Esponenziali e logaritmi
Corso di accompagnamento in matematica
Lezione 4
Sommario
1 La funzione esponenzialeProprietaGrafico
2 La funzione logaritmoGraficoProprieta
3 Equazioni / disequazioni esponenziali
4 Equazioni / disequazioni logaritmiche
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 2 / 25
La funzione esponenziale
Dato un numero reale a > 0, si dice funzione esponenziale in base ala funzione
x 7→ ax
Dominio e immagine
La funzione esponenziale x 7→ ax ha
dominio R
immagine (0,+∞)
Una funzione particolareHa un ruolo di spicco la funzione esponenziale in base e
y = ex
Visto che e ≈ 2, 718, la funzione esponenziale in base e ha uncomportamento intermedio fra quello delle funzioni esponenziali in base 2 ein base 3.
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 3 / 25
La funzione esponenziale
Dato un numero reale a > 0, si dice funzione esponenziale in base ala funzione
x 7→ ax
Dominio e immagine
La funzione esponenziale x 7→ ax ha
dominio R
immagine (0,+∞)
Una funzione particolareHa un ruolo di spicco la funzione esponenziale in base e
y = ex
Visto che e ≈ 2, 718, la funzione esponenziale in base e ha uncomportamento intermedio fra quello delle funzioni esponenziali in base 2 ein base 3.
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 3 / 25
La funzione esponenziale
Dato un numero reale a > 0, si dice funzione esponenziale in base ala funzione
x 7→ ax
Dominio e immagine
La funzione esponenziale x 7→ ax ha
dominio R
immagine (0,+∞)
Una funzione particolareHa un ruolo di spicco la funzione esponenziale in base e
y = ex
Visto che e ≈ 2, 718, la funzione esponenziale in base e ha uncomportamento intermedio fra quello delle funzioni esponenziali in base 2 ein base 3.
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 3 / 25
Richiami
se a = 1, si ottiene la funzione costante: 1x = 1
per ogni a > 0 e ogni x , y ∈ R
a0 = 1 a1 = a a−1 =1a
ax+y = axay (ax )y = axy
quindi (
1a
)x
= a−x
cioe il grafico di y = ax e simmetrico al grafico di y = (1a)
x rispettoall’asse y .
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 4 / 25
Grafico della funzione esponenziale
x
a
1
1(a) esponenziale in base a > 1
x
a1
1(b) esponenziale in base a < 1
∀ a > 0 il grafico passa attraverso i punti (0,1) e (1,a)
se a > 1, la funzione x 7→ ax e crescente
se a < 1, la funzione x 7→ ax e decrescente
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 5 / 25
Inversione
Data f (x) = ax con a > 0 reale e il numero reale positivo y0, siconsideri l’equazione ax = y0
Casia = 1l’equazione e risolta da ogni numero reale se y0 = 1, mentrenon ha soluzione per y0 6= 1
a 6= 1per ogni y0 > 0 l’equazione ha una e solo una soluzione x0, dettail logaritmo in base a di y0
Il secondo caso definisce,per ogni y0 ∈ (0,∞), una funzione:
y0 7→ loga y0
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 6 / 25
Inversione
Data f (x) = ax con a > 0 reale e il numero reale positivo y0, siconsideri l’equazione ax = y0
Casia = 1l’equazione e risolta da ogni numero reale se y0 = 1, mentrenon ha soluzione per y0 6= 1
a 6= 1per ogni y0 > 0 l’equazione ha una e solo una soluzione x0, dettail logaritmo in base a di y0
Il secondo caso definisce,per ogni y0 ∈ (0,∞), una funzione:
y0 7→ loga y0
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 6 / 25
Inversione
Data f (x) = ax con a > 0 reale e il numero reale positivo y0, siconsideri l’equazione ax = y0
Casia = 1l’equazione e risolta da ogni numero reale se y0 = 1, mentrenon ha soluzione per y0 6= 1
a 6= 1per ogni y0 > 0 l’equazione ha una e solo una soluzione x0, dettail logaritmo in base a di y0
Il secondo caso definisce,per ogni y0 ∈ (0,∞), una funzione:
y0 7→ loga y0
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 6 / 25
La funzione logaritmo
Dato un numero reale a > 0, a 6= 1, si dice logaritmo in base a lafunzione
x 7→ loga x
Dominio e immagineLa funzione logaritmo y = loga x ha
dominio (0,+∞)
immagine R
Una funzione particolareScegliendo e come base, si ha il cosidetto logaritmo naturale, che egeneralmente indicato con
y = ln x
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 7 / 25
La funzione logaritmo
Dato un numero reale a > 0, a 6= 1, si dice logaritmo in base a lafunzione
x 7→ loga x
Dominio e immagineLa funzione logaritmo y = loga x ha
dominio (0,+∞)
immagine R
Una funzione particolareScegliendo e come base, si ha il cosidetto logaritmo naturale, che egeneralmente indicato con
y = ln x
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 7 / 25
Grafico
xa1
1
(c) logaritmo in base a > 1
xa1
1
(d) logaritmo in base a < 1
Il grafico passa attraverso i punti (1, 0) , (a, 1) ,(
1a ,−1
)
se a > 1, la funzione e crescentente, negativa su (0, 1), positiva su(1,∞)
se a < 1, la funzione e decrescente, positiva su (0, 1), negativa su(1,∞)
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 8 / 25
Proprieta
Si considerino numeri reali positivi a 6= 1, x , y e sia z un altro numeroreale assegnato
loga xy = loga x + loga y
logaxy = loga x − loga y
loga xz = z loga x
Inoltre, se b e un numero reale positivo 6= 1, allora vale la formula delcambiamento di base per i logaritmi:
logb x =loga xloga b
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 9 / 25
Proprieta
Si considerino numeri reali positivi a 6= 1, x , y e sia z un altro numeroreale assegnato
loga xy = loga x + loga y
logaxy = loga x − loga y
loga xz = z loga x
Inoltre, se b e un numero reale positivo 6= 1, allora vale la formula delcambiamento di base per i logaritmi:
logb x =loga xloga b
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 9 / 25
Esponenziali e logaritmi
Il grafico di y = ax and y = loga x (stessa base) sono l’uno simmetricoall’altro rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Dunque, se il punto (p,q) appartiene al grafico della funzioneesponenziale, allora (q,p) appartiene al grafico della funzionelogaritmo.
SpiegazioneIl logaritmo e l’esponenziale soddisfano le relazioni seguenti:
aloga y0 = y0 ∀ y0 ∈ (0,+∞)
loga (ax0) = x0 ∀ x0 ∈ R
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 10 / 25
Equazioni esponenziali I
Tipo: af (x) = k con a > 0, a 6= 1 e k ∈ R
Soluzione: se k > 0, f (x) = loga k
se k ≤ 0, impossibile
Esempio
8 · 2x−1 − 2x+1 = 16
8 · 2x
2− 2 · 2x = 16
(4 − 2) · 2x = 16
2x = 8
x = 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 11 / 25
Equazioni esponenziali I
Tipo: af (x) = k con a > 0, a 6= 1 e k ∈ R
Soluzione: se k > 0, f (x) = loga k
se k ≤ 0, impossibile
Esempio
8 · 2x−1 − 2x+1 = 16
8 · 2x
2− 2 · 2x = 16
(4 − 2) · 2x = 16
2x = 8
x = 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 11 / 25
Equazioni esponenziali I
Tipo: af (x) = k con a > 0, a 6= 1 e k ∈ R
Soluzione: se k > 0, f (x) = loga k
se k ≤ 0, impossibile
Esempio
8 · 2x−1 − 2x+1 = 16
8 · 2x
2− 2 · 2x = 16
(4 − 2) · 2x = 16
2x = 8
x = 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 11 / 25
Equazioni esponenziali II
Tipo: af (x) = ag(x)
Soluzione: f (x) = g(x)
Esempio
22x2+x − 2x3+2x = 0
22x2+x = 2x3+2x
x(2x + 1) = x(x2 + 2)
x(−x2 + 2x − 1) = 0
x(
−(x − 1)2)
= 0
x = 0 o x = 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 12 / 25
Equazioni esponenziali II
Tipo: af (x) = ag(x)
Soluzione: f (x) = g(x)
Esempio
22x2+x − 2x3+2x = 0
22x2+x = 2x3+2x
x(2x + 1) = x(x2 + 2)
x(−x2 + 2x − 1) = 0
x(
−(x − 1)2)
= 0
x = 0 o x = 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 12 / 25
Equazioni esponenziali II
Tipo: af (x) = ag(x)
Soluzione: f (x) = g(x)
Esempio
22x2+x − 2x3+2x = 0
22x2+x = 2x3+2x
x(2x + 1) = x(x2 + 2)
x(−x2 + 2x − 1) = 0
x(
−(x − 1)2)
= 0
x = 0 o x = 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 12 / 25
Equazioni esponziali III
Tipo: af (x) = bg(x), b > 0, b 6= 1
Soluzione: usare bg(x) = ag(x)logab, poi applicare loga
Esempio
2x+1 = 51−x
2x+1 = 2(1−x) log2 5
x + 1 = (1 − x) log2 5
x(1 + log2 5) = log 5 − 1
x =log2 5 − 11 + log2 5
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 13 / 25
Equazioni esponziali III
Tipo: af (x) = bg(x), b > 0, b 6= 1
Soluzione: usare bg(x) = ag(x)logab, poi applicare loga
Esempio
2x+1 = 51−x
2x+1 = 2(1−x) log2 5
x + 1 = (1 − x) log2 5
x(1 + log2 5) = log 5 − 1
x =log2 5 − 11 + log2 5
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 13 / 25
Equazioni esponziali III
Tipo: af (x) = bg(x), b > 0, b 6= 1
Soluzione: usare bg(x) = ag(x)logab, poi applicare loga
Esempio
2x+1 = 51−x
2x+1 = 2(1−x) log2 5
x + 1 = (1 − x) log2 5
x(1 + log2 5) = log 5 − 1
x =log2 5 − 11 + log2 5
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 13 / 25
Equazioni esponenziali III
Un altro esempio2x+15x−1
3x = 2
2x+15x−1 = 2 · 3x
ln 2x + ln 5x−1 = ln 3x
x ln 2 + x ln 5 − x ln 3 = ln 5
x =ln 5
ln 2 + ln 5 − ln 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 14 / 25
Equazioni esponenziali III
Un altro esempio2x+15x−1
3x = 2
2x+15x−1 = 2 · 3x
ln 2x + ln 5x−1 = ln 3x
x ln 2 + x ln 5 − x ln 3 = ln 5
x =ln 5
ln 2 + ln 5 − ln 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 14 / 25
Equazioni esponenziali IV
Tipo: f (ax) = 0Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) = 0
Esempio
22−x − 23−x + 2x = 0
222−x − 232−x + 2x = 0
(22 − 23)2−x = −2x sostituzione: t = 2x
(22 − 23)/t = −t
t2 = (23 − 22) = 8 − 4 = 4 = 22
22x = 22
2x = 2
x = 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 15 / 25
Equazioni esponenziali IV
Tipo: f (ax) = 0Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) = 0
Esempio
22−x − 23−x + 2x = 0
222−x − 232−x + 2x = 0
(22 − 23)2−x = −2x sostituzione: t = 2x
(22 − 23)/t = −t
t2 = (23 − 22) = 8 − 4 = 4 = 22
22x = 22
2x = 2
x = 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 15 / 25
Equazioni esponenziali IV
Tipo: f (ax) = 0Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) = 0
Esempio
22−x − 23−x + 2x = 0
222−x − 232−x + 2x = 0
(22 − 23)2−x = −2x sostituzione: t = 2x
(22 − 23)/t = −t
t2 = (23 − 22) = 8 − 4 = 4 = 22
22x = 22
2x = 2
x = 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 15 / 25
Equazioni esponenziali IV
Tipo: f (ax) = 0Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) = 0
Esempio
22−x − 23−x + 2x = 0
222−x − 232−x + 2x = 0
(22 − 23)2−x = −2x sostituzione: t = 2x
(22 − 23)/t = −t
t2 = (23 − 22) = 8 − 4 = 4 = 22
22x = 22
2x = 2
x = 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 15 / 25
Disequazioni esponenziali
Tipo: af (x) > ag(x), a > 0, a 6= 1
Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x)se a < 1, f (x) < g(x)
Esempio(
(17
)x+1)x
> 149
(
17
)(x+1)x
>
(
17
)2
(x + 1)x < 2
x2 + x − 2 < 0
−2 < x < 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 16 / 25
Disequazioni esponenziali
Tipo: af (x) > ag(x), a > 0, a 6= 1
Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x)se a < 1, f (x) < g(x)
Esempio(
(17
)x+1)x
> 149
(
17
)(x+1)x
>
(
17
)2
(x + 1)x < 2
x2 + x − 2 < 0
−2 < x < 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 16 / 25
Disequazioni esponenziali
Tipo: af (x) > ag(x), a > 0, a 6= 1
Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x)se a < 1, f (x) < g(x)
Esempio(
(17
)x+1)x
> 149
(
17
)(x+1)x
>
(
17
)2
(x + 1)x < 2
x2 + x − 2 < 0
−2 < x < 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 16 / 25
Disequazioni esponenziali
Tipo: f (ax) > c
Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) > c
Esempio4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
22x − 2 · 2x − 3 ≤ 0 sostituzione t = 2x
t2 − 2t − 3 ≤ 0
−1 ≤ t ≤ 3
−1 ≤ 2x ≤ 3
x ≤ log2 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 17 / 25
Disequazioni esponenziali
Tipo: f (ax) > c
Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) > c
Esempio4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
22x − 2 · 2x − 3 ≤ 0 sostituzione t = 2x
t2 − 2t − 3 ≤ 0
−1 ≤ t ≤ 3
−1 ≤ 2x ≤ 3
x ≤ log2 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 17 / 25
Disequazioni esponenziali
Tipo: f (ax) > c
Soluzione: porre ax = t , quindi risolvere f (t) > c
Esempio4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
22x − 2 · 2x − 3 ≤ 0 sostituzione t = 2x
t2 − 2t − 3 ≤ 0
−1 ≤ t ≤ 3
−1 ≤ 2x ≤ 3
x ≤ log2 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 17 / 25
Equazioni logaritmiche
Tipo: loga f (x) = b con a > 0, a 6= 1 e b ∈ R
Soluzione: quando f (x) > 0, f (x) = ab
Attenzione
E sempre necessario determinare il dominio di esistenza,
dato che log e definita solo quando il suo argomento e strettamentepositivo
Esempio2 + log2 x = log2 7 D = (0,+∞)
log2 x = log2 7 − 2
x = 2log2 7−2
x =74
(valido, perche ∈ D)
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 18 / 25
Equazioni logaritmiche
Tipo: loga f (x) = b con a > 0, a 6= 1 e b ∈ R
Soluzione: quando f (x) > 0, f (x) = ab
Attenzione
E sempre necessario determinare il dominio di esistenza,
dato che log e definita solo quando il suo argomento e strettamentepositivo
Esempio2 + log2 x = log2 7 D = (0,+∞)
log2 x = log2 7 − 2
x = 2log2 7−2
x =74
(valido, perche ∈ D)
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 18 / 25
Equazioni logaritmiche
Tipo: loga f (x) = b con a > 0, a 6= 1 e b ∈ R
Soluzione: quando f (x) > 0, f (x) = ab
Attenzione
E sempre necessario determinare il dominio di esistenza,
dato che log e definita solo quando il suo argomento e strettamentepositivo
Esempio2 + log2 x = log2 7 D = (0,+∞)
log2 x = log2 7 − 2
x = 2log2 7−2
x =74
(valido, perche ∈ D)
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 18 / 25
Equazioni logaritmiche I
Esempiolog4(x + 6) + log4 x = 2 D = (0,+∞)
log4(x2 + 6x) = 2
x2 + 6x − 16 = 0
x =
{
−8 (non valida)
2
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 19 / 25
Equazioni logaritmiche II
Tipo: loga f (x) = loga g(x)
Soluzione: quando f (x) > 0 e g(x) > 0, f (x) = g(x)
Esempiolog2 x + log 1
2(x − 1) = 3 D = (1,+∞)
log2 x = log2(x − 1) + 3
2log2 x = 2log2(x−1)+3
x = (x − 1)23
x = 8x − 8
7x = 8
x =87
(ok)
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 20 / 25
Equazioni logaritmiche II
Tipo: loga f (x) = loga g(x)
Soluzione: quando f (x) > 0 e g(x) > 0, f (x) = g(x)
Esempiolog2 x + log 1
2(x − 1) = 3 D = (1,+∞)
log2 x = log2(x − 1) + 3
2log2 x = 2log2(x−1)+3
x = (x − 1)23
x = 8x − 8
7x = 8
x =87
(ok)
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 20 / 25
Equazioni logaritmiche II
Examplelog2(x + 1) = log4(2x + 5) D = (−1,+∞)
log2(x + 1) =log2(2x + 5)
log2 4
log2(x + 1) =12
log2(2x + 5)
log2(x + 1) = log2(2x + 5)12
x + 1 =√
2x + 5
x2 + 2x + 1 = 2x + 5
x2 − 4 = 0
x =
{
−2 (non valida)
2
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 21 / 25
Equazioni logaritmiche III
Tipo: f (loga x) = 0
Soluzioneution: porre loga x = t , quindi risolvere f (t) = 0
Esempio
log22 x − 2 log2 x − 3 = 0 D = (0,+∞)
log22 x − 2 log2 x − 3 = 0 sostituzione t = log2 x
t2 − 2t − 3 = 0
(t − 3) (t + 1) = 0
t = −1 o 3
log2 x = −1 o 3
x = 1/2 o x = 8
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 22 / 25
Equazioni logaritmiche III
Tipo: f (loga x) = 0
Soluzioneution: porre loga x = t , quindi risolvere f (t) = 0
Esempio
log22 x − 2 log2 x − 3 = 0 D = (0,+∞)
log22 x − 2 log2 x − 3 = 0 sostituzione t = log2 x
t2 − 2t − 3 = 0
(t − 3) (t + 1) = 0
t = −1 o 3
log2 x = −1 o 3
x = 1/2 o x = 8
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 22 / 25
Diseguaglianze logaritmiche I
Tipo: loga f (x) > loga g(x)
Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x);if a < 1, f (x) < g(x)
Esempiolog2 x − log2 3 < log2(x + 2) D = (0,+∞)
log2x3
< log2(x + 2)
x3
< x + 2
x > −3
e tenendo conto del dominio, la soluzione e x > 0
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 23 / 25
Diseguaglianze logaritmiche I
Tipo: loga f (x) > loga g(x)
Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x);if a < 1, f (x) < g(x)
Esempiolog2 x − log2 3 < log2(x + 2) D = (0,+∞)
log2x3
< log2(x + 2)
x3
< x + 2
x > −3
e tenendo conto del dominio, la soluzione e x > 0
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 23 / 25
Diseguaglianze logaritmiche I
Esempio
log2(x2 + 1) > log2(2x + 4) D = (−2,+∞)
log2(x2 + 1) > log2(2x + 4)
x2 + 1 > 2x + 4
x2 − 2x − 3 > 0
(x − 3)(x + 1) > 0
x < −1 o x > 3
e tenendo conto del dominio, la soluzione e −2 < x < −1 or x > 3
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 24 / 25
Disequazioni logaritmiche II
Tipo: f (log x) > cSoluzione: porre log x = t , quindi risolvere f (t) > c
Example
log32 x − 2 log2 x > 0 D = (0,+∞)
log32 x − 2 log2 x > 0 sostituzione t = log2 x
t3 − 2t > 0
t(t2 − 2) > 0
t >√
2 o −√
2 < t < 0
x > 2√
2 o 2−
√
2 < x < 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 25 / 25
Disequazioni logaritmiche II
Tipo: f (log x) > cSoluzione: porre log x = t , quindi risolvere f (t) > c
Example
log32 x − 2 log2 x > 0 D = (0,+∞)
log32 x − 2 log2 x > 0 sostituzione t = log2 x
t3 − 2t > 0
t(t2 − 2) > 0
t >√
2 o −√
2 < t < 0
x > 2√
2 o 2−
√
2 < x < 1
Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 25 / 25