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PROVA: 02/09/12
MATEMTICA
Questo 1
O valor do2x 0
1 1lim
x x x
(A) 2.(B) 1.(C) O.(D) 1.(E) 2.
Gabarito: Letra D.
Veja que
21 1 1 1 x 1 1 1x x x x x(x 1) x (x 1) x 1.
Logo, o limite igual ax 0
1lim 1
x 1
Questo 2
O nmero de bactrias B, numa cultura, aps t horas, B = Boekt, onde k uma constante real. Sabendo-se
que o nmero inicial de bactrias 100 e que essa quantidade duplica emln2
t2
horas, ento o nmero N
de bactrias, aps 2 horas, satisfaz:
(A) 800
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Gabarito EFOMM
Questo 3
O grfico de f(x) = (x 3)2.ex, x tem uma assntota horizontal r. Se o grfico de f intercepta r no pontoP = (a, b) , ento a2+ b.esen
2a 4a igual a:
(A) 3.(B) 2.(C) 3.(D) 2.
(E)1
.2
Gabarito: Letra A.
Uma assntota horizontal ocorre para x + ou x . fcil ver quexlim f(x)
, logo, s pode
haver assntota para x . Veja que, trocando x por t, temos:
22 xttx x
( t 3)lim f(x) lim(x 3) e lime
Esse limite nulo, pois o denominador exponencial (base > 1) e o numerador polinomial.Ento, a assntota, para x , y = 0.
A interseo com assntota pode ser obtida fazendo f(x) = 0: (x 3)2ex= 0 x = 3, pois ex> 0 paratodo x.
Ento, P = (a, b) = (3,0).
a2+ b.esen2a 4a = 32 4 3 = 3.
Questo 4
Num quadrado de lado a, inscreve-se um crculo; nesse crculo se inscreve um novo quadrado e nele umnovo crculo. Repetindo a operao indefinidamente, tem-se que a soma dos raios de todos os crculos :
(A) 2
2 1 ;2
a
(B) 2( 2 1);a
(C)2
( 2 1);2
a
(D) 2 2 1 ;a
(E)
2 2 1 .a
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PROVA: 02/09/12
Gabarito: Letra C.
Sejam Lno lado do n-simo quadrado (L1= a) e Rno raio do n-simo crculo. Tem-se:
2n
n
LR
1 1
22 2
2 2n n
n n n
R LR L L
Assim: 11 2 2 2 2n n n
n
L L RR ( PG de razo
1
2q )
Temos ento uma soma de PG infinita, donde:
inf
1 22 2 111 212
PG
aR a
Sq
Questo 5
Se os nmeros reais x e y so solues da equao2
1 11
1i
ii x iy
, ento 5x + 15y igual a:
(A) 0.(B) 1.(C) 1.
(D) 2.(E) 2.
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Gabarito EFOMM
Gabarito: Letra B.
21 1 2 1
1 11 2
1 1 1 2 2 1
2 .2 2 2 5 5
i ii i
i x yi i x yi
i
i x yi ix yi i i i
Deste modo25
x e1
.5
y
Substituindo na expresso pedida: 5x + 15y = 2 3 = 1.
Questo 6
Um cone foi formado a partir de uma chapa de ao, no formato de um setor de 12 cm de raio e ngulo centralde 120. Ento, a altura do cone :
(A) 2 2.(B) 4 2.(C) 6 2.(D) 8 2.(E) 12 2.
Gabarito: Letra D.
Podemos igualar a rea do setor rea lateral do cone para determinar o raio da base:
Asetor = Alateral
2R .120.r.g
360
2123
= r. 12 r 4cm
Utilizando o teorema de pitgoras:g = h + r12 = h + 4h = 128 h 8 2 cm
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Questo 7
Constri-se um depsito, na forma de um slido V, dentro de uma semiesfera de raio Am. O depsito formado por uma semiesfg.a de raio 1m sobreposta a um cilindro circular, dispostos conforme a figura.Ento a rea da superfcie total de V, em m2, igual a:
(A) (20 14 2) .
(B) (17 4 10) .
(C) (8 4 7) .
(D) (21 7 6) .
(E) (15 6 7) .
Gabarito: Letra E.Considerando a vista frontal do slido, temos:
Seja 01 e 02 os centros das semiesferas e T o ponto de tangncia entre as semiesferas. temos que
1 1 2 2 1 20 T 0 0 0 T 0 0 4 1 3 m .
No tringulo retngulo 0102B, temos2 2 2
1 1 2 2 10 B 0 0 0 B 0 B 16 9 7 .
A rea da superficie :Ssemiesfera+ Slateral cilindro+ Sbase+ Scoroa=2 2 2 2 22 . 1 2 . 7. 3 . ( 7) ( 7) 1 (15 6 7 ) m
Questo 8
A empresa Alfa Tecidos dispe de 5 teares que funcionam 6 horas por dia, simultaneamente. Essa empresafabrica 1800 m de tecido, com 1,20 m de largura em 4 dias. Considerando que um dos teares parou defuncionar, em quantos dias, aproximadamente, a tecelagem fabricar 2000 m do mesmo tecido, com largurade 0,80m, e com cada uma de suas mquinas funcionando 8 horas por dia?
(A) 2 dias. (D) 5 dias.(B) 3 dias. (E) 6 dias.(C) 4 dias.
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Gabarito EFOMM
Gabarito: Letra B.
Vamos calcular a velocidade de produo de cada tear, em m2/h.
Temos que 5 teares fabricam 1800 1,20 = 2160 m2de tecido em 4 dias 6 horas/dias = 24 horas de
trabalho.
Portanto, 1 tear fabrica 22160
432m5
de tecido e, 24 horas de trabalho, tendo, portanto, uma velocidade
de 2432
18 m /h24
.
Queremos calcular quantos dias 4 teares levaram para produzir 2000 0,8 = 1600 m2de tecido trabalhando
8 horas/dia. Sendo x o nmero de dias, temos que1600 25
4 18 2,78 dias.8x 9
x
Questo 9
Se1cos x senx
detseny cosy 3
, ento o valor de 3 sen(x + y) + tg (x + y) sec (x + y), para2
x y
,
igual a:
(A) 0.
(B)
1
3 .(C) 2.
(D) 3.
(E)12
.
Gabarito: Letra D.
Dado que
1cos x senx
det seny cosy 3 , temos:
cos x cos y sen x sen y = 13
cos (x + y) = 13
.
Com isso, obtemos:
E = 3 sen (x + y) + tg (x + y) sec (x + y)
= 3 sen (x + y) +sen ( ) 1cos ( ) cos ( )
x y
x y x y
= 3 sen (x + y) +sen ( ) 1
3.1 13 3
x y
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Questo 10
O valor da integral x.cos .sen x dx:
(A) cosx+c. (D) +1/4 cosx+c.(B) 1/4 cos2x+c. (E) +1/2 cos2x+c.(C) 1/2 cosx+c.
Gabarito:Letra B.
I sen cos x x dx
Usando que sen2x=2senxcosx:sen2 1
I sen22 2
1 ( cos2 ) 1
cos2 .2 2 4
xdx = x dx =
x
c x c
Obs.: Poderamos tambm resolver o problema derivando as expresses em cada alternativa.
Questo 11
Um muro ser construdo para isolar a rea de uma escola que est situada a 2km de distncia da estaodo metr. Esse muro ser erguido ao longo de todos os pontos P, tais que a razo entre a distncia de P estao do metr e a distncia de P escola constante e igual a 2 .
Em razo disso, dois postes, com uma cmera cada, sero fixados nos pontos do muro que esto sobre areta que passa pela escola e perpendicular reta que passa pelo metr e pela escola. Ento, a distnciaentre os postes, em km, ser:
(A) 2. (D) 4.
(B) 2 2. (E) 2 5.
(C) 2 3.
Gabarito: Letra D.
P
E
Q
M
2
2
Sejam E a escola e M a estao de metr.Sejam P e Q os postes, como na figura.
Fazendo PE = , temos PM = 2 .Pelo teorema de Pitgoras no PEM,temos: ( 2 )2= 2+ 22
= 2 km
Como QE tambm igual a ,
temos: PQ = 2= 4 km
Obs.: O muro tem o formato de uma circunferncia (crculo de Apolnio).
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Gabarito EFOMM
Questo 12
O grfico da funo continua y = f(X), no plano xy, uma curva situada acima do eixo x para x > 0 e possuia seguinte propiedade:A rea da regio entre a curva y= f(X) e o eixo x no intervalo a x b (a>0) igual rea entre a curvae o eixo x no intervalo ka x kb (k>0).Se a rea da regio entre a curva y = f(X) e o eixo x para x no intervalo 1 x3 o nmero A ento a reaentre a curva y= f(X) e o eixo x no intervalo 9 x 243 vale:
(A) 2A(B) 3A(C) 4A(D) 5A(E) 6A
Gabarito: Letra B.
Considere a=1, b=3.
k=9, a rea A para 9 x 27.k=27, a rea A para 27 x 81.k=81, a rea A para 81 x 243.
portanto, para 9 x 243, a rea total 3A.
Questo 13
O cdigo Morse, desenvolvido por Samuel Morse, em 1835, um sistema de representao que utilizaletras, nmeros e sinais de pontuao atravs de um sinal codificado intermitentemente por pulsos eltricos,perturbaes sonoras, sinais visuais ou sinais de rdio. Sabendo-se que um cdigo semelhante ao cdigoMorse trabalha com duas letras pr-estabelecidas, ponto e trao, e codifica com palavras de 1 a 4 letras, onmero de palavras criadas :
(A) 10. (D) 25.
(B) 15. (E) 30.(C) 20.
Gabarito: Letra E.
Com uma letra: 2 palavras.Com duas letras: 2 . 2 = 4 palavrasCom trs letras: 2 . 2 . 2 = 8 palavras.Com quatro letras: 2 . 2 . 2 . 2 = 16 palavras.O total 2 + 4 + 8 + 16 = 30.
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PROVA: 02/09/12
Questo 14
Um ponto P = (x, y), no primeiro quadrante do plano xy, situa-se no grfico de y = x2. Se o ngulo deinclinao da reta que passa por P e pela origem, ento o valor da expresso 1 + y (onde y a ordenadade P) :
(A) cos . (D) tg2.(B) cos2. (E) sen2.(C) sec2.
Gabarito: Letra: C.
P = (x, x2)
Temos2xtan x
x (veja figura)
0
P
x2
x
Ento, 2 22
1 y 1 x 1 tansec
Questo 15
A matrizA= (aij) 3x3 =2 1 1
1 1 01 2 1
define em IR os vetores
Vi = a i1
i + ai2
j + ai3
k, 1 i 3.
Se
u e
v so dois vetores em IR satisfazendo:
u paralelo, e tem mesmo sentido de
v2 e u
=3;
v paralelo, e tem mesmo sentido de
v3 e u
=2.
Ento, o produto vetorial
u x
v dado por:
(A)
3 2
(i j ( 2 1) k )2
.
(B) 3 2(i j ( 2 1)k)
.
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Gabarito EFOMM
(C) 3( 2 i j ( 2 1)k)
.
(D) 2 2(i 2 j (1 2 )k )
.
(E) 3 2(i j ( 2 1) k)
.
Gabarito: Letra A.
A segunda informao deveria ser v
= 2 e no u
= 2.
Com esta correo, temos:
u= u
.2
2
v
v
e3
3
vv v .
v
Da matriz, temos
v2 = ( 1, 1, 0) e
v3 = (1, 2 , 1).
Assim,
u = 3.(1, 2,1) 3 2 3 2
, ,02 22
e
v = 2.(1, 2,1)
(1, 2 1).2
Fazendo
u x
v, temos:
i j k3 2 3 20
2 2 3 2 3 2i .1 0. 2 j .1 1.0
2 21 2 1
3 2 3 2 3 2k. . 2 .1 (i j ( 2 1) k )
2 2 2
Questo 16
Se3
tgx secx ,2
o valor de senx + cosx vale:
(A) 7 .13
(B) 5 .13
(C) 12 .13
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PROVA: 02/09/12
(D) 15 .13
(E) 17 .13
Gabarito: Letra E.
Como3
tgx secx ,2
temossenx 1 3
,cosx cosx 2
ento2
cosx (senx 1)3
(*)
Pela relao fundamental, temos 2 24
sen x (senx 1) 19
213sen x 8senx 5 0
5senx 1ou senx .
13
No podemos ter senx = 1, pois isso daria cosx=0 e tgx no existiria.
Em (*),5 2 5 12
senx cosx 1 cosx .13 3 13 13
Portanto,5 12 17
senx cosx .13 13 13
Questo 17
P(x) um polinmio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo:
os nmeros r1= 1, r2= i e r3= 1 i so razes da equao P(x) = O; P(O) = 4.
Ento, P ( 1) igual a:
(A) 4.
(B) 2.(C) 10.
(D) 10.
(E) 40.
Gabarito: Letra E.
Pelo teorema das Razes Complexas, como P(x) tem coeficientes reais e i e 1 i so raizes, temos que i e
1 + i tambm so razes.Deste modo, P(x) tem pelo menos 5 razes complexas: 1, i, 1 i.
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Gabarito EFOMM
Uma vez que P(x) tem o menor grau possvel, P(x) deve ser um polinmio do 5o grau. Usando a formafatorada:
P(x) = a (x 1) (x i) (x + i) ( x 1 + i) (x 1 i) = = a (x 1) (x2+ 1) (x2 2x + 2)
Porm P(0) = 4, logo: P(0) = a ( 1) 1 2 = 4 a = 2.
Assim: P ( 1) = 2 ( 2) 2 5 = 40
Questo 18
Durante o Treinamento Fsico Militar na Marinha, o uniforme usado tnis branco, short azul e camiseta
branca. Sabe-se que um determinado militar comprou um par de tnis, dois shortes e trs camisetas porR$ 100,00. E depois, dois pares de tnis, cinco shortes e oito camisetas por R$ 235,00. Quanto, ento,custaria para o militar um par de tnis, um short e uma camiseta?
(A) R$50,00. (D) R$65,00.(B) R$55,00. (E) R$70,00.(C) R$60,00.
Gabarito: Letra D.Sendo:
x: preo do par de tnis (R$)y: preo do short (R$)z: preo da camiseta (R$)
Equacionando:
x 2y 3z 100 I
2x 5y 8z 235 II
Podemos observar que obtemos a expresso pedida fazendo 3 I II
x + y + z = 65
Obs.: A partir das duas equaes, conseguimos obter y = 35 2z e x = 30 + z, mostrando que de fatoexistem valores positivos de x, y e z que satisfazem as condies do problema.
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PROVA: 02/09/12
Questo 19
Dois observadores que esto em posies coincidentes com os pontos A e B, afastados 3km entre si,medem simultaneamente o ngulo de elevao de um balo, a partir do cho, como sendo 30 e 75,respectivamente. Se o balo est diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, ento aaltura do balo, a partir do cho, em km, :
(A) 13
(D) 23
(B) 52
(E) 32
(C) 25
Gabarito: Letra E.A figura abaixo descreve a situao apresentada no problema. O segmento CH a altura do balo.
Podemos ver que ACB 75 ABC issceles AC = 3 km.No ACH, CH = AC . sen 30 1CH 3 .
2 km
3CH km
2 .
Questo 20
O litro da gasolina comum sofreu, h alguns dias, um aumento de 7,7% e passou a custar 2,799 reais. J
o litro do lcool sofreu um aumento de 15,8%, passando a custar 2,199. reais. Sabendo que o preo docombustvel sempre cotado em milsimos de real, pode-se afirmar, aproximadamente, que a diferena dese abastecer um carro com 10 litros de gasolina e 5 litros de lcool, antes e depois ao aumento, de:
(A) R$ 2,00.(B) R$ 2,50.(C) R$ 3,00.(D) R$ 3,50.(E) R$ 4,00.
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Gabarito EFOMM
Gabarito: Letra D.Definindo:x: preo do litro da gasolina antes do aumento (R$)y: preo do litro do lcool antes do aumento (R$)
7,7x x 2,799 1,077x 2,799 x 2,599
10015,8y y 2,199 1,158y 2,199 y 1,899
100
Fazendo a diferena dos preos:10 . 2,799 + 5 . 2,199 10 . 2,599 5 . 1,899=3,5.Ento, a diferena de R$ 3,50.
PROFESSORES
Daniel Fadel
Jordan Piva
Matheus Secco
Rodrigo Villard
Sandro Davison