Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 1
EXEMPLO 1.1EXEMPLO 1.1EXEMPLO 1.1EXEMPLO 1.1
Realizaram-se, no passado mês de Setembro de 2004, as
eleições para eleger o novo secretário-geral do Partido Socialista.
Sabemos que se apresentaram como candidatos José Sócrates, Manuel
Alegre e João Soares, que votaram 23433 militantes do partido e que o
vencedor foi José Sócrates. Suponhamos agora que os boletins de voto eram por ordem
de preferência, ou seja, que cada militante tinha três espaços para colocar por ordem da
sua preferência, os candidatos. Ora, como se candidataram três pessoas à referida
eleição, existem 3! = 6 boletins de voto diferentes:
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: João Soares
2º opção: José Sócrates
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: José Sócrates
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: João Soares
3º opção: José Sócrates
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: João Soares
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: José Sócrates
Figura 1.1: Os 6 boletins de voto por ordem de preferência possíveis para a eleição do Secretário-geral
do Partido Socialista
Consideremos agora a seguinte situação hipotética: Na distrital socialista de
Coimbra existem 15 militantes. Todos eles participaram no escrutínio em questão, e os
resultados obtidos foram os seguintes:
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Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: João Soares
2º opção: José Sócrates
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: José Sócrates
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: José Sócrates
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
Figura 1.2: Boletins de voto por ordem de preferência, obtidos após o acto eleitoral na distrital de
Coimbra.
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Analisando a Figura 1.2 verificamos que há muitas repetições entre os boletins de
voto preenchidos, ou seja, diferentes militantes colocaram os candidatos exactamente da
mesma forma. Como já referimos, uma forma lógica de organizar os boletins é agrupar
os que são iguais, e isso conduz-nos ao agrupamento feito na figura 1.3. e seguidamente
à tabela 1.1.
Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
1º opção: João Soares
2º opção: José Sócrates
3º opção: Manuel Alegre
Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
3º opção: Manuel Alegre
1º opção: Manuel Alegre
2º opção: José Sócrates
3º opção: João Soares
Figura 1.3: Os distintos boletins de voto obtidos.
Número de votos
9 3 2 1
1ª opção José Sócrates José Sócrates Manuel Alegre João Soares
2ª opção Manuel Alegre João Soares José Sócrates José Sócrates
3ª opção João Soares Manuel Alegre João Soares Manuel Alegre
Tabela 1.1
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EXEMPLO 1.2EXEMPLO 1.2EXEMPLO 1.2EXEMPLO 1.2
Recorrendo ao exemplo anterior, consideremos novamente o seguinte boletim de voto:
Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: Manuel Alegre
3º opção: João Soares
Figura 1.4 – Exemplo de um boletim de voto para a suposta eleição do Secretário-geral do PS.
Suponhamos que depois dos boletins de voto estarem preenchidos, Manuel
Alegre desistiu da competição. Assim, o boletim de voto tomaria a forma abaixo
representada:
Boletim de Voto
1º opção: José Sócrates
2º opção: João Soares
Figura 1.5 – Transformação do boletim de voto da Figura 1.6 após Manuel Alegre desistir da sua
candidatura.
Deduzimos assim que a posição relativa dos restantes candidatos não é afectada:
José Sócrates permanece na primeira opção e João Soares move-se da terceira para a
segunda posição.
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EXEMPLO 1.3EXEMPLO 1.3EXEMPLO 1.3EXEMPLO 1.3
Há alguns anos a televisão portuguesa começou a ser invadida por uma grande
quantidade de programas, conhecidos por muitos pela falta de qualidade, mas que são
líderes de audiência! Recentemente surgiu mais um destes programas: A Quinta das
Celebridades.
Neste programa entram dentro de uma quinta doze
concorrentes, supostamente conhecidos na sociedade, os
quais têm como objectivo permanecer nessa mesma quinta,
sem contacto com a realidade exterior, o máximo de tempo.
Todas as semanas é expulso um concorrente e o último será o vencedor. Semanalmente
quer os concorrentes, quer o “grande público” nomeiam para sair, dois dos residentes da
quinta. Posteriormente o “grande público” vota novamente, mas agora para expulsar um
dos 4 ou mais ( em caso de empates ) nomeados.
Admitamos que numa dada semana estão nomeados para sair os seguintes
concorrentes:
Fátima Preto
(F)
Alexandre Frota
(A)
Pedro Camilo
(PC)
Paula Coelho
(P)
José Castelo Branco
(J)
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Suponhamos ainda que para expulsar um concorrente da quinta, basta aceder à
página do programa na Internet e preencher um boletim de voto por ordem de
preferência. Nesse boletim cada elemento do “grande público” coloca por ordem de
preferência os nomes de todos os concorrentes nomeados, começando pelo que prefere
que saia da quinta nessa semana e terminando naquele que gostaria que permanecesse.
Admitamos que a lista de preferências para a votação de quem vai sair da quinta
numa dada semana é a seguinte:
Tabela 1.2
Quando aplicamos o método da pluralidade ao exemplo da “Quinta das
Celebridades” obtemos:
O Alexandre conseguiu 10000 votos em primeiro lugar.
A Fátima conseguiu 18000 votos em primeiro lugar.
O José Castelo Branco conseguiu 12000 votos em primeiro lugar.
O Pedro Camilo conseguiu 9000 votos em primeiro lugar.
A Paula Coelho conseguiu 6000 votos em primeiro lugar.
Neste caso o resultado da eleição é claro:
A Fátima Preto vai ser expulsa.
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
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EXEMPLO 1.4EXEMPLO 1.4EXEMPLO 1.4EXEMPLO 1.4
Depois de terminada a fase final do Euro
2004, a UEFA decidiu atribuir o prémio “fair play”
à selecção mais bem comportada, durante a sua
participação, no referido evento tendo em conta os
seguintes parâmetros. Suponhamos que: numa
primeira fase a UEFA fez uma sondagem, ao público europeu em geral, no sentido de
eleger os 5 países mais bem comportados e posteriormente constituiu um júri com 150
elementos (representantes das federações dos vários países intervenientes) no intuito de
ordenar esses 5 países, em função do seu comportamento. Cada elemento do júri votou,
dispondo os 5 países pela sua ordem de preferência ou seja, do país que segundo o seu
ponto de vista foi o mais bem comportado, para o menos bem comportado. A lista de
preferências que fornece o resultado da votação está exposta na tabela seguinte:
Número de votos 72 70 8
1º opção República Checa Holanda Inglaterra
2º opção Holanda Suécia Holanda
3º opção Inglaterra França Suécia
4º opção França Inglaterra França
5º opção Suécia República Checa República Checa
Tabela 1.3
Se fosse utilizado o método da pluralidade a selecção mais bem comportada
seria a República Checa, com 72 votos em primeiro lugar. Mas notemos que a Holanda
tem 70 votos em primeiro lugar e 80 em segundo. O senso comum diz-nos que a
Holanda é uma melhor escolha para expressar o desejo de todos os elementos do júri.
De facto, comparando a Holanda, par a par, com todas as outras selecções, ela é sempre
a escolha favorita. Vejamos, comparando a Holanda com a República Checa temos 78
votos para a Holanda (70 da segunda coluna e 8 da terceira) contra 72 votos para a
República Checa. Do mesmo modo, comparando a Holanda com a Inglaterra resulta 142
votos para a Holanda (72 da primeira coluna e 70 da segunda) e 8 para a Inglaterra.
Finalmente quando a Holanda é comparada com qualquer uma das restantes selecções
obtém 150 votos.
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EXEMPLO 1.5EXEMPLO 1.5EXEMPLO 1.5EXEMPLO 1.5
Durante a última legislatura em que
António Guterres foi Primeiro-ministro de
Portugal, verificou-se uma situação muito
particular na disposição dos deputados na
Assembleia da República: 115 deputados
pertenciam ao partido do Governo e os outros 115
aos partidos que compunham a oposição.
No decorrer do ano 2000, José Daniel Rosas Campelo da Rocha, na altura
deputado do CDS/PP (partido da oposição), pelo círculo de Viana do Castelo, fez uma
greve de fome durante duas semanas, nos próprios corredores da Assembleia da
República, em protesto contra a decisão do Governo de transferir a fábrica de queijo
Limiano para Vale de Cambra.
Em Novembro desse mesmo ano, decorreu a votação
para o Orçamento de Estado de 2001. Habitualmente neste
género de votações os deputados estão obrigatoriamente sujeitos
à disciplina partidária. E se assim acontecesse, como a oposição
pretendia votar contra, o Orçamento não passaria. Mas Daniel
Campelo, forte defensor dos interesses do seu concelho, acordou com o Governo que se
absteria se fossem concedidos alguns benefícios para a sua região (tais como, a
construção de várias estradas e vias rápidas, investimentos nos portos e no sector da
saúde, apoios à construção de uma nova fábrica de queijo Limiano). Deste modo o
Governo teria a maioria e o Orçamento de Estado passaria. Assim foi.
Como Daniel Campelo pertencia ao CDS/PP
deduzimos que concordava com os princípios desse mesmo
partido, ou seja, seguindo as suas crenças votaria contra o Orçamento de Estado. Isto
significa que ele alterou o seu voto para influenciar o resultado da eleição, ou seja, fez
uma votação estratégica.
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EXEMPLO 1.6EXEMPLO 1.6EXEMPLO 1.6EXEMPLO 1.6
A tabela que abaixo apresentamos mostra, em cada coluna,
os valores da pontuação de cada concorrente nomeado,
baseada no processo que atrás apresentámos: uma vez que
existem 5 candidatos, o primeiro lugar merece 5 pontos, o
segundo merece 4, o terceiro 3, o quarto 2 e finalmente o
quinto merece apenas 1 ponto.
Número de
votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção:
5 pontos
F:
5x18000
J:
5x12000
A:
5x10000
PC:
5x9000
P:
5x4000
P:
5x2000
2º opção:
4 pontos
PC:
4x18000
P:
4x12000
J:
4x10000
A:
4x9000
J:
4x4000
A:
4x2000
3º opção:
3 pontos
P:
3x18000
PC:
3x12000
P:
3x10000
P:
3x9000
PC:
3x4000
PC:
3x2000
4º opção:
2 pontos
A:
2x18000
A:
2x12000
PC:
2x10000
J:
2x9000
A:
2x4000
J:
2x2000
5º opção:
1 ponto
J
1x18000
F:
1x12000
F:
1x10000
F:
1x9000
F:
1x4000
F:
1x2000
Tabela 1.4
De forma sistemática, obtemos:
Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total
F 90000+12000+10000+9000+4000+2000 127000
J 18000+60000+40000+18000+16000+4000 156000
A 36000+24000+50000+36000+8000+8000 162000
PC 72000+36000+20000+45000+12000+6000 191000
P 54000+48000+30000+27000+20000+10000 189000
Tabela 1.5
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 10
Concluímos então que, pela aplicação do método da Contagem
de Borda, será o Pedro Camilo que abandonará a Quinta das
Celebridades na semana em questão.
EXEMPLO 1.7EXEMPLO 1.7EXEMPLO 1.7EXEMPLO 1.7
Todos os dias somos confrontados com a “guerra das audiências” entre os quatro
canais generalistas da televisão Portuguesa. Suponhamos que os estudantes de
Jornalismo da Faculdade de Letras da Universidade de Coimbra decidiram levar a cabo
uma pesquisa, no sentido de avaliar as preferências da população universitária, no que
respeita a este assunto. Para tal, abordaram 39 alunos e pediram-lhes que ordenassem
por ordem de preferências os 4 canais: RTP1, 2:, SIC, TVI. O resultado da votação foi o
seguinte:
Tabela 1.6
Número de votos 20 15 4
1º opção TVI SIC RTP1
2º opção SIC RTP1 2 :
3º opção RTP1 2: SIC
4º opção 2: TVI TVI
Teoria das Eleições
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Utilizando o método de contagem de Borda, obtiveram a pontuação expressa na
tabela seguinte:
Tabela 1.7
Simplificando temos,
Tabela 1.8
Concluíram assim que, pelo método de contagem de Borda, a SIC é o canal
preferido dos estudantes de Coimbra. Embora, o critério da maioria diga que a TVI é a
estação predilecta. Além disso também pelo Critério ganhador de Condorcet deveria ser
a TVI a ganhar pois ela vence nas comparações par a par com todos os outros
candidatos, por 20-19.
Número de votos 20 15 4
1º opção: 4 pontos TVI: 4x20 SIC: 4x15 RTP1: 4x4
2º opção: 3 pontos SIC: 3x20 RTP1: 3x15 2: : 3x4
3º opção : 2 pontos RTP1 : 2x20 2: : 2x15 SIC: 2x4
4º opção: 1 ponto 2: : 1x20 TVI: 1x15 TVI: 1x4
Estações de Televisão Pontuação discriminada Pontuação Total
TVI 80+15+4 99
RTP1 40+45+16 101
SIC 60+60+8 128
2: 20+30+12 62
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 12
EXEMPLO 1.8EXEMPLO 1.8EXEMPLO 1.8EXEMPLO 1.8
O Gabinete de informação de uma dada estação de televisão, decidiu constituir um
júri para avaliar, em vários aspectos, as seguintes rádios: Antena 3 (A), RFM,
Comercial (C), Cidade (RC) e TSF. O objectivo é identificar a rádio que melhor satisfaz
as necessidades dos ouvintes no que respeita a serviços noticiosos, entretenimento,
passatempos, música entre outros. Consideremos que o júri é composto por 9 elementos
e que estes decidiram votar por ordem de preferência as rádios, usando como método de
votação o método de Copeland. A tabela de preferências é:
Tabela 1.9
Depois de efectuadas as comparações obtemos o seguinte:
- A: 3-1=2;
- RFM: 2-2=0;
- C: 2-2=0;
- RC: 2-2=0;
- TSF: 1-3=-2.
Número de votos 1 4 1 3
1º opção A C TSF TSF
2º opção RFM RC A A
3º opção C RFM RC RFM
4ª opção RC TSF RFM RC
5ªopção TSF A C C
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 13
Desta forma, segundo o método de Copeland, ganha a Antena 3. Referimos
apenas, que a TSF é a pior classificada.
Apliquemos agora a este exemplo o Método da contagem de Borda:
Tabela 1.10
Simplificando temos,
Tabela 1.11
Por sua vez o método de Contagem de Borda dita como vencedora a TSF, sendo a
Antena 3 a pior classificada.
Número de votos 1 4 1 3
1º opção: 5 pontos A: 1x5 C: 4x5 TSF: 1x5 TSF:3x5
2º opção: 4 pontos RFM: 1x4 RC: 4x4 A: 1x4 A: 3x4
3º opção : 3 pontos C: 1x3 RFM: 4x3 RC: 1x3 RFM: 3x3
4ª opção: 2 pontos RC : 1x2 TSF: 4x2 RFM: 1x2 RC: 3x2
5ª opção: 1 ponto TSF : 1x1 A: 4x1 C: 1x1 C: 3x1
Rádios Pontuação discriminada Pontuação Total
A 5+4+4+12 25
RFM 4+12+2+9 27
C 3+20+1+3 27
RC 2+16+3+6 27
TSF 1+8+5+15 29
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Fundamentos e Ensino da Álgebra 14
EXEXEXEXEMPLO 1.EMPLO 1.EMPLO 1.EMPLO 1.9999
Aplicação do método da pluralidade com eliminação no
exemplo da “Quinta das Celebridades”.
1º Passo:
Tabela 1.12
Uma vez que nenhum dos concorrentes tem a maioria ( no mínimo metade mais
um ou seja pelo menos 27501) dos votos em primeiro lugar, vamos eliminar o
concorrente com menor número de votos em primeiro lugar isto é vamos eliminar a
Paula Coelho.
2º Passo:
Uma vez que a Paula Coelho foi eliminada, todos os concorrentes abaixo dela
sobem um degrau, logo José Castelo Branco ficará com mais 4000 votos em primeiro
lugar, e o Alexandre Frota com mais 2000. Agrupamos os boletins que ficaram iguais
depois da eliminação da Paula Coelho e obtemos a tabela seguinte:
Tabela 1.13
Concluímos, através dessa mesma tabela que o Pedro Camilo será eliminado.
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Número de votos 18000 16000 10000 9000 2000
1º opção F J A PC A
2º opção PC PC J A PC
3º opção A A PC J J
4º opção J F F F F
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 15
3º Passo:
Prosseguindo da mesma forma, verificámos que o Alexandre Frota fica com mais
9000 votos em primeiro lugar. Voltámos a organizar os dados e obtivemos a tabela
seguinte:
Tabela 1.14
É fácil verificar que José Castelo Branco será eliminado, pois é o concorrente com
menos votos em primeiro lugar.
4º Passo:
Finalmente, excluímos José Castelo Branco e obtivemos a tabela que se segue:
Tabela 1.15
Daqui concluímos que Alexandre Frota será expulso, pois é ele
que tem a maioria dos votos em primeiro lugar.
Então, segundo o método da pluralidade com eliminação, Alexandre Frota
abandonará, na semana em questão, a “quinta mais vigiada de Portugal”.
Número de votos 18000 16000 21000
1º opção F J A
2º opção A A J
3º opção J F F
Número de votos 18000 37000
1º opção F A
2º opção A F
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 16
EXEMPLO 1.10EXEMPLO 1.10EXEMPLO 1.10EXEMPLO 1.10
Bastante tempo antes de se realizarem os Jogos Olímpicos
é necessário escolher qual a cidade onde se realizará este evento.
Essa é uma eleição que levanta muitas controvérsias pois provoca
grandes alterações no desenvolvimento da cidade, quer a nível
económico quer a nível político. Os eleitores são os membros do
Comité Olímpico Internacional e o método actualmente utilizado
é o método da pluralidade com eliminação com uma pequena
alteração. Essa alteração consiste no facto de que cada eleitor apresenta as suas
preferências em cada ronda em vez de as mostrar ordenadas, todas de uma só vez.
Suponhamos que para a organização dos Jogos Olímpicos de Verão 2004
concorreram três cidades: Beijing (China), Atenas (Grécia), Istambul (Turquia) e que
eram 29 os membros do Comité Internacional Olímpico. Além disso, vamos utilizar o
método da pluralidade com eliminação sem a pequena alteração utilizada na realidade.
Admitamos agora que dois dias antes da eleição se efectuou uma sondagem
apenas para analisar as tendências da votação. Os resultados dessa sondagem são
apresentados na tabela seguinte:
Tabela 1.16
Número de votos 7 8 10 4
1º opção I A B I
2º opção A B I B
3º opção B I A A
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 17
Utilizando o método da pluralidade com eliminação verificaremos quem será o
vencedor desta sondagem.
1º Passo:
Tabela 1.17
Atenas é a cidade com menos votos em primeiro lugar, logo será a eliminada.
2º Passo:
Como Atenas foi eliminada os 8 votos que no primeiro passo lhe pertenciam
passam para Beijing. Temos então,
Tabela 1.18
Encontramos um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar: Beijing é
a cidade vencedora desta sondagem.
Admitamos que a divulgação da referida sondagem influenciará alguns eleitores a
alterar a sua tendência de voto. Suponhamos que os 4 eleitores da última coluna da
tabela 1.16 decidem alterar os seus votos, pondo em primeiro lugar Beijing em vez de
Istambul.
Eis que o grande dia chegou! O Comité Olímpico foi a votos e os resultados da
eleição são os apresentados na tabela seguinte:
Tabela 1.19
Candidatos B I A
Número de votos em primeiro lugar 10 11 8
Candidatos B I A
Número de votos em primeiro lugar 18 11
Número de votos 7 8 14
1º opção I A B
2º opção A B I
3º opção B I A
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 18
Vamos agora aplicar o método da pluralidade com eliminação aos resultados
apresentados nesta tabela:
1º Passo:
Tabela 1.20
Istambul é a cidade com menos votos em primeiro lugar logo será eliminada.
2º Passo:
Sendo Istambul eliminada, os 7 votos que lhe pertenciam passam para Atenas.
Originando uma nova tabela.
Tabela 1.21
Atenas é a cidade vencedora da eleição pois é a que tem mais votos em primeiro
lugar.
É um facto bastante estranho não ser Beijing a vencedora. Se
repararmos a única alteração que ocorreu da sondagem para a eleição
oficial foi alguns eleitores alterarem Beijing de segunda para
primeira preferência. Em princípio isso deveria favorecer Beijing.
Mas o que realmente acontece é que esta situação é uma falha deste
método: o método da pluralidade com eliminação viola o critério da monotonia.
Candidatos B I A
Número de votos em primeiro lugar 14 7 8
Candidatos B I A
Número de votos em primeiro lugar 14 15
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 19
EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.11111111
O ano lectivo 2004/2005 ficará marcado pelo
irremediável atraso na colocação dos professores. Dada a
gravidade do assunto, é do conhecimento de todos que o nosso
Governo, liderado por Pedro Santana Lopes, constituiu uma
comissão de inquérito com o objectivo averiguar
responsabilidades. Suponhamos que a já citada comissão é
composta por 30 elementos e que são apontadas como causas
de tal problema as seguintes entidades ou situações:
A – A empresa contratada para a realização do concurso.
B – A actual ministra.
C – O ministro anterior.
D – Os serviços do ministério.
E – A dissolução do Governo de Durão Barroso.
Admitamos ainda que, a fim de se apurarem os responsáveis, cada elemento da
comissão votou por ordem de preferência as possíveis causas acima enunciadas;
colocando em primeiro a situação ou entidade que acha culpada e terminando com
aquela que considera isenta de culpa. O resultado de tal processo eleitoral encontra-se
na seguinte tabela:
Tabela 1.22
Número de votos 10 8 5 4 3
1º opção A D B C E
2º opção C C C B A
3º opção B B D D C
4º opção D E A E B
5º opção E A E A D
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 20
Verifiquemos quem é o vencedor de tal eleição utilizando o método da pluralidade
com eliminação.
1º Passo:
Tabela 1.23
A causa E tem menos votos em primeiro lugar que qualquer outra, logo será
eliminada.
2º Passo:
Como a causa E foi eliminada, os 3 votos que lhe foram atribuídos passam para
a causa A.
Tabela 1.24
A causa C é que será eliminada neste passo.
3º Passo:
Uma vez que a causa C foi eliminada os 4 votos que lhe pertenciam passam para
a causa B.
Tabela 1.25
Agora será a causa D a eliminada.
Causas Candidatas A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 10 5 4 8 3
Causas Candidatas A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 5 4 8
Causas Candidatas A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 9 8
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 21
4º Passo:
Dado que a causa D foi eliminada os seus votos passam para a causa B.
Tabela 1.26
Finalmente concluímos que a vencedora da eleição é a causa B, ou seja a
comissão de inquérito aponta como culpada pelo atraso na colocação dos professores a
actual ministra da educação.
Verifiquemos, por outro lado, que a causa C é um candidato de Condorcet.
Realmente, temos que C comparada com A tem 17 votos contra 13; comparada com B
tem 25 contra 5; comparada com D tem 22 contra 8; e comparada com E tem 27 contra
3. Como a causa C é um candidato de Condorcet e não é a vencedora da eleição
podemos afirmar que o método da pluralidade com eliminação viola o critério ganhador
de Condorcet.
Causas Candidatas A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 17
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 22
EXEMPLO 1.12EXEMPLO 1.12EXEMPLO 1.12EXEMPLO 1.12
Vamos mais uma vez utilizar o exemplo da Quinta das Celebridades, agora para
mostrar como funciona o método da pluralidade com Runoff.
1º Passo:
Relembremos a lista de preferências:
Tabela 1.27
Como nenhum candidato tem uma maioria, vamos eliminar os três candidatos
com menos votos em primeiro lugar, porque pretendemos reter, apenas, os dois
candidatos com mais votos em primeiro lugar. Ou seja, vamos eliminar os candidatos A,
PC e P. Obtemos a tabela seguinte:
2º Passo:
Tabela 1.28
Agora é José Castelo Branco quem tem a maioria dos votos em
primeiro lugar, ou seja vai ter de ser ele a abandonar a “quinta mais
vigiada de Portugal”.
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Número de votos 18000 37000
1º opção F J
2º opção J F
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 23
EXEMPLO 1.13EXEMPLO 1.13EXEMPLO 1.13EXEMPLO 1.13
Retomemos, novamente, o exemplo da Quinta das
Celebridades para ilustrar o método de Coombs.
1º Passo:
Relembremos a lista de preferências:
Tabela 1.29
Como nenhum candidato tem mais que metade dos votos em primeiro lugar,
vamos averiguar o número de votos em último lugar de cada concorrente.
Verificámos que a Fátima Preto é quem aparece mais vezes em último lugar (em
37000 boletins contra o José Castelo Branco que aparece nos restantes), então será
eliminada.
2º Passo:
A lista de preferências é, obviamente, modificada e toma agora o seguinte
aspecto:
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção PC J A PC P P
2º opção P P J A J A
3º opção A PC P P PC PC
4º opção J A PC J A J
Tabela 1.30
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 24
Novamente, nenhum candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar, por
isso vamos ter que recontar os votos para o último lugar.
O José Castelo Branco tem 29000 votos em último lugar, o Alexandre Frota tem
16000, o Pedro Camilo tem 10000 e a Paula Coelho não tem votos em último lugar. O
que significa que José Castelo Branco é quem será eliminado.
3º Passo:
Obtemos a seguinte lista de preferências:
Número de votos 27000 22000 4000 2000
1º opção PC A P P
2º opção P P A PC
3º opção A PC PC A
Tabela 1.31
Como anteriormente, nenhum candidato tem uma maioria de votos em primeiro
lugar, por isso vamos proceder como nos outros passos.
O Alexandre Frota tem 29000 votos em último lugar e o Pedro Camilo 26000. A
Paula Coelho continua a não ter nenhum. Então o Alexandre Frota será eliminado.
4º Passo:
Obtemos uma nova lista de preferências:
Número de votos 27000 28000
1º opção PC P
2º opção P PC
Tabela 1.32
Finalmente, a Paula Coelho tem 28000 votos em primeiro lugar, ou
seja, uma maioria (mais que 27500). Isso significa que será ela, a
celebridade, a abandonar a quinta.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 25
Sistematizando agora a informação relativa às aplicações do método da
pluralidade com eliminação e suas variantes, no exemplo da Quinta das Celebridades,
concluímos que:
Método / Variante Concorrente vencedor
Pluralidade com Eliminação Alexandre Frota
Pluralidade com Runoff José Castelo Branco
Coombs Paula Coelho
Tabela 1.33
As diferentes modalidades do método da pluralidade com eliminação dão-nos
diferentes vencedores.
EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.EXEMPLO 1.11114444
Para ilustrar este método, consideremos de novo o
exemplo da votação nos concorrentes da “Quinta das
Celebridades”.
Analisemos a tabela seguinte:
Tabela 1.34
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 26
Desencadeemos a comparação par a par entre Fátima Preto e José Castelo
Branco:
Na primeira coluna da tabela de preferência verificamos que os 18000 votos vão
para a Fátima Preto, uma vez que este candidato ocupa uma posição superior na ordem
de preferência, relativamente ao José Castelo Branco. No entanto, os restantes 37000
votos vão para o José Castelo Branco. Portanto, o vencedor desta comparação par a par
é José Castelo Branco, que ganha um ponto.
Tabela 1.35
No caso da comparação par a par entre o Alexandre Frota e o Pedro
Camilo, verifica-se que existem 43000 eleitores que preferem o Pedro Camilo ao
Alexandre Frota e apenas 12000 eleitores que preferem o Alexandre Frota ao Pedro
Camilo. Portanto o vencedor desta comparação par a par é o Pedro Camilo, que ganha
um ponto.
Tabela 1.36
Fazendo-se todas as comparações possíveis, os resultados são:
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J A PC P P
2º opção PC P J A J A
3º opção P PC P P PC PC
4º opção A A PC J A J
5º opção J F F F F F
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 27
F versus J: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000
José Castelo Branco vence e obtém 1 ponto.
F versus A: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000
Alexandre Frota vence e obtém 1 ponto.
F versus PC: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000
Pedro Camilo vence e obtém 1 ponto.
F versus P: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000
Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.
J versus A: (12000+4000)=16000 votos
para (18000+10000+9000+2000)=39000
Alexandre Frota vence e obtém 1 ponto.
J versus PC: (12000+10000+4000)=26000 votos
para (18000+9000+2000)=29000
Pedro Camilo vence e obtém 1 ponto.
J versus P: (12000+10000)=22000 votos
para (18000+9000+4000+2000)= 33000
Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.
A versus PC: (10000+2000)=12000 votos
para (18000+12000+9000+4000)= 43000
Pedro Camilo vence e obtém 1 ponto.
A versus P: (10000+9)=19000 votos para (18000+12000+4000+2000)=36000
Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 28
PC versus P: (18000+9000)=27000 votos
para (12000+10000+4000+2000)=28000
Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.
Procedendo desta forma os resultados obtidos após a contagem dos pontos são
os seguintes:
Tabela 1.37
Conclusão:
O vencedor da eleição é o concorrente P! Ou seja, é a Paula Coelho
que vai abandonar a “ vida rural”.
Fátima
Preto 0 pontos
José
Castelo
Branco
1 pontos
Alexandre
Frota 2 pontos
Pedro
Camilo 3 pontos
Paula
Coelho 4 pontos
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 29
EXEMPLO 1.15EXEMPLO 1.15EXEMPLO 1.15EXEMPLO 1.15
Admitamos a seguinte situação:
Uma Escola Secundária da Região Centro do país decidiu
atribuir um prémio ao melhor aluno do ano lectivo 2003/2004.
Numa primeira fase do concurso seleccionaram os 5 alunos que
mais se destacaram positivamente durante o ano. Foram eles:
Cátia (C), Luís (L), Margarida (M), Ruben (R) e Sofia (S). Na
segunda fase os 22 elementos do conselho pedagógico reuniram
extraordinariamente e votaram por ordem de preferência os alunos seleccionados.
Decidiram ainda usar como método de votação o método de comparação par a par. Os
resultados obtidos são expressos na seguinte tabela:
Tabela 1.38
As comparações par a par são:
C versus R: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15
R vence e obtém 1 ponto.
C versus M: (2+6+4+4) = 16 votos para (1+1+4) = 6
C vence e obtém 1 ponto.
Número de
votos
2 6 4 1 1 4 4
1ª opção C R R M M L S
2º opção L C C R L C M
3ª opção M M L C C S L
4ª opção R L S L R M R
5ª opção S S M S S R C
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 30
C versus L: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9
C vence e obtém 1 ponto.
C versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
C vence e obtém 1 ponto.
R versus M: (6+4) = 10 votos para (2+1+1+4+4) = 12
M vence e obtém 1 ponto.
R versus L: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11
R e L empatam. R obtém ½ ponto e L obtém ½ ponto.
R versus S: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8
R vence e obtém 1 ponto.
M versus L: (6+1+1+4) = 12 votos para (2+4+4) =10
M vence e obtém 1 ponto.
M versus S: (2+6+1+1) = 10 votos para (4+4+4) = 12
S vence e obtém 1 ponto.
L versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
L vence e ganha 1 ponto.
Os resultados obtidos após a contagem dos pontos são:
Cátia 3 pontos
Ruben 2 + ½ pontos
Margarida 2 pontos
Luís 1+ ½ pontos
Sofia 1 ponto
Tabela 1.39
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 31
Conclusão: o vencedor é a Cátia!
Ao saber que era uma das seleccionadas para a votação, a Margarida informou o
conselho executivo que não estava interessada em tal prémio. Desta forma a Margarida
foi eliminada da votação.
Será que este facto afectará de algum modo o resultado da eleição?
Suponhamos então que o candidato M é eliminado da eleição original e que o
método de comparação par a par volta a ser aplicado. Então, os resultados obtidos são
os que a tabela seguinte apresenta:
Número de
Votos
2 6 4 1 1 4 4
1ª escolha C R R R L L S
2º escolha L C C C C C L
3ª escolha R L L R R S R
4ª escolha S S S S S R C
Tabela 1.40
Agora as comparações par a par são:
C versus R: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15
R vence e obtém 1 ponto.
C versus L: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9
C vence e obtém 1 ponto.
C versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
C vence e obtém 1 ponto.
R versus L: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11
R e L empatam. R obtém ½ ponto e L obtém ½ ponto.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 32
R versus S: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8
R vence e obtém 1 ponto.
L versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
L vence e ganha 1 ponto.
Os resultados obtidos na nova eleição são:
Cátia 2 pontos
Ruben 2 + ½ pontos
Luís 1+ ½ pontos
Sofia 0 pontos
Tabela 1.41
Conclusão: O vencedor é o Ruben e não a Cátia!
Evidenciamos assim que o método da comparação par a par não satisfaz o critério
da independência.
Outra lacuna a referir, é o facto deste método poder desencadear resultados que
anunciam como vencedores todos os candidatos, isto é, resultado em que há um empate
generalizado. Normalmente não existe um processo fixo para desempatar mas, na
realidade, é fundamental pré-estabelecer regras para que caso seja necessário se proceda
a um desempate.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 33
Comparação dos Resultados Obtidos
Recorrendo uma vez mais ao exemplo da Quinta das
Celebridades vamos mostrar, na tabela seguinte, que a
aplicação de métodos de votação distintos origina vencedores
distintos:
Vencedor Método de Votação
Fátima Preto Pluralidade
Pedro Camilo Contagem de Borda
Alexandre Frota Pluralidade com Eliminação
Paula Coelho Comparação Par a Par
Tabela 1.42
Concluímos assim que o concorrente eleito para sair da quinta “mais vigiada de
Portugal” varia de método para método.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 34
EXEMPLO 2.1EXEMPLO 2.1EXEMPLO 2.1EXEMPLO 2.1
Consideremos que a direcção de uma dada empresa possuí quatro membros, P1,
P2, P3 e P4, com a seguinte distribuição de votos,
Membros Votos
P1 8
P2 6
P3 5
P4 1
Tabela 2.1
Seguindo as regras da direcção, são necessários dois terços dos vinte votos para
aprovar uma moção. Usando a nossa notação este sistema de votação ponderada pode
ser descrito por [14: 8, 6, 5,1]. Note-se que q = 14 pois catorze é o primeiro inteiro
superior a dois terços de vinte.
EXEMPLO 2.2EXEMPLO 2.2EXEMPLO 2.2EXEMPLO 2.2
Consideremos agora o sistema de votação ponderada [7: 5, 4, 4, 2]. A quota
q = 7 é inferior a metade da totalidade dos votos. Neste caso se os jogadores P1 e P4
votarem a favor e os outros dois jogadores votarem contra, os dois grupos ganham! Isto
é a versão matemática de anarquia. Como tal, não consideraremos este sistema de
votação ponderada válido.
EXEMPLO 2.3EXEMPLO 2.3EXEMPLO 2.3EXEMPLO 2.3
Seja [17: 5, 4, 4, 2] um sistema de votação ponderada. A quota excede o número
total de votos. Assim é impossível aprovar qualquer moção. Este sistema será por isso
invalidado.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 35
EXEMPLO 2.4EXEMPLO 2.4EXEMPLO 2.4EXEMPLO 2.4
Estudemos agora o sistema de votação ponderada [15: 5, 4, 3, 2, 1]. Os cinco
jogadores têm quinze votos no total. Para uma moção ser aprovada é necessária a
unanimidade. Assim, em termos práticos, os sistemas de votação ponderada [15: 5, 4, 3,
2, 1] e [5: 1, 1, 1, 1, 1] são equivalentes.
EXEMPLO 2.5EXEMPLO 2.5EXEMPLO 2.5EXEMPLO 2.5
Seja [11: 12, 5, 4] um sistema de votação ponderada. Nesta simulação o jogador
P1 controla um número de votos suficiente para fazer passar qualquer moção. Desta
forma o jogador P1 detém todo o poder e é chamado ditador.
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2.6.6.6.6
No sistema de votação ponderada [12: 9, 5, 4, 2] o jogador P1 não é um ditador
mas tem o poder de impedir que qualquer moção seja aprovada. De facto mesmo que
todos os outros jogadores estivessem de acordo, a soma dos seus votos não seria
suficiente para fazer passar uma moção, contra a vontade do P1.
EXEMPLO 2.7EXEMPLO 2.7EXEMPLO 2.7EXEMPLO 2.7
Uma das mais importantes decisões que uma
equipa de basquetebol profissional tem que tomar é como
fazer o recrutamento de jogadores colegiais. Em muitos
casos a decisão de como escolher um jogador específico é
feita através de votos decisivos. Tome, por exemplo, o caso de Akron Fleyers. No seu
sistema, o treinador principal (TP) tem 4 votos, o director geral (DG) tem 3 votos, o
director de operações de exploração (DE) tem 2 votos e o psiquiatra da equipa (PE) tem
1 voto. Destes 10 votos, uma simples maioria de 6 votos é necessária para um jogador
ser recrutado. Em suma, os Akron Fleyers funcionam como um sistema de votação
ponderada [6: 4, 3, 2, 1].
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 36
Iremos agora encontrar a distribuição do poder de Banzhaf deste sistema
decisivo de voto. A tabela seguinte mostra as 15 possíveis coligações, quais são as
vencedoras e quais são as perdedoras e, para cada coligação vencedora, os jogadores
críticos (estão a negrito).
Coligação Peso da coligação Vence ou perde
{TP} 4 Perde
{DG} 3 Perde
{DE} 2 Perde
{PE} 1 Perde
{TP, DG} 7 Ganha
{TP, DE} 6 Ganha
{TP, PE} 5 Perde
{DG, DE} 5 Perde
{DG, PE} 4 Perde
{DE, PE} 3 Perde
{TP, DG, DE} 9 Ganha
{TP, DG, PE} 8 Ganha
{TP, DE, PE} 7 Ganha
{DG, DE, PE} 6 Ganha
{TP, DG, DE, PE} 10 Ganha
Tabela 2.2
Tudo o que temos de fazer agora é contar o número de vezes em que cada jogador
é crítico (ou seja o número de vezes em cada um se encontra a negrito) e dividir pelo
número total de jogadores críticos.
A distribuição de poder de Banzhaf é
TP : 5/12 = 41,67 %
DG : 3/12 = 25 %
DE : 3/12 = 25 %
PE : 1/12 = 8, 33 %
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 37
Note que a soma dos índices de poder é sempre 1. Este facto fornece um controle
útil nos seus cálculos. Neste exemplo aplicando a fórmula inicialmente, saberíamos à
partida que o número total de coligações possíveis: seria 24 – 1 = 15, o que permitiria
um maior controlo de possíveis erros.
EXEMPLO 2.8EXEMPLO 2.8EXEMPLO 2.8EXEMPLO 2.8
O CONSELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS
O principal responsável por manter a paz internacional e
segurança das nações é o Conselho de Segurança das Nações
Unidas. O Conselho de Segurança é um exemplo clássico de um
sistema de votação ponderado. Consiste em 15 nações votantes –
5 delas são membros permanentes – Reino Unido, China, França, Rússia e E.U.A; as
outras 10 nações são membros não permanentes, eleitos por um período de dois anos
numa base rotativa. Para aprovar uma moção no Conselho de Segurança é necessário
um voto positivo de cada um dos membros permanentes (dando efectivamente a cada
membro permanente o poder de veto) mais um voto positivo de pelo menos quatro dos
dez membros não permanentes. Desta forma a coligação vencedora consiste em cinco
membros permanentes e quatro ou mais membros não permanentes.
Temos:
4
10= 210
coligações com 5 membros permanentes e exactamente 4 membros não permanentes, e
5
10+
6
10+
7
10+
8
10+
9
10+
10
10= 638
coligações com 5 membros permanentes e mais de 4 membros não permanentes.
Há um total de
4
10 +
5
10+
6
10+
7
10+
8
10+
9
10+
10
10= 210+ 638= 848
coligações com 5 membros permanentes e 4 ou mais membros não permanentes.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 38
Em cada uma destas coligações vencedoras, cada membro permanente é crítico.
Os membros não permanentes apenas são críticos nas coligações vencedoras mínimas,
isto é nas coligações constituídas por 5 permanentes e 4 não permanentes (existem 210
coligações deste tipo). Em cada uma destas coligações com 9 elementos um membro
não permanente é crítico em:
3
9= 84
coligações, pois neste caso fixamos os 5 permanentes e o não permanente é
considerado como crítico. Nas coligações com 10 ou mais elementos um membro não
permanente nunca é crítico.
O número total de vezes em que todos os jogadores são críticos é de
5 x 848 + 10 x 84 = 5080.
Sendo assim o poder de cada membro permanente é
84108485
848
×+× =
5080
848 = 0,167.
O poder de um membro não permanente é
84108485
84
×+× =
5080
84 = 0,0167.
Repare-se na discrepância de poder entre membros permanentes e não
permanentes: um membro permanente tem dez vezes mais poder que um membro não
permanente.
Fica a dúvida se seria esta a intenção do decreto das Nações Unidas ou então se
houve um erro de cálculo, baseado na falta de conhecimento da matemática dos votos
ponderados.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 39
EXEMPLO 2.9EXEMPLO 2.9EXEMPLO 2.9EXEMPLO 2.9
Vamos considerar o exemplo 2.10. A distribuição é
[6: 4, 3, 2, 1] e agora vamos encontrar a distribuição de
poder de Shapley-Shubik.
Há 24 coligações sequenciais diferentes (4!)
envolvendo 4 jogadores. Listam-se na tabela 2.4 as coligações e os jogadores pivotais
estão a negrito.
⟨TP, DG, DE, PE⟩ ⟨DG, TP, DE, PE⟩ ⟨DE, TP,DG, PE⟩ ⟨PE, TP, DG, DE⟩ ⟨TP, DG, PE, DE⟩ ⟨DG, TP, PE, DE⟩ ⟨DE, TP, PE, DG⟩ ⟨PE, TP, DE, DG⟩ ⟨TP, DE, DG, PE⟩ ⟨DG, DE, TP, PE⟩ ⟨DE, DG, TP, PE⟩ ⟨PE, DG, TP, DE⟩ ⟨TP, DE, PE, DG⟩ ⟨DG, DE, PE, TP⟩ ⟨DE, DG, PE, TP⟩ ⟨PE, DG, DE, TP⟩ ⟨TP, PE, DG, DE⟩ ⟨DG, PE, TP, DE⟩ ⟨DE, PE, TP, DG⟩ ⟨PE, DE, TP, DG⟩ ⟨TP, PE, DE, DG⟩ ⟨DG, PE, DE, TP⟩ ⟨DE, PE, DG, TP⟩ ⟨PE, DE, DG, TP⟩
Tabela 2.3
A distribuição de poder de Shapley-Shubik é:
TP: 24
10 = 0,42 ⇒ 42%
DG: 24
6 = 0.25 ⇒ 25%
DE: 24
6 = 0,25 ⇒ 25%
PE: 24
2 = 0,08 ⇒ 8%
Vale a pena mencionar que a distribuição de poder de Shapley-Shubik é
exactamente igual à distribuição de poder de Banzhaf. Contudo, de modo geral,
escolhendo aleatoriamente situações reais é muito pouco provável que os métodos de
Banzahf e de Shapley-Shubik nos dêem a mesma resposta.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 40
O REGRESSO AO CONSELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS
Vamos agora aplicar o método de Shapley-Shubik ao exemplo do
Conselho de Segurança das Nações Unidas. Seguindo o esquema
apresentado anteriormente temos:
Passo 1: Existem 15! coligações sequenciais envolvendo os 15 membros. Isto são
cerca de 1,3 triliões de coligações sequenciais diferentes;
Passo 2: Um membro não permanente pode ser pivotal numa destas coligações
apenas se for o nono jogador na coligação sequencial (pois são necessários 5
permanentes e 4 não permanentes para formar uma coligação vencedora mínima),
precedido pelos 5 membros permanentes e por três não permanentes (estes últimos
podem ser escolhidos de
3
9 maneiras diferentes). Os oito elementos que o precedem
podem ser ordenados de 8! maneiras diferentes. Os seis que o seguem podem ser
ordenados de 6! maneiras diferentes. Deste modo cada membro não permanente será
pivotal em
3
9 × 8!× 6!, isto é, !6!3
!6!8!9, aproximadamente 2,44 biliões de coligações
sequenciais;
Passo 3: Segue-se, que qualquer um dos membros não permanentes é pivotal em
aproximadamente 2,44 biliões dos 1,3 triliões de coligações sequenciais.
Desta forma cada membro não permanente tem um índice de poder de Shapley-
Shubik de
!15!3
!8!9
= 0,001865
ou seja, aproximadamente 0,19% .
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 41
Assim, o índice de poder dos 10 membros não permanentes é inferior a 2% (0,19
x 10). Os restantes 98% ficam distribuídos pelos 5 membros permanentes, dando a cada
um cerca de 5
%98= 19,6% do poder. Consequentemente cada membro permanente tem
cerca de cem vezes mais poder do que um membro não permanente. A desproporção
entre membros permanentes e não permanentes é ainda mais reflectida neste método!
EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO 4.14.14.14.1
Consideremos um grupo de três amigos, João, Ricardo e
Vasco que pretendem fazer uma viagem a três países, Alemanha,
Suíça e Itália. Cada um deles tem uma sugestão quanto à ordem de
visita dos países, as quais são apresentadas a seguir:
Prioridades João Ricardo Vasco
1.º Alemanha Itália Suíça
2.º Suíça Alemanha Itália
3.º Itália Suíça Alemanha
Tabela 4.1
Vejamos o que acontece quando comparamos cada uma das opções par a
par:
Alemanha/Suíça: 2 votos contra 1 voto;
Suíça/Itália: 2 votos contra 1 voto;
Itália/Alemanha: 2 votos contra 1 voto.
Temos que a Alemanha ganha à Suíça, a Suíça ganha à Itália e a Itália à
Alemanha. Ocorre portanto o chamado Paradoxo do voto, ou seja, não existe
nenhuma opção que obtenha a maioria frente a todas as restantes opções.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 42
EXEMPLO 4.2EXEMPLO 4.2EXEMPLO 4.2EXEMPLO 4.2
Suponhamos que temos 9 mandatos a distribuir num determinado círculo eleitoral
sendo o número de votos obtido pelas listas X, Y, Z e W, respectivamente 10000, 6000,
5500 e 2000.
Divisores X Y Z W
1 10000 6000 5500 2000
2 5000 3000 2750 1000
3 3333,3 2000 1833,3 666,7
4 2500 1500 1375 500
Tabela 4.2
Como temos 9 mandatos para atribuir, vamos ordenar nove quocientes por ordem
decrescente da sua grandeza:
10000 > 6000 > 5500 > 5000 > 3333,3 > 3000 > 2750 > 2500 > 2000
- A lista X recebe o 1º, o 4º, o 5º e o 8º mandato.
- A lista Y recebe o 2º e o 6º mandato.
- A lista Z recebe o 3º e o 7º mandato.
- A lista W recebe o 9º mandato (pois em caso de empate o mandato é atribuído ao
que tem menor número de votos).
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 43
EXEXEXEXEMPLO 4.3EMPLO 4.3EMPLO 4.3EMPLO 4.3
Uma turma do 12º ano pretende efectuar uma viagem de finalistas e, para isso,
organizar uma eleição para determinar o país de destino. As opções eram México (M),
Cuba (C), Venezuela (V) e Brasil (B). As opiniões recolhidas foram as seguintes:
- 13 estudantes votaram México e Cuba;
- 12 estudantes votaram Venezuela e Cuba;
- 10 estudantes votaram Brasil e Cuba;
- 5 estudantes votaram Cuba, Brasil e México.
Calculamos de seguida quantos votos recebeu cada país.
PAÍS CONTAGEM
México 13 + 5 = 18
Cuba 13 + 12 + 10 + 5 = 40
Venezuela 12
Brasil 10 + 5 = 15
Tabela 4.3
Como se verifica na tabela, Cuba é o destino escolhido pelos estudantes.