Matematika
Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Grafik dari fungsi hiperbolik
• Menentukan nilai fungsi hiperbolik
• Fungsi hiperbolik invers
• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
• Identitas hiperbolik
• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
Matematika
Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Grafik dari fungsi hiperbolik
• Menentukan nilai fungsi hiperbolik
• Fungsi hiperbolik invers
• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
• Identitas hiperbolik
• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
Matematika
Pendahuluan
• Diketahui
• Maka
• Jika
• Bagian real ini merupakan bagian genap dari fungsi
eksponensial yang disebut kosinus hiperbolik
cos sin and cos sinj jj e j e
cos2
j je e
cos2 2
jjx jjx x xe e e ejx
cosh2
x xe ex
jx
Matematika
Pendahuluan
• Bagian ganjil dari fungsi hiperbolik disebut
sinus hiperbolik
• Rasio sinus hiperbolik terhadap kosinus
hiperbolik disebut tangen hipebolik
sinh2
x xe ex
sinhtanh
cosh
x x
x x
x e exe ex
Matematika
Pendahuluan
• Deret pangkat fungsi eksponensial
• Sehingga diperoleh
2 3 4 2 3 41 ... and 1 ...
2! 3! 3! 2! 3! 3!x xx x x x x xe x e x
2 4 6 3 5 7cosh 1 ... and sinh ...
2! 3! 6! 3! 5! 7!x x x x x xx x x
Matematika
Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Grafik dari fungsi hiperbolik
• Menentukan nilai fungsi hiperbolik
• Fungsi hiperbolik invers
• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
• Identitas hiperbolik
• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
Matematika
Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Grafik dari fungsi hiperbolik
• Menentukan nilai fungsi hiperbolik
• Fungsi hiperbolik invers
• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
• Identitas hiperbolik
• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
Matematika
Menentukan Nilai Fungsi Hiperbolik
• Nilai sinh x, cosh x dan tanh x dapat dicari
dengan menggunakan kalkulator atau
tombol eksponensial
• Sebagai contoh:
1.275 1.275 3.579 0.279sinh1.275 1.65 to 2dp
2 2
e e
Matematika
Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Grafik dari fungsi hiperbolik
• Menentukan nilai fungsi hiperbolik
• Fungsi hiperbolik invers
• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
• Identitas hiperbolik
• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
Matematika
Fungsi Hiperbolik Invers
• Untuk mencari sebuah fungsi hiperbolik invers mengunakan kalkulator tanpa fasilitas yang dibutuhkan untuk menggunakan fungsi eksponensial
• Sebagai contoh, untuk mencari nilai sinh-1 1.475 diperlukan terlebih dahulu mengetahui nilai x sehingga sinh x = 1.475. Dengan cara:
• Sehingga didapat:
212.950 so that 2.950 1 0x x x
xe e e
e
3.257 or 0.307 so 1.1808xe x
Matematika
Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Grafik dari fungsi hiperbolik
• Menentukan nilai fungsi hiperbolik
• Fungsi hiperbolik invers
• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
• Identitas hiperbolik
• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
Matematika
Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik
Invers
• Jika y = sinh-1x maka x = sinh y. maka:
• Sehingga:
• Oleh karena itu,
22 so that 2 1 0y y y ye e x e xe
2
2-1
1
sinh ln 1
ye x x
y x x x
Matematika
Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik
Invers
• Dengan cara yang sama
2-1
-1
cosh ln 1
11 tanh ln
12
y x x x
xy x
x
Matematika
Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Grafik dari fungsi hiperbolik
• Menentukan nilai fungsi hiperbolik
• Fungsi hiperbolik invers
• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
• Identitas hiperbolik
• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
Matematika
Identitas Hiperbolik
• Seperti rasio trigonometrik lainnya,
terdapat fungsi-fungsi hiperbolik kebalikan
1 cothtanh
1 sechcosh
1cosechsinh
xx
xx
xx
Matematika
Identitas Hiperbolik
• Dari definisi cosh x dan sinh x
2 2
2 2
2 2 2 2
cosh sinh2 2
2 2
4 4
1
x x x x
x x x x
e e e ex x
e e e e
2 2 cosh sinh 1x x
Matematika
Identitas Hiperbolik
• Dengan cara yang sama
2 2
2 2
sech 1 tanh
cosech coth 1
x x
x x
2 2
2
2
2
sinh2 2sinh cosh
cosh2 cosh sinh
1 2sinh
2cosh 1
2 tanhtanh2
1 tanh
x x x
x x x
x
x
xx
x
Matematika
Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Grafik dari fungsi hiperbolik
• Menentukan nilai fungsi hiperbolik
• Fungsi hiperbolik invers
• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers
• Identitas hiperbolik
• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik
Matematika
Hubungan antara Fungsi
Trigonometrik dan Hiperbolik
• Diketahui
• Maka untuk
cos and sin2 2
j j j je e e ej
cos cosh
sin sinh
jx x
j x jx
jx
Matematika
Hubungan antara Fungsi
Trigonometrik dan Hiperbolik
• Dengan cara yang sama
• Lebih lanjut
cosh cos
sin sinh
jx x
jx j x
tanh tan
tan tanh
jx j x
jx j x
Matematika
Hasil Pembelajaran
• Mendefinisikan fungsi hiperbolik dalam bentuk fungsi eksponensial
• Menyatakan fungsi hiperbolik sebagai deret pangkat
• Mengenal grafik fungsi hiperbolik
• Mencari nilai fungsi hiperbolik dan inversnya
• Menentukan bentuk logaritmik dari fungsi hiperbolik invers
• Membuktikan identitas trigonometrik hiperbolik
• Memahami hubungan antara fungsi trigonometrik melingkar dan hiperbolik