Clase 5: Variables aleatorias continuas y funciones de
densidad de probabilidad. valor esperado de una variable
aleatoria (discreta y continua).
Lina Marıa Acosta Avena*
ASESORIAS: LUNES DE 4:00 pm - 6:00 pm. VIERNES DE
9:00 am - 11:00 am, B43-103
Escuela de Estadıstica
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellin
[email protected]*Estudiante de la Maestrıa en Ciencias Estadıstica
Estadıstica I.
1
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Una variable aleatoria se dice continua si el rango de dicha variable es un in-
tervalo o es la union de varios intervalos reales, acotados o no acotados. Por
ejemplo, medicion de la corriente de un alambre, longitud de partes desgas-
tados en una pieza, tiempo de duracion de una bombilla, tiempos de espera,
estatura, masa.
Estadıstica I.
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FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Definici on:Sea X una variable aleatoria continua. La funcion de densidad de probabilidad(f.d.p.) de X, denotada fX(x), es tal que
1. fX(x)≥ 0, −∞ < x< ∞
2.∫ +∞
−∞fX(x)dx= 1
3.
P(a≤ X ≤ b) = P(a≤ X < b) = P(a< X ≤ b)
= P(a< X < b) =∫ b
afX(x)dx
Estadıstica I.
3
FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Note en 2 que el area total bajo f (x) es uno. La probabilidad del intervalo
a≤ X ≤ b es el area acotada por la funcion de densidad y las rectas
X = a, X = b
Estadıstica I.
4
FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Definici on:La funcion de distribucion acumulada FX(x) de una variable aleatoria continua
X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algun x. Esto es,
FX(x) = P(X ≤ x) =∫ x
−∞fY(y)dy*
FX(x) es el area acotada por la funcion de densidad que se encuentra a la
izquierda de la recta X = x.
Graficamente esto es
*Y es una variable artificial de integracion
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Propiedades de FX(x)
1. 0≤ FX(x)≤ 1 ;∀x∈ R
2. l ımx→−∞
FX(x) = 0 y lımx→+∞
FX(x) = 1
3.
P(a< X < b) = P(a≤ X < b) = P(a< X ≤ b)
= P(a≤ X ≤ b) = FX(b)−FX(a)
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
4. ∂FX(x)∂x = fX(x)
5. P(X > a) = 1−FX(a)
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Ejemplo 1
Sea X una variable aleatoria continua.
(a) Determine el valor de k de tal manera que la funcion
fX(x) =
{
kx2 ,−1≤ x≤ 1
0 en otro caso.
sea la funcion de densidad de probabilidad de X.
(b) Determine la funcion de distribucion acumulativa de X y grafıquela.
(c) Calcular P(X ≥ 1/2) y P(−1/2≤ X ≤ 1/2)
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Sln:
(a)
1=∫ −1
−∞fX(x)dx+
∫ 1
−1fX(x)dx+
∫ +∞
1fX(x)dx
=∫ 1
−1(kx2)dx= k
∫ 1
−1x2dx
=k3
x3∣
∣
∣
∣
1
−1=
k3[13− (−1)3] =
23
k
por lo tanto k= 32, y ası
fX(x) =
{
32x2 ,−1≤ x≤ 1
0 ,en otro caso.
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
(b)
FX(x) =∫ x
−1
(
32
y2)
dy=32
∫ x
−1y2dy
=32
(
y3
3
)
∣
∣
∣
∣
x
−1=
12[x3− (−1)3]
=12(x3+1)
Ası
FX(x) =
0 ,x<−112(x
3+1) ,−1≤ x< 1
1 ,x≥ 1
Estadıstica I.
12
FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
(c) • P(X ≥ 1/2) Forma 1 (utilizando FX(x))
P(X ≥ 1/2) = 1−P(X < 1/2)
= 1−FX(1/2)
= 1−(1/2)3+1
2
= 1−916
=716
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Forma 2 (utilizando fX(x))
P(X ≥ 1/2) =∫ 1
1/2
(
32
x2)
dx=32
∫ 1
1/2x2dx
=32
(
x3
3
)
∣
∣
∣
∣
1
1/2=
12[13− (1/2)3]
=12(1−1/8) =
12(7/8)
=716
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
• P(−1/2≤ X ≤ 1/2) Forma 1 (utilizando FX(x))
P(−1/2≤ X ≤ 1/2) = FX(1/2)−FX(−1/2)
=(1/2)3+1
2−(−1/2)3+1
2
=1/8+1+1/8−1
2
=2/82
=18
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Forma 2 (utilizando fX(x))
P(−1/2≤ X ≤ 1/2) =∫ 1/2
−1/2
(
32
x2)
dx=32
∫ 1/2
−1/2x2dx
=32
(
x3
3
)
∣
∣
∣
∣
1/2
−1/2=
12[(1/2)3− (−1/2)3]
=12(1/8+1/8) =
12(2/8)
=18
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Ejemplo 2
Sea X la duracion en horas de cierto tipo de bombilla electrica. La f.d.p de X
esta dada por
fX(x) =
{
ax3 1500≤ x≤ 2500
0 en otro caso.
Calcule
(a) P(X ≤ 2000)
(b) P(X ≤ 2000|X ≥ 1800)
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Sln:
Primero hay que hallar el valor de la constante a.
Se sabe que ∫ +∞
−∞fX(x)dx= 1
entonces
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
1=∫ +∞
−∞fX(x)dx=
∫ 1500
−∞fX(x)dx+
∫ 2500
1500fX(x)dx+
∫ +∞
2500fX(x)dx
=∫ 2500
1500fX(x)dx=
∫ 2500
1500
a
x3dx= a∫ 2500
1500x−3dx
=−a
2x2
∣
∣
∣
∣
2500
1500=
a7031250
=⇒ a= 7031250
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
(a)
P(X ≤ 2000) = 703125∫ 2000
1500x−3dx
=−703125
2x2
∣
∣
∣
∣
2000
1500
=−703125
2
[
1
(2000)2−
1
(1500)2
]
= 0,6836
Estadıstica I.
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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
(b)
P(X ≤ 2000|X ≥ 1800) =P(1800≤ X ≤ 2000)
P(X ≥ 1800)
=703125
∫ 2000
1800x−3dx
703125∫ 2500
1800x−3dx
= 0,3945
Estadıstica I.
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VALOR ESPERADO
Definici on:Sea X una variable aleatoria (discreta o continua) con f.d.p fX(x) (p(x)). La
esperanza de X o valor esperado * de X, denotado como E[X] se define
como
E[X] =
∑x
xp(x) ,si X es discreta∫ +∞
−∞x fX(x)dx ,si X es continua
Este valor esperado es usualmente denotado µX o µ.
Cuando E[X]< ∞, se dice que la esperanza existe, no existe cuando la suma
o la integral no converge a un valor finito.
*Valor promedio de una v.a. despues de un numero grande de experimentos
Estadıstica I.
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VALOR ESPERADO
Propiedades del valor esperado:Sean a,b numeros reales y sea X una variable aleatoria (discreta o continua).
1. E[a] = a
2. E[aX+b] = aE[X]+b
3. Si g(X) es una funcion de X, entonces
E[g(X)] =
∑x
g(X)p(x) ,si X es discreta∫ +∞
−∞g(X) fX(x)dx ,si X es continua
Estadıstica I.
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VALOR ESPERADO
Definici on:Sea g(X) = (X−µX)
2. La varianza de X, la cual se denotara Var[X] o σ2X o
simplemente σ2, se define como
Var[X] = E[(X−µX)2] = E[X2]− (E[X])2
Estadıstica I.
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VALOR ESPERADO
Propiedades de la varianza:Sean a,b numeros reales y sea X una variable aleatoria (discreta o continua).
1. Var[X] = E[(X−µX)2] = E[X2]− (E[X])2
2. Var[a] = 0
3. Var[aX+b] = a2Var[X]
A la raız cuadrada de Var[X] se le llamara Desviaci on est andar de X y se
denotara σ
Estadıstica I.
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VALOR ESPERADO
Ejemplo 3
Sea X una variable aleatoria que representa el numero de clientes que llega
a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente informacion:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8p(x) 0,05 0,10 0,10 0,10 0,20 0,25 0,10 0,05 0,05
Encontrar E[X] y Var[X]
Estadıstica I.
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VALOR ESPERADO
Sln:
• E[X] =8∑
x=0xp(x) = 0(0,05)+1(0,10)+2(0,10)+3(0,10)+4(0,20)
+5(0,25)+6(0,10)+7(0,05)+8(0,06) = 4
• E[X2] =8∑
x=0x2p(x)=02(0,05)+12(0,10)+22(0,10)+32(0,10)+42(0,20)
+52(0,25)+62(0,10)+72(0,05)+82(0,06) = 20,1
=⇒Var[X] = E[X2]− (E[X])2 = 20,1−42 = 4,1
Estadıstica I.
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EJERCICIOS
1. El tiempo de espera de un cliente hasta ser atendido es una variable
aleatoria continua con f.d.p. dada por
fX(x) =
{
e−x ,x> 0
0 ,e.o.c.
(a) Halle FX(x). Rta:
FX(x) =
{
0 ,x≤ 0
1−e−x ,x> 0
(b) Calcule P(X < 1). Rta= 0,6321
Estadıstica I.
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EJERCICIOS
(c) Calcule P(1< X < 2) Rta= 0,2325
(d) Halle el valor de k tal que P(X < k) = 0,95. Rta= 2,9957
2. Sea X una v.a. continua cuya f.d.p es fX(x) = 3x2, 0 < x < 1, cero en
otro caso. Considere un rectangulo aleatorio cuyas caras son X y 1−X.
Determine el valor esperado del area del rectangulo.
Rta= 320
Estadıstica I.
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EJERCICIOS
3. La demanada semanal de gas propano (en miles de galones) de una dis-
tribuidora en particular es una v.a. X con f.d.p dada por
fX(x) =
{
2[
1− 1x2
]
,1≤ x≤ 2
0 ,e.o.c.
(a) Halle FX(x). Rta
FX(x) =
0 ,x< 1
2[
x2+1x −2
]
,1≤ x< 2
1 ,x≥ 2
Estadıstica I.
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EJERCICIOS
(b) Calcule E[X] y Var[X]. Rta= 1,61 y 0,0746
(c) Calcule g(X) = 1,5−X. Halle E[g(X)].
g(X) = 1,5−X puede verse como el remanente si no se recibe el nuevo
suministro.
Rta=−0,11, no se puede cubrir la demanada.
Estadıstica I.
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