ÁLGEBRA ÁLGEBRA
FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS
FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es el cociente Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas.indicado de dos expresiones algebraicas.
Son fracciones donde tanto el numerador Son fracciones donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.como el denominador son polinomios.
Por ejemplo: Por ejemplo:
ba
yxx
−+ 1
baab
3
2
53
La Tierra y la Luna se atraen La Tierra y la Luna se atraen una a otra con una fuerza una a otra con una fuerza FFque es directa-mente que es directa-mente proporcional al producto de proporcional al producto de sus masas sus masas mm11 y y mm22 e e inversamente proporcional al inversamente proporcional al cuadrado de la distancia cuadrado de la distancia ddentre ellas.entre ellas.
1 22
m mF G
d=
Fracción algebraica
1 22
m m
des una fracción algebraica
FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS
SIMPLIFICACIÓN SIMPLIFICACIÓN
DE DE
FRACCIONESFRACCIONES
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
La simplificación o reducción de fracciones La simplificación o reducción de fracciones algebraicas consiste en cambiar su forma algebraicas consiste en cambiar su forma sin cambiar su valor. sin cambiar su valor.
Para simplificar una fracción algebraica Para simplificar una fracción algebraica debe convertirse en una fracción debe convertirse en una fracción equivalente. equivalente.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Se factoriza completamente tanto el Se factoriza completamente tanto el numerador como el denominador, numerador como el denominador, después se reducen los términos después se reducen los términos comunes dividiendo. comunes dividiendo.
Para simplificar fracciones cuyos términos Para simplificar fracciones cuyos términos sean sean monomiosmonomios debe dividirse el debe dividirse el numerador y el denominador por sus numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos factores comunes hasta que sean primos entre sí (divisibles entre si y el uno). entre sí (divisibles entre si y el uno).
Para lo anterior, primero descomponemos Para lo anterior, primero descomponemos en en factores primosfactores primos cada elemento de la cada elemento de la fracción (numerador y denominador).fracción (numerador y denominador).
Utilizando Utilizando Leyes de ExponentesLeyes de Exponentes, , cancelamos lo que sea posible.cancelamos lo que sea posible.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar al máximo:Simplificar al máximo:– Descomponemos en Factores Primos:Descomponemos en Factores Primos:
– Usando Leyes de Exponentes:Usando Leyes de Exponentes:
– Así que la solución es:Así que la solución es:
amb
mbaba
32
64 2
33
52
=
mbaba33
52
64
mbaba
mbaba
33
522
33
52
322
64
⋅=
amb
mab
mbaba
32
32
322 2
23
3512
33
522
==⋅ −
−−
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Viendo el mismo procedimiento de otra Viendo el mismo procedimiento de otra forma, tenemos:forma, tenemos:
Descomponiendo en factores:Descomponiendo en factores:
Cancelando términos comunes:Cancelando términos comunes:
La solución es:La solución es:
amb
mbaba
32
64 2
33
52
=
mbaba33
52
64
mbaabba
mbaba
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 32
232
33
52
3222
64
mab
mbaabba
mbaba
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
32
3222
64 2
32
232
33
52
Simplificar: Simplificar:
Si al simplificar “desaparecen” todos los Si al simplificar “desaparecen” todos los términos del numerador (o denominador), términos del numerador (o denominador), en su lugar queda el número 1, que no en su lugar queda el número 1, que no puede suprimirse.puede suprimirse.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
65
33
369
yxyx
323323
33
65
33
41
499
369
yxyyxxyx
yxyx =
⋅⋅⋅⋅⋅=
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Para simplificar fracciones cuyos términos Para simplificar fracciones cuyos términos sean sean polinomiospolinomios, se descomponen en , se descomponen en factores (se factorizan), los polinomios factores (se factorizan), los polinomios hasta donde sea posible y se suprimen los hasta donde sea posible y se suprimen los factores comunes del numerador y el factores comunes del numerador y el denominador.denominador.
Ejemplo:Ejemplo:
)(2)(222
4422
2
baa
baaaa
abaa
−=
−⋅⋅⋅⋅=
−
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar al máximo: Simplificar al máximo: aaxxx62
652
−+−
( ) ( )( )
ax
xaxx
aaxxx
22
3232
62652
−=
−−−=
−+−
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar al máximo:Simplificar al máximo:
)2(5)2(9
)2)(2(54)2(94
)4(20)44(36
802014414436
42
2
2242
22
263
223
636465
+−=
+−⋅−⋅⋅=
−+−=
−+−
xxyx
xxxyxyyxx
xxyxxyx
xyyxyxyxyx
223
636465
802014414436
xyyxyxyxyx
−+−
OTROS EJERCICIOS
FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS
MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN
DE DE
FRACCIONESFRACCIONES
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
La regla general consiste en:La regla general consiste en:
– Descomponer en factores, hasta donde sea Descomponer en factores, hasta donde sea posible, los términos de las fracciones que se posible, los términos de las fracciones que se van a multiplicar.van a multiplicar.
– Simplificar, suprimiendo los factores comunes Simplificar, suprimiendo los factores comunes en numeradores y denominadores.en numeradores y denominadores.
– Multiplicar entre sí las expresiones que queden Multiplicar entre sí las expresiones que queden en los numeradores después de simplificar, y en los numeradores después de simplificar, y dividir este producto por el producto de las dividir este producto por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.expresiones que queden en los denominadores.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Resolver la siguiente multiplicación:Resolver la siguiente multiplicación:
Así que la solución es:Así que la solución es:
=⋅ 64
3
5
32
8132
827
yxab
bayx
324
2
64
3
5
32
34
8132
827
yxab
yxab
bayx =⋅
324
22
33223
223
43
323
644
35
53
323
64
3
5
32
32
3322
23
32
23
8132
827
yxab
yyxxbab
abayx
yxab
bayx
yxab
bayx
=⋅=
⋅=⋅
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Resolver:Resolver:501077
14255
++⋅+
xxx
41
22)1(
)5(52)1(7
72)5(5
501077
14255
+=
⋅+=
+⋅+⋅
⋅+=
++⋅+
x
x
xxx
xxx
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Resolver:Resolver:1622
.96209
443
2
2
2
2
−−
+−++⋅
−−
aaa
aaaa
aa
)4)(3(2)5(
)4)(4()1(2
)3()4)(5(
)1(43
1622
.96209
443
2
2
2
2
2
−−+=
−+−⋅
−++⋅
−−=
−−
+−++⋅
−−
aaaa
aaaa
aaa
aa
aaa
aaaa
aa
OTROS EJERCICIOS
FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS
DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES
DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES
Las reglas para dividir, son simplemente Las reglas para dividir, son simplemente multiplicar el dividendo por el inverso del multiplicar el dividendo por el inverso del divisor, es decir:divisor, es decir:
Se siguen las reglas para multiplicación.Se siguen las reglas para multiplicación.
cd
ba
dc
ba ⋅=÷
DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES
Resolver:Resolver:32
2
92
34
bax
bx ÷
abx
abx
axb
bx
bax
bx
6
31
2
29
34
92
34 3
2
2
32
2
=
⋅=
⋅=÷
DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES
Resolver:Resolver:xy
xx
xx4
168
4 2
3
2 −÷+
)4(2
)4(21
)4)(4(4
8)4(
164
84
416
84
3
23
22
3
2
−=
−⋅=
+−⋅+=
−⋅+=−÷+
xxy
xy
x
xxxy
xxx
xxy
xxx
xyx
xxx
OTRO EJERCICIO
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONESFRACCIONES
También se puede presentar el caso de que También se puede presentar el caso de que se encuentren combinadas las se encuentren combinadas las multiplicaciones con las divisiones. multiplicaciones con las divisiones. Entonces, para resolverlas, simplemente Entonces, para resolverlas, simplemente invertimos la parte correspondiente a la invertimos la parte correspondiente a la división y el resto se resuelve como división y el resto se resuelve como multiplicación. multiplicación.
EJEMPLO
FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS
SUMA Y RESTA SUMA Y RESTA
DE DE
FRACCIONESFRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONESSUMA Y RESTA DE FRACCIONES
SUMA Y RESTASUMA Y RESTA– Si a, b y c son números reales con b, d
diferentes de 0, entonces:
– Si los denominadores no son iguales, se necesita obtener el mínimo común denominador.
bca
bc
ba
bca
bc
ba −=−+=+
MINIMO COMÚN DENOMINADORMINIMO COMÚN DENOMINADOR
Para obtenerlo, se hace de la siguiente Para obtenerlo, se hace de la siguiente forma:forma:
– Factorizar completamente cada denominador.Factorizar completamente cada denominador.– Formar un producto que contenga cada Formar un producto que contenga cada
factor diferente de todos los factor diferente de todos los denominadores, elevado a la más alta denominadores, elevado a la más alta potencia en que aparece en cualquier potencia en que aparece en cualquier denominador y que es divisible entre todos denominador y que es divisible entre todos los denominadores . El producto es el los denominadores . El producto es el Mínimo Común Denominador (MCD)Mínimo Común Denominador (MCD)
SUMA Y RESTA DE FRACCIONESSUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Ejemplo:Ejemplo:
Primero factorizamos denominadores:Primero factorizamos denominadores:
Entonces el mínimo común denominador es:Entonces el mínimo común denominador es:
Resolviendo el problema:Resolviendo el problema:
=−
+−+−
+−+
35
92
963
22 yyy
yyy
( ) ( ) ( ) 33 339 396 222 −=−−+=−−=+− y yyyyyyy
( ) ( ) 33 2−+ yy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
2
222
222
33
3075
33
455696
33
33532333
592
963
−+−+=
−+−+++−++=
−+−++−+−++=
−+
−+−
+−+
yy
yy
yy
yyyyy
yy
yyyyyyyy
yyy
y
Cada factor diferente Cada factor diferente de todos los de todos los denominadores, denominadores, elevado a la más alta elevado a la más alta potenciapotencia
RESOLVER EN CLASE HACER OTRO EJERCICIO
SUMA Y RESTA DE FRACCIONESSUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Resolver:Resolver: 32
2
429
23
22
yyxxxy
yxyx −−−
++
−
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) yyxyx
yyxyxyxyx
yyxyxyxyx
yyxyxxxyyxyyxy
yyxyxxxyyyxyyx
yyxyxxxy
yxyxyyxxxy
yxyx
++=
+−+−=
+−−+=
+−+−−++=
+−−−−++=
+−−−
++
−=
−−−
++
−
2
222
222
22293624
22292322
2229
23
22
429
23
22
22
222
2
2
32
2
SUMA Y RESTA DE FRACCIONESSUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Resolver:Resolver: 222222 2523
222
yxyxxy
yxyxxy
yxyxyx
++−+
−−−+
−+−
)2)()(2(3
)2)()(2(342232
)2)()(2())(3()2)(()2)(2(
)2)(2(3
)2)(())(2(2
2523
222
2
222222
222222
yxyxyxy
yxyxyxyxyxyxyxyxyx
yxyxyxyxxyyxxyyxyx
yxyxxy
yxyxxy
yxyxyx
yxyxxy
yxyxxy
yxyxyx
+−+−=
+−+−+−+−−−−=
+−+−−++−++−=
++−+
+−−+
−+−=
++−+
−−−+
−+−
SUMA Y RESTA DE FRACCIONESSUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Resolver:Resolver: )1)(3(2
21
652 xxx
xxxx
−−−
−−
+−
)2)(1(1
)3)(2)(1(3
)3)(2)(1(3
)3)(2)(1(4234
)3)(2)(1()2(2)3)(1()1(
)1)(3(2
21
)2)(3(
)1)(3(2
21
65
222
2
−−=
−−−−=
−−−+−=
−−−+−+−+−=
−−−−−−−+−=
−−−
−+
−−=
−−−
−−
+−
xx
xxxx
xxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxx
xxxx
xxx
xxxx
FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS
FRACCIONES FRACCIONES
COMPLEJASCOMPLEJAS
ADICIONAL
FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS
Son fracciones que contienen una o más Son fracciones que contienen una o más fracciones en su numerador y denominador, fracciones en su numerador y denominador, y también son llamadas y también son llamadas fracciones fracciones compuestas.compuestas.
xaax
xa
+
−
1
FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS
La regla para simplificar fracciones La regla para simplificar fracciones complejas consiste en:complejas consiste en:– Efectuar las operaciones indicadas en el Efectuar las operaciones indicadas en el
numerador y denominador de la fracción numerador y denominador de la fracción compleja.compleja.
– Simplificar al máximo la fracción así obtenida.Simplificar al máximo la fracción así obtenida.– La operación puede ser resuelta empezando La operación puede ser resuelta empezando
por la parte más baja del denominador; o bien, por la parte más baja del denominador; o bien, en caso necesario, por la parte más alta del en caso necesario, por la parte más alta del numerador.numerador.
FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS
Resolver:Resolver:
– Primero resolvemos la fracción más baja del denominador:Primero resolvemos la fracción más baja del denominador:
– Subimos un nivel, para eso, enseguida resolvemos:Subimos un nivel, para eso, enseguida resolvemos:
– Otro nivel más arriba:Otro nivel más arriba:
41
1
12
31
−+
+
43
414
41
1 =−=−
34
4311
431
41
1
1 ===−
310
346
34
2
41
1
12 =+=+=
−+
FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS
– Enseguida, tomamos el numerador que sigue:Enseguida, tomamos el numerador que sigue:
– Y finalmente, resolvemos toda la operación:Y finalmente, resolvemos toda la operación:
109
31013
3103
41
1
12
3 ===
−+
1019
10910
109
1
41
1
12
31 =+=+=
−+
+
FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS
Resolver:Resolver:=
+−
−
−
22
1
12
x
x
x
( )( ) ( ) 112
2
22
22
2
12
222
12
22
1
12
2
+=
+−−=
−−−=+−
−=
+
−
−=
+−+−
−=
+−
−
−
xx
xxxx
xxx
x
xx
x
xx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS
Resolver:Resolver:
216
6
212
1
−++
−−−
xx
xx
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
25
)2()2)(5(
44103
161241223
16261221
21626
21221
216
6
212
1
22
2
2
2
+−=
++−=
++−−=
+−+−+−=
+−+−−−=
−+−+
−−−−
=
−++
−−−
xx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
xxx
xx
xx
FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS
Resolver:Resolver:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )aaa
aaaaa
aaaaaa
aaa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
+−=
+−−−−=
+−−−=
+−
−−
=−
+−
=−
+−
45
4454
4454
44
54
16
209
16
2091
2
23
3
2
3
2
32
=−
+−
aa
aaa16
209132
FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS
Resolver:Resolver:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
12
111
111
1111
1111
1111
11
1
11
11
22
2
+=
++−+−+=
+−+−+
+−+−+
=
+−−−+
+−−−+
=
+−
−
+−
−
xxxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xx
=
+−
−
+−
−
11
1
11
11
xxx
xx
Recommended