Experimentos em parcelas
subdivididasLCE 0602 – Estatística Experimental
Características• São estudados dois ou mais fatores
simultaneamente.• Esses fatores são chamados primários e secundários.• Fatores primários são aleatorizados nas parcelas e os secundários nas sub parcelas.
Resumo: No delineamento em parcelas subdivididas, as parcelas experimentais são divididas em sub parcelas. Os níveis de um fator, por exemplo, A, são casualizados nas parcelas e, posteriormente, os de outro fator, por exemplo, B, são casualizados nas sub parcelas.
Aplicações
a) quando os níveis de um fator exigem grandes quantidades do material experimental (por exemplo, métodos de preparo do solo);
b) quando informações prévias asseguram que as diferenças entre os níveis de um dos fatores são maiores do que às do outro fator;
c) quando se deseja maior precisão para comparações entre níveis de um dos fatores;
d) quando existe um fator de maior importância e outro de importância secundária, sendo que este é incluído para aumentar a extensão dos resultados e
e) nas situações práticas onde é difícil a instalação do experimento no esquema fatorial.
Modelo estatístico
= observação no j-ésimo bloco, do i-ésimo nível do fator A e k-ésimo nível do fator B; = média geral;i = efeito devido ao i-ésimo nível do fator A; = efeito devido ao j-ésimo bloco; = erro associado à parcela (ij);k = efeito devido ao k-ésimo nível do fator B;()ik = efeito da interação entre os fatores A e B; = erro associado à sub parcela (ijk).
ijkikkijjijik eeby )(
Análise de variânciaInteiramente Casualizado Blocos Casualizados Quadrado Latino
F.V. G.L. F.V. G.L. F.V. G.L.
Fator A I-1 Blocos J-1 Linhas I-1
Resíduo(a) I(J-1) Fator A I-1 Colunas I-1
Parcelas IJ-1 Resíduo(a) (I-1)(J-1) Fator A I-1
Fator B K-1 Parcelas IJ-1 Resíduo(a) (I-1)(I-2)
AxB (I-1)(K-1) Fator B K-1 Parcelas I2 –1
Resíduo(b) I(J-1)(K-1) AxB (I-1)(K-1) Fator B K-1
Total IJK-1 Resíduo(b) I(J-1)(K-1) AxB (I-1)(K-1)
Total IJK-1 Resíduo(b) I(I-1)(K-1)
Total I2K –1
Exemplo
Um pesquisador, com o objetivo de verificar o efeito da dose de adubação fosfatada e seu tipo de aplicação na produtividade da cultura do milho (kg/ha), instalou um experimento em que cada uma das doses de adubação fosfatada (0, 40, 80 e 120 kg/ha) foram aleatorizadas nas parcelas, segundo um delineamento casualizado em blocos (4 blocos), e o tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) constituiu o tratamento das sub parcelas.
Parcelas subdivididas vs fatorial
Fatores: Doses (0, 40, 80 e 120 kg/ha) e Tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) I=4 e K=3.Tratamentos (IK=12): 0-Cova, 0-Sulco, 0-Lanço, 40-Cova, ..., 120-Lanço.Aleatorização:
Fatorial
T9 T4 T7 T3 T11 T5 T10 T8 T1 T6 T2 T12Bloco 1
Bloco 2
Bloco 3
Bloco 4
Parcelas subdivididas vs fatorial
Análise de variância:
Fatorial
F.V. G.L.
Blocos 4-1 = 3
Doses 4-1 = 3
Aplicação 3-1 = 2
Doses x Aplic. (4-1)(3-1) = 6
Resíduo 47 - 14 = 33
Total 48-1 = 47
Parcelas subdivididas vs fatorial
Fatores: Doses (0, 40, 80 e 120 kg/ha) e Tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) I=4 e K=3.Tratamentos (IK=12): 0-Cova, 0-Sulco, 0-Lanço, 40-Cova, ..., 120-Lanço.Aleatorização em duas etapas:
Parcelas subdividias
Bloco 1
Bloco 2
Bloco 3
Bloco 4
0 4080 120cova lanço sulco sulco lanço covacovasulco lanço lanço sulco cova
Parcelas subdivididas vs fatorial
Análise de variância:F.V. G.L.
Blocos 4-1 = 3
Doses 4-1 = 3
Resíduo(a) (4-1)(4-1) = 9
Parcelas 16-1=15
Aplicação 3-1 = 2
Doses x Aplic. (4-1)(3-1) = 6
Resíduo(b) 4(4-1)(3-1) = 24
Total (4x4x3)-1 = 47
Parcelas subdividias
Como estudar Fatores com níveis quantitativos
Fatores Qualitativos Fatores QuantitativosCultivares de milho (A, B, C e D) Idades de Corte de Gramíneas
(30, 60 e 90 dias)
Rações (Comum e Premium) Níveis de Estradiol na Ração (0, 20, 40, 60 e 80 mg)
Raças (R1, R2,....) Temperaturas (170C, 220C e 250C )
Sexo (Macho e Fêmea) Níveis de Energia (2800, 3000, 3200 e 3400 Kcal/kg)
Irrigação (Presença e Ausência) Doses de Adubo(10, 20, 30, 40 e 50 kg/ha)
Adubação (Orgânica, Química, Testemunha)
Porcentagem de proteína(16, 18, 20 e 22%)
TCM Regressão
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
20 30 40 50 60 70 80 90 1005
7
9
11
13
15
17
19
21f(x) = − 0.00722222222222223 x² + 0.983333333333334 x − 13
Valor observadoValor estimado
Idade de Corte (dias)
Variá
vel r
espo
sta
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Y=a + bx Modelo Linear (1º grau): reta
Y=a + bx + cx2 Modelo Quadrático (2º grau): parábola
Y=a + bx + cx2 + dx3 Modelo Cúbico (3º grau)
O número de modelos possíveis de serem ajustados depende do número de níveis do
fator em estudo
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Fator A: 2 níveis (gl=1) Modelo linear ou regressão linear (1º grau)
Fator A: 3 níveis (gl=2) Modelo linear ou regressão linear (1º grau)Modelo quadrático ou regressão quadrática (2º grau)
Fator A: 4 níveis (gl=3) Modelo linear ou regressão linear (1ºgrau)Modelo quadrático ou regressão quadrática (2º grau)Modelo cúbico ou regressão cúbica (3º grau)
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Nº TratGrau do
polin.
Totais de Tratamentos
K MT1 T2 T3 T4 T5 T6
2 1 -1 1 - - - - 2 1
312
-11
0-2
11
--
--
--
26
13
4123
-31-1
-1-13
1-1-3
311
---
---
20420
21
10/3
5
1234
-22-11
-1-12-4
0-206
1-1-2-4
2211
----
10141070
11
5/635/12
6
12345
-55-51-1
-3-17-35
-1-442
-10
1-4-4210
3-1-7-3-5
55511
7084
18028
252
23/25/3
7/1221/10
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrado
Doses 3 SQDose
Erro 12 SQErro
Total 15 SQTotal
DIC (4 repetições), Fator: Dose, Níveis: 0, 10, 20, 30.
Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrado
Doses 3 SQDose
Regressão Linear 1 SQLinear
Regressão Quadrática 1 SQQuadrática
Regressão Cúbica 1 SQCúbica
Erro 12 SQErro
Total 15 SQTotal
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?
Fonte de VariaçãoGraus de Liberdade Soma de Quadrado
Doses 3 SQDose
Regressão Linear 1 SQLinear
Regressão Quadrática 1 SQQuadrática
Regressão Cúbica 1 SQCúbica
Erro 12 SQErro
Total 15 SQTotal
Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa
(significativa)
Modelo Linear: Y=a + bx
(significativa)
Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?
Fonte de VariaçãoGraus de Liberdade Soma de Quadrado
Doses 3 SQDose
Regressão Linear 1 SQLinear
Regressão Quadrática 1 SQQuadrática
Regressão Cúbica 1 SQCúbica
Erro 12 SQErro
Total 15 SQTotal
Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa
(significativa)
Modelo Linear: Y=a + bx
(significativa)
Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?
Fonte de VariaçãoGraus de Liberdade Soma de Quadrado
Doses 3 SQDose
Regressão Linear 1 SQLinear
Regressão Quadrática 1 SQQuadrática
Regressão Cúbica 1 SQCúbica
Erro 12 SQErro
Total 15 SQTotal
Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa
(significativa)
(significativa)
(significativa)
Modelo Cúbico: Y=a + bx + cx2 + dx3
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?
Fonte de VariaçãoGraus de Liberdade Soma de Quadrado
Doses 3 SQDose
Regressão Linear 1 SQLinear
Regressão Quadrática 1 SQQuadrática
Regressão Cúbica 1 SQCúbica
Erro 12 SQErro
Total 15 SQTotal
Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa
(significativa)
(significativa)
Nº TratGrau do
polin.
Totais de Tratamentos
K MT1 T2 T3 T4 T5 T6
2 1 -1 1 - - - - 2 1
312
-11
0-2
11
--
--
--
26
13
4123
-31-1
-1-13
1-1-3
311
---
---
20420
21
10/3
5
1234
-22-11
-1-12-4
0-206
1-1-2-4
2211
----
10141070
11
5/635/12
6
12345
-55-51-1
-3-17-35
-1-442
-10
1-4-4210
3-1-7-3-5
55511
7084
18028
252
23/25/3
7/1221/10
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Como calcular as somas de quadrados das regressões?
1º Passo: Montar um quadro auxiliar
Totais de Tratamentos
Coeficientes
Linear (C1) Quadrática (C2) Cúbica (C3)
T1 = 46,4 (4) -3 1 -1
T2 = 139,0 (4) -1 -1 3
T3 = 156,4 (4) 1 -1 -3
T4 = 140,0 (4) 3 1 1
K 20 4 20
M 2 1 10/3
298,2 -109,0 41,4
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Como calcular as somas de quadrados das regressões?
2º Passo: Cálculo das Somas de Quadrados (SQRegressão)
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?
Modelo Linear: Y=a + bx
Y= Y + B1M1P1
Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2
Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2
Modelo Cúbico: Y=a + bx + cx2 + dx3
Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2+ B3M3P3
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?
Modelo Linear: Y=a + bx
Y= Y + B1M1P1
Cuidado! É muito parecido com a SQRegressão
Valor da tabela de coeficientes
é a média dos níveis dos tratamentos (0+10+20+30)/4 = 15
q é o espaçamento entre os níveis de tratamentos (q=10)
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos
Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?
Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2
Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2
n é o número de níveis do fator
Nos softwares SAS e R os coeficientes dos modelos de regressão (a, b, c, ....) são obtidos diretamente.