8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
1/57
1
Formalizam kvantne mehanike
U ovom delu daemo principe kvantne mehanike optije nego to je to do sada raeno.
U klasinoj fizici je stanje sistema potpuno odreeno poznavanjem dinamikih varijabli za koje je sesmatralo da mogu da se mere sa proizvoljnom tanou.
U kvantnoj mehanici situacija je bitno drukija jer u kvantnoj mehanici merenje igra veoma bitnuulogu. Kvantna mehanika ustavari predvia broj u koliko puta e se javiti neki rezultat od mogug brojamerenja N indentino prepariranih statistikih ansambla. Drugim reima, kvantna mehanika predviastatistiku frekvenciju n/N ili verovatnou. U procesu ovakvog predvianja mogue je postaviti nekepostulate.
Postulat A. Svakom ansamblu fizi
kih sistema mogu
e je na neki odre
en na
in pridruiti talasnufunkciju ili funkciju stanja koja sadri sve informacije koje se mogu imati o tom asamblu. Ova funkcija je uoptem sluaju kompleksna i moe biti pomnoena proizvoljnim kompleksnim brojem bez promene njenogfizikog znaaja.
Ova funkcija mora da bude kvadratno integrabilna zbog naina na koji definiemo gustinuverovatnoe, a u vezi sa tim i uslova normiranja talasne funkcije
22),(),(;1),( trtrPrdtr
== . (1)
Ovde treba napomenuti da talasna funkcija i exp(i), gde je realana broj opisuju isto stanje.
Uoptenje navedenog razmatranja na fiziki sistem koji sadri N estica bez strukture mogue je u
konfiguracioni prostor; takav sistem se opisuje funkcijom ),,...,( 1 trr N
. Ova funkcija takoe mora da bude
kvadratno integrabilna pa je uslov normiranja
1),,...,( 12
1 = NN rdrdtrr
. (2)
Za normiranje talasnu funkciju veliina
2
11 ),,...,(),,...,( trrtrrP NN
= (3)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
2/57
2
moe da se interpretira kao gustina verovatnoe poloaja i to tako da je to verovatnoa nalaenja u trenutku t
estice 1 u elementu zapremine 1Vd
oko 1V
, estica 2 u elementu zapremine 2Vd
oko 2V
, itd.
Zapaamo da je
NN rdrdtrrPtrP 2111 ),,...,(),( = (4)
gustina verovatnoe poloaja estice 1 u taki 1r
u vremenu tnezavisno od poloaja ostalih estica. Slino,
verovatnoa moe da se definie za ostale estice.
Postulat 2. Princip superpozicije. Prema ovom principu ako 1 i 2 opisuju mogua stanja sistema
tada i
2211 += cc (5)
opisuju mogue stanje sistema. 1c i 2c su kompleksne konstante.
Kako u konfiguracionom prostoru tako i u impulsnom moemo da uvedemo talasnu funkciju sistemaod N estica bez strukture
( ) ( ) NNNNN rdrdtrrrprpi
tpp
1111
31 ),,...,(exp2),,...,(
++= . (6)
Ako je ),,...,( 1 trr N
normirana na jedinicu tada je i normirano na jedinicu
1),,...,( 12
1 NN pdpdtpp
(7)
a veliina
2
11 ),,...,(),,...,( tpptpp NN
= (8)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
3/57
3
je gustina verovatnoe u impulsnom prostoru da impuls estice 1 bude u elementu zapremine 1pd
oko 1p
,
estica 2 u elementu zapremine 2pd
oko 2p
, itd.
U kvantnoj mehanici se esto koriste Dirakove oznake i ovde emo eksplicitno uvesti neke od njih.
Skalarni proizvod se oznaava na sledei nain
rdrr
)()( 2*121 (9)
a za sistem estica
NNN rdrdrrrr
1121
*121 ),...,(),...,( . (10)
je bra vektora ket vektor. Vai relacija
*
1221 = . (11)
Dalje, moemo da navedemo sledee simbolike relacije za skalarne proizvode:
0za00 ==
2121 cc =
21*
21 cc =
2313213 +=+ . (12)
Uslov ortogonalnosti je 021 = a uslov normiranja 1= . Isti nain oznaavanja moe da se
koristi i u impulsnom prostoru.
Dinamika varijabla i operatori
Ranije smo ve videli da se svakoj dinamikoj varijabli pridruuje operator koji deluje natalasnu funkciju. Na taj nain moemo da formuliemo sledei postulat:
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
4/57
4
Postulat 3. Svakoj dinamikoj varijabli pridruuje se linearni operator. linearni operator se definierelacijom
( ) ( ) ( )22112211 AcAcccA +=+ (13)
gde su 1 i 2 dve talasne funkcije a 1c i 2c kompleksne konstante. Nain na koji se linearni operator
pridruuje dinamikim varijablama ve je definisan ranije.
Ranije smo ve pokazali kako operator deluje na svojstvenu funkciju dajui svojstvenevrednosti i svojstvene funkcije
nnn aA = (14)
a na osnovu ovog moemo da definiemo sledei postulat.
Postulat 4. Jedini rezultat preciznog merenja dinamike varijable A je jedna od svojstvenih
vrednosti na linearnog operatora A koji je pridruen dinamkoj varijabli .
Skup svih svojstvenih vrednosti ini spektar operatora i taj spektar moe da bude diskretan,kontinualan ili da bude meavina oba ova.
Takoe smo pokazali da od svih linearnih operatora dinamikim varijablama pridruujemo samo one
operatore koji imaju realne svojstvene vrednosti. Takvi operatori su Hermitski operatori i oni su definisaniuslovom
XAAX = (15)
gde su iXkvadratno integrabilne funkcije.
Ako je =X tada je
AA = (16)
a ovaj uslov smo ve imali ranije.
Matrini elementi A u ovakvoj notaciji obino se piu na sledei nain
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
5/57
5
AXAX = (17)
i jasno je da su matrni elementi realni kada je operator Hermitski. Polazei od nnn aA = dobijamo
nnnnn aA = (18)
a na osnovu ( ) *** nnn aA = imamo
( )nnnnn aA
* = (19)
i jasno je da je A Hermitski operator. Tada su leve strane jednaine (18) i (19) jednake pa iz jednakosti
desnih strana sledi*
nn aa = , a to je dokaz da su svojstvene vrednostui Hermitskih operatora realne.
Postulat 5. Ako se napravi serija merenja dinamike varijable na ansamblu sistema opisanih
talasnom funkcijom oekivana ili srednja vrednost ove dinamike varijable je
AA
= . (20)
Poto je A Hermitski operator A je realan broj. Ako je talasna funkcija normirana na jedinicu 1=
tada je
AA = . (21)
Vano je napomenuti da A ne predstavlja srednju vrednost u smislu klasine statistike.
Uobiajeno je da se uvede operator +A koji se naziva adjugovani ili Hermitski konjugovani. Ovajoperator se uvodi relacijom
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
6/57
6
( ) ( ) ( ) ** AXAXXAAXAX ==== +++ (22)
gde suXi kvadratno integrabilne funkcije.
Ako je
+= AA (23)
tada je A autoadjugovani operator, a na osnovu ( ) ( ) XAAX = jasno je da je autoadjugovanioperator Hermitski.
Treba napomenuti da u optem sluaju +A nije jednak operatoru *A koji se dobija zamenom svakog
i sa i. Na primer, operator impulsa u konfiguracionom prostorux
ipx= je Hermitski tako da je
xx pp =+
, dok je xx px
ip =
=
*. Dakle,
*xx pp
+.
Navedimo dve vane osobine adjugovanih operatora
( ) ++ = AcAc * (24)
( )+++ = ABBA . (25)
Funkcije operatoraAko funkcijaf(z) moe da se razvije u stepeni red
=
=0
)(i
i
izCzf (26)
tada operatorska funkcija )(Af moe da se definie kao
=
=0
)(i
i
iACAf . (27)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
7/57
7
Na osnovu ovog, ako je n jedna od svojstvenih funkcija operatora A koja odgovara svojstvenoj vrednosti
na tada je ( ) ni
nn
iaA = , a i
nnn afAf )()( = . (28)
Adjugovani operator operatora )(Af moe da se dobije na sledei nain
[ ] )()()()( *0
*
0
* ++
=
=
++
=== AfACACAf ii
i
i
i
i . (29)
Ako je A
autoadjugovani operator tada je
[ ] )()( * AfAf =+ . (30)
Jedinini, inverzni i unitarni operatoriJedinini operator I (u nastavku emo iznad operatora izostavljati ^) je operator koji svaku funkciju
ostavlja neizmenjenom
=I . (31)
Ako za dati operatorA postoji drugi operatorB takav da je
IABBA == (32)
tada jeB inverzni operator operatoraA i ozna
ava se kao
1= AB . (33)
Linearni operator Uje unitarni ako je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
8/57
8
+ = UU 1
ili
IUUUU == ++ . (34)
Takav operator moe da se predstavi u obliku
iAeU= (35)
gde jeA Hermitski operator. Tada je
( ) iAiA eeU ++ == .
Projekcijski operatori.Operatore nazivamo idempotentnim ako je
AA =2 .
Ako je ovaj operator jo iHermitski tada se on naziva projekcijskim operatorom.
Bilo koja funkcija moe da se izrazi kao zbir dve ortogonalne funkcije i X
X+=
gde je A= a )( AIX = . Potraimo sada skalarni proizvod funkcije iX
0)()( 2 === AAAIA
jer je 2AA = . Napominjemo da je iI-A takoe projekcijski operator i da je Hermitski
( ) AIAAIAI =+= + 22 .
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
9/57
9
Razvoj po svojstvenim vrednostima
Posmatrajmo dalje jednainu nnn aA = uz pretpostavku da jeA linearni Hermitski operator i da
su samim tim na realne veliine.
Razmotriemo najpre sluaj kad su sve svojstvene funkcije kvadratno integrabilne i da mogu dabudu normirane na jedinicu
1=nn . (36)
Ortogonalnost.
Ako su i i j dve svojstvene funkcije operatora A koje odgovaraju razliitim svojstvenim
vrednostima ia i ja tada je
iii aA = (37)
jjj aA = . (38)
Pomnoimo (37) s desna sa j a (38) s leva sa i , pa (38) oduzmemo od (37) i integralimo po celom
prostoru. Tada dobijamo
( ) 0)()( === jijijjijiijiji AAaaaa . (39)
Ovde smo iskoristili
injenicu da jeA Hermitski operator. Poto je ji aa , onda mora biti
jiji = 0 . (40)
Znai, svojstvene funkcije koje pripadaju razliitim svojstvenim vrednostima ortogonalne su.
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
10/57
10
Degeneracija.Pojam degeneracije smo ve uveli a ovde emo neto generalnije govoriti o tome.Pretpostavimo da je stepen degeneracije svojstvene vrednosti na tako da je odgovarajua talasna
funkcija ),...,2,1( =rnr reenje jednaine
)21 ,...,,(raA nrnnr == . (41)
Primenom mitovog postupka ortogonalizacije mogue je skup funkcija nr nainiti ortogonalnim i
svaka od njih moe biti normirana na jedinicu. Uslov ortogonalnosti moe da se izrazi jednom relacijom
rsijjsir = . (42)
Ukoliko moemo da eksplicitno izdvojimo indekse koji odgovaraju degeneraciji, relacijom ortogonalnostimoemo da bez gubitka optosti da napiemo
mnnm = . (43)
Postulat 6. Talasna funkcija koja predstavlja neko dinamiko stanje moe da se predstavi kaolinearna kombinacija svojstvenih funkcija operatoraA koji je pridruen dinamikoj varijabli.
U sluaju potpuno diskretnog spektra imamo
=n
nnC . (44)
Broj svojstvenih funkcija skupa }{ n moe da bude konaan ili beskonaan. Poto svaka talasna funkcija
moe da se razvije po svojstvenim funkcijama }{ n to znai da je skup }{ n kompletan. Vano je
napomenuti da kompletnost skupa }{ n nije obavezna za svaki Hermitski operator.
Koeficijenti razvoja u (44) mogu da se odrede korienjem relacije ortogonalnosti
n
n
nnn
n
nnnn CCC === . (45)
tako eksplicitno, za sluaj jednoestinog sistema imamao (izostavljajui vremensku zavisnost funkcije )
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
11/57
11
[ ] ')()'()'()(')'()'()( ** rdrrrrrdrrrn
nnn
n
nn
== . (46)
Takoe je
)'()()'(* rrrrn
nn
= . (47)
Relacija (47) je relacija zatvorenosti i uva kompletnost seta }{ n . Generalizacija na sluaj sistemaNestica
daje
)'()'()',...,'()',...,'( 1111*
NN
n
NnNn rrrrrrrr = . (48)
Koristei relaciju zatvorenosti (47) mo`emo da napiemo skalarni proizvod dve funkcije na sledei nain
.'),'()'()(),(
'),'()'(),(),(),(
*
**
=
===
n
nn
n
nn XrdtrrrdrtrX
rdrdtrrrtrXrdtrtrXX
(49)
Prema poslednjoj relaciji vidi se da u Dirakovoj notaciji relacija zatvorenosti moe da se napie
In
nn = (50)
gde jeIjedinini operator.
Amplitude verovatno}e.U stanju koje je opisano talasnom funkcijom normirane na jedinicu oekivana vrednost observable
A data je izrazom = AA . Ako razvijemo po }{ n i iskoristimo razvoj* tada je
====n
nn
nm
nmnnm
nm
nmnm aCaCCACCAA2
,
*
,
* . (51)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
12/57
12
Pri izvoenju poslednje jednaine iskoriena je relacija ortogonalnosti.
Po{to je normirana na jedinicu 1= tako|e se ima
12
=n
nC . (52)
Mogui rezultati merenja A su svojstvene vrednosti na , a srednja vrednost se dobija serijom merenja na
velikom broju identinih i repariranih sistema ija se stanja opisuju talasnom funkcijom . Prema Bornu
oekivana vrednost A moe da se povee sa veliinom
22
== nnn CP (53)
koja moe da se interpretira kao verovatnoa pa se merenjem dobija pojedinana vrednost na . Koeficijenti
= nnC su amplitude verovatnoe. Pri dobijanju poslednjeg rezultata implicitno smo ukljuili
degeneraciju. Ako hoemo da stanja degeneracije dobijemo eksplicitno uz pretpostavku da su na
degenerisana puta tada su ),...1( =rnr odgovarajue ortonormirane svojstvene funkcije. Tada je
=
=n r
nrnrC
1
(54)
to je
= nrnrC . (55)
Srednja vrednost je
=
=n r
nnr aCA
1
2. (56)
Da se merenjemA dobije generisana svojstvena vrednost na je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
13/57
13
==
==
1
2
1
2
r
nr
r
nrn CP . (57)
Posle merenja koje daje vrednost na sistem je opisan (nenormalibilnim) talasnom funkcijom
=
=
1r
rnrn C (58)
i ako se merenje ponovi trenutno tada e vrednost na da se dobije sa sigurnou.
Kontinualni spektar.U kvantnoj mehanici je est sluaj kad jedan operator ima spektar koji je delom diskretan a delom
kontinualan. Razmotrimo s toga sluaj operatora A koji ima takav spektar. Za diskretni deo spektra imamo
nnn aA = , a za kontinualni aa aA = . Kontinualna svojstvena vrednost je realna a diskretni spektar
neka je nedegenerisan.
Prema postulatu 6proizvoljna talasna funkcija moe da se razvija po kompletnom setu },{ an
pa je
+= daaCCa
nnn )( (59)
gde se integrali po kompletnom opsegu a.
Ako posmatramo sluaj u kome je normirana na jedinicu tada e srednja vrednost operatoraA biti
++
++=
=++
++==
.)()'(')'('
)(
)()'(')'('
)(
'*
'*
**
'
*
'
*
**
aa
n
nann
m
ammnmnn
m n
m
aan
nan
m
ammnmn
m n
m
aaCaCdadaaCaCda
aaCdaCaCC
aaCaCdadaaCaCda
aaCdaCaCCaA
(60)
Pri pisanju poslednje dve relacije upotrebili smo
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
14/57
14
.)(22
+===
aaCdaaCA
aAaA
n
nn
aannn
U nameri da koeficijente nC poveemo sa amplitudama verovatnoe poslednja relacija moe da se napie
kao
+= adaaCaCAn
nn
22)( . (61)
Da bi iz (60) mogli da dobijemo relaciju (61) oigledno je da vai sledee.
1. Sve svojstvene funkcije koje pripadaju kontinualnom spektru mora da budu ortogonalne svimsvojstvenim funkcijama koje pripadaju diskretnom spektru
0=an . (62)
2. Svojstvene funkcije koje pripadaju kontinualnom spektru moraju da zadovoljavaju uslovortonormiranosti
)'(' aaaa = . (63)
Koristei ovaj rezultat zajedno sa += daacC an
nn )( dolazimo do koeficijenata nC i C(a) i oni su
= nnC , = aaC )( . (64)
Komutirajue observable, kompatibilnost i Heisenberbove relacijeneodreenosti.
Ako su A i B kompatibilne observable one komutiraju.Komutirajue observable, kompatibilnost iHeisenberbove relacije neodreenosti imaju kompletan set zajednikih svojstvenih funkcija.
Pojam komutatora meu operatorima ve smo ranije imali. Sada emo te rezultate neto uoptiti.
Komutirajue observable.
Predpostavimo da suA iB dve observable. Ako postoji kompletan set funkcija n tako da je svaka
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
15/57
15
funkcija istovremeno svojstvena funkcija operatora A i B tada su A i B kompatibilne. Svojstveni problemioperatoraA iB su
nnn aA = i nnn bB = . (73)
U stanju opisanom sa n merenjemA dobija se precizan rezultat na , a merenjemB dobija se nb . I jedna i
druga mogu da se mere precizno bez ikakvih ogranienja.
Ako suA iB dve kompatibilne observable i ako je n zajednika svojstvena funkcija ima se
nnnnnnn BAabbaAB === . (74)
Poto bilo koja talasna funkcija moe da se razvije po kompletnom skupu svojstvenih funkcija n prema
=n
nnC i koristei (74) nalazimo
0)()( == n
nn BAABCBAAB (75)
tako da je
0][ = BAAB (76)
to pokazuje da kompatibilne observable meusobno komutiraju.
Ako dva operatora komutiraju oni imaju kompletan set zajednikih svojstvenih vrednosti.
Razmotrimo najpre sluaj u kome A ima nedegenerisani spektar svojstvenih vrednosti na . Tada ako A i B
komutiraju
)()( nnnn BaBABA == . (77)
Vidi se da je nB svojstvene funkcije operatora A sa svojstvenim vrednostima na . Poto je na
nedegenerisano nB moe od n da se razlikuje samo multiplikativnom konstantom koju emo da
oznaimo sa nb
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
16/57
16
nnn bB = (78)
a iz poslednje relacije se vidi da su n zajednike svojstvene funkcije operatora A i B sa svojstvenim
vrednostima na i nb .
Razmotrimo sada sluaj kada je na degenerisana svojstvena vrednost operatora A sa stepenom
degeneracije sa odgovarajuom linearnom nezavisnou svojstvenih funkcija ),..,(rnr 1= . PotoA iBkomutiraju nB je svojstvena funkcija A koja pripada degenerisanoj svojstvenoj vrednosti na . Sledi da
nB moe da se razvije na lanove sa linearno nezavisnih funkcija nnn ,...,, 21
=
1s
nsrsnr CB (79)
gde su rsC koeficijenti razvoja. Razvijmo linearnu kombinaciju nr sa konstantama rd pa je sada
= ==
1 11 r s
nsrsr
r
nrr CddB . (80)
Prema tome r
nrrd je svojstvena funkcijaB koja pripada svojstvenoj vrednosti nb tako da je
sn
r
rsr dbCd ==
1
),...,2,1( =s (81)
ako je sistem od homogenih linearnih jednaina za konstanti rd . Ovaj sistem ima netrivijelna reenja ako
je
0det = rsnrs bC . (82)
Ovo je jednaina reda za nb i prema tome ima reenja. Svakom reenju ),...,1()( == kbb knn
odgovara reenje )(krd , pa prema tome moemo da konstatujemo
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
17/57
17
=
=
1
)()(
r
nr
k
r
k
n d . (83)
Ove funkcije su istovremeno svojstvene funkcije operatoraA sa svojstvenim vrednostima na i operatoraB sa
svojstvenim vrednostima )(knb .
Svojstvena vrednost na zajedno sa svojstvenim vrednostima)(k
nb kompletno opisuje partikularne
zajednike svojstvene funkcije )(kn operatora A i B, tako da ako oba operatora posmatramo zajedno
degeneracija je skinuta.
Sprovedena analiza moe da se proiri na vie operatora A,B,C,... koji meusobno komutiraju i imajukompletan set zajednikih svojstvenih funkcija. Skup komutativnih observabli koji moe da se nae (za dati
sistem) naziva se kompletan set komutirajuih observabli. U ovom sluaju svojstvene vrednosti na , nb , nc ,...
kompleksno odreuju zajedniku svojstvenu funkcijun
po operatore A,B,C,... a time je degeneracija
kompletno skinuta.
Neka pravila algebre operatora.Lako je pokazati da je
.0]],[,[]],[,[]],[,[],[],[],[
],[],[],[
],[],[
=+++=
+=+
=
BACACBCBABABCBABCA
CABACBA
ABBA
(67)
Heisenbergove relacije neodreenosti
Ve smo ranije diskutovali relacije neodreenosti a ovde emo izvesti vrlo uoptene relacije
neodreenosti observablaA iB tako da je iBA =],[ .
Posmatrajmo dve observableA iB i neka je
BB
AA
oekivane vrednosti operatoraA iB u stanju . Neodreenost operatora odreujemo kao
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
18/57
18
( )[ ] 2/12AAA = (68)
pa je
( ) ( ) 2222 AAAAA == (69)
i analogno za operator B
( )[ ] 2/12BBB = (70)
i
( ) ( ) 2222 BBBBB == . (71)
Dokazaemo da je
],[2
1BABA . (72)
Da bi ovo dokazali uveemo linearne Hermitove operatore
AAA = , BBB = . (73)
Lako je pokazati da je
( ) 22 AA = , ( ) 22 BB = (74)
i
],[],[],[ BABBAABA == (75)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
19/57
19
Razmotrimo sada linearne (ali ne Hermitske) operatore
BiAC += (76)
gde je R realna konstanta. Adjugovani operator operatora C je BiAC =+ . Oekivane vrednosti
operatora +CC su realne i nenegativne, pa je
0== +++ CCCCCC . (77)
Ako sada u izrazu (77) zamenimo (76) dobija se
0],[))(( 222 +=+ BAiBABiABiA (78)
pa je i ovaj izraz realan i nenegativan.
Koristei (74) poslednji izraz se svodi na
],[)()(],[)( 222222 BAiBABAiBAf +=+= . (79)
Ovaj izraz je takoe nenegativan implicira da je ],[ BA isto imaginarna. Funkcija )(f ima minimum za
20 )(
],[
2 B
BAi
= , (80)
a vrednost )(f u minimumu je
( )2
2
20
)(
],[
4
1)()(
B
BAAf
+= . (81)
Poto je )( 0f nenegativna to mora da bude
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
20/57
20
( )222 ],[4
1)()( BABA (82)
a osobina ],[2
1BABA sledi ako uzmemo u obzir da je ],[ BA isto imaginarna. Ako je
iBA =],[ tada je iBA =],[ , pa iz (82) sledi da je
2
BA . (83)
Relacije neodreenosti za koordinate i impuls slede iz ovih relacija.
Unitarne transformacije
Sada emo pokazati da delujui unitarnim operatorom na talasnu funkciju koja opisuje stanje sistemadobijamo novu talasnu funkciju koja opisuje kompletno ekvivalentno opisivanje ovog sistema. Primenaunitarnog operatora na bilo koju funkciju pridruena sistemu naziva se unitarna transformacija.
Neka su i X dve funkcije i neka jeA linearni Hermitski operator takav da je
XA = . (88)
Primenimo unitarnu transformaciju Utako da je
= U' UXX =' . (89)
Piui
''' XA = (90)
dobijamo
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
21/57
21
== UAUXUA' (91)
pa je oigledno da je
UAUA =' . (92)
Poto za unitarne operatore vai IUUUU == ++ iz (92) sledi da je
+= UAUA' UAUA '+= . (93)
Istaknimo nekoliko rezultata.
1. Ako jeA Hermitski operator tada jeA takoe Hermitski.
Na osnovu (93) imamo
+++++ == UUAUAUA )(' (94)
i poto je += AA lako se vidi da je
'' AUAUA == ++ (95)
2. Operatorske jednaine pod dejstvom unitarne transformacije ne menjaju oblik.
Razmotrimo, na primer, operatorsku jednakost
CDCBCA 21 += (96)
gde su 1C i 2C konstante aB, CiD su operatori. Koristei injenicu da je IUUUU ==++ imamo
++++ += UDUUCUCUBUCUAU 21 (97)
ili
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
22/57
22
'''' 21 DCCBCA += (98)
gde suA,B, C iD transformi operatoraA,B, CiD.
Ako suA iB dva operatora za koje vai [A,B]=C gde je C kompleksan broj aA iB su transferi pa je
CBABA == ]','[],[ . (99)
Prema tome, unitarnim transformacijama se odravaju fundamentalne relacije kao to je komutativnost.
3. Svojstvene vrednosti operatoraA iste su kao i svojstvene vrednosti operatoraA.
Jednainu svojstvenih vrednosti moemo da napiemo u sledeem obliku
nnn UUaAUU ++ = . (100)
Delujui na ovu jednainu operatorom Udobijamo
( )( ) ( )( )nnn UUUaUUAU ++ = (101)
tako da lako vidimo da je
''' nnn aA = . (102)
Znai, svojstvene vrednosti operatoraA i += UAUA' su iste.
4. Veliine AX nepromenljive su delovanjem unitarne transformacije.
Ovo moe da se dokae na sledei nain
''')()( === +++ AXUUAUUXUUAUUXAX . (103)
Ako jeA=Itada je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
23/57
23
'' = XX (104)
to pokazuje da se unitarnim transformacijama ne menja skalarni proizvod. Kao posledica ovoganormalizacioni uslov se takoe ne menja unitarnim transformacijama
'' = . (105)
Na osnovu ovog zakljuujemo da veliine kao to su svojstvene vrednosti ili oekivane vrednosti imaju istuvrednost kad se radi sa polaznim i transformisanim vrednostima. Unitarnim transformacijama moe da se
prelazi sa jedne na drugu reperezentaciju ili da se formiraju nove reprezentacije operatora.
Kao primer, razmotriemo jednodimenzionalno kretanje estice za koju je u kordinatnoj
reprezentaciji talasna funkcija (x,t). Koordinata i impuls su dati operatorima xxop
= ix
ipopx
= )( .
Furierova transformacija daje prelaz sa koordinatne na impulsnu reprezentaciju i ova transformacija jeunitarna. Moemo pisati
+
== dxtxetxUtp txipxx ),()2(),(),( /2/1 . (106)
Inverzna transformacija je
+
+ == xxtxip
x dptpetpUtxx ),()2(),(),( /2/1 . (107)
Dakle
),(),(),( txtpUtxUU x ==++ (108)
i takoe
),(),(),( tptxUtpUU xx ==+ (109)
pa je lako videti da je IUUUU == ++ , a to znai da je integralni operator definisan u relaciji (106)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
24/57
24
unitarni.
Na osnovu Parsevalove teoreme je:
+
+
=xx
dptpdxtx22
),(),( (110)
a to je sluaj optije relacije
'' = XX .
Infinitezimalna unitarna transformacija
Neka se unitarni operator Uveoma malo razlikuje od jedininog operatoraI. Unitarna transformacijae biti infinitezimalna. Moe se pisati
FiIU += (111)
gde je realan i proizvoljno mali parametar a Fje Hermitski operator. Lako se vidi da je
FiFiIFiIFiIUUI ++== ++ ))(( (112)
a na osnovu prethodne relacije je 0)( = +FF pa je time i
+= FF . (113)
Operator F je tzv. generator infinitezimalnih transformacija. Primenom infinitezimalnih unitarnihtransformacija talasna funkcija se transformie na sledei nain
+=+ )(' FiI (114)
pa je
= Fi . (115)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
25/57
25
Na osnovu += UAUA' , UAUA '+= , FiIU += i += FF pod dejstvom infinitezimalne unitarnetransformacije operator se transformie kao
)()(' FiIAFiIAAA +=+= . (116)
Matrina reprezentacija talasnih funkcija i operatora
Razmotriemo kompleksan set ortonormiranih funkcija }{ n . Zbog jednostavnosti pretpostavi}emo
da je n diskretno. Svaka talasna funkcija koja odgovara fizikom sistemu moe da se razvije po
ortonormiranom setu }{ n , a koeficijent razvoja se odre|uje skalarnim proizvodom = nnC . Za dati
set }{ n razvoj je kompletan a koeficijenti nC se nazivaju reprezenti u bazisu (ili reprezentaciji)}{ n .Ako set funkcija }{ n shvatimo kao nekakve koordinatne ose tada su nC odgovaraju}e komponente
funkcije du osa }{ n .
Delovanjem Hermitovog operatoraA na talasnu funkciju daje drugu talasnu funkciju
= AX . (117)
Talasna funkcijaXtakoe moe da se razvije po setu }{ n pa je
=m
mmdX . (118)
Koeficijenti md su odreeni kao Xd mm = . Koristei (117) i =n
nnC dobija se
=== nnnmmmm CAAXd . (119)
Veliine
mmmn AA = (120)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
26/57
26
su nazvane matrini elementi operatora A na bazi }{ n . Jednaina =n
nnmm CAd moe da se
napie kao
=n
nmnm CAd . (121)
Matrini element mnA potpuno odreuju operator A u okviru bazisa }{ n . Jednainu (121) moemo da
napiemo u matrinom obliku na sledei nain
ACd= (122)
odnosno
=
2
1
2221
1211
2
1
C
C
AA
AA
d
d
. (123)
Na osnovu = nnC i nn Xd =*
skalarni proizvod X moe da se napie na sledei nain
+==n
nn CdCdX*
. (124)
Ako ovo predstavimo u matrinom obliku dobija se
( )
=
2
1*
2
*
1 C
C
ddX . (125)
Promena reprezentacije i unitarne transformacije.Ve smo rekli da unitarnom transformacijom moemo da preemo sa jedne na drugu reprezentaciju.
Primenom unitarne matrice mogue je prei sa jedne na drugu matrinu reprezentaciju.
Predpostavimo da su }{ n i }{ m dve razliite ortonormirane baze. Svaki lan seta }{ n moe da
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
27/57
27
se razvije po bazisu }{ m na sledei nain
=n
mmnn U . (126)
Koeficijenti razvoja mnU su dobijeni tako to su obe strane prethodne jednaine skalarno pomnoene sa m .
Na taj nain se dobija
nmmnU = . (127)
Pokaza}emo da su mnU matrini elementi unitarne matrice. I zaista
mnnm
k
nkkm
k
nkmk
k
knmkmn
UU
UUUU
==
==
==
==
++
*
)()(
mnnm
k
nkkm
k
knkm
k
knmkmn
UU
UUUU
==
==
==
==
++
*
)()(
(128)
Na isti nain se pokazuje da je
mnmnmn UUUU )()(++ == (129)
tako da je jasno da je Uunitarni operator predstavljen unitarnom matricom, pa je
IUUUU == ++ .
Pretpostavimo da je talasna funkcija predstavljamo u bazisu }{ n koeficijentima nC a u bazisu }{ m
koeficijentima md . Tako je, dakle
==m
mm
n
nn CC ' (130)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
28/57
28
gde je
= nnC i = mmC ' . (131)
Koristei relaciju zatvorenosti In
nn =
i jednainu nmmnU = dobija se
===n
nmn
n
nnmmm CUC ' . (132)
Poslednji rezultat u matrinom obliku moe da se napie na sledei nain
CUC
=' . (133)
Ovo je matrino izraavanje unitarne transformacije.
Na slian nain moemo da vidimo kako se transformie matrina reprezentacija operatora. Ako jeA
matrina reprezentacija operatora A u bazisu }{ n a A matrina reprezentacija istog operatora u bazisu
}{ m tada je
+===k l
klmkmll
k l
kkmmmmn UAUAAA ln)(' . (134)
Prema ovome vidi se da je
+= UAUA' i UAUA '+= . (135)
Ranije smo ve rekli da dva Hermitska operatora koji su meusobno povezani unitarnom transformacijomimaju iste svojstvene vrednosti. Ova osobina moe da se primeni i na Hermitske matrice pa je mogue nai
unitarnu transformaciju koja Hermitsku matricu prevodi u dijagonalnu matricu+= UAUA' . Na osnovu
ovog moemo da formuliemo fundamentalnu teoremu matrine algebre. Bilo koja Hermitska matrica moeda se dijagonalizuje unitarnom transformacijom. Druga vana teorema je da bi dve Hermitske matrice A i Bmogle da se dijagonalizuju istom unitarnom transformacijom potrebno je i dovoljno da ove matrice
komutiraju (AB=BA). Takoe vana osobina unitarne transformacije je da se trag matrice ne menja. Neka su
matriceA iA povezane unitarnom transformacijom tako da je += UAUA' , tada je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
29/57
29
[ ]
.
)()(''
TrAAA
AUUUAUATrA
k
kk
k l
kllk
k l m
klmklm
k l m
lmklmk
m
mm
===
====
++
(136)
Na osnovu poslednje jednaine i osnovne teoreme dijagonalizacije jasno je da je trag Hermitske matricesuma njenih svojstvenih vrednosti.
Linearni harmonijski oscilator (LHO)
Hamiltonijan LHO je kao to je ve pokazano
222
22
2
1
22
1
2 xmm
p
kxm
p
Hxx
+=+= (137)
gde je mk/2 = .
Uveemo operator
= x
mi
m
pia x
2/1
2/1)(2
. (138)
Poto su xp ix Hermitski operatori +a i a su adjugovani jedan drugom:+
+ = aa ;+
+ = aa .
Koristei osnovnu komutacionu relaciju ipx x =],[ lako je pokazati da za operatore a i +a vai
komutaciona relacija
1],[ =+ aa . (139)
Primenom operatore a i +a Hamiltonijan (137) moe da se napie na sledei nain
+=
+=
=+= ++++
2
1
2
1
2
1)(
2NaaaaaaaaH
. (140)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
30/57
30
Ovde smo uveli oznaku
+= aaN . (141)
Lako je pokazati da je
= aaH ],[ . (142)
Svojstveni problem Hamiltonijana moemo da napiemo na sledei nain
EEEH = . (143)
Na osnovu (142) i (143) vidi se da je
EaEEaHaEHa == )()( . (144)
Na osnovu poslednje relacije vidimo da je ket Ea takoe svojstveni vektor operatora H, a njegova
svojstvena vrednost je )( E . Poto +a poveava a a smanjuje vrednost E operatori +a i a se
nazivaju operatori poveanja i smanjenja. PotoHzavisi od xp ix iskljuivo kvadratno oekivane vrednosti
H u bilo kom stanju ne mogu biti negativne, odnosno svojstvene vrednosti operatora H moraju da budunenegativne.
Neka je 0E najmanja svojstvena vrednostHi neka joj odgovara svojtveni ket 0E . U tom sluaju
jasno je da mora da bude
00 = Ea (145)
jer bi inae 0Ea bio ket koji odgovara svojstvenoj vrednosti 0E koja ne moe da postoji jer smo
predpostavili da je 0E minimalna vrednost. Mnoei poslednju relaciju s leva sa +a (bolje je rei delujui
na ket ovim operatorom) dobijamo
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
31/57
31
02
1000 =
==+ EHENEaa . (146)
Pri dobijanju poslednje relacije iskoristili smo da je
+=
2
1NH i += aaN .
Iz relacije (146) vidimo da je svojstvena vrednost 0E data ka 20
=E . Na osnovu relacije (144)
vidimo da ako na 0E delujemo operatorom +a dobijamo sukcesivno ostale ketove (nenormirane)
0E , 0Ea+ , 02
Ea+ , ... (147)
Svojstveni ket 0Ean
+ odgovara svojstvenoj vrednosti
+=
2
1nEn n=0,1,2,... (148)
Neka je nE normirani svojstveni ket koji odgovara svojstvenoj vrednosti nE a 1+nE odgovara
svojstvenoj vrednosti 1+nE .
Na osnovu (147) vidimo da je
nnn EaCE +++ = 11 . (149)
1+nC je koeficijent norme. Poto je 111 =++ nn EE i+
+ aa nalazimo da je
121 =++ nnn EaaEC . (150)
Poto je2
1++
Haa , nnn EEEH = i takoe 1=nn EE nalazimo
11 +=+ nCn . (151)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
32/57
32
Vidimo da su koeficijenti norme realni.
Na bazi { }nE koja ini ortonormiranu bazu (n=0,1,2,...) operatorHje predstavljen dijagonalnom
matricom iji su matrini elementi
+=
2
1nEn a operator predstavljen takoe dijagonalnom matricom
sa elementom n. Zbog toga se ova reprezentacija esto naziva energijska reprezentacija.
=
2
500
02
30
002
1
H ,
=
200
010
000
N (152)
Na osnovu (149) i ortogonalnosti svojstvenih ketova koji pripadaju razliitim svojstvenim vrednostimaimamo
1,11 ++++ == nknknnk EaECEE (153)
ki n uzimaju vrednosti 0,1,2,... .
Prema tome, matrini elementi operatora +a u reprezentaciji { }nE su
1,2/1)1()( ++ += nkkn na (154)
i vidimo da je +a realna matrica koja ima elemente razliite od nule samo na dijagonali koja je odmah ispod
glavne dijagonale. Poto je+
+ aa a +a je realna matrica lako nalazimo da matrica a ima elemente
nkkn ka ,12/1)1()( + += (155)
razliite od nule na dijagonali iznad glavne dijagonale.
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
33/57
33
=+
300
020
001
000
a ,
=
3000
0200
0010
a (156)
Matrini elementix i xp mogu lako da se nau direktno iz (156) ako se uzme u obzir da je
= x
mi
m
pia x
2/1
2/1)(2
.
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
34/57
34
redingerova jednaina i vremenska evolucija sistema
Ovde emo formulisati jo jedan postupat kvantne mehanike koji govori o vremenskoj evolucijikvantnog sistema.
Postulat 7. Vremenska evolucija talasne funkcije sistema odreena je vremenski zavisnomredingerovom jednainom
)()( tHtt
i =
(157)
gde jeHhamiltonijan i predstavlja ukupnu energiju sistema.
Operator evolucije.Poto je jednaina (157) jednaina prvog reda po vremenu operator stanja )(t je odreen u
svakom tako je poznat u 0t . Zbog toga emo da uvedemo operator evoluvije ),( 0ttU takav da je
)(),()( 00 tttUt = (158)
sa osobinom da je
IttU =),( 00 . (159)
Ako dva puta primenimo definiciju (158) dobijamo
),'()',(),( 00 ttUttUttU = (160)
i
),(),( 001
ttUttU = . (161)
Vidimo da evolucioni operator pokazuje osobine grupe. Ako (150) zamenimo u redingerovoj jednainividimo da operator evolucije zadovoljava jednainu
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
35/57
35
),(),( 00 ttHUttUt
i =
(162)
sa poetnim uslovom IttU =),( 00 .
Diferencijalna jednaina (162) zajedno sa poetnim uslovom moe da se zameni integralnomjednainom
'),'(),(1
0
00 dtttHUi
IttU
t
t
= . (163)
Odravanje verovatnoe zahteva da bude
)()()()( 00 tttt = . (164)
Polazei od definicije operatora evolucije dobijamo
)(),(),()()(),()(),()()( 00000000 tttUttUttttUtttUtt ==+ (165)
odakle vidimo da je
IttUttU =+ ),(),( 00 . (166)
A ako poemo od )()( 00 tt dobijamo
IttUttU =+
),(),( 00 (167)
a relacije (166) i (167) pokazuju da je operator evolucije unitarni operator.
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
36/57
36
Unitarni karakter operatora evolucije povezan je sa injenicom da je Hamiltonijan ermitskioperator. Da bi pokazali ovu vezu posmatraemo promenu operatora evolucije za proizvoljno malo vreme
t. Na osnovu jednaine ),(),( 00 ttHUttUt
i =
imamo
[ ] ttttHUttUtttUt
i ),(),(),( 000000 +=+
. (168)
Ako se zadrimo samo na lanovima koji su proporcionalani sa t i ako iskoristimo poetni uslov
IttU =),( 00 dobijamo
tHi
ItttU
=+ ),( 00 . (169)
Hamiltonijan je generator infinitezimalne unitarne transformacije, ustavari konkretno, generator
infinitezimalne vremenske translacije koja je opisana evolucionim operatorom ),( 00 tttU + .
Razmotrimo poseban sluaj kad hamiltonijan ne zavisi od vremena. Reenje jednaine
),(),( 00 ttHUttUt
i =
uz poetni uslov IttU =),( 00 u ovom sluaju je
= )(exp),( 00 ttH
ittU
. (170)
To je formalno reenje redingerove jednaine za vremenski nezavisan hamiltonijan. Odatle iz
)(),()( 00 tttUt = sledi
)()(exp)( 00 tttHi
t
=
. (171)
Ako posmatramo kretanje estice bez strukture u vremenski nezavisnom potencijalu talasna funkcija je
=
= '),'()'()(exp),()(exp),( 0000 rdtrrrttH
itrttH
itr
. (172)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
37/57
37
Prema relaciji zatvorenosti koju zadovoljavaju energijske svojstvene funkcije
)'()()'(* rrrrE
EE
=
jednaina (172) se svodi na
=
E
EE rdtrrrttHi
tr '),'()()'()(exp),( 0*
0
. (173)
Ako uzmemo u obzir da je EE EH = tada je
)'()(exp)'()(exp 00 rttEi
rttHi
EE
=
(174)
pa se relacija (173) svodi na
[ ] )()(exp'),'()'(),( 00*
rttE
i
rdtrrtr EEE
=
a ovo se potpuno slae sa onim to smo ranije ve izveli za energijske svojstvene funkcije.
Promena oekivanih vrednosti sa vremenom.Razmotrimo observabluA. Oekivana vrednost ove observable u stanju normirana na jedinicu
je A . Izvod ovoga po vremenu je
.)()( 11 +
+=
=
+
+
==
AHiA
tAHi
tAA
tA
tA
dt
dA
dt
d
(175)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
38/57
38
Poto jeHHermitski to moemo pisati = HAAH pa se relacija (175) svodi na
[ ]t
AHAiA
dt
d
+= ,)( 1 (176)
gde je [ ] == HAAHHAHA ],[, i
=
A
tt
A.
Ako operator A ne zavisi eksplicitno od vremena tada je 0=
t
Apa se relacija (176) svodi na
[ ]HAiAdt
d,)( 1= . (177)
Moemo sada da zakljuimo. Ako operator ne zavisi eksplicitno od vremena i ako komutira saHamiltonijanom tada se njegova oekivana vrednost ne menja sa vremenom, pa onda kaemo da tajoperator predstavlja observablu koja je konstanta kretanja.
Vremenski nezavistan Hamiltonijan.Razmotrimo kao primer za predhodnu diskusiju sluaj sistema iji Hamiltonijan ne zavisi od
vremena 0=
t
H. Ako primenimo relaciju (177) dobijamo
0],[)( 1 == HHiHdt
d (178)
to znai da je ukupna energija konstanta kretanja. Ovo je analogno odranju energije u konzervativnomsistemu u klasinoj mehanici.
Neka je E svojstvena funkcija vremenski nezavisnog hamiltonijana H i neka je Eodgovarajua
svojstvena vrednost. Za stacionarno stanje ( )/exp iEtEE
= i vremenski nezavistan operator A
jasno je da oekivana vrednost EEEE AA = ne zavisi od vremena. U ovom sluaju relacija
[ ]HAiAdt
d,)( 1= svodi se na
0],[ =EE HA . (179)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
39/57
39
redingerova jednaina za dvoestini sistemKao primer vremenske evolucije sistema razmotri}emo sluaj dve estice masa 1m i 2m koje
interaguju vremenski nezavisnim potencijalom )( 21 rrV
koji zavisi samo od relativne koordinate
21 rr
. Klasian hamiltonijan sistema je
)(22 212
22
1
21 rrV
m
p
m
pH
++= . (180)
Zamenom 11 rip i 22 rip dobijamo kvantnomehaniki hamiltonov operator pa je
odgovarajua vremenski zavisna redingerova jednaina
),,()(22
),,( 21212
1
22
1
2
21 21trrrrV
mmtrr
ti rr
+=
. (181)
Kao i u klasinoj mehanici, ovaj problem moe da se pojednostavi uvoenjem relativnekoordinate
21 rrr
= (182)
i vektora
21
2211
mm
rmrmR
+
=
(183)
koji odreuje poloaj centra masa (CM) sistema.
Ako izvrimo smenu promenljivih sa koordinata ),( 21 rr
na nove koordinate ),( Rr
nalazimo
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
40/57
40
22
22
2
1
22
1
2
2222 21 rRrr Mmm
=
(184)
gde je 21 mmM += ukupna masa i21
21
mm
mm
+= redukovana masa sistema. Ovakvom smenom
redingerova jednaina postaje
),,()(22
),,( 22
22
trRrVM
trRt
i rR
+=
. (185)
Jednaina (185) moe da se dobije uvoenjem relativnog impulsa
21
2112
mm
pmpmP
+
+=
i ukupnog impulas
21 ppp
+= , pa je2222
22
2
22
1
21 p
M
P
m
p
m
p
+=+ , a zamenom RiP
, rip
dobija se
jednaina (185).
Reenje redingerove jednaine (185) moe da se napie u obliku
[ ]
/)(exp)()(),,( tEEirRtrR CM += (186)
gde funkcije )(R
i )(r
zadovoljavaju jednaine
)()(2
22
RERM
CMR
= (187)
i
)()()(
2
22
rErrVr
=
+ . (188)
Ukupna energija je EEE CMtot += .
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
41/57
41
Slike kvantne mehanike
U kvantnoj mehanici su razraene mnoge reprezentacije talasnih funkcija i observable i one sumeusobno povezane unitarnim transformacijama. Za dalji rad pogodno je izdvojiti neke klasereprezentacije i to nazvati slikama. Slike kvantne mehanike meusobno se razlikuju po nainu tretiranja
vremenske evolucije kvantnog mehanikog sisteme. Najee koriene slike kvantne mehanike suredingerova, Hajzenbergova i Interakciona slika.
redingerova slika je ona koju smo do sada uglavnom koristili; ona u kojoj operatori koji
predstavljaju koordinatu i impuls ),( ii pr
ne zavisi od vremena. Vremenska evolucija sistema odreena je
vremenski zavisnom talasnom funkcijom )(t koja je reenje redingerove jednaine
)()( tHtt
i =
. Talasna funkcija )(t je sa svojom vrednou u 0tt= povezana je evolucionim
operatorom ),( 0ttU ; )(),()( 00 tttUt = . Zavisnost od vremena oekivanih vrednosti u bazi
vremenski nezavisnih operatora ir
i ip
data je izrazom
],[)( 1 HAiAdt
d = . (189)
Hajzenbergova slika je dobijena iz redingerove slike primenom na redingerovu talasnu funkciju )(t
unitarnog operatora ),(),( 00 ttUttU =+ . Rezultat je talasna funkcija u Hajzenbergovoj slici (ili funkcija
stanja) H koja je
)()(),()(),( 000 ttttUtttUH ===+ . (190)
Vidi se iz (190) da talasna funkcija u Hajzenbergovoj slici ne zavisi od vremena, a u nekom fiksiranom
trenutku 0t ona se poklapa sa talasnom funkcijom )( 0t .
Koristei )(),( 0 tttUH =+ i += UAUA' nalazimo operator u Hajzenbergovoj slici
),(),(),(),( 0000 ttAUttUttAUttUAH++ == (191)
gde je A operator u redingerovoj slici. Vidi se da je HA zavistan od vremena ak i kad A ne zavisi od
vremena. Vremenska promena )(tAH moe da se odredi na sledei nain
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
42/57
42
t
UUAU
t
AUAU
t
UtA
dt
dH
+
+
=
+++)( . (192)
Koristei HUUt
i =
kao i injenicu da jeHHermitski a Uunitarni operator nalazimo
+++
++= U
t
AUUAHAUHAUitA
dt
dH )()()(
1 . (193)
Uzimajui u obzir da je
+= UHUHH ,+
=
U
t
AU
t
A
H
(194)
imamo
H
HHHt
AHAitA
dt
d
+= ],[)()( 1 (195)
a to je Hajzenbergova jednaina kretanja za operator HA .
Kao primer moemo da razmotrimox komponente vektora poloaja i impulsa estice xp . Poto
su ovi operatori u redingerovoj slici vremenski nezavisni 0=
=
t
p
t
x x prema (194) i (195) imamo
],[)( 1HH
H Hxidt
dx = (196)
],)[()()( 1
HHx
Hx Hpidt
pd = . (197)
Koristei osnovne komutacione relacije
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
43/57
43
ipzpypx zyx === ],[],[],[
koje se ne menjaju unitarnim transformacijama, lako se pokazuje da je
Hx
HH
p
H
dt
dx
)(
= ,
H
HHx
x
H
dt
pd
=
)((198)
a ove jednaine su ekvivalentne Hamiltonovim kanonskim jednainama klasine mehanike. Ovde se vidida je Hajzenbergova slika bliska kanonskoj formulaciji klasine mehanike.
Poto su slike kvantne mehanike povezane meusobno unitarnim transformacijama sve relevantnefizike veliine su iste u obe slike. Treba primetiti da ako je Hamiltonov operatorHu redingerovoj slicivremenski nezavistan evolucioni operator u toj slici dat je izrazom
= )(exp),( 00 ttH
ittU
(199)
a Hajzenbergova talasna funkcija H tada je sa redingerovom talasnom funkcijom povezana relacijom
)()(exp)( 00 tttHi
tH
==
(200)
a na osnovu += UHUHH vidimo da je HHH = . Ponekad je pogodno definisati neke druge slike gde
se unitarna transformacija primenjuje na redingerovu talasnu funkciju )(t koristei ne ceo
Hamiltonijan ve njegov deo. Takve slike se nazivaju interakcione slike.
Interakciona slika.Razmotrimo primer jedne interakcione slike u kojoj Hamiltonijan sistema moemo da napiemo
kao zbir dva dela od kojih jedan ne zavisi od vremena a drugi zavisi
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
44/57
44
)()( )1()0( tHHtH += . (201)
redingerova jednaina za vektor stanja )(t ima oblik
[ ] )()( )1()0( tHHtdt
di += . (202)
Preimo na novu sliku unitarnom transformacijom pomou operatora )()0( tU koji zadovoljava jednainu
)0()0( HUUdt
di = . (203)
Ukoliko bi u (201) bilo 0)1( =H onda bi pomou )()0( tU preli na Hajzenbergovu sliku. Talasnu
funkciju u redingerovoj slici moemo da napiemo kao
)(),()( 0)0( tttUt I= (204)
gde je )(tI vektor stanja u novoj, interakcionoj slici. U jednaini (204) sve veliine posmatramo u
trenutku t, a to karakterie poetni trenutak pa je IttU =),( 00 . Iz (204) sledi da je
)(),()( 0)0( tttUtI =
+
(205)
a oigledno je da je u poetnom trenutku )()( 00 ttI = .
Jednaina za odreivanje )(tI moe da se nae diferenciranjem po vremenu relacije (205)
( ) ).()(
)()()(
)1()0()0()0()0(
)0()0(
tHHUtHU
tdt
dUitU
dt
dit
dt
di I
++=
==
++
++
Daljim sreivanjem dobija se
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
45/57
45
).()( )0()1()0( tUHUtdt
di II =
+
(206)
Ako uzmemo u obzir da je
)0()1()0()1( )( UHUtHI+
= (207)
dobijamo
).()( )1( tHt
dt
di III = (208)
Prema (208) za bilo koji operator prelaz iz redingerove na interakcionu sliku se odvija preko relacije
)0()0()( AUUtAI+
= . (209)
Jednaina kretanja za operator u interakcionoj slici dat je formulom
[ ]III HAAdt
di ,= . (210)
Fiziki rezultati su isti u svim slikama pa je prema tome
)()( tAtA II = . (211)
Principi simetrije i zakoni odranja
U ovom odeljku emo razgovarati o principima simetrije i njihovoj vezi sa zakonimaodranja.
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
46/57
46
Prostorne translacije i odranje impulsa.Posmatramo vezu izmeu osobina translacije sistema i odranje impulsa.
Translaciona transformacija vektora poloaja je
arraTr += )(' (213)
gde je )(aT
operator posmatrane translacije. Inverzna translacija )(1 aT definisana je kao
arraTr
== '')(1 . (214)
Posmatrajmo prost sluaj jednoestinog sistema. U trenutku 0t taj sistem opisuje prostorna talasna
funkcija ),()( 0trr . Neka je nakon translacije za dati vektor a sistem opisan talasnom funkcijom
)(' r
. Ove dve talasne funkcije ( ))(')( rr
i meusobno su povezane operatorom )(aUT
koji je
definisan kao
)()()(' raUr T
= . (215)
Poto je pomenuta translacija ekvivalentna pomeranju koordinatnog poetka sa vektorom a
, jasno je da
je
)()(')(' rrTar
==+ (216)
ili alternativno
)()()()()(' 1 arrTraUr T
=== . (217)
Poto fizike osobine sistema ne mogu da se menjaju ovim translacijama )(aUT
mora biti unitarni
operator.
Eksplicitni oblik operatora )(aUT
moe biti odreen razmatrajui najpre efekte infinitezimalne
translacije a
na talasnu funkciju. Koristei (217) i zadravajui lanove prvog reda po a
imamo
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
47/57
47
)()()()()(
)()()(' raIz
ra
y
ra
x
rararr zyx
=
== . (218)
Uporeujui (217) i (218) vidimo da je operator infinitezimalne unitarne translacije
opT Pai
IaIaU
== )( (219)
Iz poslednje relacije vidimo da operator impulsa generie infinitezimalne translacije.Konane translacije mogu da se dobiju izvoenjem sukcesivnih infinitezimalnih translacija u
koracima po a
. Napiimo naa /
= , gde je n ceo broj, pa pustimo da n , a time dobijamo
=
==
op
n
op
nT Pa
i
n
PaiIaIaU
explim)( . (220)
Ako je talasna funkcija )(r
svojstvena funkcija operatora impulsa sa svojstvenom vrednou p
= pPop
(221)
pokazuje se da je
= opT Pa
iaU
exp)( . (222)
Posmatrajui poslednju relaciju vidi se da ovakva translacija ne menja stanje sistema. Kao posledicaovoga imamo da svojstvena vrednost operatora impulsa ostaje neizmenjena dejstvom operatora translacije.
Ovaj rezultat moe da se generalizuje na sistem od N estica. U ovom sluaju operatorinfinitezimalne unitarne translacije dat je sa
opT Pai
IaU
= )( (223)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
48/57
48
gde je generator translacije opP
operator ukupnog impulsa
opNopopop pppP )()()( 21
+++= . (224)
Unitarni operator konane translacije je
= opT Pa
iaU
exp)( . (225)
Poto je HamiltonijanHizolovanog sistema invarijantan na bilo koju translaciju sledi da je
HaHUaUH TT ==+ )()('
(226)
za infinitezimalne translacije do lanova reda a
dobijamo
[ ]HPaiHaHUaU opTT ,)()(
=
+ , (227)
a uporeujui poslednja dva izraza dobijamo da je
[ ] 0, =HPop
(228)
a ovo znai da je ukupni impuls konstanta kretanja. Moemo da zakljuimo da je odranje ukupnogimpulsa izolovanog sistema rezultat invarijantnosti Hamiltonijana u odnosu na translaciju.
Zakoni konzervacije i kontinualne translacije simetrije.
Prethodnu diskusiju emo generalisati na bilo koju neprekidnu translaciju simetrije. Neka
Hamiltonijan H izolovanog sistema bude invarijantan na translacije simetrije S. Ako je sU operator
kojim se sprovodi ova translacija, njegovo dejstvo na talasnu funkciju je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
49/57
49
= sU' . (229)
Neka jeA jedna observabla aA njen transform pod dejstvom translacije opisane sa sU . Poto oekivana
vrednost merenjaA u dinamikom stanju ' mora da bude ista sa oekivanom vrednou observableA ustanju , to je
== ss UAUAA '''' (230)
pa je oigledno
+= ssAUUA' , ss UAUA '
+= . (231)
U posebnom sluaju ako posmatramo HamiltonijanHkoji je invarijantan na operaciju simetrije S to je
HHUUH ss == '' . (232)
Ako je translacija simetrije neprekidna tada svaki operator sU moe da se izrazi kao proizvod operatora
sU koji odgovara infinitezimalnoj transformaciji simetrije, pa je
ss FiIU +=)( (233)
gde je realan, proizvoljno mali parametar a sF generator infinitezimalne unitarne transformacije
(Hermitski je operator).
Do prvog reda po imamo
[ ]HFiHHUUH sss ,)()(' +==+
. (234)
Uporeujui poslednji izraz sa (232) jasno je da je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
50/57
50
[ ] 0, =HFs . (235)
Jasno je da ako sF ne zavisi od vremena tada e oekivane vrednosti sF biti nepromenljive sa
vremenom, pa je tako sF konstanta kretanja.
Jednaina (235) je generalizacija, na bilo koju neprekidnu translaciju simetrije, ranijeizvedenih relacija za prostornu simetriju.
Razmotrimo ukratko vremensku translaciju koja je generirana, za vremenski nezavistanHamiltonijan, evolucionim operatorom
= )(exp),( 00 ttH
ittU
. (236)
Generator odgovarajue infinitezimalne transformacije je Hamiltonijan H, a kako on komutirasam sa sobom sledi da se za vremenski nezavistan Hamiltonijan energija odrava. Dakle,
odranje energije izolovanog sistema posledica je invarijantnosti Hamiltonijana u odnosu natranslaciju vremena.
Prostorna refleksija i odranje parnosti.
Sada emo posmatrati diskretne translacije simetrije i to refleksiju u odnosu nakoordinatni poetak. Ova operacija je poznata kao inverzija ili operacija parnosti. Ovu translacijuemo prouavati uvoenjem unitarnog operatora P koji se naziva operator parnosti. Zajednoestinu talasnu funkciju nezavisnu od vremena ovaj operator deluje na sledei nain
( ) ( )P r r =
. (237)
Za sluaj vieestinih sistema
1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )N NP r r r r r r =
. (238)
Operator parnosti P je Hermitski ( )P P+ = poto za bilo koje dve funkcije )(r
i )(r
imamo
[ ]** * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r P r dr r r dr r r dr P r r dr = = =
. (239)
Jasno je iz definicije operatora parnosti da vai2P I= (239)
pa su svojstvene vrednosti operatora P +1 ili 1, a odgovarajua svojstvena stanja su parna ili
neparna. Dakle, ako je )(r
+ parno svojstveno stanje operatpra P, a )(r
je njegovo neparnostanje ima se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
P r r r
P r r r
+ + +
= =
= =
(241)
Zapazimo da je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
51/57
51
+++ == rdrrrdrrrdrr
)()()()()()( *** (242)
iz ega sledi da je
0)()(* = + rdrr
(243)
to znai da su svojstvena stanja )(r
+ i )(r
meusobno ortogonalna, a poto pripadajurazliitim svojstvenim vrednostima i to svim koje ima P to je jasno da ova stanja ine kompletanset i bilo koja funkcija moe da se napie kao
)()()( rrr
+ += . (244)
Ovde je
[ ])()(2
1)( rrr
+=+ , [ ])()(
2
1)( rrr
=
i prva je parna a druga neparna funkcija.
Delovanje operatora parnosti na observable r
iop
P
dato je relacijama
PrP r + =
i op opPP P P+ =
. (245)
Operacija parnosti je ekvivalentna transformaciji desnog koordinatnog sistema u levi. Na osnovudosadanje diskusije znamo da ako operator parnosti komutira sa Hamiltonijanom parnost se odrava
[ ], 0P H = . (246)
Postoje neki procesi u nuklearnoj fizici gde je odgovorna slabainterakcija i gde dolazi do naruavanja parnosti.
Invarijantnost na inverziju vremena.Jo jedna vana diskretna transformacija je inverzija vremena tt . Pre nego preemo na
kvantnomehaniko razmatranje podsetimo se kako je to u klasinoj fizici. Poimo od Newtonovog zakonakretanja takaste mase
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
52/57
52
Fdt
rdm
=2
2
(247)
uz predpostavku da sila F
zavisi samo od koordinata. Poto su Newtonove jednaine drugog reda po t
svakom reenju )(tr moe da se pridrui reenje
)()(' trtr =
. (248)
Veza izmeu ova dva reenja predstavljena je na slici.
Poloaj estice u trenutku 0t u prvom sluaju isti je kao i u drugom sluaju, dok su brzine a samim tim i
impuls suprotni
)(
)(
)()(')(' 00
0
tv
td
trd
dt
trdtv
tt
=
=
=
=
. (249)
Razmotrimo sada efekte vremenske inverzije u kvantnoj mehanici. Poeemo sa razmatranjem sluaja
bezspinske estice mase m koja se kree u realnom vremenski nezavisnom potencijalu )(rV
.
Odgovarajua vremenski zavisna redingerova jednaina je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
53/57
53
),()(2
),( 22
trrVm
trt
i
+=
. (250)
Promenom tutdobija se
),()(2
),( 22
trrVm
trt
i
+=
. (251)
Ako poslednju jednainu kompleksno konjugujemo dobija se
),()(2),(*2
2*
trrVmtrti
+=
(250)
a poslednja jednaina je ekvivalentna jednaini (250).
Moemo da zakljuimo da ako je talasna funkcija ),( tr
reenje vremenski nezavisne
redingerove jednaine tada je i talasna funkcija sa inverznim vremenom reenje iste jednaine
),(),(' * trtr =
. (251)
Treba napomenuti da ovaj rezultat zavisi od izbora reprezentacije. Na primer, ako napiemo
= pdtprp
itr
),(exp)2(),( 2/3 (252)
i
=
pdtprpi
tr
),('exp)2(),('2/3
(253)
jasno je na osnovu (251) da je
),(),(' * tptp =
. (254)
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
54/57
54
Dakle, u impulsnom prostoru ako promenimo t sa t to se ne svodi samo na kompleksnu konjugaciju
talasne funkcije ve mora da se promeni p
u p
. Ovo je u saglasnosti sa klasinim rezultatom.
Razmotrimo uopteniji sluaj polazei od vremenski zavisne redingerove jednaine
)()( tHtt
i =
(255)
uz pretpostavku da Hamiltonijan ne zavisi od vremena. Promenom t u t i konjugcijom gornje relacijedobija se
)()(***
tHtti =
. (256)
Predpostavimo najpre da je Hamiltonijan realan )( * HH = . Tada ako je )(t reenje vremenski zavisne
redingerove jednaine, tada je reenje i vremenski invertovan vektor stanja
)()()(' * tKtt == (257)
gde je Koperator kompleksne konjugacije. Napomenuemo da je operator Kantiunitaran i takav da jeIK =2 ili KK =+ .
OperatorA je antilinearan ako je
)()()( 2*
21*
12211 +=+ AcAcccA
gde su 1 i 2 dve funkcije a 1c i 2c kompleksne konstante. Antiunitarni operator K je jo i
antilinearan i zadovoljava uslove
IKKKK == ++ .
Uopteno, meutim, Hnije realan. U ovom sluaju pretpostavljamo da postoji unitarni operator
U takav da je
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
55/57
55
HUHU =+
* . (258)
Operator U treba da bude unitaran da bi bila odrana normalizacija vektora stanja.
Ako na obe strane jednaine )()( *** tHtt
i =
delujemo operatorom U i uzmemo u
obzir (258) dobijamo
)()( ** tHUtUt
i =
. (259)
Ako je )(t reenje vremenski zavisne redingerove jednaine tada je reenje iste jednaine i
*'( ) ( ) ( ) ( )t U t U K t t = = = . (260)
Ovde je
U K = (261)
operator vremenske inverzije. Poto je U unitaran a Kantiunitaran to je i operator antiunitaran.
Ranije smo ve videli da kada je Hamiltonijan Hrealan tada operator U se svodi na jedinini
operator, pa je operator vremenske inverzije samo operator kompleksne konjugacije K.
Kada je HH * uobiajeno je dobiti operator U (a time i ) korienjem sledeih
razmatranja. Pre svega zahtevamo da operator vektora poloaja ostane neizmenjen pod dejstvom traenogoperatora
'r r r+= =
. (262)
Ako radimo u koordinatnoj reprezentaciji (u kojoj je r
realan multiplikativni operator) mora da bude
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
56/57
56
r U KrK U U rU r + + + + = = =
(263)
tako da U mora da komutira sa r
. Takoe zahtevamo da operator impulsa menja znak pod dejstvom
operatora vremenske inverzije
'op op opP P P+= =
. (264)
Poto je =
iPop imaginarni operator u koordinatnoj reprezentaciji, u toj reprezentaciji imamo
( ) ( )op opP U K i K U U i U P i + + + + = = = =
to implicira da U mora da komutira i sa =
iPop .
Vratimo se jo jednom vremenski zavisnoj redingerovoj jednaini )()( tHtt
i =
.
Promenom tuti ubacivanjem ( I)+ = izmeuHi dobijamo
( ) ( )i t H t t+
= (265)
i naravno
( ) ( )i t H t t
+ =
. (266)
Koriste}i '( ) ( )t t = i U K = dobijamo
*( ) ( ) ( ) '( )U Ki t U i t H t t t
+ = =
(267)
ili
8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike
57/57
'( ) '( )i t H t t
+ =
. (268)
Zahtevamo da ova jednaina bude ekvivalentna sa polaznom redingerovom jednainom. Naravno,
traeni unitarni operator U zadovoljava HUHU =+ * pa zahtev za ekvivalentnou redingerovihjednaina daje
H H+ = (269)
ili
[ ], 0H = (270)
a to je potreban i dovoljan uslov da edingerova jednana ostane invarijantna u odnosu na inverzijuvremena. Poslednji uslov je obio zadovoljen sem u nekim sluajevima povezanim sa slabom interakcijomi neodranjem parnosti.