ニュートン力学と回転運動
首都大学東京・理工学研究科・物理学専攻
溝口 憲治
1)ニュートンの力学3つの法則
2)回転運動転がり落ちる速さを決めるもの
3)自転車安定性と手放し運転
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
˚
運動:ニュートンの三法則
第一法則:慣性の法則第二法則: F = ma
第三法則:作用・反作用
2008/3/19 科学技術高校出張講義
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルとしての力のつり合い˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトル方向と大きさを持つ量
ベクトルとしての力のつり合い˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトル方向と大きさを持つ量
v = (vx, vy, vz)
vx
vy
vz
x
y
z
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積と外積
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積
A・B = AB cosθ内積の定義
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
A・B = AB cosθ内積の定義
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
A・B = AB cosθ内積の定義
i
j単位ベクトル
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
A・B = AB cosθ内積の定義
B cosθ
i
j単位ベクトル
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
A・B = AB cosθ内積の定義
平行 //
θ=0º:cosθ=1
A・B = AB
i
j単位ベクトル
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
A・B = AB cosθ内積の定義
平行 //
θ=0º:cosθ=1
A・B = AB
垂直 !
θ=90º:cosθ=0
A・B = 0i
j単位ベクトル
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積(数値)
A・B = AB cosθ内積の定義
A = (Ax, Ay, Az)
B = (Bx, By, Bz)
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積(数値)
A・B = AB cosθ内積の定義
A = (Ax, Ay, Az)
B = (Bx, By, Bz)
= (Ax i+Ay j+Az k)
= (Bx i+By j+Bz k)
x, y, z-方向の
単位ベクトル
長さが1
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積(数値)
A・B = AB cosθ内積の定義
A = (Ax, Ay, Az)
B = (Bx, By, Bz)
A•B = (Ax i+Ay j+Az k)•(Bx i+By j+Bz k)
= (Ax i+Ay j+Az k)
= (Bx i+By j+Bz k)
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積(数値)
A・B = AB cosθ内積の定義
A = (Ax, Ay, Az)
B = (Bx, By, Bz)
A•B = (Ax i+Ay j+Az k)•(Bx i+By j+Bz k)
= (Ax i+Ay j+Az k)
= (Bx i+By j+Bz k)
= (AxBx i•i+AyBy j•j+AzBz k•k)+
+(AxBy i•j+AxBz i•k+AyBx j•i+AyBz j•k+AzBx k•i+AzBy k•j)
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算内積(数値)
A・B = AB cosθ内積の定義
A = (Ax, Ay, Az)
B = (Bx, By, Bz)
A•B = (Ax i+Ay j+Az k)•(Bx i+By j+Bz k)
= (Ax i+Ay j+Az k)
= (Bx i+By j+Bz k)
" i•i=1, j•j=1, k•k=1, i•j=0 etc.
= (AxBx i•i+AyBy j•j+AzBz k•k)+
+(AxBy i•j+AxBz i•k+AyBx j•i+AyBz j•k+AzBx k•i+AzBy k•j)
= AxBx +AyBy +AzBz
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算外積(ベクトル)
|A!B| = AB sinθ外積の定義
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算外積(ベクトル)
|A!B| = AB sinθ外積の定義
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算外積(ベクトル)
|A!B| = AB sinθ外積の定義
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
B sinθ高さ
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算外積(ベクトル)
|A!B| = AB sinθ外積の定義
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
=底辺×高さ=面積
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ベクトルのかけ算外積(ベクトル)
|A!B| = AB sinθ外積の定義
vAxx
y
B
A
vBx
vBy
vAy
θ
=底辺×高さ=面積
ベクトルの方向はA!B ! A, ! B
例:i!j = k
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用
1 kg
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用
F
1 kgどっちが切れる?
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用加速度 a は、外力 F に比例する。
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用
重力の場合
F = mg
⇒
a = g加速度 a は、外力 F に比例する。
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用
重力の場合
F = mg
⇒
a = g
地表の重力による加速度は質量にはよらない!!
⇩回転運動でも同じ!加速度 a は、外力 F に比例する。
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用加速度 a は、外力 F に比例する。
ニュートンの運動法則のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
1)慣性
2)F = ma
3)作用・反作用
もし、作用・反作用の法則が成り立っていなかったら...
↓地球はどこかに飛んでいく...加速度 a は、外力 F に比例する。
˚
運動の独立性(ベクトル加算性)
2008/3/19 科学技術高校出張講義
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
運動の独立性(ベクトル加算性)
x-方向、y-方向、z-方向の運動の独立性(ベクトル加算性)
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
運動の独立性(ベクトル加算性)
x-方向、y-方向、z-方向の運動の独立性(ベクトル加算性)
⇩並進運動と回転運動の独立性(加算性)
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
F = mg
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
F = mg
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
床からの抗力
床からのまさつ力
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
a 床からのまさつ力
まさつが無い
と
滑って行
く
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
a 床からのまさつ力
回転を生み出す2つの力トルク、力のモーメント
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
a 床からのまさつ力
回転を生み出す2つの力トルク、力のモーメント
力の支点が
ずれた
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
a
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
= 並進運動+回転運動
a
斜面を転がる運動˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
= 並進運動+回転運動
a
重心の 重心の周りの
ニュートン力学と保存則˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
運動量 P (= mv) 保存則
ニュートン力学と保存則˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
運動量 P (= mv) 保存則
「運動の激し
さ」
ニュートン力学と保存則˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
運動量 P (= mv) 保存則F = ma = m(dv/dt) (ニュートンの第二法則)
ニュートン力学と保存則˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
運動量 P (= mv) 保存則F = ma = m(dv/dt)
= d(mv)/dt = dP/dt
(ニュートンの第二法則)
ニュートン力学と保存則˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
運動量 P (= mv) 保存則F = ma = m(dv/dt)
= d(mv)/dt = dP/dt
(ニュートンの第二法則)
( F = 0 なら P = 一定)
慣性の法則
転がり落ちる時に大事なのは・・・
ニュートン力学と保存則˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
力学的エネルギー E 保存則
転がり落ちる時に大事なのは・・・
ニュートン力学と保存則˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
力学的エネルギー E 保存則
E = 位置エネルギー(mgh)+運動エネルギー(mv2/2) = 一定
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則E = 位置エネルギー(mgh)+運動エネルギー(mv2/2) = 一定
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則位置エネルギー(mgh)
高さ x
0
mg
高さ x
0
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則位置エネルギー(mgh)
高さ x
0
mg h
仕事 W
W =力・距離= F・x = Fx cosθ
高さ x
0
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則位置エネルギー(mgh)
高さ x
0
mg h
仕事 W
W =力・距離= F・x = Fx cosθ
= mg・h
= mgh (θ=0º, cosθ=1)
高さ x
0
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則位置エネルギー(mgh)
高さ x
0
仕事 W
W =力・距離= F・x = Fx cosθ
高さ x
0
mg
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則位置エネルギー(mgh)
高さ x
0
仕事 W
W =力・距離= F・x = Fx cosθ
高さ x
0
mg
L
何故ならば、g ! L (θ=90º, cosθ=0)
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則位置エネルギー(mgh)
高さ x
0
仕事 W
W =力・距離= F・x = Fx cosθ
高さ x
0
mg
L
= mg・L = 0 !!
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則E = 位置エネルギー(mgh)+運動エネルギー(mv2/2) = 一定
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
高さ x
0
g
v
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
高さ x
0
g
h
v
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
速度 v
v = 加速度・時間= gt
高さ x
0
h
g
v
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
速度 v
v = 加速度・時間= gt
高さ x
0
h
g
v
重力場がした仕事 W
W = " F・v dt
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
速度 v
v = 加速度・時間= gt
高さ x
0
h
g
v
重力場がした仕事 W
W = " F・v dt
W = " F・(dx/dt) dt = " F・dx
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
速度 v
v = 加速度・時間= gt
高さ x
0
h
g
v
重力場がした仕事 W
W = " F・v dt
= mg・g " t dt
= mg2t2/2 = mv2/2
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
速度 v
v = 加速度・時間= gt
高さ x
0
h
g
v
重力場がした仕事 W
W = " F・v dt
= mg・g " t dt
= mg2t2/2 = mv2/2
= 運動エネルギー
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
速度 v
v = 加速度・時間= gt重力場(位置エネルギー)がなした仕事 W は、
物質が得た運動エネルギーに等しい! 重力場がした仕事 W
W = " F・v dt
= mg・g " t dt
= mg2t2/2 = mv2/2
= 運動エネルギー
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー(mv2/2)
速度 v
v = 加速度・時間= gt重力場(位置エネルギー)がなした仕事 W は、
物質が得た運動エネルギーに等しい! 重力場がした仕事 W
W = " F・v dt
= mg・g " t dt
= mg2t2/2 = mv2/2
= 運動エネルギー
力学的エネルギー保存則
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
斜面を転がる運動
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
= 並進運動+回転運動斜面を転がる運動
2つの錘が円周に付いている時
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
= 並進運動+回転運動斜面を転がる運動
2つの錘が円周に付いている時
支点
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
= 並進運動+回転運動斜面を転がる運動
2つの錘が円周に付いている時
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
= 並進運動+回転運動斜面を転がる運動
2つの錘が円周に付いている時
vG重心の速度
vR錘の重心周りの速度
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
= 並進運動+回転運動斜面を転がる運動
2つの錘が円周に付いている時
vG重心の速度
vR錘の重心周りの速度
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
R
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
2つの錘が何処に付いているか?に依存した速度 => エネルギーを持つ
R
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
2つの錘が何処に付いているか?に依存した速度 => エネルギーを持つ
ER = mvG2/2
EG = mvG2/2 vG
R
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
2つの錘が何処に付いているか?に依存した速度 => エネルギーを持つ
ER = mvG2/2
EG = mvG2/2
ER = mvG2/8
vG
R
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
2つの錘が何処に付いているか?に依存した速度 => エネルギーを持つ
ER = mvG2/2
EG = mvG2/2
ER = mvG2/8
vG
ER/EG = 1 R
ER/EG = 1/4 R/2
EG + ER = mgh
R
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
ER/EG = 1 R
ER/EG = 1/4 R/2
EG + ER = mgh
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
ER/EG = 1 R
ER/EG = 1/4 R/2
EG + ER = mgh
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
EG = mgh – ER = mgh – EG EG = mgh – ER = mgh – EG/4
ER/EG = 1 R
ER/EG = 1/4 R/2
EG + ER = mgh
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
EG = mgh – ER = mgh – EG EG = mgh – ER = mgh – EG/4
ER/EG = 1 R
ER/EG = 1/4 R/2
EG + ER = mgh
" EG = mgh/2 = mvG2/2
vG = (gh)1/2, R に錘 m
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
回転運動と回転エネルギー
EG = mgh – ER = mgh – EG EG = mgh – ER = mgh – EG/4
ER/EG = 1 R
ER/EG = 1/4 R/2
EG + ER = mgh
" EG = mgh/2 = mvG2/2 " EG = 4mgh/5 = mvG
2/2
vG = (8gh/5)1/2, R/2 に錘 mvG = (gh)1/2, R に錘 m
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
氷
氷の詰まった缶
空の缶
液体の入った缶
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
氷
氷の詰まった缶
空の缶
液体の入った缶
円周の長さ分外側の氷の量が多い
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
氷
氷の詰まった缶
空の缶
液体の入った缶
円周の長さ分外側の氷の量が多い
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
氷
氷の詰まった缶
空の缶
液体の入った缶
水は摩擦なし
回転なし重心の並進運動のみ
円周の長さ分外側の氷の量が多い
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
氷
氷の詰まった缶
空の缶
液体の入った缶
水は摩擦なし
回転なし重心の並進運動のみ
円周の長さ分外側の氷の量が多い
vG
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
氷
氷の詰まった缶
空の缶
液体の入った缶
水は摩擦なし
回転なし重心の並進運動のみ
円周の長さ分外側の氷の量が多い
1vG
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
氷
氷の詰まった缶
空の缶
液体の入った缶
水は摩擦なし
回転なし重心の並進運動のみ
円周の長さ分外側の氷の量が多い
2 1vG
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
氷
氷の詰まった缶
空の缶
液体の入った缶
水は摩擦なし
回転なし重心の並進運動のみ
円周の長さ分外側の氷の量が多い
2 3 1vG
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
円柱鋼鉄
円柱大鋼鉄
プラスチック 球
これらの回転体の転がり速度の順番は?
プラスチック 球殻
円柱プラスチック
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
円柱鋼鉄
円柱大鋼鉄
プラスチック 球
これらの回転体の転がり速度の順番は?
プラスチック 球殻
円柱プラスチック
vG
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
円柱鋼鉄
円柱大鋼鉄
プラスチック 球
これらの回転体の転がり速度の順番は?
プラスチック 球殻
円柱プラスチック
1
vG
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
円柱鋼鉄
円柱大鋼鉄
プラスチック 球
これらの回転体の転がり速度の順番は?
プラスチック 球殻
円柱プラスチック
2 1
vG
2 2
˚2008/3/19 科学技術高校出張講義
転がし競争の予想!!
円柱鋼鉄
円柱大鋼鉄
プラスチック 球
これらの回転体の転がり速度の順番は?
プラスチック 球殻
円柱プラスチック
2 31
vG
2 2
回転運動の運動方程式˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
並進運動の運動方程式
回転運動の運動方程式
F = dP/dt
N = dL/dt剛体の運動を与える基本方程式
L = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
回転運動の運動方程式˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
並進運動の運動方程式
回転運動の運動方程式
F = dP/dt
N = dL/dt剛体の運動を与える基本方程式
L = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
回転運動の方程式と自転車の車輪˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dtL = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
回転運動の方程式と自転車の車輪˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dtL = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
r
r
回転運動の方程式と自転車の車輪˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dtL = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
r
r
v
v
L
回転運動の方程式と自転車の車輪˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dtL = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
F
F
r
r
NL
回転運動の方程式と自転車の車輪˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dtL = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
!"
#$%
回転運動のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dt
L = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
回転運動のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dt
L = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
1)転がり落ちる速さは、「回転運動をし難い」ほど遅くなる。
回転運動のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dt
L = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
1)転がり落ちる速さは、「回転運動をし難い」ほど遅くなる。
2)回転半径 r が大きい部分は速度が速くなるため「回転し難い」
回転運動のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dt
L = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
1)転がり落ちる速さは、「回転運動をし難い」ほど遅くなる。
2)回転半径 r が大きい部分は速度が速くなるため「回転し難い」
3)水は、缶との間に摩擦が無いため、「回転せず、並進運動のみ」な
ので速い。
回転運動のまとめ˚
2008/3/19 科学技術高校出張講義
N = dL/dt
L = mr!v 角運動量N = r!F 力のモーメント
1)転がり落ちる速さは、「回転運動をし難い」ほど遅くなる。
2)回転半径 r が大きい部分は速度が速くなるため「回転し難い」
3)水は、缶との間に摩擦が無いため、「回転せず、並進運動のみ」な
ので速い。4)回転軸の向きを変えようとすると、回転軸が直角方向に変わる。