7/29/2019 Exesrccios resolvidos de MA12 - profmat
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Solucoes
Problema 1. (Unidade 5)
Prove que a soma dos cubos de tres numeros naturais consecutivos e multiplo de 9.
Solucao
Devemos mostrar que n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 e divisvel por 9, para todo n N. Seja
P(n) : n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 a proposicao que queremos provar. Temos que todo numerodivisvel por 9 esta escrito sob a forma 9.k, onde k N.Observemos que:
P(1) = 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 9.4.
Logo, P(1) e verdadeira, pois 9.4 e divisvel por 9. Suponhamos que, para algum n, tem-se P(n)
verdadeira, ou seja,P(n) : n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 9.k.
Assim, devemos mostrar que e verdadeira, tambem, para P(n + 1).De fato,
P(n + 1) = (n + 1)3 + (n + 2)3 + (n + 3)3
= (n + 1)3 + (n + 2)3 + (n3 + 9n2 + 27n + 27)
= n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 + 9n2 + 27n + 27.
Pela hipotese de Inducao, temos que P(n + 1) = n3
+ (n + 1)3
+ (n + 2)3
= 9.k.Da,
P(n + 1) = 9k + 9(n2 + 3n + 3) = 9(k + n2 + 3n + 3)
tomando k = k + n2 + 3n + 3, poderemos reescreve-la da seguinte maneira:
P(n + 1) = 9.k.
Logo, fica demonstrado que P(n + 1) e verdadeira e por consequencia a proposicao e verdadeirapara todo n N.
Problema 2 -Unidade 3
Prove que para todo n N, n 2, vale
1
n + 1+
1
n + 2+ ... +
1
2n>
13
14.
1
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Solucao
Tomemos por Sn o primeiro membro da desigualdade.
i) Para n = 2, temos
S2 =1
2 + 1+
1
2 + 2=
1
3+
1
4=
7
12=
14
24
Como 1424 >1324 , a proposicao e verdadeira para n = 2.
ii) Suponhamos que Sn seja verdadeira para algum n N. Assim, devemos mostrar que everdadeira, tambem, para Sn+1.De fato,
Sn =1
n+1+ 1
n+2+ ... + 1
2ne Sn
+1= 1
n+2+ 1
n+3+ ... + 1
2n+ 1
2n+1+ 1
2n+2
Ao compararmos Sn e Sn+1, vemos que
Sn+1 Sn =1
2n + 1+
1
2n + 2
1
n + 1
Sn+1 Sn =2(n + 1) + 2n + 1 2(2n + 1)
2(n + 1)(2n + 1)
Sn+1 Sn =2(n + 1) + 2n + 1(1 2)
2(n + 1)(2n + 1)
Sn+1 Sn =2n + 2 2n 1
2(n + 1)(2n + 1)
,
ou seja,
Sn+1 Sn =1
2(n + 1)(2n + 1).
Como o segundo membro da ultima desigualdade e positivo, para qualquer n N. Podemosconcluir que
Sn+1 > Sn.
Temos ainda que, Sn >1324 , entao Sn+1 >
1324 .
Dessa forma fica demonstrado que Sn+1 e verdadeira para todo n N.Logo, a proposicao e verdadeira para todo n N.
Problema 1 -Unidade 4
Dada a sequencia definida pela recorrencia
a1 = 1
a2 = 2
an+2 = an+1 an,
prove que para todo n N vale an+6 = an.
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Solucao
Temos que sequencia do enunciado do problema, a partir do 3o termo, tem seus valores obtidos
pela diferenca entre os dois termos anteriores. Dessa forma, como a1 = 1 e a2 = 2, podemosencontrar alguns dos proximos termos:
a3 = 1, a4 = 1, a5 = 2, a6 = 1, a7 = 1.
Assim, tomando P(n) a proposicao de que se em uma sequencia definida pela recorrencia
a1 = 1
a2 = 2
an+2 = an+1 an,
entao an+6 = an para todo n N.Aplicando Inducao Finita, temos que:
i)Para n = 1, a afirmacao e verdadeira, visto que
a7 = a1.
ii) Suponhamos que P(n) seja verdadeira para algum n N, devemos mostrar que tambem valepara n + 1. De fato,
a(n+1)+6 = an+6 an+5
Pela H.I., temos que an+6 = an. Assim,
an+7 = an an+5
an+7 = an (an+4 an+3)
an+7 = an (an+3 an+2 an+3)
an+7 = an + an+2
an+7 = an + an+1 an
an+7 = an+1
Dessa forma, fica demonstrado que P(n + 1) e verdadeira para todo n N.Logo, a proposicao e verdadeira para todo n N.
Problema 2 -Unidade 4
Se un e o n-esimo numero de Fibonacci, prove que
u3 + u6 + u9 + ... + u3n =u3n+2 1
2.
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Solucao
Consideremos P(n) a proposicao de que se un e o n-esimo numero de Fibonacci, entao u3 + u6 +
u9 + ... + u3n = u3n+2
12 .Fazendo Inducao Finita sobre P(n), temos que:
i) Para n = 1, temos que:
P(1) : u3 =u3+2 1
2
P(1) : u3 =u5 1
2
Pela sequencia de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...), podemos observar que os termos u3 = 2 eu5 = 5. Assim,
2 = 5 12
2 = 2.
Logo, P(1) e verdadeira.
ii) Suponhamos que P(n) seja verdadeira para algum n N. Assim, devemos mostrar que everdadeira, tambem, para P(n + 1). Da, somando a ambos os membros da igualdade o termo
u3n+3 temos:
u3 + u6 + u9 + ... + u3n + u3n+3 =u3n+2 1
2+ u3n+3
=u3n+2 + 2u3n+3 1
2
.
Como por definicao a sequencia de Fibonacci e do tipo un+2 = un+1 + un, temos que
u3 + u6 + u9 + ... + u3n + u3n+3 =(u3n+2 + u3n+3) + u3n+3 1
2
=(u3n+4 + u3n+3) 1
2
=u3n+5 1
2
=u3(n+1)+2 1
2.
Dessa forma fica demonstrado que P(n + 1) e verdadeira para todo n N.Logo, a proposicao e verdadeira para todo n N.
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