FUV – DerivadasRegra da Cadeia, Derivadas de Funções Inversas
Rodrigo Hausen
v. 2015-2-27 1/13
Relembrando
Definição. Dada função real f , a derivada de f é a função f ′definida por
f ′(x) = lim∆x→0
f (x +∆x) − f (x)∆x
ou, equivalentemente,
f ′(x) = lim∆x→0
∆f∆x
, onde ∆f = f (x +∆x) − f (x)
Obs.: A função f ′ também é denotada dfdx
ou ddx
f(é um símbolo só, não é um quociente entre dois números!)
v. 2015-2-27 2/13
Derivadas básicas
f (x) = c constante, então f ′(x) = 0.
f (x) = x , então f ′(x) = 1.
Se n constante real e f (x) = xn, então f ′(x) = nxn−1
(regra da potência, ou “regra do tombo”)
sen′(x) = cos x
cos′(x) = − sen x
v. 2015-2-27 3/13
Regras algébricas
se h(x) = c ⋅ f (x), então h′(x) = c ⋅ f ′(x)
se h(x) = f (x) + g(x), então h′(x) = f ′(x) + g ′(x)
das regras anteriores:se h(x) = f (x) − g(x) então h′(x) = f ′(x) − g ′(x)
CUIDADO com a regra do produtose h(x) = f (x)g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
CUIDADO com a regra do quocientese h(x) = f (x)
g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)
[g(x)]2
Como derivar h(x) =√
x2 − 1? Só com as regras acima, não dá.
v. 2015-2-27 4/13
Regras algébricas
se h(x) = c ⋅ f (x), então h′(x) = c ⋅ f ′(x)
se h(x) = f (x) + g(x), então h′(x) = f ′(x) + g ′(x)
das regras anteriores:se h(x) = f (x) − g(x) então h′(x) = f ′(x) − g ′(x)
CUIDADO com a regra do produtose h(x) = f (x)g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
CUIDADO com a regra do quocientese h(x) = f (x)
g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)
[g(x)]2
Como derivar h(x) =√
x2 − 1?
Só com as regras acima, não dá.
v. 2015-2-27 4/13
Regras algébricas
se h(x) = c ⋅ f (x), então h′(x) = c ⋅ f ′(x)
se h(x) = f (x) + g(x), então h′(x) = f ′(x) + g ′(x)
das regras anteriores:se h(x) = f (x) − g(x) então h′(x) = f ′(x) − g ′(x)
CUIDADO com a regra do produtose h(x) = f (x)g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
CUIDADO com a regra do quocientese h(x) = f (x)
g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)
[g(x)]2
Como derivar h(x) =√
x2 − 1? Só com as regras acima, não dá.
v. 2015-2-27 4/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) =
dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) =
lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x)
= f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x)
= f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)
v. 2015-2-27 5/13
Derivando funções compostas
Derivar F(x) =√
x2 − 1:Introduzimos as variáveis y = f (u) =
√u e u = g(x) = x2 + 1.
Note que F = f ○ g
Qual é a relação entre F ′ = dFdx
e f ′ = dydu
e g ′ = dudx
?
F ′(x) = dFdx
(x) = dydx
(x) = lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ ∆u∆x
= lim∆x→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= ( como u contínua,∆u → 0 se ∆x → 0 )
= lim∆u→0
∆y∆u
⋅ lim∆x→0
∆u∆x
= dydu
(u) ⋅ dudx
(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g ′(x)
(só há um pequeno problema contornável: e se ∆u = 0?)v. 2015-2-27 5/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,vamos aplicá-la.
Exemplo 1. F(x) =√
x2 − 1. Calcule F ′(x).
Considere F(x) = y , onde
y = f (u) =√
u e u = g(x) = x2 − 1
Como f ′(u) = 12
u−1/2 = 12√
ue g ′(x) = 2x ,
então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√
x2 − 1⋅ 2x = x√
x2 − 1
v. 2015-2-27 6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,vamos aplicá-la.
Exemplo 1. F(x) =√
x2 − 1. Calcule F ′(x).
Considere F(x) = y , onde
y = f (u) =√
u e u = g(x) = x2 − 1
Como f ′(u) = 12
u−1/2 = 12√
ue g ′(x) = 2x ,
então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√
x2 − 1⋅ 2x = x√
x2 − 1
v. 2015-2-27 6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,vamos aplicá-la.
Exemplo 1. F(x) =√
x2 − 1. Calcule F ′(x).
Considere F(x) = y , onde
y = f (u) =√
u e u = g(x) = x2 − 1
Como f ′(u) = 12
u−1/2 = 12√
u
e g ′(x) = 2x ,
então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√
x2 − 1⋅ 2x = x√
x2 − 1
v. 2015-2-27 6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,vamos aplicá-la.
Exemplo 1. F(x) =√
x2 − 1. Calcule F ′(x).
Considere F(x) = y , onde
y = f (u) =√
u e u = g(x) = x2 − 1
Como f ′(u) = 12
u−1/2 = 12√
ue g ′(x) = 2x ,
então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√
x2 − 1⋅ 2x = x√
x2 − 1
v. 2015-2-27 6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,vamos aplicá-la.
Exemplo 1. F(x) =√
x2 − 1. Calcule F ′(x).
Considere F(x) = y , onde
y = f (u) =√
u e u = g(x) = x2 − 1
Como f ′(u) = 12
u−1/2 = 12√
ue g ′(x) = 2x ,
então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x)
= 12√
x2 − 1⋅ 2x = x√
x2 − 1
v. 2015-2-27 6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,vamos aplicá-la.
Exemplo 1. F(x) =√
x2 − 1. Calcule F ′(x).
Considere F(x) = y , onde
y = f (u) =√
u e u = g(x) = x2 − 1
Como f ′(u) = 12
u−1/2 = 12√
ue g ′(x) = 2x ,
então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√
x2 − 1⋅ 2x
= x√x2 − 1
v. 2015-2-27 6/13
Uma nova regra
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
Mais tarde resolveremos o problema quando ∆u = 0. Por ora,vamos aplicá-la.
Exemplo 1. F(x) =√
x2 − 1. Calcule F ′(x).
Considere F(x) = y , onde
y = f (u) =√
u e u = g(x) = x2 − 1
Como f ′(u) = 12
u−1/2 = 12√
ue g ′(x) = 2x ,
então F ′(x) = f ′(u) ⋅ g ′(x) = 12√
x2 − 1⋅ 2x = x√
x2 − 1
v. 2015-2-27 6/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
F (x) = f (g(x))
Funçãoexterna
Funçãointerna
v. 2015-2-27 7/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
F (x) = f (g(x))
F (x) =
Funçãoexterna
Funçãointerna
v. 2015-2-27 7/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
F (x) = f (g(x))
F (x) = f (
Funçãoexterna
Funçãointerna
Derivada dafunção externa
)
v. 2015-2-27 7/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
F (x) = f (g(x))
F (x) = f (g(x)
Funçãoexterna
Funçãointerna
Derivada dafunção externa
Avaliada nafunção interna
)
v. 2015-2-27 7/13
Aplicando a regra da cadeia
Regra da Cadeia:Se F(x) = f (g(x)), então F ′(x) = f ′(g(x))g ′(x).
O nome explica como devemos trabalhar com a regra:calcule as derivadas em cadeia, de fora para dentro
F (x) = f (g(x))
F (x) = f (g(x) ⋅g (x)
Funçãoexterna
Funçãointerna
Derivada dafunção externa
Avaliada nafunção interna
Derivada dafunção interna
)
v. 2015-2-27 7/13
Aplicando a regra da cadeia
Exemplo 2. Calcule as derivadas de:(a) F(x) = sen(x2) e (b) F(x) = sen2(x).
Obs.: sen2(x) = [sen(x)]2
v. 2015-2-27 8/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra doQuociente:
h(x) = f (x)g(x)
então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)[g(x)]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso quenem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1
G ′(x) = (−1)[g(x)]−2 ⋅ g ′(x) = − g ′(x)[g(x)]2 (R. da Potência e Cadeia)
h′(x) = f ′(x)G(x) + f (x)G ′(x) (Regra do Produto),
h′(x) = f ′(x)g(x)
− f (x)g ′(x)[g(x)]2 = f ′(x)g(x)
[g(x)]2 − f (x)g ′(x)[g(x)]2
v. 2015-2-27 9/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra doQuociente:
h(x) = f (x)g(x)
então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)[g(x)]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso quenem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1
G ′(x) = (−1)[g(x)]−2 ⋅ g ′(x) = − g ′(x)[g(x)]2 (R. da Potência e Cadeia)
h′(x) = f ′(x)G(x) + f (x)G ′(x) (Regra do Produto),
h′(x) = f ′(x)g(x)
− f (x)g ′(x)[g(x)]2 = f ′(x)g(x)
[g(x)]2 − f (x)g ′(x)[g(x)]2
v. 2015-2-27 9/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra doQuociente:
h(x) = f (x)g(x)
então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)[g(x)]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso quenem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1
G ′(x) = (−1)[g(x)]−2 ⋅ g ′(x) = − g ′(x)[g(x)]2 (R. da Potência e Cadeia)
h′(x) = f ′(x)G(x) + f (x)G ′(x) (Regra do Produto),
h′(x) = f ′(x)g(x)
− f (x)g ′(x)[g(x)]2 = f ′(x)g(x)
[g(x)]2 − f (x)g ′(x)[g(x)]2
v. 2015-2-27 9/13
Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra doQuociente:
h(x) = f (x)g(x)
então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)[g(x)]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso quenem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1
G ′(x) = (−1)[g(x)]−2 ⋅ g ′(x) = − g ′(x)[g(x)]2 (R. da Potência e Cadeia)
h′(x) = f ′(x)G(x) + f (x)G ′(x) (Regra do Produto),
h′(x) = f ′(x)g(x)
− f (x)g ′(x)[g(x)]2 = f ′(x)g(x)
[g(x)]2 − f (x)g ′(x)[g(x)]2
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Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra doQuociente:
h(x) = f (x)g(x)
então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)[g(x)]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso quenem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1
G ′(x) = (−1)[g(x)]−2 ⋅ g ′(x) = − g ′(x)[g(x)]2 (R. da Potência e Cadeia)
h′(x) = f ′(x)G(x) + f (x)G ′(x) (Regra do Produto),
h′(x) = f ′(x)g(x)
− f (x)g ′(x)[g(x)]2
= f ′(x)g(x)[g(x)]2 − f (x)g ′(x)
[g(x)]2
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Aplicando a regra da cadeia
Com a regra da cadeia, podemos demonstrar a Regra doQuociente:
h(x) = f (x)g(x)
então h′(x) = f ′(x)g(x) − f (x)g ′(x)[g(x)]2
Na verdade, é tão fácil aplicar a Regra da Cadeia neste caso quenem precisamos mais memorizar a Regra do Quociente.
h(x) = f (x)G(x), onde G(x) = [g(x)]−1
G ′(x) = (−1)[g(x)]−2 ⋅ g ′(x) = − g ′(x)[g(x)]2 (R. da Potência e Cadeia)
h′(x) = f ′(x)G(x) + f (x)G ′(x) (Regra do Produto),
h′(x) = f ′(x)g(x)
− f (x)g ′(x)[g(x)]2 = f ′(x)g(x)
[g(x)]2 − f (x)g ′(x)[g(x)]2
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Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =
(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .
g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =
(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =
(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,
ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =
(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =
(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =
(f ○ f −1)′(y) = I ′(y)
= 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:
f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) =
(f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) = (f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Definição. Se a função f ∶ X → Y for bijetora1, então existefunção inversa f −1 ∶ Y → X tal que y = f (x) se, e só se,x = f −1(y).
Exemplos: f (x) = x2, para x ≥ 0, tem inversa f −1(x) =√
x .g(x) = sen(x), para −π/2 ≤ x ≤ π/2 tem inversag−1(y) = arcsen(y), para −1 ≤ y ≤ 1
Seja f ∶ X → Y uma função real bijetora. Note quef −1(f (x)) = f (f −1(x)) = x ,ou seja, f ○ f −1 = f −1 ○ f = I, onde I(x) = x é a função identidade.
Se f e f −1 forem diferenciáveis:f ′(f −1(y)) ⋅ (f −1)′(y) = (f ○ f −1)′(y) = I ′(y) = 1
Ou seja, (f −1)′(y) = 1f ′(x)
1Im f = Y e x1 ≠ x2 ⇒ f (x1) ≠ f (x2)v. 2015-2-27 10/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
√x , logo
f ′(x) = 1g ′(f (x))
= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
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f ′(x) = 1g ′(f (x))
= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x
(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
√x , logo
f ′(x) = 1g ′(f (x))
= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
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f ′(x) = 1g ′(f (x))
= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
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f ′(x) = 1g ′(f (x))
= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y .
Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
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f ′(x) = 1g ′(f (x))
= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
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Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
√x
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f ′(x) = 1g ′(f (x))
= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
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=
12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
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= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.
v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 3. Use a regra da cadeia para derivar y =√
x , x > 0.
Seja f (x) = y =√
x . Sua inversa é g(y) = x = y2, y > 0.
(g ○ f )(x) = x(g ○ f )′(x) = 1 (derivando)
g ′(f (x)) ⋅ f ′(x) = 1 (regra da cadeia)
f ′(x) = 1g ′(f (x))
Derivando g , temos g ′(y) = 2y . Substituindo y = f (x), temosg ′(f (x)) = 2
√x , logo
f ′(x) = 1g ′(f (x))
= 12√
x
O resultado ao derivar y = x1/2 pela Regra da Potência é idêntico.v. 2015-2-27 11/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)
sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)
(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)
Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2
.
v. 2015-2-27 12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x)) = x
(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)
sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)
(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)
Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2
.
v. 2015-2-27 12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x
(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)
(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)
Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2
.
v. 2015-2-27 12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)
sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)
(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)
Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2
.
v. 2015-2-27 12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)
sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)
cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)
(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)
Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2
.
v. 2015-2-27 12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)
sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)
(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)
Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2
.
v. 2015-2-27 12/13
Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)
sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)
(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)
Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2
.
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Derivadas de funções inversas
Exemplo 4. Encontre a derivada de arcsen(x) para −1 < x < 1.
Para −1 < x < 1:
sen(arcsen(x)) = x(sen ○ arcsen)(x) = x(sen ○ arcsen)′(x) = 1 (derivando)
sen′(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (regra da cadeia)cos(arcsen(x)) ⋅ arcsen′(x) = 1 (derivada de sen)
(√1 − x2) ⋅ arcsen′(x) = 1 (identidade trigonométrica)
Logo, arcsen′(x) = 1√1 − x2
.
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Conclusão
A Regra da Cadeia é fácil de usar (basta praticar!), extremamenteútil e possui inúmeras aplicações.
Demos uma ideia geral da demonstração da Regra da Cadeia.
O final da seção 3.5 do Stewart mostra como contornar o problemado ∆u = 0 na Regra da Cadeia. Ela é importante! Leia-a comatenção para entendê-la!
Para casa:Ler Stewart seção 3.5 e fazer os exercícios desta seção. Ignoreas partes e comentários sobre funções exponenciais elogarítmicas (aprenderemos nas próximas aulas)Lista 3: após os exercícios recomendados na aula passada,faça 14(a–g, j–l).
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