiene una función específica, el
objetivo primordial es presentar un diseño funcional que cumpla con los 6 grados
de libertad y la configuración específica de este manipulador.
Palabras clave: Robot, Standford, Manipulador, Diseño.
2
INTRODUCCIÓN
Se empieza el presente proyecto mediante una reseña histórica de la robótica y
del manipulador Stanford y seguido de esto se realiza el marco teórico, donde se
encuentran las ecuaciones y las herramientas matemáticas que se usan posterior-
mente para la caracterización matemática del manipulador de manera cinemática y
dinámica.
Una vez que se plantea la parte teórica, se realiza el modelo matemático del
robot y se encuentran las ecuaciones cinemáticas, es decir, las ecuaciones de po-
sición del robot, a estas se las deriva y se hallan las ecuaciones dinámicas de
velocidad y aceleración, mediante la primera y segunda derivada respectivamente,
y, finalmente cuando se tienen todas las ecuaciones para cada uno de los ejes en el
espacio se ordena las mismas mediante los jacobianos de velocidad y aceleración.
Seguido del modelo matemático del robot se realiza el diseño del manipulador
Stanford de 6 GDL mediante el método del diseño concurrente de Carles Riba, se
presenta la casa de la calidad, las especificaciones técnicas, y este proyecto se lo
realiza también bajo diseño modular, en esta fase se presentan 3 módulos que se
pueden trabajar por separado y se presentan 3 soluciones para cada módulo que
posteriormente se seleccionarán mediante el método ordinal corregido de criterios
ponderados y dará como resultado el bosquejo del robot Standford de 6 GDL, des-
pués de esto se realizan los cálculos de los elementos del robot, se considera a
cada elemento como elemento aislado y se trasladan las cargas de elemento a ele-
mento de manera progresiva y así realizar el respectivo dimensionamiento de los
eslabones de la máquina.
Después de realizar el dimensionamiento de los elementos del robot se procede
a dibujar los planos de los elementos del brazo robótico, el primer plano es el de
conjunto del robot, donde se muestra el brazo ensamblado y todas sus piezas en
un aposición conveniente donde se puedan apreciar todos los detalles del robot.
Luego, se presentan los planos de taller de cada una de las piezas que conforman
3
el robot a excepción de las piezas normalizadas que en es este caso son los roda-
mientos usados para las juntas de rotación.
Finalmente, se dedica un capítulo al prototipado rápido del robot Standford, este
capítulo incluye imágenes de las piezas obtenidas mediante el método de modelado
por deposición fundida (FDM) y además se presenta una explicación del proceso
de montaje de las piezas para obtener el prototipo final. Cabe mencionar que por
ser un diseño experimental, este manipulador no tiene una función específica, el
objetivo primordial es presentar un diseño funcional que cumpla con los 6 grados
de libertad y la configuración específica de este manipulador.
OBJETIVO GENERAL
Diseñar y construir el prototipo de un robot Stanford con 6 grados de libertad
para la Facultad de Ingeniería Mecánica.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Encontrar las ecuaciones dinámicas a partir del análisis cinemático de este
manipulador.
Diseñar un sistema funcional de un robot Stanford con 6 grados de Libertad,
mediante el diseño concurrente de Carles Riba.
Construir el prototipo rápido del robot Stanford mediante el uso de la manu-
factura aditiva con el método del modelado por deposición fundida (FDM).
ALCANCE
Se recopilará información acerca de los robots Stanford existentes en la robó-
tica actual.
Se seleccionarán los mecanismos necesarios para el correcto funcionamiento
del robot Stanford con 6 grados de libertad.
4
Se construirá el prototipo del robot Stanford mediante manufactura aditiva.
JUSTIFICACIÓN
El tema propuesto, nace de la necesidad actual de migrar de los sistemas con-
vencionales a sistemas de control automático, que gracias a las bases científicas de
la mecánica y a los avances tecnológicos de la robótica y mecatrónica han hecho
que los procesos productivos sean más eficientes y eficaces.
Para alcanzar esta migración en el campo productivo, es necesario la implemen-
tación de sistemas de control automático y la robotización de los mismos, para esto,
una de las alternativas de robotización es la implementación de robots tipo Stanford
con seis grados de libertad.
En nuestro país, con la propuesta de cambio de la matriz productiva, se hace
imperiosa la necesidad de aplicar la automatización de procesos en el sector indus-
trial, desarrollando así el control computarizado de los sistemas mecánicos para
tales procesos.
5
1. GENERALIDADES
1.1. Generalidades de la robótica
A lo largo de la historia de la robótica, gracias a sus teorías y a las investigacio-
nes de siglos pasados se ha logrado un gran desarrollo en este campo, logrando
establecerse las bases de la robótica así como aplicaciones que han aportado al
desarrollo científico y tecnológico de la humanidad.
De forma general se puede describir a la robótica como el conjunto de teorías
y conocimientos prácticos que permiten automatizar sistemas mecánicos basados
en estructuras articuladas que poseen un determinado grado de libertad y que su
finalidad es cumplir una tarea asignada por el ser humano.
A un sistema robótico se lo puede definir como aquel sistema que es capaz de
recibir una señal, procesarla de acuerdo a un entorno establecido, ejecutar una or-
den y controlar la acción que se está realizando.
1.1.1. Historia de la robótica
La historia de la robótica y de los robots es bastante larga, viene desde los tiem-
pos antiguos pero el real avance e innovación viene desde el siglo XX, la historia
de la automatización tiene un pasado muy largo y data desde la antigua Grecia con
el ingeniero Hero de Alejandría quien produjo dos textos llamados Pneumatica y
Automata(Rapp, 2015) las cuales testifican de la existencia de cientos de diferentes
tipos de máquinas capaces de realizar movimientos automáticos, por supuesto que
la robótica ha avanzado de manera increíble en los siglos XX y XXI donde se incluye
robots que son capaces de ensamblar otros robots y hasta realizar movimientos de
lo seres humanos.
La palabra robótica fue introducida inadvertidamente por el productor de pelícu-
las de ciencia ficción Isaac Asimov en su historia "Liar!"lanzada en 1941, así varios
6
autores de ciencia de ficción han querido representar máquinas que fueran capaces
de reproducir los movimientos de los seres humanos, desde el mito de la antigua
Grecia de Pygmalion hasta Frankenstein y Arthur C. Clarke’s HAL 9000.
Varias fuentes testifican de la popularidad de la automatización en la edad anti-
gua y media. Los antiguos romanos y griegos desarrollaron simples autómatas para
herramientas, juguetes y actos ceremoniales religiosos.
En la edad media, en Europa y el Medio Este, los autómatas fueron populares
en relojes y artefactos religiosos. El matemático árabe Al-Jazari (1136-1206) dejó
varios textos que describen e ilustran sus dispositivos mecánicos creados, incluye
un reloj de elefante que se movía y sonaba cada hora, además, un robot musical
y un robot mesero que servía bebidas. En Europa data de un monje autómata que
besaba las muñeca de sus manos.
Varios otros autómatas fueron creados donde sus movimientos simulaban a cier-
tos animales o eran humanoides que eran operados por sistemas CAM simples,
pero en el siglo XVIII los autómatas fueron mucho mejor comprendidos y desarro-
llados hasta el punto que se pudieron construir mejores y complejas piezas para
estos.
El ingeniero francés Jacques de Vauncanson fue acreditado como la primera
persona en crear satisfactoriamente un autómata el cual era una figura humana
que tocaba la flauta, fue tan popular que viajó por Europa para el deleite de los
jefes de estado como Frederick y Napoleón Bonaparte.
1.1.2. Robot Victoriano
La revolución industrial y el creciente enfoque en las matemáticas, ingeniería y
ciencia en la era Victoriana de Inglaterra, añadió el impulso hacia la robótica actual.
Charles Babbage (1791-1871) trabajó en el desarrollo de la ciencia de las compu-
7
tadoras en el principio y mediados del siglo XIX, sus mejores proyectos fueron el
estudio del motor analítico y diferencial. Otros como Ada Lovelace reconocieron
que en el futuro se podrían hacer sistemas computacionales que procesen imáge-
nes o que reproduzcan música.
Los autómatas continuaron su desarrollo en el campo del entretenimiento duran-
te el siglo XIX, pero limítrofe a este periodo está el desarrollo de las máquinas de
vapor que ayudaron a hacer la industria de la manufactura mucho más eficiente y
rápida. Las fábricas empezaron a obtener máquinas que les ayudaban en el movi-
miento de grandes cargas y ciertas operaciones de manufactura.
1.1.3. Desde el siglo XX hasta el presente
En 1920, Karel Kapec desarrolló su obra R.U.R. (Rossum’s Universal Robots)
el cual introdujo la palabra Robot. Esta fue tomada de una antigua palabra Eslava
que significa algo parecido a "Labor monótona o forzada", Sin embargo, esto fue 30
años antes de que el primer robot industrial sea construido.
En los años 50 George Devol diseñó el Ultimate, un brazo robótico que trans-
portaba partes de fundición en una fábrica de General Motors, el cual empezó a
trabajar en 1961. Unimation, la compañía que Devol fundó con el interprete robótico
Joseph Engelberger, fue la primera fábrica de robots en el mundo. Los robots em-
pezaron como algo curioso, incluso aparecieron en The Night Show en 1966 pero
pronto se constituyeron en otra herramienta industrial.
La robótica se convirtió en una ciencia floreciente y se decidió invertir mucho
más dinero en ella. Los robots se esparcieron hasta Japón, Corea del Sur y muchas
partes de Europa sobre la última mitad de siglo. Esencialmente, como la tecnología
y la programación van en rápido crecimiento, los robots encuentran muchos más
espacios en los cuales hace muchos años no se entraba ya que eran muy peligrosos
o inalcanzables para los seres humanos.
8
1.2. Las leyes de la robótica
Las tres leyes de la robótica aparecen en el año 1942 en el relato El círculo vi-
cioso de Asimov escrito por Isaac Asimov.
Asimov busca en su relato ciertas condiciones contradictorias de las leyes de la
robótica que puedan poner en duda la aplicación de estas.
Leyes de la robótica
Ley Cero: En 1985 Isaac Asimov publica un libro en el cual uno de sus robots
se ve obligado a herir a un ser humano pero por salvar al resto de la humani-
dad, de esta manera surge una nueva y definitiva ley que precede a las tres
leyes de 1942. Esta ley dice Un robot no debe dañar a un ser humano o, por
falta de acción, permitir que la humanidad sufra daños quedando así modifi-
cada la primera ley Un robot no debe dañar a un ser humano, o permitir, por
inacción, que un ser humano sufra daño, a menos que tal acción viole la ley
cero
Primera Ley: Un robot no puede causar daño a un ser humano ni por omisión
permitir que sufra daños.
Segunda Ley: Un robot debe obedecer las órdenes de los seres humanos,
excepto aquellas órdenes que vayan en contra de la primera ley.
Tercera Ley: Un robot debe proteger su existencia, siempre y cuando esta
protección no entre en conflicto con la primera y segunda ley.
1.3. Clasificación de los robots
Existen varios métodos de clasificación de los robots, aquí se hace una lista de
los métodos de agrupación más conocidos y posterior a esto se detallarán algunos
de estos métodos. (Rapp, 2015)
La lista de métodos de clasificación es la siguiente:
9
1. Configuración de los brazos
2. Forma o espacio de trabajo
3. Método de operación
4. Tipo de control
5. Fuente de poder
6. Tamaño
7. Tipo y número de juntas
8. Tipo de tecnología
9. Tarea que cumple
10. Generación de diseño
11. Tipo de movimiento
1.3.1. Clasificación por la configuración del robot
Según la configuración del brazo se clasifican en: Coordenadas rectangulares,
coordenadas cilíndricas, coordenadas polares, SCARA, brazo articulado.
Coordenadas rectangulares: Estos robots se mueven a lo largo de los ejes X,
Y, Z en líneas rectas (Fig. 1.1).
Figura 1.1. Robot en coordenadas cartesianas (Rapp, 2015).
10
Coordenadas cilíndricas: Este robot manipulador puede rotar sobre su base y
puede moverse linealmente en planos horizontal y vertical (Fig. 1.2).
Figura 1.2. Robot en coordenadas cilíndricas (Rapp, 2015).
Coordenadas Polares: Este manipulador puede rotar sobre su cabeza como
sobre su base y puede moverse hacia adentro o afuera (Fig. 1.3).
Figura 1.3. Robot en coordenadas polares (Rapp, 2015).
SCARA: Es un brazo robótico de cumplimiento selectivo, este se parece al robot
cilíndrico pero este a diferencia cumple movimientos de rotación en los otros ejes
(Fig. 1.4).
11
Figura 1.4. Robot SCARA (Parra, 2012).
Brazo Articulado: Estos robots imitan el movimiento del brazo humano, estos
usan la célula de trabajo más extensa y requiere de bastante espacio (Fig. 1.5).
Figura 1.5. Brazo Articulado (Parra, 2012).
1.3.2. Clasificación por el controlador
Secuencia limitada: Usa actuadores mecánicos para limitar el movimiento, un
temporizador puede ser usado para activar un eje.
Punto a punto: Tiene sensores de retro-alimentación y usa memorias para man-
tener las coordenadas de los ejes.
12
Patrón continuo: Usa memorias más grandes que las de punto a punto porque
puede memorizar varias coordenadas por segundo.
1.3.3. Clasificación por la fuente de poder
Eléctricos: Su fuente de energía es electricidad de corriente alterna o directa
(Fig. 1.6).
Figura 1.6. Robot Eléctrico (García, 2013).
Neumáticos: Se mueven gracias a actuadores neumáticos (Fig. 1.7).
Figura 1.7. Robot Neumático (Fischer, 2013).
13
Hidráulicos: Su movimiento se da gracias a la fuerza que ejerce un fluido sobre
sus articulaciones (Fig. 1.8.).
Figura 1.8. Robot Hidráulico (Espinoza, 2013).
1.4. Robot Stanford
Este brazo robótico fue creado en el año 1969 por el estudiante de ingeniería
mecánica Victor Scheinman en el laboratorio de inteligencia artificial de Stanford
(SAIL) (Gast, 2003). Este manipulador de 6 grados de libertad y completamente
eléctrico mecánico fue uno de los primeros robots en ser diseñado exclusivamente
por control de computadora.
Siguiendo la experiencia con un par de manipuladores más tempranos, el Ro-
bot Stanford-Rancho (un brazo protésico modificado) y el brazo hidráulico Stanford
(Un manipulador de alta velocidad pero peligroso y difícil de manejar), este brazo
fue diseñado para ser controlado fácilmente y que sea compatible con el sistema
computacional existente en la época (PDP-6) y la infraestructura SAIL. Este brazo
robótico fue completamente construido en el campus de Stanford, principalmente
14
usando las facilidades de compra del departamento de Química de la universidad.
La configuración cinemática del brazo es no antropomórfica, es decir no huma-
noide, con 6 juntas (5 de revolución y 1 prismática) y enlaces configurados de tal
manera que los cálculos matemáticos fueran simplificados para mayor velocidad
en el procesamiento de las computadoras. Se usaron frenos en todas las juntas
para mantener el brazo en posición mientras el computador calcula la siguiente
trayectoria o realiza otra actividad compartida en el tiempo. Los controladores son
motores eléctricos de corriente directa DC, unidad armónica y engranajes rectos co-
mo reductores de velocidad, potenciómetros para retroalimentación de la posición,
tacómetros análogos para información de velocidad y frenos electromecánicos para
asegurar las juntas. Se usaron embragues para prevenir daños ante una eventual
colisión. Otros implementos incluyen servo motores, pinza eléctrica con sensores
táctiles en los dedos, y un sensor de 6 ejes en la muñeca.
Este brazo de robot como se ve en la siguiente figura (Fig. 1.9) fue uno de los
dos que se montaron en una gran mesa con interfaz de cámaras de video (vidicon)
y otras herramientas especiales. Estas facilidades fueron usadas por profesores e
investigadores a lo largo de 20 años para proyectos y con fines educativos gracias
a que este sistema fue muy bien caracterizado, confiable y gozaba de buen man-
tenimiento. Eventualmente el robot Stanford fue aumentado con robots eléctricos y
diseños nuevos de la universidad, pero el robot azul, que es casi idéntico al Stanford
todavía es usado ocasionalmente en el laboratorio de Robótica de la universidad.
(Scheinman, 1969)
Figura 1.9. Robot Stanford (Gast, 2003).
15
1.5. Prototipado rápido
El diseño de mecanismos robóticos es un proceso complejo que envuelve el
análisis geométrico, cinemático, dinámico, de esfuerzos y tolerancias. En el diseño
de un sistema real, es frecuente la construcción de un prototipo físico. Ciertamente,
el prototipo físico ayuda al diseñador a comprender ciertas características del mo-
delo y a identificar ciertas dificultades en el diseño creado. Sin embargo, el diseño
y la fabricación de un prototipo usando las técnicas tradicionales es bastante largo,
tedioso y costoso. En este contexto la aplicabilidad de un protipado rápido se ha-
ce justificable para los diseñadores de sistemas robóticos o cualquier otro sistema,
gracias al bajo costo y el menor tiempo que demanda el diseño y construcción de
un prototipo rápido (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005).
El prototipado rápido de partes y herramientas es una tecnología en crecimiento
acelerado y que presenta muchas ventajas como: Ahorro de tiempo y dinero, valo-
ración rápida del sistema, mejoras en el diseño instantáneo, eliminación rápida de
errores de diseño, aumento de la comercialización del producto y rápida fabricación.
EL prototipado rápido se ha convertido rápidamente en una técnica valiosa para la
eficiencia y la ingeniería concurrente. A través de las diferentes técnicas de prototi-
pado rápido, los ingenieros y diseñadores se encuentran capacitados para entregar
nuevos productos desarrollados desde el modelado conceptual hasta el ensayo de
partes en tan solo pocas semanas o meses. En algunas instancias, la producción
de partes se la puede hacer en periodos muy cortos de tiempo. El protipado rápido
ha simplificado la tarea de describir un concepto a los grupos de diseño, median-
te la ilustración de detalles a los equipos de ingeniería, con la especificación de las
partes a los departamentos de adquisiciones y la venta de productos al consumidor.
1.6. Técnicas de prototipado rápido
Actualmente existen más de 40 técnicas de prototipado rápido. Algunas de es-
tas técnicas sí son comercialmente viables mientras que otras están en proceso de
investigación en laboratorios todavía. A lo largo de los años se han hecho mayores
16
avances en la calidad de las partes prototipadas, esto se ha logrado a través de
mejoras en la exactitud de las técnicas usadas, el material usado y su durabilidad,
el acabado superficial y técnicas alternativas de prototipado rápido.
Estas mejoras han llevado a la evolución de la funcionalidad de los prototipos rá-
pidos (PR). La evolución de las técnicas y las aplicaciones de PR es un campo en
continuo desarrollo y expansión actualmente. En la actualidad, la reciente investiga-
ción ha llevado a que las partes de los prototipos sean más funcionales y que sus
aplicaciones sean mayores. En este capítulo se van a explicar tres procesos de pro-
totipado rápido que son actualmente bastante utilizados, Estereolitografía (SL), la
Sinterización selectiva por Laser (SLS) y Modelado por deposición fundida (FDM).
1.6.1. Estereolitografía
La estereolitografía (SL) es un proceso de construcción en 3 dimensiones que
produce un modelo plástico sólido. En este proceso, una luz láser ultravioleta traza
la sección transversal en dos dimensiones en la superficie de un plástico líquido fo-
tosensible (resina). El láser cura parcialmente la resina a través de la baja absorción
de energía de la luz láser produciendo así un sólido. El primer corte de la sección
transversal es hecho en una plataforma controlada, la cual es totalmente sumergida
bajo la primera capa delgada de resina, la plataforma desciende a una profundidad
igual al espesor del corte de la cara. Sucesivamente los cortes de dos dimensiones
son curados directamente sobre la capa previa como una parte construida desde el
fondo hasta la superficie.
Es necesario que las estructuras de soporte mantengan la integridad estructural
de la parte como también que den el punto de partida y soporte para los voladizos
y las capas que se construirán encima de estas. estos apoyos son construidos en
finas estructuras de malla de resina curada. Después que la parte ha sido totalmen-
te construida, el soporte es removido y la pieza es bañada en solvente y secada.
Las piezas preparadas pasan a un proceso de post-curado en el cual se les pasa
por una luz UV en su totalidad y así finaliza el proceso.
17
En la siguiente figura se muestra un esquema de cómo trabaja este proceso
(Fig. 1.10).
Figura 1.10. Equipo de SLA 250 con esquema del proceso SL (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte,
2005).
1.6.2. Sinterización selectiva por láser
La sinterización selectiva por láser (SLS) es un proceso de construcción en tres
dimensiones basado en la sinterización de polvos metálicos o no metálicos median-
te un láser. El proceso SLS involucra el calentamiento de los polvos mediante el uso
de un rayo láser de CO2 localizado. Este calentamiento localizado eleva la tempe-
ratura del polvo lo suficiente como para causar la solidificación por fusión sin que
este se derrita. El modelo es producido dentro de una plataforma situada en una
placa horizontal. La plataforma, la cual está inicialmente nivelada con la placa, es
bajada hasta una profundidad igual a la del espesor de la porción. El polvo luego
es rolado, raspado o ranurado sobre la plataforma y luego el láser dibuja la sección
transversal en dos dimensiones, así se repite todo el proceso hasta obtener la pieza
final.
En este proceso no son necesarias las estructuras de soporte gracias a que la
pieza se apoya en el polvo no sinterizado. Un proceso de post curado no es necesa-
rio a excepción de las piezas cerámicas. materiales comúnmente usados para este
proceso son los policarbonatos, nailon, elastómeros, poliamidas, arenas de fundi-
18
ción y aceros. (Won y Mavroidis, 2000)
En la figura a continuación (Fig. 1.11) se muestra un esquema del proceso SLS.
Figura 1.11. Esquema del proceso SLS (UNDO, 2015).
1.6.3. Modelado por deposición fundida
Otro de los procesos usados para el prototipado rápido de partes y piezas es
el Modelado por deposición fundida (FDM). En la tecnología FDM un hilo fino de
material es depositado capa por capa. El material que comúnmente se usa es el
polímero ABS. Un material de soporte es necesario en aquellas nuevas porciones
en las cuales no existe ningún soporte de las capas anteriores. Una vez que la
parte se terminó completamente, se remueven los materiales de aporte y se da un
acabado si es necesario. Las principales ventajas de este proceso es la simplicidad
de uso y su relativo bajo costo, también existen ciertas limitaciones en el acabado
superficial y en la precisión de las medidas finales. Desde la sección de la parte ya
construida no es extraño que cuando el nuevo material es depositado, los límites
entre las capas y los hilos no esté completo. Por esta razón, las piezas son aniso-
trópicas y el material es más débil en la dirección de fabricación.
Para la tecnología FDM, la parte es primero movida en una orientación ade-
cuada. Luego se realiza las porciones en capas horizontales. El material de so-
porte necesario se crea luego para sostener aquellas partes que no se sostie-
nen en capas más bajas y finalmente, los caminos son creados por cada porción.
19
Este proceso puede ser hecho automáticamente, sin embargo, dependiendo de
las propiedades que se deseen obtener, los parámetros pueden ser modificados
manualmente.(Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005)
En la siguiente figura (Fig. 1.12) se muestra un ejemplo del procesado mediante
software de una pieza para prototipado FDM.
Figura 1.12. Ejemplo del proceso de software STL: a) Parte en formato STL con la orientación
original, b) Parte orientada correctamente, c) Material de soporte añadido, d) Caminos en una de las
porciones (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005).
1.7. fabricación de juntas mediante diferentes métodos
1.7.1. Fabricación de juntas mediante el método (SL)
El primer paso en la construcción de un prototipo rápido de un robot es tener la
capacidad para fabricar juntas de manera exitosa. Para el método SL se ha usado
en ciertos estudios la máquina SLA del Departamento de Ingeniería Mecánica y
aeroespacial de la Universidad de New Jersey para la fabricación de juntas como
las prismáticas, de revolución, esféricas y universales, estas juntas se produjeron
sin necesidad de ensamblaje. (Won y Mavroidis, 2000)
20
Mediante el método de prueba y error, algunas características como la holgura,
el tamaño de la pieza y el de las estructuras de soporte han sido optimizadas para
la producción de juntas mecánicas.
De las características mencionadas, la determinación de holguras y aprietes ha
sido una parte fundamental para en la fabricación de partes. La holgura óptima para
superficies planas fue determinada en 0.3 mm y 0.5 mm para las superficies circu-
lares. Además, el tamaño de estas partes está en el orden de pocos centímetros.
En esta sección se van a describir rápidamente la junta prismática y la junta
universal. Inicialmente, la junta prismática o deslizante fue caracterizada como una
parte de un ensamblaje pistón-cilindro.
El pobre deslizamiento que presentó esta junta era debido a la resina atrapada
en en la cámara y a su vez presentaba dificultades en su remoción hasta el último
curado con luz UV. También, era evidente que al momento de ensamblar la junta
aparecían más grados de libertad de los deseados.
Por tanto la junta fue rediseñada varias veces siendo su diseño final el mostra-
do en la figura (Fig. 1.13), esta junta de un solo grado de libertad no presentaba
ninguna cavidad de resina encerrada, y, su fabricación toma alrededor de 6 horas.
Figura 1.13. Ejemplo de junta prismática SL (Won y Mavroidis, 2000).
La junta universal fue un diseño típico el cual consiste en dos componentes dife-
rentes, las dos horquillas y el eje de conexión. Una de los diseños de junta universal
21
se muestra en la siguiente figura (Fig. 1.14).
Se usa el diseño de la junta de revolución, esta junta se fabrica con una hol-
gura entre caras circulares de 0.5 mm. Completar la fabricación de esta junta lleva
aproximadamente 5 horas.
Figura 1.14. Ejemplo de junta universal SL (Shapeways, 2015).
1.7.2. Fabricación de juntas mediante el método (SLS)
Las juntas también pueden ser fabricadas mediante el método SLS. Para este
ejemplo el material base escogido fue la poliamida, las holguras fueron las mismas
que las escogidas en el proceso SL, pero las piezas obtenidas mediante este pro-
ceso tuvieron una mejor precisión que el proceso SL.
En esta sección se van a explicar las juntas de revolución y las esféricas. La
junta de revolución termina en dos uniones y fue restringida a un movimiento de
100 grados de revolución, esta limitación de movimiento se debe a las partes de la
junta, las dos horquillas pueden moverse alrededor del eje de unión solo el ángulo
deseado.
22
En la (Fig. 1.15) se presenta un modelo de junta realizada por el método SLS.
Figura 1.15. Ejemplo de junta de revolución SLS (Maplesoft, 2015).
La junta esférica (Fig. 1.16) está diseñada para tener un giro de aproximada-
mente 90 grados y alrededor de +− 15 grados de libertad de movimiento de lado
a lado, cuando está totalmente extendida y no tiene libertad de movimiento cuando
está contraída.
Otra restricción fue minimizar el ángulo de torsión, esto se logró con la remoción
de material de los hemisferios diametrales de la esfera interior y se añade material a
la ranura interior, esto resulta en la junta esférica modificada mostrada en la Figura
1.16.
Figura 1.16. Ejemplo de junta esférica SLS (Alan, 2011).
23
1.7.3. Fabricación de juntas mediante el método (FDM)
Mediante el método FDM se pueden fabricar las juntas cilíndricas (Fig. 1.17). Las
juntas cilíndricas están fabricadas básicamente por una varilla dentro de un tubo.
De manera similar a la junta prismática se debe construir esta junta en dirección
horizontal para obtener la resistencia apropiada de la junta. Para el tubo, se usa un
puenteo para suprimir el uso de material de aporte. Como la parte superior del tubo
no es plana, la forma del tubo se modifica para permitir el puenteo sin afectar las
propiedades deseadas. Para detener el desplazamiento de la junta y permitir una
rotación suave, se añade una manga de ajuste a presión en la varilla y un capuchón
de ajuste a presión en el tubo.(Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005)
Figura 1.17. a) Junta cilíndrica con partes de junta universal al final. b)Sección transversal de la junta
cilíndrica, donde se muestra la geometría que permite el puenteo. (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte,
2005).
1.8. Ensamblaje rígido de partes
En la fabricación de mecanismos, algunas partes deben ser ensambladas rígida-
mente, otras partes son demasiado grandes como para ser fabricadas en una sola
pieza y otras piezas para obtener las características deseadas deben ser acomoda-
das en diferentes direcciones para que se acomode la anisotropía del material (Fig.
1.18). Sin embargo, algunos ensamblajes no deberían ser montados permanente-
mente, con la intención de permitir que varias versiones de una parte de un ensam-
blaje puedan ser cambiadas. Para el ensamblaje permanente de partes, la goma
o ajustes de presión fuertes han demostrado ser satisfactorios para este fin. Algu-
nos ensambles no permanentes también han sido desarrollados, como los ajustes
24
a presión suaves. otro ejemplo es el aglutinante de giro, representado en la figura
1.18, es usada para montar y desmontar partes donde las fuerzas de traslación son
importantes pero el torque en al menos una dirección es despreciable o cero.
Figura 1.18. Aglutinante de giro (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005).
1.9. Ejemplos de mecanismos usando FDM
Para la creación de mecanismos completos es necesario haber construido co-
rrectamente las juntas y los eslabones previamente presentados. Esto se debe a
que por la naturaleza del prototipado rápido, los eslabones pueden tener casi cual-
quier forma, aquí, la anisotropía del material es la principal característica a tener en
consideración para que la resistencia de la pieza sea buena. En esta parte se van a
presentar algunos mecanismos que se han construido en en el Laboratorio de robó-
tica de la universidad de Laval, usando las juntas antes descritas. Se presentarán
dos ejemplos de mecanismos, el mecanismo simple de Bennett y un mecanismo
esférico de 3 GDL.
1.9.1. Mecanismos simples
Algunos mecanismos simples (Fig. 1.19) han sido construidos. El mecanismo de
Bennett es un buen ejemplo. El prototipado de un mecanismo de Bennett (Phillips,
1990) ha sido construido con el propósito de hacer demostraciones en las clases
de la universidad.
25
Figura 1.19. Mecanismo de Bennett a) Modelo CAD. b) Prototipo (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte,
2005).
1.9.2. Mecanismo esférico de tres grados de libertad
Conocido como el ojo ágil (Gosselin y Hamel, 1994), es un ejemplo de meca-
nismo que conlleva geometrías complejas que mediante el prototipado rápido se
pueden construir fácilmente (Fig. 1.20). Cada uno de los tres brazos tiene tres jun-
tas de revolución. Nótese que el eslabón de la base está hecho en dos partes con
el objetivo de alinear las capas con la orientación general de los brazos.
Figura 1.20. Mecanismo Ojo Ágil a) Modelo CAD. b) Prototipo (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005).
26
2. MARCO TEÓRICO
En este capítulo se van a presentar las ecuaciones de movimiento generales
para un robot, se va a hacer el análisis del movimiento para el plano y espacio
en el caso de la rotación y traslación de los ejes de coordenadas, el estudio de
estos movimientos es de mucha importancia para conocer cuál será el movimiento
espacial de los eslabones de un robot.
2.1. Movimientos de traslación
2.1.1. Traslación en el plano
En un par de orden inferior, como el par prismático, existen dos eslabones, un
fijo y un móvil, a los cuales se les va a asignar un sistema de coordenadas corres-
pondiente a su movimiento de la siguiente manera (Fig. 2.1). Al eslabón fijo se le
asigna la notación de sistema de coordenadas fijo O0X0Y0 y al eslabón móvil se le
asigna la notación del sistema de coordenadas móvil O1X1Y1. Al inicio los sistemas
de coordenadas coinciden en su origen y se quiere determinar las ecuaciones que
relacionan las coordenadas del punto P en el sistema fijo y móvil de coordenadas
P (x0, y0) con P (x1, y1) después de que se traslada el sistema móvil una distancia
∆x por el eje X1 y ∆y por el eje Y1, este movimiento físico de traslación puede ser
representado mediante una matriz de traslación en el mundo virtual.
Figura 2.1. Traslación en el plano Fuente: Propia.
27
De la figura (Fig. 2.1) se pueden obtener las ecuaciones que relacionan a los
dos sistemas de coordenadas.
x0 = x1 +∆x (2.1)
y0 = y1 +∆y (2.2)
Estas ecuaciones se pueden escribir de forma matricial, para esto es necesario un
artificio matemático el cual consiste en añadir la ecuación 1=1 al sistema, con esto
se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones matriciales.
x0
y0
1
=
1 0 ∆x
0 1 ∆y
0 0 1
x1
y1
1
(2.3)
De esto se tiene:
x0
y0
1
= T
x1
y1
1
(2.4)
Por lo tanto la matriz de traslación en un plano es:
T =
1 0 ∆x
0 1 ∆y
0 0 1
(2.5)
2.1.2. Traslación en el espacio
En la siguiente figura (Fig. 2.2) se puede observar el sistema de coordenadas
móvil o, u, v, w el cual ha sido trasladado con respecto al sistema fijo un valor de
(∆x,∆y,∆z) a lo largo de los ejes x, y, z, el punto P tiene coordenadas conocidas
en el sistema móvil y además se traslada conjuntamente con este sistema, es ne-
cesario determinar las ecuaciones que relacionan los dos sistemas de coordenadas
después de la traslación.
Nótese los tres vectores que se representan a la traslación del sistema móvil y
la posición del punto P.
28
Figura 2.2. Traslación en el espacio Fuente: Propia.
EL punto P y sus coordenadas asociadas a los sistemas de referencia son:
Px,y,z(px, py, pz) (2.6)
Pu,v,w(pu, pv, pw) (2.7)
La traslación del sistema móvil está representada por:
dx,y,z(∆x,∆y,∆z) (2.8)
Mediante álgebra vectorial se pude usar la siguiente ecuación:
~Pxyz = ~Puvw + ~dxyz (2.9)
Si se representa los vectores mediante la multiplicación de su módulo por su unita-
rio. resulta:
px~ix + py ~jy + pz ~kz = (pu~iu + pv ~jv + pw ~kw) + (∆x~ix +∆y
~jy +∆z~kz) (2.10)
Cuando se traslada un sistema de coordenadas no se cambia la rotación u orienta-
ción de los vectores unitarios, por eso se afirma que:
~ix = ~iu
~jy = ~jv
29
~kz = ~kw
Por lo tanto se puede escribir a la ecuación (2.10) de forma escalar:
px = pu +∆x
py = pv +∆y (2.11)
pz = pw +∆z
Es necesario escribir esta ecuación de forma matricial, para lo cual se vuelve a usar
el complemento matemático al añadir la ecuación 1=1 al sistema.
px
py
pz
1
=
1 0 0 ∆x
0 1 0 ∆y
0 0 1 ∆z
0 0 0 1
pu
pv
pw
1
(2.12)
Para encontrar la matriz de transformación de coordenadas de traslación en el
espacio se sigue el mismo procedimiento que las coordenadas en el plano y se
llega a la siguiente matriz:
T =
1 0 0 ∆x
0 1 0 ∆y
0 0 1 ∆z
0 0 0 1
(2.13)
2.2. Movimientos de rotación
2.2.1. Rotación en el plano
Cuando los sistemas de coordenadas coinciden en el origen pero uno de ellos ha
rotado respecto al otro, como se vio en el capítulo anterior, un ejemplo es el par de
rotación, siguiendo la notación anterior, al sistema de coordenadas fijo se le asigna
00x0y0 y al sistema de coordenadas móvil 01x1y1, en esta sección se desea encontrar
las ecuaciones que relacionan las coordenadas de los dos sistemas después que
han rotado un cierto ángulo. La rotación en el mundo físico puede ser representada
mediante una matriz de rotación.
30
Figura 2.3. Rotación en el plano Fuente: Propia.
La figura anterior (Fig. 2.3) nos será de utilidad para escribir las ecuaciones de
transformación de coordenadas, recordando que el todo es igual a la suma de las
partes.
x0 = x1CosΘ1 − y1SenΘ1 (2.14)
y0 = x1SenΘ1 + y1CosΘ1 (2.15)
Usando el artificio ya mencionado en las anteriores secciones se añade la ecua-
ción 1=1 para tener una matriz de 3x3 que nos facilitará los cálculos posteriores
entre matrices de traslación.
El sistema de ecuaciones anterior se puede escribir de la siguiente manera con
el uso la notación matricial:
x0
y0
1
=
CosΘ1 −SenΘ1 0
SenΘ1 CosΘ1 0
0 0 1
x1
y1
1
(2.16)
Se puede representar un giro del sistema de coordenadas alrededor del eje z
un ángulo Θ1, donde la matriz de rotación es Rz,Θ1 y su representación se la puede
hacer como sigue:
31
x0
y0
1
= Rz,Θ1
x1
y1
1
(2.17)
Rz,Θ1 =
CosΘ1 −SenΘ1 0
SenΘ1 CosΘ1 0
0 0 1
(2.18)
En la siguiente figura (Fig. 2.4), se ha rotado el sistema de coordenadas móvil
un ángulo Θ, nótese que el punto P se mueve con el sistema móvil, ahora se desea
escribir las ecuaciones que relacionan el sistema de coordenadas móvil en función
del sistema de coordenadas fijo.
Figura 2.4. Sistema de coordenadas móvil en función del fijo. (Granja, 2014)
De la Figura 2.4 se obtienen las siguientes ecuaciones de transformación de
coordenadas:
x1 = x0CosΘ1 + y0SenΘ1 (2.19)
y1 = −x0SenΘ1 + y0CosΘ1 (2.20)
A estas ecuaciones se les añade la ecuación 1=1 para tener una matriz homogénea.
Matricialmente las ecuaciones quedan de la siguiente forma:
32
x1
y1
1
=
CosΘ1 SenΘ1 0
−SenΘ1 CosΘ1 0
0 0 1
x0
y0
1
(2.21)
De la ecuación (2.17) se pueden despejar las coordenadas del punto P respecto
al sistema de coordenadas móvil.
x1
y1
1
= Rz,Θ1−1
x0
y0
1
(2.22)
De manera obligatoria, la ecuación (2.19) y la (2.20) son iguales, por lo tanto se
cumple que:
Rz,Θ1−1 =
CosΘ1 SenΘ1 0
−SenΘ1 CosΘ1 0
0 0 1
(2.23)
Si se compara la ecuación (2.21) con la ecuación (2.28) se obtiene que la ecua-
ción (2.18) es igual a la matriz inversa de la ecuación (2.21).
Rz,Θ1 =
CosΘ1 −SenΘ1 0
SenΘ1 CosΘ1 0
0 0 1
Rz,Θ1T =
CosΘ1 SenΘ1 0
−SenΘ1 CosΘ1 0
0 0 1
En conclusión:
Rz,Θ1T = Rz,Θ1
−1
2.2.2. Rotación en el espacio
En la figura siguiente (Fig. 2.5) se observan dos sistemas de coordenadas trasla-
pados, el sistema fijo está representado por o, x, y, z y el sistema móvil se representa
33
por o, u, v, w, se asume un punto P el cual se encuentra ligado al sistema de coor-
denadas móvil, esto implica que la posición del punto P puede ser representado por
un vector posición de los dos sistemas coordenados.
Figura 2.5. Sistemas de coordenadas traslapados en el espacio Fuente: Propia.
Los vectores unitarios para el sistema de coordenadas será el siguiente:
Para el sistema x, y, z: ~ix, ~jy, ~kz.
Para el sistema u, v, w: ~iu, ~jv, ~kw.
Por lo tanto las ecuaciones que definen al punto P tanto en el sistema fijo como
en el sistema móvil son:
~Px,y,z = Px~ix + Py
~jy + Pz~kz.
~Pu,v,w = Pu~iu + Pv
~jv + Pw~kw.
Las coordenadas de P se pueden encontrar mediante una multiplicación de vec-
tores, dependiendo de la coordenada que se quiera encontrar se multiplica el unita-
rio correspondiente con el vector ~Pu,v,w. De esta manera se presentan las ecuacio-
nes para encontrar las coordenadas de un sistema a otro.
px = ~Pu,v,w~ix = (Pu
~iu + Pv~jv + Pw
~kw)~ix
py = ~Pu,v,w~jy = (Pu
~iu + Pv~jv + Pw
~kw)~jy (2.24)
pz = ~Pu,v,w~kz = (Pu
~iu + Pv~jv + Pw
~kw)~kz
34
El sistema de ecuaciones (2.24) se puede escribir de forma matricial de la si-
guiente manera:
px
py
pz
=
~iu · ~ix ~jv · ~ix ~kw · ~ix
~iu · ~jy ~jv · ~jy ~kw · ~jy
~iu · ~kz ~jv · ~kz ~kw · ~kz
pu
pv
pw
(2.25)
De la ecuación (2.25) se desprende la matriz ortonormal de rotación R que con-
tiene los vectores unitarios de los dos sistemas de coordenadas.
R =
~iu · ~ix ~jv · ~ix ~kw · ~ix
~iu · ~jy ~jv · ~jy ~kw · ~jy
~iu · ~kz ~jv · ~kz ~kw · ~kz
(2.26)
Mediante la ecuación matricial (2.26) y la Figura 2.6 se pueden determinar las ma-
trices de rotación pura alrededor de los ejes del sistema fijo.
Figura 2.6. Rotación del sistema móvil alrededor de x(α), y(φ), z(Θ). (Atacama, 2012)
Las matrices de rotación puras son las siguientes:
Rx,α =
1 0 0
0 Cosα −senα
0 senα cosα
(2.27)
Ry,φ =
Cosφ 0 senφ
0 1 0
−senφ 0 cosφ
(2.28)
Rz,Θ =
CosΘ −senΘ 0
senΘ CosΘ 0
0 0 1
(2.29)
35
Para facilitar la operación con las matrices de traslación (4x4) se debe hacer el
siguiente arreglo matemático:
Rx,α =
1 0 0 0
0 Cosα −senα 0
0 senα cosα 0
0 0 0 1
(2.30)
Ry,φ =
Cosφ 0 senφ 0
0 1 0 0
−senφ 0 cosφ 0
0 0 0 1
(2.31)
Rz,Θ =
CosΘ −senΘ 0 0
senΘ CosΘ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(2.32)
Cuando al sistema móvil se le han realizado movimientos de rotación desde el
último sistema de coordenadas, en este caso se puede multiplicar las matrices en la
secuencia en la que se realizaron los movimientos, este proceso es conocido como
la postmultiplicación matricial.
Al contrario si los movimientos se realizan con referencia al sistema de coorde-
nadas fijo, la multiplicación debe ser contraria a los movimientos realizados, este
proceso se conoce como premultiplicación matricial.
2.3. Movimientos compuestos
Generalmente en la robótica los movimientos no son de traslación o rotación
puros, sino son una composición entre estos dos tipos de movimientos. En esta
parte se describirán dos de los métodos conocidos para encontrar las ecuaciones
de transformación de coordenadas que relacionan al actuador con el eslabón fijo
del brazo manipulador.
36
2.3.1. Premultiplicación matricial
Cuando se mueve el sistema de coordenadas móvil respecto al fijo, para encon-
trar las ecuaciones de transformación se multiplican las matrices de transformación
en forma inversa a los movimientos realizados, este proceso es conocido como pre-
multiplicación matricial, esta metodología no es muy aplicada en robótica mas si lo
es en marina y aeronáutica. Una aplicación de este proceso es la matriz de Ba-
lanceo, Inclinación y Orientación o conocida por sus siglas en inglés RPY.(Granja,
2014)
La secuencia que siguen los movimientos es la siguiente:
Balanceo: Giro alrededor del eje x0 un ángulo γ.
Inclinación: Giro alrededor del eje y0 un ángulo β
Orientación: Rotación alrededor del eje z0 un ángulo α
RRPY (γ,β,α) = R(z0,α)R(y0,β)R(x0,γ) (2.33)
RRPY (γ,β,α) =
Cosα −Senα 0
Senα Cosα 0
0 0 1
Cosβ 0 Senβ
0 1 0
−Senβ 0 Cosβ
1 0 0
0 Cosγ −Senγ
0 Senγ Cosγ
(2.34)
Para mayor facilidad se presenta la ecuación final con la sustitución del Seno
con la letra (s) y del Coseno con la letra (c).
RRPY (γ,β,α) =
cαcβ cαsβsγ − sαcγ cαsβcγ + sαsγ
sαcβ sαsβsγ + cαcγ sαsβcγ − cαsγ
−sβ cβsγ cβcγ
(2.35)
37
2.3.2. Postmultiplicación matricial
Cuando se realizan los movimientos del sistema de coordenadas respecto a los
ejes del último sistema de coordenadas móvil, es posible obtener las ecuaciones
de transformación de coordenadas entre los sistemas de coordenadas final y el fijo,
por esta razón la multiplicación matricial se debe realizar en el mismo orden de los
movimientos realizados, esta operación es muy común en robótica y se le llama
postmultiplicación matricial.
Con esta operación también se tiene la matriz de ángulos de Euler, donde se
presenta tres rotaciones referentes al último sistema de coordenadas móvil, una
después de la otra, de la siguiente manera:
Rotación de α alrededor del eje z
Rotación de β alrededor del eje y
Rotación de γ alrededor del eje x
R(α,β,γ) = R(z1,α)R(y2,β)R(x3,γ) (2.36)
R(α,β,γ) =
Cosα −Senα 0
Senα Cosα 0
0 0 1
Cosβ 0 Senβ
0 1 0
−Senβ 0 Cosβ
1 0 0
0 Cosγ −Senγ
0 Senγ Cosγ
(2.37)
Para mayor facilidad se presenta la ecuación final con la sustitución del Seno
con la letra (s) y del Coseno con la letra (c).
R(α,β,γ) =
cαcβ cαsβsγ − sαcγ cαsβcγ + sαsγ
sαcβ sαsβsγ + cαcγ sαsβcγ − cαsγ
−sβ cβsγ cβcγ
(2.38)
38
2.4. Dinámica del robot
Al hablar de la dinámica de un robot automáticamente se entra al estudio de
los movimientos y fuerzas que intervienen en el funcionamiento de un robot. Para
establecer un modelo dinámico es necesario presentar las ecuaciones matemáticas
de las coordenadas de posición del extremo del brazo y sus derivadas para hallar
las velocidades y aceleraciones, además se deben presentar las ecuaciones de las
fuerzas y pares aplicados al robot y por último los parámetros que lo definen como
la masa y la inercia.
2.4.1. Formulación de Newton-Euler (Dinámica inversa)
De este modelo se pueden obtener ecuaciones hacia delante de la velocidad
y la aceleración angular y lineal, las cuales se refieren a cada sistema de coor-
denadas auxiliar de cada articulación. Cada elemento tiene su propia velocidad y
aceleración las cuales se difunden hacia adelante desde el sistema de referencia
de la base hasta el eslabón final. Cuando se formulan las ecuaciones hacia atrás se
encuentran los pares y fuerzas necesarios para cada articulación del brazo.(NBIO,
2015)
2.4.2. Sistema de coordenadas en movimiento
El método Newton Euler se basa en los sistemas de coordenadas en movimien-
to, como se ve en el siguiente gráfico (Fig. 2.7).
Figura 2.7. Sistema de coordenadas en movimiento. Fuente: Propia
39
En la figura se muestra que el sistema de coordenadas O* se desplaza y rota
en el espacio respecto al sistema fijo, el vector que sigue el origen del sistema en
movimiento es el h y el vector r* describe la posición del punto P desde el origen
del sistema en movimiento. Según esto, las coordenadas del punto P respecto al
sistema fijo es:
r = r ∗+h (2.39)
Derivando esta ecuación se obtiene:
dr
dt=
dr∗
dt+
dh
dt= v ∗+vh (2.40)
Donde v* es la velocidad de P respecto del sistema de coordenadas en movi-
miento y vh es la velocidad del sistema de coordenadas móvil respecto al fijo.
Si el punto P se desplaza y rota respecto al sistema en movimiento la ecuación
(2.40) se escribe de la siguiente manera:
v =dr∗
dt+
dh
dt= (
d ∗ r∗
dt+ wxr∗) +
dh
dt(2.41)
Donded ∗ r∗
dtes la velocidad lineal de P respecto al sistema de coordenadas
móvil y w x r* es la velocidad angular de P respecto al sistema fijo.(NBIO, 2015).
De esto se deduce la aceleración general del sistema como:
a =dv
dt=
d2r∗
dt2+
d2h
dt2= a ∗+ah (2.42)
Escribiendo la ecuación en función de la posición y velocidad se tiene:
a =d2r∗
dt2+ 2w + (
d ∗ r∗
dt+ wx(wxr) +
dw
dtxr ∗+
d2h
dt2(2.43)
2.4.3. Cinemática para los eslabones
A partir de las ecuaciones (2.39) y (2.43) se muestra a continuación la forma
general de las ecuaciones para la cinemática de los eslabones del brazo robótico.
Según la figura anterior (Fig. 2.8), las ecuaciones para los eslabones de un robot
se pueden escribir así:
40
vi =d ∗ pi∗
dt+ wi−1xpi ∗+vi−1 (2.44)
wi = wi−1 + wi∗
Figura 2.8. Relaciones vectoriales entre entre los sistemas de referencia de los eslabones.(NBIO,
2015)
Nótese que la velocidad angular del sistema fijo o de referencia wi es igual a
la suma de la velocidad angular absoluta de todo el sistema i-1 más la velocidad
angular relativa wi∗ del eslabón.
La aceleración lineal del sistema para la articulación i es:
vi =d ∗2 pi∗
dt2+ ˙wi−1x
d ∗ pi∗
dt+ wi−1x(wi−1xpi∗) + ˙vi−1 (2.45)
wi = ˙wi−1 + ˙wi∗ (2.46)
La aceleración angular del sistema referencial i, respecto del sistema i-1 se con-
sigue con la ecuación (2.51) de la siguiente manera:
˙wi∗ =d ∗ wi∗
dt+ wi−1xwi∗ (2.47)
Por lo que la ecuación 2.56 queda como:
wi = ˙wi−1 +d ∗ wi∗
dt+ wi−1xwi∗ (2.48)
41
Normalmente en los brazos están unidos los sistemas i-1 e i a esos mismo
eslabones. La velocidad del elemento i respecto al sistema de coordenadas i-1 es
˙qi∗. Si el eslabón es prismático, la velocidad será de traslación relativa a i-1 y si es
rotacional corresponderá a una velocidad relativa rotacional del elemento i respecto
del sistema i-1.
2.4.4. Ecuaciones de movimiento
Si se aplica el principio de D’Alembert, el cual establece que las fuerzas exter-
nas actuantes sobre el robot y las fuerzas de inercia hacen un sistema en equilibrio
conocido como equilibrio dinámico (NBIO, 2015) y con las ecuaciones halladas an-
teriormente se obtienen las ecuaciones de Newton Euler recursivas.
Se usa la notación de la figura anterior (Fig. 2.8) para la siguiente figura (Fig.
2.9):
Figura 2.9. Fuerzas y momentos sobre el eslabón i (NBIO, 2015)
Donde:
~r1 Posición del centro de masa del eslabón i desde el origen del sistema de refe-
rencia base.
mi Masa total del eslabón
pi∗ Posición del origen de coordenadas i-ésimo respecto al sistema i-1
42
~si Posición del centro de masa del eslabón i desde el sistema de coordenadas i
~vi =d~ridt
Velocidad lineal del centro de masa del eslabón i
~ai =d~vidt
Aceleración lineal del centro de masa del eslabón i
Ii Matriz de inercia del eslabón i respecto de su centro de masa con respecto al
sistema de coordenadas O
Ni Momento total externo ejercido sobre el eslabón i en el centro de masa
Fi Fuerza total externa ejercida sobre el eslabón i en el centro de masa.
fi Fuerza que ejerce el elemento i-1 al eslabón i en el sistema i-1 para soportar al
elemento i y a los elementos que se encuentran encima
ni Momento ejercido sobre el elemento i por el elemento i-1 en el sistema i-1
Mediante el principio de D’Alambert y con la omisión de los efectos del roza-
miento viscoso en las juntas, se obtienen las siguientes ecuaciones:
Fi =d(mi~vi)
dt= mi~ai (2.49)
Ni =d(Iiwi)
dt= Iiwi + wix(Iiwi) (2.50)
Se hace un balance de fuerzas y pares en la figura 2.9:
Fi = fi − fi−1 (2.51)
Ni = ni − ni−1 + (pi−1 − ~ri)xfi − (pi − ~ri)xfi+1 (2.52)
= ni − ni−1 + (pi−1 − ~ri)xFi − pi ∗ xfi+1
Con el uso de la geometría se llega a la siguiente relación:
ri − pi−1 = pi ∗+~si (2.53)
De esto se obtienen las ecuaciones recursivas:
fi = Fi + fi+1 = mi~ai + fi+1 (2.54)
43
ni = ni+1 + pi ∗ xfi+1 + (pi ∗+~si)xFi +Ni (2.55)
Se ve que las ecuaciones son recursivas y permiten obtener los momento y
fuerzas en los elementos de un robot, fi+1 y Fi representan la fuerza y momento
ejercidos por el robot sobre un objeto externo.
44
3. MODELO MATEMÁTICO DEL ROBOT
En este capítulo se van a revisar las ecuaciones cinemáticas del robot Stanford
de 6 grados de libertad, así como también se va a realizar el desarrollo de las ecua-
ciones dinámicas que servirán para determinar todos los parámetros del robot, este
capítulo determinará el desarrollo del diseño y del prototipado rápido del presente
proyecto.
3.1. Análisis cinemático del robot stanford de 6 grados de libertad
En esta sección se va a realizar una revisión de las ecuaciones cinématicas pre-
sentadas en anteriores trabajos sobre el brazo robótico en cuestión.(Granja, 2014)
Los resultados que se mostrarán a continuación fueron comprobados mediante
la cinemática directa e inversa, además de comprobar el resultado mediante el soft-
ware de Toolbox Robotics de MatLab.
El problema que la cinemática desea resolver es encontrar la ecuación que rige
el movimiento del robot (posición), esta ecuación permite conocer la posición del
actuador del brazo dependiendo a los valores conocidos de coordenadas articula-
res.
En la figura a continuación (Fig. 3.1) se muestra una representación simbólica
del robot Stanford donde se representan los eslabones mediante líneas, los pares
prismáticos mediante un cubo y los pares cilíndricos mediante un cilindro, este es-
quema permite observar fácilmente los grados de libertad el robot, las variables
a controlar y permite resolver de mejor manera la cinemática mediante el modelo
Denavit-Hartenberg.
45
Figura 3.1. Representación mediante símbolos del robot Stanford. (Granja, 2014)
En este trabajo solo se va a representar el análisis por el método de Denavit-
Hartenberg Standard para comprobar los resultados de otros proyectos.
3.1.1. Método Denavit-Hartenberg Standard (DHs)
Para el método de Denavit-Hartenberg es necesario usar un gráfico en el cual
consten los movimientos o grados de libertad del robot, así como los sistemas de
coordenadas auxiliares de cada articulación. Se debe representar en este gráfico
las rotaciones y traslaciones del sistema de coordenadas desde sistema de la base
hasta el actuador final del brazo, para esto se usa la notación Θi para las rotaciones
de una junta giratoria y para los movimientos lineales de una junta prismática se
usa di.
Para comprobar que el mecanismo usado es de seis grados de libertad se usa la
fórmula de Kutzbach, la cual permite identificar el número de variables a controlar o
grados de libertad de un mecanismo siempre y cuando su análisis sea en el espacio.
GDL = 6(n− 1)− 5J1 − 4J2 − 3J3 − 2J4 − J5 (3.1)
Donde:
GDL Grados de Libertad
n Número de eslabones
46
Ji Número de pares superiores de i grado
GDL = 6(7− 1)− 5 ∗ 6− 0− 0− 0− 0 = 6 (3.2)
GDL = 6
Los pasos a seguir después vienen dados según el método DHs, que se enu-
meran de la siguiente manera(Granja, 2014).
1. Establecer e identificar los ejes de cada junta z0, ..., zn−1
2. Se establece el sistema de coordenadas fijo, se ubica en la base del robot y
se ubican los ejes X0, Y0 y Z0 de manera conveniente para formar un sistema
dextrógiro.
3. Ubicar el origen Oi de tal forma que la normal común a zi y zi−1 interseque a
zi. Para el caso en el que zi intersecta con zi−1 se debe colocar el el origen en
esta intersección. Cuando zi y zi−1 son paralelos, ubicar el origen en cualquier
parte a lo largo de zi.
4. Ubicar Xi a lo largo de la normal común de zi y zi−1, o en la dirección normal
al plano zi - zi−1 si zi y zi−1 se cruzan.
5. Ubicar Yi para completar el sistema de coordenadas.
6. Ubicar el sistema de coordenadas del actuador final (o0x0y0z0 y se asume que
el último par es de rotación, colocar n = a a lo largo de la dirección zi−1.
Colocar el origen On convenientemente a lo largo de Zn de preferencia en
el centro del sujetador o al extremo de objeto que el brazo va a manipular.
Establecer Yn = s en la dirección en la que el sujetador se cierra y ubicar
Xn = n como sxa. Si el sujetador no es una pinza simple se debe colocar a
estos ejes convenientemente para formar un sistema dextrógiro.
7. Se debe hacer una tabla de parámetros del robot, los parámetros son ai, di, αi,Θi.
Donde:
ai Distancia a lo largo del eje Xi desde el centro Oi a la intersección de los
ejes Xi y zi−1
47
di Distancia a lo largo de zi−1 hasta Oi hasta donde los ejes se intersecan.
αi Ángulo entre zi−1 y zi medido alrededor de Xi como se ve en la siguiente
figura (Fig. 3.2).
Figura 3.2. Sistemas de coordenadas para los métodos Denavit-Hartenberg.(Vinogadrov, 2000)
Θi Ángulo entre Xi−1 y Xi medido sobre zi−1.
8. A partir de esta tabla seguir con la construcción de las matrices de transfor-
mación de coordenadas homogéneas Ai con los parámetros dados.
9. Hallar la matriz de transformación final T 0n = A1...A0 la cual nos dará la posi-
ción y orientación final del brazo en orden al sistema de coordenadas de la
48
base.
En la siguiente figura (Fig. 3.3) se ve cómo se asignan los sistemas de coordena-
das de cada junta según el arreglo Denavit-Hartenberg estándar, para este método
se deben usar cuatro movimientos para pasar de un sistema de coordenadas al
próximo, la secuencia debe ser Rotación y Traslación a lo largo del eje Z y después
Rotación y Traslación a lo largo del eje X, después se puede notar que el orden
entre la rotación y traslación pueden variar mas no el orden de los ejes, es decir se
puede trasladar y luego rotar pero no se puede hacerlo primero en el eje X y luego
en el eje Z.
Figura 3.3. Ubicación de los sistemas de coordenadas para el método Denavit-Hartenberg
Standard.(Granja, 2014)
Luego de colocar los sistemas de coordenadas en el gráfico se debe seguir
con el siguiente paso que es crear una tabla que resuma los movimientos que se
realizaron, la tabla siguiente (Tabla 3.1) en robótica se la conoce como la tabla de
parámetros DHs, se recuerda que los movimientos son primero de rosca en Z y
luego rosca en X.
49
Tabla 3.1. Tabla de parámetros Denavit-Hartenberg Standard.
Eslabón Θi di ai αi
1 Θ∗
1 + 90◦ d1 0 −90◦
2 Θ∗
2 + 90◦ d2 0 90◦
3 0 d∗3 0 0
4 Θ∗
4 0 0 −90◦
5 Θ∗
5 0 0 90◦
6 Θ∗
6 d6 0 0
Nota: Cuando se representa a alguna variable con el símbolo ’*’ quiere decir que
es una variable de articulación o junta.
Luego de tener esta tabla, se procede a escribir la matriz que permitirá la trans-
formación de coordenadas entre un sistema de coordenadas con uno próximo por
el método Denavit-Hartenberg Standard.
Nota: Al final del capítulo 4 se presentará una tabla (Tabla 4.21) con las longitu-
des de los eslabones di.
Ai = Rz,ΘiTz,diTx,aiRx,αi
Ai =
CosΘi SenΘi 0 0
SenΘi CosΘi 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 di
0 0 0 1
1 0 0 ai
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 Cosαi −Senαi 0
0 Senαi Cosαi 0
0 0 0 1
Desde esta parte se va a usar una nueva notación para facilitar la escritura de
las ecuaciones que vienen a continuación, se representará con la inicial en ma-
yúscula de la función trigonométrica empleada y con un subíndice numérico que
representará la variable articular que se desea representar, teniendo como resulta-
50
do lo siguiente Sen(Θ1) = S1 de igual manera se procede para el resto de términos
que contienen a la función Seno o Coseno.
Ai =
cΘi −sΘicαi sΘisαi aicΘi
sΘi cΘicαi −cΘisαi aisΘi
0 sαi cαi di
0 0 0 1
(3.3)
Una vez obtenida esta matriz se procede a escribir cada una de las matrices de
transformación de coordenadas que vienen a partir de la tabla de parámetros DHs
(Tabla 3.1). Cada una de las filas de esta tabla nos da una matriz de transformación,
por lo tanto se tendrán 6 matrices a partir de esta tabla.
A1 =
c1+90 0 −s1+90 0
s1+90 0 c1+90 0
0 −1 0 d1
0 0 0 1
=
−s1 0 −c1 0
c1 0 −s1 0
0 −1 0 d1
0 0 0 1
(3.4)
A2 =
c2+90 0 s2+90 0
s2+90 0 c2+90 0
0 −1 0 d2
0 0 0 1
=
−s2 0 −c2 0
c2 0 −s2 0
0 −1 0 d2
0 0 0 1
(3.5)
A3 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1
(3.6)
A4 =
c4 0 −s4 0
s4 0 c4 0
0 −1 0 0
0 0 0 1
(3.7)
51
A5 =
c5 0 s5 0
s5 0 −c5 0
0 1 0 0
0 0 0 1
(3.8)
A6 =
c6 −s6 0 0
s6 c6 0 0
0 0 1 d6
0 0 0 1
(3.9)
Para hallar la matriz de transformación de coordenadas total del sistema, desde
la base hasta el actuador final, se debe multiplicar todas las matrices anteriores
según la siguiente ecuación.
T 06 = A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 ∗ A5 ∗ A6 (3.10)
T 06 =
r11 r12 r13 dx
r21 r22 r23 dy
r31 r32 r33 dz
0 0 0 1
(3.11)
Donde:
r11 = −C6(C5(C1S4 − C4S1S2)− C2S1S5)− S6(C1C4 + S1S2S4)
r21 = −C6(C5(S1S4 + C1C4S2) + C1C2S5)− S6(S1C4 − C1S2S4)
r31 = C6(S2S5 − C2C4C5) + C2S4S6
r12 = S6(C5(C1S4 − C4S1S2)− C2S1S5)− C6(C1C4 + S1S2S4)
r22 = S6(C5(S1S4 + C1C4S2) + C1C2S5)− C6(S1C4 − C1S2S4)
r32 = C2C6S4 − S6(S2S5 − C2C4C5)
52
r13 = −S5(C1S4 − C4S1S2)− C2C5S1
r23 = C1C2C5 − S5(S1S4 + C1C4S2)
r33 = −C5S2 − C2C4S5
dx = −D2C1 −D6(S5(C1S4 − C4S1S2) + C2C5S1)−D3C2S1
dy = −D3C1C2 −D6(S5(S1S4 + C1C4S2)− C1C2C5)−D2S1
dz = D1 −D6(C5S2 + C2C4S5)−D3S2
Estos resultados se obtuvieron mediante la multiplicación de las 6 matrices de
transformación de coordenadas, de esta manera queda comprobado que los resul-
tados anteriores son válidos (Granja, 2014), cabe mencionar que los resultados del
trabajo mencionado fueron realizados mediante el software MatLab, y comprobados
mediante el método DHs, DHm y por el método de Movimiento General Continuo.
3.2. Análisis dinámico de las ecuaciones del robot
Ahora, se va a realizar la derivación de las ecuaciones que nos permiten tener la
posición, es decir los elementos dx, dy y dz de la ecuación (3.11). Con la primera de-
rivada se van a obtener las ecuaciones de velocidad en cada una de las direcciones
del espacio, se usan las siguientes ecuaciones para hallar las derivadas respecto al
tiempo de la posición.
Vi =d(di)
dt=
d(di)
dΘ∗dΘ
dt(3.12)
Lo que en sentido físico resulta:
Vi =d(di)
dΘ∗ Θ (3.13)
Donde:
53
Vi Es la velocidad en una determinada dirección en el espacio.
di Es la posición en una determinada dirección en el espacio.
Θ Es la posición angular de un elemento del brazo
Θ Es la velocidad angular del brazo.
Como se puede notar en la ecuación (3.11) los términos dx, dy y dz están en
función de varios ángulos como son: Θ1, Θ2, Θ4 y Θ5, por lo tanto, se debe realizar
la resolución de la derivada por medio de derivadas parciales como se ve en la
siguiente ecuación.
Vi =∂(di)
∂Θ1
∗ Θ1 +∂(di)
∂Θ2
∗ Θ2 +∂(di)
∂Θ4
∗ Θ4 +∂(di)
∂Θ5
∗ Θ5 (3.14)
Ahora se procede a hallar la ecuación para la velocidad en la dirección x.
Vx =∂(dx)
∂Θ1
∗ Θ1 +∂(dx)
∂Θ2
∗ Θ2 +∂(dx)
∂Θ4
∗ Θ4 +∂(dx)
∂Θ5
∗ Θ5 (3.15)
Derivada parcial para Θ1
V x1 =∂(dx)
∂Θ1
∗Θ1 = −d3C1C2Θ1+d2S1Θ1−d6(C2C5C1Θ1+S5(−C4S2C1Θ1−S4S1Θ1))
(3.16)
Derivada parcial para Θ2
V x2 =∂(dx)
∂Θ2
∗ Θ2 = d3S1S2Θ2 − d6(−C2C4S5S1Θ2 − C5S1S2Θ2) (3.17)
Derivada parcial para Θ4
V x4 =∂(dx)
∂Θ4
∗ Θ4 = −d6S5(C1C4Θ4 + S1S2S4Θ4) (3.18)
Derivada parcial para Θ5
V x5 =∂(dx)
∂Θ5
∗ Θ5 = −d6(−C2S1S5Θ5 + C5Θ5(−C4S1S2 + C1S4)) (3.19)
54
Se reemplazan estas ecuaciones en la ecuación (3.15) y con la simplificación de
términos resulta:
Vx = −C1(Θ1(d3 + d6C5)C2 + d6C4S5(Θ4 − Θ1S2) + d6Θ5C5S4)
+S1(d2Θ1+ d6C2(Θ5+Θ2C4)S5)+ (d3Θ2+ d6C5(Θ2+Θ5C4))S2+ d6S5(Θ1− Θ4S2)S4)
(3.20)
Se procede a hallar la ecuación de la velocidad en la dirección y.
Vy =∂(dy)
∂Θ1
∗ Θ1 +∂(dy)
∂Θ2
∗ Θ2 +∂(dy)
∂Θ4
∗ Θ4 +∂(dy)
∂Θ5
∗ Θ5 (3.21)
Derivada parcial para Θ1
V y1 =∂(dy)
∂Θ1
∗ Θ1 = d3S1C2Θ1 − d2C1Θ1 − d6(C2C5S1Θ1 + S5(C4S2S1Θ1 + S4C1Θ1))
(3.22)
Derivada parcial para Θ2
V y2 =∂(dy)
∂Θ2
∗ Θ2 = d3C1S2Θ2 − d6(−C2C4S5C1Θ2 + C5C1S2Θ2) (3.23)
Derivada parcial para Θ4
V y4=∂(dy)
∂Θ4
∗ Θ4 = −d6S5(S1C4Θ4 + C1S2S4Θ4) (3.24)
Derivada parcial para Θ5
V y5 =∂(dy)
∂Θ5
∗ Θ5 = −d6(C2C1S5Θ5 + C5Θ5(−C4C1S2 + S1S4)) (3.25)
Una vez halladas las derivadas parciales se procede a reemplazarlas en la ecua-
ción (3.21) para hallar la velocidad en y.
Vy = −C1(d2Θ1 + d6C2(Θ5 − Θ2C4)S5 − (d3Θ2 + d6C5(−Θ2 + Θ5C4))S2
+d6S5(Θ1+Θ4S2)S4)+S1(Θ1(d3−d6C5)C2−d6(C4Sw(Θ4+Θ1S2)+Θ5C5S4)) (3.26)
Ahora se procede a hallar la ecuación para la velocidad en la dirección z.
55
Vz =∂(dz)
∂Θ1
∗ Θ1 +∂(dz)
∂Θ2
∗ Θ2 +∂(dz)
∂Θ4
∗ Θ4 +∂(dz)
∂Θ5
∗ Θ5 (3.27)
Derivada parcial para Θ1
V z1 =∂(dz)
∂Θ1
∗ Θ1 = 0 (3.28)
Derivada parcial para Θ2
V z2 =∂(dz)
∂Θ2
∗ Θ2 = −d3C2Θ2 − d6(C5C2Θ2 − C4S5S2Θ2) (3.29)
Derivada parcial para Θ4
V z4 =∂(dz)
∂Θ4
∗ Θ4 = d6C2S5S4Θ4 (3.30)
Derivada parcial para Θ5
V z5 =∂(dz)
∂Θ5
∗ Θ5 = −d6(C5C2C4Θ5 − S5S2Θ5) (3.31)
Una vez halladas las derivadas parciales se procede a reemplazarlas en la ecua-
ción (3.27) para hallar la velocidad en z.
Vz = d6(Θ5 + Θ2C4)S5S2 − C2(d3Θ2 + d6C5(Θ2 + Θ5C4)− d6Θ4S5S4) (3.32)
Una vez que se encuentran las ecuaciones de la velocidad se procede a hallar
las ecuaciones de la aceleración, así mismo en las tres direcciones x, y y z. Para
esto se deriva la ecuación (3.13).
ai =d
dΘ(d(di)
dΘ∗ Θ) (3.33)
ai =d(di)
dΘ∗ Θ +
d2(di)
dΘ2∗ Θ (3.34)
Donde:
ai Es la velocidad en una determinada dirección en el espacio.
di Es la posición en una determinada dirección en el espacio.
56
Θ Es la velocidad angular del brazo.
Θ Es la aceleración angular del brazo.
Esta ecuación al igual que en la velocidad se debe resolver mediante derivadas
parciales para los ángulos Θ1, Θ2, Θ4 y Θ5.
ai =d(di)
dΘ1
∗ Θ1 +d2(di)
dΘ21
∗ Θ1 +d(di)
dΘ2
∗ Θ2 +d2(di)
dΘ22
∗ Θ2 +d(di)
dΘ4
∗ Θ4 +d2(di)
dΘ24
∗ Θ4
+d(di)
dΘ5
∗ Θ5 +d2(di)
dΘ25
∗ Θ5 (3.35)
Para hallar la aceleración en x se sigue la ecuación:
ax =d(dx)
dΘ1
∗ Θ1 +d2(dx)
dΘ21
∗ Θ1 +d(dx)
dΘ2
∗ Θ2 +d2(dx)
dΘ22
∗ Θ2 +d(dx)
dΘ4
∗ Θ4 +d2(dx)
dΘ24
∗ Θ4
+d(dx)
dΘ5
∗ Θ5 +d2(dx)
dΘ25
∗ Θ5 (3.36)
Se comienza por hallar las derivadas de los términos que contienen Θ1
Ax1 =d(dx)
dΘ1
∗ Θ1 +d2(dx)
dΘ21
∗ Θ1 = −d3C1C2Θ1 + d2S1Θ1−
d6(C2C5C1Θ1 + S5(−C4S2C1Θ1 − S4S1Θ1))
+d2C1Θ1 + d3C2S1Θ1 − d6(−C5C2S1Θ1 + S5(C4S1S2Θ1 − C1S4Θ1)) (3.37)
Derivadas parciales para los términos que contienen Θ2
Ax2 =d(dx)
dΘ2
∗ Θ2 +d2(dx)
dΘ22
∗ Θ2 = d3S1S2Θ2 − d6(−C2C4S5S1Θ2 − C5S1S2Θ2)
d3C2S1Θ2 − d6(−C5C2S1Θ2 + C4S5S1S2Θ2) (3.38)
Derivadas parciales para los términos que contienen Θ4
Ax4 =d(dx)
dΘ4
∗Θ4+d2(dx)
dΘ24
∗Θ4 = −d6S5(C1C4Θ4+S1S2S4Θ4)−d6S5(C4S1S2Θ4−C1S4Θ4)
(3.39)
Derivadas parciales para los términos que contienen Θ5
57
Ax5 =d(dx)
dΘ5
∗ Θ5 +d2(dx)
dΘ25
∗ Θ5 = −d6(−C2S1S5Θ5 + C5Θ5(−C4S1S2 + C1S4))
−d6C5Θ5(C1C4 + S1S2S4) (3.40)
Se reemplazan estos valores en la ecuación (3.36) y se obtiene:
ax = −C1(Θ1(d3 + d6C5)C2 + d6C4S5(Θ4 − Θ1S2) + d6Θ5C5S4) + S1(d2Θ1
+d6C2(Θ5 + Θ2C4)S5 + (d3Θ2 + d6C5(Θ2 + Θ5C4))S2 + d6S5(Θ1 − Θ4S2)S4)
C1(d2Θ1 − d6Θ5C4C5 + d6(Θ1 + Θ4)S4S5) + S1((Θ1 + Θ2)(d2 + d6C5)
−d6S2((Θ1 + Θ2 + Θ4)C4S5 + Θ5C5S4)) (3.41)
Ahora se procede a hallar la ecuación de la aceleración en la dirección y. Para
esto seguimos la ecuación:
ay =d(dy)
dΘ1
∗ Θ1 +d2(dy)
dΘ21
∗ Θ1 +d(dy)
dΘ2
∗ Θ2 +d2(dy)
dΘ22
∗ Θ2 +d(dy)
dΘ4
∗ Θ4 +d2(dy)
dΘ24
∗ Θ4
+d(dy)
dΘ5
∗ Θ5 +d2(dy)
dΘ25
∗ Θ5 (3.42)
Se empieza por hallar la derivada parcial para el término Θ1
Ay1 =d(dy)
dΘ1
∗ Θ1 +d2(dy)
dΘ21
∗ Θ1 = d3S1C2Θ1 − d2C1Θ1−
d6(C2C5S1Θ1 + S5(C4S2S1Θ1 + S4C1Θ1))
+d3C1C2Θ1 + d2S1Θ1 − d6(C5C1C2Θ1 + S5(C1C4S2Θ1 − S1S4Θ1)) (3.43)
Se halla la derivada parcial para el término Θ2
Ay2 =d(dy)
dΘ2
∗ Θ2 +d2(dy)
dΘ22
∗ Θ2 = d3C1S2Θ2 − d6(−C2C4S5C1Θ2 + C5C1S2Θ2)
+d3C1C2Θ2 − d6(C5C1C2Θ2 + C1C4S5S2Θ2) (3.44)
Se halla la derivada parcial para el término Θ4
58
Ay4 =d(dy)
dΘ4
∗Θ4+d2(dy)
dΘ24
∗Θ4 = −d6S5(S1C4Θ4+C1S2S4Θ4)−d6S5(C1C4S2Θ4S1S4Θ4)
(3.45)
Se halla la derivada parcial para el término Θ5
Ay5 =d(dy)
dΘ5
∗ Θ5 +d2(dy)
dΘ25
∗ Θ5 = −d6(C2C1S5Θ5 + C5Θ5(−C4C1S2 + S1S4))
−d6(C5C1C2Θ5 − S5Θ5(−C1C4S2 + S1S4)) (3.46)
Se reemplaza estos resultados en la ecuación (3.42) y se tiene la expresión para
la aceleración en la dirección y.
ay = −C1(d2Θ1 + d6C2(Θ5 − Θ2C4)S5 − (d3Θ2 + d6C5(−Θ2 + Θ5C4))S2
+d6S5(Θ1 + Θ4S2)S4) + S1(Θ1(d3 − d6C5)C2 − d6(C4Sw(Θ4 + Θ1S2) + Θ5C5S4))
+C1((d3(Θ1 + Θ2)− d6(Θ1 + Θ2 + Θ5C5)C2 − d6(Θ1 + Θ2 + Θ4 + Θ5)∗
∗C4S5S2) + S1(d2Θ1 + d6(Θ1 + Θ4 + Θ5)S4S5) (3.47)
Por último debemos encontrar la ecuación que describa la aceleración en la
dirección z. Para esto seguimos la ecuación que viene:
az =d(dz)
dΘ1
∗ Θ1 +d2(dz)
dΘ21
∗ Θ1 +d(dy)
dΘ2
∗ Θ2 +d2(dz)
dΘ22
∗ Θ2 +d(dz)
dΘ4
∗ Θ4 +d2(dz)
dΘ24
∗ Θ4
+d(dz)
dΘ5
∗ Θ5 +d2(dz)
dΘ25
∗ Θ5 (3.48)
Se empieza por encontrar la derivada parcial de los términos que contienen Θ1
Az1 =d(dz)
dΘ1
∗ Θ1 +d2(dz)
dΘ21
∗ Θ1 = 0 (3.49)
Se encuentra la derivada parcial para los términos que contienen Θ2
Az2 =d(dz)
dΘ2
∗ Θ2 +d2(dz)
dΘ22
∗ Θ2 = −d3C2Θ2 − d6(C5C2Θ2 − C4S5S2Θ2) + d3S2Θ2
59
−d6(−C2C4S5Θ2 − C5S2) (3.50)
Se encuentra la derivada parcial para los términos que contienen Θ4
Az4 =d(dz)
dΘ4
∗ Θ4 +d2(dz)
dΘ24
∗ Θ4 = d6C2S5S4Θ4 + d6C2C4S5Θ4 (3.51)
Se encuentra la derivada parcial para los términos que contienen Θ5
Az5 =d(dz)
dΘ5
∗Θ5+d2(dz)
dΘ25
∗Θ5 = −d6(C5C2C4Θ5−S5S2Θ5)−d6(−C2C4S5Θ5−C5S2Θ5)
(3.52)
Una vez que obtenemos todas las derivadas parciales se reemplazan en la ecua-
ción (3.38) para obtener la expresión de la aceleración en z.
az = d6(Θ5 + Θ2C4)S5S2 − C2(d3Θ2 + d6C5(Θ2 + Θ5C4)− d6Θ4S5S4)
+d6(Θ2 + Θ4 + Θ5)C2C4S5 + (d3Θ2 + d6(Θ2 + Θ4)C5)S2 (3.53)
Con la presentación de estas ecuaciones se tiene completo el modelo matemá-
tico que es el objetivo del presente capítulo, con estas ecuaciones y con la masa de
cada eslabón del robot se pueden obtener todos los parámetros del robot, sin em-
bargo, la masa, las dimensiones, las velocidades y aceleraciones angulares recién
se obtendrán en el capítulo 4 donde se realizará el diseño del robot.
3.3. Jacobianos de velocidad y aceleración
Después de haber obtenido las ecuaciones que gobiernan la dinámica del robot,
es necesario presentarlas de una manera más ordenada y que permita usar estas
ecuaciones de mejor manera.
Con el objetivo de tener estas ecuaciones más ordenadas, se procede a arreglar
los términos en una matriz determinada, esta matriz se la conoce como el Jacobiano
de velocidad o aceleración, dependiendo el caso, en esta parte se va a presentar
los Jacobianos resultantes para el Robot Stanford de 6 grados de libertad.
60
Un Jacobiano sirve para pasar de un sistema de coordenadas a otro, en este
caso para pasar de coordenadas polares a cartesianas, si se aplica la inversa de la
matriz del Jacobiano se puede tener la transformación de coordenadas cartesianas
a polares, lo cual es lo que se va a necesitar en la realidad cuando se trate de dar
funciones específicas al brazo robótico.
3.3.1. Jacobiano de velocidad
Se va a representar la matriz del Jacobiano para la velocidad del manipulador.
V = JΘ (3.54)
Donde:
V Vector velocidad en x, y, z
J Es la matriz del Jacobiano.
Θ Vector de las velocidades angulares de los eslabones.
V x
V y
V z
=
V x1 V x2 V x4 V x5
V y1 V y2 V y4 V y5
V z1 V z2 V z4 V z5
Θ1
Θ2
Θ4
Θ5
(3.55)
Nota: En el jacobiano de velocidades no aparece la variable Θ6 debido a que
esta no afecta a la velocidad en las coordenadas x, y, z y el término d3 que es una
variable articular y si afecta en la velocidad en las coordenadas cartesianas aparece
en los términos V x1, V x2, V y1, V y2yV z2.
Además, si las entradas del robot en cuanto a la velocidad son las componentes
en x, y, z y lo que se desea encontrar son las respectivas velocidades angulares,
entonces se debe escribir la ecuación de la siguiente forma:
Θ = J−1V (3.56)
61
Θ1
Θ2
Θ4
Θ5
= L
J11 J12 J13 J14
J21 J22 J23 J24
J31 J32 J33 J34
0 0 01
L
V x
V y
V z
1
(3.57)
Cada elemento de la inversa del Jacobiano viene dado por las siguientes expre-
siones:
L =1
−V x4V y2V z1 + V x2V y4V z1 + V x4V y1V z2 − V x1V y4V z2 − V x2V y1V z4 + V x1V y2V z4
J11 = −V y4V z2 + V y2V z4
J12 = V x4V z2 − V x2V z4
J13 = −V x4V y2 + V x2V y4
J14 = V x5V y4V z2−V x4V y5V z2−V x5V y2V z4+V x2V y5V z4+V x4V y2V z5−V x2V y4V z5
J21 = V y4V z1 − V y1V z4
J22 = −V x4V z1 + V x1V z4
J23 = V x4V y1 − V x1V y4
J24 = −V x5V y4V z1+V x4V y5V z1+V x5V y1V z4−V x1V y5V z4−V x4V y1V z5+V x1V y4V z5
J31 = −V y2V z1 + V y1V z2
J32 = V x2V z1 − V x1V z2
J33 = −V x2V y1 + V x1V y2
J34 = V x5V y2V z1−V x2V y5V z1−V x5V y1V z2+V x1V y5V z2+V x2V y1V z5−V x1V y2V z5
Cada elemento del Jacobiano de velocidades viene dado por:
Vx Es la velocidad en la dirección x Ec(3.20)
Vy Es la velocidad en la dirección y Ec(3.26)
Vz Es la velocidad en la dirección z Ec(3.32)
62
V x1 Es la componente de la velocidad en x para Θ1 correspondiente a la ecuación
(3.16)
V x2 Es la componente de la velocidad en x para Θ2 correspondiente a la ecuación
(3.17)
V x4 Es la componente de la velocidad en x para Θ4 correspondiente a la ecuación
(3.18)
V x5 Es la componente de la velocidad en x para Θ5 correspondiente a la ecuación
(3.19)
V y1 Es la componente de la velocidad en y para Θ1 correspondiente a la ecuación
(3.22)
V y2 Es la componente de la velocidad en y para Θ2 correspondiente a la ecuación
(3.23)
V y4 Es la componente de la velocidad en y para Θ4 correspondiente a la ecuación
(3.24)
V y5 Es la componente de la velocidad en y para Θ5 correspondiente a la ecuación
(3.25)
V z1 Es la componente de la velocidad en z para Θ1 correspondiente a la ecuación
(3.28)
V z2 Es la componente de la velocidad en z para Θ2 correspondiente a la ecuación
(3.29)
V z4 Es la componente de la velocidad en z para Θ4 correspondiente a la ecuación
(3.30)
V z5 Es la componente de la velocidad en z para Θ5 correspondiente a la ecuación
(3.31)
63
3.3.2. Jacobiano de aceleración
Se va a representar la matriz del Jacobiano para la aceleración del manipulador.
A = JΘ (3.58)
Donde:
A Vector aceleración en x, y, z
J Es la matriz del Jacobiano.
Θ Vector de las aceleraciones angulares de los eslabones.
ax
ay
az
=
Ax1 Ax2 Ax4 Ax5
Ay1 Ay2 Ay4 Ay5
Az1 Az2 Az4 Az5
Θ1
Θ2
Θ4
Θ5
(3.59)
Nota: En el jacobiano de velocidades no aparece la variable Θ6 debido a que
esta no afecta a la velocidad en las coordenadas x, y, z y el término d3 que es una
variable articular y si afecta en la velocidad en las coordenadas cartesianas aparece
en los términos Ax1, Xx2, Ay1, Ay2yAz2.
Ahora, si las entradas del robot en cuanto a la aceleración son las componentes
en x, y, z y lo que se desea encontrar son las respectivas aceleraciones angulares,
entonces se debe escribir la ecuación de la siguiente forma:
Θ = J−1A (3.60)
Θ1
Θ2
Θ4
Θ5
= K
I11 I12 I13 I14
I21 I22 I23 I24
I31 I32 I33 I34
0 0 01
K
ax
ay
az
1
(3.61)
Cada elemento de la inversa del Jacobiano viene dado por las siguientes expre-
siones:
64
K =1
−Ax4Ay2Az1 + Ax2Ay4Az1 + Ax4Ay1Az2 − Ax1Ay4Az2 − Ax2Ay1Az4 + Ax1Ay2Az4
I11 = −Ay4Az2 + Ay2Az4
I12 = Ax4Az2 − Ax2Az4
I13 = −Ax4Ay2 + Ax2Ay4
I14 = Ax5Ay4Az2−Ax4Ay5Az2−Ax5Ay2Az4+Ax2Ay5Az4+Ax4Ay2Az5−Ax2Ay4Az5
I21 = Ay4Az1 − Ay1Az4
I22 = −Ax4Az1 + Ax1Az4
I23 = Ax4Ay1 − Ax1Ay4
I24 = −Ax5Ay4Az1+Ax4Ay5Az1+Ax5Ay1Az4−Ax1Ay5Az4−Ax4Ay1Az5+Ax1Ay4Az5
I31 = −Ay2Az1 + Ay1Az2
I32 = Ax2Az1 − Ax1Az2
I33 = −Ax2Ay1 + Ax1Ay2
I34 = Ax5Ay2Az1−Ax2Ay5Az1−Ax5Ay1Az2+Ax1Ay5Az2+Ax2Ay1Az5−Ax1Ay2Az5
Cada elemento del Jacobiano de aceleración viene dado por las siguientes ecua-
ciones:
ax Es la aceleración en la dirección x Ec(3.41)
ay Es la aceleración en la dirección y Ec(3.47)
az Es la aceleración en la dirección z Ec(3.53)
Ax1 Es la componente de la aceleración en x para Θ1 correspondiente a la ecuación
(3.37)
Ax2 Es la componente de la aceleración en x para Θ2 correspondiente a la ecuación
(3.38)
65
Ax4 Es la componente de la aceleración en x para Θ4 correspondiente a la ecuación
(3.39)
Ax5 Es la componente de la aceleración en x para Θ5 correspondiente a la ecuación
(3.40)
Ay1 Es la componente de la aceleración en y para Θ1 correspondiente a la ecuación
(3.43)
Ay2 Es la componente de la aceleración en y para Θ2 correspondiente a la ecuación
(3.44)
Ay4 Es la componente de la aceleración en y para Θ4 correspondiente a la ecuación
(3.45)
Ay5 Es la componente de la aceleración en y para Θ5 correspondiente a la ecuación
(3.46)
Az1 Es la componente de la aceleración en z para Θ1 correspondiente a la ecuación
(3.49)
Az2 Es la componente de la aceleración en z para Θ2 correspondiente a la ecuación
(3.50)
Az4 Es la componente de la aceleración en z para Θ4 correspondiente a la ecuación
(3.51)
Az5 Es la componente de la aceleración en z para Θ5 correspondiente a la ecuación
(3.52)
66
4. DISEÑO DEL ROBOT STANFORD
En este capítulo se desarrollará el diseño del robot Stanford basados en el Di-
seño concurrente de Carles Riba i Romeva, luego de esta sección se procederá a
realizar el prototipado del modelo que de aquí resulte.
4.1. Casa de la calidad
La casa de la calidad (Fig. 4.1) es una herramienta de gran ayuda para el diseño
de cualquier máquina, debido a que esta integra la voz del usuario, que representa
a los requerimientos del cliente sobre el producto, e integra la voz del ingeniero, que
hace referencia a los requerimientos del profesional sobre el producto a diseñarse.
4.1.1. Voz del usuario
Se va a detallar la lista de los requerimientos del consumidor para el brazo ro-
bótico a diseñarse.
Forma
El usuario pide que la forma del brazo robótico sea adecuada para facilitar su
uso y movimiento.
Movimientos
Se requiere que el brazo pueda realizar todos los movimientos que el usuario
desee, es decir, que no exista posiciones únicas para el movimiento del robot.
Precio
Una de las peticiones de los usuarios que siempre se debe tomar en cuenta
es el costo del producto, por tanto, el usuario pide que el costo sea el más
bajo posible.
Ligero
Es necesario que el brazo sea ligero según los usuarios, ya que esto les per-
mitirá transportar el robot sin problemas.
67
Estética
Es muy importante para el cliente que el robot tenga una buena apariencia,
esto es una parte fundamental para que el usuario adquiera el brazo robótico.
Durable
Los usuarios manifiestan su deseo de tener un robot que dure mucho tiempo
y que su mantenimiento sea económico.
Fácil de Usar
Se desea un brazo robótico que sea fácil de operar, que no implique compli-
cadas programaciones o conocimientos específicos para poder usar el brazo.
Riesgos
Que el producto no presente ningún riesgo a la persona que lo manipula.
Funciones
El usuario desea que el brazo pueda usarse para varias funciones, es decir
que su uso no se limite a una sola acción.
Tamaño
Al usuario le importa que el objeto tenga un tamaño adecuado para realizar
varias funciones y que pueda usarse en cualquier espacio.
4.1.2. Voz del ingeniero
Se va a dar la lista de la voz del ingeniero de los requerimientos que este tiene
para el diseño del robot.
Geometría
La geometría que el profesional le va a dar al diseño es muy importante para
cumplir las metas de diseño.
Montaje
Es necesario dar una facilidad de montaje al aparato ya que esto determinará
la facilidad de su ensamblaje y de su posterior mantenimiento.
68
Grados de Libertad
Es fundamental definir los grados de libertad del manipulador ya que estos
van a hacer posible los movimientos del mismo.
Seguridad
Se debe plantear un diseño que represente seguridad en todo momento de la
funcionalidad del brazo articular.
Calidad
El ingeniero debe asegurar un diseño robusto para obtener la calidad deseada
para el producto final.
Mantenimiento
El profesional debe asegurar que el diseño del brazo permita un fácil mante-
nimiento del mismo.
Materiales
Es necesario hacer una excelente selección de materiales para cumplir con
varias de las propuestas del diseño del producto
Operación.
Se debe considerar todos los modos de operación del brazo y elegir el más
óptimo para que el brazo funcione correctamente.
4.2. Especificaciones técnicas
Las especificaciones del brazo articulado, son todas aquellas manifestaciones
claras del conjunto de características, prestaciones o determinaciones que guían el
diseño del robot. Existen dos tipos de especificaciones: (Riba et Al, 2002)
Requerimiento (R, o especificación necesaria)
Son aquellos requerimientos sin los cuales el robot no cumpliría su objetivo.
69
4.2.1. Gráfico de la casa de la calidad
Figura 4.1. Casa de la Calidad Fuente: Propia
Deseo (D, o especificación conveniente)
Es toda aquella determinación que, sin ser vitales para el brazo articulado, hace
que muchos de sus aspectos mejoren.
Como elemento inicial del diseño, conviene ordenar las especificaciones del ro-
bot en un documento rápido al cual se le denomina Especificaciones Técnicas el
70
cual contenga el máximo posible de información útil.
A continuación se presenta la tabla de especificaciones técnicas para el robot
Stanford de 6 GDL (Tabla 4.1).
Tabla 4.1. Especificaciones técnicas
EPN Robot Standford Inicio: 22/02/2016
de 6 GDL Revisión:
ESPECIFICACIONES
Concepto Fecha Propone R/D Descripción
22/02/16 D R Tener 6 grados de libertad.
Función 22/02/16 D D Mover objetos pequeños
22/02/16 D D Función con señal eléctrica.
Dimensiones 23/02/16 D M+R Dimensiones en posición inicial
no mayor a 500x500x500 mm3
23/02/16 D R Peso máximo 2Kg.
Energía 25/02/16 D R Energía mecánica a partir
de pequeños motores eléctricos.
Costos 25/02/16 D D El prototipado no debe
exceder de los 300 dólares.
Vida útil 25/02/16 C R Vida útil de al menos 2 años
como equipo de laboratorio.
Impacto 25/02/16 P D Uso de materiales que se puedan
Ambiental reciclar al final de su vida útil.
Propone: D = Diseño, C = Cliente, P = Producción
R/D: R = Requerimiento, D = Deseo, M+R = Modificación de requerimiento.
71
4.3. Diseño modular
El diseño de máquinas con estructura modular, añade algo de complejidad al
proceso normal de diseño, debido a que se debe considerar cómo afecta la división
de la producción de los módulos en la fabricación del producto. Los productos mo-
dulares son aquellos que están construidos en una serie de bloques constructivos,
que se orienta a ordenar y poner las distintas funciones del producto y que esto
ayude a su fabricación, estos bloques toman el nombre de módulos y la forma en
que se los organiza es la estructura modular.
Para el presente proyecto se van a definir los módulos que se necesitan para la
construcción del robot y además se organizará por niveles la modularidad, es decir,
el nivel 0 será el más básico, en este se representará la función global del brazo
robótico y en el siguiente nivel se descompondrán los módulos necesarios para su
fabricación.
Siguiendo el método de Carles Riba (Riba et Al, 2002) la simbología utilizada es
la siguiente (Tabla 4.2):
Tabla 4.2. Simbología modular
ELEMENTO SÍMBOLO
Función Rectángulo de línea continua
Material Flecha de doble línea continua
Energía Flecha de línea continua
Señal Flecha de línea entrecortada
Sistema, subsistema, módulo Polígono de línea entrecortada
Ahora se va a representar los niveles del Robot Stanford de 6 GDL, debido a
que el diseño de este brazo no representa una complejidad demasiado alta, se
divide tan solo en dos niveles su modularidad, donde probablemente se tendrán
3 módulos, en los cuales se agrupará de tal manera que cada módulo desarrolle
juntas y eslabones a la vez.
72
4.3.1. Nivel 0
Este es el nivel más básico donde representa la función global del brazo robótico
(Fig. 4.2), sus entradas, el tipo de energía que usa y la señal necesaria, así mismo
muestra el resultado final.
Figura 4.2. Nivel 0 Robot Stanford Fuente: Propia
4.3.2. Nivel 1
Este es el nivel más desarrollado para el Robot Stanford (Fig.4.3), tiene 6 accio-
nes las cuales podrían formar 6 módulos o se puede llegar a un arreglo conveniente
para los módulos de fabricación del producto, en la siguiente figura se puede apre-
ciar la distribución del nivel 1.
4.3.3. Módulos
Ahora se va a representar la agrupación de cada módulo como viene en la si-
guiente figura (Fig. 4.4).
4.4. Soluciones para cada módulo
4.4.1. Módulo 1: Base
Este es el primer módulo del robot, aquí se van a presentar las alternativas para
la base, junta y eslabón 1 del manipulador.
Base
Para la base se encuentran las siguientes alternativas:
73
Semi-Esférica
Este modelo de base es de forma semi-esférica con alojamientos para la junta
rotatoria y para el eslabón número 1 (Fig. 4.5)
Figura 4.3. Nivel 1 Robot Stanford Fuente: Propia
74
Figura 4.4. Módulos Stanford Fuente: Propia
Figura 4.5. Base semi-esférica Fuente: Propia
75
Ventajas
Es una alternativa sencilla de construir
Tiene un área grande de base
Desventajas
Utiliza mucho material en su construcción
No permite un anclaje seguro al piso
No se consigue una gran altura para el eslabón 1
Base Cilíndrica
Este modelo tiene como referencia que tiene las dos caras paralelas circulares,
de poca altura y buena fijación. (Fig. 4.6)
Figura 4.6. Base cilíndrica Fuente: Propia
Ventajas
Es una alternativa sencilla de construir.
Es más fácil anclar al piso.
Menor material que la solución anterior.
Desventajas
Si se quiere elevar más al eslabón 1 se gasta mucho material
76
Poco espacio para ubicar al servomotor
Base con tubo redondo
Esta alternativa tiene una base de área grande junto a un tubo redondo vertical.
(Fig. 4.7)
Figura 4.7. Base con tubo redondo Fuente: Propia
Ventajas
Permite mayor versatilidad del diseño.
Es más fácil anclar al piso.
Menor cantidad de material.
Se gana altura y hay espacio para el servomotor.
Desventajas
La construcción es un poco más dificultosa.
Junta 1
Para la junta rotatoria número 1, se decide ubicar un rodamiento de bolas, es la
opción más sencilla, ya que es un elemento normalizado, no hace falta diseñarlo y
cumple de manera satisfactoria la función que va a desempeñar.(Fig. 4.8)
77
Figura 4.8. Rodamiento Fuente: Propia
Eslabón1
Para el primer eslabón se presentan las siguientes alternativas
Eje con estrías
Se presenta una alternativa con un eje redondo y cambio de sección, radio de
acuerdo y dos estrías que servirán de guía para el siguiente módulo. (Fig. 4.9)
Figura 4.9. Eje con estrías Fuente: Propia
Ventajas
Permite mayor versatilidad del diseño.
Permite una buena unión al segundo módulo.
78
Menor cantidad de material.
Desventajas
La construcción es un poco más dificultosa.
Más detalles en el diseño.
Eje Cuadrado
Esta solución se hace mediante eje cuadrado, presenta un cambio de sección y
forma. (Fig. 4.10)
Figura 4.10. Eje cuadrado Fuente: Propia
Ventajas
No necesita añadir elementos para el acople.
Poca cantidad de material.
Desventajas
La construcción es dificultosa.
Cambio muy brusco de sección.
79
Eje Redondo
Esta solución se hace mediante eje redondo, puede tener o no un cambio de
sección. (Fig. 4.11)
Figura 4.11. Eje redondo Fuente: Propia
Ventajas
Muy sencillo de construir.
Poca cantidad de material.
Desventajas
Necesita elementos extras para el acople.
4.4.2. Alternativas módulo 1
Se va a realizar la combinación entre las soluciones de cada elemento antes
presentado para obtener las alternativas para el módulo 1. (Fig. 4.12)
Resultado de esta combinación se obtienen 3 alternativas de diseño para el mó-
dulo 1.
ALTERNATIVA 1
Como se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.13) el boceto de la alternativa
número 1 para el módulo 1.
80
Figura 4.12. Alternativas Módulo 1 Fuente: Propia
Figura 4.13. Alternativa 1 Fuente: Propia
ALTERNATIVA 2
Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.14) el boceto de la alternativa número 2
para el módulo 1.
81
Figura 4.14. Alternativa 2 Fuente: Propia
ALTERNATIVA 3
Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.15) el boceto de la alternativa número 3
para el módulo 1.
Figura 4.15. Alternativa 3 Fuente: Propia
4.4.3. Evaluación y selección de las alternativas
Los criterios con los cuales se va a escoger la alternativa adecuada para este
módulo son los siguientes:
Montaje, El mecanismo debe presentar facilidad de montaje.
Material, Se refiere a la cantidad de material que se usa en la construcción del
brazo.
Peso, El peso final de los mecanismos debe ser bajo.
82
Geometría, Se hace mención en cuanto a la forma que presente el elemento
y que esta permita ser construida de manera rápida y fácil.
En la siguiente tabla consta la evaluación de cada criterio para el módulo 1 (Tabla
4.3)
Tabla 4.3. Evaluación de criterios módulo 1
CRITERIO Montaje Material Precio Geometría Σ + 1 Ponderado
Montaje - 0.5 0.5 1.0 3.0 0.30
Material 0.5 - 0.5 0.5 2.5 0.25
Precio 0.5 0.5 - 0 2.0 0.20
Geometría 0 0.5 1.0 - 2.5 0.25
MONTAJE > MATERIAL = GEOMETRÍA > PRECIO
Evaluación de las alternativas respecto al Montaje (Tabla 4.4).
Tabla 4.4. Evaluación del criterio de montaje
MONTAJE Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 1.0 1.0 3.0 0.50
Alternativa 2 0 - 0.5 1.5 0.25
Alternativa 3 0 0.5 - 1.5 0.25
ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 2 = ALTERNATIVA 3
Evaluación de las alternativas respecto al Material (Tabla 4.5).
Tabla 4.5. Evaluación del criterio de material
MATERIAL Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 1 1 3 0.500
Alternativa 2 0 - 1 2 0.333
Alternativa 3 0 0 - 1 0.167
ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3
83
Evaluación de las alternativas respecto al Precio (Tabla 4.6).
Tabla 4.6. Evaluación del criterio de precio
PRECIO Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 0 0 1.0 0.166
Alternativa 2 1.0 - 0.5 2.5 0.416
Alternativa 3 1.0 0.5 - 2.5 0.417
ALTERNATIVA 2 = ALTERNATIVA 3 > ALTERNATIVA 1
Evaluación de las alternativas respecto a la Geometría (Tabla 4.7).
Tabla 4.7. Evaluación del criterio de geometría
GEOMETRÍA Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 1 1 3 0.500
Alternativa 2 0 - 0 1 0.166
Alternativa 3 0 1 - 2 0.334
ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 3 > ALTERNATIVA 2
En la siguiente tabla se presenta la conclusión de la evaluación de las alter-
nativas para el módulo 1, esto nos permitirá escoger una de las tres soluciones
planteadas. (Tabla 4.8)
Tabla 4.8. Conclusión evaluación de criterios módulo 1
CONCLUSIÓN Montaje Material Precio Geometría Σ Orden
Alternativa 1 0.150 0.125 0.033 0.125 0.4330 1
Alternativa 2 0.075 0.083 0.083 0.041 0.2833 2=3
Alternativa 3 0.075 0.041 0.083 0.083 0.2833 2=3
ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 2 = ALTERNATIVA 3
Por lo tanto la solución aceptada para este módulo es la ALTERNATIVA 1
84
4.4.4. Módulo 2: Junta prismática
Este es el segundo módulo del robot, aquí se van a presentar las alternativas
para junta rotatoria , junta prismática y los eslabones 2 y 3 del manipulador.
Junta rotatoria
Para la junta rotatoria se encuentran las siguientes alternativas:
Acople 1
Este modelo indica una junta abierta con alojamientos para rodamientos de igual
tamaño como se indica en la figura. (Fig. 4.16)
Figura 4.16. Acople para junta rotatoria Fuente: Propia
Ventajas
Es una alternativa sencilla de construir.
Usa menor cantidad de material.
Usa Rodamientos de igual tamaño.
Fácil montaje.
Desventajas
85
Se debe usar tolerancias adecuadas para el montaje.
Es abierto y no protege al servomotor.
Acople 2
Este modelo indica una junta cerrada con alojamientos para rodamientos de
distinto tamaño como se indica en la figura. (Fig. 4.17)
Figura 4.17. Acople cerrado para junta rotatoria Fuente: Propia
Ventajas
Protege a los elementos dentro de la junta.
Desventajas
Usa rodamientos de diferentes tamaños.
Utiliza mayor cantidad de material.
Montaje más complicado
Eslabón 2
Para el eslabón 2 se encuentran las siguientes alternativas:
Eje con estrías y cambio de sección
Este eje presenta un cambio de sección y dos estrías en su lado más delgado
para el posterior acople como se observa en la siguiente figura. (Fig. 4.18)
86
Figura 4.18. Eje con estrías y cambio de sección Fuente: Propia
Ventajas
Facilidad de montaje.
Se acopla a rodamientos de igual tamaño.
Desventajas
Mayor Cantidad de material.
Se debe calcular bien las tolerancias.
Eje con dos cambios de sección
Este eje presenta dos cambios de sección y dos estrías para el posterior acople
como se observa en la siguiente figura. (Fig. 4.19)
Figura 4.19. Eje con dos cambios de sección Fuente: Propia
Ventajas
Se puede desmontar más fácilmente.
Usa menor cantidad de material.
Más ligero.
87
Desventajas
Usa rodamientos de diferentes tamaños.
Se debe controlar mejor los cambios de sección.
Junta prismática
Para la junta prismática se desarrolló una única solución, que consta de una
guía para el eslabón mediante rodillos que limita los grados de libertad a uno solo.
Junta Prismática
Esta junta permite el movimiento únicamente lineal del eslabón número 3 y se
asegura el movimiento lineal mediante rodillos. (Fig. 4.20)
Figura 4.20. Junta prismática Fuente: Propia
Ventajas
Asegura el movimiento lineal.
Se acopla fácilmente al eslabón 2.
Desventajas
Usa bastante Material.
Usa muchos rodamientos.
88
Eslabón 3
A continuación se presentan dos soluciones para el tercer eslabón.
Eslabón vaciado
Se usa un eslabón vaciado de sección rectangular con alojamiento para la junta
precedente como se muestra en la figura (Fig. 4.21)
Figura 4.21. Eslabón vaciado Fuente: Propia
Ventajas
Usa menor cantidad de material
Es más ligero.
Protege al servomotor
Posee guías a los extremos
Desventajas
Dificultad de construcción.
Eslabón macizo
Se usa un eslabón macizo de sección rectangular con alojamiento para la junta
precedente como se muestra en la figura (Fig. 4.22)
Figura 4.22. Eslabón macizo Fuente: Propia
89
Ventajas
Más fácil de construir
Desventajas
No posee guías.
Utiliza mayor cantidad de material
Más pesado.
4.4.5. Alternativas módulo 2
Se va a realizar la combinación entre las soluciones de cada elemento antes
presentado para obtener las alternativas para el módulo 2. (Fig. 4.23)
Figura 4.23. Alternativas Módulo 2 Fuente: Propia
90
Resultado de esta combinación se tienen 3 alternativas de diseño para el módulo
2.
ALTERNATIVA 1
Como se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.24) el boceto de la alternativa
número 1 para el módulo 2.
Figura 4.24. Alternativa 1 Fuente: Propia
ALTERNATIVA 2
Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.25) el boceto de la alternativa número 2
para el módulo 2.
Figura 4.25. Alternativa 2 Fuente: Propia
ALTERNATIVA 3
Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.26) el boceto de la alternativa número 3
para el módulo 2.
91
Figura 4.26. Alternativa 3 Fuente: Propia
4.4.6. Evaluación y selección de las alternativas
Los criterios con los cuales se va a escoger la alternativa adecuada para este
módulo son los siguientes:
Montaje, El mecanismo debe presentar facilidad de montaje.
Material, Se refiere a la cantidad de material que se usa en la construcción del
brazo.
Peso, El peso final de los mecanismos debe ser bajo.
Construcción, Se hace mención en cuanto a la dificultad constructiva de cada
elemento
En la siguiente tabla consta la evaluación de cada criterio para el módulo 2.
(Tabla 4.9)
Tabla 4.9. Evaluación de criterios módulo 2
CRITERIO Montaje Material Peso Construcción Σ + 1 Pond.
Montaje - 0 1.0 1.0 3.0 0.30
Material 1.0 - 0.5 0.5 3.0 0.30
Peso 0 0.5 - 0 1.5 0.15
Construcción 0 0.5 1.0 - 2.5 0.25
MATERIAL > CONSTRUCCIÓN > MONTAJE > PESO
Evaluación de las alternativas respecto al Montaje (Tabla 4.10).
92
Tabla 4.10. Evaluación del criterio de montaje
MONTAJE Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 0 1 2 0.333
Alternativa 2 1 - 1 3 0.500
Alternativa 3 0 0 - 1 0.167
ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 3
Evaluación de las alternativas respecto al Material (Tabla 4.11).
Tabla 4.11. Evaluación del criterio de material
MATERIAL Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 0.5 1.0 2.5 0.416
Alternativa 2 0.5 - 1.0 2.5 0.416
Alternativa 3 0 0 - 1.0 0.167
ALTERNATIVA 1 = ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3
Evaluación de las alternativas respecto al Peso (Tabla 4.12).
Tabla 4.12. Evaluación del criterio de peso
PESO Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 0 0.5 1.5 0.250
Alternativa 2 1.0 - 0.5 2.5 0.416
Alternativa 3 0.5 0.5 - 2.0 0.334
ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3 > ALTERNATIVA 1
Evaluación de las alternativas respecto a la Construcción (Tabla 4.13).
Tabla 4.13. Evaluación del criterio de construcción.
CONSTRUCCIÓN Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 0 0 1 0.166
Alternativa 2 1 - 1 3 0.500
Alternativa 3 1 0 - 2 0.334
93
ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3 > ALTERNATIVA 1
En la siguiente tabla se presenta la conclusión de la evaluación de las alter-
nativas para el módulo 2, esto nos permitirá escoger una de las tres soluciones
planteadas. (Tabla 4.14)
Tabla 4.14. Conclusión evaluación de criterios módulo 2
CONCLUSIÓN Montaje Material Precio Geometría Σ Orden
Alternativa 1 0.1000 0.1250 0.0375 0.0416 0.3040 3
Alternativa 2 0.1500 0.1250 0.0625 0.1250 0.4625 1
Alternativa 3 0.0500 0.0500 0.0500 0.0833 0.2330 3
ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3
Por lo tanto la solución aceptada para este módulo es la ALTERNATIVA 2
4.4.7. Módulo 3: Actuador
Este es el último módulo en el que se va separar la construcción del robot, este
contiene los eslabones finales y las juntas de rotación finales.
Eslabón 4
Para el eslabón 4 se encuentran las siguientes alternativas:
Eje cuadrado
Este modelo de eje es de forma cuadrada con cambio de sección orificio, para
la junta de rotación tal como se ve en la siguiente figura. (Fig. 4.27)
Figura 4.27. Eje Cuadrado Fuente: Propia
94
Ventajas
Es una alternativa sencilla de construir
El cálculo del elemento es más sencillo
Desventajas
Utiliza mucho material en su construcción
No es muy estético
Brazos
Esta alternativa consta de dos brazos rectangulares equidistantes del eje central.
(Fig. 4.28)
Figura 4.28. Brazos rectangulares Fuente: Propia
Ventajas
Utiliza muy poco material.
Es estético.
Reduce el peso.
Desventajas
Más compleja su construcción.
95
Juntas de rotación
Rodamientos
Para este módulo como en en los anteriores se escoge como alternativa única
el uso de rodamientos de bolas para las juntas de rotación. (Fig. 4.8)
Eslabón 5
Eje rectangular
Como alternativa se presenta un eslabón rectangular con alojamientos para el
rodamiento y un pasador como se ve en la siguiente figura. (Fig. 4.29)
Figura 4.29. Eje rectangular Fuente: Propia
Ventajas
Facilidad de construcción.
Fácil montaje.
Desventajas
Se usa mucho material.
Muy pesado.
Forma C
Esta alternativa se presenta un eslabón con forma de C como se ve en la si-
guiente figura. (Fig. 4.30)
96
Figura 4.30. Eslabón C. Fuente: Propia
Ventajas
Utiliza muy poco material.
Permite alojar al servomotor.
Reduce el peso.
Facilidad de movimiento.
Desventajas
Más compleja su construcción.
Se deben calcular bien las tolerancias.
Eslabón 6
Pinza
Se presenta la alternativa de una pinza para el eslabón final. (Fig. 4.31)
Figura 4.31. Pinza Fuente: Propia
97
Ventajas
Facilidad de construcción.
Fácil montaje.
Desventajas
Utiliza mayor cantidad de material.
Eje Cilíndrico
Se presenta la alternativa de eje cilíndrico para el eslabón 6. (Fig. 4.32)
Figura 4.32. Eje cilíndrico Fuente: Propia
Ventajas
Facilidad de construcción.
Fácil montaje.
Menor cantidad de material.
Desventajas
No da muchas opciones de agarre.
4.4.8. Alternativas módulo 3
Se va a realizar la combinación entre las soluciones de cada elemento antes
presentado para obtener las alternativas para el módulo 3. (Fig. 4.33)
98
Figura 4.33. Alternativas Módulo 3 Fuente: Propia
Resultado de esta combinación se tienen 3 alternativas de diseño para el módulo
3.
ALTERNATIVA 1
Como se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.34) el boceto de la alternativa
número 1 para el módulo 3.
Figura 4.34. Alternativa 1 Fuente: Propia
ALTERNATIVA 2
Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.35) el boceto de la alternativa número 2
para el módulo 3.
99
Figura 4.35. Alternativa 2 Fuente: Propia
ALTERNATIVA 3
Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.36) el boceto de la alternativa número 3
para el módulo 3.
Figura 4.36. Alternativa 3 Fuente: Propia
4.4.9. Evaluación y selección de las alternativas
Los criterios con los cuales se va a escoger la alternativa adecuada para este
módulo son los siguientes:
Montaje, El mecanismo debe presentar facilidad de montaje.
Material, Se refiere a la cantidad de material que se usa en la construcción del
brazo.
Peso, El peso final de los mecanismos debe ser bajo.
Construcción, Se hace mención en cuanto a la dificultad constructiva de cada
elemento
100
En la siguiente tabla consta la evaluación de cada criterio para el módulo 3.
(Tabla 4.15)
Tabla 4.15. Evaluación de criterios módulo 3
CRITERIO Montaje Material Peso Construcción Σ + 1 Pond.
Montaje - 0 0 1.0 2.0 0.20
Material 1.0 - 0.5 1.0 3.5 0.35
Peso 1.0 0.5 - 0 2.5 0.25
Construcción 0 0 1.0 - 2.0 0.20
MATERIAL > PESO > MONTAJE = CONSTRUCCIÓN
Evaluación de las alternativas respecto al Montaje (Tabla 4.16).
Tabla 4.16. Evaluación del criterio de montaje
MONTAJE Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 1 1 3 0.500
Alternativa 2 0 - 1 2 0.334
Alternativa 3 0 0 - 1 0.167
ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3
Evaluación de las alternativas respecto al Material (Tabla 4.17).
Tabla 4.17. Evaluación del criterio de material
MATERIAL Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 0.5 1.0 2.5 0.416
Alternativa 2 0.5 - 1.0 2.5 0.416
Alternativa 3 0 0 - 1.0 0.167
ALTERNATIVA 1 = ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3
Evaluación de las alternativas respecto al Peso (Tabla 4.18).
101
Tabla 4.18. Evaluación del criterio de peso
PESO Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 0 1 2 0.333
Alternativa 2 1 - 0 2 0.333
Alternativa 3 0 1 - 2 0.333
ALTERNATIVA 1 = ALTERNATIVA 2 = ALTERNATIVA 3
Evaluación de las alternativas respecto a la Construcción (Tabla 4.19).
Tabla 4.19. Evaluación del criterio de construcción.
CONSTRUCCIÓN Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado
Alternativa 1 - 1 1 3 0.500
Alternativa 2 0 - 1 2 0.334
Alternativa 3 0 0 - 1 0.166
ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3
En la siguiente tabla se presenta la conclusión de la evaluación de las alter-
nativas para el módulo 2, esto nos permitirá escoger una de las tres soluciones
planteadas. (Tabla 4.20)
Tabla 4.20. Conclusión evaluación de criterios módulo 2
CONCLUSIÓN Montaje Material Precio Geometría Σ Orden
Alternativa 1 0.1000 0.1458 0.0830 0.1000 0.4291 1
Alternativa 2 0.0666 0.1458 0.0830 0.0660 0.3625 3
Alternativa 3 0.0330 0.0583 0.0830 0.0330 0.2038 2
ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 3 > ALTERNATIVA 2
Por lo tanto la solución aceptada para este módulo es la ALTERNATIVA 1
Después de haber escogido la selección adecuada para cada módulo e inte-
grando cada uno de ellos en una única solución para el Robot Stanford de 6 grados
102
de libertad se tiene la siguiente solución para la máquina.
ROBOT STANFORD
Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.37) el boceto de la máquina a ser dise-
ñada.
Figura 4.37. Robot Standford 6 GDL Fuente: Propia
Para facilitar la comprensión y la búsqueda de los elementos que se van a dise-
ñar posteriormente se presenta un gráfico (Fig. 4.38) con los elementos a diseñarse
y la ubicación de los mismos en el brazo manipulador.
4.5. Cálculo de los elementos del robot
Para el cálculo de los elementos del robot se va a hacer uso de dos fuen-
tes principales de bibliografía, el libro de Diseño de elementos de Máquinas de
Shigley(Budynas G., 2012) y el libro de Mecánica de Materiales de Gere(Gere,
2010), además se van a mantener constantes los siguientes valores a lo largo de
todo el proceso de cálculo de los elementos(MakerBot, 2012).
Material: PLA
Densidad en peso del PLA (γ): 12,5(kN/m3)
Esfuerzo de flexión del PLA (Sy): 60(MPa)
103
Factor de seguridad (FS): 3 en los elementos sin combinación de cargas.
Figura 4.38. Elementos a diseñarse Fuente: Propia
4.5.1. Cálculo del eslabón 6
Figura 4.39. DCL eslabón 6 Fuente: Propia
Este es el eslabón final del robot y el que va a estar en contacto con la carga, en
la siguiente figura (Fig. 4.38) se aprecia el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) para el
104
eslabón número 6.
El peso propio del elemento se calcula mediante la siguiente ecuación. (Ec. 4.1)
q = γA (4.1)
q = γ(πd2
4)
Donde:
q Carga distribuida del peso propio del elemento.
γ Densidad en peso del PLA.
A Área de la sección (circular).
El momento máximo se da en el lugar del empotramiento y se calcula de la
siguiente manera (Ec. 4.2):
ΣM = 0
M = PL+ qL2
2(4.2)
Mmax = PL+ γ(π ∗ d2
4)L2
2
Donde
P Es la carga que soportará el manipulador e igual a 1kg
L Es la longitud del claro del elemento con un valor de 40mm
d Es el diámetro mínimo de la sección circular del elemento y que será calculado
posteriormente.
Cálculo de la fuerza cortante en el extremo empotrado.
ΣFy = 0
105
V = P + qL (4.3)
Módulo de sección circular(Gere, 2010).
S =πd3
32(4.4)
Igualando momentos(Gere, 2010)
Mmax = σadm ∗ S (4.5)
Donde
σadm =Sy
FS= 20MPa (4.6)
Igualando ecuaciones (Ec. 4.4)(Ec. 4.5) y agrupando datos, tenemos lo siguien-
te:
σadmd3− 4γL2d2 −
32PL
π= 0 (4.7)
Asignando una longitud L = 40mm y resolviendo la ecuación anterior (Ec. 4.7)
se obtiene el diámetro mínimo para el eslabón número 6.
d = 0,005849m
d = 6mm
Para el cambio de sección de la pieza se debe calcular el diámetro mayor de
la sección. Los datos se hacen mediante la figura A-15-9 del libro de Shigley en la
página 1028(Budynas G., 2012).
Se escoge un radio de acuerdo de 1mm, el diámetro menor es d = 6mm y se
escoge un factor de corrección de sección muy bueno de Kt = 1,3
r
d=
1
6= 0,16 (4.8)
106
Con este último valor y la figura del libro de Shigley A-15-9 (Budynas G., 2012)
se halla la siguiente relación
D
d= 1,5 (4.9)
D = 1,5d = 9mm
4.5.2. Cálculo del eslabón 5
Para este eslabón se considera el siguiente DCL (Fig. 4.39), donde se van pa-
sando en cadena las cargas a cada elemento y poder calcular cada elemento como
si fuera un elemento individual. El peso del rodamiento es despreciable.
Figura 4.40. DCL eslabón 5 Fuente: Propia
Donde:
q1 Peso propio del eslabón 5.
W Peso del servomotor, equivalente a 50g
P1 Cargas resultantes del elemento anterior (eslabón 6).
M1 Momento debido al empotramiento.
V1 Fuerza cortante debido al empotramiento.
M Momento máximo que se transfiere desde el eslabón 6 a este elemento.
L Longitud del elemento y equivalente a 45mm
107
Se calcula la carga P1 (Ec. 4.10) que viene de la fuerza cortante del elemento
anterior mediante la siguiente ecuación.
P1 = P + qL = 9,82N (4.10)
El momento máximo se da en el lugar del empotramiento y se calcula de la
siguiente manera:
ΣM = 0
M1 = P1L+ q1bhL2
2+WL+M = Mmax (4.11)
Donde:
b Es la longitud de la base rectangular de la sección, su valor es de 25mm debido
al ancho que puede ocupar el servomotor.
h Es la longitud de la altura del rectángulo de la sección y la cual será calculada
posteriormente.
Módulo de sección rectangular(Gere, 2010)
S =bh2
6(4.12)
Se igualan las ecuaciones (Ec. 4.11) (Ec. 4.12) y agrupando datos se tiene:
Mmax = σadmS (4.13)
P1L+ q1bhL2
2+WL+M = σadm
bh2
6(4.14)
Se reemplaza valores y resolviendo la ecuación (Ec. 4.14) se obtiene el siguiente
resultado:
h = 0,00556m
h = 6mm
108
Se calcula la fuerza cortante V1 que se usará para el cálculo del siguiente ele-
mento mediante la ecuación que sigue:
V1 = τAL+W + P1 (4.15)
V1 = 10,84N
4.5.3. Cálculo del pasador 40
Ahora se va a realizar el cálculo del pasador que une al eslabón 5 con el eslabón
4, este elemento va a estar sometido a una combinación de cargas como se ve en
el DCL (Fig. 4.40). Por lo tanto se van a usar teorías de falla a carga estática para
el cálculo de las dimensiones de este elemento.
Figura 4.41. DCL pasador Fuente: Propia
Donde:
Ra Reacción en en el apoyo A.
Rb Reacción en en el apoyo B.
V1 Es la fuerza que se aplica del elemento anterior.
T Es el torque aplicado debido al momento del eslabón 5.
L Longitud del claro del elemento igual a 40mm.
109
Cálculo de las reacciones en los apoyos.
ΣFy = 0
V1 = Ra +Rb (4.16)
ΣMa = 0
V1L
2−RbL = 0 (4.17)
Se resuelve la ecuación (Ec. 4.17) y se tiene el resultado de la reacción Rb luego
se reemplaza en la ecuación anterior (Ec. 4.16) y se tiene el resultado de la reacción
Ra.
Ra = 5,42N
Rb = 5,42N
Para el cálculo del momento máximo en el elemento se usa la Tabla A-9 del
apéndice A del libro de Shigley(Budynas G., 2012), con lo cual se obtiene la si-
guiente fórmula.
Mmax = V1L
4(4.18)
Mmax = 0,06775Nm
El torque T es igual a al momento M1 del eslabón 5 y si se reemplazan valores
en la ecuación (Ec. 4.11) se tiene:
T = M1 = 2,717Nm
Ahora se hallan los esfuerzos normal y cortante(Budynas G., 2012) como sigue:
110
σx =32Mmax
πd3(4.19)
τxy =16T
πd3(4.20)
Se reemplazan valores en estas dos ecuaciones y se tiene:
σx =0,69
d3
τxy =13,8376
d3
Ahora se hallan los esfuerzos principales mediante las siguientes ecuaciones
(Budynas G., 2012).
σ1,2 =σx + σy
2±
√
(σxσy
2)2 + τ 2xy (4.21)
Si se reemplazan valores en estas ecuaciones (Ec. 4.19) (Ec. 4.20) se tiene los
dos esfuerzos principales como sigue:
σ1 =0,345
d3+ 13,8419
√
1
d6
σ2 =0,345
d3− 13,8419
√
1
d6
Se aplica la teoría de falla del esfuerzo cortante máximo para materiales dúctiles
y se tiene lo siguiente.
σ′ = σ1 − σ2 (4.22)
Finalmente se aplica la fórmula del factor de seguridad(Budynas G., 2012), que
en este caso va a ser igual a 2, se tiene la siguiente ecuación.
σ′ =Sy
FS(4.23)
FS =Sy
σ1 − σ2
(4.24)
111
Se reemplazan valores en esta ecuación (Ec. 4.21) y se resuelve para el diáme-
tro mínimo d se obtiene lo siguiente:
d = 0,0097m
d = 10mm
4.5.4. Cálculo del eslabón 4
Para este eslabón se considera el siguiente DCL (Fig. 4.41), donde se van pa-
sando en cadena las cargas a cada elemento y poder así calcular cada eslabón
como si fuera un elemento individual. El peso del pasador es despreciable, además
se va a hacer el cálculo para uno de los brazos ya que para el otro será idéntica su
forma de calcular.
Figura 4.42. DCL eslabón 4 Fuente: Propia
Donde:
q2 Peso propio del eslabón 4.
W1 Peso del servomotor equivalente a 50g.
P2 Cargas resultantes del elemento anterior (pasador 1) equivalente a 10,84N .
M3 Momento debido al empotramiento.
V3 Fuerza cortante debido al empotramiento.
112
M1 Momento máximo que se transfiere desde el pasador 1 a este elemento.
L Longitud del claro del elemento igual a 60mm
El momento máximo se da en el lugar del empotramiento y se calcula de la
siguiente manera, cabe mencionar que las fuerzas se distribuyen en los dos brazos
de igual manera y por esa razón se ponen la mitad de las cargas en el cálculo:
ΣM = 0
M3 =P2
2L+ q2bh
L2
2+
W1
2L+
M1
2= Mmax (4.25)
Donde:
b Es la longitud de la base rectangular de la sección, su valor es de 6mm.
h Es la longitud de la altura del rectángulo de la sección debido a la altura de los
rodamientos y su valor es de 25mm.
Módulo de sección rectangular(Gere, 2010)
S =bh2
6(4.26)
Se iguala ecuaciones (Ec. 4.25) (Ec. 4.26) y se agrupa los datos para obtener lo
siguiente:
Mmax = σadmS (4.27)
P2
2L+ q2bh
L2
2+
W1
2L+
M1
2= σadm
bh2
6(4.28)
Se reemplazan valores y se resuelve la ecuación (Ec. 4.28) para obtener el si-
guiente resultado:
Mmax = M3 = 1,7Nm
Con este valor y la ecuación siguiente podemos hallar el factor de seguridad con
el que estamos trabajando.
113
FS =Sy
Mmax
FS = 9
Ahora se van a calcular las reacciones en el apoyo, M4 y V4.
M4 = M3 + γAL2
2(4.29)
M4 = 3,2301Nm
V4 = P3 + γAL (4.30)
V4 = 11,8266N
4.5.5. Cálculo del eje de unión 1
Ahora se presenta el cálculo del eje circular que une al eslabón 4 con el eslabón
3 y su DCL (Fig. 4.42).
Figura 4.43. DCL eje Fuente: Propia
Donde:
q3 Carga distribuida del peso propio del elemento.
γ Densidad en peso del PLA.
A Área de la sección (circular).
114
P3 Es la sumatoria de las cargas que vienen del elemento anterior (eslabón 4) y el
peso del servomotor W2
W2 Peso del servomotor equivalente a 50g.
Se calcula la fuerza P4
P3 = V3 +W2 + q3L (4.31)
P3 = 11,8266N
El peso propio del elemento se calcula mediante la siguiente ecuación (Ec. 4.32).
q3 = γA (4.32)
q3 = γ(πd2
4)
El momento máximo se da en el lugar del empotramiento y se calcula de la
siguiente manera:
ΣM = 0
Mmax = P4L+ γ(π ∗ d2
4)L2
2+M3 (4.33)
Donde
L Es la longitud del claro del elemento con un valor de 10mm
d Es el diámetro mínimo de la sección circular del elemento y que será calculado
posteriormente.
Módulo de sección circular(Gere, 2010).
S =πd3
32(4.34)
Se iguala momentos(Gere, 2010)
115
Mmax = σadm ∗ S (4.35)
Donde
σadm =Sy
FS= 20MPa (4.36)
Se igualan las ecuaciones (Ec. 4.33) (Ec. 4.36) y se agrupan datos para obtener
lo siguiente:
P3L+ γ(π ∗ d2
4)L2
2+M3 = σadm ∗ S (4.37)
Se asigna una longitud L = 10mm y se resuelve la ecuación anterior. Se obtiene
el diámetro mínimo para el eje de unión 1.
d = 0,012m
d = 12mm
Se hallan las reacciones V4 y M4, el momento viene de la ecuación (Ec. 4.33),
por lo tanto los valores de estas dos reacciones será:
V4 = 11,83N
M4 = 3,23Nm
4.5.6. Cálculo del eslabón 3
Este eslabón tendrá una configuración de tubo cuadrado y su DCL se verá en la
figura siguiente (Fig. 4.43)
116
Figura 4.44. DCL eslabón 3 Fuente: Propia
Donde:
q4 Peso propio del eslabón 3.
W3 Peso del servomotor equivalente a 50g.
P4 Carga resultante del elemento anterior (eje de unión) el cual fue posteriormente
calculado.
M4 Carga resultante del elemento anterior (eje de unión) el cual fue posteriormente
calculado.
M5 Momento debido al empotramiento.
v5 Fuerza cortante debido al empotramiento.
El momento máximo se da en el lugar del empotramiento y se calcula de la
siguiente manera (Ec. 4.38):
ΣM = 0
Mmax = P4L+ γAL2
2+M4 +W3
L
2(4.38)
Donde
L Es la longitud del claro del elemento con un valor de 100mm
A Área de la sección de tubo rectangular.
117
El área de esta sección se calcula de la siguiente manera (Cándido, 2009) :
A = BH − bh
Donde:
B Medida de la base 25mm del rectángulo exterior.
H Dimensión de la altura 40mm del rectángulo exterior.
b Es la medida de la base del rectángulo interior y debe guardar la siguiente relación
con su altura:h
b=
5
8.
h Es la dimensión de la altura del rectángulo interior.
Módulo de sección de tubo rectangular (Cándido, 2009).
S =BH3
− bh3
6H(4.39)
Se usa la relación entre el momento máximo y el módulo de sección y se tiene
lo siguiente:
Mmax = σadm ∗ S (4.40)
Donde
σadm =Sy
FS= 20MPa (4.41)
El factor de seguridad tiene un valor de FS = 3.
Se reemplazan valores en la ecuación anterior (Ec. 4.40) y se tiene:
P4L+ γAL2
2+M4 +W3
L
2= σadm ∗ S (4.42)
Se resuelve la ecuación (Ec. 4.42) para la variable h y se tiene:
h = 0,023m
118
h = 23mm
b = 0,038m
b = 38mm
Cálculo de las cargas M5 y V5, siendo Mmax = M5.
M5 = 4,447Nm
V5 = P4 + γAL+W3 (4.43)
V5 = 12,5N
4.5.7. Cálculo de los ejes de la junta prismática
Se va a proceder a calcular los ejes que soportarán al eslabón 3 en la junta
prismática, se va hacer el cálculo para la posición más crítica que es los dos ejes
inferiores que se ubican de forma horizontal y se tomará esas dimensiones para
todo el resto de ejes de la junta, en la siguiente figura (Fig. 4.44) se observa el DCL
de uno de los ejes.
Figura 4.45. DCL ejes junta prismática Fuente: Propia
Donde:
119
Ra Reacción en en el apoyo A.
Rb Reacción en en el apoyo B.
V5 Es la fuerza que se aplica del elemento anterior.
L Longitud del elemento equivalente a 60mm.
Para el cálculo de las reacciones se sabe que por simetría de las fuerzas el valor
de cada una de ellas será:
Ra = Rb = V5/4 (4.44)
Ra = Rb = 3,125N
El cálculo del momento máximo para esta configuración de viga viene dado en
la Tabla A-9 del libro de Shigley (Budynas G., 2012)
Mmax =V5
2
L
4(4.45)
Mmax = 0,0625Nm
Se usa la relación con el módulo de sección:
Mmax = σadm ∗ S (4.46)
V5
2
L
4= σadm ∗ S (4.47)
Se resuelve esta ecuación (Ec. 4.47) y se encuentra el diámetro mínimo del eje.
d = 0,00392m
d = 4mm
120
4.5.8. Cálculo del eslabón 2
Ahora se presenta el cálculo para el eslabón 2, se va a calcular el elemento
para el punto crítico B tal como se ve en el DCL siguiente (Fig. 4.45), además, se
calculará el cambio de sección en el elemento.
Figura 4.46. DCL eslabón 2 Fuente: Propia
Donde:
Ra Reacción en en el apoyo A.
Rb Reacción en en el apoyo B.
P5 Es la fuerza que se aplica del elemento anterior.
T2 Es el torque aplicado debido al momento del eslabón 3.
L1 Longitud del claro del elemento desde el punto A hacia el B, igual a 50mm.
L2 Longitud del voladizo del elemento, igual a 30mm.
Cálculo de las reacciones:
ΣFy = 0
P5 = Ra +Rb (4.48)
P5 = V5 +Wp (4.49)
121
Donde Wp es el peso de la junta prismática, en este caso la consideramos des-
preciable pero si se trabajan con materiales más pesados es necesario tomarlo en
cuenta.
ΣMB = 0
RaL1 = P5(L1 + L2) (4.50)
P5 −Ra = Rb (4.51)
Se resuelve este sistema de ecuaciones (Ec. 4.50) (Ec. 4.51) y se tiene:
Ra = 20N
Rb = −7,5N
El signo negativo indica que se tomó mal el sentido de la fuerza Rb y el mismo
se ve en el DCL de la figura (Fig. 4.45).
Se realiza el análisis del punto crítico A, es decir del voladizo del elemento.
Se hallan los esfuerzos cortantes y normales del elemento:
σx =32Mmax
πd3(4.52)
τxy =16T2
πd3(4.53)
Ahora hallamos Mmax:
Mmax = P5L2 (4.54)
Ahora se debe modificar estos esfuerzos debido al cambio de sección del ele-
mento y después de un cálculo de prueba y error, se halla el Kt para este elemento y
este es igual a 1.4, la modificación a los esfuerzos se realiza de la siguiente manera.
122
σx = Kt(32Mmax
πd3) (4.55)
τxy = Kt(16T2
πd3) (4.56)
Luego de esto se hallan los esfuerzos principales con las ecuaciones siguientes:
σ1,2 =σx + σy
2±
√
(σxσy
2)2 + τ 2xy (4.57)
Se reemplazan valores en estas ecuaciones (Ec. 4.57) y se tienen los dos es-
fuerzos principales como sigue:
σ1 =5,34
d3+ 32,1466
√
1
d6
σ2 =5,34
d3− 32,1466
√
1
d6
Se aplica la teoría de falla del esfuerzo cortante máximo para materiales dúctiles
y se tiene lo siguiente.
σ′ = σ1 − σ2 (4.58)
Se aplica la fórmula del factor de seguridad(Budynas G., 2012), que en este
caso va a ser igual a 2 y se tiene la siguiente ecuación.
σ′ =Sy
FS(4.59)
FS =Sy
σ1 − σ2
(4.60)
Se remplaza valores en esta ecuación (Ec. 4.60) y si se resuelve para el diámetro
mínimo d se tiene lo siguiente:
d = 0,0147m
d = 15mm
123
Ahora mediante la Figura A-15-9 del Libro de Shigley(Budynas G., 2012) se
puede obtener el diámetro de la sección mayor del eje.
r
d=
1
15= 0,06 (4.61)
Kt = 1,4 (4.62)
D
d= 1,15 (4.63)
D = 1,5d = 17mm
4.5.9. Cálculo del eslabón 1
Este es el último elemento a calcularse del robot, aunque es el primer eslabón
en la cadena, a continuación se presenta su DCL (Fig. 4.46).
Figura 4.47. DCL eslabón 1 Fuente: Propia
124
Donde
P5 Es la fuerza que se aplica del elemento anterior.
M5 Es la momento que se aplica del elemento anterior.
V6 Es la fuerza que se aplica en el apoyo del elemento
M6 Es la momento que se aplica en el apoyo del elemento
L Longitud del claro del elemento, igual a 100mm.
Se calcula la fuerza P6 de la siguiente manera.
P6 = P5 +Wr +WE2 (4.64)
Siendo Wr el peso de la junta de rotación y WE2 el peso del eslabón 2 se tiene
que:
P5 = 13,5N
Ahora se halla el momento máximo que es el momento M6
M6 = M5 + P5L (4.65)
Se usa la fórmula del módulo de sección:
S =πd3
32(4.66)
Se igualan momentos(Gere, 2010)
Mmax = M5 + P5L (4.67)
Se llega a la siguiente ecuación.
M5 + P5L = σadmS (4.68)
Se reemplazan valores en esta ecuación (Ec. 4.68) y se tiene el valor del diáme-
tro mínimo d.
125
d = 0,014m
d = 14mm
Ahora se va a calcular el cambio de sección de este elemento con un factor de
cambio de sección Kt = 1,5
Mediante la Figura A-15-9 del Libro de Shigley(Budynas G., 2012) se puede obtener
el diámetro de la sección mayor del eje.
r
d=
1,2
14= 0,06 (4.69)
Kt = 1,5 (4.70)
D
d= 1,15 (4.71)
d = 12mm
Con esto se llega al final de los cálculos de los elementos del robot, no se pre-
senta un cálculo de las juntas 1, 2 y de la base debido a que estas fueron sobre-
dimensionadas en base a los resultados de los eslabones precedentes a las mis-
mas.
Ahora se presenta una tabla con las dimensiones de cada uno de los eslabones,
la misma puede ser usada en la sección 3 para las ecuaciones halladas en la mis-
ma.
En esta tabla (Tabla 4.21) por efectos de la notación de la sección 3, se denomi-
na di a la longitud de los eslabones, φi al diámetro de los eslabones y con las letras
B, b a las bases y H, h a las alturas de los rectángulos.
126
Tabla 4.21. Dimensiones de los eslabones.
Eslaboni di φi
1 100mm 14mm
2 80mm 15mm
3 100mm B = 25mm,H = 40mm
4 60mm b = 6mm,h = 21mm
5 45mm b = 25mm,h = 6mm
6 40mm 6mm
Se presentan un plano de conjunto del robot y todos los planos de taller de los
elementos no normalizados en la sección de ANEXOS del presente trabajo.
127
5. PROTOTIPADO RÁPIDO DEL ROBOT STANFORD
En este capítulo se van a encontrar las imágenes del prototipado rápido del bra-
zo manipulador, el cual fue hecho mediante el proceso de modelado por deposición
fundida (FDM) descrito en el capítulo 1 del presente trabajo.
Además cabe mencionar que el proceso de manufactura aditiva fue realizado
en la impresora Ultimaker Original+, y sus especificaciones son las siguientes (Fig.
5.1):
Figura 5.1. Especificaciones Ultimaker Original+ (Ultimaker, 2016)
5.1. Pototipado de los eslabones del brazo
5.1.1. Protipado del eslabón 6
Se presenta en la siguiente figura (Fig. 5.2) el resultado del prototipado del esla-
bón 6.
128
Figura 5.2. Prototipado eslabón 6 Fuente: Propia
5.1.2. Protitpado del eslabón 3
Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.3, 5.4) el resultado del prototipado
del eslabón 3.
Figura 5.3. Prototipado eslabón 3 Fuente: Propia
Figura 5.4. Prototipado eslabón 3, frontal Fuente: Propia
5.1.3. Prototipado del eslabón 2
Se presenta en la siguiente figura (Fig. 5.5) el resultado del prototipado del esla-
bón 2.
129
Figura 5.5. Prototipado eslabón 2 Fuente: Propia
5.1.4. Prototipado del eslabón 1
Se presenta en la siguiente figura (Fig. 5.6) el resultado del prototipado del esla-
bón 1.
Figura 5.6. Prototipado eslabón 1 Fuente: Propia
Las figuras de las eslabones 4 y 5 se presentan en las figuras de los ensambla-
jes.
5.2. Prototipado de las juntas y la base
5.2.1. Prototipado de la base
Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.7, Fig 5.8) el resultado del prototi-
pado de la Base.
130
Figura 5.7. Prototipado de la base Fuente: Propia
Figura 5.8. Prototipado de la base Fuente: Propia
5.2.2. Prototipado de la junta 1
Se presenta en la siguiente figura (Fig. 5.9) el resultado del prototipado de la
junta 1.
131
Figura 5.9. Prototipado de la junta 1 Fuente: Propia
5.2.3. Prototipado de la junta 2
Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.10, 5.11, 5.12) el resultado del pro-
totipado de la junta 2.
Figura 5.10. Prototipado de la junta 2 Fuente: Propia
132
Figura 5.11. Prototipado de la junta 2, lateral Fuente: Propia
Figura 5.12. Prototipado de la junta 2, superior Fuente: Propia
5.2.4. Prototipado de los ejes de la junta 2
Se presenta en la siguiente figura (Fig. 5.13) el resultado del prototipado de los
ejes de la junta 2.
133
Figura 5.13. Ejes junta 2 Fuente: Propia
5.3. Ensamblaje de los eslabones y juntas
5.3.1. Ensamblaje eslabones 2 y 3
Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.14, Fig. 5.15) el resultado del en-
samblaje de los eslabones 2 y 3.
Figura 5.14. Ensamblaje eslabón 2 y 3 Fuente: Propia
Figura 5.15. Ensamblaje eslabón 2 y 3 Fuente: Propia
5.3.2. Ensamblaje eslabones 2, 3 y 4
Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.16, Fig. 5.17) el resultado del en-
samblaje de los eslabones 2, 3 y 4.
Figura 5.16. Ensamblaje eslabón 2, 3 y 4. Fuente: Propia
134
Figura 5.17. Ensamblaje eslabón 2, 3 y 4 Fuente: Propia
5.3.3. Eensamblaje eslabones y juntas
En la figura (Fig. 5.18) se presenta el ensamblaje de las juntas normalizadas y
las diseñadas, están todos los elementos a excepción de la base y el eslabón 6.
Figura 5.18. Ensamblaje eslabones y juntas Fuente: Propia
5.3.4. Robot Stanford de 6 grados de libertad
En la figura (Fig. 5.19) se presenta el robot Stanford de 6 grados de libertad con
todas sus partes y piezas ya ensambladas.
Figura 5.19. Robot Stanford de 6 grados de libertad Fuente: Propia
135
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1. Conclusiones
Se presentan las ecuaciones dinámicas mediante el jacobiano de velocidad
y aceleración, además, se halló su inverso para tener como entradas a las
componentes en coordenadas rectangulares y polares. De esta manera se
puede transformar de un sistema a otro sin problemas.
Se concluye que la ingeniería concurrente permite un diseño integrado del
producto y su proceso de fabricación o prototipado. Con la ingeniería concu-
rrente se pueden hacer varias correcciones del modelo incluso antes de tener
el primer prototipo de la máquina a ser construida.
Se finalizó el diseño del Robot Stanford con la obtención de las dimensiones
de todos los eslabones que corresponden a: eslabón 1 (L = 100mm;φ =
14mm), eslabón 2 (L = 80mm;φ = 15mm), eslabón 3 (L = 100mm;B =
25mm;H = 40mm), eslabón 4 (L = 60mm; b = 6mm;h = 21mm), eslabón 5
(L = 45mm; b = 25mm;h = 6mm), eslabón 6 (L = 40mm;φ = 6mm) y las
juntas fueron sobre-dimensionadas debido a que soportan iguales cargas que
los elementos predecesores junta 1 (B = 34mm;H = 72mm; e = 60mm), junta
2 (B = 70mm;H = 47mm; e = 70mm), base (H = 100mm;φb = 100mm;φ =
22mm.
Se presenta un plano de conjunto del robot ubicado en una posición conve-
niente, que muestra el montaje de todos los elementos del robot y las respec-
tivas posiciones para ubicar los servomotores que permitirán el movimiento
automatizado en un posterior trabajo de investigación, además, se presentan
los planos de taller de todas las piezas con el uso de las normas del dibujo
mecánico.
En conclusión, los procesos de manufactura aditiva no permiten obtener di-
mensiones muy precisas de los elementos fabricados, por lo que se hace ne-
cesario recurrir a un post-maquinado para realizar el ensamble de las partes.
136
Sin embargo, si se realiza la fabricación de las piezas mediante maquinado de
precisión no se requiere un post-tratamiento de las piezas para su ensamblaje.
Se concluye que el prototipado rápido de las máquinas es un método fácil,
rápido y económico que permite comprobar que el diseño realizado sea fun-
cional, tal es el caso del manipulador que en este proyecto fue diseñado.
El presente proyecto entrega las ecuaciones de diseño del robot, las ecua-
ciones cinemáticas, dinámicas y un primer prototipo que puede ser usado
posteriormente para implementar un modelo definitivo e incluso con control
automático para este tipo de robot.
6.2. Recomendaciones
Sería de gran interés que se continúe con la investigación del presente pro-
yecto hasta llegar a un modelo definitivo y una función específica que pueda
ser también automatizada.
Es recomendable probar otras técnicas de prototipado rápido para analizar
cuál es la más conveniente en este tipo de proyectos.
Se recomienda trabajar en equipos multidisciplinarios para el desarrollo del
modelo final del presente trabajo.
Una recomendación importante es usar los catálogos de los elementos norma-
lizados para realizar correctamente los ajustes y montajes de estos elementos.
Se puede usar este prototipo sumado a anteriores proyectos de titulación para
empezar la implementación de un laboratorio de robótica en la Facultad de
Ingeniería Mecánica de la Escuela Politécnica Nacional.
El trabajo aquí realizado servirá a los alumnos de la Facultad de Ingeniería
Mecánica como guía en las materias de diseño y robótica ya que contiene
gran parte de los aspectos que se muestran en estas asignaturas.
137
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